Hoofdstuk 2 Hoeken en afstanden in de ruimte

Hoofdstuk 2:

Hoeken en afstanden in de ruimte

1 a. AF 4 2 b. 4 4 2 GM      _{ } _    uuur en _|GMuuur_{| 4}2_{ ( 4)}2_{ ( 2)}2 _6 2 a. AD: 4 1 0 0 0 1 x y z            _{ }                    

. Een willekeurig punt is dan (4, 0, )

b. _|GPuuur_{| (4)}2_{ ( 4)}2 _(4)2 _12 2 2 2 2 2 (4 ) 16 ( 4) 144 16 8 16 8 16 144 2 16 96 2( 4)( 12) 0 4 12                                   P(8, 0, -4) en Q(-8, 0, 12) 3 a. Q( , 1 , 2 2 )  b. _{PQ  (4)}2_{  (1  3)}2_{(2 2 7)}2 _{ (}2 _{816) (16 8   } 2_{) (25 20  4 )}2 _{ 6}2_{3657}

c. PQ is minimaal als _62_{3657 minimaal is. En dat is voor} 36 2 6 3

  _ 

De lengte is van PQ is dan 3.

4 AB: 0 2 2 1 1 1 x y z           _{ }  _                  

en een willekeurig punt Q op AB is (2 , 2 , 1)

2 2 2 2 2 2 2 (2 2) (2 6) (1 3) (4 8 4) (16 8 ) ( 4 4) 6 12 24 PQ                                

En deze lengte is minimaal voor 12

12 1

 _  _{ }

( , ) 3 2

d P AB  5

a. omdat d P l( , ) de kortste afstand is van P tot lijn l. En die staat dus loodrecht op l.

b. Q( , 1   , ) en 4 4 6 PQ           _{ }  _    uuur

c. PQ rvuuur _l  1 (4) 1 (    4) 1 (  6) 3  6 0. Hieruit volgt   2

e. een willekeurig punt van m is Q( 10 6 , 1 2 , 4     ) 6 14 6 6 2 2 2 6( 14 6 ) 2 2 (2 ) 0 1 2 1 QR                     _{  } _{  }            _          uuur 2 2 2 84 36 4 2 0 41 82 2 |QR| ( 2) 4 4 6                   uuur 6

a. de richtingsvector van l is de normaalvector van V: 4x2y z d 

P ligt in het vlak: 4x2y z  14

b. 4(2 4 ) 2(1 2 ) (3      ) 14 8 16 2 4 3 14 21 21 1                

Het snijpunt van l met vlak V is (-2, -1, 4)

c. omdat l en dus ook PQ loodrecht staat op vlak V d. _{d P l( , ) ( 1)} 2_22_02 _{ 5} 7 AB: 3 1 4 3 1 2 x y z           _{ }            _ _       

en een willekeurig punt op AB is P(3, 4 3 , 1 2 )    

CPuuur uuurAB, 1 (6 ) 3 (4 3 ) 2 ( 5 2 ) 0          6 12 9 10 4 0 14 28 2                P(1, -2, 3), _{PC  4}2_{ ( 2)}2_{ ( 1)}2 _{ 21 en} 2 2 2 1 1 2 1 3 ( 2) 21 32 6 Opp ABCV        8 a. 4 3 (1 2 ) 3 3 2 3 (2 ) 1 (1 ) 1 PQ                        _   _{ }  _  _{ }   _{  }      uuur

b. de kortste afstand is de loodrechte afstand

c. Het inproduct van PQuuur met beide richtingsvectoren is nul 3 (3 3 2 ) ( 1 ) 0 10 5 8 (1)                  2 (3 35 6 82 ) (1 (2)) 1 ( 1 ) 0                   d. de eerste vergelijking min twee keer de tweede vergelijking: 7 8 ofwel 1 7 1   5 2 7 7 8 35 10 5 8 2      e. 24 2 2 1 2 8 1 2 1 35 7 7 35 7 35 (3 2 ) ( ) ( 1 1 ) PQ          

9 CM: 0 2 4 2 0 1 x y z           _{ } _                    en OD: 0 0 1 x y z       _               2 4 2 PQ            _{ }  _    uuur

Deze staat loodrecht op OD, dus  

Deze staat loodrecht op CM, dus 2 2    2( 4 2 )  8 8 0

Dit geeft   1 en dus _{d CM OD( , )PQ ( 2)} 2_{ ( 2)}2_02 _{2 2}

10

a. de afstand van F tot ABCD is gelijk aan FB en die is 6. b. het midden van EG.

c. d F ACGE( , ) 3 2

d. Omdat FH en M in het bovenvlak liggen

e. Als N het midden is van EH, dan snijden FH en MN elkaar loodrecht. Het snijpunt ligt in het midden van MN.

1 1 2 2 ( , ) 3 2 1 2 d M DBFH    11 a. 2 2 4 3 1 1 x y z           _ _ _                    b. 2( 2 2 ) 3(4 3 ) (1       ) 14 15 13 14 28 2    S(2, -2, 3) c. _{d P V( , )PS 4}2 _{ ( 6)}2_22 _{2 14} 12 a. _{PQ  }2_{ ( 2 )} 2_{(3 )} 2 _{ }2_42_92 _{ 14}2 b. (p1) 2( p22 ) 3(  p33 ) 12  1 2 3 1 2 3 14 12 2 3 12 2 3 14 p p p p p p           c. ₁₄ 2 _{14 | | 14} |12 1 2 2 3 3| | 12 1 2 2 3 3| 14 14 p p p p p p PQ               13 a. _{2 2 2} 311 | 3 1 2 1 1| ( , ) 3 1 1 d P V          b. 4 4 3 0 3 4 1 0 12          _{ }  _{ }          _  _       

een vergelijking van W: 3x4y12z20

13 13 2 2 2 | 3 3 4 3 12 1 20 | ( , ) 1 3 4 12 d Q W           

c. P(8, 0, 0) 10 11 2 2 2 | 8 3 0 0 18 | ( , ) 1 ( 3) 1 d P W         

d. de vlakken zijn evenwijdig dus is in elk punt van V even groot.

14 0 1 0 2 2 1 1 1 2 AB AC                 _{    } _ _    _        uuur uuur

Een vergelijking van ABC is: y2z 2

2 2 2 2 5 1 ( 2) ( , ) d O ABC     15 ( , ) | 0 4 6 8 9_{2 2 2} | | 48₉ | 10 1 ( 4) 8 c c d Q V             48 90 48 90 42 138 c c c c           16 a. P(x, 0, 0) 2 2 2 1 1 2 2 | 2 2 0 0 8 | | 2 8 | ( , ) 5 3 2 2 ( 1) 2 8 15 2 8 15 3 11 x x d P V x x x x                      b. AB: 2 1 3 1 4 1 x y z            _{ }              _       | 2(2 ) 2(3 ) (4 ) 8 | | 14 | ( , ) 2 3 3 14 6 14 6 8 20 d P V                             

De punten (10, -5, 12) en (22, -17, 24) liggen 2 van vlak V.

17 a. 0 2 2 1 1 6 3 1 2 V n                _{    } _     _       

een vergelijking van V is: x3y z  3

b. 2 2 2 511 | 2 3 0 0 3 | ( , ) 1 ( 3) ( 1) d m V           c. m en V zijn evenwijdig 18 2 1 2 2 0 1 3 1 2 V n                _{    } _            

een vergelijking van V is: 2x y 2z5

9 3 2 2 2 | 2 3 2 2 0 5 | ( , ) ( , ) 3 ( 2) 1 2 d l m d P V            

19 a. d P A( , )d P B( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 4) ( 5) ( 5) ( 2) ( 1) ( 3) ( 4) ( 5) ( 5) ( 2) ( 1) x y z x y z x y z x y z                       b. _x2_{6x 9 y}2_{8y16z}2_{10z25x}2_{10x25y}2_{4y 4 z}2_2z1 4x12y8z 20 En de normaalvector is 1 3 2       _    20 a. 6 4 4 OA      _{ } _    uuur

is de normaalvector van het middelloodvlak en gaat door (3, -2, -2)

3x2y2z17

b. 5x3y z 35

c. Los het stelsel 3x2y2z17 en 10x6y2z70 op.

13x4y 87.

Kies x3. Dan is y 12 en z 16 (3, 12, -16) is een punt van de snijlijn Kies x 1. Dan is y 25 en z 35 (-1, 25, -35) is een punt van de snijlijn

s: 3 4 12 13 16 19 x y z          _ _ _          _         

d. Het punt P ligt in het middelloodvlak van OA: OP AP Het punt P ligt in het middelloodvlak van OB: OP BP

21 middelloodvlak van AB: 3x y 3z3

Beide vergelijkingen bij elkaar optellen: 4x 3 geeft 3 4 x  Voor 1 4 2 y  is z1 en voor 1 4 y  is 1 3 z . De lijn gaat door de punten 3 1

4 4 ( , 2 , 1) en 3 1 1 4 4 3 ( , , ) 3 3 4 4 1 1 4 4 1 2 1 3 3 3 0 0 2 3 1 x y z                    _{   }                                 22 M(2, 4, 2_q₂2

) ligt in het middelloodvlak van PQ: 4x8y (2q z d) 

2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 8 4 5 2 4 2 8 4 (2 )(1 ) 8 32 2 22 4 2 8 3 (2 ) 4 22 8 4 0 4 2 5 4 2 5 q q q q q q q q q   q                                  

23 a. | 2_{2 2} 8 |₂ | ₂ 2₂ 12 |₂ 2 1 ( 1) 1 ( 1) ( 2) x y z   _ x y  z        b. 16 | 2x y z  8 | 16|x y 2z12 | 2 8 2 12 2 8 2 12 2 4 3 3 20 x y z x y z x y z x y z x y z x z                        c. 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 0 1 3       _ _{       }       _     

De normalen van de vlakken staan loodrecht op elkaar: de vlakken dus ook.

24 1 0 1 0 1 1 1 1 1             _{ }            _      

een vergelijking van W is: x y z  0

2 2 2 2 2 2 | 2 2 10 | | | 2 2 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 3 | 2 2 10 | 3 | | 2 2 10 3( ) 2 2 10 3( ) (2 3) (2 3) ( 3 1) 10 (2 3) (2 3) ( 3 1) 10 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                                 25 a. P(4, 0, 4) en Q(4, 4, 4)

het bissectricevlak van OAB en OCG is OPQC. b. x z 0

c. middelloodvlak van AB: y 2

0 1 2 0 0 1 x y z           _{ }                     26 a. _{PM  (x2)}2_(y4)2_(z5)2

b. dat zijn alle punten (x, y, z) die een afstand van 10 hebben tot het punt (2, -4, 5). Dat zijn dan alle punten op de bol met middelpunt (2, -4, 5) en straal 10.

27

a. _(x3)2_{(y 2)}2_(z1)2 _81

b. met de x-as: met de y-as:

2 ( 3) 76 3 76 3 76 3 76 3 76 x x x x x                2 ( 2) 71 2 71 2 71 2 71 2 71 y y y y y              met de z-as: 2 ( 1) 68 1 68 1 68 1 68 1 68 z z z z z                ( 3 76, 0, 0) ( 3 76, 0, 0) (0, 2 71, 0) (0, 2 71, 0) (0, 0, 1 68) (0, 0, 1 68) en en en          

28

a. M( , 2 , 0)  de middelpunten liggen op de lijn

1 2 0 x y z       _               b. _()2 _{ ( 2 )} 2_42 _62 2 2 2 4 16 36 5 20 2 2              2 2 2 2 2 2 ( 2) ( 4) 36 ( 2) ( 4) 36 x y z x y z           29 a. _{r OM  ( 4)} 2_42_22 _{6 : (x4)}2_(y4)2_(z2)2 _36

b. die afstand is gelijk aan de straal, dus 6

c. De raakpunten zijn (-4, 4, 8) en (-4, 4, -4). De vlakken z8 en z 4 30 a. _{(3  2)}2_{  ( 2 )}2_(1)2 _18 2 2 2 2 2 2 10 25 4 4 2 1 18 3 12 12 3( 4 4) 3( 2) 0 2                                b. R(1, 0, -2)

31 nee, die doen we anders (lees makkelijker!)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 6 4 20 8 16 16 6 9 9 4 4 4 20 ( 4) 16 ( 3) 9 ( 2) 4 20 ( 4) ( 3) ( 2) 49 x x y y z z x x y y z z x y z x y z                                  Middelpunt (4, -3, 2) en straal 7 32 a. _x2_y2 _{2x5y z} 2 _{13 0 b.} 2 2 2 1 4 7 5 2 x  x y  y z  z 2 1 2 1 2 2 4 2 1 2 2 1 2 4 ( 1) 1 ( 2 ) 6 13 0 ( 1) ( 2 ) 20 x y z x y z              2 2 2 3 1 1 2 2 4 3 1 1 2 2 4 ( 3 ) ( 2 ) ( 1) 19 ( 3 , 2 , 1) 19 x y z M en r         Middelpunt (1, 1 2 2  , 0) en straal 1 2 4 c. _x2_y2 _z2_{2x2y 6z14 d. x}2_{2x y} 2 _{ y z}2_10z106 2 2 2 (x1) (y1) (z3) 25 2 1 2 2 1 2 4 (x1) (y  ) (z5) 132 M(1, -1, -3) en straal 5 M(1, 1 2  , -5) en straal 1 2 11 . 33 a. ₂2_{ ( 2)}2 _42_{       6 2 2 2 4 4 16 12 4 8   , klopt.} b. _x2_y2_z2_{6x2y 8} 2 2 2 (x3) (y 1) z 18 M(3, -1, 0) en r 3 2

d. 1 1 4 MP       _{ }     uuur 4 16 x y  z  34 a. 3 1 5 3 ( 3 )(1 ) (5 )( 3 ) ( 2 )(2 ) 0 2 2 x x PA PB y y x x y y z z z z             _  _{ }   _             _{ }   _      uur uuur 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 15 5 3 4 2 2 0 2 2 22 ( 1) ( 1) 24 x x x y y y z z z x x y y z x y z                       

b. dit is de vergelijking van een bol met M(-1, 1, 0) en r 2 6

2 2 2 ( 3 1)  (5 1)  ( 2)  4 16 4 24  : A ligt op de bol. 2 2 2 (1 1)   ( 3 1) 2  4 16 4 24  : B ligt op de bol. 2 2 2 4 ( 8) 4 4 6 2

AB       , dus AB is een middellijn van de bol.r

35

a. 1 3   3 2 uit de middelste vergelijking volgt   1 3

1 3 1 2 2 5           1 3(1 3 )4 9 3 23 2              7 7 1 en 2        

Invullen in de onderste vergelijking: 1 2 2        3 2 5 1 klopt.

b. _{2 2 2 2 2 2} 19532 3 2 1 3 2 5 cos( ) 3 1 2 2 3 5              geeft  35 c. De hoeken die de lijnen met elkaar maken zijn 35° en 145°.

36

a. driehoek ABM is een gelijkbenige driehoek. De hoogtelijn MN, met N het midden van AB is ₄2_32 _5 3 5 tan( ) 31 AMN AMN     

De hoek tussen AM en BM is dan ongeveer 62°. b. VABP is een rechthoekige driehoek met _BAP _90

2 2 6 2 3 tan( ) 1,66 59 APB APB        c. 2 3 0 MP      _{ }     uuur en 4 3 0 MF            uuur _{cos( )} 2 4 3 3 _0,06 13 5 93 FMP FMP            

De hoek tussen de lijnen door PM en FM is 87°

d. 4 0 3 ED         _    uuur en 4 3 3 BM       _{ }     uuur _{cos( ( , ))} 4 4 0 3 3 3 _0,24 5 34 ( , ) 76 ED BM ED BM                

37 a. 2 2 6 AT             uuur en 4 4 0 BD       _{ }     uuur _{cos( ( , ))} 8 8 ₀ 2 11 4 2 ( , ) 90 AT BD AT BD         b. 1 3 3 AM             uuur en 2 2 6 CT      _{ }     uuur _{cos( ( , ))} 2 6 18 _0,35 19 2 11 ( , ) 70 AM CT AM CT           c. 2 4 0 AN             uuur en 2 2 6 DT            uuur _{cos( ( , ))} 4 8 _0,13 2 5 2 11 ( , ) 82 AN DT AN DT          d. 1 3 3 AM             uuur en 2 4 0 AN             uuur _{cos( ( , ))} 2 12 _0,72 19 2 5 ( , ) 44 AM AN AM AN         38 4 0 3 AD             uuur en 4 3 AP y             uuur 2 2 16 9 cos(60 ) 0,5 5 25 25 10 y y  _  _     2 ₇₅ 5 3 (0, 5 3, 3) y y P   39

a. VEBC is een rechthoekige driehoek met _EBC _90 1 4 2 4

tan ( ) 55

BCE  

  

ACE

V is een rechthoekige driehoek met _EAC _90 1 4 4 2 tan ( ) 35 ACE      4 4 4 CE      _{ }     uuur en 2 4 0 CQ      _{ }     uuur _{cos( ( , ))} 8 16 _0,77 4 3 2 5 ( , ) 39 EC QC EC QC         CDE

V is een rechthoekige driehoek met CDE 90 1 4 2 4

tan ( ) 55

ACE  

  

b. ACE

c. het midden van AB: (4, 2, 0) d. punt F

e. AC staat loodrecht op BDHF. Dus teken een lijn door Q // AC. Deze snijdt het vlak BDHF in BD. De loodrechte projectie is (1, 1, 0)

40 a. cos( ) ₂ | 1 3_{2 2}1 2 2 4 |_{2 2 2} 0,53 1 ( 1) 2 3 2 ( 4)                  geeft  58 ( , ) 32l V    b. 1 0 3 1 2 1            _{   }       

2 2 2 2 2 | 3 3 5 2 | cos( ) 0,87 ( 3) 5 3 1 ( 2)               geeft  29 ( , ) 61l V    41 a. b. ACD: 1 1 1 6x 6y8z1 4x4y3z24 6 6 5 CP      _{ }     uuur 24 24 15 cos( ) 0,24 41 97     

 geeft  76. En dan is (CP ACD, ) 90  76 14

c. ACE x y:  6 en 3 3 4 BD       _{ }     uuur |1 3 1 3 | cos( ) 0,73 2 34          geeft  43. (BD ACE, ) 47    d. ACGE: x y 6 en 0 6 AQ z            uuur 2 2 12 2 2 2 6 cos(60 ) 0,5 2 36 36 36 72 36 6 z z z z z  _{ }        

Het punt Q is dan (6, 6, 6)

42

a. De hoek tussen vlak OABC en ABGD is CBG. Die zie je in het zijaanzicht dus op ware grootte. De hoek is 45°.

b. in vlak ACGE.

c. dat is een rechthoek van 8 2 bij 8.

De hoek tussen de vlakken is AMC, waarbij M het midden is van EG.

1 4 2 8 2 2 tan ( ) 71 AMC AMN          43

a. de snijlijn van de twee vlakken is DF. Vlak ACGE is een standvlak. b. zie vraag 42c

44

a.

b. TC is de snijlijn en het grondvlak is dan het standvlak.

(TAC TBC, ) (CA CB, ) 90

   

c. AB is de snijlijn en CMT is het standvlak ABC

V is gelijkbenig, dus de hoogtelijn uit C gaat door het midden M van AB.

1 4 3 2

(TAB ABC, ) CMT tan ( ) 43

    

45

a. bijvoorbeeld met het zijvlak ADT.

De snijlijn is AD en het standvlak een verticaal vlak door het midden van AD en T.

1 7 3

(ADT ABCD, ) TMS tan ( ) 67 

    

b. Neem hetzelfde standvlak als bij opgave a.

1 3 7

(TAD TBC, ) MTN 2 tan ( ) 46 

     

46

a. BT is de snijlijn van de twee vlakken.

CK BT omdat AK BT. En dus is ACK een standvlak.

b. De snijlijn van vlak ABT met het standvlak is AK en die van BCT met het standvlak is CK.

c. Er zitten geen rechte hoeken in.

47 a. _{2 2 2 2 2 2} 6 214 |1 4 1 2 2 1| cos( ) 0,36 1 ( 1) 2 4 ( 2) ( 1)            _          geeft 69 b. 1 3 4 1 0 1 1 4 3          _  _          _{ }  _        en 1 2 2 0 1 5 2 1 1            _{  }            _{ }       0 26 30 2 2 2 2 2 2 | 4 2 1 5 3 1| cos( ) 0 ( 4) 1 ( 3) 2 5 ( 1)            _          geeft  90 48 a. b. 2 2 4 V n DT      _{  }     uur uuur en 0 0 1 ABCD n            uuuuur 4 cos( ) 2 6 1    geeft  35  

c. Vlak V staat loodrecht op TD. TD ligt in vlak TAD, dus de hoek tussen V en TAD is 90°.

49

a.

b. De snijlijn is AC. Het standvlak is een verticaal vlak loodrecht op AC.

De hoek tussen de vlakken ACH en ABCD is de hoek tussen DK en HK. 1 1 2 2 4 4,8 8 6 10 4,8 tan( ) 40 ABC Opp DK DK DKH DKH             V c. 3 4 0 HF            uuur , 0 8 1 HP         _   uuur en 0 2 1 HC         _   uuur 3 0 4 4 8 3 0 1 24 FPH n HF HP                _{    }  _     _        uuuur uuur uuur

en 3 0 4 4 2 3 0 1 6 HFC n HF HC                _{    }  _     _        uuuur uuur uuur

16 9 144 cos( ( , ) cos( ( , ) 0,88 601 61 ( , ) 28 FPH HFC FPH HFC n n FPH HFC            uuuur uuuur

d. AC // EG, CH // EB en AH // BG, dus de vlakken ACH en BEG zijn evenwijdig.

50 0 1 1 V n         _   uur en 1 5 2 1 2 1 2 1 2 W a n a a             _{    }    _     _{ }        uur 2 2 2 2 2 2 2 1 13 2 1 ( 1 2 ) 3 1 cos(60 ) 2 25 ( 2) ( 1 2 ) 2 5 30 6 2 10 60 36 24 4 10 60 26 24 56 (26 28)( 2) 0 1 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a  _      _                           51 5 1 : 11 2 19 3 x PQ y z          _ _ _                    (5 ) 2(11 2 ) 3(19 3 ) 12 14 28 2               

Dus voor de coördinaten van Q geldt:   4. Q(1, 19, 7)

52 a. _x2_{12x y} 2_{8y z} 2_{16z91 0 b.} 8 1 _{2 2 2} 14 | 2 6 3 4 8 | ( , ) 2 ( 3) 1 d M V          2 2 2 (x6) (y 4) (z8) 25 M(6, 4, 8) en straal 5

c. ( , ) | 2 6 3 4 8 |_{2 2 2} 5 2 ( 3) c c d M V c          2 2 2 2 2 1 3 5 5 3 3 8 5 13 64 25(13 ) 325 25 8 c c c c c c c c           

Dit zijn raakvlakken aan de bol.

d. 1 0 0 0 3 4 0 4 3 W n             _{    }   _             uur

een vergelijking van W: 4y3z d

6 0 4 4 8 3 x y z           _{ } _                    2 2 2 ( 4 ) (3 ) 25 5 1 1 (6, 8, 5) (6, 0,11) MQ Q Q              4y 3z 17     en 4y3z33 53

a. Het middelpunt ligt in de middelloodvlakken van OA, OB en OC. M(5, 10, 5) en _{r  5}2_102_52 _{5 6}

2 2 2

(x5) (y 10) (z5) 150

b. Voor de punten P in het bissectricevlak van twee grensvlakken V en W geldt:

( , ) ( , )

d P V d P W

c. Het bissectricevlak van OAB en OAC is: x z 0

Het bissectricevlak van OAB en OBC is: y z 0

Voor het punt in beide bissectricevlakken geldt: x y z d. ABC: 1 1 1 10x20y 10z1 ofwel 2x y 2z20 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) | 2 2 20 | 2 1 2 3 5 20 3 5 20 10 2 d M OAC d M ABC r r r r r r r r r r                 1 1 1 2 2 2 (2 , 2 , 2 ) M en 1 2 2 r 

54 Een willekeurig punt P op k is (2 , 3 , )   en Q op m is (2, 1 2 , 2  )

2 2 1 2 3 2 PQ             _   _  _{ }    uuur

staat loodrecht op beide lijnen k en m:

2(2 2 ) 3(1 2 3 ) (2 ) 9 14 9 0 (1) (2 2 ) 2(1 2 3 ) (2 ) 6 9 6 0 (2)                                        

Uit de tweede vergelijking volgt: 1 2

1 1

  

Invullen in de eerste vergelijking: 1 1

2 2

9(1  1) 14  9  0 geeft  0

en   1. Met andere woorden: P(0, 0, 0) en Q(1, -1, 1)

l: 1 1 x y       _  _    

55 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 3 2 2 5 5 2 a a a OM OP PQ a a                   _{ } _  _{  }    _   _       

uuur uuur uuur

1 1 2 2 1 1 2 2 4 3 1 2 2 a a          hieruit volgt: 1 1 2 2 3 3 3 2 7         1 2 2(3 21) 35 a    56 a. 1 : 1 1 x OF y z       _              

. De bollen raken elkaar, dus d M N( , ) 2 r

b. N(12r, 12r,12r) c. _{MN  (12 2 ) r} 2_{(12 2 ) r} 2_{(12 2 ) r} 2 _{ 3(12 2 ) r} 2 _2r 2 2 3(12 2 ) r 4r d. _{3(144 48 r 4 ) 4r}2 _{ r}2 2 2 18 6 3 2 8 144 432 8( 18 54) 0 9 3 3 9 3 3 r r r r r  r             57 _{: (x3)}2_(y3)2_z2 _18 2 2 2 :x (y 3) (z 6) 45      

De stralen naar (0, 0, 0) staan loodrecht op de lijn:

x a y b z c       _               ( … 2 2 1       _ _     ) 3b6c0 en 3a3b0. Kies c 1. Dan is b 2 en a2. 58

a. r rur uur_l  _m 25 21 4 0   : de lijnen staan loodrecht op elkaar 6 5 9 5 3 3 3 7 5 4 5                  

Uit de middelste vergelijking volgt 37 en uit de laatste vergelijking volgt

4 

  . Hieruit volgt dat   0 en dat klopt niet. De lijnen zijn kruisend.

b. 9 5 ( 6 5 ) 15 5 5 3 7 ( 3 3 ) 7 3 5 (5 4 ) 4 PQ                             _    _{ }   _  _{  }   _      uuur

staat loodrecht op beide lijnen

5(15 5 5 ) 3( 7   3 ) 4(  4 ) 75 50   0 geeft 1 2 1   5(15 5 5 ) 7( 7   3 ) (  4 ) 75 75    0 geeft   1 1 1 2 2 (1 , 1 , 1) P  en Q(4, 4, 4). 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ( , ) (2 ) (2 ) 5 37 d l m PQ   

c. A( 6 5 , 3 3 , 5 4 )        en B(9 5 , 3 7 , 5     ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 6 5 9 5 ( 6 5 ) 1 2 2 3 3 3 7 ( 3 3 ) 1 3 5 4 5 (5 4 ) 2 1 5 5 0 3 7 0 4 1 OM OA AB                                           _{ } _     __  _  _   _{  }   _{ }                    _{ } _{ } _ _       _{   }  

uuur uuur uuur

Dit is een vlak evenwijdig aan de lijnen l en m.

59 2 2 2 | 6 | ( , ) 2 (2 ) 2 p d O V p p       2 6 2 2 2 2 2 2 6 2 2 4 8 2 4 8 18 2 4 10 2( 2 5) 0 1 6 1 6 p p p p p p p p p  p                  

Test jezelf

T-1 a. 2 3 2 2 1 5 1 2(3 2 ) ( 5 ) 3(2 3 ) 14 7 0 3 2 3 3 OP                     _{  }   _{  }              _          uuur geeft 1 2   2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 ( 5 ) ( ) 46 OP      b. 5 (3 2 ) 2 2 7 ( 5 ) 2 2 2 (2 3 ) 2 3 PQ                        _     _{ }   _  _{  }   _      uuur staat loodrecht op k en m. 2(2 2 ) ( 2 ) 3(2 3 ) 2 8 14 0 (1) (2 2 ) 2(2 3 ) 2 5 8 0 (2)                                 5 (1) 8 (2) : 6 6     0 geeft   1 en   2 2 2 2 ( , ) 2 ( 1) ( 1) 6 d k m PQ     

T-2 a. 1 2 5 3 1 5 2 1 5 V n              _{    }  _     _{ }        uur

een vergelijking van V is: x y z   9

6 3 2 2 2 | 1 2 0 9 | ( , ) 1 ( 1) 1 d A V         

b. 1 1      1 8 1 7 0: de normaal van V staat loodrecht op de richtingsvector van l. Dus de lijn is evenwijdig aan het vlak.

c. 2 1 0 1 3 1 x y z           _{ }  _                   2 3 (2 ) ( ) (3 ) 3 5 9 3 14 4                    2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 (2, 0, 3) ( 2 , 4 , 1 ) (4 ) ( 4 ) (4 ) 4 3 P en Q PQ        T-3 a. 4 3 4 OB OE       _{ } _    uuur uuur : 4x3y4z0 4 3 4 OB OG       _{ }     uuur uuur : 4x3y4z0 4 3 4 OE OG        _{ }     uuur uuur : 4x3y4z0 4 3 4 BE BG      _{  }     uuur uuur : 4x3y 4z48 M(3, 4, 3) 2 2 2 1241 12 ( , ) 4 ( 3) ( 4) d M OBE       , 12 41 ( , ) d M OBG  _, 12 41 ( , ) d M OEG  _en 12 41 ( , ) d M BEG  b. 48 41 | 4 0 3 8 4 6 | ( , ) 41 d G OBE        T-4

a. Het middelloodvlak gaat door (2, 2, 7) en staat loodrecht op

6 4 2 AB        _    uuur 3x2y z 3. b. | 4 ₂2 4₂ 15 | | 2_{2 2 2} 2 1|₂ 4 ( 2) 4 2 1 ( 2) x y  z _ x y  z       3(4 2 4 15) 6(2 2 1) 12 6 12 45 12 6 12 6 12 24 39 4 8 13 x y z x y z x y z x y z y z y z                     1 8 3(4 .... 15) 6(2 ... 1) 12 ... 45 12 ... 6 24 51 2 x x x x x x              

T-5

a. _x2_{4x y} 2_{4y z} 2_{2z135 0}

2 2 2

(x2) (y 2) (z1) 144

M(2, -2, -1) en straal 12

b. _{MP  3}2_82_72 _{ 122 r , dus P ligt binnen de bol.}

T-6 a. 1 2 4 2 1 3 2 1 5             _{ }            _{ }        |1 4 2 3 1 5| 1 6 50 ( , ) 90V l  ( ,n rv_{V l}) 90 cos (      ) 10      uur    b.        4 a 3 2 5 1 4a 1 0 geeft 1 4 a T-7 2 1 5 0 1 3 5 1 2           _{  }            _        |15 3 3 2 2| 1 14 38 ( ,V W) ( ,n n_{V W}) cos (     _ ) 69,7    uur uur   T-8

a. het middelpunt ligt even ver van O als van C. b. 5x y d gaat door 1 1

2 2

(2 , , 0). Middelloodvlak OC: 5x y 13

c. Omdat A en B ook op de bol liggen

d. Middelloodvlak OA: z5 middelloodvlak OB: x y 5

5 (5 ) 13 6 18 3 2 x x x x en y       middelpunt (3, 2, 5) e. _(x3)2_{(y 2)}2_(z5)2 _38 T-9 a. 5 1 0 5 0 12 12 0 5 BT BC                  _{    }  _      _        uuur uuur

een vergelijking van BCT is: 12y 5z60

b. _{2 2} 131 | 5 60 | ( , ) | 5 60 | 12 5 p d P BCT    p  c. d P ABCD( , )p, dus 5p60 13 p  5p60 13p d. 1 1 2 3 8 60 18 60 7 3 p p p p         e. 2 2 1 2 1 3 9 ( 3 ) 11 x y  z  f. M(0, 0, p) 2 2 2 2 2 11 12 2 2 11 2 1 2 5 ( 5) 12 50 144 24 24 94 3 ( 3 ) (8 ) AM MT p p p p p p p x y z                