De warmte-overdracht van een gas met vibratierelaksatie naar de schokbuisachterwand

De warmte-overdracht van een gas met vibratierelaksatie naar

de schokbuisachterwand

Citation for published version (APA):

Jongen, P. H. M. (1971). De warmte-overdracht van een gas met vibratierelaksatie naar de

schokbuisachterwand. Technische Hogeschool Eindhoven. https://doi.org/10.6100/IR171823

DOI:

10.6100/IR171823

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1971

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

DE WARMTE-OVERDRACHT

V AN EEN GAS MET

VIBRATIERELAKSATIE NAAR

DE SCHOKBUISACHTERWAND

(With Summary in English)

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNTSCHE HOGESCHOOL TE EINDHOVEN OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS PROF. DR. IR. A.A.TH.M. VAN TRIER, VOOR EEN COMMISSIE UIT DE SENAAT IN HET OPENBAAR TE VERDEDIGEN OP DINSDAG 21 SEPTEMBER 1971 DES NAMIDDAGS OM 4 UUR.

DOOR

PETER HUBERT MARIA JONGEN

DJT PROEFSCHRIFf IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOR

INHOUD

INLEIDING

2 DE VERGELIJKINGEN

2.1 Beschrijving van de schokreflektie 2.2 De basisvergelijkingen

2.3 De randvoorwaarden

3 OPLOSSING VAN DE VERGELIJKINGEN

pag. 7 10 11 17 3.1 Uitgangspunten 20 3.2 De nulde-orde oplossing 21

3.3 De eerste-orde oplossing voor de grenslaag- 24 verstoringen

3.4 De eerste-orde buitenoplossing voor de vi- 30 bratierelaksatie

3.5 De eerste-orde grenslaagoplossing voor vi- 39 bratierelaksatie 4 DE TRANSPORTKOEFFICIENTEN 4.1 De relaksatietijden 4.2 De warmtegeleidingskoefficienten 5 DE NUMERIEKE OPLOSSINGSMETHODE 42 46 5.1 Inleiding 51 5.2 De differentieschema's 52

5. 3 Onderzoek van de differentieschema 1_{,s 56}

5.4 De differentievergelijking voor de grenslaag 58 6 DE BEREKENINGEN

6.1 De berekende grootheden; frozen-toestand 6.2 De grenslaag invloed

6.3 De invloed van de vibratierelaksatie

61 62

7 HET EKSPERIMENT pag. 7, I Inleiding 72 7.2 De schokbuis 72 7.3 De opnemers 74 7.4 De meetresultaten 81 8 KONKLUSIES 93 SAMENVATTING 95 SUMMARY 97 APPENDIKS I 99 APPENDIKS I I 102 APPENDIKS Ill 103 SYMBOLENLIJST 108 REFERENTIES 112 CURRICULUM VITAE 115

HOOFDSTUK INLEIDING

De laatste jaren is er betrekkelijk veel aandacht besteed aan de re-flektie van een vlakke schokgolf tegen een stilstaande wand, in het bijzonder de achterwand van een schokbuis. De interesse gaat hierbij enerzijds uit naar de bestudering van het reflektieproces op moleku-laire schaal, anderzijds naar de toestand van het gas tussen gere-flekteerde schokgolf en achterwand. In het nu volgende zullen we ons tot dit laatste beperken. Het gebied tussen gereflekteerde schokgolf en wand, in schokbuisterminologie gebied 5, kan men in het algemeen karakteriseren als een stilstaand gas met een hogere druk, tempera-tuur en dichtheid dan- in de oorspronkelijke toestand. De snelle over-gang naar deze kondities maakt gebied 5 geschikt voor de bestudering van verschillende chemische en fysische niet-evenwichtverschijnselen. Een met konstante snelheid voortbewegende schokgolf in een ideaal gas die reflekteert tegen een adiabatische wand resulteert in een gere-flekteerde schokgolf die eveneens met konstante snelheid beweegt. De uniforme toestand in gebied 5 kan dan berekend worden met de stan-daard schokrelaties zoals die in handboeken gegeven warden (zie b.v. Gaydon and Hurle (Ref. I) ),Wanneer er echter niet-evenwichtverschijn-selen een rol gaan spelen zullen er afwijkingen geintroduceerd worden ten opzichte van het boven beschreven "ideale" reflektieproces. Deze niet-evenwichtverschijnselen zijn b.v. warmtegeleiding aan een reeele achterwand, vibratie- dissociatie- en ionisatie-relaksatie achter heengaande en gereflekteerde schokgolf.

Er is al veel aandacht besteed aan de warmteoverdracht van gebied 5 naar de achterwand ten gevolge van konvektie en geleiding in het bijzonder voor eenatomige gassen. Door de invloed van deze warmteover-dracht te bestuderen is het mogelijk gebleken om zowel informatie te verkrijgen over de warmtegeleidingskoefficienten van eenatomige gassen als over de thermische akkomodatiekoefficienten van het gas aan de wand. Zo onderzochten Sturtevant en Slachmuylders (Re£.2) de invloed van de warmteoverdracht aan de wand op de gereflekteerde schoksnel-heid, terwijl Fay en Kemp (Re£.3), Ferron en Fujimura (Re£.4), Collins en Manar (Ref.S), Matula (Ref,6) en Lauver (Re£.7) de

warm-tegeleidingskoefficient relateerden aan de gemeten warmteoverdracht aan de schokbuisachterwand. Enkele onderzoekers hebben aandacht be-steed aan de invloed van relaksatie op de toestand achter de gere-flekteerde schokgolf. Baganoff (Ref.S) gebruikte een speciaal gekon-strueerde snelle drukopnemer om het drukverloop aan de achterwand te registreren en zo een indruk te krijgen van de vibratierelaksatie-tijd van

co

2 achter de heengaande schokgolf. Johannesen e.a. (Ref.9) vonden een numerieke oplossing voor het stromingsveld in gebied 5 voor vibratierelaksatie in

co

2 en gebruikten eigen interferometerop-namen om het dichtheidsveld in 5 te vergelijken met hun voorspel-lingen. Tevens vergeleken zij het berekende drukverloop aan de achter wand met de metingen van Baganoff. De redelijke overeenstemming van

theorie en eksperiment geeft een rechtvaardiging om gebied 5 te ge-bruiken voor relaksatietijdmetingen. Presley en Hanson (Ref.IO) bere-kenden met behulp van rekenintensieve komputerprogramma's het

reflek-tieproc~s via de karakteristiekenmethode. Een bezwaar dat men tegen de berekeningen van Johannasen en Presley kan aanvoeren is dat voor de berekeningen van toestand 5 veel komputertijd vereist is. Dit be-zwaar werd eveneens door Hanson (Ref. 11) gevoeld, die het drukverloop aan de wand analytisch bepaalde voor een chemisch relakserend gas. Deze berekeningen zijn ook bruikbaar voor vibratierelaksatie. Als gevolg van de gedane aannamen is de oplossing slechts geldig voor tijden die van dezelfde orde van grootte zijn als de relaksatietijd achter de heengaande schokgolf. Voor tijden die korresponderen met de relaksatietijd in gebied 5 is de overeenstemming met de eksakte bere-keningen van Ref. 10 minder goed.

Bij de bovenstaande onderzoekingen die betrekking hebben op het schokreflektieproces in een relakserend gas, is de warmteoverdracht aan de schokbuisachterwand buiten beschouwing gelaten. Weliswaar wordt de invloed van de warmteoverdracht op het drukverloop aan de wand door Baganoff (Ref,8) afgeschat voor verschillende polyatomaire gas-sen maar dit gebeurt op grond van de resultaten die verkregen zijn voor een eenatomig gas (Ref.2). Bij het onderhavige onderzoek is nu op de eerste plaats gezocht naar een model dat de warmteoverdracht aan de wand beschrijft in een gas met vibratierelaksatie. De warm-teoverdracht is bestudeerd in de niet-evenwichtsituatie op een

tijd-schaal die overeenkomt met de relaksatietijd

's

in gebied 5. De warmteoverdracht tengevolge van konvektie en gelriding naar de achter-wand wordt, evenals voor eenatomige gassen (Ref.3) beschreven met het z.g.thermische grenslaagmodel. Het gas aan de wand wordt gekoeld in een in de tijd groeiende grenslaag ten gevolge waarvan de dichtheid plaatselijk sterk toeneemt en ekspansiegolven in gebied 5 geintrodu-ceerd worden. Aan het gas-wand kontaktoppervlak wordt de energieover-dracht beschreven met twee verschillende akkomodatiekoefficienten. De ene koefficient behoort bij de energie-uitwisseling tussen rotatie-en translatievrijheidsgradrotatie-en van de gasmolekulrotatie-en rotatie-enerzijds rotatie-en de wand anderzijds, de ander behoort bij de energie-uitwisseling tussen vi-bratievrijheidsgraden en wand. Het model is uitgewerkt voor de situa-tie waarbij het aandeel van de vibrasitua-tieenergie in de inwendige energie klein is, zodat het mogenlijk is een linearisatieprocedure toe te passen. Hierbij is de "frozen" toestand, waarbij de vibratierelaksa-tie nog geen rol speelt, zowel binnen als buiten de grenslaag als nulde-orde oplossing genomen. De oplossingen in en buiten de grens-laag zijn afzonderlijk bepaald; de grensgrens-laagoplossing is via numerie-ke weg verkregen terwijl de buitenoplossing analytisch bepaald kon

worden.-~t model is getest aan de hand van een aantal eksperimenten voor

co

2 en N2,De eksperimenten waren van tweeerlei aard. Aan de schok-buisachterwand werden druk- en temperatuurmetingen gedaan die verge-leken zijn met de theoretische waarden. Via deze vergelijking van theorie en eksperiment kan een uitspraak gedaan worden over de waarde van de thermische akkomodatiekoefficient voor de vibratieenergie aan de wand. De koefficient is namelijk in het model als onbekende para-meter opgevat.

HOOFDSTUK 2 · DE VERGELIJKINGEN

2.1. Beschrijving van de schokgolfreflektie

Voordat we ingaan op de gasdynamische vergelijkingen die het schok-golfreflektieproces beschrijven zullen we aan de hand van onderstaand x'-t' diagrSl!l nagaan welke processen hierbij een rol spelen.

/

/

v;

/ ' t'

' '

··--,..:./

___

_.:__..___----""'

Fig. 2.1 x'-t' diagram van

de

gereflekteerde sahokgolf.

In de Fig. 2.1. komt de koordinaat x' overeen met de afstand vanaf de schokbuisachterwand terwijl de t'-koordinaat correspondeert met de tijd verlopen na het schokreflektie-tijdstip. De heengaande schokgolf be-weegt met een konstante snelheid

v;

in de richting van de wand. Hier-bij gaat de toestand van het testgas door de schokpassage over in een toestand 2 die vlak achter de schokgolf beschreven kan worden met de standaardschokrelaties, De hierbij toe te passen soortelijke warmtes· be-horen bij de zowel in gebied I als in gebied 2 volledig aangeslagen translatie- en rotatievrijheidsgraden. De vibratievrijheidsgraden wor-den minder snel aangeslagen in de niet-uniforme relaksatiezone van gebied 2, die weergegeven is met een gebroken lijn in Fig. 2.1. De

relaksatiezone komt overeen met de relaksatietijd ~~ in gebied 2. De baan van een deeltje, dat zich in gebied 2 voortbeweegt met snelheid u; is schematisch aangegeven met een stippellijn. De gereflekteerde schokgolf loopt met een niet-konstante snelheid

v;

in de

relaksatie-zone van gebied 2. In deze schokgolf worden de rotatie- en translatie-vrijheidsgraden weer volledig aangeslagen.terwijl de vibratievrij-heidsgraden gedurende de relaksatietijd

•5

in gebied 5 aangeslagen worden. Naast de vibratierelaksatie in gebied 5 zal aan de achterwand een ander niet-evenwichtsverschijnsel een rol gaan spelen. Tengevolge van warmtetransport door konvektie en geleiding naar de achterwand zal het gas ter plaatse afgekoeld worden in een in de tijd groeiende grens-laag ter dikte 61

• Door de temperatuurafname hierin zal de dichtheid

sterk toenemen waardoor de thermische grenslaag ekspansiegolven in ge-bied 5 induceert. Zoals reeds in de inleiding vermeld is ligt het aksent bij het onderzoek op de warmteoverdracht aan de achterwand in de relaksatiezone.

2.2. De basisvergelijkingen

De toestand achter de gereflekteerde schokgolf in de relaksatiezone wordt beschreven met de een-dimensionaleNavier-Stokes vergelijkingen.

De druk p', dichtheid p1

en enthalpie h1

voldoen aan de drie vergelijk-ingen van massa-, impuls- en energiebehoud:

dp' + p' dt' p' du' ~ dtT +

3x'

p'

_w

dh' -~ dt' Hierin zijn: h' c T' + e' p V "' 0 (4/3 11' + 11_B> '

axr

au' ~ (4/3 11'+ 111 ) - +

ax'

B T' translatie- en rotatietemperatuur e' vibratieenergie per massa-eenheid

V

(2.2-1) (2.2-2) (~)2

ax'

(2.2-3)

c soortelijke warmte bij konstante druk en konstante

vibratie-P

energie (vibratie"frozen")

q' totale energiefluks ten gevolge van geleiding 11' dynamische viskositeit

11' bulk-viskositeit

Verder wordt de toest.andsvergelijking voor een ideaal gas aangenomen; p1

; p1RT', waarbij R de gaskonstante van het betreffende gas is. Bij lokaal evenwicht tussen de translatie- rotatie- en vibratieenergie is het mogelijk om d~ vibratieenergie rechtstreeks te relateren aan de translatietemperatuur en kan men bovendien de warmtefluks q' via

feno-. ·

1 ... aT'

menologLsche betrekkLngen koppe en aan de temperatuurgradLent

axr·

In het beschouwde gebied heerst echter alleen evenwicht tussen rotatie-en translatierotatie-energie, maar niet tussrotatie-en deze beide rotatie-energievormrotatie-en rotatie-en de vibratieenergie. Het stelsel vergelijkingen moet dus op een andere ma-nier kompleet gemaakt worden. Daartoe wordt het transport van de vi-bratieenergie afzonderlijk beschouwd. De verandering van de vibratie-energie binnen een volumeelement V van het gas wordt gegeven door de relatie:

!!! e' p'dT=- !! ev'p'(_!' • .!!) df + !!! <t>p'dT- !! (q',E.)df (2.2-4)

V v F V F ...::V

De drie termen in het rechterlid van deze vergelijking beschrijven achtereenvolgens de volgende processen die bijdragen tot de inwen-dige energieverandering:

1. konvektief transport van vibratieenergie door het gesloten opper-vlak F dat V omsluit. v' en E. zijn respektievelijk de snelheids-vektor van het medium ter plaatse en de normaalsnelheids-vektor op het oppervlak F. df is het integratie-oppervlakteelementje en d1 het integratievolumeeleme~tje.

2. toevoer van energie via translatie- en rotatievrijheidsgraden van de molekulen. ~ is de per tijdseenheid en per massaeenheid toege-voerde hoeveelheid energie.

3. transport van vibratieenergie tengevolge van geleiding door het oppervlak F. ~ is de energiefluks.

Door de integraalstelling van Gauss toe te passen op de oppervlakte-integralen (2.2-4) waardoor deze overgaan in volumeintegralen, wordt de volgende differentiaalformulering voor de transportvergelijking van de vibratieenergie verkregen:

de' a~

De energievergelijking voor de translatie- rotatieenergie wordt ver-kregen door (2.2-5) in mindering te brengen op de energievergelijk-ing (2.2-3):

(2.2-6)

De totale energiefluks q' is dus gesplitst in een rotatie+ trans-latie-aandeel q' en een vibratie aandeel

a'.

De vergelijkingen zijn

tr -v

niet oplosbaar zolang de bronterm ~. de energiefluks q' en de ener-tr

giefluks ~ niet gerelateerd zijn aan de overige fysische grootheden. Het is in principe mogelijk om deze veelal empirische relaties ook via statistische mechanika of via het formalisme van de thermodynamika af te leiden, De relaties die in het model aangenomen zijn, zijn de volgenden:

e ,!11: - e'

.p i= V V _(2.2-7)

••

q~r -A'

_axr

aT'

(2.2-8)

ae'

~=-Kt

_axr

V (2.2-9)

De grootheden e~x, ,•,;~.• en K' zijn respektievelijk de evenwicht-vibratieenergie bij de translatietemperatuur T', de relaksatietijd

(die een functie is van p' en T') en de warmtegeleidingskoefficienten van rotatie + translatie- en van vibratieenergie. Bij de toepassing voor de verschillende gassen (N

2,

co

2) zal nader worden ingegaan op de achtergronden die tot daze relaties hebben geleid. (hfst.4) De vergelijkingen (2.2-1,2,5,6) worden dimensieloos gemaakt om moge-lijke verschillende ordes van grootte van de diverse termen duidelijk-er tot uitdrukking te laten komen. Daartoe wduidelijk-erden de volgende refe-rentiegrootheden uit gebied 5 in de frozen toestand genomen: de ge-luidsnelheid aSf' de relaksatietijd 'sf' de druk Psf' dichtheid Psf en temperatuur TSf' Met behulp van deze grootheden worden de volgende dimensieloze variabelen gedefinieerd:

T T'/T'

5f p p' I~£ p p' /p' 5f u u'/aSf t t,

h:

sf X _x'

I

_{(a_5{-rSf)}

e e'/(c T' )

V V p Sf

De dimensieloze transportkoefficienten zijn:

>. • >.'/>.'

Sf K K

1_{c />.'}

p 5£ (4/3 ~· + ~·) ~~· B Sf

terwijl eveneens gebruik gemaakt zal worden van de dimensieloze ko-ordinaat:

X

~

r

p(x, t') dx 0

De dimensieloze vergelijkingen voor behoud van massa, impuls, trans-latie-rotatieenergie en vibratieenergie waarin de dichtheid met be-hulp van de toestandsvergelijking geelimineerd is, worden dan:

T p ~ c p

at

p

ae

~b

_at

R (~~) T

an

e V - e V (2.2-10' (2.2-11) (2.2-12) (2.2-13)

Vergelijking (2.2-10) is geldig omdat ter plaatse x'• 0 de snelheid u' aan de wand steeds gelijk aan nul is. In bovenstaande vergelijk-ingen zijn de dimensieloze getallen R en Pr gedefinieerd als:

R

De grootte-orde van het getal van Prandtl Pr is voor de meeste gassen 1. Omdat verder de grootte-orde van R een belangrijke rol zal spelen zullen we deze grootte-orde afschatten aan de hand van een numeriek voorbeeld, alle waarden of relaties in SI-eenheden.

R "' (2.2-14)

Beperken we ons tot stikstof dan volgt uit de publikatie van Appleton (Ref. 12) dat de relaksatietijd gegeven kan worden door de betrekking:

Verder is c voor stikstof van de grootte-orde 103 zodat men voor R

p

vindt:

Zoals zal blijken zijn de kondities waarbij de vibratierelaksatie in gebied 5 bestudeerd wordt zodanig dat T_5 maximaal 4000 K is. Omdat bij een dergelijke temperatuur "sf

%

0,1 geldt voor R:

Vanwege de grote waarden van R is bij de aanpak van het stelsel verlijkingen de grenslaagbenadering toegepast zoals dit reeds eerder ge-daan is door van Dijke (Ref.l3) en Traugott (Ref,J4) voor het Rayleigh probleem en door Goldworthy (Ref.l5) en Sturtevant en Slachmuylders

(Ref.2) voor de schokreflektie in een eenatomig gas, Zoals zal blijken, blijft de warmtegeleiding in gebied 5 slechts beperkt tot een rela-tief klein gebied aan de wand, de thermische grenslaag, waardoor de vergelijkingen (2.2-10 t/m 13) zowel binnen als buiten deze grenslaag vereenvoudigd kunnen worden.

Voor R + oo (andere termen konstant verondersteld) zal het stelsel

(2.2-10 t/m 13) reduceren tot de Eulerse vergelijkingen waarbij vis-kositeit en warmtegeleiding verwaarloosd worden. Omdat

11i

< 10-3

-3

en termen van de grootte-orde 10 of kleiner in het vervolg verwaar-loosd worden kunnen we het stelsel (2.2-10 t/m 13) vereenvoudigen tot:

T

au

+ .!_ 2g = ₀

at

r an

aT

at

(2.2-16) (2.2-17) (2.2-18)

De oplossing, die door dit stelsel bepaald wordt, wordt de buiten-oplossing genoemd. Dicht bij de wand in de temperatuurgrenslaag kan bovenstaand stelsel de oplossing niet bepalen omdat hier de warmte-geleiding per definitie een belangrijke rol zal spelen. Uit vgl.

(2.2-12) blijkt dat de term 1/R

~n ~a~'

dus de warmtegeleiding, mee-speelt in het gebied waar n

=

O(R-!). In dit geval is de warmtegelei-dingsterm namelijk van dezelfde orde van grootte als de overige termen. Daarom wordt de oplossing in de temperatuurgrenslaag beschreven met

_{_,}

een koordinaat ~ die daar ter plaatse van de orde I is: o/

=

R~n. De grenslaagvergelijkingen worden dan, uitgaande van de vergelijkingen (2. 2-10 t/m 13) : 3u

at

11:: _

~.! ap _ a p/1.

at

c

pat-

a'l!

r

p

ae

~=:L ac a'l! yPr c p (2.2-19) (2.2-20) (2.2-21) (2.2-22) ~ I

Uit (2.2-19) volgt dat de snelheidsvariatie u een grootte-orde R-1

kleiner is dan de overige grootheden waardoor bij verwaarlozing van de grootte-orde

R-!

de termen die de snelheid u bevatten in vgl. (2.2-20 en 2J)wegvallen. Het stelsel vergelijkingen vereenvoudigt dan voor de temperatuurgrenslaag tot:

au

1

a

T

0

:t

aT =

L

(PA oT) - ev_-_e..;..v_

a¥

T

a¥

,

~ c p

at

p ae ae e :t - e

a/

=

~¥ (~K

'd'J/>

+ _v..;.__"_..;.v_ (2.2-24) (2.2-25) (2.2-26)

Dit stelsel laat zien dat de drukgradienten in de temperatuurgrens-laag verwaarloosbaar zijn en dat de snelheid u die door de grenstemperatuurgrens-laag in gebied 5 gefnduceerd wordt, in grootte-orde overeenkomt met

;-!.

Konkluderend blijkt dus dat het oorspronkelijke algemeen stelsel ver-gelijkingen in gebied 5 vereenvoudigd kan warden tot een stelsel dat geldig is binnen de temperatuurgrenslaag en een ander dat daarbuiten geldig is. Dezelfde aanpak vindt men terug in het grenslaagprobleem van de vlakke plaat in een paralelle stroming. In dit geval blijken de viskeuze effecten beperkt te blijven tot een kleine laag, waardoor het verschijnsel ter plaatse met andere vergelijkingen beschreven wordt dan daarbuiten. Evenals bij de viskeuze grenslaag moet oak hier de buitenoplossing.voor de "buiten koordinaat" naar nul (n + O)overeen-komen met de grenslaagoplossing voor de grenslaagkoordinaat naar onein-dig (¥ + oo).

2.3. De randvoorwaarden

Beschouwen we gebied 5 (Fig.2.1) dan zien we dat dit begrensd wordt door de gereflekteerde schokgolf en door de achterwand. De voorwaar-den die aan het schokfront van toepassing zijn, zijn duidelijk. Hier gelden de standaardschokrelaties voor de dichtheid-, druk- en tempera-tuursprong m~t soortelijke warmtes behorend bij de aan beide kanten van het schokfront volledig aangeslagen translatie- en rotatievrij-heidsgraden. De vibratieenergie verandert niet over het schokfront. De plaats waar deze schokrelaties in het x'-t' vlak toegepast dienen te worden ligt echter niet op voorhand vast omdat de variabele schok-snelheid V' mede bepaald wordt door de oplossing in gebied 5.

r

Naast de voorwaarde aan de wand dat de snelheid u' ter plaatse gelijk aan nul moet zijn moeten de randvoorwaarden voor de translatie-rotatie-temperatuur T' en de vibratieenergie e~ nog gedefinieerd warden.

Hier-toe wordt een akkomodatiekoefficient at voor de translatie-rotatie-temperatuur en een akkomodatiekoefficient voor de vibratieenergie ingevoerd. a V E . - E v,~ v,r Ev,i - E v,w

B is de energiestroom, met index i naar de wand toe, met index r van de wand af. De index w geeft de energiestroom aan waarbij de deeltjes een energietoestand hebben die behoord bij de evenwichttoestand met de wandtemperatuur T'. Verder hebben de indices ten v betrekking op

w

respektievelijk de translatie-rotatieenergie en de vibratieenergie. Met behulp van de Maxwell-Knudsen theorie komt Kennard (~e£.16), uit-gaande van bovenstaande definitie van at' tot de volgende relatie aan de wand:

r' aT']

t oX1 X +0

T']

X "' +0 -

T~

(2.3-1)

waarbij de temperatuursprongafstand gegeven wordt door:

t

r• .. (2~y )~ ~

t y+1

A.'

Rierbij is y de verhouding van de soortelijke warmtes bij konstante druk en konstant volume.

Op dezelfde wijze kan afgeleid worden dat voor de vibratieenergie de volgende relatie geldig is:

Cie

'J

I V

~ x= +0 ev • ] x= +0 -e'*(T') v w

waarbij de vibratieenergiesprongafstand gedefinieerd is als: 2 - Cl.

a

V V

(2.3-2}

De relaties (2.3-1) en (2.3-2), die randvoorwaarden voor de grens-laagvergelijkingen zijn, worden in de grenslaag-koordinaat en in di-mensieloze vorm:

T] x= +0 - Tw (2.3-3)

e

J -

e :t(T )

V x=+O V w (2.3-4)

De wandtemperatuur T~ zal tengevolge van de energiestroom naar de wand toe groter zijn dan de oorspronkelijke temperatuur

r;

voor re-flektie. De verhouding van het kontaktgeleidingsvermogen van wand en gas, is echter zo groot (> 104) dat de temperatuurtoename T' - T'

w I

relatief klein (< 1%) ten opzichte van het temperatuurverschil

TS - Ti

zal zijn. Daarom kan.men bij de bepaling van de warmtestroomdicht-heid, die qua orde van grootte evenredig met

TS

isotherm (T~ = Tj) beschouwd worden.

T' is, de wand als

HOOFDSTUK 3

OPLOSSING VAN DE VERGELIJKINGEN 3.1. Uitgangspunten

De oplossingsmethode voor de afzonderlijke stelsels vergelijkingen voor thermische grenslaag en het gebied daarbuiten is ge.baseerd op twee uitgangspunt:en. Allereerst is er aangenomen dat de invloe.d van de t:her-,. mische grenslaag op de buitenoplossing relatief klein is, terwijl daar-naast de invloed van de vibratierelaksatie op zowel de buit:enoplossing als grenslaagoplossing eveneens klein verondersteld is.

Wanneer men in eerst:e instantie de verandering van de vibratie-energi.e buiten beschouwing laat:, dus de toestand in gebied 5 met de bijbehorende thermische grenslaag als "frozen" beschouwt:, t.rot·den de vergelijkingen (2.2-15 t/m 18) en (2.2-23 t/m 26) sterk vereenvcudigd. De gereduceerde vergelijkingen zijn identiek aan de vergelijkingen die de toestand in gebied 5 beschrijven voor een eenatomig gas. Het uit-gangspunt: bij de hierbij behorende oplossingsmethode zoals die b.v. gegeven wordt door Goldsworthy (Ref. 15) is, dat de koppeling tussen grenslaag- en buitenoplossing in eerste instantie als eenzijdig be-schouwd kan warden. De buit:enoplossing is dan onafhankelijk van de thermische grenslaag terwijl de grenslaagoplossing onder meer be-paald wordt door deze buitenoplossing. Deze gedachtengang is ook hier

~.

geoorlocfd omdat de grootte-orde van R2 groter is dan 1, zodat bij verwaarlozing van

R-!

vanwege vgl. (2.2-23) de snelheid u in de grens-laag gelijk aan nul verondersteld kan worden. Omrlat bovendien aar. de buitenkant van de grenslaag de temperatuurgradient nul is, zal de buitenoplossing in nulde.-orde overeenkomen met de toestand achter een schokgolf die tegen een adiabatische wand gereflekteerd is. De nulde-orde grenslaagoplossing wordt dan gevonden uit de grenslaagverge-lijkingen met aan de buitenkant (V + w) de nulde-orde buitenoplossing als randvoorwaarde. De eerste-orde buitenoplossing ten gevolge van de terugkoppeliug tussen grenslaag en het gebied daarbuiten vindt men door de snelheid u als randvoorwaarde ter plaatse

n

=

0 toe te passen. Deze u wordt via vgl. (2.2-23) gevonden uit de nulde-orde grenslaag-oplossing. Met de eerste-orde buitenoplossing kan dan de eerste-orde grenslaagoplossing weer gevonden warden.

In deze studie zijn, naast de eerste-orde grenslaageffekten, de vi-bratierelaksatieeffekten eveneens in rekening gebracht. Hierbij is aangenomen dat deze effekten relatief klein zijn zodat met betrekking tot de relaksatieinvloeden gelineariseerd kan worden ten opzichte van de frozen toestand. Omdat beide effekten, te weten de terugkoppel-ing grenslaag-buitengebied en vibratierelaksatie, samen optreden en

'

voor beide effekten gelineariseerd is, wordt de werkelijke toestand beschreven met de som van de nulde-orde"frozen"oplossing, de eerste-orde oplossing voor grenslaagverstoringen en de eerste-eerste-orde oplossing voor relaksatieverstoringen. De eerste-orde oplossingen worden beiden beschouwd omdat het niet mogelijk is een algemeen geldige uitspraak te doen over de grootte-'"orde van de onderlinge verhouding van deze op-lossingen.

3.2. De nulde-orde oplossingen

Buiten de thermische grenslaag wordt de oplossing bepaald door het stelsel verge1ijking<n l2.2-l5 t/m 18) waarbij de bronterm

(e

* -

e )/T buiten beschouwing wordt gelaten:

V V ClT 0

at-

- = Clpo 0 c p Clt p 0

De grootheden in gebied 5 in de frozen toestand

(3.2-1)

(3.2-2)

(3.2-3) voldoen aan dit stelsel vergelijkingen. De dimensieloze grootheden hebben dus in nulde-orde de volgende waarden: u

0

=

0 en T0

=

p0

=

1

De snelheid van de gereflekteerde schokgolf die bij de frozen toe-stand hoort is de snelheid die berekend wordt via de toe-standaard schokrelaties voor konstante y

=

c /c • De nulde-orde schokgolfbaan

p V in het n - t vlak is dus een rechte.

In de buurt van de wand geldt het stelsel grenslaagvergelijkingen (2.2-23 t/m 26) dat voor de nulde-orde oplossing reduceert tot:

()p ~= 0 3'1' 3T 0 RT0 3p0 3 P0A0 3T0

at - cp at

= ()'!' - T -

Mt

p 0 0 (3.2-4) (3.2-5) Uit de eerste van deze twee laatste vergelijkingen blijkt dat de drukvariatie in eerste orde over de grenslaag nul is. Omdat verder buiten de grenslaag de druk ook konstant is en gelijk aan de frozen waarde p

0 = I kan men de laatste vergelijking voor de

tem-peratuur vereenvoudigen tot de eenvoudige diffusievergelijking:

waarbij ~(T) A(T)/T

3T

0

M'

(3.2-6)

De randvoorwaarde aan de buitenkant van de temperatuurgrenslaag voor 'I' + ~ is de voorwaarde dat de nulde-orde buitenoplossing voor n + 0 overeenkomt met de grenslaagoplossing voor 'I' + ~ :

'I' + "' T

0 (3.2-7)

De randvoorwaarde aan de achterWand kan men vinden via vg1.(2.3-3). Hiertoe is enige informatie over de akkomodatiekoefficient at noodzakelijk. We stellen voorop dat geen eksakte waarden van at voor de verschillende meeratomige gassen bekend zijn. Het blijkt echter wel mogelijk om de grootte-orde van at af te schatten. We beperken ens hierbij tot N

2 en

co

2. De volgende eksperimentele gegevens zijn bekend:

I) Kennard (Ref.I6) geeft voor de totale akkomodatie koefficient voor de thermische energie de waarden 0,68 en.O,S2 van respektieve-lijk N

2 en

co

2 aan Platina bij kamertemperatuur.

2) Voor dezelfde temperatuur geeft Hobson in het boek van Flood (Ref. I7) de waarde 0,8 voor deze akkomodatiekoeffient van N₂ aan glas.

Omdat bij kamertemperatuur de vibratieenergie niet of nauwelijks aan het energietransport deelneemt en omdat voor eenatomige gassen van

vergelijkbaar molekuulgewicht met uitsluitend translatieenergie de akkomodatiekoefficient + 0,5 is, is er aangenomen data voor zowel

- t

co

₂ als N

2 in orde van grootte gelijk is aan 0,5. Waarschijnlijk ligt deze waarde voor de schokbuisachterwand nog dichter bij l omdat bij akkomodatiekoefficient-bepalingen gewerkt wordt met goed schoongemaakte wanden om reproduceerbare metingen te verrichten. Uit deze metingen blijkt dat voor wanden die geen speciale reinigings-procedure ondergaan hebben, zoals de schokbuisachterwand, de akko-modatiekoefficient grater zal zijn. Men kan dus aannemen dat (2 - at)/at in de randvoorwaarde van de orde l is. Omdat er verder termen van de grootte-orde

i-!

in de nulde-orde oplossing verwaarloosd warden re-duceert (2.3-3) tot:

'!'

=

0 : T = T

0 w (3 .2-8)

De beginvoorwaarde voor de diffusievergelijking is niet zonder meer duidelijk. De red~n hiervoor is de minder goede beschrijving van de temperatuurgrenslaag door het stelsel voor kleine waarden van t. Voor kleine tijden is de grenslaagafmeting, gemeten in de ko-ordinaat

n,

bijzonder klein. Omdat daar ter plaatse R eveneens

-·

klein is zal voor eindige '!'in de transformatie '!'

=

R2_{n de waarde} van n korresponderen met een punt buiten de grenslaag, waar de kon-dities overeenkomen met de buitenoplossing. Dus voor t'% TSf nemen we als beginvoorwaarde:

t 0 (3.2-9)

Vanwege de randvoorwaarden (3.2-7, 8) en deze beginvoorwaarde is het mogelijk om vergelijking (3.2-6) te schrijven in de gelijkvor-migheidkoordinaat z =

'1'/lt.

Hierdoor gaat de partiele differenti-aalvergelijking over in de gewone differentidifferenti-aalvergelijking:

dT dT 1 z _2_ + !__ t/J (T ) 0 0 2 _{dz dz o} ~ ₌ {3.2-10) z = 0 : T w z + .. T +

Wanneer ~ temperatuuronafhankelijk is is de oplossing van (3.2-10) bekend (zie b.v. Carlslaw en Jaeger (Ref.22). Bij een zwakke temperatuurafhankelijkheid van ~ is het mogelijk via een linearisatieprocedure een analitische oplossing te verkrijgen (zie b.v. Fizdon (Ref. 19)).Er is echter gekozen voor een alge-mener toepasbare oplossingsmethode, namelijk de numerieke. Hier-bij werd gebruik gemaakt van een beschikbare standaard integratie-procedure (Runge-Kutta methode) voor een tweede-orde differentiaal-vergelijking. Het is hierbij noodzakelijk dat de startwaarden voor de integratie (aan de wand) van temperatuur en temperatuurgradient bekend zijn, Omdat in ons geval de temperaturen ter plaatse z = 0 en z

=

~ gegeven zijn is er gebruik gemaakt van de zogenaamde "shooting technique". Hierbij wordt de gradient dT

0/dz op z 0

voorgeschreven en iteratief veranderd totdat T

0 op z = oo de daar

voor-geschreven waarde I heeft.

Het is mogelijk om uit de verkregen oplossing voor de temperatuur grenslaag de warmtestroomdichtheid te bepalen. In het algemeen wordt de warmtestroomdichtheid aan de wand gegeven door de volgen-de relatie:

H' -;~.'axr=-aT' P' a ' - -~(Tw) aT] 5 5 ~ _an

R

- _y_ p' a' ~(T )

y-1 5 5 w (Rt)! aT] az z

=

0

Voor de nulde-orde warmtestroomdichtheid levert dit:

H' ₀

=

p' a' ~(T ) (Rtf~ 2, ctT ] ~ 5 5 w az z = 0

n 0 (3.2-11)

(3.2-12)

De druk aan de achterwand is in nulde-orde benadering gelijk aan de frozen waarde Psf'

3.3. De eerste-orde oplossing voor de grenslaagverstoringen Door in het stelsel vergelijkingen (2.2-15} t/m 18) voor druk, temperatuur en snelheid respektievelijk als variabelen aan te nemen: p = p +

p,

T = T + ~ en u

=

~ krijgt men voor de

ordeverstoringen

p,

~ en ~ de volgende vergelijkingen voor de bui-tenoplossing: 'V

- r.:.!.

2.£.

= 0

r at

(3.3-l) (3.3-2) (3. 3-3)

al!

Door

at

met behulp van (3.3-3) te elimineren in (3.3-1) en (3.3-1) vervolgens bij (3.3-2) op te tellen, respektievelijk in mindering te brengen krijgt men de volgende akoestische vergelijkingen:

Hierbij Zl.Jn tingen dn = I dt De lijnen n = 'V

"'

~ +

l

<lp

=

aa

r aa

0 (3.3-4)

"'

'V

au _

ll£.

=

_{0 (3.3-5)}

as

r as

aa

en

as

de differentialen in de karakteristieke rich-en dn

= -

J.

dt+

t + C en n

= -

t + C- (C+ en C zijn integratiekon-stanten) worden respektievelijk plus- en minkarakteristieken ge-noemd. Zoals uit de bovenstaande vergelijkingen (3.3-4, 5) blijkt is de grootheid ~ + p/y konstant langs de pluskarakteristieken en de grootheid ~- p/y konstant langs de minkarakteristieken. Er geldt dus langs een plus- en minkarakteristiek:

r

(3.2-6)

(3.2-7)

De waarden van

r+

en

r

kunnen van karakteristiek tot karakte-ristiek verschillen. Zoals bekend kan men in de akoestische be-nadering elke verstoring ~ en

p

in het veld opgebouwd denken uit

. . + + . .

enkelvoud1.ge verston.ngen u en p die op de pluskarakterl.Stl.ek konstant zijn en verstoringen u- en p die dat pp de minkarak-teristiek zijn. Dit kan men aantonen met behulp van de

'\, r+ + (3.3-8) u - + u + u 2 + '\, _{ri. ri..} + (3.3-9) p 2 2 p + p

Hieruit volgen tevens de akoestische relaties voor de enkel-voudige golven: p = - Y .!'._ = - yu (3.3-10) 2 (IJ.t.l

/',

'l' I '.f'-r ~~ ~ .... ~~~ / / I /

Fig. 3.1 Karakteristieken achter de gerefLekteerde schokgoLf.

Zoals in Fig. 3.1. is aangegeven in het

n-

t vlak kan men de verstoringen in ~ en

p

in een willekeurig punt in gebied 5 bepalen via de karakteristieken die bij dit punt horen als de randvoor-waarden aan de wand en aan de gereflekteerde schokgolf bekend zijn. De randvoorwaarden aan de schokgolf voor de eerste-orde versto-ringen moeten toegepast worden op de nulde-orde schokbaan, dus de schokbaan die overeenkomt met de frozen snelheid V'. Een enkel-_r voudige akoestische verstoring die langs een pluskarakteristiek loopt zal aan de schokgolf gereflekteerd worden omdat in gebied 2 de stroming supersoon is ten opzichte van de schokgolf. De voor-waarden ter plaatse van de schokgolf volgen uit de schokrelaties voor de frozen gereflekteerde schokgolf. Zoals in appendiks I af-geleid is bestaat er een verband tussen de snelheidsverstoring

d

en de drukverstoring ~ aan de schokgolf. Daar ter plaatse vindt

men dan met behulp van de akoestische relaties het verband tussen + p en p : 2 2

!

A

2:rf

(2+(:-J)Mrf\ Mrf+l 2yMrf- y+ll (3.3-10) waarbij

Mrf is het Machgetal van de stroming voor de schokgolf ten opzich-te van deze schokgolf en betrokken op de geluidsnelheid aZf opzich-ter plaatse. E heeft maksimaal de waarde 0,06 voor M

1 -+ ""·

In de toepassing van het model is de maksimale waarde van het Mach-getal M

1 van de heengaande schokgolf 6, zodat E maksimaal 0,04 is. De gereflekteerde drukverstoring p+ is dus een grootte orde kleiner dan p • Als konsekwentie van de gevolgde linearisatieprocedures worden deze gereflekteerde golven verwaarloosd, Dit houdt in dat verstoringen p en u langs de minkarakteristieken nul zijn. De randvoorwaarde aan de wand is dat de snelheid ~ daar gelijk moet

'V

zijn aan de snelheid u

0(t) aan de rand van de temperatuurgrenslaag. Deze zal uit de eerste-orde grenslaagvergelijkingen volgen. Voor de eerste-orde buitenoplossing krijgt men dan de.voorwaarde:

l) ~ 0:

Omdat p

=

0 geldt de volgende relatie aan de wand:

0: "' _p = p +

(3.3-11)

(3.3-12)

In een willekeurig punt (n

0,t0

) zal de druk dan gegeven worden

door:

p

=y u (t - l) )

0 0 0 (3.3-13)

Zoals zal blijken is de temperatuurvariatie ten gevolge van de ge-induceerde snelheid u'

0 ter plaatse van n

=

0 van belang voor de grenslaagoplossing. De temperatuurvariatie volgt uit de energie-vergelijking (3.3-3):

Cl/ v-1 'V

n = 0: I

=

~ p = (y-1) u (t)

y 0 (3.3-14)

De eerste-orde grenslaagvergelijkingen worden gevonden uit de oorspronkelijke grenslaagvergelijkingen (2.2-23 t/m 25):

"'

_;-l

ou

_(3,3-15) 3'1' = PO

22.=

0 (3.3-16) <l'l'

Zoals uit (3.3-15) blijkt volgt de snelheid ~ direkt uit de nulde-orde grenslaagoplossing:

"'

u = (3.3-18)

Door gebruik te maken van de differentiaalvergelijking (3.2-6) die de nulde-orde oplossing bepaalt en van het feit dat p

0

=

I kan (3.3-18)

herschreven worden tot:

(3.3-19)

Voor de snelheid ~ (t) aan de rand van de grenslaag vindt men dan:

0

(3.3-20)

Evenals Sturtevant (Ref.2) vinden we dus dat de geinduceerde snelheid rechtevenredig is met de nulde-orde warmtestroomdichtheid,

Vergelijking (3.3-16) laat zien dat ook in de eerste-orde benadering de drukgradienten geen rol spelen, In vgl. (3.3-17) is dit reeds toege-past.

Bij de temperatuurvergelijking (3.3-17) moeten nog rand- en beginvoor-waarden gedefinieerd worden. De eerste-orde randvoorwaarde aan de wand volgt uit (2, 3-3) : A

r

2-a, t (l t (3.3-21) -I

Omdat~:y van de orde 10 is en we ons beperken tot verstoringen van de orde R wordt ook hier de temperatuursprong aan de wand verwaarloosd, dus:

"'

0: T "' 0 (3.3-22)

De voorwaarde voor ~ + 00 komt overeen met de eerste-orde

buiten-oplossing voor

n"'

0. Vergelijking (3.3-14) geeft dan:

(3.3-23)

Evenals bij de nulde-orde oplossing is de beginvoorwaarde ook hier niet zonder meer duidelijk. Op dezelfde gronden als daar wordt hier aangenomen dat de beginvoorwaarde korrespondeert met de randvoor-waarde voor kleine ·t, Uit (3.3-20) blijkt dat u

0 voor t + 0 naar oneindig toe gaat zodat we via (3,3-23) krijgen:

t + 0 'l' > 0 ~ .... "' Overgang op de gelijkvormigheidkoordinaat z vergelijking (3~3-17): t (

ai< -

t i

T

aP')

at y oat z "' 0:

1'

0

'l'/lt

geeft voor de (3.3-24)

de grenslaag. Deze wordt gegeven door (3.3-12) voor n = 0.

Defini-~! 0 'V

eren we nu Q = R ~(T ) (aT /az)

0 dan is de snelheid u~ aan de wand

w o z= u

van de grenslaag ~

0

=

-Q!It

(zie 3.3-20).

Wanneer men nu stelt dat de oplossing ~ en de drukvariatie

p

gegeven worden door respektievelijk ~ = Tz/lt en

p

=

p*/lt waarbij Tz en pz slechts een funktie van z zijn,dan is ~ de oplossing van (3.2-24) als

r*

voldoet aan:

=

(T:lf-y (3.3-25)

z = 0: T:lf 0

z + oo: - (y-l)Q

Hierbij is p* yQ. Evenals de nulde-orde oplossing is de eerste orde oplossing

r*

numeriek bepaald uit (3.3-25).

Uit de algemene vergelijking voor de warmtestroomdichtheid aan de wand (3.2-11) kan nu de eerste-orde warmtestroomdichtheid ten ge-volge van de grenslaaginvloed bepaald worden.

(3.3-26)

3.4. De eerste-orde buitenoplossing voor vibratierelaksatie Bij deze eerste-orde oplossing worden de door de nulde-orde grens-laagoplossing gelnduceerde verstoringen (die in de voorafgaande paragraaf behandeld zijn) verder buiten beschouwing gelaten. Ten-gevolge van de vibratierelaksatie in gebied 2, achter de heen-gaande schokgolf, zal de oplossing in gebie.d 5 mede bepaald worden door verstoringen in 2 ten opzichte van de oorspronkelijke frozen

toestand.

Om de verstoringen in de verschillende gebieden te onderscheiden wordt de volgende afspraak gemaakt. De grootheden zonder cijfer hebben betrekking op gebied 5, de grootheden met indeks-cijfer I en 2 hebben betrekking op gebied I voor de heengaande

schok-golf en op gebied 2 achter deze schokschok-golf. Verder zijn de groot-heden die niet voorzien zijn van een aksent met de frozen waarde dimensieloos gemaakt.

De basis van de eerste-orde buitenoplossing in het algemene stelsel (2.2-15) t/m (2.2-18). Dit stelsel geeft voor de snelheids-verstoring ~. de temperatuurverstoring ~ en de drukverstoring

p

de volgende vereenvoudigde vergelijkingen:

(3.4-1) (3.4-2) 1: e - e V V 1" (3.4-4) d 1 . ·k· (3 4 I) d d · ·

a't

In e eerste verge LJ Lng • - wor t e temperatuurvarLatLe

at

weer geelimineerd met behulp van de vergelijking (3.4-3). De som en het verschil v~n de twee vergelijkingen (3.4-l) en (3.4-2) geven dan samen met de vergelijking (3.4-4) de volgende twee vergelijkingen:

(3.4-5)

(3.4-6)

Hierbij zijn da en da weer de differentialen in de karakteristieke

. . dn dn ( / ) ·

rLchtLngen

dt

I en

dt

= - I. Vanwege de bronterm

a

ev at Ln de bovenstaande vergelijkingen zullen de enkelvoudige verstoringen u+, p+, u en p , in tegenstelling met de eerste-orde grenslaag-verstoringen niet konstant blijven langs de karakteristieken.

De verdere aanpak van de vergelijkingen (3.4-5,6) is in hoofdlijn gebaseerd op de berekeningen van de verstoringen acbter de heengaan-de schokgolf in een schokbuis tengevolge van heengaan-de grenslagen aan heengaan-de zijwanden, die uitgevoerd werden door Mirels (Ref. 18). Bij de

een-dimensionale beschrijving van deze laatste grenslaagverstoringen komt Mirels namelijk tot dezelfde inhomogene akoestische verge-lijkingen als (3.4-5,6) met in plaats van een bronterm tengevolge van vibratierelaksatie een massabronterm tengevolge van de zijwandgrens-lagen. Zoals uit Ref. 18 blijkt kunnen de verstoringen ~ en

p

die door (3.4-5) en (3.4-6) bepaald warden, samengesteld gedacht warden uit enkelvoudige verstoringen

'V p + u + u + p + p

\vaarbij de akoestische relaties gelden: u+

+ L y u = _£._ y (3.4-7) (3.4-8)

De volgende relaties gelden voor veranderingen van de enkel-voudige verstoringen in de karakteristieke richtingen:

ae

1. V (lu ~ ) 2

at;

()j3

2

<le 1. ___:!_ (3.4-9) 2

at

Omgekeerd blijkt dat wanneer bovengenoemde eigenschappen van de enkelvoudige verstoringen gelden ~ en

p

aan de vergelijkingen (3.4-5 en 6) voldoen. Voordat bovenstaande relaties voor ~ en

p

toegepast kunnen worden om deze verstoringen te berekenen moeten zowel de vibratieenergie e in gebied 5 als funktie van D en t

V

als de randvoorwaarden bekend zijn, De vibratieenergie wordt nader bepaald door vergelijking (3.4-4). Hierbij wordt in deze benadering e! bij de frozen temperatuur TSf en de relaksatietijd bij de frozen temperatuur en druk

r;f

en pSf genomen. De algemene oplossing is dan:

e:lt: - (e11 - e ) exp

v v vr (3.4-10)

Hieruit volgt: (3 .4-l I)

e is de vibratieenergie, afhankelijk van

n,

die het deeltje heeft vr

Fig. 3.2 SahokrefZektie in

n-t

diagram; de gebroken Zijn geeft een deettjesbaan weer.

schokgolf. De situatie is geschetst in het n- t diagram in Fig. 3.2. De n-afhankelijkheid van (3e /3t)komt tot uitdrukking in t .t is ge-_{v r r} relateerd aan n via de dimensieloze schoksnelheid Vr = V~/aSf vol-gens de relatie n = trVr.

De randvoorwaarden kunnen gesplitst warden in die aan de wand en die aan de gereflekteerde schokgolf. De randvoorwaarde aan de wand is in dit geval de snelheid u

0 die volgt uit de eerste-orde

grenslaagop-lossing voor vibratierelaksatie. Omdat hierbij de eerste-orde

grens--'

laagverstoringen van O(R 2 ) buiten beschouwing zijn gelaten zal blijken dat in dit geval u

0

=

0. Dit betekent dat voor de enkelvou-dige verstoringen aan de wand :

"'

+ _{1:= 0}

u u + u

y y

+ +

dus: n 0: u

-

u p. = p (3.4-12)

De voorwaarden aan de gereflekteerde schokgolf zijn minder een-voudig. De randvoorwaarden van de eerste-orde verstoringen moeten toegepast worden aan de nulde-orde, dus de "frozen" ;;chokgolfbaan. We merken allereerst op dat aan de schokgolf niet alleen de ver-st:oringen ringen in

p,

~ en ~ van

.

"'

geb1.ed 2·: p 2,

gebied 5 een rol spelen maar ook

versto-"'

"'

a

tengevolge van de vibratierelaksatie ten opzichte van de oor-spronkelijke frozen toestand in gebied 2, Zoals uit (3.4-11) blijkt moet verder de vibratieenergie e aan de schokgolf bekend

vr

zijn bij de bepaling van de verstoringen in gebied 5. Deze is ter

plaatse gelijk aan evZr de vibratieenergie in gebied 2. Met behulp van de schokrelaties is het mogelijk om de verstoringen ~.

p

in

' d 5 'V ::11 'V k . .

geb~e en p

2, L2 en u2 aan el aar te relateren. v~a de akoest~sche

• • - + 'V ::11 "'

relat~es kan men dan een verband afle~den tussen p , p en u

2, T2,p2• In appendiks I is dit verband afgeleid:

Hierbij is E de reflektiekoefficient die reeds in de vorige para-graaf gegeven werd (3.3-10) enD is de getransmitteerde verstoring liit gebied 2:

D

Hierbij is A gegeven in relatie (3.3-10). Omdat, zoals in de vorige paragraaf reeds vermeld is,IEimaksimaal 6% is en degereflekteer-de bijdrage in p~ dus een grootte orde kleiner dan de beschouwde verstoringen wordt deze gereflekteerde bijdrage verwaarloosd. Er geldt dus ter plaatse van de gereflekteerde schokgolf:

n

D (3.4-13)

Uit de randvoorwaarden aan de schokgolf volgt dat de grootheden

'V 'V 'V

ev

2r' p2r' u2r en a2r ter plaatse van de schokgolf bekend moeten zijn. Hiertoe moet dit relaksatie gebied in gebied 2 geanalyseerd worden. De vibratierelaksatie-effekten in gebied 2 zijn kleiner dan in gebied 5 omdat de evenwichtvibratieenergie kleiner is en bovendien de relaksatietijd in gebied 2 groter is dan in gebied

5. Linearisatie van de vibratierelaksatie-effekten in gebied 5

rechtvaardigt dan ook de linearisatie van deze effekten in gebied 2, De vibratierelaksatievergelijking in gebied 2 komt overeen met (3.4-4) maar nu met de evenwichtvibratieenergie e:

temperatuur T;f en relaksatietijd T

2 bij de temperatuur T;f en druk P5f· Voor de vibratieenergie kan men derhalve opschrijven:

- t - t e

=

(e* - e* 2) exp (---0 ---) + ev*z v2 vi v T 2 (3.4-14) Hierbij is -t

0 het tijdstip waarop de heengaande schokgolf het

betreffende deeltje passeert (zie Fig. 3.2)en e:

1 is de

evenwicht-vibratieenergie bij de begintemperatuur

r;.

De vibratieenergie aan de gereflekteerde schokgolf is nu:

(3.4-15)

Omdat de afgelegde afstand van de heengaande schokgolf gedurende de tijd gelijk is aan de som van de afgelegde afstand van het deeltje gedurende de tijd tr + t

0 en die van de gereflekteerde

schokgolf gedurende tr geldt er:

t + t

=

(V' +V') t / ; '

r o 1 r r 2f (3.4-16)

Hierbij zijn

v;

en V~ de absolute waarden van heengaande en gere-flekteerde schokgolfsnelheden en ~;f is de frozen deeltjessnel-heid in gebied 2 ten opzichte van de gereflekteerde schokgolf.

(;z uz +V~). Definieren we in gebied 2 een nieuwe relaksatie-tijd

dan wordt de vibratieenergie aan de gereflekteerde schokgolf: t:

e

=

(e* - ev*

2) exp (- ~ )+ ev*2

vZr vi T₂x (3.4-17)

Substitut:ie vane in (3.4-11) geeft dan de verandering van de vr

vibratieenergie als funktie van t en n. De n afhankelijkheid zit in tr: n

=

tr Vr

.

"'

"'

"'

De verstorLngen aZr' u

volgende manier gevonden. Er kan aangetoond worden dat de ver-andering van de temperatuur ~

2

evenredig is met de verandering van de vibratieenergie achter de heengaande schokgolf (appendiks II). Dan geldt er voor T

2r

(3.4-18)

Waarbij de evenwichtvibratieenergies beiden betrokken zijn op cpT;f. Verder gelden er in de, ten opzichte van de heengaande schok-golf, stationaire relaksatiezone in gebied 2 de volgende behouds-wetten van impuls en massa:

p 'u '

2 2 konstant

konstant (3.4-19)

Waarbij

u

2 de relatieve mediumsnelheid ten opzichte van de heengaan-de schokgolf in gebied 2 is (u

2

v

1 - u2). Kombinatie van beiden

met de toestandsvergelijking Pz Rp 2'T2 geeft dan:

RTZ

.,..., +

u;

u2 konstant (3.4-20)

"'

Uit deze laatste relatie volgt voor de snelheidsvariatie u

2

-u

2

ter plaatse van de gereflekteerde schokgolf:

(3.4-21)

Uit de betrekking

az~

=

yR T;f kan men nu de volgende uitdrukking voor de verstoring in de geluidssnelheid vinden:

(3.4-22)

"'

ten slotte volgt uit (3.4-19) het verband tussen p

2 aan de

schok-"'

golf en u 2:

(3.4-23)

waarbij de dichtheid p;, en de schoksnelheid

v;

betrokken zijn op respektievelijk

Pz

en aZf'

De drukverstoring in een willekeurig punt wordt nu op de volgen-de manier bepaald. De relaties (3.4-9) voor p+ en p geven voor het drukverschil tussen twee punten van een plus- of minkarakteristiek met respektievelijk koordinate~ n

1 en n2: n 2 ae - I f _y_ d(a) 2 at

a

nl ae _y_ dn at (3.4-24) waarbij de integratie uitgevoerd wordt langs de plus- of

minkarak-teristiek door beide punten. De uitdrukking voor (aev/at) als funktie van n en t volgt uit (3.4-11) waarbij voor ev

2 de uitdrukking voor ev

2r in relatie (3.4-17) genomen dient te worden. Uitwerking van de integratie langs de pluskarakteristiek

n

=

t +

n -

t of langs de minkarakteristiek

n

= - t +

n

+ t geeft voor het verband tussen

+

de enkelvoudige verstoringen p

5 of p5 in twee punten op de

karakteris-tiek met koordinaten n

2 en n1 de volgende uitdrukking: _:r_ 2

(~

_:r..(+

2 -::11:

*

(ev ev2) I +V Vr exp

(~n ~ ~­

r I +V exp

*

::11: T₂ - T + VrT₂ -1

c-=---_;::__;::_+.:J.-* -

T T2 V T r (3.4-25)

Kortheidshalve schrijven we hiervoor: n2

+ + +]

p - (n )

=

p - (n ) +

r-5 2 5 1 n

1

In Fig. 3.3 is nu aangegeven hoe de verstoring

p

in een punt (~

0

, t 0) samengesteld is.

(3.4-26)

waarbij het volgend verband tussen de koordinaten bestaat:

0 / / / 3 I 0 /:'. '

"

; : I I t3=(nl + tl)/ (V r + 1 )

Fig. 3. 3 n-t diagram - - - karakteristieken ••••• deeUjeabaan.

Uit vgl. (3.4-3) blijkt verder dat er voor de temperatuurvaria-tie langs een deeltjesbaan de volgende relatemperatuurvaria-tie geldt:

~(n _o , t ) _o

=

~

(

_{no' r} t ) +

_-y-

y-I (~

_Ps

( _no' t) _- ~

_Ps

( _no' t )) _r

(3.4-27)

De drukverstoringen ter plaatse n

0 op de tijdstippen t en tr

kunnen bepaald worden met (3.4-25). Het verschil in vibratie-energie op beide tijdstippen, ev (n

0, t) - ev (n0, tr) ,wordt

bepaald met formule (3,4-10) waarbij evr gegeven is door. (3.4-17). De temperatuurvariatie ~

5

• ~ (n , t )aan de schokgolf in

gebied 5 is via de schokrelaties gekoppeld voor de gereflekteerde schokgolf en aan de

'V • • 'V aan de var1at1e T 2r drukvariaties

p

r achter en p 2r voor de schokgolf:

~5r

(3. 4-28)

De konstanten C, B en F zijn gegeven in appendiks I.

De berekeningen van

p

en ~ in gebied 5 zijn om praktische re-denen met behulp van een komputerprogramma uitgevoerd. Zoals uit het volgende zal blijken zijn deze druk- en temperatuur-variaties aan de wand van belang voor de bepaling van de

grens-laagoplossing voor de vibratierelaksatieverstoringen.

3.5. De eerste-orde grenslaagoplossing voor vibratierelaksatie De eerste-orde grenslaagvergelijkingen voor de vibratierelaksatie volgen uit het stelsel (2.2-23 t/m 26). Wanneer de termen van grootte-orde

~-!

buiten beschouwing gelaten worden, voldoen de verstoringen in snelheid ~. druk ~ en temperatuur ~ aan:

'V 3u

a.¥=

0 T "' j:

.r:.!..

~ ap

=

_L r/J (T ) _L + "' _L r/J (T )

y

p at a~ o a~ P a~ o 0 or/J(T ) 3T e* - e +

~'!' (~

i:

o'!'O)- V '( V

*

e - e V V '( Hierbij is r/Jv (T) = K(T)/T 0 (3.5-1) (3. 5-2) (3.5-3) (3.5-4)

De randvoorwaarde voor de temperatuurvariatie ~ volgt uit de verge-lijking (2,3-3). Evenals bij de verstoringen ten gevolge van ge-induceerde grenslaagsnelheden wordt de randvoorwaarde hier:

Aan de buitenkant van de grenslaag (~ + oo) moet de temperatuur-variatie overeenkomen met de temperatuurtemperatuur-variatie van de buiten-oplossing voor

n

=

0:

.1_1 =

t't

n

=

o

(3.5-6)

Omdat over de grootte-orde van de thermische akkomodatiekoefficient van de vibratieenergie a geen gegevens bekend zijn, is deze

V

akkomodatiekoefficient als onb~kende parameter beschouwd. De rand-voorwaarde voor ev in de eerste-orde oplossing is dan dezelfde als de algemene voorwaarde (2,3-4):

1

2

-a.

(TJA

ce

J

2_}_ K V V (Z:rr) r+l

T"

- a - -;:: ~ V R + 0 e - e'% (T ) V V W (3. 5-7)

Voor ~ + oo komt ev weer overeen met ev zoals die uit de

buiten-oplossing volgt: ~ + «>: e + e V V

n

(3.5-8) 0

De beginvoorwaarden voor bovenstaand stelselvergelijking zijn uiteraard die voorwaarden die met de"frozen"toestand korres-ponder en:

t 0 ~ + 0:

"'

T = 0 e 0

V (3.5-9)

In de gelijkvormigheidskoordinaat van de nulde-orde oplossing: z

=

'f/lt worden de grenslaagvergelijkingen met begin- en rand-voorwaarden:

(3.5-10)

:t

=

0

ae

-lt f(o. )(e* - e ) 0 V z

=

az V V V (3.5-12) z

=

1

=

:t

e e 0 V V 0

n

T] t 0 e 0

T

0 V (3.5-13) 1

Hierbij is f (a)

=

o.

I

(2-o. ) (R/T)2_{, De oplossing van het}

boven-v V V

staand stelsel met rand- en beginvoorwaarden (3.5-9 t/m 13) is numeriek bepaald. Hiertoe zijn de vergelijkingen gediskretiseerd. Deze diskretisatie is beschreven in hoofdstuk 5 waarin de numerieke oplossingsmethode gegeven is. Met behulp van de numeriek gevonden grenslaagstruktuur is het dan mogelijk om de warmtestroomdichtheid aan de achterwand te berekenen. Uit de algemene vergelijking voor de warmtestroomdichtheid (3.2-11) volgt nu voor deze eerste-orde warmtestroomdichtheid die bepaald wordt door de vibratierelaksatie:

"' "'

"" a:rjaTo

J

H

=

H' /H' = (p + - - )

HOOFDSTUK 4

DE TRANSPORTKO~FFICI~NTEN

4.1. De relaksatietijden

Zoals uit het voorafgaande blijkt is in het schokreflektiemodel aangenomen dat de energie-overdracht tussen enerzijds de rota-tie- en translatievrijheidsgraden en anderzijds de vibratievrij-heidsgraden,beschreven kan warden met de Bethe-Teller vergelijking:

e' - e'x

(T)

V V

,.

(4.1-1)

Hierbij is •' uitsluitend een funktie van de translatietempera-tuur. Vergelijking (4.1-1) kan langs theoretische weg afgeleid warden (Ref. 29) ender een aantal beperkende voorwaarden waaraan voor reele meeratomige gassen zoals N

2 en

co

2 niet altijd voldaan is. Empirisch blijkt echter dat de relatie een groter

geldig-heidsgebied heeft dan men op grand van deze voorwaarden zou verwachten. Voor stikstof reeds veel eksperimenten met betrekking tot de vibratierelaksatie verricht. In het temperatuurgebied van 2000 K

tot 5000 K bestaau betrouwbare metingen van de relaksatietijd T1 _van

dit gas die redelijk goed met elkaar in overeenstemming zijn. (Refs. 30, 31, 32). Bij deze metingen, in schokbuizen, wordt de relaksatietijd uitgaande van relatie (4.1-1) gemeten over de relak-satiezone achter de heengaande schokgolf. Appleton (Re£.12) heeft schokbuiseksperimenten verricht in N₂ waarbij speciaal de geldig-heid van (4.1-1) nagegaan werd. Hiertoe werd het verloop van T'

in de relaksatiezone gemeten. In deze zone verloopt naast de tem-peratuur ook de momentane waarde van de vibratieenergie zodat het mogelijk is om na te gaan of de relaksatietijd inderdaad niet van deze energie afhankelijk is. De metingen werden uitgevoerd in het temperatuurgebied van 3000 K tot 9000 K. Appleton komt aan de hand van deze metingen tot de konklusie dat de Bethe-Teller vergelijking

in het temperatuurgebied van 3000 K tot 5000 K voor stikstof goed voldoet. In dit temperatuurgebied kan de relaksatietijd gegeven warden met de empirische relatie van Millikan en White (Ref. 30):

log₁₀ (p'r') ; 102 T' -

t-

6,24 (4. J-2)

Hierbij zijn de eenheden van druk, temperatuur en relaksatietijd

-2

respektievelijk Nm , K en s. Boven de 5000 K blijkt de relak-satietijd niet alleen een funktie van de temperatuur te zijn maar ook van de mate van niet-evenwicht (e' - e'2). Blijkbaar beginnen

V V

hier de anharmonische effekten, die bij de Bethe-Teller verge-lijking uitgesloten warden, een rol te spelen. Bij de toepassing van ons model hebben we ons beperkt tot temperaturen tot 5000 K zodat (4.1-2) zowel in als buiten de temperatuurgrenslaag gebruikt kon warden.

Alhoewel er gedurende de afgelopen jaren betrekkelijk veel aan-dacht is besteed aan de vibratierelaksatie in

co

2, blijkt het toch moeilijk om een korrekte beschrijving te geven van het relak-satieproces. Dit is niet op de laatste plaats te wijten aan de

komplekse trillingsvorm van

co

_{2 • Het}

co

_{2-molekuul heeft drie} ver-schillende vibratie "modes". Deze drie zijn symmetrische

-I

"stretching mode" (v

1 ; 4053 s ), de tweemaal ontaarde "bending mode" (v

2 g 2016 s-1) en de asymmetrische "stretching mode"

(v

3 g 7189 s

1_{) In Fig. 4.1 zijn de energieniveaus die behoren} bij deze trillingsvormen en die een rol spelen bij het energie-uitwisselingsproces tussen translatie- en vibratievrijheids-graden schematisch weergegeven.

moden mode I ~~Dol-

-_jl

IJ

r -

- - - - --:1

I

2349 cm I '0. I (030)

·11

J

...

6

cm

..

_~ I

_I

3:

_I

!!!!.Q2 c m-1 (020) criill .5 _{1388 1286}

I

I

I

(010) _crii1

_l

L

_---1;;

667

J

<000) !000) (000)

"•

"'2 ~3

De notaties in deze Fig. 4.1. zijn overgenomen uit de publikatie van Taylor en Bitterman (Ref. 33). In deze publikatie wordt een goed overzicht gegeven van de resultaten van onderzoekingen be-treffende het vibratierelaksatieproces. Zowel eksperimenteel als theoretisch blijken diverse auteurs tot verschillende konklusies te komen die zelfs in tegenspraak met elkaar zijn.

Twee van de meest recente publikaties over het interaksieproces van twee

co

2 molekulen zijn die van Herzfeld (Ref. 34) en Mariott (Ref. 35). Uit beiden blijkt dat er een zeer snelle uitwisseling van energie optreedt tussen zowel de v

2 niveaus onderling als tussen de v

2 en v1 "modes". Op grand hiervan kan men bij het

vi-bratierelaksatiemodel er vanuit gaan dat de vibratieenergieniveaus van het

co

2 molekuul in de twee "modes" (I en II) ondergebracht warden zoals in Fig. 4.1. is aangegeven. Binnen deze twee "modes" heerst er evenwicht met twee verschillende inwendige temperaturen T'I en Ti:I· Verder blijkt dat de v

2 "mode" vrijwel uitsluitend energie uitwisselt met de overige vibratie "modes" en niet met de translatievrijheidsgraden. Over de snelheid waarmee de energie-uitwisseling tussen I en II plaats heeft bestaan er verschillende konklusies. Uit Ref. 35 blijkt dat het energie-uitwisselingspro-ces snel verloopt terwijl in Ref. 34 het tegendeel gekonkludeerd wordt. Op grond van de theoretische resultaten kan men echter in ieder geval besluiten tot het volgende vibratierelaksatiemodel:

de' V

w=

de' I I

<it'=

(4. I-3)

waarbij men echter geen uitspraak kan doen over de onderlinge verhouding van '~en '~· In principe is het mogelijk om boven-staand model eksperimenteel te verifieren en de bijbehorende relaksatietijden te bepalen. Het blijkt echter niet doenlijk om via de eksperimentele resultaten bij hoge temperaturen, voornamelijk verkregen via schokbuiseksperimenten, uitsluitsel te geven over bovenstaand model. Dit is niet op de laatste plaats te wijten aan het feit dat er in de schokbuis sterk