Enkele losse notities over arbeidsstellingen uit de mechanica

Citation for published version (APA):

Esmeijer, W. L. (1978). Enkele losse notities over arbeidsstellingen uit de mechanica. (DCT rapporten; Vol. 1978.013). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

ENKELE LOSSE NOTITIES OVER ARBEIDSSTELLINGEN UIT DE MECHANICA.

W.L. Esmeijer 1978 TH Eindhoven

Inleiding en samenvatting.

In het volgende zijn een aantal notities gebundeld die in de afgelopen jaren bedoeld en gebruikt zijn als facultatieve aanvulling bij enige colleges. Als zodanig kunnen zij misschien ook nu van nut zijn; zij belichten een aantal karakteristieke zaken die waard zijn vanuit verschillende gezichtshoeken te worden bekeken.

De notities zijn nauw verbonden met de syllabus "Mechanica van Continua" 1977.

Behandeld worden:

I. De bewegingsvergelijkingen van een star lichaam afgeleid met het principe van d'Alembert.

LIa -srp~~.?F~ht.?Trprgp,lijkino-n v o o r continua in hun relatie

..--a- L e +

-...:...-:-

U'TL I ' C L y L . I L I C A y S v2z virtzele a r h e i d .

111.

Extremaal principes in lineaire elasticiteitstheorie en plasticiteitstheorie.

I . DE BEWEGINGSVERGELIJKINGEN VAN EEN STAR LICHAAM AFGELEID MET BEHULP VAN HET "PRINCIPE VAN D'ALEMBERT" .

xaatérïewer~amëlixi~ ~j'YI

basis {E .} is "vast" in de ruimte . -i

Op elk tijdstip kan "A" worden gekozen ; "A" wordt dan "tijdelijk" (d .w .z . "gedurende een klein tijdje") gefixeerd gedacht ten op-zichte van L .

"s" is een willekeurig materieel deeltje van L met massa dm . M := jdm

~VY1

Beschouw de situatie op zeker tijdstip t . zs = zA+x

v~S = zA + (w) x

Verdere gegevens:

x

4

.

. .

.K met

-

(n) Uitwendige krachten op L: K - ( I ) '

l=-T--l

i= 1

Zwaartepunt: uniek punt (zw) zodanig dat

2 . Het "Principe van d'Alembert" (axioma).

---

Begrip "virtuele verplaatsing" (gedachtenspel bij gefixeerde t):= willekeurige infinitesimale verplaatsing die de verbindingsrelaties

-. hier "starheid'!. in tact laat.

Een virtuele verplaatsing -S 6z van " s " wordt beschreven door:

62 = 62

+

(S#X (star lichaam). "virtuele rot at ie"

\

-S -A

öz en öS2 zijn onafhankelijk.

-A

-

Principe van d'Alembert:

(t fixeren; traagheidckrachten invoeren) Voor elke virtuele verplaatsing geldt:

-

-

"u i twend i ge i- "traagheid s- "inwendig

belasting kracht en opgenomen

a

( s t a p Echaâid

1

I

I

I

dan:

J

O T

JI

I

n i=

1

m

Herleiding van afzonderlijke termen: GzTK = 6zTK

-A-(i) -A- i= l

6 z T ( Z M -A -A 6 zTMZ -A -ZW

+ X

-

M)

+

-

6QTi(x)

(i,

+ %)dm = zw

nn

Substitueer deze resultaten

GzT(K - MgZW) + T

(EA

-

-A

-

Deze relatie is "waar" voor hieruit volgt: I

P

r 1 Indien : in "O = 6~ + 6W 5 uitw. tr. kr

.

kr

.

elke

2,

en

E;

A samenvalt met zw,

o f A vast punt is,

of x en z evenwijdig zijn:

..

-zw -A

grei. A = [($:dm

nn

I1

1 .

OVER DE VIRTUELE ARBEIDSSTELLING VOOR CONTINUA.

73

tijd gefixeerd;

m a t e r i e m vult volume V,

buitenopp. A.

Gegeven

een

spanningstensorveld T dat voldoet aan de evenwichtsvergelijkingen:

s y 1 1 ab us

( 4 . 2 7 )

-

Opm.: indien T tevens aan de statische randvoorwaarden voldoet dan heet T: statistisch toelaatbaar.

waaruit afgeleid een "virtueel rektensorveld" 6E:

1

((SU,) + Ingevoerd wordt

-

een "virtueel verplaatsingsveld"

2

( 2 )

syllabus

( 3 . 2 4 )

-

020,: indien &c = O op die plaatsen waar de ver-

l - . ,.- _ L f... +: --l., +-,.y ,n+k,nnr

plaatsing is voorgeschreven aan i i e l = L

2.

h u L c I u a L L a L i I I L w G l a a L V - - L

Inwendig opgenomen virtuele arbeid:

:= Itr(T6E)dv. "inw V

Nu volgt een wiskundige herleiding. Gebruik ( I ) en ( 2 ) .

Itr (T6E)dv = tr(T(bu,))dv

V V

Gebruik I1 3 : generalisatie van het divergentietheorema. Itr[T(6u,))dv = Itr(6u nTT)da

-

Itr(6uVTT)dv

-

=

v

I -A

+ ,ftr(kTfJdv

Hieruit volgt dat voor elk spanningsveld T dat voldoet aan de evenwichtsvergelijkingen en elk virtueel verplaatsings- veld &met bijbehorend rekveld 6E geldt:

vi r tue 1 e

arbeidcver pel ij kinq ( 3 )

I1 2 . OVER EVENWICHTSVERGELIJKINGEN EN DE VIRTUELE ARBEIDSSTELLING VOOR CONTINUA.

1 .

Gegeven T voldoet aan:

In V: T = T T VTT

+

1'

= 0'

d

'd

moment en- krach ten- evenw. evenw. Op rand A: spanningsvector eenheidsbuitennormaal t = Tn fl- -% Voer in:

virtueel verplaatsingsveld

6-

met hiermede gekoppeld

T.

ôE:= i[(.,> + (u,)') / 3 \ \ L J

Een mathematische consequentie is (zie I1

1):

voor elke

-

öu (voldoende differentieerbaar) geldt:

Jtr(T6E)dv =

/&

T

-

t d a + !SU T fodv _{( 3 )}

V A V

We gaan de vraag onder ogen zien of we door uit te gaan van (3) noodzakelijk tot de evenwichtsvergelijkingen

geldig voor elke

&

Merk op dat de relaties die ontstaan betrekking hebben T + TT

OP 2 '

Hieruit moet de conclusie volgen dat het principe van virtuele arbeid voor continua de axiomatische aanvulling T = T behoeft om gelijkwaardig aan

( 1 )

te zijn.

T

I1 3 . EEN GENERALISATIE VAN HET KLASSIEKE DIVERGENTIE THEOREMA, (Chadwick blz. 4 3 en 4 4 ) .

T

/nTsda = /V u

-

dv (Gauss)

aR- R

Neem voor "g": (uTa)Tb ; 5 en

b

(constant) ;;sLzI

r C

scalar; vector

jun Tda = /[(u,)T + gV T)dv

]

I

Chadwick blz. 4 3 :

Speciale gevallen:

geldig voor elke g dus

T T

1

e). ; constant: g ] n Tda = Tdv

aR- R T

I

n Tda = IVTTdv aR- T 2e). T = I:

1

_--

_{un da = /(u,)dv} aR R en m.b.v. "trrr -Gauss*

Divergentie theorema's in index notatie.

I

n.u.da = jui y ;dv

aR R

(Gauss)

Neem voor "u,": 1 uk tij bj ;

a en b. constanten.

k J

,f

n a u t b.da = I(akuktijbj) idv aR i k k i j J R Y

ak(I aR uknitijda)b j = ak[/(uktij) R Y ;dv)b j

geldig voor elke a en b 4

k j

I

u n t .da = I(uktij) idv aR k i ij R Y

I

uknitijda = J(ukyitij + u k t i j Y b )dv

aR R

Speciale gevallen:

ie). u constant: nitijda = It.. .dv

k aR R

2e). t = u.n.da = JU. r .OV & Gauss

R l > J

aR ij

tijd gefixeerd

.

m a t e r i e m vult volume V, buitenopperviak A.

I11

1 .

EXTREMA IN DE LINEAIRE ELASTICITEITSTHEORIE.

1 .

Ix

3

Actueel spanningstensorveld T; actueel verplaatsings- vectorveld g.

Splitsing A = Au + At;

-

-

AU: gebied waar g gegeven is.

-

At: gebied waar

-

t gegeven is. Rektensor

-

T E :=

LI,)

+ (u,)

1)

Constitutieve vergelijkingen: Eerst splitsing: 3

I

" 1

T = Tn

+

TU ; TLi:=

31

tr(T)

g

tr(Td) = O Materiaal gedrag: h d d Th = 3kE ; T = 2GE

h h h d d h d d tr(TE) = tr(T E ) + tr(T E ) + tr(T E + tr(T E =

1

d d -tr(T).tr(E) + tr(T E ) 3 2 .

en actuele u

-

en E (in plaats van

&

en

g):

Virtuele arbeidsstelling toegepast op actuele T

jtr(TE)dv = luTtda

- -

+

luTtda

- -

+ Ju'k

-

dv ====b

v

AU At

-

V

-

Definities: U Pot comp U

3 . Een kinematisch toelaatbaar rektensorveld En en daarmee via de constitutieve vergelijkingen gekoppeld kinematisch toelaatbaar sp ingstensorveld T (dat niet aan de evenwichtsvergelijkingen behoeft te vol- doen) heeft de volgende karakteristiek:

E*:= i((U,> + (U,)

1

*

*

* i

*

met g continue differentieerbaar e n o p A : 2

*

= u

-

(gegeven).

S t e l l ing : Van a l l e v e l d e n u

-

*

i s h e t a c t u e l e v e l d u

-

zodanig d a t

u* - u

_{p o t p o t}

> o

B e w i j s :

u* - u

= p o t p o t T i(]tr(T*E*) - tr(TE)dv)

-

](g*

- -

u) f d a

- ](:*

-

~ ) ~ f o d v

-

V A V iI

*

(immers: op AV i s 3 =

-

u)

-

V i r t u e l e a r b e i d s s t e l l i n g : * T * T

](E

-

u ) t d a +

/(:

-

u)f

-

d v = Itr(T(E*

-

E))dv

A

-

-

V V Hiermede wordt:

*

*

Nu i s : t r ( T E ) = t r ( T E) immers tr(TE*j = - t r ( T j t r ( E * j 1

+

t r ( i ,d E

*aj

3 = ktr(E)tr(E*) + 2Gtr(E d E *d ) = tr (T*E)

.

Dus :

*

U*

-

U ₌

₄

_{[I{tr(T*E*) + tr(TE)}

_-

_{tr(TE )}

_-

_{tr (T*E) }dv} V

= i ] t r [ ( T

p o t p o t

*

-

T) (E*

-

E)dv 2 O ( z i e materiaal

V gedrag).

4 . Een statisch toelaatbaar spanningstensorveld Toen daarmee via de constitutieve vergelijkingen gekoppeld statistisch toelaat- baar rektensorveld Eo (dat niet aan de compatibiliteitsrelaties (aan- sluitvoorwaarden voor u)

_-

behoeft te voldoen) heeft de volgende

Karakteristiek: T evenwichtsvergelijkingen. To = To

(vTP)T

+ fgeg =

0

a

Op At:

-

t =

-

t (gegeven) met

-

-

t

= 7 3

-

n waarbij n

-

eenheidsbuitennormaal op A.

I

Stel 1 ing :

Van

211e

velden T o i s het actcele v e l d T zidailig d z t

I

O r ) nmn 1 0

I

- u

I

-""'y *m nmn

I

u"A.Ay O

-

-

-

Bewijs : ucomp

'camp

T o

4

(l(tr(T'E3

-

tr(TE)dv)

-

1;

(i - -

t)da

v

A

h

(imers: op is

-

to=

-

t)

-

Virtuele arbeidsstelling: T

_(t

o

-

_t)da = ,fuT<da

- - -

,fuTtda

- -

= ,ftr((T"- T)E)dv

Hiermede wo rdt: = i ( ] { t r ( T o g ) + t r ( T E )

-

2 t r ( T E ) ) d v -

v

w

'comp

u"

_comp ( - t r ( T o E ) - tr(TE1) O

-

= i [ ] t r ( ( T o - T)(Eo- E ) ) d v )

2

O ( z i e 'comp 'comp

v

_{m a t e r i a a l -} g e d r a g ) . 5. S a m e n v a t t i n g . comp comp

I11 2. PLASTICITEIT; EXTREMA IN DE VON MISES THEORIE. Zie ook: "Prager-Hodge".

1 .

tijd gefixeerd

.

materie /vv) vult volume V buitenoppervlak A.

Actueel spanningsëensorveld T; actueel snelheidcvectorveld v.

-

Splitsing A = A + At;

Y

-A : gebied waar v

-

gegeven is. Y

At: gebied waar t

-

-geg = Tn

-

gegeven is.

Deformatiesnelheidstensor D = I?:=

1

((v,)

+

(v,>~)

Aangenomen wordt datn) in V geheel aan het vloeien is.

d h

1

T := T

-

T met Th = jItr(T) Materiaal eigenschappen: - T V v

-

= O (volumebestendigheid) (blijvend vloeien) k : materiaalconstante.

3

d d 2 tr(T T )

-

2k = O (vloeivoorwaarde) dad tr(T T ) = O

i

D =

i

= p~~ (vloeirelatie)

parameter p > O, geen materiaal constante.

1

Lemma's :

T

h

le) uit

v

v

-

= O volgt tr(D) = O; hieruit 2e) Met T = omI volgt tr(T D) h = O

2 . Een statisch toelaatbaar spanningstensorveld Tovoldoet in deze context aan:

evenwichtsvergelijkingen, (geen volumekrachten) TT = To

V T T o = O

Op At: Ton = t dynamische

-

-geg randvoorwaarde, vloeivoorwaarde. d d tr(T0 To )

-

2k2 = O d-d tr(ToT~) = O Stel ling :

Van alle velden Tois het actuele veld T zodanig dat

I

Io

1

= I"n+..Anl

I

I

-

!

A v

-

2 Bewij s : T

-

T A- I

-

f =

lx

T nda

-

,fv F n d a =

- -

t

x t

T T A O

-

0- (stat is tis ch toelaatbare

-

t ) Gebruik virtuele arbeidsstelling:

Gebruik de lemma's en de vloeirelatie: d d d I

-

Io= ,fptr[T

-

P)T )dv

v

T T T x

-

y I Jx

- -

x Ay y.

Ongelijkheid van Schwarz:

O 1 - 1 2 0 d d d d Hiermede: tr(T0 T ) I Jtr(T0 To ) Jtr(T d d d d 2 Met tr(T T ) = tr(T0To) = 2k

3. Een kinematisch toelaatbaar reksnelheidstensorveld D

*

:= f((v,)

*

+ (v:)~ voldoet in deze context aan:

*

f E* a f g e l e l d yâa een TvrirtUeel cEelheidsx?e1d gr

-

:.7a2r\7n0r geldt:

I

vTv*

-

= U . (voiumebesrenciigheidj T *

*

(N.b.! V v

-

= O

c;,

trD = O)

*

Op AV:

x

= v

i

-

-geg I Stelling:

* .

I

~ 2 n a l l e velden D 1 s h e t actuele -;e?d E zodanig dat: kJ2IJtr(DD)dv

-

ItTvda

- -

S kJ2IJtr(D*D*)dv

-

,ftTx*da

J = J J* A \ L

t

L

v

-

At

v

actueel

-

B e w i j s :

m

T * J*

-

J = k/2j[Jtr(D*D*)

-

Jtr(DD))dv

-

,fr

(y

-

y)da

v

At

-

voeg toe: T

(y

* - y)da s O A

Y

*

(x

is kinematisch toelaatbaar)

J*

-

J = kJ2/[Jtr(D*D*)

-

Jtr(DD))dv

-

I(:*

-

y) T tda

v

A

1

l

i gebruik de virtuele arbeidsstelling.

í

I

I

I J*

-

J = kJ21[Jtr(D*D*)

v

-

Jtr(DD))dv

-

v

J[tr(TD*)

-

tr(TD))dv ~ Verdere herleiding:

‘

Gebruik van de vloeirelaties en de lemma’s levert: Uit vloeivoorwaarde en vloeirelatie volgt:

Hiermede wordt: tr (DD*)

-

tr (DD) ‘iv) tr (DD) J*

-

J = kJ2(I(dtr(D*D*)

-

Jtr(DD)),dv

-

“V

v d

1

dv) Jtr (D*D*) Jtr (DD)

-

tr (DD*) dtr (DD) J*

-

J = kd2(1(

v

Met behulp van de ongelijkheid van Schwarz volgt

i

I

4 1

s

tel ling :

Voor de "actuele velden T en D" gecombineerd geldt:

I = J

Bewijs : _O

h

J = kJ2IJtr(DD)dv

-

IyTtda

-

- j v T t d a

- -

+

IvTtda

- -

'

V At

-

A

x

&

I T J = kJ2iitr(DD)dv

-

,fx

gda

+

I

2

V

virt. arbeidsstelling enz.

T

kJ2IJtr(DD)dv

-

Ix

Lda = O

immers ki2idtr(DD)dv

-

Itr(TD)dv = O

,

V A

V V

5 . Samenvatting.