uitwerkingen 5 havo D H3

(1)

Hoofdstuk 3:

Kansverdelingen

1.

a. Er hebben iets meer vrouwen dan mannen meegedaan aan het onderzoek. b. tja …

2.

a. S kan de waarden 2, 3, 4, …, 11 en 12 aannemen.

b. Van de 36 mogelijke uitkomsten zijn er drie met som 4: 31 22 13. Dus in 3 van 36 mogelijkheden: 3 1

36 12

( 4) P S   

c. de kans dat de som van de ogen gelijk is

aan 2: 1

36

( 2)

P S  (alleen 11) d.

e. In de tabel staan alle mogelijke uitkomsten.

f. 3 2 1 6 1

36 36 36 36 6

( ) ( 10) ( 11) ( 12)

P tenminste tien P S  P S P S     

3.

a. de uitkomst van een stochast is altijd een getal. b. nu is het wel een getal!

c. P G( 0) 0,5 Er zullen ongeveer evenveel jongens als meisjes zijn. d. Alleen lichaamslengte en schoenmaat zijn stochasten.

4. a. 100 150 abs rel f f   : 29,3 8 13,3 25,3 17,3 6,7 b. X kan de waarden 0 t/m 5 aannemen.

c. 20

150

( 2) 0,13

P X   

d. die kansen zijn ongeveer: 44

150, 15012 , 15020 , 15038 , 15026 en 15010 5.

a. Je kan 0 t/m 5 harten krijgen.

b. Het gaat hier om een trekking zonder terugleggen. c. 4 harten kan op 5 5

4  

  

  verschillende manieren verkregen worden.

d. 13 12 11 10 39 52 51 50 49 49 ( 4) 5 0,0105 P X         e. 39 38 37 36 35 52 51 50 49 49 ( 0) 0,2170 P X        39 38 37 36 13 52 51 50 49 49 39 38 37 13 12 52 51 50 49 49 39 38 13 12 11 52 51 50 49 49 13 12 11 10 9 52 51 50 49 49 ( 1) 5 0,4030 ( 2) 10 0,2687 ( 3) 10 0,0799 ( 4) 0,0105 ( 5) 0,0005 P X P X P X P X P X                                 

f. De som van de kansen moet 1 zijn; de afwijking komt door afrondingen. steen 1 som 1 2 3 4 5 6 st e en 2 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kans 1 36 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361

(2)

6. a. 610 2000 0,305 b. c. P X( 2) 0,265 d. P X( 2) 0,305 0,265 0,57   e. P(1 X 4) 0,265 0,225 0,130 0,62    7. a. 1 4 1 2 16 ( 0) ( ) ( ) P M  P kkkk   4 1 4 2 16 4 6 1 2 16 4 1 4 2 16 4 1 1 2 16 ( 1) ( ) 4 ( ) ( 2) ( ) 6 ( ) ( 3) ( ) 4 ( ) ( 4) ( ) ( ) P M P mkkk P M P mmkk P M P mmmk P M P mmmm                    b. 1 4 6 4 1 16 16 16 16 16 1 som       c. 4 1 5 16 16 16 (M 2) P     8. a.

b. De 4 komt 7 keer in de tabel: 41 42 43 44

34 24 14: 7 36 ( 4) P X   c. d. 1 3 5 7 9 11 3636 36 363636 1 9. a. 1 3 1 3 1 2 2 4 ( 3) ( ) ( ) ( ) P A P XXX of YYY    b. X wint in 4 sets of Y wint in 4 sets.

4 3

1

2 8

( 4) 2 ( ) 2 (3 ( ) )

P A  P YXXX of XYXX of XXYX    

10. 5 4 3 2 15 14 13 12 ( 0) 0,0037 P X       10 5 4 3 15 14 13 12 10 9 5 4 15 14 13 12 10 9 8 5 15 14 13 12 10 9 8 7 15 14 13 12 ( 1) 4 0,0733 ( 2) 6 0,3297 ( 3) 4 0,4396 ( 4) 0,1539 P X P X P X P X                            11. a. 58925 53499 58925 ( ) 0,092 P inbraak _  _ b. 579 4732 579 91 24 ( ) 0,107

P tweede keer ingebroken  _ _{ } 

c. 91

4732 579 91 24

( ) 0,017

P nog twee inbraken  _ _{ } 

24 4732 579 91 24 4732 4732 579 91 24 ( ) 0,0044 ( ) 0,872

P nog drie of meer inbraken P geen inbraken

  

 

d. _{P in beide nog inbraak}₍ ₁ _{) 0,107}_ 2 __0,011

nr frequentie rel. frequentie

1 610 0,305 2 530 0,265 3 450 0,225 4 260 0,130 5 150 0,075 totaal 2000 1 steen 1 X 1 2 3 4 5 6 st e e n 2 1 1 2 3 4 5 6 2 2 2 3 4 5 6 3 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 u 1 2 3 4 5 6 kans 1 36 363 365 367 369 3611 A 3 4 5 kans 1 4 38 38

(3)

12. a. gemiddelde uitkomst 0 72 136 2 30 5 12 150 1,04          b. relatieve frequenties: 72 150 0,48 15036 0,24 15030 0,20 en 15012 0,08 c. 0 72 136 2 30 5 12 0 72 136 2 30 5 12 72 36 30 12 150 150 150 150 150 150 0 150 1 150 2 150 5 1,04        _  _  _  _  _ _{ } _{ } _{ } _{ } 13. a.

b. Je mag verwachten dat er dan 4 keer 10 cent, 6 keer 20 cent, 4 keer 40 cent en 1 keer 80 cent wordt uitgekeerd. In totaal dus 400 cent.

c. Je mag een uitkering van 25 cent per spel verwachten.

d. 1 1 3 1 1 16 4 8 4 16 0 10 20 40 80 25 14. a. 39 38 37 52 51 50 ( 0) 0,4135 P X      13 12 39 52 51 50 ( 2) 3 0,1376 P X       13 39 38 13 12 11 52 51 50 52 51 50 ( 1) 3 0,4359 ( 3) 0,0129 ( ) 0 0,4135 1 0,4359 2 0,1376 3 0,0129 0,75 P X P X E X                     b. Voer in: L1: 0 1 2 3 L2: 0,4135 0,4359 0,1376 0,0129 1-var-stats L1, L2: x 0,75

15. Maak eventueel een kansboom met telkens 2 takken: wit – geen wit

9 8 7 5 4 9 14 13 12 14 13 12 5 9 8 5 4 3 14 13 12 14 13 12 ( 0) 0,2308 ( 2) 3 0,2473 ( 1) 3 0,4945 ( 3) 0,0275 ( ) 0 0,2308 1 0,4945 2 0,2473 3 0,0275 1,07 P W P W P W P W E W                                16. a. 1 1 1 1 2 4 4 ( ) 1 2 3 1,75 E X        en 1 1 1 1 2 4 4 4 4 ( ) 1 2 3 4 2,5 E X          b. c. 1 3 1 1 1 1 8 16 4 4 8 16 ( ) 2 3 4 5 6 7 4,25 E S              d. E X( 1)E X( 2) 1,75 2,5 4,25 E(S)    17. a. b. E D( ) 3,5 en E V( ) 2,5 c. E S( )E D( ) E(V) 6  d. F     D D D D D E F( )E D( )E D( ) ... E D( ) 5 E D( ) 17,5 X 0 1 2 3 4 U 0 10 20 40 80 kans 1 4 1 2 16 ( )  1 4 1 2 4 4 ( )  1 4 3 2 8 6 ( )  1 4 1 2 4 4 ( )  1 4 1 2 16 ( )  S 2 3 4 5 6 7 kan s 21 14 18 21   14 41 14 163 12     41 14 41 14 41 41 14 14   14 14 14 18 161 D 1 2 3 4 5 6 V 1 2 3 4 kans 1 6 16 61 16 16 61 kan_s 14 14 41 14

(4)

18. a. b. 1 6 30 63 100 100 100 100 ( ) 48 8 0 2 0,30 E W           c. 50 20 0,30 € 44,     19. a. 1 6 (2) P  b. 1 3 5 3 6 6 (222 ) ( ) ( ) 0,0027 P nnn    c. punt (3, 3)

d. Er zijn 20 routes van (0, 0) naar (3, 3) e. P X( 3) 20 0,0027 0,0536  

20.

a. n5 en 1 2

p .

b. niet binomiaal: de kansen blijven niet gelijk c. n20 en p0,25.

21.

a. n12 en p0,75

b. De kans op 7 genezen en 5 genezen niet is _{0,75 0,25}7_ 5

Het aantal routes van (0, 0) naar (7, 5) is 12 7       Dus ( 7) 12 0,75 0,257 5 0,1032 7 P X  _ _     c. ( 10) 12 0,7510 0,252 0,2323 10 P X  _ _     22. 1 1 2 4 3 3 5 ( 1) ( ) ( ) 0,3292 1 P X   _{ }     3 2 1 2 3 3 5 ( 3) ( ) ( ) 0,1646 3 P X   _{ }     23. a. X is Bin(6, 0.16) verdeeld. b. ( 3) 6 0,16 0,843 3 0,0486 3 P X   _{ }     4 2 6 ( 4) 0,16 0,84 0,0069 4 P X   _{ }     24. P X( 3)binompdf(6, 0.16, 3) ( 4) (6, 0.16, 4) P X  binompdf X 50 10 2 0 W 48 8 0 -2 kans 1 100 1006 10030 10063 Binomiale verdeling: X: aantal successen.

n: aantal herhalingen, p: succeskans P(X  k) _{binompdf(n, p, k)}

P(X  k) _{binomcdf(n, p, k)}

binompdf: 2nd_{vars (}_distr_{) optie A}

(5)

25. a. n240 en p0,15 b. ( 30) 240 0,1530 0,85210 0,0419 30 P K  _ _     c. 15% van 240 is 36 ( 36) 240 0,1536 0,85204 0,0719 36 P K  _ _     d. P X( 30)binompdf(240, 0.15, 30) 0,0719 ( 36) (240, 0.15, 36) 0,0719 P X  binompdf  26.

a. Hij heeft 10 keer met de dobbelsteen gegooid. b. De kans op een zes is nu 2 4

3  6. De dobbelsteen heeft 4 vlakken met 6 ogen. 27. a. P X( 2)binompdf(6, 0.25, 2) 0,2966 b. _{P X}₍ _₂₎__{P X}₍ _₀₎__{P X}₍ _{ }₁₎ _{P X}₍ __{2) 0,75}_ 6_{ }_{6 0,25 0,75}_ 5__{0,2966 0,8306}_ 28. a. P X( 0)binompdf(10, 0.25, 0) 0,0563 ( 1) (10, 0.25, 1) 0,1877 ( 2) (10, 0.25, 2) 0,2816 ( 3) (10, 0.25, 3) 0,2503 P X binompdf P X binompdf P X binompdf          b. P X( 3) 0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,7759     c. P X( 5) 0,9803 en P X( 5) 0,9219 d. P X( 5)P X( 4) 0,0584 P X( 5) e. Tja, .. dat is zo!

f. P X( 3) 1 P X( 2) 1 0,5256 0,4744  

g. De verschillen zitten in de vijfde of zesde decimaal.

h. Hoogstens 10 zijn alle mogelijke uitkomsten. De som van alle kansen is gelijk aan 1

29. a. P X( 2)binomcdf(6, 0.20, 2) 0,9011 b. P tenminste boetes( 3 ) P(X 3) 1   P X( 2) 0,0989 c. _{P tenminste boete}₍ ₁ ₎__{P X}₍ _{  }_{1) 1} _{P X}₍ __{0) 1 0,80}_{ } 6 __0,7379 30. P X( 5)binomcdf(18, 0.35, 5) 0,3550 ( 10) (18, 0.35, 10) 0,9788 ( 7) (18, 0.35, 7) 0,7283 ( 14) 1 ( 13) 1 (18, 0.35, 13) 0,00026 P X binomcdf P X binomcdf P X P X binomcdf              31. a. X 7: 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6 ( 7) ( 6) (10, 0.4, 6) 0,9452 P X  P X  binomcdf  b. X 5: 6, 7, 8, …, 10 ( 5) 1 ( 5) 1 (10, 0.4, 5) 0,1662 P X   P X   binomcdf 

(6)

c. 2 X 7: 2, 3, 4, 5, 6 en 7

(2 7) (10, 0.4, 7) (10, 0.4,1) 0,9413

P  X  binomcdf binomcdf  d. X 5: die doen we natuurlijk met binompdf:

( 5) (10, 0.4, 5) 0,2007 P X  binompdf  32. a. n50 en p0,30 b./c. 11 X 19: 12, 13, 14, …, 18 P(11 X 19)P X( 18)P X( 11) 0,7204 d. P X( 15) 1 P X( 15) 0,4308 33. a. P X( 22)P X( 21)binomcdf(42, 0.55, 21) 0,3087 b. P X( 23) 1 P X( 22) 1 binomcdf(42, 0.55, 22) 0,5756 c. P(17 X 25)P X( 24)P X( 17) binomcdf(42, 0.55, 24)binomcdf(42, 0.55, 17) 0,6246 d. P(16 X 22)P X( 22)P X( 16) binomcdf(42, 0.55, 22)binomcdf(42, 0.55, 16) 0,4039 e. P X( 30) 1 P X( 30) 1 binomcdf(42, 0.55, 30) 0,0096 f. P(21 X 35)P X( 34)P X( 20) binomcdf(42, 0.55, 34)binomcdf(42, 0.55, 20) 0,7903 34.

a. X: aantal treffers, n10 en p0,80 P X( 4)binompdf(10, 0.80, 4) 0,0055 b. P X( 7)binomcdf(10, 0.80, 7) 0,3222

c. Y: aantal missers, n10 en p0,20 P Y( 2) 1 P Y(  1) 0,6242 d. 5, 6 of 7 treffers P(5 X 8)P X( 7)P X( 4) 0,3158

e. In de laatste 8 worpen moeten minstens 5 missers zijn:

( 5) 1 ( 4) 1 (8, 0.20, 4) 0,0104 P Y   P Y   binomcdf  ( 5 ) 0,80 0,80 0,0104 0,0067 P RR en dan minstens M     35. a.

b. Naarmate de steekproef kleiner wordt ten opzichte van de totale populatie maakt het niet uit of je trekt met teruglegging of zonder teruglegging.

36.

a. Hij trekt natuurlijk zonder terugleggen.

b. De steekproef (100) is klein ten opzichte van de partij (10000) 100

n en p0,20

c. P X( 22)P X( 21)binomcdf(100, 0.20, 21) 0,6540 d. P X( 15) 1 P X( 15) 1 binomcdf(100, 0.20,15) 0,8715

vaas aantal ballen P(X  2)

rood wit met terugleggen zonder terugleggen

1 4 6 0,288 4 3 6 10 9 8 3   0,3 2 40 60 0,288 40 39 60 100 99 98 3   0,289 3 400 600 0,288 400 399 600 1000 999 998 3   0,288

(7)

37.

a. Een scooter is opgevoerd of niet. X is het aantal scooters dat is opgevoerd; 5

n  en p0,40

b. Je mag 0,40 5 2  opgevoerde scooters verwachten. c. Voer in: y1binompdf(5, 0.40, )x en kijk in de tabel:

d. E X( ) 0 0,0778 1 0,2592 ... 5 0,0102 2        Er is overeenstemming.

38.

a. n8 en p0,25

b. Naar verwachting is 1 van de 4 goed. Dus je mag twee goede antwoorden verwachten. c. y1binompdf(8, 0.25, )x d. E X( ) 0 0,1001 1 0,2670 2 0,3115 ... 8 0,000015 2          39. a. 10 1 4 2 2 2 212 12 15 60 60 0,25        _ _

b. n 20 en p0,25. Ze mag dus 20 0,25 5  keer verwachten dat de overgang gesloten is.

c. P X( 2) 1 P X( 2) 0,9087 . Dus Jenmar heeft gelijk.

40.

a. E 0,85 28 23,8  Zo’n 24 studenten zullen het eerste jaar niet halen. b. X: aantal geslaagden, n28 en p0,15

( 4) (28, 0.15, 4) 0,2097 P X  binompdf 

c. P(2,8 X 5,6)P X( 5)P X( 2) 0,5775

41.

a. Het aantal keren dat je de trekking moet herhalen is onbekend.

b. 4 2 8 6 5 30 ( 2) ( ) P X  P WR    c. d. 5 4 3 2 1 35 1 15 15 15 15 15 15 3 1         2 3 4 5 2 e. 4 2 6 6 6 27 ( 2) P X     en 4 4 4 4 2 6 6 6 6 6 ( 5) 0,0658 P X        f. 4 1 2 6 6 ( ) ( )a 0,01 P X _a _  _{ } Voer in: 4 1 2 1 ( )6 6 x y    en y2 0,01 intersect: x 9,6

Voor a10 is de kans kleiner dan 0,01.

42. a. 2 2 1 5 5 5 ( ) 10 20 50 22 E A        en 1 1 1 1 4 4 4 4 ( ) 10 20 30 40 25 E B          b. 2 1 2 1 1 5 4 5 4 5 ( 40) ((10, 30) (20, 20)) P T  P      c. E T( )E A B(  )E A( )E B( ) 22 25 47   x 0 1 2 3 4 5 kan s 0,0778 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,0102 X 1 2 3 4 5 kans 2 5 6 15 46 52 154 64  53 24 153 64   35 24 23 152 64   35 24 13 151

(8)

43.

a.

b. De te verwachten kosten: 25 0,128 37,50 0,60 82,50 0,272 € 48,14      c. In 0,40 0,32 7800 998   gevallen geen reparatie.

44.

a.

b. Het te verwachten aantal keer is 1 0,3426 2 0,3089 ... 5 0,0495 2,23       c. De te verwachten kosten zijn:

1000 0,3426 1320 0,3089 ... 2080 0,0495 €1362,        d. 332 klanten. 156 332 (2 ) 100 47% P e keer wel    en 87 332 (3 ) 100 26% P e keer wel    e.

f. De te verwachten kosten zijn:

1320 0,47 1600 0,26 1840 0,19 2080 0,08 €1552,        

45.

a. X is het aantal schuiven dat weigert.

X is binomiaal verdeeld met n62 en p0,01 b. Ja, anders zou de kans op weigering niet 0,01 zijn. c. _{P X}₍ __{0) 0,99}_ 62 __0,5363 d. P X(   1) 1 P X( 0) 0,4637 46. a. 0,8% van 1500 is 12. ( 12) (1500, 0.008,12) 0,1148 P X  binompdf  b. P X( 2) 1 P X(   1) 1 binomcdf(50, 0.008, 1) 0,0609 c. P X( 2) 1 P X( 2) 1 binomcdf(15, 0.0609, 2) 0,0593 47.

a. X is het aantal enveloppen met een waardebon X is binomiaal verdeeld met n6 en p0,5

( 5) 1 ( 4) 1 (6, 0.50, 4) 0,1094

P X   P X   binomcdf  b. Voer in: y1 1 binomcdf x( , 0.50, 4)

Bij 16 enveloppen of meer is die kans groter dan 0,95 c. Je moet dan minstens € 320,- besteden

d. 2000 5 20 2 € 400 000    (omdat gemiddeld elke twee enveloppen een waardebon oplevert.)

Er zullen ook bestedingen gedaan zijn onder de € 20,- en die leveren geen waardebon op.

koste n 25 37,50 82,50 kans 0,40 0,32 0,128  0,60 0,40 0,68 0,272  aantal keer 1 2 3 4 5 kans 0,3426 0,3089 0,1723 0,1267 0,0495 som = 1 aantal examens na de 1e keer 1 2 3 4 kans 0,47 0,26 0,19 0,08 aantal enveloppe n kans ( 5) P X  5 0,0313 6 0,1094 7 0,2266 8 0,3633 9 0,5 10 0,6231 … … 15 0,9407 16 0,9616

(9)

Alle bestedingen tot € 40,- leveren slechts één waardebon op, etc. Dus hij zal een hogere omzet hebben.

(10)

T-1.

a. A kan de waarden 0, 1, 2, 3, 4 en 5 aannemen

b. 5 5 6 ( 0) ( ) 0,4019 P A   en 1 5 6 ( 5) ( ) 0,00013 P A   c. 1 4 5 6 6 ( 4) 5 ( ) 0,003215 P A     T-2. a. b. c. 1 2 1 2 1 3 1 2 5 10 4 3 3 4 4 3 72 144 ( 1) (01 10) ( ) 2 2 ( ) P T  P of           d. 1 2 1 2 1 4 3 144 ( 0) ( ) ( ) P T     2 2 2 2 3 1 3 1 2 1 1 2 37 4 3 4 4 3 3 4 3 144 2 2 3 1 2 3 1 2 60 4 3 3 4 4 3 144 2 2 3 2 36 4 3 144 ( 2) (20, 11 02) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( 3) (21 12) ( ) 2 2 ( ) ( 4) ( ) ( ) P T P of P T P of P T                             T-3. a. b. E A( ) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 2,5         c. E T( ) 10 E A( ) 25 d. 1 1 1 3 3 3 ( ) 1 2 3 2 E B        E som( )E A( )E B( ) 4,5 T-4. a./b. ( 3) 20 0,03 0,973 17 0,0183 3 P X  _ _    

c. 20% van de reizigers, dat zijn er 4: ( 4) 20 0,03 0,974 16 0,0024 4 P X  _ _     T-5. a. 165 300 ( 14) ( 13) (30, ,13) 0,1356 P X  P X  binomcdf  b. 165 300 ( 18) 1 ( 18) 1 (30, ,18) 0,2327 P X   P X   binomcdf  c. 165 300 ( 20) 1 ( 19) (30, , 19) 0,1350 P X   P X  binomcdf  d. P(21 X 28)P X( 27)P X( 20) 0,0694 T-6.

a. Het is een trekking zonder terugleggen, dus de kansen veranderen.

b. De steekproef (10) is klein ten opzichte van de populatie (500). De kansen veranderen daardoor wel, maar niet zo veel.

c. 60 500 ( ) 10 1,2 E X    d. 440 10 500 ( 1) 1 ( 0) 1 ( ) 0,7215 P X   P X     K 0 1 2 3 kan s 3 1 4 ( ) 0,0156 3 1 2 4 4 3 ( ) 0,1406 3 2 1 4 4 3 ( )  0,4219 3 3 4 ( ) 0,4219 S 0 1 2 kan s 14 31 121 41   23 34 31 125 34 32 126 A 1 2 3 4 kans 0,25 0,25 0,25 0,25

(11)

T-7.

a. P X( 3)binomcdf(500, 0.007, 3) 0,5363

b. P(8 X 11)binomcdf(1500, 0.007,11)binomcdf(1500, 0.007, 7) 0,4614 c. E onbruikbaar( ) 2000 0,007 500 0,012 20    

T-8.

a. E X( ) 50 0,15 7,5   Je mag 7 à 8 tegenstanders verwachten. b. P X( 10) 1 P X( 10) 1 binomcdf(50, 0.15,10) 0,1199

( 13) 1 ( 13) 1 (50, 0.15,13) 0,0132

P X   P X   binomcdf  c. Je verwacht er 7 of 8, geen 16!

d. P X( a) 1 P X( a) 1 binomcdf(100, 0.15, ) 0,10a 

Voer in: y1 1 binomcdf(100, 0.15, )x en kijk in de tabel: x 19

In de groep van 100 docenten zijn er 19 tegenstanders: 19% dus. Dat is al veel aannemelijker dat de minister gelijk heeft.