Hoofdstuk 1 Lineaire en exponentiële formules

(1)

Hoofdstuk 1:

Lineaire en exponentiële formules

V-1

a. In een verhoudingstabel zijn de kruisproducten gelijk: ... 590 495,60 100   49560

590 ... 84

b. De prijs is met 16% verlaagd. c. Met 319 290 1,10 V-2 a. 1020 1200 0,85 1020870 0,85 740870 0,85 630740 0,85. Vermenigvuldigen met 0,85 b. in 2015: 630 0,85 536  en in 2016: 536 0,85 456  c. A200 Voer in: _y₁_1200 0,85_ x_en 2 200 y  intersect: x 11,02 Dus in 2022 waren er voor ’t eerst minder dan 200 konijnen.

V-3 a. 1332 1480 0,90 g   b. 125 105 1,19 g   c. 188 174 1,08 g   V-4 a. 110% b. Na één week: 25 1,10 27,5  kg. c. vermenigvuldigen met 1,10 d. _G__{25 1,10}_ 16 _₁₁₅_kg. V-5 a. g 1,125 d. g 0,80 b. g 1,08 e. g 0,987 c. g 1,003 f. g 0,9984 V-6

a. afname van 15% c. afname van 1% d. toename van 20,5% b. toename van 36% d. afname van 90% e. afname van 19,5%

V-7

a. Dan moet er twee keer met 1,5 vermenigvuldigd worden: _1,52 __2,25 b. g_{vier weken} 1,54 5,0625 c. 1,517 1,06 dag g   V-8 a. g_dag 0,9824 0,616 b. 1,6183 1,08 drie dagen g   V-9 a. g_maand 1,003 _1,00312 _1,0366 jaar g   toename van 3,7% b. g15uur 2 1 15 2 1,047 uur g   toename van 4,7%

c. gdag 0,90 gweek 0,907 0,478 afname van 52,2% p p% g 1 100 q q% g 1 100        

(2)

1

a. A: 5 2 3  8 5 3  14 8

2 3 23 143 3 per x-eenheid steeds 3 erbij b. B: 8 9,5  1,5 6,5 8  1,5 5 6,5  1,5 0,5 5

3 1,5

 _{ } _lineair

C: 12 36

2 12

 _{ } _{9 12}_ _{ }₃_{: geen lineair verband.}

2

a. dan neemt N toe met 133 109 24  toe. b. Als t met 10 toeneemt, neemt N met 24

6 4 toe. c.

d. N neemt met 0,4 toe als t met 1

toeneemt.

e. t 77 :N 109 7 0,4 111,8   142 : 133 12 0,4 137,8

t  N    

3

a. in 15 jaar afgenomen met 47 35 12 g   . b. Dat is met 12

150,80 g per jaar. c. in 2010: C47 0,80 11 38,2   g. d. in 2025: C47 0,80 26 26,2   g.

4

a. de grafiek is een rechte lijn.

b. dan neemt q toe met 38,6 17,8 20,8 

c. 20,8 26 0,8 a  d. (11, 17.8) invullen in q0,8 p b: 17,8 0,8 11 17,8 0,8 11 9 b b        e. q 0,8 p 9 5 A: y 3x1 B: y  1,5x15,5 6 a. 40 0,56  a 64 0,40 a

Voer in: y140 0,56 x en y2 64 0,40 x intersect: x 150 Bij 150 km zijn ze even duur

b. P1P210

Voer in: y140 0,56 x en y2 64 0,40 x10 intersect: x 212,5 km

7 a. TK_A 300 1000 0,16 € 460,    TK_A_ 338 1000 0,15 € 488,    430 1000 0,13 € 560, A TK _      b. 300 1,60 x 338 1,50 x 338 1,50 x 430 1,30 x 0,10 38 380 x x   0,20 92 460 x x  

Vanaf 380 kg wasgoed per jaar is het voordeliger om droger 2 aan te schaffen en

t 70 80 90 100 110 120 130

(3)

8 a. x0 : 5y 20 geeft y 4 b. y 0 : 6x 20 geeft 1 3 3 x c. Teken de punten (0, 4) en 1 3 (3 , 0)

d. 6x5y 20 is een lineaire vergelijking. De grafiek is een rechte lijn en er gaat precies één lijn door twee punten.

9

a. de formule staat niet in de vorm: y ax b . b. 5y  6x20

1,2 4

y   x

c. De grafiek is een rechte lijn met richtingscoëfficiënt -1,2 en startgetal (0, 4).

10 a. x0 : y 4 geeft y  4 0 : 3 4 y  x  geeft 1 3 1 x  (0, -4) en 1 3 (1 , 0) b. x0 : 3y 45 geeft y 15 0 : 5 45 y   x geeft x  9 (0, 15) en (-9, 0) c. x0 : 1,6y 4,8 geeft y 3 0 :1,2 4,8 y  x  geeft x 4 (0, 3) en (4, 0) d. x0 : 4 y 13 geeft 1 4 3 y   0 : 3 13 y  x  geeft 1 3 4 x  1 4 (0, 3 ) en 1 3 (4 , 0) 11 a. A(0, 4): 2 0 3 4 12    en B(6, 0): 2 6 3 0 12    klopt b. K(1, 2): 2 1 3 2 8    L(2, 1): 2 2 3 1 7    M(4, 1): 2 4 3 1 11    c. P(2, 3): 2 2 3 3 13    Q(4, 2): 2 4 3 2 14    R(6, 3): 2 6 3 3 21   

d. Voor alle punten die aan dezelfde kant van de lijn liggen als P, Q en R geldt: 2x3y 12

e. y  x 1 is de rechte lijn door de punten (0, -1) en (-1, 0)

(0, 0): 0 0 1  is niet waar

Dus de ongelijkheid geldt voor alle punten onder de lijn. 12 a. 2y 10 5x10 5 (0, 5) y  2 (2, 0) x

(4)

b. y 2 4x2 (0, 2) 1 2 x  1 2 ( , 0)

Voor (0, 0): 0 2 niet waar c. 0,03y 0,21 0,07x0,21 7 (0, 7) y    3 (3, 0) x Voor (0, 0): 0 0,21 voldoet d. 27y  243 81x  243 9 (0, 9) y    3 ( 3, 0) x   Voor (0, 0): 243 0 voldoet 13

a. minstens twee flessen cola: c2 minstens één fles sinas: s1

niet meer dan 7 euro uitgeven: 1,75c1,40s7

b. c 0 s0 1,40 7 5 s s   1,75 7 4 c c   c. (2, 1): 1,75 2 1,40 1 € 4,90    (2, 2): 1,75 2 1,40 2 € 6,30    (3, 1): 1,75 3 1,40 1 € 6,65   

Jet koopt 3 flessen cola en 1 fles sinas.

14

a. elk soort minstens twee: k 2 en g2

niet meet dan € 17,50: 2,50 k 3,50 g 17,50 b. 3,50 g 17,50 2,50 k 17,50

5

g  k 7

(0, 5) (7, 0)

c. Ze kan kiezen uit: (2, 2) (2, 3) (3, 2) (4, 2) Lisette koopt 4 broodjes kaas en 2 broodjes gezond. Ze betaalt 2,50 4 3,50 2 € 17,     15 A: 6 3 2 126 2 1224 2 4824 2 dus exponentieel B: 3888 5184 0,75 24163888 0,62 niet exponentieel C: 24 12 2 3624 1,5 niet exponentieel 16 a. g 1,05 b. _S _467 1,05_ t c. in 2025: _t __{10 :}_S__{467 1,05}_ 10 _₇₆₁_miljard d. in 2000: _t _{ }_{15 :}_S __{467 1,05}_ 15 _₂₂₅_dalend c=2 s=1

(5)

17 A: _y _1,5 2_ x 18 a. _N _2600 1,06_ t b. g 13 20011 200 1,15 en 11500 1,15 10 000 b  _N _10 000 1,15_ t c. _N _4,25 0,9987_ t_{met N in miljoenen}

d. g10jaar 2. Dan is de groeifactor per jaar

1 10 2 1,072 g   _N _3750 1,072_ t 19 a. _1,250 _₁ b. 1000 1,25 1: 800 t   N   c. 1000 1 1,25 10001,25 1000 0,8 d. 2 2 1 1 1 1 1,25 1,25 1,25 1,25 2 : 1000 1000 ( ) 1000 t   N        e. 1 1 1,25 1,25 _ en 2 2 1 1,25 1,25  20 a. 1 1 1 5 g g _{ } geeft g 5 c. 2 1 2 2 (1 ) g  geeft 1 2 1 g  b. 2 2 1 1 2 9 3 3 g _{ } _  geeft g 3 d. 3 41 1 1 1 3 2 4 2 8 2 g       geeft g 2

21 In stad A is de groeifactor per 8,5 jaar gelijk aan 2.

1 8,5

2 1,0850 A

g   . Dat is nagenoeg gelijk aan een groei van 8,5% per jaar. De toenames zijn even snel.

22 a. 25 12 2,083 5325 2,12 11153 2,09 233111 2,10 490 233 2,10 1029490 2,1 1 2 4539 1029 ( ) 2,10

De groeifactor per 5 mm is vrijwel gelijk aan 2,1 b.

c. de getallen verschillen veel.

23

a. beide afstanden zijn ongeveer 2,9 cm b. van 2 tot 4 is ongeveer 0,9 cm.

c. een getal tussen 10 en 20: heb geen idee hoeveel.

24 D(1, 600) E(2,5; 3000) F(5, 200)

25

a. De verticale schaal is logaritmisch. b.

c. Per dag wordt het aantal met 10 vermenigvuldigd: exponentiele groei.

d. N1100 10 t

t 0 1 2 3 4 5

(6)

e. de groeifactor per 2 dagen is 10. Dan is de groeifactor per dag 1 2 10 3,16 2 10000 3,16t N   f. 4 dagen terug: N3(0) 100000 3,16 4 1000     26

a. 1963: 50 miljoen rupsen 1964: 30 miljoen 1965: 10 miljoen 1966: 20.000 In de eerste twee jaar van deze periode is de afname 20 miljoen en in het laatste jaar neemt het aantal rupsen af met 9.980.000

b. g  30 10_{50 10}_ 66 0,6: afname van 40% 6 6 10 10 30 10 0,33 g     : afname van 67% 6 20 000 10 10 0,002 g  _  : afname van 99,8%

c. Er is een verband met de relatieve afname: hoe steiler de grafiek, hoe groter de relatieve afname.

d. in de periode1962-1963: een toename van 30 000 rupsen

e. De verticale schaal is logaritmisch en de grafiek is een rechte lijn.

f. Op tijdstip t 0 zijn er 3000 rupsen per km2_{en op tijdstip}_t _₃_{20 miljoen}

6 1 3 20 10 3 3 000 6666,7 (6666,7) 18,82 3000 18,82 jaar jaar t g g A        27 a. _B _1000 1,0175_ t_. b. Voer in: 1 1000 1,0175 x y   en y2 2000 intersect: x 39,95 Na bijna 40 jaar is het bedrag verdubbeld.

c. ook na bijna 40 jaar. d. Voer in: 1 1,0175

x

y  en y2 2 intersect: x 39,95

e. 1000 1,0175_ t _2000_en_{2000 1,0175}_ t _₄₀₀₀_{zijn te herleiden tot 1,0175}t _₂

28

a. _N _5000 0,92_ t

Voer in: _y₁_5000 0,92_ x_en

2 2500

y  intersect: x 8,31 Na 8,3 jaar is het aantal insecten gehalveerd.

b. ook in 8,3 jaar

c. 5000 0,92_ t _2500_en_{2500 0,92}_ t _₁₂₅₀_{zijn te herleiden tot}_0,92t __0,5

29

a. 1,104t _2

Voer in: 1 1,104 x

y  en y2 2 intersect: x 7 In 7 dagen is de hoeveelheid verdubbeld.

b. In 7 dagen verdubbelt (2500); nog eens 7 dagen weer verdubbelt (5000) en dan weer na 7 dagen ook weer verdubbelt. In totaal dus in 21 dagen toegenomen van 1250 naar 10 000.

(7)

30 a. _L_100 0,96_ t_{met L in % en t in uren} 0,96t _0,5 Voer in: _y₁_0,96x_en 2 0,5 y  intersect: x 17 Na bijna 17 uur is de batterij de helft van zijn lading kwijt. b. de groeifactor per twee dagen is 0,10

1 2 1 24 1 10 ( ) 0,316 0,316 0,9532 dag uur g g    

Voor de halveringstijd geldt: 0,9532t _0,5 Voer in: 1 0,9532

x

y  en y2 0,5 intersect: x 14,4 De halveringstijd van deze batterij is 14,4 uur.

31

a. als de groeifactor per 6 uur 0,5 is, dan is de groeifactor per 12 uur _0,52_{, per 18 uur} 3

0,5 en per 24 uur _0,54 __0,0625_{. Na 24 uur is er nog 6,25% aanwezig.} b. g7dagen 0,173 1 7 1 24 0,173 0,7783 0,7783 0,9896 dag uur g g    

Het afnamepercentage per uur is (1 0,9896) 100 1,04%   c. 0,9896t _0,5

Voer in: _y₁_0,9896x_en

2 0,5

y  intersect: x 66,3 Na ruim 66 uur is de hoeveelheid gehalveerd.

32 Voor de werkelijke verdubbelingstijd T geldt: (1_₁₀₀p )T _2 1: p werkelijk 69,66 geschat: 70 70 69,66 69,66 100% 0,49%  _ _ 2 : p werkelijk 35,00 geschat: 35 35,00 35 35,00 100% 0,008%  _ _ 3 : p werkelijk 23,45 geschat: 23,33 23,45 23,33 23,45 100% 0,50%  _ _ 4 : p werkelijk 17,67 geschat: 17,5 17,67 17,5 17,67 100% 0,98%  _ _ 5 : p werkelijk 14,21 geschat: 14 14,21 14 14,21 100% 1,45%  _ _

Voor rentepercentages kleiner dan 5% is de afwijking minder dan 1%.

33 a. _W _50 0,80_ t b. Na 12 uur: _{50 0,80}_ 12 __3,44_mg. c. 0,80t _0,5 Voer in: _y₁_0,80x_en 2 0,5 y  intersect: x 3,11

Na 3 uur en 6 minuten is de hoeveelheid werkzame stof gehalveerd. c. die ligt tussen m s 0,613 en m s 0,647

d. die liggen maximaal twee standaarddeviaties van het gemiddelde (2e_vuistregel) Dus tussen 0,63 2 0,017 0,596   en 0,63 2 0,017 0,664  

(8)

34 a. kosten exclusief btw: 58,48 1,262  w 1,273 w 58,48 2,535 w kosten inclusief btw: 1,06 (58,48 2,535 ) 61,99 2,69  w   w b. 61,99 2,69 w 594,04 3 2,69 532,05 198 w w m   c. vastrecht: 58,48 0,06 3,51  waterbelasting: 1,273 198 1,06 1,262 198 0,06 282,17     

Totaal aan belasting: € 285,68 dat is 285,68594,04100% 48% van het bedrag

35 a. Voer in: 1 1,03 x y  en y2 2 intersect: x 23,45 jaar 1 1,50 x y  en y2 2 intersect: x 1,71 jaar b.

c. Als de groeifactor dicht bij de 1 komt gaat de groei heel erg langzaam en duurt het heel lang voordat een

hoeveelheid verdubbelt is. De grafiek loopt dan heel steil.

d. Bij een groeifactor van 1,06 is de verdubbelingstijd ongeveer 12 jaar.

36

a. minstens twee ananassen: a2 minstens twee meloenen: m2

niet meer dan 10 euro uitgeven: 2a1,25m10 b.

c. Ze kan kiezen uit: (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 2) en (3, 3)

37

a. verdubbelen ieder half uur: ghalf uur 2 beginwaarde is 100.

b. t 0 :N 100 t 10 :N 102 400 t 20 :N 104 857 600

De tijdstippen komen overeen met 5, 15 en 25 halve uren: de grafiek komt overeen. c. De eerste 2,5 uur is de latentiefase. Daarna 5,5 uur in de exponentiële fase.

Aan het begin van de exponentiële fase waren er _{1 10 2}_ 6_ 11_₄₈₈_{bacteriën per} ml.

38

a. 65

90 0,72 4865 0,74 3748 0,77 niet gelijk, dus niet exponentieel. b. de temperatuursverschillen zijn resp. 50, 33 en 22

c. 50

75 0,67 3350 0,66 22330,67: de groeifactor per 5 minuten is ongeveer 0,67

1 5 0,67 0,923 minuut g   en de beginwaarde is 75, dus _V _75 0,923_ t d. _T _15 75 0,923_ _ t_geeft_T __{15 75 0,923}_ _ t

e. Op de lange duur betekent voor grote waarden van t. Dan wordt 0,923t_{vrijwel gelijk} aan 0. De temperatuur komt dan in de buurt van de 15°.

(9)

(10)

Test Jezelf

T-1

a. elke 100 meter stijgt de temperatuur 3°. b. T 17 0,03 d met d de diepte in meters.

680 : 17 0,03 680 37,4 d  T     c. 17 0,03  d 30 0,03 13 433 d d    T-2 a. x0 : 3y 15 y 0 : 2x 15 5 (0, 5) y  1 2 1 2 7 (7 , 0) x (0, 0) voldoet

b. x 2: alle punten links van de verticale lijn x2 voldoen niet. 2 2

x y  : alle punten boven de lijn door de punten (0, -1) en (2, 0) voldoen. c. (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (4, 1) (4, 2)

Negen punten voldoen.

T-3

a. Elk jaar neemt de haringstand met een gelijk percentage toe.

b. 2

19jaar 0,7 2,86

g   _{. Dus de groeifactor per jaar is} 1 19

2,86 1,057 0,7 1,057t

H  

c. de haringstand neemt per jaar met 5,7% toe. d. 0,7 1,057_ t _1,6

Voer in: y1=0,7 1,057× x en y2=1,6 intersect: x 14,9 In 2010 was de haringstand opgelopen tot 1,6 miljoen ton.

T-4

a. P(1, 10 000) en Q(3, 6 000)

b. De verticale schaal is logaritmisch en de grafiek is een rechte lijn. c. de groeifactor per twee tijdseenheden is 6000

10000 0,6. 1 2 0,6 0,775 g   10000 0,775 13 000 13 000 0,775t b y     T-5 a. 0,97t _0,50 Voer in: 1 0,97 x y  en y2 0,50 intersect: x 22,8 Na 22,8 weken is de lading gehalveerd.

b. 0,97t _0,10

Voer in: y2 0,10 intersect: x75,6

(11)

T-6

a. 47126

45843 1,028 4844647126 1,028 4980248446 1,028 5119749802 1,028 en 5263051197 1,028 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel.

b. _E _45843 1,028_ t c. 1,028t _2

Voer in: y11,028x en y2 2 intersect: x 25,1 jaar d. Dan zal na ruim 50 jaar de hoeveelheid verviervoudigd zijn.

T-7

a. N neemt met 91 toe als t met 3 toeneemt. Dat is een toename van 1

3 30 per eenheid De beginhoeveelheid is 1 3 13 3 30   78 1 3 30 78 N   t

b. de groeifactor per 3 tijdseenheden is 104

13 8. Dan is de groeifactor 1 3 8 2 en de beginhoeveelheid 13₂3 1,625 N 1,625 2 t T-8 a. _G__{2,4 1,14}_ 0 __2,4_gram

b. het gemiddelde gewicht neemt per dag toe met 14%. c. _1,147 _2,50

week

g   dat is een toename met 150% per week d. g_week 1,85. Dan is de groeifactor per dag: 1

7

1,85 1,092 10,5 1,092t

(12)

Extra oefening – Basis

B-1

a. de temperatuur daalt met 6° bij een stijging van 1000 meter. b. Bij een stijging van 100 m daalt de temperatuur met 0,6°.

c. Op een hoogte van 0 m is de temperatuur 14 0,006 1225 21,35   0,006 21,35

T    h

Op een hoogte van 3250 m is de temperatuur T  0,006 3250 21,35 1,85   _C d. 0,006 h 21,35 10 0,006 11,35 1892 h h m    B-2 a. (0, 4) en (4, 0) b. 3x15 en 5y 15 c. (1, 0) en (0, -1) (0, 0) voldoet x 5 en y 3 (0, 0) voldoet niet

(5, 0) en (0, 3) (0, 0) voldoet niet

B-3

a. groeifactor per 6 jaar: 140

30 4,7 groeifactor per jaar:

1 6

4,7 1,29 30 1,29t

N  

b. het aantal otters neemt ieder jaar met 29% toe. c. 30 1,29_ x _1000

voer in: _y₁_30 1,29_ x_en

2 1000

y  intersect: x 13,77 In 2021 zal het aantal otters boven de 1000 komen.

B-4

a. De grafiek is een rechte lijn en de schaalverdeling langs de verticale as is logaritmisch. b. 3 1000 10 100 g   geeft 1 3 100 4,64 g   c. 10 4,64 2,15 b  _y _2,15 4,64_ x B-5 a. 0,84t _0,5 Voer in: 1 0,84 x y  en y2 0,5 intersect: x 3,98 Na bijna 4 jaar is de waarde gehalveerd.

b. 36 000 0,84_ t _20 000

Voer in: y136 000 0,84 x en y2 20 000 intersect: x 3,37 Na 3 jaar en ruim 4 maanden zal ze hem in moeten ruilen.

(13)

Extra oefening – Gemengd

G-1

a. de chocolademelk en de soep waren beide 60°C op tijdstip t 0. b. De groeifactor van de chocolademelk is kleiner en koelt dus sneller af.

De blauwe grafiek hoort bij de chocolademelk en de rode bij de soep. c. Voor grote waarden van t worden 0,75t_en_0,95t_{vrijwel gelijk aan 0. De}

temperatuur van de chocomelk en de soep naderen dan naar 20°C (de omgevingstemperatuur). d. 20 20 40 0,75t 20 40 0,75t C T  C       20 40 0,95t S T  S  

e. Het verschil neemt met 25% per minuut af. … met 5% per minuut af.

f. 0,75t _0,5 _0,95t __0,5 Voer in: 1 0,75 x y  en y2 0,5 Voer in: 1 0,95 x y  intersect: x2,41 intersect: x 13,5 G-2

a. de groei per twee jaar is 2500 2500 1250 L T   t in 2000 is t 28 :T_L 37 500 transistors b. g2jaar 2 geeft 1 2 2 1,4142 jaar g   c. 2500 1,4142t E T   20 000 80 000 226 000 905 000 _{3,6 10}_ 6_{14,5 10}_ 6_{29,0 10}_ 6 d. _{2500 1,4142}_ t __{10 10}_ 9 voer in: _y₁_2500 1,4142_ x_en 9 2 10 10 y   intersect: x 43,86 In 2016 zal een chip voor ’t eerst meer dan 10 miljard transistors bevatten.

Uitdagende opdrachten

U-1 g5uur 0,5 geeft een groeifactor van

1 5 0,5 0,87 per uur 1e_injectie:_V __{500 0,87}_ t _{na 12 uur:}_V __{500 0,87}_ 12 _₉₄ 2e_injectie:_V __{594 0,87}_ t _{na 12 uur:}_V __{594 0,87}_ 12 _₁₁₂ 3e_injectie:_V __{612 0,87}_ t U-2

a. zeven grote bedrijven hebben belangstelling: 0 g 7

110 middelgrote bedrijven hebben belangstelling: 0m110 minstens 10 keer zo veel middelgrote en ….: 10g m20g

opbrengst moet minstens 100 miljoen euro zijn: 20g2m100 oppervlakte in hoogstens 100 ha: 10g2m100

(14)

b. c. g 2 : m   5 2 50 40 en 10 2 50 30 m     3 : g  m10 3 30  en 5 3 50 35 m     werk: 500 g 150m (2, 40): 7000 pers (3, 35): 6750 pers. Dus voor de meeste

werkgelegenheid kunnen er het beste 2 grote en 40 middelgrote