Hoofdstuk 3:
Stochasten
1.a. Bij elk van de 6 mogelijke uitkomsten van de rode dobbelsteen zijn er 6 mogelijke uitkomsten van de witte dobbelsteen. In totaal dus 6 6 36 mogelijke uitkomsten. b. Het verschil kan zijn: 0, 1, 2, 3, 4 of 5.
2.
a. zie de tabel hiernaast voor de mogelijke uitkomsten.
b. Er zijn vier uitkomsten bij X 12. En 13 uitkomsten bij X 12. 3.
a. Je hebt nu 6 6 6 216 verschillende uitkomsten.
b. X kan de waarden 3, 4, 5, …, 18 aannemen.
c. Er horen 10 uitkomsten bij X 15: 366 636 663 456 465 546 564 645 654 555
4.
a. uitkomstenruimte: bb bg gb gg
b. uitkomstenruimte: rijtjes van 10 met k en m. Er zijn 210 1024 verschillende
uitkomsten.
c. uitkomstenruimte: rijtjes van 4 kleuren met keuze uit r, o en g. Er zijn 34 81
verschillende uitkomsten 5.
a. L: 0, 1, 2, …, 100 b. kleinste verschil is 0.
c. T kan veel meer waarden aannemen. d.
-6.
a. Nee, niet elk nummer komt voor. e. Ja, discreet/continu
b. Ja, en de oppervlakte is continu. f. Ja, het aantal is geheel dus discreet. c. Nee, de naam is geen getal g. Ja, wachttijd in min, sec.: discreet. d. Ja, de uitkomst is 0 of 1 dus discreet h. Nee, B is niet willekeurig
7.
a. 3 uit 52 kiezen en de volgorde is niet van belang: 52 22 100 3 b. 3 2 1 52 51 50 ( 3, 2, 5) 0,000045 P r k h c. 10-10-10: 16 560 3 mogelijke drietallen 11-10-9: 4 16 4 256 mogelijkheden 11-11-8: 4 4 24 2 mogelijkheden. In totaal zijn er 840 mogelijke uitkomsten.
steen 1 x 1 2 3 4 5 6 st e e n 2 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 3 3 6 9 12 15 18 4 4 8 12 16 20 24 5 5 10 15 20 25 30 6 6 12 18 24 30 36
8.
a. X kan de waarden 0 t/m 5 aannemen.
b. 5 36 ( 2) P X c. 9.
a. Het aantal harten kan 0, 1, 2, 3 of 4 zijn.
b. 39 38 37 36 52 51 50 49 ( 0) 0,3038 P X 13 39 38 37 52 51 50 49 13 12 39 38 52 51 50 49 13 12 11 37 52 51 50 49 13 12 11 10 52 51 50 49 ( 1) 4 0,4388 ( 2) 6 0,2135 ( 3) 4 0,0412 ( 4) 0,0026 P X P X P X P X
c. Omdat dit alle mogelijke uitkomsten zijn. 10.
a. 6 personen kunnen op 6! 720 verschillende manieren op een rij zitten. ABxxxx xABxxxx xxABxx xxxABx xxxxAB: 2 5 4! 240 mogelijkheden waarbij er 0 personen tussen A en B zitten.
AxBxxx xAxBxx xxAxBx xxxAxB: 2 4 4! 192 verschillende rijtjes waarbij er één persoon tussen A en B zit.
AxxBxx xAxxBx xxAxxB: 2 3 4! 144 rijtjes met twee personen tussen A en B AxxxBx xAxxxB: 2 2 4! 96 rijtjes met drie personen tussen A en B
En 2 4! 48 rijtjes met 4 personen tussen A en B.
b. Ja. 11. a. 1 3 1 3 2 1 2 2 8 4 ( 3) ( ) ( ) ( ) P A P XXX of YYY b. 1 4 3 2 8 ( 4) ( ) 2 3 ( )
P A P XXYX of XYXX of YXXX
( 5) ( )
P A P XYYXX of XYXYX of XXYYX of YYXXX of YXYXX of YXXYX
1 5 3 2 8 2 6 ( ) 12. 13. a. (1 2 3 4 5 6) : 6 3,5 b. 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 1 2 3 4 5 6 3,5 14. a. Ja. b. 199 1 200 200 2 248 0,75 aantal 0 1 2 3 4 5 kans 11 36 363 365 369 366 362 Aantal personen 0 1 2 3 4 kans 240 720 192720 144720 72096 72048 Lisa |J L | 1 2 3 4 Ja n 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 A 0 1 2 3 4 5 kan s 244 247 246 244 242 241
15. a. 39 38 37 52 51 50 ( 0) 0,4135 P X 13 39 38 52 51 50 13 12 39 52 51 50 13 12 11 52 51 50 ( 1) 3 0,4359 ( 2) 3 0,1376 ( 3) 0,0129 P X P X P X ( ) 0 0,4135 1 0,4359 2 0,1376 3 0,0129 0,75 E X b. Voer in L1: 0 1 2 3 en L2: 0,4135 0,4359 0,1376 0,0129 1-var stats L1, L2: x 0,75 16. a. b. De verwachte winst is 48 0,01 8 0,06 0 0,30 2 0,63 0,30 c. Nee, per spel mag je 30 cent verlies verwachten.
17. a. 2 1 1 3 3 3 ( ) 10 20 13 E X en 1 1 1 3 2 4 4 4 ( ) 1 2 3 1 E Y 5 1 1 1 1 12 4 12 4 12 ( ) 11 12 21 23 15 E Z b. 1 1 3 12 3 4 ( ) ( ) 15 13 1 ( ) ( ) E Z E X Y E X E Y 18. a. 1 2 2 2 2 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 12 ( ) 1 2 3 4 6 8 9 12 5 E X b. 1 2 3 2 1 1 12 12 12 12 12 2 ( ) 2 1 1 2 3 E Y 1 2 ( ) 5 E X Y 19. a. P X( 2)P AA of BB( )p2 (1 p)2 p2 1 2p p 2 2p2 2p1 b. P X( 3) 1 P X( 2) 1 (2 p22p 1) 2p22p 2 2 2 ( ) 2 (2 2 1) 3 ( 2 2 ) 2 2 2 E X p p p p p p c. 2p22p 2 2,42 2 2 2 2 0,42 0 2( 0,21) 2( 0,3)( 0,7) 0 0,3 0,7 p p p p p p p p
De kans dat B een set wint is 0,3 of 0,7. 20. a. Voer in: L1 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en in L2: 1, 5, 8, 19, 14, 7, 4, 1 1-Var Stats L1, L2: ak 6,4 En voor wiskunde: wb6,1 wins t 48 8 0 -2 kans 0,01 0,06 0,30 0,63 rechter tol x 1 2 3 lin ke r to l 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 4 4 8 12 X 1 2 3 4 6 8 9 12 kan s 121 122 122 122 122 121 121 121 rechter tol l-r 1 2 3 lin ke r to l 1 0 -1 -2 2 1 0 -1 3 2 1 0 4 3 2 1
b. ak: aantal leerlingen lager dan 4,4 en hoger dan een 8,4: 11 59100 18,6%
wb: aantal leerlingen lager dan 4,1 en hoger dan een 8,1: 21 21
62100 33,9%
c. De cijfers voor wiskunde B liggen veel meer gespreid. 21.
a. De grootste en kleinste waarneming kunnen uitschieters zijn.
b. Y: -4,4 -3,4 -2,4 -1,4 -0,4 0,6 1,6 2,6 3,6 E Y( ) 0,035 Z: 4,4 3,4 2,4 1,4 0,4 0,6 1,6 2,6 3,6 E Z( ) 1,60
c. Als het goed is heffen de negatieve uitwijkingen tot het gemiddelde de positieve uitwijkingen op. d. E Y( 2) 4,126 22. Voer in: L1 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 en in L2: 1, 5, 8, 19, 14, 7, 4, 1 1-Var Stats L1, L2: ak 1,438 2 ( ) 1,438 2,07 Var ak 23. ak 1,438 en wi 2,03 24.
a. Ja, zo doe je dat altijd!!
b. ak: aantal leerlingen lager dan 4,95 en hoger dan 7,83: 18 18
59100 30,5%
wi: aantal leerlingen lager dan 4,03 en hoger dan 8,09: 21 21
62100 33,9%
25.
a. aantal pakjes met een ondergewicht: 3 4 ... 11 41 . Dat is 41
110100 37,3% b. Voer in: L1: 99.4 99,5 … 100.7 en in L2: 3, 4, 6, …, 3, 1 1-Var Stats L1, L2: G100,03 en G 0,298 c. 99,73 ; 100,33 :9 11 14 15 13 10 100 65,5% 110
d. Het gemiddelde wordt dan ook 0,5 gram lager: G99,53. De standaardafwijking blijft gelijk.
e. L1: 98,9 99,0 … 100.2 en L2 blijft hetzelfde. 26.
a./b. Voer in: L1: 98 99 100 101 102 103 en in L2: 4 9 175 8 3 1 1-Var Stats L1, L2: x 100 en x 0,52 c. 4 200 ( 98) 0,02 P X , 9 200 ( 99) 0,045 P X etc. d. E X( ) 98 0,020 99 0,045 ... 103 0,005 100 27. a./b. Nee! c. zie vraag 26b.
28. a. 1 4 1 2 16 ( 0) ( ) P A 3 1 1 1 2 2 4 2 2 3 1 1 2 2 8 3 1 1 1 2 2 4 4 1 1 2 16 ( 1) 4 ( ) ( 2) 6 ( ) ( ) ( 3) 4 ( ) ( 4) ( ) P A P A P A P A b./c. Voer in: L1: 0 1 2 3 4 en in L2: 161 , 41, 38 , 14, 161 1-Var Stats L1, L2: x 2 en x 1 29. 1 2 1 1 5 4 11 2 8 7 2 8 7 56 ( 0) P A 6 3 5 1 2 1 27 2 8 7 2 8 7 56 6 5 3 18 1 1 2 2 8 7 2 8 7 56 ( 1) 2 2 ( 2) P A P A A1,125 en A 0,709 30. 1 2 ( 1) ( ) P X P k 1 1 1 2 2 4 1 1 1 2 2 4 ( 2) ( ) ( 3) ( ) 1 P X P mk P X P mmk of mmm X 1,75 en X 0,829 31.
a. X is het aantal winkelwagentjes
3 2 2 3 ( 0) 0,85 0,6141 ( 1) 3 0,15 0,85 0,3251 ( 2) 3 0,15 0,85 0,0574 ( 3) 0,15 0,0034 P X P X P X P X ( ) 10 0,3251 50 0,0574 100 0,0034 € 6,46 E X b. SD X( ) €12,97
32. Dit is leerlingpesterij en nergens goed voor. Hier maak je geen vrienden mee.
33.
a. D S 100
b. De verwachtingswaarde zal ook 100 hoger liggen: E D( )E S( ) 100 € 2600, c. Er gebeurt niets met de spreiding van de maandsalarissen: SD D( )SD S( ) d.
e. D1,03S
f. Het gemiddelde en de standaardafwijking gaat met 3% omhoog: ( ) 1,03 ( ) €1957,
E D E S en SD D( ) 1,03 SD S( ) €180,25 34. E F( )E(1,8 C 32)E(1,8C) 32 1,8 E C( ) 32 77
( ) (1,8 32) (1,8 ) 1,8 ( ) 4,68
35. En nog een keer: dit is leerlingpesterij en nergens goed voor. Hier maak je geen vrienden mee. 1 1 ( ) n ( k ) ( k) n ( k ( k) ( k)) k k E X c x c P X x x P X x c P X x
1 1 ( ) ( ) ( ) n n k k k k k x P X x c P X x E X c
omdat 1 ( ) 1 n k k P X x
( ) c ( )E c X E X gaat op analoge wijze.
36. a.
b. P X( x Y y)P X( x P Y) ( y)
De stochasten zijn onafhankelijk 37.
a. X1 en X2 zijn onafhankelijke stochasten. b. 1 ( ) 1,75 E X en SD X( 1) 0,83 E X( 2) 2,5 en SD X( 2) 1,12 c. d. E X( 1X2) 4,25 en SD X( 1X2) 1,39 e. E X( 1X2) 4,25 1,75 2,5 E X( 1)E X( 2)
f. Ja, dat is natuurlijk zo.
g. Var X( 1X2)Var X( 1)Var X( 2)
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SD X X SD X SD X SD X X SD X X SD X SD X 38. E Z( )E X(3 4 )Y E X(3 )E Y(4 ) 3 E X( ) 4 E Y( ) 147 2 2 2 2 ( ) (3 4 ) (3 ) (4 ) 9 ( ) 16 ( ) 12,09 SD Z SD X Y SD X SD Y SD X SD Y 39. a. E X Y( )E X( Y)E X( )E Y( )E X( ) 1 ( )E Y E X( )E Y( ) b. -c. SD X Y( )SD X( Y) SD X2( )SD2(Y) SD X2( ) ( SD Y( ))2 SD X2( )SD Y2( ) 40.
a. De resultaten van een worp is niet afhankelijk van de uitkomst van de worpen ervoor. b. E K( )E W W( ... W)E W( )E W( ) ... E W( ) 10 E W( ) 1 1 2 2 10 (0 1 ) 5 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ... W) ( ) ... ( ) ( ) ... ( ) SD K SD W W SD W SD W 2 1 2 10 ( ) 2,5 1,58 y x 0 1 som 4 2 1 1 6 2 6 46 12 13 21 5 2 1 1 6 2 6 46 12 13 21 som 1 3 32 1 X1 1 2 3 kans 1 2 41 14 X2 1 2 3 4 kans 1 4 14 14 41 X1+X2 2 3 4 5 6 7 kans 1 8 163 41 41 81 161
41. a. E X( i) 3,5 en SD X( i) 1,71 b. E S( )E X( 1X2 ... X10) E( X1) E( X2) ... E X( 10) 10 3,5 35 c. 2 2 2 2 2 1 2 10 ( ) ( ) ( ) ... ( ) 10 ( ) 10 ( ) SD S SD X SD X SD X SD X SD X 10 SD X( ) 5,41
d. De verwachtingswaarde van S is 10 keer zo groot als die van X en de SD van S is 10 keer zo groot als de SD van X.
42. a. 5 36 ( 4) (26, 35, 44, 53, 62) P X P b. c. E X( ) 3,5 en SD X( ) 1,21 d. E X( ) E(X) en ( ) ( ) 2 SD X SD X 43. a. E S( )E U( )1 E U( 2) ... E U( 5) 5 23,75 118,75 ( ) 5 ( ) 5 32,19 71,98 SD S SD U b. E G( )E U( ) 23,75 en ( ) ( ) 14,40 5 SD U SD G 44. a. E T( ) 10 E X( ) 2500 gr en SD T( ) 10SD X( ) 7,91 gr. b. E X( )E X( ) 250 en ( ) ( ) 0,79 10 SD X SD X 45. a. 3 2 1 5 4 3 ( 1) ( ) 3 0,3 P X P oee b. 3 2 2 5 4 3 ( 2) ( ) 3 0,6 P X P ooe 3 2 1 5 4 3 ( 3) ( ) 0,1 P X P ooo c. E X( ) 1,8 en SD X( ) 0,6 d. E T( ) 20 E X( ) 36 en E G( )E X( ) 1,8 ( ) 20 ( ) 2,68 SD T SD X en ( ) ( ) 0,13 20 SD X SD G 46. a. E T( ) 25 4 100 uur en SD T( ) 25 10 50 minuten b. SD G( ) 1025 2 minuten steen 1 x 1 2 3 4 5 6 st e e n 2 1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 2 1,5 2 2,5 3 3,5 4 3 2 2,5 3 3,5 4 4,5 4 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 kan s 361 362 363 364 365 366 365 4,5 5 5,5 6 4 36 363 362 361
c. SD T( ) n10 60 6 36 n n
Dan moet je 36 kaarsen in een doos doen. 47. a. b. Bijvoorbeeld: 1 36 ( 1 1) P(12) P X en V en 1 10 5 6 36 108 ( 1) ( 1) P X P V dus X en V zijn niet onafhankelijk.
c. Voer in L1: 0, 1, 2, 3, 4 en 5 en in L2: 366 , 1036, 368 , 366 , 364 en 362 1-Var Stats L1, L2: v 1,94 en SD v( ) 1,43 d. SD W( ) 1n1,43 0,5 2,86 8,18 n n
Ze moeten minstens 9 worpen doen. 48.
a. Voor n vragen kun je 9 punten scoren. Dat is 9
n punt per vraag. En 1 punt als startpunt.
b. 3 4 ( 0) P S en 1 4 ( 1) P S ( ) 0,25 E S en SD S( ) 0,43 c. E S( n) n E S( ) 9 9 ( n) (1 n n) 1 n ( n) 1 9 ( ) E C E S E S E S d. SD S( n) n SD S ( ) 0,43 n 9 9 9 9 ( ) (1 ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n SD C SD S SD S n SD S SD S e. f. 49. a. 1 1 1 3 3 3 ( ) 0 18 24 14 E X en 1 1 1 2 4 4 ( ) 0 18 42 15 E Y b. ( ) 10,20X en ( ) 17,23Y .
c. De uitkomsten van schijf 1 en 2 zijn onafhankelijk, dus: E X Y( )E X( )E Y( ) 31
en SD X Y( ) SD X2( )SD Y2( ) 10,20217,232 20,02
d. De speler verwacht per spel €1,- te verliezen. Hij kan het spel dus 40 keer spelen.
X 0 18 24 Y 0 18 42 kans 1 3 31 13 kans 12 14 14 V 0 1 2 3 4 5 kan s 366 1036 368 366 364 362 aantal vragen 10 20 30 40 E(S) 1 2 2 5 1 2 7 10 E(C) 1 4 3 1 4 3 1 4 3 1 4 3 aantal vragen 10 20 30 40 SD(S ) 1,369 1,936 2,372 2,739 SD(C 1,232 0,871 0,711 0,616
50.
a. Bij toenemende waarden van d (grotere afwijkingen), neemt de kans af (de noemer, d2, wordt groter). b. E X( ) 7 en SD X( ) 2,42 2 2,42 4 36 5 (| 7 | 5) ( 1, 2 12) ( ) P X P X X of X
51. De som van de kansen is 1: 0,12 0,2 b 0,23 0,1 0,65 b 1 b0,35 ( ) 2 0,12 6 0,2 13 0,35 30 0,23 0,1 12,89 0,1 17,49 E X a a 0,1 4,6 46 a a T-1.
a. vijf gelijke (xxxxx): 6 uitkomsten
vier gelijke (xxxx -): 6 5 30 uitkomsten
drie gelijke (xxx - ~): 6 5 30 uitkomsten als de laatste twee gelijk zijn en
6 5 4
2 60
als de laatste twee verschillend zijn.
twee gelijke (xx - ~ .): 6 5 4
2 60
als er bij de overige drie twee gelijke zitten en
6 5 4 3
6 60
uitkomsten als de overige drie verschillend zijn.
alle verschillend: 6 mogelijke uitkomsten (steeds 1 cijfer ontbreekt) In totaal: 6 30 90 120 6 252 verschillende uitkomsten b. A kan de waarden 1 t/m 5 aannemen.
c. 5 5 6 ( 0) ( ) 0,4019 P A en 1 5 6 ( 5) ( ) 0,000129 P A d. 1 3 5 2 6 6 5 ( 3) ( ) ( ) 0,03215 3 P A T-2. a. b. 3 1 1 2 1 2 2 1 5 4 4 3 4 3 3 72 ( 1) (10 01) 2 ( ) ( ) 2 P T P of c. 1 2 1 2 1 4 3 144 ( 0) ( ) ( ) P T 2 2 2 2 3 1 3 1 2 1 1 2 37 4 3 4 4 3 3 4 3 144 ( 2) (20, 11, 02) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) P T P of K 0 1 2 3 kans 1 3 4 ( ) 0,0156 3 1 2 4 4 3 ( ) 0,1406 3 2 1 4 4 3 ( ) 0,4219 3 3 4 ( ) 0,4219
4 3 3 4 4 3 12 2 2 3 2 1 4 3 4 ( 3) (21 12) ( ) 2 2 ( ) ( 4) (22) ( ) ( ) P T P of P T P T-3. a. E X( ) 1 0,40 2 0,30 3 0,10 4 0,10 5 0,10 2,2 b. E K( ) 1200 0,40 1700 0,30 2000 0,10 2200 0,10 2400 0,10 1650 euro T-4. a. Voer in L1: 45 55 65 75 85 95 105, in L2: 0 25 116 49 4 1 0 en in L3: 2 2 29 123 41 9 3 1-Var Stats L1, L2 : tm 66,8 en m 6,9 1-Var Stats L1, L3 : tj 76,4 en j 8,6
b. Meisjes hebben gemiddeld een smallere taille en de tailles liggen ook dichter bij elkaar (de spreiding is kleiner).
T-5. a. P X( 40) 0,15 0,09 0,03 0,01 0,28 b. E(X) 35 0,02 36 0,07 ... 43 0,03 44 0,01 39,3 c. SD X( ) 1,94 T-6. ( ) 14 ( ) 6,41 E X SD X T-7. a. E Z( )E X(4 7)E X(4 ) 7 4 E X( ) 7 57 ( ) (4 7) (4 ) 4 ( ) 12 SD Z SD X SD X SD X b. E S( )E X Y(2 )E X(2 )E Y( ) 2 E X( )E Y( ) 13 2 2 2 2 ( ) (2 ) (2 ) ( ) 4 ( ) ( ) 52 SD S SD X Y SD X SD Y SD X SD Y T-8. a. E T( ) 10 2 20 uur en SD T( ) 10 0,25 0,79 uur b. E D( ) 2 uur en 0,25 10 ( ) 0,079 SD D uur c. ( ) 0,25 0,05 n SD D 5 25 n n T-9. SD n Y( ) n SD Y ( ) n4,8 30,36 6,325 40 n n (40 ) 40 ( ) 844 E Y E Y E Y( ) 21,1 X 3 4 5 12 13 14 kan s 62 51 151 62 15 151 62 15 151 62 51 151 2 26 15 152 3 26 15 153 X 15 16 23 24 25 kan s 2 62 51 152 26 15 151 26 15 151 62 51 151 26 15 151
