Examen Grondslagen van de Informatica I
Prof. Dr. O. De Troyer
17 januari 2007
Belangrijk !!
• Dit is een gesloten boek examen: nota’s en boeken mogen niet ge-bruikt worden. Rekenmachines, PDA’s en mobiele telefoons zijn eveneens NIET toegelaten.
• Beantwoord elke vraag op een apart blad. Schrijf op elk blad je naam, voornaam, rolnummer en het nummer van de vraag.
• Besteed de nodige zorg aan je werk. Onduidelijk of onleesbare werken worden niet beoordeeld.
• Maximum aantal haalbare punten op dit examen bedraagt 80. De taken die ingeleverd werden tijdens het jaar tellen voor 20% mee in het eindcijfer. • Veel succes!!
Vraag 1: Propositielogica (20 punten)
a. Formuleer de adequaatheidsstelling en een belangrijk gevolg van deze stelling.
b. Waarom is deze stelling en zijn gevolg belangrijk?
c. Bewijs de stelling inclusief eventuele hulpstellingen. Beperk je in de be-wijzen tot het volledige bewijs voor 2 verschillende reductieregels; voor de andere reductieregels hoef je enkel aan te geven wat er moet bewezen worden.
Vraag 2: Predikaatlogica (20 punten)
a. Leg uit hoe men in predikaatlogica semantiek (betekenis) geeft aan een verzameling formules.
b. Geef dan alle nodige definities inclusief deze voor de waardering van termen en formules.
c. Vergelijk dit met de semantiek zoals gedefinieerd in propositielogica. Waarom is deze veel eenvoudiger te defini¨eren?
Vraag 3: Lambda calculus (10 punten)
a. Geef de definitie van de Church getallen en leg uit waarom deze Church getallen belangrijk zijn?
b. Geef de definitie van een λ-definieerbare functie en geef de intu¨ıtieve betekenis van deze definitie
c. Toon aan dat succ ≡ λn.λf.λx.(f )((n)f )x een λ-definieerbare functie is. Duid voor elke stap in je bewijs aan waarop die stap gebaseerd is (welke definitie, lemma of stelling).
Oefening 1: Propositielogica (10 punten)
Een wreedaardige koning heeft de nare gewoonte om zijn gevangen te laten kiezen uit een rij deuren waar ofwel een prinses ofwel een tijger achter verscholen zit. Wanneer de gevangene een kamer kiest waarin een prinses vertoeft mag hij met haar trouwen; kiest de gevange echter een kamer waarin een tijger zit wordt hij verslonden. Op de deuren zijn de volgende inscripties aangebracht:
• Deur 1: In ten minste ´e´en kamer zit een prinses. • Deur 2: In de andere kamer zit een prinses.
De koning (die altijd de waarheid spreekt) vertelt aan de gevangene dat er ofwel in beide kamers tijgers zitten, ofwel in beide kamers prinsessen vertoeven, ofwel in ´e´en kamer een prinses en in de andere een tijger zit. Bovendien vertelt de koning dat wanneer er achter Deur 1 een prinses zit te wachten de inscriptie op Deur 1 waar is en wanneer er een tijger achter Deur 1 verschuilt de inscriptie op Deur 1 niet waar is. Het omgekeerde geldt voor Deur 2 (de inscriptie op Deur 2 is waar als er een tijger achter verschuilt en vals als er een prinses vertoeft).
a. Van welke deur kan de gevangene, indien mogelijk, zeker zijn dat er een prinses vertoeft? Beschrijf kort in eigen woorden waarom.
b. Formaliseer de bovenstaande tekst in de propositielogica. Vermeld duide-lijk de semantiek van de propositieletters die je gebruikt.
c. Gebruik de methode van natuurlijk deductie of semantische tableaus om formeel aan te tonen dat jouw antwoord op vraag a correct is.
Oefening 2: Predikaatlogica (10 punten)
Bewijs m.b.v. natuurlijke deductie: {∃xϕ → ψ} ` ∀x(ϕ → ψ) en omgekeerd.
Oefening 3: Lambda calculus (10 punten)
a. Stel ((G)N )K =β G voor elke lambda expressie N en K. Hoe kan je een
lambda expressie G definieren die hieraan voldoet? Toon dit aan. b. Stel (((G)N )N )K =β ((N )(N )N )N voor elke lambda expressie N en K.
Hoe kan je een expressie G definieren die hieraan voldoet? Toon dit aan.
