Enkele opmerkingen omtrent de bij ons gebruikelijke symmetrie- en antimetrie-beschouwingen

Enkele opmerkingen omtrent de bij ons gebruikelijke

symmetrie- en antimetrie-beschouwingen

Citation for published version (APA):

Bergmans, J. (1965). Enkele opmerkingen omtrent de bij ons gebruikelijke symmetrie- en antimetrie-beschouwingen. (DCT rapporten; Vol. 1965.008). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1965

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Door draaien van een ,,vlakke" figuur

,

al of niet nadat de belasting met -1 vermenigvuldigd is, krijgen we een figuwr, die geheel overeenkomt met de oorspronkelijke, waarbij echter de punten van de figuur resp. de krachten en verplaatsingsgrootheden de plaats hebben ingenomen van de punten resp krachten en verplaatsingsgrootheden, die oorspronkelijk in de andere helft van de constructie lagen. Daardoor zijn deze allen onderling vergelijkbaar en kunnen we conclusies trekken.

Onvolkomenheid 1.

Bu

deze werkmethode mag niet van ,,spiegeling" gesproken worden. De beide helften van de figuur moeten identiek zijn, hetgeen alleen mogelijk is als de figuur 2 loodrecht op elkaar staande symmetrie- vlakken heeft die elkaar sneden in de as-lijn van de draaiing.

De draaiing over?T radialen komt n.1. overeen met een $elj&tijdi& uit- gevoerde spiegeling t.o.v. die twee loodrecht op elkaar staande

symmetrievlakken.

We zouden ons dus bij het gebruik van deze methode eigenlijli moeten beperken tot figuren, waarvan de dwarsdoorsnede symmetrisch is

t.o.v.

het vlak van de figuur. Omvolkomenheid 2.

Dat men bij antimetrie eerst de belastende grootheden met -1 vermenig- vuldigen moet, is logisch in overeenstemming met de antimetrisehe

belasting. Dat echter bij belasting loodrecht op het

vlak

dit voorschrift

.

qVyA -A.. de syzaetrische brlast5ag geldt,

is

minder aanraarrlbaar.

Onvolkomenheid 3.

Bij symmetrische belasting staan de momentvectoren antimetrisch

t.o.v.

de andere helft van de figuur. Bij mijn instruktie maak ik dit duidelijk door ieder moment weer te ontleden

in

twee krachten.

Ik

bewijs het dus incidenteel en de studenten kunnen de indruk krijgen, dat dit alleén geldt voor de stand van de momentvector die toevallig getekend was. Deze 3 onvolkomenheden zijn de zwakke punten van onze huidige methode. We stellen ons nu de vraag of een werkeljjke symmetriebeschouwing ver- betering kan geven niet alleen aet betrekking tot deze punten, maar o o k door de methode ruimer toepasbaar te maken.

- 2 -

1. Het s p i e g e l b e e l d van een coÖrdinatenstelse1

Een linksdraaiend assenkruis is n o o i t t o t dekking t e brengen met een rechtsdraaiend: ze zijn elkaars s p i e g e l b e e l d .

We krijgen een r e c h t s d r a a i e n d k r u i s door één van de coordinaten van een linksdraaiend k r u i s met

-1

t e vermenigvuldigen. Doet men d i t met

2

coórdinaten dan hebben we weer het linksdraaiende k r u i s terug. Door a l l e d r i e de coordinaten met

-1

t e vermenigvuldigen is h e t

e c h t e r weer veranderd i n een rechtsdraaiend.

2.

Het ,,spiegelen" van een c o n s t r u c t i e

Bij een c o n s t r u c t i e , d i e één symmetrievlak b e z i t , brengen we een

c o o r d i n a t e n s t e l s e l aan, waarvan h e t Y- 2-vlak samenvalt met h e t

symmetrievlak van de figuur. A l l e punten aan de zijde v a n de p o s i t i e v e X-as geven w e aan met l e t t e r s , terwijl we voor de g e s p i e g e l d e punten aan de zijde van de n e g a t i e v e X-as d e z e l f d e l e t t e r s , v o o r z i e n van een accent-teken gebruiken.

De vorm van d e c o n s t r u c t i e kunnen we v a s t l e g g e n door vergelijkingen tussen de coordinaten van de v e r s c h i l l e n d e punten. Wanneer we d i t

voor de h e l f t van de f i g u u r hebben gedaan aan de p o s i t i e v e zijde van

de X-as, kunnen we p r e c i e s d e z e l f d e vergelijkingen gebruiken voor de

punten aan de n e g a t i e v e zijde van zle X-as mits we maar s t i p u l e r e n ,

d a t deze formules gelden voor een assenkruis, d a t t.o.v. h e t symmetrie- vlak g e s p i e g e l d is. %e behoeven ons daarbij n i e t t e beperken t o t de

h e l f t v111 de f i g ~ a u r ~ We kkknnen immers oil? aarnemen, O a t 'oe zowel de

punten zonder a l s met accent-teken vastgelegd hadden i n de daarvoor nodige vergel@cingen geldend voor h e t eerst-aangenomen assenkruis. Ranneer we nu deze z e l f d e vergelijkingen geldend v e r k l a r e n voor h e t gespiegelde assenkruis, blijkt h e t d a t we g e h e e l d e z e l f d e figuur

hebben behouden, a l l & & zijn de namen van de punten veranderd: d i e met een accent-teken l i g g e n nu op de plaats van d i e zonder accent-teken en omgekeerd. In de l e t t e r s z e i Î is echter geen verandering gekomen. Voor de ondersteuning g e l d t h e t z e l f d e : als deze symmetrisch i s t.o.v. h e t Y- 2-vlak, b l w e n ook de steunpunten met accent-teken na overgang op h e t gespiegelde a s s e n k r u i s op de p l a a t s t e l i g g e n , waar z i c h de

Ook de belastende krachten kunnen we voor d e éne h e l f t zonder en voor

de andere h e l f t met accent-teken aangeven en de k r a c h t v e c t o r e n vast- leggen i n de coordinaten van het e e r s t e assenkruis.

Bij een symmetrische b e l a s t i n g , u i t s l u i t e n d door krachten, z u l l e n we na de geldend v e r k l a r i n g voor h e t gespiegelde assenkruis weer d e z e l f d e toestand terugkrijgen a l l e e n staan nu de krachten met accent-teken op

de plaats van d i e zonder accent-teken en omgekeerd.

Bij een antimetrische b e l a s t i n g , u i t s l u i t e n d door krachten, z u l l e n we

e e r s t a l l e krachten met

-1

moeten vermeniquldigen en daarna de v e r - gelijkingen geldend v e r k l a r e n voor h e t gespiegelde assenkruis.

We hebben nu ook weer de oorspronkelijke toestand t e r u g , waarbij de

krachten met accent-teken s t a a n op de plaats van d i e zonder accent- teken en omgekeerd.

Met de belastende momenten moeten we v o o r z i c h t i g zijn. Hiervoor z u l l e n w e a a n de studenten eerst moeten aantonen, d a t de b e l a s t i n g symmetrisch

is t.o.v. h e t symmetrievlak v a n de c o n s t r u c t i e a l s de momentvectoran

a n t i m e t r i s c h getekend s t a a n en d a t de b e l a s t i n g a n t i m e t r i s c h is a l s d e

momentvectoren symmet$isch getekend staan.

Men moet h i e r v o o r een, i n een Willekeurige r i e h t i a g staand, iiioment

ontleden i n twee krachten en aantonen, d a t de g e s p i e g e l d e krachten ( d i e men verkrijgt door de x-coordinaat met

-1

t e vermenigvul- digen) een moment opleveren, waarvan d e v e c t o r antimetrisch i s t.o.v. de v e c t o r van h e t oorspronkelijke moment.

&j een symmetrische3 zowel u i t krachten als momenten bestaande, b e l a s t i n g

s t a a n dus a l l e k r a c h t v e c t o r e n symmetrisch en a l l e momentvectoren a n t i - metrisch t.o.v. h e t symmetrievlak van de c o n s t r u c t i e .

We kunnen nu a l t q d een s t e l van twee v a n deze a n t i m e t r i s c h staande momentvectoren ontleden i n twee maal twee k r a c h t v e c t o r e n en deze zo kiezen, d a t ze paarsgewijze symmetrisch s t a a n t.o.v. h e t symmetrievlak.

De b e l a s t i n g b e s t a a t dan u i t s l u i t e n d u i t symmetrisch staande krachten, w a a r v a n w e de vergelijkingen biraderad kunnen v e r k l a r e n voor h e t gespiegelde assenkruis, waardoor we d e z e l f d e b e l a s t i n g behouden op de bekende clau- s u l e van de accenten na. Wanneer we nu weer v o o r de o n t l e d e momenten de

momentvectoren tekenen hebben we voor moment- en k r a c h t v e c t o r e n weer de oorspronkelijke toestand teruggekregen a l l e e n s t a a n nu de kracht- en de momentvectoren zonder accent-teken op de plaats van d i e met accent-teken en omgekeerd.

Voor de antimetrische b e l a s t i n g g e l d t p r e c i e s h e t z e l f d e a l l e e n moeten w e

daar vóór h e t geldend v e r k l a r e n van de formules voor h e t gespiegelde assenkruis, a l l e belastingsgrootheden met

-1

vermenigvuldigen.

- 4 -

De handeling d i e omvat:

a) h e t i n formule brengen van a l l e delen v a n de c o n s t r u c t i e en b e l a s t i n g i n de coordinaten van een a s s e n k r u i s ;

b) h e t geldend v e r k l a r e n van deze formules voor h e t gespiegelde assenkruis,

zouden w e ,,spiegelen van de c o n s t r u c t i e " kunnen noemen.

We moeten hiermede e c h t e r v o o r z i c h t i g zijn. Tot nu t o e ging h e t u i t - s l u i t e n d om een beschrijving van d e c o n s t r u c t i e met zijn b e l a s t i n g . Wanneer we nu v e r d e r gaan en reactie-grootheden en vervormingen

w i l l e n gaan vergelijken, moeten we ons afvragen of oe overgang van h e t

e e r s t e assenkruis op h e t gespiegelde geen i n v l o e d kan hebben op de

uitkomsten van de berekeningen.

3 . ReactieErootheden")a"gtatisch bepaalde o p l e e Deze worden bepaald u i t de evenwichtsverge1i;ikingen.

Dus: de gezamenluke krachten i n de d r i e coordinaat r i c h t i n g e n en de gezamenlijke momenten om deze richtingen.

BQ symmetrische b e l a s t i n g z a l men i n h e t g e s p i e g e l d e assenkruis

p r e c i e s d e z e l f d e vergelijhingen krijgen als i n h e t oorspronkelijke. Voor een bepaalde reacltiegrootheid, welke geen accent-tek'en draagt,

vinden we dus bij beide berakeneingen precies dezelfde coordinaten. Doordat h e t a s s e n k r u i s het s p i e g e l b e e l d i s van h e t oorspronkelijke staat deze r e a c t i e g r o o t h e i d echter op de plaats, w a a r eerst de

overeenkomstige g r o o t h e i d met accent-teken staat. Omdat i n beide oevai ? e n d e z e l f d e figuur en h e i n s t i n g w ~ r a t omncbreoin; moeten &e

coordinaten van de r e a c t i e k r a c h t met accent-teken i n h e t oorspron- kelijke assenkruis gem zijn aan de coördinaten van de r e a c t i e k r a c h t zonder accent-teken h e t gespiegelde assenkruis. H e t i s duidelijk

dat we h i e r u i t de c o n c l u s i e mogen trekken dat i n de oorspronkelijke

f i g u u r , a f g e z i e n v a gebruik van een assenkruis, i e d e r e r e a c t i e g r o o t h e i d zonder accent-teken h e t s p i e g e l b e e l d is van de overeenkomstige met

accent-teken. Hierbij t e n overvloede de aantekening, dat als een moment h e t s p i e g e l b e e l d is van een ander moment hun b e i d e r v e c t o r e n a n t i - metrisch getekend worden.

4.

Voor de antimetrische belasting zal men eerst de belastingsgrootheden met -1 moeten vermenigvuldigen voordat men de formules voor het ge- spiegelde assenkruis mag geldend verklaren. Ook

nu

komt door de mani- pulatie, die we spiegelen zouden kunnen noemen de reactiegrootheid zonder accent-teken te staan op de plaats van de overeenkomstige

met accent-teken en ook nu is weer de oorspronkel@e toestand hersteld. Voor de antimetrische belasting mogen we dus de conclusie trekken, dat afgezien van ggbruik

van

een assenkruis, iedere reactiekxacht zonder accent-teken het spiegelbeeld, vermenigvuldigd met -1, is van de overeenkomstige met accent-teken.

Vervorming van een enkelvoudig samenhangende figuur die statisch bepaald is opgelegd

De vervorming bepalen we uit de arbeidsformules waarin zowel het buigmoment als het wringmoment altijd in het kwadraat voorkomt. Over het positief of negatief

zm

van deze momenten behoeven we ons dus niet te bekommeren. Belangra is alleén de overeenstemming of eventueel het verschil in teken van de delen waaruit een moment is opgebouwd, welke delen ieder afkomstig zijn van een belastings- groot he id.

Het is duidelijk, dat door het feit of het assenkruis linksdraaiend of rechtsdraaiend is, geen verschil ontstaat in deze arbeidsformules of

in

de partiële differentialen daarvan. We mogen dus langs dezelfde redenering die we onder hoofd 3 gaven voor de reactiegrootheden ook

voor cie vervormiriysyrootneden h e t voigenàe ooaciuderen:

Bij symmetrische belasting is, afgezien van het gebruik van een assen- kruis, iedere vervormingsgrootheid zonder accent-teken het spiegelbeeld

van de overeenkomstige met accent-teken. Terwijl bU antimetrische

belasting iedere vervormingsgrootheid zonder accent-teken het spiegel- beeld, vermenigvuldigd met -1, is van de overeenkomstige zonder

- 6 -

-

Vervorming van een meervoudig samenhangende constructie, die statisch onbepaald is opgelegd

Om voor dit meest algemene geval de inwendige en uitwendige belastings- grootheden en vervormingsgrootheden te berekenen is de methode bekend: De figuur wordt zinvol doorgesneden, zodat hjj enkelvoudig samenhangend is en aan de doorsnede-oppervlakken worden de belastingsgrootheden, die er kunnen zijn,als onbekenden ingevoerd (iedere doorsnjjding; twee open oppervlakken, waarop onder inachtneming van actie = reactie de belastingsgrootheden worden aangegeven). De statisch onbepaalde reactie- grootheden worden op de plaats van de steunpunten als onbekenden inr gevoerd. De inwendige elastische arbeid voor de hele constructie wordt berekend, uitgedrukt in zowel de bekende- als de ingevoerde onbekende belastingsgrootheden. We stellen nu de partiële dif fermtiaalquotienten van de arbeid naar ieder van de ingevoerde onbekende fielastingsgroot- heden gel#

nul

en krijgen zo het juiste aantal vergelL&ingen, dat ons de mogelijkheid geeft OP de ingevoerde onbekenden in de bekende belas- tingsgrootheden uit te drukken.

Albe belastingegrootheden voor de hele figuur zijn

nu

te bere%mea en ook alle vervormingsgrootheden.

We doen dit voor de gegeven figuur en belasting en gebruiken voor onze formules de coordinaten van het eerste assenkruis. Wanneer we deze zelfde formules

nu

ook gebruiken voor het gespiegelde assen- kruis dan blijkt het, dat de rekenkundige procedure precies zo verloopt en dat we uitgedrukt in de coordinaten van dit andere assenkruis voor iedere grootheid aangeduid met letter en

al-

of niet een accent-teken

deielfde WaarcTe yLz&n a h &i öerë ar kei; e e r s t e üsasiikrüi~.

De constructie waarvoor deze tweede berekening geldt heeft echter bU alle punten en alle krachten, die eerst geen accent-teken droegen nu

we1

één staan en omgekeerd.

Ook voor dit meest algemene geval mogen we dus concluderen:

Bij s.petrische belasting is, afgezien van het gebruik

van

een assen- kruis, iedere belastinge- en iedere vervormingsgrootheid zonder

accent-teken het spiegelbeeld van de overeenkomstige belastings- en vervormingsgrootheid met accent-teken. Terwijl bij antimetrische be- lasting iedere belastings- en iedere vervormingsgrootheid zonder accent-teken het spiegelbeeld, vermenigvuldigd met -1, is van de overeenkomstige belastings. en vervormingsgrootheid met accent-teken.

Conclusie :

A l s aan de studenten het begrip, d a t we misschien ,+spiegelen" zouden

kunnen noemen, goed duidelijk wordt gemaakt, v a l l e n de i n h e t begin genoemde d r i e onvolkomenheden i n onze huidige symmetrie- en antimetrie- beschouwing weg en behoeven we ons n i e t t e beperken t o t c o n s t r u c t i e s

d i e twee symmetrievlakken hebben of één symmetrievlak en een quasie-

symmetrievlak, maar zijn a l l e symmetrische c o n s t r u c t i e s toegankelijk.

Voorbeeld van toepassing van deze methode

I n h e t c o l l e g e

W

V I van prof. Esmeijer ( z i e

WE-61/6)

wordt volgens de oude t h e o r i e nagegaan welke gevolgtrekkingen men voor v l a k k e f i g u r e n kan maken over de v e r p l a a t s i n g e n (hoekverdraaiingen) en inwendige krachten (mornenten) van de punten van d e c o n s t r u c t i e , d i e de symmetrie-as doorsnijden.

%ij doen d a t au voor een ruimtefiguur d i e éQn symmetrievlak heeft.

Op de plaatsen w a a r een staaf van de figuur h e t symmetrievlak door- snUdt moet deze l o o d r e c h t op het symmetrievlak staan.

*Figuur

1

g e e f t de inwendige b e l a s t i n g s - grootheden aan, d i e m o g e l i zijn i n een s t u k j e staaf, d a t h e t symmetrievlak door- boort. Voor h e t evenwicht moeten a l l e getekende krachten en momenten, welke n i e t v a n accent-teken zijn voorzien, g e l i k zijn aan hun naamgenoten welke w e l d a t

token dragen.

W i herinneren eraan, d a t de beide momenten M resp M I w i e r vectorpijlen antimetrisch

getekend zijn t o c h eikaars s p i e g e l b e e l d zijn en d a t de Mw-momenten, waarin de vector-pijlen symmetrisch getekend zijn elkaars s p i e g e l b e e l d vermenigvuldigd met

-1,

zijn.

Y'

z

Y

t t N en Ng e l k a a r s s p i e g e l b e e l d zijn en D en

D

Y

r e s p I) en DZ' elkaars s p i e g e l b e e l d vermenigvuldigd met

-1

zijn.

Z

- 8

-

Voor een symmetrische belasting moeten alle belastingsgrootheden elkaars spiegelbeeld zijn.

Dit

betekent dus dat:

M M en

N

bestaanbaar zijn en

D

en

D

onbestaanbaar.

Y >

w * y z

Voor een antimetrische belasting; moeten alle belastingsgrootheden elkaars spiegelSeeld, vermenigvuldigd met -1 zijn. Dit betekent dus dat :

D

en

D

bestaanbaar zijn en

MlVS y z

M

MZ en

N

onbestaanbaar.

s-"-

Figuur 2 geeft de verplaatsings- grootheden van het stukje van de constructie dat door het symmetrie-

vlak

steekt. Omdat de beide einden

zo dicht bij elkaar liggen is het duidelijk, dat we zowel voor de

verplaatsing als voor de verdraaiing de vectorpijlen met accent-teken gel$! en gelukgericht inoeten tekenen aan die van de overeenkomstige

zonder aeceené-token.

W i j herinneren eraan, dat de beide

hoekverdraaiingen resp

p

'

wier vectorpijlen s,ymmetrisch getekeEd zij=,

Y z'

toch elkaars spiegelbeeld vermenigvuldigd met -1

zijn

en dat de

Io,

hoek- verdraaiingen, ondanks hun antimetrische vectoren toch elkaars spiegel- beeld zijn.

Het is verder duidelijk dat f en f resp f en fZ' elkaars spiegel- beeld zun en dat fx en fx' elkaars spiegelbeeld vermenigvuldigd met -1 zijn.

Voor de syûìûìetrische belasting moeteb de ËerFlaatsirrgag~ootiieden elkaars spiegelbeeld zijn. Dit betekent dus dat:

Y

Y

z

yX,

f-. en fz bestaanbaar zijn en

Y

en fx onbestaanbaar.

? Y Y y z

Pys

Pz

X

rDx* y z

Voor de antimetrische belasting moeten alle verplaatsingsgrootheden elkaars spiegelbeeld,.vermenigvuldig met -1,

zijn.

Dit betekent dus dat2

en f bestaanbaar zijn en f en f onbestaanbaar.

Om deze resultaten te vergeluken met die van het collegedictaat W

VI (w~-61/6)

moet men bedenken welke beperkingen in het aantal mogelwe belastings- en vervormingsgrootheden de behandeling van resp de vlakke figuur in zijn

vlak

belast en de vlakke figuur lood- recht op zijn vlak belast geeft.

Hiermede rekening houdend kloppen de resultaten geheel op elkaar.

Eindhoven,

6

februari 1965