Fysica Elektromagnetisme 1e zit 2014 2015

Schriftelijk examen Fysica: Elektromagnetisme

2e Ba Chemie, Biologie, Geografie, Bio-ir en Ir-arch

2014-2015

Januari 2015

Naam:

Studierichting:

Aantal afgegeven bladen, klad en opgave niet meegerekend:

• Gebruik voor elke nieuwe vraag een nieuw blad!

• Zet op elk blad de vermelding “Fysica: Elektromagnetisme Januari 2015” alsook

je naam, je groep en het nummer en onderdeel van de vraag die je aan het oplossen bent. • Je geeft je oplossingen af samen met dit blad.

• Je mag enkel het door ons gegeven formularium gebruiken en een eenvoudig wetenschappelijk rekenmachine.

• Grafische rekenmachines en rekenmachines met formulegeheugen zijn niet toegelaten. • Geen GSM’s, geen pennenzakken!

• Werk alleen en ordelijk en vergeet je eenheden niet.

• Lees de vragen aandachtig en begin met de vragen die je onmiddellijk kan oplossen.

Veel succes! Jan Danckaert Isis Van Parijs Lars Keuninckx Lieve Lambrechts Stefan Vet

Oefeningen

1.

(20%) Om te beginnen leggen we jullie enkele eenvoudigere problemen voor. Geef bondige antwoorden en vermeld expliciet op welke wet of formule je je baseert om tot een antwoord te komen. Hint: Als je lang moet rekenen voor een van deze oefeningen, dan is er iets mis ...

(a) De fijnstructuurconstante α is in de natuurkunde de fundamentele constante (kop-pelingsconstante) die de sterkte van de elektromagnetische wisselwerking bepaalt. Een mogelijke uitdrukking is:

α = e

2_cµ 0

2h ,

met h de constante van Planck, µ0 de permeabiliteit van het vacu¨um, e de

ele-mentaire lading en c de lichtsnelheid. Bepaal de dimensie van de fijnstructuur-constante α.

(b) Drie ladingen zijn geplaatst zoals in figuur 1. De resulterende kracht ~F op lading Q heeft een grootte F = 182µN , deze maakt een hoek met de x-as van θ = 82.9◦_.

Stel nu dat je weet dat de lading Q −1.0nC is, wat zijn dan de ladingen van q1

en q2? ~ F θ

q

q

Figuur 1: Bereken de ladingen q1 en q2.

(c) Een elektron beweegt met een snelheid v = 1.0 · 107 m

s door een uniform

magne-tisch veld, loodrecht op de bewegingszin, gegeven door ~B = (0.01T )~1z. Bereken

de straal van de resulterende cirkelbeweging.

(d) Het elektrisch en magnetisch veld van een elektromagnetische golf zijn door on-derstaande uitdrukkingen gegeven.

~ E = E0sin(kz − ωt) √ 3 2 ~1x+ 1 2~1y ! ~ B = B0sin(kz − ωt) − 1 2~1x+ √ 3 2 ~1y !

• Wat is de voortplantingsrichting en -zin van de golf?

De rest van deze vraag is niet op te lossen door de studenten uit de groep Biologie.

• Druk de Poynting vector van deze elektromagnetische golf symbolisch uit. • Leid hieruit ook een uitdrukking af voor de irradiantie van de golf.

2.

(15%) Een toro¨ıdaal gewikkelde spoel, zie figuur 2, bestaat uit een geleider gewikkeld op een torus (doughnut) uit niet-geleidend materiaal. De binnenstraal is a en de buitenstraal b.

(a) Bepaal het magnetisch veld ~B(r) binnen en buiten de torus, voor een gegeven stroom I door de wikkelingen.

(b) Maak een grafiek van B(r) met aanduiding van de afstanden a, b en veldsterktes op die afstanden.

Figuur 2: Een toro¨ıdaal gewikkelde spoel.

3.

(15%) De beweging van het oog kan men onderzoeken aan de hand van speciale contactlenzen waarvan de rand omgeven is door een spoel van zeer fijne draad. Wanneer een proef-persoon die deze contactlenzen draagt zich in een magnetisch veld bevindt, wordt een stroom ge¨ınduceerd in de spoel telkens de proefpersoon zijn ogen roteert. Beschouw contactlenzen omrand door een spoel met 5 windingen en een diameter van 6.0 mm. Een uniform magnetisch veld van 1.0 T wordt aangelegd zoals in figuur 3. Bereken de spanning die ge¨ınduceerd wordt in de spoel indien een proefpersoon die recht voor zich uit kijkt zijn ogen 5◦_{naar rechts draait in 0.20 s. Hint: Je kan de afgeleide benaderen}

door het quoti¨ent van de differenties:df (x)_dx ≈ ∆f (x)_∆x . Neem bovendien de tekening over en geef de zin aan van de ge¨ınduceerde stroom met behulp van de symbolen ⊗ en .

Figuur 3: Proefpersoon met speciale contactlenzen kijkt recht voor zich uit (bovenaan-zicht).

4.

(20%) Figuur 4 toont een sferische ladingsverdeling bestaande uit een di¨elektrische bol met straal R en ladingsdichtheid ρ C/m3_{, omgeven door een verwaarloosbaar dunne}

meta-len schil met straal 2R. De ladingsdichtheid van de centrale bol wordt gegeven door: Voor de studenten Biologie:

ρ(r) = 

a : r ≤ R 0 : r > R Voor alle andere studenten:

ρ(r) = 

ar : r ≤ R 0 : r > R

met a > 0 een constante. Verder is er gegeven dat de lading op de dunne metalen , −Q, schil exact tegengesteld is aan de totale lading van de sfeer.

(a) Bepaal de totale lading Q binnen de sfeer. Wat zijn de dimensies van a ? (b) Bepaal het elektrisch veld overal in de ruimte en maak een grafiek E(r). Hoe is

het veld gericht?

(c) Bepaal de elektrische potentiaal V (r) overal in de ruimte. Stel hierbij V (r = ∞) = 0V . R ρ r 2R −Q

Theorievragen

5.

(10%) (a) Vertrekkende van de potentiaal voor een puntlading, leid de elektrische potentiaal af opgewekt door een dipool overal in de ruimte (ladingen q en −q zitten op een afstand 2a van elkaar). Maak de benadering r >>a.

(b) Volgende onderdeel is niet op te lossen door de studenten biologie: Leid hieruit ook het elektrisch veld af opgewekt door die dipool (in dezelfde benadering).

Opmerking: indien je de vraag 5 a) en/of b) niet kan oplossen voor een willekeurig punt in de ruimte, doe dit dan voor de punten gelegen op de as van de dipool en op het middelloodvlak (mits 40% puntenverlies). 6.

(10%) (a) Vertrek vanuit de wetten van Kirchhoff en stel de differentiaalvergelijking op die het verloop van de stroom in functie van de tijd beschrijft bij het aanschakelen van een RC-kring met gelijkspanningsbron Vin, zie figuur 5. Los die vergelijking

op en bespreek. Maak ook een schets van het verloop van de stroom en spanning Vuitin de tijd.

R

C

Vin Vuit

Figuur 5: Een weerstand-condensator netwerk.

(b) Enkel voor de studenten Bio-ingenieurswetenschappen, Geografie en Chemie: Bespreek de werking van een RC-filter (d.w.z. Vuit/Vin in functie van

de frequentie van de wisselspanning ω). Is dit een laag- of een hoogdoorlaat filter? Leg ook het verband met deel (a) van deze vraag. Opmerking: Als je deze vragen (a en/of b) niet kan oplossen voor een condensator maar wel voor een spoel (RL ipv RC-kring) mag je dat doen, mits telkens 25 % puntenverlies.

7.

(10%) (a) Vertrek van de Wet van Amp`ere. Geef de redenering hoe Maxwell er toe kwam om een extra term toe te voegen aan de Wet van Amp`ere, en leid de uitdrukking voor deze term af.

(b) Gebruik deze uitgebreide Wet van Amp`ere-Maxwell samen met de Wet van Fa-raday om een golfvergelijking af te leiden voor het ~E en het ~B-veld in vacu¨um. Het volgende onderdeel van deze vraag is niet op te lossen door de studenten uit de groep Biologie:

(c) Leid ook de differenti¨ele vorm van de wet van Amp`ere-Maxwell af. Geef daarbij duidelijk de verbanden weer tussen de grootheden die in de differenti¨ele en de integrale vorm voorkomen.

Wet van Coulomb F~2 op 1 =_4π1_0|~r1q_−~1q_r2_2|2~1~r1−~r2

Elektrisch veld van een puntlading in de oorsprong q E(~r) =~ 1 4π0 q r21~r Elektrische flux Φ_E~ = s oppervlak AE · d ~~ A

Lading uit gegeven ruimteladingsverdeling ρ Q =t_volumeρ(~r)dV Wet van Gauss in integraalvorm Φ_E~ =v ~E(~r) · ~dA =Q_0in

Elektrische potentiaal van een puntlading in de oorsprong q V (~r) = 1 4π0

q r

Potenti¨ele energie van een geladen deeltje U (~r) = qV (~r)

Potentiaalverschil ∆V = Vf− Vi = −

Rf

i E(~r) · d~l~

Elektrisch veld in richting s via potentiaal V Es= −dV_ds

Capaciteit van twee geleiders met lading ±Q C = Q ∆VC

De wet van Biot & Savart B(~r) =~ R µ0

4π Id~l×~1

~ r− ~r0

|~r− ~r0_|2

Stroom uit gegeven stroomdichtheid ~J I =s_oppervlakJ(~r) · d ~~ A

De wet van Amp`ere H _~

B(~r) · ~dl = µ0Inetto

Lorentzkracht op puntlading q F = q( ~~ E + ~v × ~B) Magnetische kracht op stroomdragende geleider F =~ R I(d~l × ~B)

Magnetische flux ΦB~ =

s

oppervlak AB(~r) · d ~~ A

De wet van Faraday-Lenz emk = ∆V = −dΦB~

dt

Vector van Poynting S = ε~ 0c2( ~E × ~B)

Irrandiantie Irr =1 2ε0cE 2 0 Nabla operator ∇ =~ ∂ ∂x~1x+ ∂ ∂y~1y+ ∂ ∂z~1z

Oppervlakte element (cartesisch,x-y) dA = dxdy

Oppervlakte element (cirkel) dA = rdrdφ

Oppervlakte element (cilindrisch) dA = rdφdz

Oppervlakte element (sferisch) dA = r2_sinθdθdφ

Volume element (cartesisch) dV = dxdydz

Volume element (cilindrisch) dV = rdrdφdz

Name Symbol Value Unit

Elementary charge e 1.60217733 · 10−19 _C

Speed of light in vacuum c 2.99792458 · 108 _{m/s (def)}

Permittivity of the vacuum ε0 8.854187 · 10−12 F/m

Permeability of the vacuum µ0 4π · 10−7 H/m

Coulomb’s law constant (4πε0)−1 8.9876 · 109 Nm2C−2

Planck’s constant h 6.6260755 · 10−34 _Js

Dirac’s constant ¯h = h/2π 1.0545727 · 10−34 _Js

Bohr magneton µB= e¯h/2me 9.2741 · 10−24 Am2

Bohr radius a0 0.52918 ˚A

Rydberg’s constant Ry 13.595 eV

Reduced mass of the H-atom µH 9.1045755 · 10−31 kg

Stefan-Boltzmann’s constant σ 5.67032 · 10−8 _Wm−2_K−4

Wien’s constant kW 2.8978 · 10−3 mK

Molar gasconstant R 8.31441 J · mol−1_{· K}−1

Avogadro’s constant NA 6.0221367 · 1023 mol−1

Boltzmann’s constant k = R/NA 1.380658 · 10−23 J/K

Electron mass me 9.1093897 · 10−31 kg

Proton mass mp 1.6726231 · 10−27 kg

Neutron mass mn 1.674954 · 10−27 kg

Elementary mass unit mu=₁₂1m(126C) 1.6605656 · 10−27 kg

Diameter of the Sun D 1392 · 106 m

Mass of the Sun M 1.989 · 1030 kg

Radius of Earth RA 6.378 · 106 m

Mass of Earth MA 5.976 · 1024 kg

Gravitational constant G 6.67259 · 10−11 _m3_kg−1_s−2