Het bepalen van (zoom)spectra d.m.v. demodulatie-, digitale filter-, en FFT-technieken

Het bepalen van (zoom)spectra d.m.v. demodulatie-, digitale

filter-, en FFT-technieken

Citation for published version (APA):

Dortmans, L. J. M. G. (1986). Het bepalen van (zoom)spectra d.m.v. demodulatie-, digitale filter-, en FFT-technieken. (DCT rapporten; Vol. 1986.041). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

A. Dortmans,

oktober 1986

-2-

Inhoudsopsave

Inleidinq

Hoofdstuk I De Discrete Fourier Transformatie

Hoofdstuk 2 Demodulatie van het signaal x(t).

Hoofdstuk 3 Digitale filtering

3 . 1 .

3 . 2 . 3 . 3 .

Keuze van een digitaal filter voor het bepalen var, een zoom-FFT. Een low-pass FIK filter voor het bepalen van een zoom-'EFT

Enige voorbeeldjes van de toepassing van een low-pass FIR filter.

Hoofdstuk 4 Het bepalen van zoom-spectra

4.1. Impulsvormige signalen. 4.2. Random-signalen

Hoofdstuk 5 Een voorbeeld van de toepassing van een zoom-spectrum.

Inleidiny

- 4 . 3 -

- 5 . 3 -

Voor het analyseren van de frequentie-inhoud van een signaal kan gebruik gemaakt worden van de Discrete Fourier Transformatie (DFT) m.b.v. het Fast Fourier Transform-algorithme (FFT).

Wanneer we deze operatie toepassen op een gemeten, reeël, signaal dan ver- krijgen we de frequentie-inhoud van het signaal in N equidistante punten in het frequentiedomein (spectrale lijnen) in het gebied O . . . fs Hz, waarbij f, de gehanteerde sample-frequentie is en N het aantal gemeten samples. Bij een equidistant bemonsterings-interval Ats = l/f, is de onderlinge afstand tus- sen de spectrale lijnen Af = f s / N Hz. Er zijn gevallen waarin deze resolutie erg klein moet zijn, bijvoorbeeld wanneer we m.b.v. de FFT de overdrachts- functie van een systeem willen schatten, en deze verder verwerken m.b.v. modale analyse technieken voor het bepalen van systeemparameters. Vooral voor systemen met relatief ongedempte resonanties kan het dan noodzakelijk zijn het systeem met een kleine resolutie te beschrijven. Dit kan problemen opleveren omdat N dan erg groot moet zijn hegeen resulteert in:

- drastische toename van de rekentijd;

-

nauwkeurigheidsverlies t.g.v. het grote aantal rekenkundige operaties en daarmee gepaard gaande afrondingsfouten.

Om toch een kleine resolutie te bereiken zonder deze problemen kan gebruik gemaakt worden van de hierna beschreven methode voor het bepalen van zoom-

FFT's.

Net behulp van deze methode is het mogelijk de frequentie-inhoud van een signaal in een bepaalde frequentie-band te bepalen met een kleine resolutie zonder dat hiervoor een groot aantal punten in de FFT nodig zijn.

-1.1-

Hoofdstuk

I

De Discrete Fourier Transformatie

Het DFT-algorithme kan worden gebruikt voor het bepalen van een schatter voor de frequentie-inhoud van een signaal x(t):

N- 1

Ats. (k=O

. . .

N-I)

= e-2~j*lk/N

8,

1=fJ

1 Hierbij geldt:

-

x1

(1=0

. . .

N-I) is een reeks equidistant gemeten waarden van het

signaal x(t) met xl=x(t=leAts) waarbij Ats=l/f, het bemonsteringsinterval is.

-

5,

is de schatter voor de fourier-getransformeerde van het signaal

voor f=keAf met Af=fsfN=l/T x(t) geldt nu:

-

g-k=xk

Op grond van deze eigenschap zijn slechts

9

f requentie-punten van belang. Derhalve kunnen we zo slechts het frequentie interval O

...

f , / 2 analyseren. Wanneer we de DFT aldus gebruiken dan zijn 2 aspecten van belang:

-

signaal-lek

- aliasing

Sianaal-lek treedt op wanneer x(t) of niet precies periodiek is met periode T Of niet nul is voor ti0 en t>T. In zo’n geval zal

8,

niet alleen

informatie bevatten over de frequentie-inhoud van het signaal x( t) voor f=kAf maar ook over andere frequenties [ 2 ] ] . Voor signalen d i e hieraan niet voldoen kan de signaal-lek gereduceerd worden door toepassing

van een zogenaamde window-fonctie ([I]! w(t3, naarmee de DFT wvïdt

gemodificeerd tot:

I?- 1 _e-2rj*lk/N

xk=

l=o

1 1

Bekende window functies zijn het driehoekig en het Kanning-window ( [ 3 ] ) .

Deze window functies kunnen de signaal weliswaar reduceren, maar nooit ghee1 reduceren.

Ook kunnen zij soms een averechts effect hebben, vooral bij signalen met dominante frequenties ( [ 2 ] ) .

Aliasinq treedt op wanneer het signaal x(t) niet een frequentie-inhoud heeft die nul i s voor lfl>fs/2. In zo'n geval is het bemonsterde signaal niet zuiver omdat hogere frequentie componenten dan "terugvouwen" naar het frequentie-interval ifl<fs/2, waardoor ook het resultaat van de DFT

onbetrouwbaar wordt ([I]). Een remedie is het filteren van het signaal x(t) zodanig dat de ongewenste frequentie-componenten verwijderd worden. (In het vervolg zullen we aannemen dat de gehanteerde signalen correct gefilterd zijn).

Zoals hiervoor besproken is, is de resolutie van de DFT Af=f,/N. Stel we hebben nu het volgende signaal x(t):

Nu kan het gewenst zijn het frequentie-interval fl

...

f2 met een kleine resolutie te beschrijven. Dit leidt bij toepassing van de DFT tot problemen

leidt tot de in de inleiding vermelde problemen wat betreft rekentijd

(aantal complexe vermenigvuldigingen in de FFT 2 N log NI en nauwkeurigheid. Ket zal duidelijk zijn dat hiervoor oplossingen gezocht zijn (rond de jaren

1960-1965). De algemeen gehanteerde oplossing zullen we in de hierna

volgende hoofdstukken bespreke:: [zie m'n E31 en [ G I ) .

-2.1-

Hoofdstuk 2

Demodulatie van het signaal x(t).

Stel we hebben een signaal x(t) gemeten met een sample-frequentie fs zodanig dat we de beschikking hebben over een reeks xk=x(t=kAts) (k=O

. . .

K). De reeks Xk wordt nu omgevormd tot een reeks yk waarvoor geldt:

(49

(N.B. yk is een complex signaal als fo # O ) .

Wat bereiken we hier nu mee? Voor het signaal y(t) geldt:

ofwel :

Y(f) = X ( f 4- fo) ( 5 )

Door deze demodulatie wordt dus de frequentie-inhoud van het signaal x(t) verschoven !

Passen we nu de DFT toe op het complexe signaal yk dat met een sample-fre- quentie f2-f, gemeten is dan volgt:

= Y(k*Af,) = x(f,

+

k Af,) O(k(z-I N xk

YN-k = y((N-k)Afz) = x(-kAfz)

= (€0 - kAfz) lLk<S

met:

f 2 4 1

Af, =

-

_N

Met andere woorden de DFT levert ons dan de frequentie-inhoud van de signaal x(t) in het frequentie-interval fl

. . .

f2 met een resolutie Afz = ( f 2 -

fl)/€?. Deze zoom-DFT (zoom-FFT) levert ons dus bij geschikt gekozen f,, f, en f2 een zoom van de fouriergetransformeerde X(f) op met een resolutie die veel kleiner is als bij toepassing van een conventionele DFT. Nu zijn er echter twee problemen:

- we zijn er van uitgegaan dat het signaal y(t) gemeten is met een sample

frequentie f2-fl Hz. Wanneer we de reeks yk construeren uit de reeks Xk dan is de sample frequentie hiervan gelijk aan fs. We zullen dus de sam- ple-frequentie moeten reduceren. Dit kan simpelweg gebeuren door toepas- sing van een decimatie proces. Indien we namelijk yk slechts bepalen voor k=D*q, waarbij D=fs/(f2-fl) en q een.gehee1 getal dan wordt de sample fre- quentie van de reeks yk f2-fl Hz. Natuurlijk moet de decimatiefactor D wel een geheel getal zijn, hetgeen grenzen stelt aan f2-fl bij gegeven f,.

-

bij een gekozen frequentie-interval f2-fl en daarmee bepaalde reeks yk

moeten we er wel voor zorgen dat de frequentie-inhoud van het signaal y(t)

nul is voor fi-Í0(f(f2-fo, omdat we anders problemen te verwachten hebben met het in hoofdstuk 1 besproken verschijnsel aliasing. Dit kunnen we na- tuurlijk bereiken door het signaal x(t) te bewerken met een bandfilter, maar dat geeft problemen indien we fo en f2-fl variabel willen houden. Om

toch een correct signaal y(t) te verkrijgen kunnen we echter ook het geme- ten signaal y(t) digitaal filteren, dat wil zeggen we bewerken het signaal y(t) numeriek om ervoor te zorgen dat y(t) een correcte frequentie-inhoud heeft. Deze digitale filtering komt ter sprake in hoofdstuk 3 .

Het zal duidelijk zijn dat deze methode voor het bepalen van zoom-FFT's een redelijk recht-toe recht-aan proces isl dat daasom vaak toegepast wnrdt.

-3.1-

Hoofdstuk 3

Digitale filtering

Ctel we hebben de beschikking over een (lineair) analoog filter:

-t filter

Met behulp van de impulsrespons h(t) en de overdrachtsfunctie K ( f ) van het filter volgt dan:

t

z(t) =

f

h(t-T) y1r)dT ( 7 )

Voor een gemeten signaal y(t) (yk) willen we nu een algorithme dat hetzelfde effect heeft als een analoog filter. Voor lineaire digitale filters kunnen we relatie ( 7 ) discretiseren tot ( { 3 ] , [ 4 ] ) :

waarbij de reeks Zk de output van het digitale filter is.

De coefficienten

aard van de operatie die de reeks yk ondergaat. Zeer eenvoudige digitale filters zijn bijvoorbeeld:

(m=Q

...

M-1) en bl (1=0 f a , L-I) bepalen natuurlijk de

-

Zk

-

- yk-yk-l

: differentiatie

Het is nu natuurlijk van belang de coefficienten am en bl ZO te bepalen dat het gewenste effect bereikt wordt.

Alvorens hierop in te gaan onderscheiden we eerst een aantal typen digitale

f Flters.

Transversale filters

Bit type filters wordt gekenmerkt door de eigenschap:

a0 = 1 ; M=l

L- 1

'

k = bl yk-l

De respons van deze filters wordt dus alleen bepaald door de ingang yk (en niet door voorgaande waarden van de respons: niet-recursief). Voor de im- pulsrespons en overdrachtsfunctie van deze filters geldt:

Er geldt immers: en L-

1

1=0 -2~r j ( f / f

11

= 1 b l e Recursieve filters

Recursieve filters zijn filters waarbij am # O. Bij schaling van a. op 1 volgt dan:

L- 1 N

-

E

%nzk-m

'

k = bl yk-l

m-

1

waaruit de recursiviteit van deze filters duidelijk may blijken.

Voor de overdrachtsfunctie van deze filters geldt ( [ 3 3 ) :

- 3 . 3 -

Omdat Hd(f) i.h.a. PLM complexe polen heeft zal het duidelijk zijn dat de impulsrespons van dit type filters bestaat uit termen met complexe e-machten die voor een stabiel filter natuurlijk uitdempen naar 9 voor t+-.

Finite Impulse Response filters

FIR filters worden gekenmerkt door de eigenschap dat de impulsrespons van het filter @ is voor zekere t2to.

Een transversaal filter met een eindige waarde van L is een voorbeeld van een FIR filter.

Infinite Impulse Response filters

IIR filters hebben een impulsrespons die slechts voor t+- naar 9 nadert. Transversale filters met L=- en i.h.a. alle recursieve filters zijn voor- beelden van IIR filters.

3.1. Keuze van een digitaal filter voor het bepalen van een zoom-FE'T.

Wanneer we een digitaal filter willen hanteren voor het bepalen van zoom-

FFT's dan zijn 2 aspecten van belang:

-

het aantal rekenkundige bewerkingen

- nauwkeurigheid van het filter.

Natuurlijk is het van belang een filter te kiezen dat slechts weinig reken- kundige bewerkingen vereist om lange rekentijden en nauwkeurigheidsverlies te beperken. I.h.a. zullen we er daarom naar streven de parameters L en PI van een filter zo klein mogelijk te houden. Vaak is dit echter strijdig met de eis dat de overdracht van een filter binnen bepaalde grenzen moet over- eenkomen met een gewenste overdracht. Voor het bepalen van zoom-FFT's komt hier nog een eis bij. Zoals analoge filters fasedraaiing bezitten, zo bezit- ten digitale filters ook fasedraaiing. Wanneer deze fasedraaiing nu niet Q,

of lineair in de frequentie is dan zullen de verschillende frequentie-compo- nenten van het signaal y(t) een verschillende looptijd vertonen hetgeen een ontoelaatbare vervorming van het signaal kan veroorzaken. Bij een lineaire fasedraaiing ondergaat het signaal y(t) een constante tijdsverschuiving het- geen in ons geval niet tot problemen hoeft te leiden zoals besproken wordt in hoofdstuk 4. Nu zijn recursieve-filters vaak moeilijk zo uit te voeren dat hieraan voldaan wordt. Op grond hiervan beperken we ons verder tot

transversale filters met eindige L {FIR-filter), mede omdat de output Zk van het filter gedecimeerd moet worden zoals besproken in hoofdstuk 2 . Transver- sale filters lenen zich hiervoor beter. Voor een transversaal filter kunnen we namelijk de decimatie combineren met het feitelijke filteren. Voor het decimeren hoeven we namelijk slechts de responsies Zk te bepalen waarvoor k=D*q (zie hoofdstuk 2) ofwel:

L- 1

'D*q =

ifo

bl YD*q-l*

M.a.w. we rekenen slechts uit wat ook werkelijk gebruikt wordt.

Voor een recursief filter met decimatie volgt:

M

-

L- I

-

'Dq

-

lbo

bl 'Deq-1

.fl

am 'Deq-m

Indien D#l dan vereist zo'n filter dus veel meer bewerkingen omdat we nu i.h.a. veel meer responsies ?+ moeten bepalen als strikt nodig is.

- 3 . 5 -

3 . 2 .

Een ideaal low-pass filter heeft de volgende vorm:

Een low-pass FIR filter voor het bepalen van een zoom-FFT

H(f)= I

-

fp(f<fp

0 elders

4f

-fP fP

Wanneer we nu voor het digitale filter een lineaire fasedraaiing toestaan dan moeten we een filter construeren dat zo goed mogelijk voldoet aan:

o

elders

Om een schatting voor de parameter bl te bepalen, ontwikkelen we exacte fil- terkarakteristiek in een fourier-reeks met periode fs:

met:

CM = 2 f p/fs.

Stel we kappen deze reeks af zodanig dat:

Dan volgt eenvoudig dat de coefficienten van het filter bl gelijk zijn aan Cl.

Het zal duidelijk zijn dat het afkappen van de fourier-reeks leidt tot een niet-ideaal filter maar bij toenemende L zal het digitale filter steeds be- ter op het gewenste lijken. (dat is althans de verwachting.)

Nu moeten we de parameter u nog een waarde geven. De waarde van M volgt uit

de e i s dat het digitale filter een lineaire fase karakteristiek heeft, het- geen nog niet gegarandeerd is voor willekeurige U .

Door de eis:

is hieraan te voldoen.

Dan geldt immers voor L=even

en voor L=oneven

In beide gevallen krijgen we dus een filter met lineaire fasedraaiing.

Uit de eis bl=bL-l-l volgt:

sin(2r*(fp/fS)(l-a))

_-

_- sin(2ir*(f,/fs)(L-1-i-a))

z

-a L- 1

-1-a

Hieraan is te voldoen door de keuze:

a = T L- 1 _{í 1 7 )}

In de volgende figuren is de overdracht H d ( f ) geschetst voor verschillende waarden van L en fp/Es, waarbij voor de eenvoud L steeds een oneven getal is en waarbij fs op 1 gesteld is (de overdracht Hd(f) wordt in feite bepaald door de quotienten f/fs en fp/f,!)

- 3 . 7 -

__

8.3-1 1

____

8.3-21 ..._. 8.3-31 _._. 8.3-41 Y

t+

TRANSFERFUNKT I ON DATE 892686 Y = MAGNITUDE TIME 9:45 SER: OORTN X X = FREOUENCY CHZI

We zien dat het resultaat niet erg bevredigend is (voor de gekozen waarden van L). Om toch enige verbetering te krijgen zonder L groter te keizen kan nu een truc toegepast worden. De coefficienten bl worden m.b.v. een window functie

w1

gemodificeerd t o t coefficienten bl:

bi = blw1 _{( 1 8 )}

Als windowfunctie kiezen we het Hanning window ( [ 3 ] ) zodat:

Hiermee blijven we voldoen aan de eis van een lineaire fase-karakteristiek omdat

w1 = wL-1-1 bi = bL-l-1

.

We zien nu inderdaad een drastische verbetering van het resultaat.

De vraag is nu hoe groot we L moeten maken bij toepassing van zo'n filter voor het bepalen van een zoom-EFT.

Idealiter moet gelden Hd(f)=O voor If12fz waarbij 2*fz de gehanteerde sample-frequentie in de zoom-FYT is.

Indien we nu kiezen fp=fz dan zal dit i.h.a. niet tot bevredigende resulta- ten leiden omdat H (f )=0.5 waardoor frequenties 2 f, niet voldoende gefil- terd worden en "terugvouwen" in het frequentieinterval van de zoom-FFT. We kunnen dit schematisch weergeven in het volgende plaatje:

d P

Frequenties f>fp=fz zullen dan terugvouwen tot frequenties f=fp-f, zoals aangeduid met de stippellijn. Wanneer we dit terugvouwen willen beperken tot een bepaald percentage

quentie-interval lfl<fi betrouwbaar zijn indien de teruggevouwen frequenties

-

<

E zijn voor Iflifi. Natuurlijk willen we L nu zo groot kiezen dat fi zo

dicht mogelijk bij f ligt voor een gegeven waarde van E .

Een ander aspect is zat we ook willen dat IHd(f) I zo vlak mogelijk is voor Ifl<fif in die zin dat IHd(f)l zo weinig mogelijk van

1

moet afwijken.

Eisen we nu dat i(IHd(fil-l) [<€I voor lfl(fi dan kunnen we proberen een waar- de voor L te bepalen die een filter oplevert dat voldoet aan:

dan zal na toepassing van de FFT slechts het fre-

(terugvouwen 1 E voor lfl<fí).

Voor fi=0.9 fpl 6=0.01 en ~ = 0 . 0 1 zijn in het volgende tabelletje voor ver- schillende waarden van fp/fs de hierbij behorende minimale waarden van L weergegeven.

-3.11- 0.05 20

1

o.

1 1 6 1 0.2 8 1 0 . 3 6 1

o.

4 4 1

Voor een gegeven f =f

de aangegeven grenzen, het frequentiegebied lflt0.9fp betrouwbaar zijn, in- dien we L kiezen zoals in de tabel staat aangegeven.

en f,, zal dan na toepasing van de zoom-FFT, binnen

- S!NLiS-0.l í TRANSFERFUNKTION

1 = REAL

X X : FREOUENCY [HZI

3 . 3 .

Om enigszins te illustreren dat het besproken FIR filter ook werkt geven we nu enige voorbeelden.

1)

Enige voorbeeldjes van de toepassing van een low-pass FIK filter.

We gebruiken een ingangssignaal y(t)=sin(2rfot) ofwel

yk=sin(2ir(fo/f,)k). In de volgende figuren zien we de respons zk voor:

-

f0=0.1, fp=0.3, f s = l , L= 61

-

f0z0.45 fp=0.3, f,=l, L= 61

We zien nu inderdaad het filterende effect van het filter. Ook zien we duidelijk het inschakelverschijnsel en de looptijd, waardoor het

signaal na L- 1 samples stabiel wordt en dat wat we verwachten. - DATE 100886 TlflE 11.25 USER: DDRiiî - SINUS-0.45 TRANSFERFUNKTION í - REAL X K = FREOUENCY [HZ1

€INOHOVEN UNIVERSITT OF TECHNOLOGY

w

F

w

FINOHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

WF

w

I

__ - __. - . - D A K 1í308s~ rm 1 1 27 USER: DORTU ~ - .- ... . ... . . . . ~. U B - ’ .i1 .55 .39 .23 .06 -.26

-3.13-

Bij een realistische meting aan een klok krijgen we het volgende signaal voor de hoekverdraaiing van de klepel voor fs=400 Hz.

We zien in dit signaal enige scherpe pieken t.g.v. een storing van circa 50 Hz. Om deze pieken te elimineren is het signaal bewerkt met het volgende filter:

fp=20 Hz., fs=400 Hz., L= 102. Dit resulteerde in de volgende figuur, waaruit mag blijken dat de storende pieken goeddeels verdwenen zijn.

--

''A CF 'RCTbRY"

! VERPLAATSING CRADI

Hoofdstuk 4

Het bepalen van zoom-spectra

Voor het analyseren van de frequentie-inhoud van een signaal wordt vaak ge-

bruik gemaakt van de zogenaamde autopowerspectrum

s,,

([2]). M.b.v. M schat- ters x(f) voor de fouriergetransformeerde X(f) van het signaal x(t) kunnen we een schatter Cxx(f) voor S,,(f) bepalen uit:

Door toepassing van de zoom-FFT kunnen we dus ook zoom-powerspectra bepalen. In de volgende paragrafen zullen we aangeven hoe dit voor een tweetal

signaal-typen kan gebeuren, nl. voor impuls-achtige- en random-signalen. Dit omdat we voor deze signaaltypen een afwijkend berekeningsproces nodig kunnen hebben.

4.1. Impulsvormige signalen.

Stel we willen een signaal x(t) analyseren dat een impuls-vormig karakter heeft:

Dit signaal wordt met een frequentie fs bemonsterd gedurende T seconden zo- dat we de beschikking hebben over Ns samples. (T.b.v. het middelingsproces wordt zo'n meting natuurlijk N keer herhaald). De samples Xk willen we nu gebruiken voor het bepalen van een zoom-FFT:

-4.2-

Bij de keuze voor fo (demodulatiefrequentie) en BW (te analyseren band- breedte rond fo) beperken we ons verder tot de volgende gevallen:

-

als fo=Q dan geldt BWifs. In feite voeren we dan een normale FFT uit om een spectrum te bepalen in het frequentie-gebied Q<f<$3W.

1

-

als fo#O dan geldt: BW<2.f0 als fO<fs/4 BW<fs-2f0 als fO>fs/4

Hiermee bereiken we dat het te analyseren frequentie-interval altijd ligt tussen O en fs/2 Hz.

Om de zoom-FFT te bepalen gebruiken we nu een demodulatie en digitale Eilter techniek om N, samples

zq

te bepalen volgens:

waarbij:

Nz= aantal punten in de zoom-FFT D = decimatiefactor = fs/BW

Omdat het gehanteerde digitale FIR filter een looptijd en inschakelver- schijnselen vertoont (circa

9

samples) moeten we echter de eerste KO> berekende waarden overslaan alvorens de uitgang van het digitale filter te decimeren. Daarmee volgt dan:

Hieruit volgt dat we de beschikking moeten hebben over de samples

..xK

+D(N -1) (ofwel D(Nz-l)+L samples).

X ~ O - ( ~ - ~ ) - 0 2

Indien we nu KQ te groot kiezen dan lopen we het risico het meest relevante deel van het signaal weg te gooien n dat geval elimineren de impulsvorm van het signaal). Derhalve moeten we Kg met zorg kiezen (bijv. K o = Y ) . We spre- ken af dat we KO in ieder geval ZO kiezen dat KO(L-2. Dan geldt KO-(L-l)<O. De samples xK (L-l)...x-l hebben we niet gemeten maar we kunnen deze Q stellen omdat, indien we deze wel relevant vinden, we ze anders wel gemeten zouden hebben.

Het laatste sample dat we nodig hebben is

xK

+OfN Daaruit volgt dat we in principe moeten voldoen aan Ns-l~KOtD(Nz-l).

0-

O z

Dit is echter niet nodig indien we er voor zorgen dat we T zo groot kiezen (en daarmee Ns) dat we x(t) nul mogen stellen voor t2T. (hetgeen voor im- pulsvormige signalen zo is.) In dat geval kunnen we de reeks Xk dus aanvul-

len met nullen.

Om nu relatie (22) geschikt te maken voor implementatie in een algorithme (met indices die starten bij 1 en arrays die starten bij positie 1 ) voeren we nu de volgende indices en arrays in:

q = q + l q = 1

. . .

N, 1 = 1 + 1 1 = 1

. . .

L Daarmee volgt: We definieren nu ook: Daarmee volgt: 1=1

De index van array Y loopt nu van

1

tot D(N,-l) tL. Omdat KO<L-2 volgt

KoLL-1

en Y[I]

. . .

Y[L-KO]=$3, terwijl voor Ns-l<KO+D(N,-l) geldt: YIN,+L-KO+l]

.

.

. Y[D(NZ-I)+L]=$3.

Voor het bepalen van het power-spectrum-kunnen we nu de factoren A[q] nog vereenvoudigen tot A[q]=e-2KJ* (fO/fs)D*q omdat de factor

-4.4-

*

-

e - 2 r j r f O / f s ) (KO-D) wegvalt bij het proüukt x9J (power spectrum bevat geen

4.2. Random-signalen

We meten een signaal van de volgende vorm

met een sample-frequentie f,, hetgeen resulteert in Ns samples. Voor het middelingsproces bij het bepalen van het powerspectrum gaan we nu als volgt te werk: Re output van het digitale filter wordt na decimatie verdeeld in PI

stukken met ieder N, samples. Elk van deze records wordt dan gebruikt voor het bepalen van een schatter X(f) die we aangeven met

zm

(m=l

...

M). Na

keuze van een demodulatiefrequentie fO en te analyseren bandbreedte BW (met dezelfde beperkingen als in par. 4.1) volgt op identieke wijze als besproken in par. 4.1, voor de samples z! (q=O.. .Nz-I

1

in record m (in feite sample

KQ+R(M-l)Ntr van de output van het digitale filter):

Voor alle records tezamen hebben we dan de samples:

nodig.

Ook nu eisen we weer KO(L-2, waardoor we eventueel enige @-sample moeten introäuceren.

Ook nu introduceren we weer andere indices en arrays:

r = r t l

XQ

= KQ i- 1 1 = 1 + 1

-4.6-

(27)

ym[pt

1

= XptKo-L+D (m- 1 ) N,

De factoren A[;] kunnen we weer vereenvoudigen tot A[;]= e-2Rje ffo/fs)*Dr

Hiermee volgt:

hetgeen een identieke relatie is als relatie (25) in par. 4.1. De factoren A[r] en B[i] zijn voor beide gevallen identiek.

We zien dat het laatste sample dat we nodig hebben xK +D(M-l)N +D(N -1) is wanneer we M middelingen willen doen. Daaruit volgt dat we moeten voldoen aan :

O z z

Omdat we nu niet zo maar extra nullen kunnen toevoegen indien N, hieraan niet voldoet bij gekozen D, N, N, en KO volgt dat het aantal middelingen beperkt moet blijven tot

(vooral bij kleine bandbreedtes (D groot) moeten we veel samples meten om een gegeven aantal middelingen te kunnen doen).

Wanneer we de samples Xk bekijken die in middeling m nodig zijn dan volgt dat:

~n middeling mtl gebruiken we de samples: XKO+DmNz-(L-l)

...

XK~+D~(N,-~)

Indien nu LlD+l, dan overlappen deze reeksen elkaar, waarbij er dan L-D overlappende samples zijn.

Hoofdstuk 5

Een voorbeeld van de toepassing van een zoom-spectrum.

De in de voorgaande hoofdstukken besproken methode voor het bepalen van een zoom-spectrum is ingebouwd in een computer-programma fop een IBM PC). De te analyseren signalen worden gemeten m.b.v. een analoog digitaal converter

( [ 5 ] ) en opgeslagen in data-files, die m.b.v. het programma bewerkt kunnen

worden. Om een idee te geven van de benodigde rekentijd en te bereiken re- sultaten is een elektronisch massa-veer systeem geanalyseerd. Wanneer we dit systeem analyseren m.b.v. de conventionele DFT dan krijgen we het volgende resultaat voor de overdracht van het systeem, bepaald met fs=500 Hz, N=512,

100 middelingen (ofwel 51200 samples voor ingang en uitgang; rekentijd 12 minuten). De resolutie is nu 500/512 % 0 . 9 7 Hz.)

\

I

\

- 5 . 2 -

Voor het toepassen van de zoom-FFT is nu gekozen f0=175 HZ, BW=100, L=81,

f =50 en N=512. Hieruit een decimatiefactor D=5. M.b.v. de oorspronkelijke

gemeten samples kunnen we dan I9 middelingen uitvoeren hetgeen resulteert in

de volgende resultaten na circa 12 minuten rekentijd:

P

____ ZOOM-FFT 4 Y = MAGNITUDE

1

X X = FREQUENCY LhZ1

EINDHOVEN UNIVFRSITY OF TECHNOLOGY

w

F

w

(10' I .69

3

DATE 100886 TIME 11:14 USER: DORTM

- NORMAL-FFT ____ ZOOfl-FFT

We zien dat we weliswaar een grotere resolutie (100/512

=

0.19 Hz) bereikt hebben, maar een op het eerste oog minder resultaat. Dat komt natuurlijk omdat we minder middelingen kunnen doen, waardoor random fouten minder weg- gemiddeld worden. Wel zien we dat het bepalen van de zoom-spectra op de ge- schetste wijze leidt tot "correcte" resultaten.

TRANSFERFUNKTION

'

I - MACNITUDC

X X FREOUENCY LH71

-1-

Literatuur

C l 1

t21 c31 C41 C51

Randorn Trillingen, collegedictaat THE, A. de Kraker.

Numerieke analyse van een lineair systeem m.b.v. discrete tijdreeksen, Discrete Fourier Transformatie en spectrale analyse, A . Dortmans, A . de Kraker, WFW, WFW86.029, mei 1966.

Fast Transforms: Algorithms, Analyses, Applications. Elliott, D., Ramamohan Rau, K., Academic Press, 1982. (bibliotheek E, C@P-82-ELL).

Digital Signal Processing, Oppenheim, A., Schafer, R., Prentice Hall, 1975 (bibliotheek E, LRH-75-OPP).

Een PC gestuurd meerkanaals meetsysteem, A . Dottmarrs, K . Koekkoek, WFW, WFW85.030, mei 1985.