Hoofdstuk 3: Exponentiële functies

Hoofdstuk 3:

Exponentiële functies.

V_1.

a. Elk half uur wordt het aantal bacteriën vermenigvuldigd met 2.

b. _{G t}( ) 150 2_{ } t _{met t de tijd in halve uren.}

c.

d. Ja, de hoeveelheid na 1 uur is 2

(2) 150 2 600

G    en als je elk half uur de hoeveelheid met 2 vermenigvuldigd, dan moet je per uur met 2 2 4  vermenigvuldigen.

V_2.

a. de groeifactor is 0,7 en de beginhoeveelheid 350. b.

c. De hoeveelheid neemt met 30% per tijdseenheid af.

V_3. +15%: g1,15 +180%: g2,80 -0,05%: g 0,9995 +100%: g 2 +0,1%: g 1,001 -150%: onzin -24%: g 0,76 -60%: g0, 4 V_4. 1,25: 25% toename 0,995: 0,5% afname 0,975: 2,5% afname 30: 2900% toename. 3: 200% toename V_5. a.

b. _{L t}( ) 600 1,10_{ } t _{met t in jaren en t0 komt overeen met 2002.}

c. L t( ) 1200

Voer in: 1 600 1,1 2 1200

x

y   en y  intersect: x7, 27. In 2009 gaat het nog goed, maar in 2010 wordt de school te klein.

V_6. a. _{H(1) 50 0,80 } 1_{40 mg.} b. _{H(3) 50 0,80 } 3 _25,6 Er is 50 25,6 50 100% 48,8%  _{  afgebroken.} c. ( ) 50 0,80t Z t   d. 12 (12) 50 0,80 3, 4 H    mg.

t (in halve uren) gewicht (in mg) 0 1 2 3 4 5 -1 -2 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 t 0 1 2 3 A(t) 350 245 171,5 120,05 p p% g 1 100 q q% g 1 100         t 2002 2003 2004 2005 L(t) 600 660 726 799 Z (in mg) 0 10 20 30 40 50 60

a. 1200 0,85 10200,85 8700,85 en 7400,85

b. De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de afname is exponentieel. c. gjaar 0,85 d. ( ) 1200 0,85t K t   e. 1200 0,85_ t _200 Voer in: 1 1200 0,85 2 200 x y   en y  intersect: x11,02

In 1993 zijn er voor ’t eerst minder dan 200 konijnen in het gebied.

1.

a. 2

b. De hoeveelheid op tijdstip t0 is 6,4 miljoen en de groeifactor is 2.

c. 7

(7) 6, 4 2 819, 2

A    . In 2010zullen er 819,2 miljoen sms-berichten verzonden worden.

d. 0 (0) 6, 4 2 6, 4 A    0 2 1 2. a. 1 2

b. In 2002 zullen er 3,2 miljoen sms-berichten verzonden worden. 1 1 2 2 _ c. d. _{6, 4 2} 2 _1,6 2 1,6 1 6,4 4 2 _{ } e. 3 3 1 1 1 1 2 2 2 ₂ 2 _{   } t in jaren -3 -2 -1 0 A in miljoenen 0,8 1,6 3,2 6,4

3. a. 3 b. 3 3 (0) 1 f   , dus 0 3 1 c. d. 1 1 3 3  e. 2 1 9 3 _ f. _{3 3}2_{  }3 _{9 27 243 3 } 5 g. _{3 3}2_{ }4 ₃2 4 _36 h. ₃2_{ 3}4 ₃ 2 4 _32 _{en 3}1_32 _3 1 2 _33 4. a. 3 3 1 1 64 4 4   4 4 1 1 81 3 3   2 2 1 1 169 13 13   5 5 1 1 1  1 2 1 1 16 4 2 1 1 1 4 _{( )} ( ) _{  }16 4 3 1 3 4 1 3 4 ( ) _{ } b. 3 6 3 6 9 4 4 4  4 _{3 3}3_ 4 _334 _31 ₅3_5x _5 3 x _{5 5}p_ p _50 _1 5. a. De beginwaarde is 0,6 en de groeifactor 0,83. b. 2 0,6 0,83 0,87 A    c. 0,87 0,83_ t _0,5 Voer in: 1 0,87 0,83 2 0,5 x y   en y  intersect: x2,97

Hij had zo’n 3 uur moeten wachten.

6. _{f x( ) 81 3    }x _{3 3}4 x ₃4x 7. a. _{b f(0) 0, 25} 3 _64 b. _{f t( ) 0, 25} t3 _{0, 25 0, 25}t_ 3 _{0, 25 64 64 0, 25}t_{  } t 8. a. _{N t( ) 3} 2t _{3 3}2_{  }t _{9 3}t _c. 2 2 1 1 2 ( ) 2 t 2 t 2 4 (2 )t 4 ( )t N t            b. 1 1 1 4 ( ) 4t 4 4t 4t N t _  _{ }  _{  d.} 1 3 1 3 1 1 1 2 2 2 8 2 ( ) ( ) t ( ) ( )t ( )t N t _  _{   } 9. a. ( ) 1000 11t N t   b. _{N( ) 1000 11}1 _{ } 1 _{3317 en N(1 ) 1000 11}1 _{ } 11 _36483 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 f(x) 1 27 19 13 1 3 9 27 81 243

Weer een halve dag later moet je nog een keer met g vermenigvuldigen. Een dag later heb je 11000 exemplaren.

2 2 1000 11000 11 11 g g g    

f. Combineren we d. en e. dan volgt: 1 2

11  11

10.

a. _{N t}( ) 500 2_{ } t

met t de tijd in weken. b. Na 1 dag ( 1

7

t ) zijn er ongeveer 552 algen. De groeifactor per dag is ongeveer 552

500 1,104 c. 217 1,10 dag g   11. a. ghalve dag  1 10015 0,85 b. (0,85)121 0,9865 uur g  

c. De toename per uur is (1 0,9865) 100 1,3%   12.

a. getmaal 1,60 b. g5jaar 0,96 c. gmaand 1, 0115

8 12 8uur (1,60) 1,368 g   3 15jaar (0,96) 0,885 g   12 1,0115 1,147 jaar g  

36,8% toename 11,5% afname 14,7% toename

13. a. 2916 4jaar 36 81 g   _. b. 8114 3 jaar g   .

c. Het groeipercentage per jaar is 200% d. De beginwaarde is 2

36

3 4, dus ( ) 4 3

t

f t   met t de tijd in jaren.

e. 3121 1,0959

maand

g   , dus _{f t}( ) 4 1,0959_{ } t

met t de tijd in maanden.

14. a. g10jaar 14,914,1 1,057 b. (1,057)101 1,0055 jaar g   c. ( ) 14,1 (1,0055)t N t   met t in jaren en 1980 is t0. 8 : (8) 14,7

t  N  miljoen. Dit aantal is dus in overeenstemming met de aanname. d. In het jaar 2100 zijn er ongeveer N(120) 27,34 miljoen, dus nog niet verdubbeld.

15. a. ghalf uur 2 1 30 minuut 2 1,023 g   b. g10 minuten 1,02310 1, 26 c. _{N(5) 20 1, 26 } 5 _63,5

mg. De 60 mg grens is met 3,5 mg overschreden.

16. a. g3 125 1 3 125 5 g  b. 17. a. g41uur 2 1 41 2 1,017 uur g   _1,01724 _1,5 dag g   b. gweek 1,57 17,12

c. O week( ) 1 17,12 17,12   m2_{. Ruim boven de 10 m}2_.

18.

a. De beginhoeveelheid is de hoeveelheid op tijdstip 2 2 9 0 : (0) 2 3 t_ f _{ }  _ 1 2 3 2 27 (1) 2 3 2 3 f         groeifactor is 272 2 9 (1) 1 (0) 3 f f g   b. c. 2 2 1 1 2 1 9 9 3 ( ) 2 3 t 2 3 t 3 2 (3 )t ( )t f t                19. a. _{b f(0) 14 3  }2 _{126 en} 6 2 (1) 14 3 4 (0) _{14 3} 3 81 f f g       b. 7 (0) 2,5 3, 6 19591 b h    en 27 (1) 2,5 3,6 5 (0) 2,5 3,6 3,6 0,0017 h h g        c. 2 (0) 175 0,13 10355 b p     en 52 (1) 175 0,13 3 (0) 175 0,13 0,13 455 k k g         20. a. ghalf jaar 1,60 1 6 1,60 1,081 1000 1,081 maand t g V     b. Het 1

26-deel van een half jaar is een week. De tijd is nu in weken.

c. f t( ) 9 1,6  261t10  9 1, 6261t1, 610 990 1, 6 261t redelijk is een fraaie omschrijving.

tijdstip ₀ 1

3 23 1 1,5 2 2,5 3

a. P t( ) 2 (0, 40 )  24 t  2 (0,9625)t b./c. d. P(24) 0,8 24 2( ) 2,8 0,9625 t P t _{ }  e. P2(48) 1,12 48 3( ) 3,12 0,9625 t P t    3(72) 1, 248 P 

Vlak na de vierde injectie is er 3,248 mg geneesmiddel aanwezig. 22. a. b1000 en g 0,89 b. 10 (10) 1000 0,89 312 P    mbar. c. P h( ) 580 Voer in: 1 1000 0,89 2 580 x y   en y  intersect: x4,67

Bij hoogten tot 4674 meter is de luchtdruk meer dan 580 mbar.

23. a. Voer in: 1 27 2 3 x y  en y  . intersect: 1 3 x b. f t( ) 3 3 3 1 1 3 27 (3 ) 3 3 3 1 t t t t t      24. a. 4 3_{ }x 1750 _{ x}5,54 b. 12,57 0,85_ x _0,89 _{ x}16, 29 c. 0, 015 2,35_ x _1235 _{ x}13, 25 25. a. 1 16 4x _ b. 6 3_{ }t 162 _c. 1 1 2 4 16 ( )_ x _ 2 2 1 4 4 4 2 x x      3 3 27 3 3 t t    4 1 4 2 2 (2 ) 2 2 4 2 x x x          6 x 26. a. 1 3 ( )t _{ }3 9t b. 1 3 ( ,1.44) 1 1 2 1 2 (3 ) 3 (3 ) 3 3 1 2 t t t t t t          1 3 3t 1 t     c. 1 3 ( ) ( ) , f t g t als t_{   } t (in uren) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 0 0,5 1 1,5 2

27. a. 50 0,7_ t _12 _{ t} 4,0 b. 50 1, 2_ t _12 _{  t} 7,8 c. 800 0,933_ x_100 _{ x}30,0 d. 0,7t _0, 24 _{ t} 4,0 28. a. 1

3 is niet als macht van 2 te schrijven.

b. Voer in: 1 1 ( )3 x y  en 2 9 2 x y   intersect: x 1, 23 c. 1 3 ( )t _{ }9 2t _{voor t }1, 23 29. a. g0, 25 en b100. b. 100 0, 25_ d _0, 000095 c. d 10 meter 30. a. 6200 12jaar 700 8,86 g   _en 1 12 8,86 1, 20 jaar g   b. _{Z t}( ) 700 1, 20_{ } t

met t de tijd in jaren.

c. Als de groei na 2002 exponentieel blijft dan in _{2005 : Z(15) 700 1, 20 } 5 _1742

zeehonden.

d. 4200 1, 20_ t _6200

Voer in: 1 4200 1, 20

x

y   en y2 6200 intersect: x2,14

In 2005 was het aantal weer 6200 zeehonden.

31. a. 3 1 2 4 2_ x _( )x b. 1 2 3 3 3 27 x x     c. 1 1 3 3 ( ) 3x_{  }x 3x 2 3 1 5 1 2 2 2 (2 ) 2 2 5 2 5 2 x x x x x x x x               1 2 3 3 2 2 3 2 5 3 3 (3 ) 3 3 2 2 3 5 2 x x x x x x x x              1 1 1 1 (3 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 0 1 1 x x x x x x x x x x x                      32. a. 1 1 4 16 16 ( )_ x _ b. 1 4 32 2_{ }t c. 1 8 16 0,5_ a _ 2 1 2 2 4 (4 ) 4 4 2 2 4 x x x x           5 5 2 2 2 2 2 5 2 7 t t t t           4 4 3 2 2 2 2 4 3 7 a a a a          

a. herder : rendier 13.000₈₀ : 700 1 : 4,31 b. herder : rendier 45.00080 : 2700 1 : 4,8 c. en verder ? T_1. a. _{32 2} 4 _{512 mg.} b. _{H t}( ) 32 2_{ } t

met t de tijd in kwartieren.

c. _{H( 2) 32 2  } 2 _{8 mg.} T_2. a. 1 1 4 4 _ 3 3 1 1 27 3 3 _{ } 4 16 2 625 5 4 625 2 1 1 5 _{( )} 16 ( ) _{  } b. 6 6 1 1 64 2 2    3 3 1 1 8 2 0,125_{  }2 2 2 1 1 25 5 5    1 2 4 0, 25_{ }2 c. _{7 7}3_ 5 _73 5 _78 ₇1_{ 7 7} 1 1_70 _{1 7}2_75 _7 2 5 _73 T_3.

a. gweek 1,787 56,62 Een groeipercentage van 5562% per week.

b. 12

12uur 1,78 1,33

g   Een groeipercentage van 33% per 12 uur.

c. 1, 78241 1,024

uur

g   (2,4%) en 1,02414 1,0060

kwartier

T_4. a. _{b N (0) 4,32 1, 44 } 1_{3 en} (0) 3,6 (1) 3 1, 2 N N g    b. _{N 4,32 1, 44} 0,5 1t _{4,32 1, 44} 0,5t_{1, 44}1_{4,32 1, 44} 1_{(1, 44 )}0,5 t _{ 3 1, 2}t T_5. a. 1 25 25 5_{ }t b. 7 3_{ }t 63 _{c. 0, 25}x3 _162 2 x 2 2 2 5 5 5 5 2 2 4 t t t t           2 3 9 3 2 t t    2 3 4 2 2 (2 ) (2 ) 2( 3) 4(2 2 ) 2 6 8 8 x x x x x x   _          1 5 10x 2 x     d. _{3 9}t_ t4 _{27 e.} 1 100 1000x _ 2 4 3 8 3 2 3 3 (3 ) 3 3 3 8 3 3 5 1 t t t t t t            3 3 2 2 3 (10 ) 10 10 3 2 x x x x        T_6. a. 24 2,3t 100 1,7 t     d. 3 3 5x 20 1,8 x       b. 0,03 1,78t 1 6,1 t     e. 2 0,8 x 10 5, 2 x     c. 5 2n 0,1 5,6 n      T_7. a. 48 4jaar 6 8 g   1 4 8 1,68 jaar g   b. 1,6814 1,1388 kwartaal g   c. Op 1 april 2001: 13 6 1,1388 32,5% d. 6 1,1388_ t _90 Voer in: 1 6 1,1388 x y   en y2 90 intersect: x20,8

Het was 90% in het eerste kwartaal van 2003.

T_8. a. 2, 2 0,97t A S   b. 2, 2 0,97_ t _1,8 c. Voer in: 1 2, 2 0,97 x y   en y2 1,8. intersect: x6,59.

a. Na 5730 jaar bevat de boom 0, 000001 1000 0,5 0, 0005   mg C14 en na 11460 jaar 0,00025

mg.

b. Na 3 5730 17190  jaar.

c. Als 31

32 deel verdwenen is, is er nog 321 deel over.

5 1 32 1 1 5 2 0,5 (2 ) 2 5 t t t       Na 5 5730 28650  jaar. d. 0,5t _0,04 4,64

t  . De vondst is ongeveer 26609 jaar.

e. 0,5t _0,8619

0, 21

t . Dat is 1229 jaar geleden (uit 768). Het kan dus niet van Karel de Grote zijn geweest.

T_10.

a. Dat hangt af van de hoogte van het zakgeld op dit moment en hoe lang er nog zakgeld betaald gaat worden.

b.

c. Bij een groeipercentage van 30% per jaar hoort een groeifactor van 1,30. De groeifactor per half jaar is 1

2