De bruikbaarheid van de bovengrensmethode als schatter
voor de meetonnauwkeurigheid van 3D-meetmachines
Citation for published version (APA):Vliet, van, W. P. (1990). De bruikbaarheid van de bovengrensmethode als schatter voor de
meetonnauwkeurigheid van 3D-meetmachines. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPA0815). Technische Universiteit Eindhoven.
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1990 Document Version:
Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.
• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.
• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.
Link to publication
General rights
Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain
• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us at:
openaccess@tue.nl
De bruikbaarheid van de bovengrensmethode als schatter voor de meetonnauweurigheid van 3D-meetmachines. W.P. van Vliet Rapportnr.: WP A 0815, mei 1990 Verslag onderzoeksopdracht. Afst udeerhoogleraar Begeleiders
Prof. dr. ir. A.C.H. van der Wolf Dr. ir. P.H.J. Schellekens
Ir. F.C.C.J.M. Theuws Technische Universiteit Eindhoven,
Faculteit der Werktuigbouwkunde,
Vakgroep Productietechnologie en -Automatisering, Laboratorium voor Geometrische Meettechniek.
Samenvatting
Wanneer men een 3D-meetmachine wil inzetten voor een bepaalde ta.a.k, dan is van van belang om te weten of deze machine weI geschikt is voor het uitvoeren van deze taak. Hierbij gaat men in eerste instantie uit van de fabrieksspecificaties. In de meeste gevallen blijken deze specificaties echter een slecht uitgangspunt te zijnom een afschatting te maken van de meetonnauwkeurigheid. Door de
fabrikanten worden vaak maar summiere specificaties gegeven (vaak alleen maar ID- en soms ook nog een 3D-specificatie) terwijl bovendien in de praktijk blijkt dat veel meetmachines niet aan de gegeven specificaties voldoen.
Om toch een beter inzicht te krijgen in de werkelijke meetonnauwkeurigheid is door het Laboratorium voor Geometrische Meettechniek een methode ontwikkeld om op een redelijk eenvoudige manier een bovengrensafschatting te maken van de meetonnauwkeurigheid in de verschillende ruimtes. Omdat deze methode nog niet eerder is getoetst is een onderzoek naar de bruikbaarheid hiervan verricht.
Omdat deze methode gebaseerd is op de aanwezige geometrische foutenbronnen van een meetmachine zal kort worden ingegaan op de foutenbronnen die een rol kunnen spelen in het meetproces.
Uitgaande van deze foutenbronnen is een berekeningsmethode ontwikkeld om een bovengrens voor de meetonnauwkeurigheid te kunnen schatten alsmede een uitbreiding hierop ter verkrijging van een grotere flexibiliteit wat betreft de bruikbaarheid van de methode.
Ter completering zal kort worden ingegaan op de meetmethodieken die zijn gebruikt om de schattingen te kunnen maken en achteraf te kunnen controleren. Hiertoe wordt een algemene beschrijving gegeven van de metingen zoals die gedaan worden door het Laboratorium voor Geometrische Meettechniek om een
3D-meetmachine te kalibreren en een korte beschrijving van de benodigde eindmaatmetingen.
Uit evaluatie van de resultaten blijkt dat de bovengrensmethode een goede schatting geeft van de meetonnauwkeurigheid van de onderzochte
3D-meetmachines. Ten aanzien van een algemene uitspraak is enige
voorzichtigheid geboden omdat hiervoor het onderzoek moet worden uitgebreid naar meerdere machinetypen.
Symbolenlijst
A.. orH~ntatie-afwijking die machine 1 t.O.v. machine 2
IJ
heeft in het i}-vlak bgsec
Axy orientatie-afwijking die de ene machine t.O.v. de
andere machine heeft in het horizontale vlak bgsec
Axz orientatie-afwijking die de ene machine t.O. v. de
andere machine heeft in het vertikale vlak bgsec a1 afstand tussen de liniaal van de meetmachine en
het meetvolume in de richting a m
a2 afstand tussen de liniaal van de meetmachine en het
verste punt in het meetvolume in de richting a m a1 uitzettingscoefficient van de eindmaat
~ uitzettingscoefficient van het meetsysteem
eR afwiJldngsterm op positie1van parameter R.. m
IJ
eT afwijkingsterm op positie1van parameter T.. m
IJ C{), 'Y richtingscoefficient
L grootste lengte in een ID-, 2D- of 3D-ruimte m
La actuele eindmaatlengte bij Tre! m
L
gew de maximale meetlengte van het meetvolume
waarvan men een bovengrensschatting wil hebben m Lmax de maximale meetlengte in het totale meetvolume
van een meetmachine m
Lwerk actuele lengte van de eindmaat bij Tre! m
1 x 1 y 1 z )(
-m m· 1overlappende gedeelte van het meetbereik bij twee samenwerkende machines in x-richting
overlappende gedeelte van het meetbereik bij twee samenwerkende machines in y-richting
overlappende gedeelte van het meetbereik bij twee samenwerkende machines in z-richting
meetverwachting
gemiddelde meetuitkomst van alle meetwaarden m i i-de meetuitkomst
theoretisch gemiddelde waarde van de
meet-m m m m m m verwachting )( Pk tasterafwijking in richting k
R. rotatie-afwijking j-geleiding om i-geleiding
IJ
R. geschatte spreiding van R..
~ ~
r. . correlatiecoefficient tussen de afhankelijke
l,J
meetwaarden mien mj
S.. haaksheidsafwijking j-geleiding t.o.v. i-geleiding
IJ
51 bovengrenschatting van het maximale meetvolume SM, prop bovengrensschatting van het gewenste meetvolume
tTl theoretische spreiding van de meetverwachting II T.. lineariteitsafijking i-geleiding
u
T..u geschatte spreiding van Toou
Too rechtheidsafwijking j-geleiding in i-richting
IJ
Too geschatte spreiding van Too
~ ~ Tref referentietemperatuur m m bgsec bgsec bgsec m m m m m m m
T(x) temperatuur van de eindmaat als functie van
de lengtec06rdinaat x
DC
Vab verbindingsvector tussen liniaal a en liniaal b m
V.
ideale meetvector m-1
V.
verbindingsvector tussen het nulpunt en liniaal i m~1 Vt · tastervector in richting i m - 1 V geleidingsvector in x-richting m -x V geleidingvector in y-richting m -y
Yz
geleidingsvector in z-richting mXzy verbindingsvector tussen de z-liniaal en de
y-liniaal in X-richting m
x plaatsc06rdinaat in x-richting m
Yxz verbindingsvector tussen de x-liniaal en de
z-liniaal in Y-richting m
y plaatsc06rdinaat in y-richting m
z plaatsc06rdinaat in z-richting m
Zyx v,,:,rbinmngsvector tussen de y-liniaal en de
x-liniaal in Z-richting m
25
L, 1. ID-bovengrensschatting voor richting i m 25
L, IJ.. 2D-bovengrensschatting voor vlak ij m
Inhoud
Samenvatting Symbolenlijst
1. Inleiding 9
2. Modellering van een 3D-meetmachine
2.1. Algemeen model voor een 3D-meetmachine 10 2.2. Geometrische bronnen van afwijkingen 12
2.3. Andere bronnen van afwijkingen 13
3. De bovengrensmethode
3.1. Inleiding 17
3.2. Mathemathische achtergronden 18
3.3. Proportionaliteitsmodel voor de bovengrensmethode 25 3.4. Bovengrensmethode voor samenwerkende meetmachines 28 3.5. Bovengrensmethode voor software-gecorrigeerde
meetmachines 32
4. Afnameprocedures
4.1. Inleiding 33
4.2. Geometrische bronnen van afwijkingen 33
4.2.1. Lineariteitsafwijkingen 33
4.2.2. Rechtheidsafwijkingen 34
4.2.3. Rotatie-afwijkingen 35
4.2.4. Orientatie-afwijkingen bij twee samenwerkende
meetmachines 37
4.2.5. Vlakheidsafwijkingen van de meettafel 38
5. Bruikbaarheid van de bovengrensmethode in de praktijk 5.1. Inleiding
5.2. Vergelijking bovengrensschattingen met de eindmaatmetingen
5.3. Evaluatie van de bovengrensmethode 6. Conclusies en aanbevelingen Literatuur BiJlagen: 40 40 43 45 47 Bijlage 1. Bijlage 2. Bijlage 3. BiJ1age 4. J3jJlage 5. Bijlage 6. BiJ1age 7.
Afleiding van de bovengrensafschatting voor een portaalmeetmachine
Afleiding van de bovengrensafschatting voor een C-type meetmachine
Eindmaatposities in het meetvolume bij de meet-machines
Temperatuurscorrectie van de eindmaten
B~rekeningvan de haaksheidsafwijking uit twee eindmaatmetingen
Berekening van de meetonzekerheden Schattingen van de parameters
49 53 57 58 61 63 66
1. Weiding
Tot steeds meer fabrikanten dringt het besef door dat kwaliteit van een product wel eens een sterk verkoopargument zou kunnen zijn die de concurrentiepositie danig kan versterken. Een van de manieren om de kwaliteit van een product te controleren c.q. beheersen kan het gebruik van 3D-meetmachines zijn ter controle van functionele geometrische aspecten. Om deze manier van kwaliteitsbeheersing effectief te laten zijn zal de nauwkeurigheid van de 3D-meetmachine minstens een factor 3
a
5 beter mooten zijn dan de productspecificaties.Belangrijke bronnen die bijdragen tot een meetonnauwkeurigheid zijn de geometrische afwijkingen van een 3D-meetmachine. In het Laboratorium voor Geometrische Meettechniek van de TUE is een relatief eenvoudige methode ontwikkeld waarmee met behulp van deze foutenbronnen een
bovengrensafschatting kan worden gemaakt van de meetonnauwkeurigheid op basis van de bekende geometrische opbouw van de meetmachine.
In opdracht van Volvo Car B.V. is als onderdeel van een project ter verkrijging van een betere kwaliteitscontrole een onderzook uitgevoord om te kijken of de bovengrensmethode een betrouwbare schatter is voor de meetonnauwkeurigheid van 3D-meetmachines.
Dit is in de praktijk getest door het kalibreren van enige meetmachines waarna tevens eindmaatmetingen zijn verricht om deze gegevens als terugkoppeling op het rekenresultaat te gebruiken.
Naar aanleiding van deze resultaten zal gekeken worden of met behulp van de bovengrensmethode een verantwoorde uitspraak kan worden gedaan over de maximale meetonnauwkeurigheid van een 3D-meetmachine en of naar aanleiding hiervan een uitspraak kan worden gedaan over goed- of afkeur van een machine.
2. Modellering van een 3D-meetmachine
2.1. Algemeen model voor een 3D-meetmachine
Een 3D-meetmachine kan door zijn functie, meten in een 3-dimensionale ruimte, nooit voldoen aan de ideale meetsituatie, waarmee bedoeld wordt dat nooit voor alle drie de meetassen aan het Abbe-principe kan worden voldaan [SeRE 86] (figuur 2.1). Door deze onvolkomenheid in dit soort machines zullen afwijkingen in de geleidingen altijd leiden tot een positie-afwijking van de meet taster, welke tevens afhankelijk is van de stand van de diverse sledes.
z
x~y
Figuur 2.1 : Uit deze schematische tekening van een portaalmeetmachine met meetschalen MS en meettaster MT blijkt duidelijk dat alleen voor de Z-as bij benadering aan het Abbe-principe wordt voldaan.
Deze positie-afwijking kan, als uitgegaan wordt van starre geleidingen, worden beschreven door een ketting van vectoren [THEU 87]. Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen geleidingsvectoren, verbindingsvectoren en een tastervector. De drie geleidingsvectoren geven de positie en de afstand van een slede ten opzichte van het (machine-) nulpunt van de machine. De drie verbindingsvectoren geven de afstand en de richting aan van de verbindingen tussen twee geleidingen. De
tastervector, welke aan het eind van de ketting zit, geeft de positie weer van het uiteinde van de taster ten opzichte van de derde geleiding.
Elke meetmachine is dus weer te geven in 7 vectoren: 3 geleidingsvectoren: V ,V en V ;
-x -y -z
3 verbindingsvectoren: V " V b en Vb ' waarbij a, b, c
=
x, y, z, afhankelijk-01 -a - c
van de configuratie van de drie geleidingen; 1 tastervector: Vt.
Samen vormen deze 7 vectoren de ideale meetvector V. (figuur 2.2) waarvoor geldt:-1
Vi- = Yo'- 1
+
V-x+
V b-a+
V-y+
Vb- c+
V-z+
V- t, met a, b, c= x, y, z (2.1)Meetvector
Y
iligt in het orthogonale coordinatensysteem XYZ en geeft het ideale geval weer waarbij geen rekening wordt gehouden met bijvoorbeeld geometrische afwijkingen in de geleidingen of met temperatuurseffecten.V
-y
Figuur 2.2 : Schematische voorstelling van de opbouw van de ideale meetvector V.. -1
2.2. Geometrische bronnen van afwijkingen
In een geleiding van een machine kunnen diverse bronnen van geometrische afwijkingen voorkomen die algemeen kunnen worden onderverdeeld in translatie-en rotatie-afwijkingtranslatie-en.
Een geleiding heeft dus 6 mogelijke bronnen van afwijkingen, namelijke voor elke asrichting (x-, y-, en z-richting, orthogonaal opgesteld) een translatie-afwijking en een rotatie-afwijking, waardoor de slede op een andere positie komt te staan dan gewenst, hetgeen dus ook geldt voor de meettaster MT die ermee verbonden is (zie figuur 2.3). T zx y T xx Figuur 2.3 : MT
Schematische weergave van een geleiding met slede en de optredende geometrische bronnen van afwijkingen.
Een algemene aanduiding van deze diverse geometrische bronnen van afwijkingen kan gegeven worden in de vorm: Abc
Hierin is: A: type afwijking; T
=
translatie, R=
rotatie, S=
haaksheid b: translatie-afwijking ---+ richting van de afwijkingrotatie-afwijking ---+ rotatie-as van de afwijking
haaksheidsafwijking ---+ referentie-as van de
afwijking c: asrichting waarin verplaatst wordt
De specifieke aanduidingen in het vervolg zullen zijn: Lineariteitsafwijkingen T.. i
=
x, y, Z 11 Rechtheidsafwijkingen T.. i, j=
x, y, z (if
j) lJ Rotatie-afwijkingenR.
i, j=
x, y, Z lJ HaaksheidsafwiJ"kingen Soo i, j=
x, y, Z lJ TastsysteemafwijkingenP
k k=
ID, 2D, 3D2.3. Andere bronnen van afwijkingen
Naast geometrische bronnen van afwijkingen bezit een 3D-meetmachine ook nog andere bronnen van afwijkingen (zie figuur 2.4), die elk een bijdrage leveren tot de meetonnauwkeurigheid van de machine. De bijdrage van deze bronnnen is, afgezien van thermische invloeden, in de meeste gevallen echter een stuk kleiner dan de bijdrage die de geometrische bronnen van afwijkingen leveren aan de
Stroling
TrwollUS- .
CIIOaienlen in Konvektle
Ile rUlmte Tronsloties Rototies Motoren Wrijving lNerbrenging Mens Regelsysleem -.,...--,.4-....,--, Softwore AondrijYinq u.:.;:..:..;.:.~ Gewicht van het werkstuk Eigen gewicht
Figuur 2.4: De bronnen van afwijkingen en hun onderlinge samenhang zoals die een rol spelen in het meetproces.
Enkele bronnen van afwijkingen zullen nader worden toegelicht:
1) eindige stijfheid van de constructiedelenj 2) trillingen uit de omgeving;
3) tastsysteem;
ad 1) De onnauwkeurigheid geintroduceerd door eindige stijfheidseffecten is voorname1iJK afhankelijk van twee dingen:
- het machinetype;
de stijfheid en dus het doorbuigingsgedrag kan voor een deel beinvloed worden door de constructiewijze van de meetmachine verstandig te kiezen. Uit figuur 2.5 zaI bij een algemene beschouwing duide1ijk zijn dat type A en type B (het portaaltype) stijver zijn dan type C (het C-type). Type C is duidelijk meer gevoelig voor doorbuiging en torsie dan de beide andere machines, hetgeen dan ook doorwerkt in de te bereiken meetnauwkeurigheid.
- het gebruikte materiaal;
door een materiaal te kiezen waarmee goede mechanische eigenschappen te behalen zijn (lage massa gecombineerd met een hoge stij£heid) worden de geometrische bronnen van afwijkingen minder coordinaatafhankelijk. Met andere woorden, deze afwijkingsbronnen zullen ieder minder gaan varieren met de plaats van de diverse sledes van de meet machine.
1) Type A 2) Type B 3) Type C
ad 2) De invloed die (laagfrequente) trillingen uit de omgeving kunnen uitoefenen op de meetnauwkeurigheid van een machine is direct afhankelijk van het
machinetype. Door een relatief slappe constructiewijze zoals toegepast bij machinetype C is deze meer gevoelig voor trillingen dan de typen A en B, omdat de eigenfrequenties van dit machinetype over het algemeen lager zullen liggen dan die van de andere twee typen. Uit praktijkmetingen is gebleken dat deze bron van afwijkingen een niet onaanzienlijk dee! kan uitmaken van de spreidingen die gevonden worden in meetresultaten, zodat het ten zeerste is aan te bevelen om de meetmachine goed te isoleren van zijn omgeving.
ad 3) AfwiJ1dngen in het aantastsysteem worden meestal veroorzaakt doordat het moment van aantasten niet overeenkomt met het schakelen van het
meetsysteem. Deze afwijkingen voor ID, 2D en 3D kunnen eenvoudig worden vastgelegd voor de diverse ruimten door het meerdere malen meten van
bijvoorbeeld een eindmaat, een ring en een kogel en vervolgens de spreiding, de range en de maximale afwijking vast te stellen.
ad 4) Temperatuursgradienten in een machine veroorzaken, afhankelijk van het materiaal waaruit de machine is opgebouwd, in meer of mindere mate lokale vervormingen van de constructiedelen, waardoor dus ook de geometrische bronnen van afwijkingen zullen veranderen [TEEU 89]. Door een goede keuze van het constructiemateriaal te maken kan de invloed van een
temperatuursgradient worden beperkt.
Men kan bijvoorbeeld graniet kiezen als constructiemateriaal. Dit heeft een hoge stijfheid maar wel een behoorlijke massa, gecombineerd met een grote gevoeligheid voor temperatuursgradienten en vocht. Deze twee laatste factoren zorgen ervoor dat er spanningen in het materiaal kunnen ontstaan die
vervormingen teweeg kunnen brengen, die slechts langzaam verdwijnen zodat er slechts na lange tijd een stabiele situatie zal optreden.
Een betere keuze als basismateriaal voor een meetmachine zal aluminium kunnen zijn. Dit koppelt een laag gewicht aan een zeer lage gevoeligheid voor temperatuursgradienten. Bovendien is het niet gevoelig voor vocht.
Om deze bron van afwijkingen zo vee! mogelijk te beperken moet er voor worden gezorgd dat er in de directe omgeving van de machine geen grote temperatuurswisselingen plaatsvinden.
3. De bovengrensmethode
3.1. Inleiding
Om een uitspraak te kunnen doen over de meetonnauwkeurigheid van een
3D-meetmachine kan een numerieke analyse worden uitgevoerd of gebruik worden gemaakt van de zogenaamde bovengrensmethode.
De numerieke analyse bestaat uit het volledig doorrekenen van de te controleren meetmachine. Hiertoe worden eerst aile geometrische afwijkingen bepaald van de meetmachine. Met behulp van een kinematisch model van de meetmachine kan in principe voor elk punt in het meetvolume een afwijkingsvector worden berekend. In de praktijk echter wordt maar een discreet aantal punten geevalueerd waaruit vervolgens de ID-, 2D- en 3D-meetonnauwkeurigheid wordt berekend. Het nadeel van deze methode is dat ze zeer rekenintensief is en een zeer nauwgezette vergaring van meetgegevens vereist, het voordeel is dat deze methode nauwkeurig is
[SPAA 89].
Een andere methode om een afschatting te maken van de meetonnauwkeurigheid is de reeds genoemde bovengrensmethode. Deze zal in dit hoofdstuk nader zal worden bekeken. Deze methode maakt het mogelijk een afschatting te maken van de
maximaal optredende meetfout in een ruimte door op grond van het verloop van een parameter (lees: geometrische bron van afwijkingen) als functie van de
lengtecoordinaat een schatting te maken van de bijdrage van elke parameter tot de meetonnauwkeurigheid. Hierbij worden de bijdragen van eike parameter behandeid als onbekend systematisch en kwadratisch bij eikaar opgeteld [NEN 3114,
WECC 89].
Deze bovengrensmethode kent echter weI een beperking. Zo is deze methode voorlopig alleen bruikbaar voor (meet-)machines opgebouwd uit translatorische elementen. Afwijkingen geintroduceerd door een aanwezige draaitafel worden dus niet meegenomen in de berekening. Ook worden de mogelijke
temperatuursafuankelijke effecten, behalve lineaire uitzetting, niet apart behandeld.
3.2. Mathematische achtergronden
Om de afmetingen van een object te kunnen vaststellen moeten deze worden herleid tot een verschil van c06rdinaten. Op een 3D-meetmachine zuBen de afmetingen van een object dan ook worden uitgedrukt in verschiitermen voor de
X-, y-en z-richting (zie figuur 3.1) welke voor een bepaalde richting een
meetverwachting M oplevert voor een bepaalde maat van een object.
y
x
Figuur 3.1 : De meetverwachting voor de afstand rniddelpunt van de plaat tot
m2 + m3
rand van de plaat is hier:
'x
= 2 - m1Algemeen kan veor de meetverwachting M worden opgeschreven:
(3.1)
De verdeling van elk der meetuitkomsten mi wordt het beste beschreven door de normale verdeling. Hieruit voIgt dat veor de meetverwachting M een spreiding rond een gemiddelde waarde
"'I
wordt gevonden waarvan de waarden met 95% zekerheid liggen in het interval I 2: 25., waarin5,
de spreiding is, welke nog meetDe definitie voor
S.
luidt: (3.2)Door op deze vergelijking een Taylor-reeksontwikkeling naar
p.
toe te passen en alleen de eerste orde termen mee te nemen in een verdere besehouwing [KONI 84, SCRE 86] zal uiteindelijk de volgende vergelijking worden gevonden alsaangenomen wordt dat elke meetwaarde m· onafhankelijk is van de andere I meetwaarden mj met 1~ i, j ~ n , i
f
j. n S 2= \'
(aM )2. S 2 )( Lom:
m· i=l 1 1Als de meetwaarden weI afhankelijk zijn dan moet vergelijking 3.4 worden aangehouden [WECC 89]:
Hierbij is:
Waarbij r
l, .,J de correlatieeoefficient is tussen de meetwaarden m. en m·.I J Voor r· . geldt:I,J -1
<
- I,J -r..<
1 en i ~ J'.r
(3.3)
(3.4)
(3.5)
In het vervolg wordt zal eehter worden uitgegaan van een situatie waarbij de meetwaarden onafhankelijk zijn, zodat met vergelijking (3.3) dus voor elke willekeurige meetverwaehting • een uitdrukking kan worden gegeven voor S•.
Meer specifiek voor 3D-meetmachines met een orthogonaal
X-, y-, z-eoordinatensysteem kan voor een meetverwachting van een
lengtebepaling worden opgeschreven:
(3.6)
Over het algemeen zal de afstand a2- a1(a = x, y, z) de lengte van het relevante meetvolume zijn (meestal het gehele meetvolume van een meetmachine) in de richting van a. Hierbij wordt voor de afstand a1de afstand van de relevante meetliniaal tot het meetvolume genomen en voor a2de afstand van de liniaal tot de verst verwijderde coordinaat van het meetvolume in de richting van a (zie figuur 3.2).
Figuur 3.2 : De afstand a1is de afstand van de liniaal tot het meetvolume van de machine, belangrijk om de absolute fout die rotaties in het meetproces introduceren te kunnen vaststellen.
Met behulp van vergelijking (3.3) kan dus voor elke meetverwachting I de spreiding van de meetuitkomsten worden berekend voor een bepaalde ruimte. Voor de bovengrensmethode wordt, zoals reeds eerder is opgemerkt, alleen gekeken naar de geometrische bronnen van afwijkingen, als zijnde de enige factoren die invloed hebben op de meetverwachting.
Uit iedere bron van afwijkingen wordt in principe de standaardafwijking geschat -uit de range van deze parameter met de veronderstelling dat deze range normaal verdeeld is rond een gemiddelde waarde. Internationaal is overeengekomen dat bij meetoperaties met een zekerheid van 95% een uitspraak moet kunnen worden gedaan over de werkelijke waarde van een meetwaarde. Uitgaande van een normale verdeling rond een gemiddelde theoretische waarde J.L betekend dit dat 95% van aIle meetpunten zich in een gebied van J.L : 20'bevinden, waarbij 0'de hierbij behorende theoretische standaardafwiJldng is (zie figuur 3.3). Omdat van een parameter noait een oneindig aantal meetpunten beschikbaar zijn moot een schatting worden
gemaakt van de standaardafwijking [CHAT 83], [SCHA 78]. De geschatte standaardafwijking kan, bij een voldoonde aantal meetpunten, berekend worden volgens:
n
S2
=
n :
l'l
(m
i - m)2 i=l(3.7)
Hierin is:
iii
=
gemiddelde meetuitkomst van alle meetwaarden mi; n = aantal meetwaarden m..1
Een eenvoudigere en snellere manier is echter om, uitgaande van bovenstaande veronderstelling, te kijken naar het gebied waarin de meetpunten voorkomen, de range, waaruit vervolgens de standaardafwijking S wordt geschat door deze gelijk te nemen aan 1/4 van het totale spreidingsgebied. Dit levert niet dezelfde waarde op als uit formule 3.7 zou volgen, maar is een voldoonde goode benadering voor gebruik in de bovengrensmethode.
dichtheid
I
I-L - 20- I-L - 0- I-L I-L+ 0- I-L+20- X
Figuur 3.3 : Normale verdeling met een spreidingsgebied van: 20'rond de gemiddelde waardeJ.L. Een willekeurige waarde van een parameter zal met een zekerheid van 95% binnen dit gebied liggen.
Om een bovengrensschatting te kunnen maken [SeRE 89] moet voor elk ruimte (1D, 2D of 3D) worden vastgesteld welke geometrische bronnen van afwijkingen relevant zijn (afhankelijk van de geometrie van de meetmachine) en hoe deze doorwerken in de meetonnauwkeurigheid van de machine, waarbij tevens de aanwezige verbindingsvectoren en tastervectoren van de machine moeten worden betrokken.
Een schatting van de 2S-waarde van elke parameter (behalve voor de haaksheden) wordt gemaakt aan de hand van het verloop van deze parameter als functie van de lengtec06rdinaat: A range(T .. ) T 1J ij - 2 ' A range(R .. ) R - 1J .. - 2 IJ 1, J= X, y, Z (3.8) (3.9)
Een uitzondering hierop wordt gemaakt als blijkt dat een parameter duidelijk een lineair verloop als functie van een lengtec06rdinaat kent (zie figuur 3.4). Dan wordt een schatting van de 2S-waarde gemaakt volgens:
T.. =range (T..) , IJ IJ R.. = range(R..) , IJ IJ i, j = X, y, Z (3.10) (3.11)
De reden hiervoor is dat anders een te klein aandeel in rekening wordt gebracht bij de schatting omdat in dit geval duidelijk niet aan de veronderstelling van een normale verdeling van de range wordt voldaan.
Opm.: De parameters T.. worden, indien mogelijk, op meerdere plaatsen in het
11
A
meet volume gemeten. Voor de schatting moet dan de maximale T..
11
worden genomen, waarbij bij het maken van de bovengrensschattingen rekening moet worden gehouden met het feit dat in deze metingen bijna altijd rotatie-afwijkingen zitten verdisconteerd (zie bijIage 1 en 2). Deze methode is zeker te prefereren bij machines die een of andere vorm van so£twarematige liniaalcorrectie hebben.
5.
l'
o. ---•••. -. --. -. --.•. ----. -... -•. ---•••.•.••.• ---.•••• -. §.e
.6 .5. 6.r
.><'r
·10. :< ·15. -20..l-_ _--f---+----+----+---4-:--~_:______::! Q ~ ~ - ~ ~ ~ - ~ X-ASx •HEEN •• TI:RUG o.GEMIDDELD
Figuur 3.4 : Een parameter met een lineair verloop voldoet niet aan het model waarbij uitgegaan wordt van een normale verdeling van de
meetpunten van de parameters.
De verkregen systematische afwijkingen die relevant zijn voor een type meting kunnen nu kwadratisch worden opgeteld om de maximale spreiding rond een cOOrdinaat ak te verkrijgen: (3.12) Met: a
=
x, y, z; k=
1 2' A '1. ToO ,R. ,SoO-IJ,ak -IJ,ak -IJ,ak 28-waarde van de relevante bronnen van afwijkingen voor coordinaat ak;
11a - armlengte waarop de bijbehorende rotatie werkt voor
k
coordinaat ak.
12 = armlengte waarop de bijbehorende haaksheidsafwiJ"king werkt ~
voor coordinaat ak.
Om de bovengrensafschatting voor een bepaald type meting compleet te maken dient nog de bijbehorende tasterafwijking te worden meegenomen in de berekening.
Deze tasterafwijking kan men beschouwen als een onbekend systematische geometrie-afwijking, zodat hiervoor een schatting van de spreiding kan worden gemaakt volgens:
k
=
1D, 2D, 3D (3.13)De totale uitdrukking voor S. (vergelijking 3.3) wordt dan uiteindelijk:
3.3. Proportionaliteitsmodel voor de bovengrensmethode
De methode om bovengrensafschattingen te maken zoals die in de voorgaande paragraaf is gepresenteerd levert schattingen op voor de grootst mogelijke lengte in de desbetreffende ruimte (ID, 2D of 3D). Het is echter niet realistisch om te
veronderstellen dat deze schattingen een goede benadering vormen als gemeten wordt in een kleinere ruimte.
Om tot betere schattingen te komen zal hier een uitbreiding worden gepresenteerd van de bovengrensmethode.
Als model zal worden gekozen een proportionaliteitsmodel, dat wi! zeggen dat zal worden uitgegaan van een lineaire bijdrage van de lengte in de
meetonnauwkeurigheid.
Er zijn een aantal redenen om voor dit model te kiezen:
1) de bijdragen van de haaksheidsafwijkingen tot de meetonnauwkeurigheid zijn altijd proportioneel met de meetlengte;
2) het gedrag van de lineariteitsafwijkingen is vaak lineair;
3) vee) rotatie-afwijkingen vertonen een min of meer lineair gedrag.
De parameters T .. en R.., met i, j
=
x, y, z kunnen volgens dit model als voIgtIJ IJ
worden beschreven (zie ook figuur 3.5):
(3.15)
(3.16)
Hierin is: I
T.. IJ
r
=
lengte-c06rdinaat van een parameter;=
richtingscoefficient;=
residu-term op positie 1.Figuur 3.5 :
----+~ I
Beschrijving van een parameter zoals deze wordt gebruikt in het proportionaliteitsmode1.
Substitueren in vergelijking 3.12 levert dan de volgende vergelijking op:
Sa 2 = 12 . factor
k
(3.17)
(3.18)
Als deze vergelijking wordt doorgevoerd in vergelijking 3.3 voor een totale meetverwachting» dan blijkt dat deze voor een kleiner meetvolume dan het maximale geschreven kan worden als:
L
S -~. S
I, prop-~ I (3.19)
Hierin is: Lgew
=
de maximale meetlengte van het meetvolume (lD-, 2D- of 3D-ruimte) waarvan men een bovengrensschatting wi! hebbenj=
de maximale meetlengte in het totale meetvolume (lD-, 2D-of 3D-ruimte) van een meetmachine waarvoor eenbovengrensschatting is gemaaktj
=
bovengrensschatting van het meetvolume waarvoor een bovengrensschatting is gemaakt jSM, prop
=
bovengrensschatting van het gewenste meetvolume.Uitgaande van dit model moet men zich weI realiseren dat in bovenstaande vergelijking 3.18 een aantal parameters kunnen voorkomen die duidelijk geen lineaire functie zijn van de meetlengte. Dit gegeven kan dan leiden tot een minder
3.4. Bovengrensmethode voor samenwerkende meetmachines
Samenwerkende machines zijn opgebouwd uit twee machines aan een meettafel. Elke machine heeft zijn eigen meetvolume terwijl beide meet volumes elkaar gedeeltelijk overlappen. Hiermee is de mogelijkheid gecreeerd om toch aan grote producten te meten die een zodanige omvang hebben dat het meetvolume van een machine niet toereikend is om het gehele product te meten (zie figuur 3.6).
Figuur 3.6 : Voorbeeld van twee samenwerkende coordinatenmachines.
Als men met twee machines een lengte gaat meten wordt de totale
meetonnauwkeurigheid in dit gedeelte wel groter dan in de meetvolumes waar maar een machine werkzaam is. De meetuitkomst is in dit geval een combinatie van twee meetmachines die elk een aantal bronnen van afwijkingen hebben terwijl bovendien de meetmachines ten opzichte van elkaar een orientatie-afwijking kunnen hebben (zie figuur 3.7). Hierdoor is een ruimtecoordinaat niet eenduidig bepaald ten opzichte van de coordinaatsystemen van elke afzonderlijke machine.
Figuur 3.7 :
A xz
Orientatie afwijking van de ene machine ten opzichte van de andere machine. Het overlappende meetvolume kan beschreven worden met 1 ,1 en I .
x y z
Als nu een bovengrensschatting wordt gemaakt van deze (samenwerkende)
machines dan dienen de verschillende meetvolumes, de gedeelten die maar door een machine worden bestreken en het meetvolume dat door twee machines wordt bestreken, apart te worden beschouwd.
Om een bovengrensschatting te kunnen maken van de meetonnauwkeurigheid in het geval van twee samenwerkende machines moet rekening worden gehouden met de ID-, 2D- en 3D-bovengrensafschatting van elke machine terwijl tevens de orientatie-afwijking van de ene machine ten opzichte van de andere machine moet worden meegenomen in de berekening. De bovengrensafschatting kan dan worden bepaald door de relevante schattingen van elke machine kwadratisch op te tellen plus de extra fout die geintroduceerd wordt door de orientatie-afwijking.
Bovengrensschattingen: lD:
25
=
J
25
2 h 1 + 25 2 h 2 +(1.!
)2 x x, mac . k x, mac . k • D 25 =J
25 2 + 25 2 +(I.!
)2 y y, mach.l k y, mach.2k x xy 25 =J
25 2 + 25 2 + (1 •A ) 2 • ., mach.l k ., mach.2k x D (3.20) (3.21) (3.22) Hierin is: 2S a,mac .Dkh (a = x, y, z; n = I, 2; k = 2) de ID-bovengrensafschattingvan machine n voor richting a (definitie volgens vergelijking 3.11);
A ,A de orientatie-afwijkingen die de ene machine heeft ten opzichte
xy D
van de andere machine in respectievelijk het horizontale en het vertikale vlak;
1 ,1 is de lengte van het meetvolume dat bestreken wordt door beide
x y
machines in het horizontale vlak in respectievelijk dex-en y-richting;
1 is de hoogte van het overlappende meetvolume (zie figuur 3.7) .
•
De 2D- en 3D-bovengrensschatting voor twee samenwerkende machines kan op deze1fde marner als voor de ID-ruimte worden gemaakt:
2D: 25 =
J
25 2+
25 2 +(1.!
)2 +(1.!
)2 xy xy, mach.l k xy, mach.2k • D X xy (3.23) 25 =J
25 2 + 25 2 +(I.!
)2 +(1.!
)2 D x., mach.l k x., mach.2k x XI • D (3.24)25 =
j
25 2 + 25 2 + (1 . A )2 + (1 . A )2 yz yz, mach.l k yz, mach.2k x xy x xs (3.25) 3D: 25=
j
25 2 + 25 2 + (1 .A )2 + (1 .A )2 + (l.A )2 mach.l k mach.2k x xy x xs I xs (3.26)Hierin is (definitie volgens vergelijking 3.11):
28.. h (i, j
=
x, y, z; n=
1,2; k=
1, 2) is deIJ, mac .Dk
2D-bovengrensafschatting van machine n voor vlak ij;
28 h (n
=
1, 2; k=
1, 2 ) is de 3D-bovengrensafschatting vanmac .Dk
machine n.
Opm.: Bovenstaande vergelijkingen geven een bovengrensschatting behorende bij meetopstellingen die in een praktische meetsituatie zelden voorkomen. Bet verdient daarom aanbeveling om in het geval van twee samenwerkende meet machines de specifieke meetsituatie in het gezamelijke meetvolume te bekijken om een meer accurate 28-schatting per coOrdinaat te kunnen maken voor elke machine.
3.5. Bovengrensmethode voor software-gecorrigeerde meetmachines
De bovengrensmethode kan niet altijd voor software-gecorrigeerde meetmachines worden gebruikt, dit hangt namelijk af van het type softwarecorrectie dat is gebruikt. Een absolute voorwaarde om een bovengrensschatting te kunnen maken is dat exact bekend is wat softwarematig is gecorrigeerd.
Als een machine volledig softwarematig gecorrigeerd is (d.w.z. voor lineariteiten, rotaties, rechtheden en haaksheden) dan is een bovengrensschatting op grond van gemeten geometrie-afwijk.ingen niet mogeIijk. Bij deze machines zijn alle
geometrische bronnen van fouten door de fabrikant vastgesteld zodat de meetpunten verkregen door aantastingen softwarematig kunnen worden gecorrigeerd. Ret is dus in principe mogelijk om residuen van lineariteiten, rechtheidsafwijkingen, rotaties en haaksheidsafwijk.ingen te meten, maar het is niet mogelijk om de fout van elke afwijk.ingenbron na. de correctie vast te stellen, omdat niet te achterhalen is hoe goed deze afwijk.ingsbronnen worden gecorrigeerd. Een bovengrensafschatting voor dit type machine kan dan alleen gemaakt worden door eindmaatmetingen uit te voeren (zie paragraaf 4.3) en dan te kijken naar de afwijk.ingen ten opzichte van de nominale eindmaatlengte.
Een mogelijkhdd om cen bovengrensafschatting te maken bestaat weI als de machine alleen gecorrigeerd is voor lineariteit. Bet is dan mogelijk om de lineariteitsresiduen vast te stellen. Deze residuen kunnen dan bij het maken van de
bovengrensafschatting worden behandeld als zijnde de geometrische bronnen van afwijk.ingen van de machine waarna de berekeningen identiek zijn aan die van de niet-softwarematig gecorrigeerde machines.
4. Afnameprocedures
4.1. Inleiding
Om het beschreven model voor het maken van een bovengrensschatting te kunnen controleren zijn twee verschillende soorten metingen uitgevoerd.
De eerste soort metingen betreft metingen zoals die worden uitgevoerd door het Laboratorium voor Geometrische Meettechniek voor het kalibreren van
3D-meetmachines [VLIE 89]. Essentieel bij dit soort metingen is dat de basisbronnen van afwijkingen worden vastgesteld. Ter completering van dit soort metingen is in dit hoofdstuk ook een korte beschrijving gegeven van een vlaktafelmeting.
De tweede soort metingen betreft de eindmaatmetingen. Deze zuBen in paragraaf 4.3 worden beschreven.
4.2. Basisbronnen van afwijkingen
Men kan, uitgaande van het algemene model voor een 3D-meetmachine, een onderscheid maken tussen de verschillende te meten afwijkingenbronnen. Dit zijn:
1) Lineariteitsafwijkingen; 2) Rechtheidsafwijkingen; 3) Rotatie-afwijkingen; 4) Haaksheidsafwijkingen;
5) Orientatie-afwijkingen in het geval van twee samenwerkende meetmachines; 6) Vlakheidsafwijkingen van de meettafel.
4.2.1. Lineariteitsafwijkingen
De positie-afwijking van de machine T .. worden vergeleken met de werkelijke
11
verplaatsing die de taster ondergaat. Als referentie voor deze verplaatsing dient de laserinterferometer met automatische compensator, die corrigeert voor de
De relatieve meetonnauwkeurigheid is kleiner dan 0,05pm
+
0,5.10-6.1. Bij deze metingen moet ervoor gezorgd worden dat bij het controleren van meetsystemen van computergestuurde meetmachines de werkelijke positie van de machine wordtvergeleken met de verplaatsing volgens de laserinterferometer en niet de positie die de machine volgens de computer zou mooten hebben, aangezien dit afuankelijk is van de positioneernauwkeurigheid van het servosysteem van de 3D-meetmachine.
De lineariteitsmetingen worden uitgevoerd op verschillende plaatsen in het
meetvolume voor alle drie de meetsystemen. Hierbij wordt gemeten op de positie van de taster met de kleinste komparatorafwijking en op de positie voor de grootste komparatorafwijking. Voor de Abbe-as kan natuurlijk maar op een positie worden gemeten.
4.2.2. Rechtheidsafwi jkingen
De rechtheidsafwijking T.. is gedefinieerd als een afwijking van een machine-as in een
IJ
richting loodrecht op de translatierichting. Deze afwijking wordt genomen ten opzichte van een bestpassende (kleinste kwadraten-) lijn door de meetpunten
verkregen nit een rechtheidsmeting. Dit is noodzakelijk omdat altijd een uitrichtfout van het meetinstrument aanwezig is die zich zal manifesteren als een lineair op- of afLopende rechtheidsafwijking.
Als meetmiddel wordt de laserinterferometer gebruikt met een re1atieve meetonnauwkeurigheid die kleiner is dan 0,05 pm
+
0,5.10-6. L.Als een goode meetopstelling wordt gebouwd kan tevens een haaksheidsafwijking worden bepaald uit de twee bestpassende lijnen van de rechtheidsmetingen.
Een eerste voorwaarde hierbij is dat de rechtheidsspiegel vast wordt opgesteld op de meettafe1 omdat deze tevens als referentie dient voor de haaksheidsafwijking. Tijdens de twee rechtheidsmetingen mag deze spiegel dus niet versteld worden. Een tweede voorwaarde is dat de afstand tussen het wollastonprisma en de rechtheidsspiegel niet groter is dan circa 3 m, omdat anders de gesplitste bundel buiten de spiegel valt. Bij meetmachines met een groter bereik dan 3 m betekent dit dat de bijbehorende rechtheidsafwijking nog een keer apart moot worden gemeten omdat met de combinatiemeting niet het hele bereik kan worden bestreken.
Figuur 4.1 :
pentagonprisma
Opstelling voor het meten van twee rechtheidsafwijkingen en een haaksheidsafwijking. Ret is belangrijk om eerst de meting zonder pentagonprisma uit te voeren en pas daarna de meting met pentagonprisma, dit vereenvoudigt het uitrichten van de optiek aanzienlijk.
4.2.3. Rotatie-afwijkingen
Bij het meten van rotatie-afwijkingen R.. wordt onderscheid gemaakt tussen:
IJ
1) de rotatie om de translatie-asj
2) rotaties loodrecht op de translatierichting.
Ad 1) De rotatie om de translatie-as wordt gemeten met een set electronische waterpassen. Rierbij wordt een waterpas op de translatie-as geplaatst loodrecht op de translatierichting, terwijI de tweede waterpas op de meettafel wordt geplaatst, evenwijdig aan de andere waterpas en met dezelfde orientatie (zie figuur 4.2). Een nadeel van deze instrumenten is dat hiermee alleen rotatie-afwijkingen om de horizontale assen kunnen worden gemeten. De resolutie van dit instrument is 0,2 ", de absolute
Figuur 4.2 : Opstelling voor het meten van de rotatie-afwijking R . xx
De rotatie om de vertikale as wordt gemeten met behulp van twee rechtheidsmetingen met de laserinterferometer (zie figuur 4.3). Daartoe wordt de retroreflector met wollaston aan een arm bevestigd en een rechtheidsmeting uitgevoerd (T..1)' Na deze meting moet deze arm 1800
IJ,
worden geroteerd en moet een tweede rechtheidsmeting (T.. 2) worden
IJ,
uitgevoerd. Hierbij moet de rechtheidsspiegel blijven staan, aangezien dit de referentie is. Uit deze twee rechtheidsmetingen is nu de rotatie om de
vertikale as te bepalen omdat de uitrichtfout van de laserbundel bij deze twee metingen hetzelfde blijft maar het teken wisselt van de door de rotatie veroorzaakte verplaatsing. Er moet hierbij echter weI gecorrigeerd worden voor een rotatie die gemtroduceerd wordt doordat de machine over
tweemaal de armlengte moet worden verplaatst om de tweede rechtheidsmeting te kunnen uitvoeren.
retroreflector
+
wollaston I I I I I I L n J T.. I I IJ,l IIr
~- - - --,
o;===:::[] L j - - - - , J laser T··IJ,2 rechtheids-spiegel pentagonprismaFiguur 4.3 : Rotatiemeting van de vertikale as van de meetmachine met behulp van twee rechtheidsmetingen met de laserinterferometer.
Ad 2) De rotaties loodrecht op de translatierichting worden gemeten met behulp van de laserinterferometer. De resolutie is 0,1 " en de absolute
meetnauwkeurigheid ligt in de buurt van de resolutie.
4.2.4. Orientatie-afwijkingen bij twee samenwerkende meetmachines
De orH~ntatie-afwijkingen A.. tussen twee machines kan worden bepaald met behulp
IJ
van een richtkijker. Dit is een optisch meetinstrument dat wordt gebruikt in combinatie met een verlicht richtmerk. De resolutie van dit meetinstrument is 0,01 mm en de onnauwkeurigheid is ongeveer 0,01 mm
+
1,3010-60L.Om de afwijkingen te kunnen vaststellen moet de richtkijker buiten het overlappende gedeelte van het meetvolume worden opgesteld en vervolgens worden uitgericht langs de hoofdas van een van de twee meetmachines. Vervolgens moet het richtmerk in de andere machine worden geplaatst waarna de twee orientatie-afwijkingen kunnen worden vastgesteld door de afwijkingen van de machine in het vlak loodrecht op de translatierichting dichtbij de richtkijker en daar zover mogelijk vandaan vast te stellen.
4.2.5. Vlakheidsafwijkingen van de meettafel
De vlakheid van een meettafel worden vastgesteld met behulp van twee elektronische waterpassen of met een optisch waterpasinstrument.
Ais met behulp van de elektronische waterpassen een vlaktafel wordt gemeten dan wordt een waterpas als referentie gebruikt en de tweede wordt volgens een vast patroon over de tafel geschoven. Uit de bekende afstanden en de gemeten hoeken kunnen vervolgens de hoogteverschillen ten opzichte van de referentie worden berekend.
Een andere methode om een vlaktafel te meten is, zoals reeds vermeld, met behulp van een optisch waterpasinstrument. Door een flexibel opgehangen lenzenstelsel beschrijft de optische as van dit instrument altijd een horizontaal vlak. Om de systematische fout geintroduceerd door het waterpasinstrument zo klein mogelijk te houden dient het instrument langs de lange zijde van de meettafel te worden
opgesteld.
De hoogteverschillen van de meettafel worden vervolgens vastgesteld door met een richtmerk over de meettafel te schuiven volgens een vast patroon.
De uiteindelijke vlakheidsafwijking wordt benaderd door een kleinste kwadratenvlak te berekenen door de meetpunten en de grootste afwijking tot dit vlak vast te stellen. De resolutie van dit meetinstrument bedraagt 0,01 mm en de meetonnauwkeurgheid is ongeveer 0,01 mm
+
1,3.10-6. L.4.3. Eindmaatmetingen
In plaats van een kalibratie van een 3D-meetmachine met behulp van een
laserinterferometer uit te voeren kan er ook een contrale plaats vinden met behulp van (stappen-)eindmaten, hetgeen al aanbevolen wordt door de NKO voor
software-gecorrigeerde machines [SeRE 89].
Een nadeel van een controle met eindmaten is dat geen uitspraak kan worden gedaan over de specifieke bijdragen van elke geometrische bran van afwijkingen, wat weI mogelijk is als er met de laserinterferometer wordt gemeten, omdat hierbij praktisch elke afwijkingenbron apart wordt gemeten.
Het grote voordeel van eindmaatmetingen is dat redelijk snel een inzicht kan worden verkregen in de ordegrootte van de ID-, 2D- en 3D-onnauwkeurigheid.
De eindmaatmetingen zijn uitgevoerd zoals aanbevolen door de NKO, en niet volgens de VDI 2617 richtlijnen [VDI 86]. Door het VDI wordt aanbevolen in het midden van het meetvolume te meten, wat meestal niet de meest gunstige positie is om
lineairiteitsafwijkingen vast te stellen. Dit zijn meestal de posities voor de kleinste en de grootste comparatorafwijking, respectievelijk de positie zo dicht mogelijk bij de te controleren liniaal en de positie daar zo ver mogelijk vandaan.
In totaal moeten er minimaa115 metingen worden uitgevoerd (5 metingen ter controle van de ID-meetonnauwkeurigheid, 2 metingen in elk der 3 vlakken en 4 metingen langs de ruimtediagonalen). Vit deze metingen kan een schatting worden gemaakt voor de maximale meetonnauwkeurigheid voor de ID-, 2D- en 3D-ruimte, omdat de genoemde eindmaatposities beschouwd worden als de meest ongunstige voor de machine. Tevens kan nog een schatting worden gemaakt van de 3
haaksheidsafwijkingen uit de metingen van de vlakdiagonalen (zie bijlage 4). De eindmaat dient opgelegd te worden op twee steunpunten met een nauwkeurig gedefinieerde afstand tot elkaar, dit om ongewenst doorbuiggedrag van de eindmaat te voorkomen hetgeen een niet-parallelliteit van de eindvlakken impliceert. De afstand van een steunpunt tot een eindvlak dient 0.22 maal de lengte van de eindmaat te bedragen [DIN 80], waarbij het steunpunt een lijncontact met de eindmaat moet hebben, loodrecht op de hartlijn van de eindmaat.
Voordat de resultaten van de eindmaatmetingen zijn gebruikt zijn deze
software-matig gecorrigeerd (zie bijlage 4) zodat de gemeten eindmaatlengte bekend is bij de referentietemperatuur van 20°C.
5. Bruikbaarheid van de bovengrensmethode in de praktijk
5.1. Inleiding
Om het model waarmee bovengrensschattingen worden gemaakt te testen is in de praktijk aan twee machines gemeten die onderling niet veel verschillen in bouwvorm en meetvolume maar weI in meetnauwkeurigheid.
In dit hoofdstuk zullen de verschillende resultaten met elkaar worden vergeleken. Er zal gekeken worden naar de betrouwbaarheid van de bovengrensmethode door een vergelijking te maken met eindmaatmetingen.
De volgende meetmachines zijn bij het onderzoek betrokken:
1) Zeiss UMC550, portaaltype, CNC-gestuurd, lokatie: TUE; meetvolume (y
*
x*
z): 1200*
550*
450 mm;metend tastsysteem.
specificaties: 611D ~ 1,6+ L [/lID] , Linmm 250
612D ~ 2,0 + 200L [/lID]
613D ~ 2,6+ L [/lm]
150
2) Mitutoyo B241S, portaaltype, handbediend, lokatie: Volvo Car B.V., meetkamer Belmond;
meetvolume (y
*
x*
z): 1000*
700*
600 mm; schakelend tastsysteem (Renishaw PH9 met TP2).specificatie: 61 L
5.2. Vergelijking bovengrensschattingen met de eindmaatmetingen
De schattingen van de parameters zijn gemaakt aan de hand van de gegevens in de kalibratierapporten [VLIE 89], [VLIE 90] waarbij gekeken is naar het verloop van elke parameter als functie van de lengtec05rdinaat. Deze schattingen staan vermeld in bij1age 7waarbij tevens is aangegeven of de schatting gelijk is aan de range van de parameter of 1/4 hiervan is, conform de beschrijving gegeven in hoofdstuk 3.
Met behulp van de beschrijvingen gegeven in bij1age 1 zijn vervolgens de bovengrenzen berekend voor de diverse ruimtes. Hierbij is de invloed van de tastervectoren verwaarloosd omdat deze geen significante invloed uitoefenen op de meetonnauwkeurigheid vergeleken met de meetonzekerheid.
Door de constructiewijze van de meetsystemen is het fysisch niet mogelijk om de zuivere lineariteitsfout vast te stellen. In de gemeten fout voor lineariteit zitten dus altijd rotatie-afwijkingen besloten, uitgezonderd de z-as, welke bij de onderzochte machines de Abbe-as is. Voor de schattingen 2S
x1 en 2Sy1 is echter aangenomen dat genoemde rotatie-invloeden verwaarloosbaar zijn, hetgeen impliceert dat de afstand van de liniaal tot het meetvolume (afstand at uit figuur 3.2) klein is.
Deze bovengrensschattingen zijn vervolgens volgens het proportionaliteitsmodel vergeleken met de desbetreffende eindmaatmeting(en).
In volgende tabellen zijn de resultaten vermeld verkregen met de schattingen van de twee eerder genoemde machines vergeleken met de overeenkomstige
eindmaatmetingen. In de kolom met de resul taten van de eindmaatmetingen is alleen de maximaal gevonden afwijking ten opzichte van de nominale maat vermeld. In de tabel staan tevens de meetonzekerheden vermeld berekend voor de ID-metingen volgens bij1age 6, om een beter inzicht in de betrouwbaarheid van de gevonden waarden te verkrijgen.
Voor de 2D- en de 3D-afschattingen zijn geen meetonzekerheden meer berekend
maar het is reeel om te veronderstellen, gezien de meetonnauwkeurigheden van
de meetinstrumenten, dat deze ongeveer 107. bedragen van de desbetreffende
schatting.
2S-waarde bovengrensschatting
bovengrensschatting
eindmaatmeting
voor:
gehele volume [pm]
met prop. model [pm]
[pm]
ID, y
5,9
4,9 z 1,3
6,1 z 1,2
ID, x
3,0
2,7 z 0,9
4,7 z 0,6
ID, z
6,4
4,8 z 0,8
3,7 z 0,5
2D, xy
15,8
9,6
8,8 z 1,0
2D, xz
12,4
6,7
3,6 z 0,6
2D, yz
8,2
5,0
6,9 z 1,0
3D
13,2
7,5
6,8 z 1,0
Tabel 5.1: Bovengrensschattingen met eindmaatmetingen voor de Zeiss
TIMe
550.
2S- waarde
bovengrensschatting
bovengrensschatting
eindmaatmeting
voor:
gehele volume [pm]
met prop. model [pm]
[pm]
1D, y
12,2
8,8 z 1,3
9,1 z 1,3
ID, x
12,9
9,2 z 1,0
16,0 z 0,8
1D, z
1,2
1,0 z 1,0
0,6 z 0,8
2D, xy
16,8
11,0
3,4 z 1,3
2D, xz
25,3
13,7
7,7 z 0,8
2D, yz
21,0
14,4
21,0 z 1,3
3D
26,6
15,7
19,2 z 1,3
5.3. Evaluatie van de bovengrensmethode
Uit de resultaten gepresenteerd in tabel 5.1 en tabel 5.2 blijkt dat de methode niet altijd een bovengrens oplevert van de te verwachten meetonnauwkeurigheid. Oorzaak hiervan kan zijn dat het model niet op alle punten een goode beschrijving geeft van de werkelijkheid. Deze zullen nu besproken worden.
Uitgangspunt van het model was dat de parameters een normale verdeling hebben en onderling onafhankelijk zijn. Deze aannamen zijn niet helemaal juist.
De grootte van een waarde van een bepaalde parameter T.. of R.. (i, j
=
x, y, z) vanIJ IJ
een geleiding zal afhangen van de naastliggende waarden omdat de geleiding een continuUm is. Dit houdt in dat een parameter zeker niet normaal verdeeld moet zijn. Een parameter kan een zeker lineair verloop hebben en neigt dan dus eerder naar een uniforme verdeling dan naar een normale verdeling. In het model is hiermee rekening gehouden door bij een parameter die een min of meer lineair verloop kent een
aangepaste schatting te maken, dat wil zeggen, de spreiding wordt dan gelijk aan de range genomen.
Een andere veronderstelling die gedaan wordt is dat alle parameters worden
beschouwd als zijnde onafhankelijk van elkaar. Ook deze veronderstelling geldt niet voor alle parameters in gelijke mate.
Ze geldt in ieder geval weI voor de rotatie-afwijkingen R.. en voor de
11
lineariteitsafwijkingen T .. ; de lineariteitsafwijkingen worden in principe alleen door
11
de uitvooringsvorm van het meetsysteem beinvloodt.
De parameters, T.., R.. (i
#
j) zijn onderling gecorreleerd. Dit is te verklaren uit hetIJ IJ
feit dat T.. en R.. fysisch met elkaar samenhangen. Een translatie-afwiJ"king van de
IJ IJ
slede loodrecht op de eigen as van de geleiding heeft automatisch ook een rotatie van de slede tot gevolg (zie figuur 2.7). De grote van deze rotatie zal afhangen van het type verbindingselement, zodat de mate van correlatie onzeker is.
R..
IJ,X
T..
IJ,X
- - - -.. x
Figuur 5.1 : De fysische samenhang tussen T.. en
R. ..
IJ IJ
Fysisch gezien is er geen verband tussen de haaksheidsafwijkingen S.. en andere
IJ
geometrische afwijkingen. In de praktijk blijkt er echter wel oon afhankelijkheid te zijn, namelijk een verband tussen de j-as (dus de as die niet de referentie-as is bij de haaksheid) en de rotaties R.. (i :f: j). Dit is te wijten aan het feit dat de
IJ
machine-assen in de praktijk worden uitgericht aan de hand van bijvoorbeeld oon haaks blok, waarbij er voor gezorgd wordt dat de afwijkingen symmetrisch verdeeld =ijr. ror.d de referer.tie. In het model wordt hiermee (nog) geen rekening gehouden omdat niet accuraat is in te schatten wat het verminderde effect hiervan is op de meetonnauwkeurigheid.
Bij de tastermetingen is gebleken dat de systematische afwijkingen van het
schakelende tastsysteem niet symmetrisch verdeeld waren rond de nominale waarde van de referentie, wat weI het geval was bij het metende tastsystoom. Het model maakt echter geen verschil tussen deze verschillende typen tastsystemen, zodat hierdoor een onnauwkeurigheid in de schatting kan worden geintroduceerd.
Ondanks bovengenoemde onvolkomenheden in het model werkt het, blijkens de resultaten, toch heel redelijk. Dit komt omdat het zoor onwaarschijnlijk is dat alle maximale afwijkingen van elke geometrische bron van afwijkingen van een machine samenvallen bij een bepaalde stand van de machine, terwijl het model wel uitgaat van een cumulatief effect van elke relevante maximale afwijking op een bepaalde meetonnauwkeurigheid in de ruimte.
6. Conclusies en aanbevelingen
Het onderzoek naar de bruikbaarheid van de bovengrensschatting heeft een beter inzicht gegeven in de werking en de mogelijkheden van de methode.
In dit onderzoek is oorspronkelijk gekeken naar drie verschillende meetmachines, waarbij uiteindelijk door meettechnische omstandigheden maar van twee machines resultaten zijn verkregen. Op grond van deze resultaten kunnen de volgende
conc1usies worden getrokken en aanbevelingen worden gedaan:
De bovengrensmethode levert niet altijd de bovengrens op van de
meetonnauwkeurigheid van de machine, maar weI een goede benadering die vaak een bovengrens is. De schattingen voor de 2D- en 3D-ruimte zijn accurater dan die voor de ID-ruimte.
De schattingen van de bovengrensonnauwkeurigheid worden aanzienlijk verbeterd door een onderscheid te maken tussen parameters die een lineair verloop hebben en parameters die een ander verloop hebben.
Tastervectoren blijken vooralsnog geen significante invloed uit te oefenen op de nauwkeurigheid van de methode. Door verwaarlozing van deze termen ontstaat een eenvoudiger model.
Het geintroduceerde proportionaliteitsmodellevert een redelijke benadering van de meetonnauwkeurigheid zoals die met de eindmaatmetingen is gevonden. Er kan echter niet meer van een bovengrens worden gesproken.
Aanbevolen wordt om te onderzoeken in hoeverre het model nog overeenstemt met de werkelijkheid als een vee! kleiner meetvolume wordt genomen dan waarvoor de schatting is gemaakt.
Aangezien de bovengrensmethode een relatief nieuwe methode is die niet eerder is toegepast, verdient het aanbeveling de schattingen die worden gemaakt in de toekomst kritisch te bekijken en te controleren met eindmaatmetingen. Bet verdient aanbeveling om aan andere typen meetmachines onderzoek te verrichten om tot een algemene uitspraak te komen over de bruikbaarheid van de
bovengrensmethode.
Er dient nader onderzoek te worden verricht naar de invloed van het tastsysteem op de totale meetonnauwkeurigheid van een meetmachine in de verschillende ruimten. Bierbij moet onderscheid worden gemaakt tussen schakelende en metende tastsystemen. Doel van dit onderzoek moet zijn om tot een meer gefundeerde uitspraak te komen over de systematische afwijkingen die door het tastsysteem worden geintroduceerd in de totale meetonnauwkeurigheid.
LiteratnUI
CHAT 83 Chatfield, C., Statistics for technology, a course in applied statistics, Chapman and Hall, New York, 1983. Derde druk.
DIN 80 DIN 861, teil1, Parallelendma,8e, Begriffe, Anforderungen, Priifung. DIN 83 DIN 1319, teil 3, Grundbegriffe der Me{jtechnik, Begriffe fiir die
Me{1unsicherheit und fiir die Beurteilung von Me,8geraten und Me,8einrichtungen.
KONI84 Koning, J., Schellekens, P.H.J., Meten en controleren, collegedictaat Orientatie Productietechniek A en B nr. 4514, TU Eindhoven. SCHA 78 Schaafsma, A.H., Willemze, F.G., Modern kwaliteitsbeeld, Kluwer
Technische Boeken B.V., Deventer-Antwerpen, 1987. SCHE 86 Schellekens, P.H.J., Struik, K.G., Schoot, H.W.P. van der,
Werktuigbouwkundige Meettechniek, collegedictaat nr. 4629, TU Eindhoven.
SCRE 86 Schellekens, P.H.J., Absolute meetnauwkeurigheid van technische laserinterferometers, dissertatie TU Eindhoven, 1986.
SCHE 89 Schellekens, P.B.J.,Theuws, F.C.C.J.M., Afnameprocedures voor cOOrdinatenmeetmachines, intern rapport TU Eindhoven, 1989, WPA 0823.
SPAA 89 Spaan, B.A.M., Aanzet voor een software-pakket ter analyse van de afwijkingenstructuur van meerassige machines, intern rapport
TEEU 89 Teeuwsen, J.W.M.C., Performance evaluation and a quality control system for three coordinate measuring machines, dissertatie
TV Eindhoven, 1989.
THEU 87 Theuws, F.C.C.J.M., De opzet van een kwaliteitsbewakingssysteem voor 3D-meetmachines, intern rapport TU Eindhoven, 1987,
WPA 0476.
VDI86 VDI/VDE-Richtlinien, Blatt 2.1, Genauigkeit von
Koordinatenmepgeraten, Kenngrolkn und deren Priifung,
Mepaufgabenspezifische Me,Bunsicherheit LangenmePunsicherheit. VLIE 89 Vliet, W.P. van, Afnamerapport van een Zeiss UMC 550
3D-meetmachine, eigendom van de TVE, Lab. voor Geometrische Meettechniek, intern rapport TV Eindhoven, 1989, WPA 0813.
VLIE 90 Vliet, W.P. van, Afnamerapport van een Mitutoyo B241S 3D-meetmachine, eigendom van Volvo Car B.V., intern rapport TU Eindhoven, 1990, WP A 0839.
WECC 89 Guidelines for the Determination of the Uncertainty of Measurement in Calibration, draft - oktober 1989, Dr. 31.
Bij1age 1
Bi ilage 1: Afleiding van de bovengrensafschatting voor een portaalmeetmachine
Bij deze afleiding wordt gebruik gemaakt van het model zoals weergegeven in figuur B1.1. Bij het opstellen van onderstaande relaties voor de
meetonnauwkeurigheid is alleen gekeken naar de parameters die veranderen bij verplaatsingen in een bepaalde ruimte. Er is dus niet gekeken naar een absolute plaatsafwijking, omdat die niet relevant is voor een controle van de methode met eindmaten.
Figuur B1.1: Eenvoudig model van een portaalmeetmachine met hierin aangegeven de verbindingsvectoren conform het model gepresenteerd in paragraaf
2.2.
Gebruikte grootheden: x,y,z Zyx
plaatscoordinaten;
verbindingsvector tussen de y-en de x-liniaal in Z-richting;
Yxz verbindingsvector tussen de x- en de z-liniaal in Y-richting;
Vi tastervector,i
=
x, y, z.In de volgende re1aties is i
=
1,2,
overeenkomend met respectievelijk een zo kort mogelijke en een zo lang mogelijke arm in het meetvolume voor de desbetreffende asrichting.Bijlage 1 ID-meetonnauwkeurighei d y-as: 2 A2 2 A 2 2 A 2 2S. = T + (Z + z + V ) 0R + (x + V ) 0R Y1 yy yx z xy X zy x-as: 2 A2 2 A 2 2 A 2 2S .Xl = Txx + (z + V )z oRyx + (Yxz + V )y oRzx z-as: 2D-meetonnauwkeurigheid x-y vlak: 2 A2 2 A 2 2 A 2 A2 2S . = T + (z + V ) oR + (Y + V ) oR +T + Xl xx Z yx xz y sx xy (Z + z + V )20
i
2 + V 20S 2 yx z yy y yx y-zvlak: (B1.1) (B1.2) (B1.3) (B1.4) (B1.5) 2 A2 2 A 2 2 A 2 A2 2S . = T + (Z + z. + V ) oR + (x + V ) oR +T + Y1 yy yx 1 Z xy X zy yz 2 A 2 2 A 2 2 2 Vx oRzz + (z. +V ) oR + (Z +z. +V) oS (B1.6) 1 Z XI yx 1 Z yzBijlage 1 x-z vlak: 2 " 2 2 " 2 2"2 "2 2"2 2S . = T + (z. + V ) •R + (Y + V ) •R + T + V •R + Xl XX I Z yx XZ y ZX XZ Y zz 2 " 2 2 2 (z. + V ).R + (z. + V ) ·S I Z ~ I Z xz 2 " 2 2 " 2 2 " 2 "2 2 " 2 2S . = T + V •R + V •R + T + (Y + V ) •R + ZI zz Y xz X yz zx xz y XX 2" 2 2 2 (x. +V ) •R +V •S I X yx X XZ 3D-meetonnauwkeurigheid 2 " 2 2 " 2 2"2 " 2 2S.y =T +(Z +z.+V)·R +(x.+V)·R +T + I yy yx I Z xy I X zy yx 2 " 2 2"2 " 2 2 " 2 (z. + V )·R + (x. + V )·R + T + V ·R + I Z XX I X IX yz X zz 2"2 2 2 2 2 (z.+V)·R +(Z +z.+V)·S +(X.+V)·S I Z XZ yx I Z yz I X yx 2 " 2 2 " 2 "2 2 " 2 28 . = T + (z. + Z + V ) •R + T + (z. + V ) •R + Xl xy I yx Z yy XX I Z yx 2"2 "2 2"2 2"2 (Y +V ) •R + T +V •R + (z. + V ) •R + xz y zx xz y zz I Z yz 2 2 2 2 (z. +V )·S + V ·S 1 Z xz Y yx 2 "2 2 " 2 2 " 2 "2 2 " 2 28 . = T + (x. +V )·R + V ·R +T + (Y + V )·R + Z 1 zy 1 X yy Y xy zx XZ y xx 2 " 2 " 2 2 " 2 2 " 2 (x. + V ) •R + T + V •R + V •R + I X yx zz y xz X yz 2 2 2 2 2 2 (Zyx
+
z·I +V ) •SZ yz +V ·8Y yz +V •SX XZ (E1.S) (B1.9) (Bl.lO) (Bl.ll) (B1.12)In bovenstaande relaties voor het berekenen van de onnauwkeurigheid in de 2D- en 3D-ruimte komt een plaatsc06rdinaat veor die niet nader is gespecificeerd, deze moet dan zodanig worden gekozen dat de totale relatie een maximale 2S-waarde geeft te zien.
Opm. 1: Bij het invullen van bovenstaande relaties moet rekening worden gehouden met het {eit dat sommige parameters gelijktijdig worden gemeten, wat als consequentie heeft dat sommige termen komen te vervallen. Dit geldt bijvoorbeeld voor het meten van een lineariteitsafwijking van een as die niet aan het Abbe-principe voldoet.
Opm.2:
BijIage 1
Voor de substitutie van de lineariteitsparameters T.. moet) indien mogelijk)
11
niet de schatting van de kleinste comparatorafwijking worden genomen maar de maximaal bekende schatting) verkregen door meting op een andere plaats in het meetvolume. Er moet dan weI rekening worden gehouden met het feit dat in deze schatting ook een of meerdere rotaties verdisconteerd zitten. Dit heeft als voordeel dat er geen overschatting wordt gemaakt van de maximale lineariteitsfout. Bet model maakt namelijk geen onderscheid in tekens van de diverse parameters) terwijI deze weI van belang zijn bij het vaststellen van de maximale lineariteitsfout.
Nu de relaties voor de 2S-waarde van de diverse coordinaten zijn vastgelegd kan eenvoudig uit relatie 3.3 worden afgeleid dat voor de 2S-waarde van de
meetverwachtingI zal gelden:
[z
-Z
]2
}
2 1 . (S 2+S 2)
L
zl z2 (B1.13)In deze relatie kunnen desgewenst een of twee termen vervallen. Dit hangt af van het feit of er een schatting voor de ID-) 2D- of 3D-ruimte moet worden gemaakt.
Bijlage 2
Bijlage 2: Afleiding van de bovengrensafschatting voor een C-type meetmachine
Bij deze afleiding wordt gebruik gemaakt van het eenvoudige model zoals weergegeven in figuur B2.1. Bij het opstellen van onderstaande relaties voor de meetonnauwkeurigheid is alleen gekeken naar de parameters die veranderen bij verplaatsingen in een bepaalde ruimte. Er is dus niet gekeken naar een absolute plaatsafwijking, omdat die niet relevant is voor een controle van de methode met eindmaten.
Figuur B2.I: Eenvoudig model van een C-type meetmachine met hierin aangegeven de verbindingsvectoren conform het model gepresenteerd in
paragraaf 2.2. Gebruikte grootheden: x,y,z
Yxz
plaatscoordinaten;
verbindingsvector tussen de x- en de z-liniaal in Y-richting;
Xzy verbindingsvector tussen de z- en de y-liniaal in X-richting;
V. tastervector, i
=
x, y, z. 1In de volgende relaties is i
=
1, 2, overeenkomend met respectievelijk een zo kort moge1ijke en een zo lang moge1ijke arm in het meetvolume voor de desbetreffende asrichting.ID-meetonnauwkeurigheid X-as: 2 " 2 2 " 2 2 " 2 2S . = T + (z +V ).R + (Y + y +V ) oR Xl XX Z yx xz y zx z-as: 2 "'2 2 " 2 2"'2 2S . = T + (y +V ) •R + (X +V ) •R Zl zz Y xz zy x yz y-as: 2S .2 =
i
2 +V 2.i
2 +V 2.i
2 yl yy X Iy Z xy 2D-meetonnauwkeurighei d x-y vl~.k: 2 " 2 "'2 2"'2 2"'2 2S . = T +T + (z +V ) •R + (Y+
y. +V ) •R + Xl XX xy Z yx XZ I Y zx 2"'2 2"'2 2 2 V •R + (y. +V ) •R + (Y +y. +V ) •S Z yy I Y Iy XZ I Y xy 2 " 2 2"'2 2 " ' 2 " 2 2S . = T + (z +V )·R + (x. +X +V ) oR +T + yl yx Z XX I zy X ZX yy V 2.i 2+ V 2.i 2+ V 2. S 2 Z xy X ~ X xy x-z vlak: 2 "'2 2 " ' 2 ' 2"'2 '" 2S . =T
+ (z. +V )·R
+(Y
+ y +V )
oR +T
+ Xl XX 1 Z yx XZ Y IX XZ 2"'2 2"'2 2 2 (y +V ) •Ry + (z. +V ) •R + (z. +V ) •S ZZ I Z yl I Z XI 2 " 2 2"'2 2 " 2 "'2 2S . = T + (Y +Y+V ).R + (x. +X +V )·R +T + Zl IX XZ Y XX I zy X yx II (y+V )2 •i 2 + (X +V )2 •i 2+ (X +V ) 2•S 2 Y XI zy x yz zy x XI Bijlage 2 (B2.1) (B2.2) (B2.3) (B2.4) (B2.5) (B2.6) (B2.7)BijIage 2 y-z vlak: 3D-meetonnauwkeurigheid 2 A2 2 A 2 2 A 2 A2 2S . = T + (z. + V ) . R + (Y +y. + V ) . R + T + Xl xx I Z yx XZ I Y zx XZ 2 A 2 2 A 2 A2 2 A 2 (y. + V ) . R + (Z. + V ) •R + T + V . R + 1 Y zz I Z yz xy Z yy 2 A 2 2 2 2 2 (y. + V ) •R +(Y
+
y. + V ) . S +(z. + V ) . S 1 Y zy XZ 1 Y xy I Z xz 2 A2 2 A 2 2 A 2 A2 2S. =T +(Y +y.+V)·R +(x.+X +V)·R +T + Zl zx XZ 1 Y xx 1 ZY X yx zz 2 A 2 2 A 2 A2 2 A 2 ( v.'J
+ V ) •R + (X + V ) . R + T + V . R + 1 Y xz zy X yz zy X yy 2 A 2 2 2 2 (y. + V ) . R + (X + V ) . S + (y. + V ) . S 1 Y xy zy X xz 1 Y zy 2 A2 2 A 2 2 A 2 A2 2 A 2 2S . = T + (z. + V ) •R + (X + V ) . R + T + V . R + yl yx I Z xx zy X zx yz X zzi
2+ V 2.ii 2+ V 2.ii 2+ V 2. S 2+ V 2. S 2 yy Z xy X zy X xy Z zy (B2.8) (B2.9) (B2.10) (B2.11) (B2.12)In bovenstaande relaties voor het berekenen van de onnauwkeurigheid in de 2D- en 3D-ruimte komt een plaatscoordinaat voor die niet nader is gespecificeerd, deze moet dan zodanig worden gekozen dat de totale relatie een maximale 2S-waarde geeft te zien.
Opm. 1: Bij het invullen van bovenstaande relaties moet rekening worden gehouden met het feit dat sommige parameters gelijktijdig worden gemeten, wat als consequentie heeft dat sommige termen komen te vervallen. Dit geldt
Opm.2:
BijIage 2
bijvoorbeeld voor het meten van een lineariteitsafwijking van een as die niet aan het Abbe-principe voldoet.
Voor de substitutie van de lineariteitsparameters T.. moet, indien mogelijk,
11
niet de schatting van de kleinste comparatorafwijking worden genomen maar de maximaal bekende schatting, verkregen door meting op een andere plaats in het meetvolume. Er moet dan weI rekening worden gehouden met het feit dat in deze schatting ook een of meerdere rotaties verdisconteerd zitten. Dit heeft als voordeel dat er geen overschatting wordt gemaakt van de maximale lineariteitsfout. Ret model maakt namelijk geen onderscheid in tekens van de diverse parameters, terwijI deze weI van belang zijn bij het vaststellen van de maximale lineariteitsfout.
