210 Geavanceerde Systeemdynamica

www.quickprinter.be

Q

210

6,00 €

Master HIR

slides + notities

uickprinter

Koningstraat 13

2000 Antwerpen

Geavanceerde systeemdynamica

Online samenvattingen kopen via

www.quickprintershop.be

1

Systeemdynamica Hoorcolleges

Praktisch

▪ Met schriftelijke voorbereiding ▪ Toegepaste theorievragen o Schriftelijk = 50%

▪ Modelleeroefening onder de vorm van een kleine case • Opstellen van model: Tools

o Geen examen leerstof o Extra inzicht

o Tool 1= Vensim o Tool 2= Matlab

Deel 1: Modelleertechnieken voor systeemdynamisch denken

1.1. Systemen (les 1: Peremans)

Realiteit

• Realiteit = complex systeem • Quote

o “You cannot meddle with one part of a complex system from the outside without the almost certain risk of setting off disastrous events that you hadn’t counted on in other, remote parts. If you want to fix something you are first obliged to

understand... the whole system... Intervening is a way of causing trouble.” • Lokaliteit in de ruimte

o Dit is niet aanwezig bij een complex systeem aangezien de respons niet ergens lokaal zich bevindt maar wijd verspreid in heel het systeem. (Lokaliteit in de ruimte

betekent dat het systeem bestaat uit verschillende, onafhankelijke onderdelen waarin je iets kan aanpassen zonder dat dit een effect zal hebben op andere onderdelen.)

2 • Lokaliteit in de tijd

o Als je nu iets beslist, verwacht je snel een respons te krijgen. Dan spreken we van lokaliteit in de tijd. (We kunnen dus ook de tijd indelen in verschillende

onderdelen/perioden en iets wijzigen in een bepaalde periode kan effecten veroorzaken binnen diezelfde periode maar niet in een latere periode.)

o Bij een complex systeem is dit niet het geval. Het zijn effecten op lange termijn.

Systeemdenken

• De wereld rondom ons is complex en opgebouwd uit intergerelateerde elementen • We moeten inzien dat “we can’t do just one thing”

o elementen zijn verbonden met elkaar en onze ingrepen hebben verschillende gevolgen waarvan we ons niet altijd bewust zijn.

o We hebben dus te maken met een circulair denken • Figuur

o

• Het model beschrijft enkel het gedrag van het systeem en niet de omgeving. o We delen namelijk de ruimte op in een systeem en in de omgeving • Het model beschrijft de interacties tussen de bouwblokken VAN het systeem.

o Deze interacties zorgen ervoor dat de lokaliteit niet gegarandeerd is.

• Onvoldoende rekening houden met dit gegeven zorgt er voor dat onze maatregelen en inspanningen om een specifiek doel te bereiken zeer dikwijls falen of zelf het tegengesteld effect hebben

o Voorbeeld

▪ “Uitbreiden van het aantal rijstroken om congestie te verminderen resulteert in meer verkeer, meer vertragingen en meer vervuiling.”

▪ Stel dat je het aantal rijstroken in Antwerpen vermeerdert op de ring, zal er op lange termijn terug evenveel file zijn want meer mensen (die anders de lokale wegen nemen of alternatieve vervoersmiddelen) gaan nu ook de autostrade nemen.

3

Policy Resistance

• Onverwacht systeemgedrag resulteert dikwijls in ‘policy resistance’

o = de tendens voor interventies om te worden vertraagd, verwaterd, of zelf teniet gedaan door de reactie van het systeem op de interventie.

o = het voeren van een beleid om een bepaald doel te laten realiseren maar het systeem zal actief dit beleid tegen werken.

o Opgelet: Op korte termijn zullen deze ‘oplossingen’ vaak wel werken! Het systeem heeft tijd nodig om een reactie teweeg te brengen (het systeem heeft een

vertraging) en het is op middellange/lange termijn dat de oplossing teniet gedaan zal worden.

• Policy resistance komt voort uit een te serieel ‘oorzaakgevolg’-denken o = verwaarlozen van terugkoppeling

o Dus de oorzaak van policy resistance is dat we veel te vaak de terugkoppelingen verwaarlozen.

• Policy resistance is dus een gevolg van een onvolledig begrip van de verschillende terugkoppelingen aanwezig in het systeem

• Tekening

o

▪ Policy resistance door de onderste pijl namelijk terugkoppelingen.

▪ Terugkoppelingen zijn grootheden die wijzigen zodat de situatie terug wijzigt en er andere beslissingen worden genomen dan dat je had verwacht.

▪ Terugkoppelingen zijn de drijfveer van dynamica • Voorbeeld

o Bacteriële infecties worden bestreden met antibiotica. Maar het probleem is dat bacteriën tegenwoordig resistent worden tegen antibiotica.

o Hoe komt het nu dat antibiotica leidt tot resistentie?

▪ Initieel zijn er twee groepen bacteriën, namelijk de niet resistente en de resistente. Deze twee groepen hebben beiden voedsel nodig. Hierdoor zal er een strijd tussen de twee groepen optreden voor het voedsel. Vervolgens voeg je antibiotica toe en schakelt dus de niet resistente bacteriën uit De resistente krijgen hierdoor meer voedsel want de competentie wordt uitgeschakeld en kunnen dus steeds meer en meer groeien en uitbreiden.

4

1.2. Terugkoppelingen ( les 1: Peremans)

Belang van terugkoppeling

• Tekening

o

o Pijltjes

▪ Causal loop

▪ Een variabele heeft een invloed op een andere variabele. o Neveneffecten die we niet verwacht hebben, treden sowieso op.

▪ Niet alleen de policy resistance van de omgeving moeten in kaart gebracht worden maar ook de reactie van anderen.

▪ Het voorkomen van complex dynamisch gedrag is meestal een gevolg van deze interacties (de onverwachte neveneffecten) en niet van de complexiteit van de componenten zelf.

Twee soorten terugkoppelingen

• Alle lussen die we terugvinden in modellen zijn dus één van deze twee soorten • Positieve terugkoppelingen:

o Voorbeeld:

▪ Stel je voegt een kip toe dan zullen er statistisch gezien meer eieren zijn (onderste pijl). Als er meer eieren zijn zullen er statistisch gezien meer kippen zijn (bovenste pijl).

▪ Dus het aantal kippen stijgt in de tijd. o Wat?

▪ Als je één van de twee grootheden vergroot, gaat deze grootheid vergroot worden en dus versterkt worden.

▪ De optredende verandering wordt versterkt.

92 ▪ Het vinden van de nulpunten (evenwichtspunten) van een niet lineair stelsel

is niet steeds analytisch mogelijk om uit te voeren. Dikwijls zal er een iteratieve methode op de computer vereist zijn.

• Stap 2

o We gaan de evenwichtspunten proberen te benaderen

▪ Je mag nu overal schrijven waar er vroeger x1 stond → x1= 𝑥1∗ + ∆𝑥1

▪ Je mag nu overal schrijven waar er vroeger x2 stond → x2= 𝑥2∗ + ∆𝑥2

o We lineariseren het toestandsmodel in de onmiddellijke nabijheid van de evenwichtspunten.

o Hiervoor maken we gebruik van de Taylor ontwikkeling, afgebroken na de eerste (= lineaire) term van de beide functies rond de evenwichtspunten.

o Taylor ontwikkeling

▪

▪ De eerste termen zijn hier nul want de functiewaarde in het evenwichtspunt zijn nul want zo heb je de evenwichtspunten gedefinieerd.

Extra in les → voorstelling met jacobiaan (zeer belangrijk)

• 𝑥̇1= 𝑓1( 𝑥1, 𝑥2) • 𝑥̇₂= 𝑓₂( 𝑥₁, 𝑥₂)

•

= 𝒙̇

= [

∆𝒙̇

∆𝒙̇

] = 𝑱 ∗ [

∆𝒙

∆𝒙

]

o Met J is de Jacobaanse matrix o Staat in de notities o 𝐽 = 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑎𝑛 = [ 𝜕𝑓1 𝜕𝑥1 𝜕𝑓1 𝜕𝑥2 𝜕𝑓2 𝜕𝑥1 𝜕𝑓2 𝜕𝑥2 ] Voorbeeld

• Een niet- lineaire toestandsmodel

93 Stap 1 : Evenwichtspunten • 𝒙∗_{= [}0 0 ] • 𝒙∗_{= [}−1 −3]

• Verloop van 𝒙(𝒕)̇ in het fasevlak

o

o De twee zwarte sterretjes zijn de twee evenwichtspunten die we gevonden hebben. • Vervolgens vergroten we het gebied in het fasevlak rond de twee evenwichtspunten uit

zodat we in meer detail kunnen aflezen welk gedrag het model zal stellen in de buurt van de evenwichtspunten.

• Fase vlak rond het evenwichtspunt 𝒙∗_{= [}0

0 ]

o

• Fase vlak rond het evenwichtspunt 𝒙∗_{= [}−1

−3] o

94 Stap 2: Taylor-ontwikkeling voor het eerste evenwichtspunt

• Punt (𝑥1∗, 𝑥2∗) = (0,0)

•

o Hierbij zijn ∆𝑥1(𝑡)𝑒𝑛 ∆𝑥2(𝑡) de afwijkingen uit het evenwichtspunt in het fase-vlak.

• Bereken van de partiële afgeleiden

o Dit zijn dus de vier elementen van uw Jacobiaan

o

• Vervolgens vullen we deze waarden terug in

o

Stap 3: Oplossen als een lineair 2de _{orde systeem}

• Nu kennen we dus de matrix A die met het gelineariseerde toestandsmodel overeenkomt en kunnen we dit terug oplossen zoals daarvoor (zoals een lineair 2de _{orde systeem)}

o 𝐴 = [0 1 3 0]

• Eigenwaarden en eigenvectoren van deze matrix A o

95 • We kunnen dus concluderen dat het eerste evenwichtspunt van het gelineariseerde model

een zadelpunt is aangezien o ∆ = λ1∗ λ2< 0

• Uit de figuur van het gedrag van het niet lineaire toestandsmodel in de omgeving van het evenwichtspunt (0,0) en de figuur die het gedrag van een lineair toestandsmodel gaf gekenmerkt door een zadelpunt, concluderen we dat de analyse van het gelineariseerde model een goede benadering oplevert van het gedrag van het niet-lineair model in de omgeving van het evenwichtspunt

o Zadelpunt in een lineair toestandsmodel

▪

o Niet lineaire toestandsmodel in omgeving (0,0)

▪

Stap 4: Taylor ontwikkeling voor het tweede evenwichtspunt • Punt (𝑥1∗, 𝑥2∗) = (−1, −3)

•

96 • Bereken van de partiële afgeleiden

o Dit zijn dus de vier elementen van uw Jacobiaan

o

• Vervolgens vullen we deze waarden terug in

o

Stap 5: Oplossen als een lineair 2de _{orde systeem}

• Nu kennen we dus de matrix A die met het gelineariseerde toestandsmodel overeenkomt en kunnen we dit terug oplossen zoals daarvoor (zoals een lineair 2de _{orde systeem)}

o 𝐴 = [−3 0 0 −1]

• Eigenwaarden en eigenvectoren van deze matrix A o

• We kunnen dus concluderen dat het tweede evenwichtspunt van het gelineariseerde model een stabiele knoop is aangezien

o ∆ = 𝜆₁∗ 𝜆₂> 0 en de waarden van de eigenwaarden zijn negatief

• Uit de figuur van het gedrag van het niet lineaire toestandsmodel in de omgeving van het evenwichtspunt (-1,-3) en de figuur die het gedrag van een lineair toestandsmodel gaf gekenmerkt door een stabiele knoop, concluderen we dat de analyse van het gelineariseerde model een goede benadering oplevert van het gedrag van het niet-lineair model in de omgeving van het evenwichtspunt

o Stabiele knoop in een lineair toestandsmodel o Niet lineaire toestandsmodel in omgeving (-1,-3)

97 ▪

3.9. Linearisatie van een niet-linear systeem → Toepassing op SIR model

−𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝑆 ∗ 𝐼 = 0 𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝑆 ∗ 𝐼 − 𝐼 𝑑= 0 Oplossing 𝐼∗= 0 𝑆∗ _{= 𝑒𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑤𝑒𝑙𝑘 𝑟𝑒ë𝑒𝑙 𝑔𝑒𝑡𝑎𝑙} Jacobiaan 𝐽 (𝑆∗, 𝐼∗) [ −𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝐼 ∗ −𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝑆 ∗ 𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝐼 ∗ 𝑐 ∗ 𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗₋ 1 𝑑 ] = [ 0 −𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝑆 ∗ 0 𝑐 ∗ 𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗₋ 1 𝑑 ]

• Nu van de Jacobiaan de eigenwaarden bepalen o −𝜆 ∗ (𝑐∗𝐼

𝑁 ∗ 𝑆 ∗₋ 1

98 o Eigenwaarde 1 ▪ λ = 0 o Eigenwaarde 2 ▪ λ = 𝑐∗𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗₋ 1 𝑑

▪ Dit moet kleiner zijn dan nul want de eerste eigenwaarde is 0 en het systeem is dan enkel stabiel als deze tweede eigenwaarde kleiner is dan nul want trace = lambda 1 + lambda 2 en dat moet kleiner zijn dan nul

▪ 𝑐∗𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗₋ 1 𝑑< 0 ▪ 𝑐∗𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗_< 1 𝑑 ▪ 𝑐∗𝐼 𝑁 ∗ 𝑆 ∗_{∗ 𝑑 < 1} • Eigenvectoren bepalen o Eigenvector 1 ▪ [1 0 ] o Eigenvector 2 ▪ J * v2 = 𝜆2∗ 𝑣2 ▪ Uitkomst [ 1 𝑐 ∗ 𝑖 𝑁 ∗ 𝑆∗− 1 𝑑 −𝑐 ∗ 𝑖 ∗ 𝑆∗ 𝑁 ] •