De bruikbaarheid van Continuum Damage Mechanics voor kunststofhartkleppen: een literatuurstudie

De bruikbaarheid van Continuum Damage Mechanics voor

kunststofhartkleppen

Citation for published version (APA):

Paas, M. H. J. W. (1987). De bruikbaarheid van Continuum Damage Mechanics voor kunststofhartkleppen: een literatuurstudie. (DCT rapporten; Vol. 1987.044). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Mechanics voor kunststofhartkleppen; M . H . J . R . Paas W.F.W. 87.044 een literatuurstudie juni 'i987 Vakgroep Fundamentele W e r k t u ~ g b o ~ ~ k u n d e Faculteit der Werktuigbouwkunde

Notatie afspraken

Samenvatting

1 Het mechanisch gedrag van hartklepprothesen 2 Continuum Damage Nechanics

2 . 1 Inleiding

2.2 Aanpak van bezwijkproblemen

3 Thermodynamica met interne variabelen 3 . 1 Balanswetten 3 . 2 Constitutieve theorie 1 6 7 8 9 4 C . D e M . nader beschouwd 4 . 1 Damagevariabelen 13

4.2 Constitutieve relaties voor isotroop materiaalgedrag:

vectoriële schade 14

4.3 Constitutieve relaties voor isotroop materiaalgedrag:

scalaire schade 19

4.4 Cumulatieve schade 22

5 Conclusies en suggesties voor verder onderzoek 25

FiCjürei;

Appendix!

+

a : vector

a

: tweede orde tensor AT : getransponeerde van A

‘A : vierde orde tensor

a : kolommatrix gevuld met scalars tr A : spoor van A

detta: determinant van A

Ad3 : inwendig produkt van A en B

A:B : dubbel inwendig produkt van A en B

+

: inwendig produkt van

2

en

xf

: dyadisch produkt van

2

en

6

: positievector in de referentietoestand

i 6

x

X : positievector P : deformatietensor IE : Green-Lagrange rektensor +

Dit verslag handelt over de verrichte werkzaamheden in het kader van het hartkleppenproject. In Hoofdstuk1 wordt besproken welke faktoren een

mogelijke rol spelen bij het falen van hartklepprothesen. Hieruit volgen twee mogelijke onderzoekslijnen. Een van deze lijnen is het verwerven van fundamentele kennis op het gebied van faafmechanismen bij synthetische materialen. In Hoofdstuk2 wordt een theorie, genaamd Continuum Damage Mechanics, besproken, waarmee deze faalmechanismen kwantitatief beschreven kunnen worden. In Hoofdstuk.3 wordt de basis voor C.D.M. formeel afgeleid, waarbij aan alle fysische beperkingen wordt voldaan. In Hoofdstuk4 wordt vervolgens nader ingegaan op de keuze van damagevariabelen. Bovendien worden constitutieve relaties afgeleid voor isotroop materiaalgedrag bij een

bepaalde keuze van de damagevariabelen. In Hoofdstuk5 volgen tenslotte conclusies en suggesties voor verder onderzoek.

Hoofdstukl: het mechanisch aedraa van hartklepprothesen

In het kader van het hartklepprothesenproject op de T.U.E. wordt

onderzoek verricht naar de mechanische modelvorming en de ontwikkeling van een vliesklepprothese (fig. I) vervaardigd uit synthetische materialen. Het grootste voordeel van vliesklepprothesen t.o.v. mechanische prothesen is de veel lagere incidentie van bloedstolselvorming en schade aan rode bloed- lichaampjes. Het grootste nadeel van vliesklepprothesen is de beperkte levensduur. Als vliesmateriaal wordt vrijwel uitsluitend biologisch weefsel toegepast. Hoewel de mechanische eigenschappen van dergelijke weefsels superieur zijn aan die van synthetische materialen, kan de toepassing van synthetische materialen toch voordelen bieden vanwege een vrijere keuze van de geometrie en materiaaleigenschappen. Tot op heden is het onmogelijk gebleken om een kunststofprothese te ontwikkelen, die in vivo voor geruime tijd goed functioneerde. Dit is onder meer het gevolg van een ongunstiger spanningstoestand in de synthetische vliezen in vergelijking tot de biolo- gische vliezen. Daarom moet bij de ontwikkeling van een kunststofprothese door manipulatie van zowel geometrie als materiaaleigenschappen getracht worden om een zo gunstig mogelijke spanningstoestand in de vliezen te creëren.

Om de faalmechanismen van vliesklepprothesen te achterhalen, is het zinvol hun werking te vergelijken met die van de natuurlijke klep. Het drukverloop over de natuurlijke klep wordt in fig. 2 weergegeven. Volgens Thubrikar ( [ 2 7 ] ) zijn de hoofdspanningen in het vlies gedurende de gehele cyclus positief en treden derhalve geen plooieffecten op. Deze bewering dient echter met enige voorzichtigheid gelezen te worden, aangezien de in E271

gehanteerde fysica volstrekt incorrect is. De beweging vun v l i e z e n bij bioprothesen is eveneens door Thubrikar

([za],

[29]) bestudeerd. Hiertoe werden markers (Tantalium, l*lmm, 12mg 1 op de vliezen en het frame van verscheidene bioprothesen bevestigd, die vervolgens bij kalveren

geimplanteerd werden. Tijdens de systolische fase, waarin de positie van het vlies grotendeels bepaald wordt door de beweging van het stromend medium, observeerde hij plooieffecten als gevolg van verschillen in :

-

materiaafeigenschappen van de vliezen ; bij bioprothesen worden de vliezen E& glüteïâldehyde behandeld, waardoor het constitutief gedrag wordt

-

constructie ; bij de natuurlijke klep bevindt zich bij de basis een verdunning in het vlies, waardoor een zekere scharnierwerking ontstaat

(fig. 4 1 ; verder zal de stroming in de omgeving van een bioprothese verschillen van de stroming in de natuurlijke situatie.

Na explantatie van de prothesen nam Thubrikar fibreuze afzettingen waar op het frame en de vliezen, die in sommige gevallen de beweeglijkheid van de vliezen belemmerden. Bovendien waren de polypropyleenframes (Hancock-klep) visco-plastisch gedeformeerd. Calcificatie van de vliezen trad steeds op in de zone met de grootste krommingen. Bij de Hancock-klep verliep het verkal- kingsproces als volgt:

-

calcificatie begon bij de vliesbevestiging nabij de commissures,

-

van hieruit ging de verkalking langs de collageenvezels (aan de aortazijde) verder in het vlies.

Het meest waarschijnlijke mechanisme voor verkalking is het optreden van wisselende buigbelastingen, waardoor collageenvezels beschadigd worden en calciumbindende structuren vrijkomen. Door de geringe expositietijd heeft Thubrikar geen verkalking van oppervlakteschade, veroorzaakt door de markers, waargenomen. Door andere onderzoekers is echter ook verkalking van

bloedklonters en scheurtjes waargenomen. Zo berichtte Hennig ([26]), die overeenkomstige experimenten met kunststofprothesen had uitgevoerd, dat verkalking en afzetting van bloedklonters voorkwamen in de gebieden met de grootste kromming (nabij aanhechtingszone). De door de wisselende belasting veroorzaakte oppervlakteschade bleek de bepalende faktor bij deze

verschijnselen te zijn.

experimenten van Broom ( [ 301 )

,

waarbij versnelde vermoeiingsproeven werden

uitgevoerd op met gLiterzldehyde hehandelde varkensklepvliezen. Na 600

miljoen cycli Bleek, dat de vliezen ernstig beschadigd waren in de gebieden waar plooiing (compressive flexure] optrad. De beschadigingen waren in de vorm van vliesscheuring en cavitaties tussen de aanliggende vezelbundels. De oorzaak hiervan was, dat de relatieve verplaatsingen tussen vezelbundels, wanneer de belasting van trek naar druk veranderde, werden verhinderd als gevolg van het richten van collageenvezels. De vliesstijfheid nam hierdoor toe. De amplitude van de trekspanning bleek van weinig invloed op het schademechanisme. Ook zijn door Sroom f[3’!3) ::i vitro de vliesbewegingen gedurende de hartcyclus bij een Hancock-klep bestudeerd. Plooiing werd waargenomen bij de vrije rand van de vliezen. Bij de meeste numerieke

modellen van de aortaklep tijdens de diastole worden eveneens bij de vrije rand van de vliezen negatieve hoofdspanningen gevonden.

De in het voorgaande beschreven waarnemingen sluiten goed aan bij de waarnemingen van Clark ( [ 2 4 ] ) , die met verschillende typen vliesklepprothesen versnelde vermoeiingsproeven heeft uitgevoerd. Hierbij maakte hij gebruik van kraanwater als stromend medium, aangezien het testen met bloed in verband met steriliteitseisen onmogelijk is. Door deze keuze nam Clark geen kalkafzettin- gen waar. De resultaten worden in het onderstaande kort samengevat :

Hufnagel prothese (polypropyleen met siliconenrubber-coating): bezwijken door scheur in het vlies, die ontstond op de vrije rand nabij de commissures, waarna groei langs de aanhechtingszone tot aan de basis plaats vond, Hancock prothese: aanvankelijk schade nabij commissures in het coaptatie- gebied; later ook gaten en scheurtjes in de dunnere gedeelten van de vliesbasis tussen de collageenbundels,

ïonescu-Shiley prothese (bovine pericardium): scheur in het vlies nabij de commissure, die zich instantaan voortplantte langs de aanhechtingszone. Ook de versnelde vermoeiingsproeven, die door Haworth ([25]) uitgevoerd zijn op de Oxford-klep (siliconen-rubber met een polyester constructie) en op prothesen met poly-urethaan vliezen vertonen een bezwijkpatroon, waarbij een scheur zich voortplant van de commissures naar de basis. Bij in vivo

experimenten werd het €alen veroorzaakt door bloedklontering en calcificatie gevolgd door stenosis en/of vliesscheuring.

De beschreven experimenten worden sterk beinvloed door de flexibiliteit van het frame (het frame van de Ionescu-Shiley prothese is zeer stijf) en door de aanwezigheid van vezels (Oxford-klep

,

Hufnagel-klep), die de scheurgroei kunnen vertragen.

Bij de rùireïieke rîtûde?vor~ing van de klepvliezen wordt steeds de statisch belaste klep beschouwd. Parameterstudies worden tijdens de diastole

uitgevoerd onder het mom van de meest ongunstige belastingstoestand. Enkele resultaten, die op deze wijze verkregen zijn, luiden :

-

met een toenemend aantal vezels in de vliezen neemt de grootte van het coaptatiegebied toe en de spanningsconcentraties, die men bij de isotrope modellen nabij de commissures vindt, nemen af ( [ 3 8 ] ) ; in de rest van het vlies nemen de spanningen niet indrukwekkend af, de reden hiervoor is het feit, dat. de spanning nabij de commissures bij bensâdeïirig mi-axiaal i s , terwijl in de rest van het vlies een bi-axiale spanningstoestand heerst,

-

uit berekeningen, waarin de dikteverdeling bij biologische vliezen verwerkt was (een experimenteel gemeten diktevariatie van 0.175 mm in de basis tot

1 . 4 mm bij het centrum van de vrije rand) i bleken de grootste spanningen op te treden in de vliesbasis en in de omgeving van de commissures; de laagste spanningen traden op in het centrum van het vlies ([381),

-

een flexibel frame reduceert de spanningen in het vlies in vergelijking tot een stijf frame, echter nabij de commissures wordt de grootte van de

spanningen niet beinvloed (

I:

351 1 i

-

hoewel reductie van de framehoogte het voordeel heeft, dat het frame minder visco-plastisch deformeert, waardoor een goede doorstroming behouden

blijft, nemen de vliesspanningen in dat geval toe ([37]).

Samenvattend kan ik de volgende conclusies trekken, waarbij ik tegelijkertijd suggesties voor verder onderzoek doe.

1 )

Het faalmechanisme bij vliesklepprothesen begint frequent in de nabijheid

van de commissures in het coaptatiegebied. Vanuit dit gebied groeit een scheur langs de aanhechtingszone naar de basis van het vlies. De snelheid van de voortplanting kan beinvloed worden door de aanwezigheid van vezels en door de flexibiliteit van het frame. Bij in vivo situaties speelt verkalking ook een rol in deze.

2 ) Het optreden van plooieffecten (langs de vrije rand in de nabijheid van de commissures) tijdens de hartcyclus is mogelijk de oorzaak van het boven- genoemde proces

.

Verantwoordelijk voor deze effecten zijn de materiaal- eigenschappen van het vlies en de geometrie van de constructie.

3 ) Getracht moet worden om de spanninastoestand tijdens de hartcyclus te mtimaliseren. De invloed van de belasting op het faalmechanisme moet experimenteel nader onderzocht worden. Indien plooieffecten inderdaad van

. .

~ e ~ e f i l i j l ; belafig Zijli, iìiûeteìì de hûûfdspänningen in de vliezen steeds

positief blijven. Indien schuifspanningen van belang zijn moet het verschil tussen de beide hoofdspanningen geminimaliseerd worden. Indien trekspanningen van belang zijn moet een of andere effectieve spannings- grootheid geminimaliseerd worden. De berekeningen dienen vooralsnog in de diastolische fase uitgevoerd te worden, aangezien in de systolische fase de vliespositie grotendeels door stromingseffecten wordt bepaald.

4) Verkalkinq is een belangrijk faalmechanisme bij in vivo situaties. Experinwiteel ~ n d e r z t ~ k naar dit verschijnsel levert veel problemen. Biochemische effecten kunnen slechts moeizaam bestudeerd worden vanwege een gebrekkige kennis op dit gebied. Een mogelijkheid als gevolg van de

koppeling tussen verkalking en oppervlakteschade bestaat m.i. in het bewust aanbrengen van schade op proefstukjes, die vervolgens in een geschikt milieu beproefd worden.

5 ) De mathematische modelvorminq van de faalmechanismen kan m.b.v. C.D.M. uitgevoerd worden. De formulering van het model in een E.E.M. programma is uitvoerbaar, mits men de beschikking heeft over een constitutieve ver- gelijking voor de schade-toename.

In het verdere onderzoek zullen twee wegen bewandeld worden.

1 )

Inzicht verwerven in het faalmechanisme bii dunne vliezen, waarbij naar de

invloed van plooieffecten (compressiespanningen) en schuif- en trekspan- ningen gekeken moet worden. Het verworven inzicht in het bezwijken van een hartklepprothese is grotendeels kwalitatief, aangezien het bezwijken van een complex aan factoren zal afhangen, zoals de belastingsamplitude, de belastingsfrequentie, de mate van plooiing en het chemisch milieu

(verkalking, veroudering). De constitutieve relatie voor de schadetoename heeft door deze complexiteit van het faalmechanisme een beperkte

toepasbaarheid.

2 ) De informatie, die onder 1 ) gevonden wordt, levert de criteria voor het optimaliseren van de Prothese tijdens de diastole. Een mogelijke voor- waarde is: een minimaal verschil tussen de beide hoofdspanningen in het vlies met als nevenconditie de eis dat de hoofdspanningen positief zijn.

In de hoofdstukken 3 en 4 wordt de theorie behandeld, waarmee faalmechanismen beschreven kunnen worden. In Hoofdstuk 5 worden de bovenstaande twee wegen nader gespecificeerd.

Hoofdstuk 2: Continuum Damaue Mechanics

2 . 1 : Inleidinq

Mechanische materiaaleigeschappen zijn in hoge mate afhankelijk van defecten in de microstructuur. De microstructuur van een materiaal kan enkel verandert worden door uitwendig toegevoerde energie. Deze microstructurele veranderingen worden op macroniveau waargenomen als inelastische deforma- ties. Bij de afleiding van constitutieve wetten is kennis van de evolutie van dergelijke microdefecten als respons op een uitwendige belasting

noodzakelijk. Een geschikte strategie voor dergelijke problemen is om voor de verschillende klassen van microdefect-kinetica (modes van energiedissi- patie) afzonderlijke veldgrootheden te introduceren. Het modelleren van een veelheid aan microdefecten in een bepaald volume met een continue variabele vereist een geschikte middelingsprocedure en een schaal, waarbij deze

middelingsprocedure mag worden toegepast.

De initiatie en de groei van holtes en/of scheurtjes zijn microstruc- turele veranderingen, die we samenvatten onder de noemer damage. De

bijbehorende theorie wordt Continuum Damage Mechanics (C.D.M.) genoemd. C.D.M. is dus een tak van de continuumsmechanica, die gekarakteriseerd wordt door de introductie van een interne veldvariabele, die op statistische wijze lokaal de verdeling van microdefecten representeert.

Indien een C.D.M.-achtige aanpak wordt gebruikt om het gedrag van

macroscheuren in constructies te voorspellen, spreekt men ook wel van "local approach of fracture" (Lemaitre [ 1 7 ] ) . Deze aanpak biedt voor sommige

geavanceerde problemen grote voordelen boven de klassieke breukmechanica, waar ~ e n de g?of;â?e constructie hesrhocwf,, en kan m.is steeds ais

alternatief gehanteerd worden.

Het begrip "schaal", dat bij C.D.W. van essentieel belang is, kan als volgt ingedeeld worden:

a) microschaal; schaal waarop de mechanismen van rek en schade beschreven worden i

b) macroschaal; schaal waarop een reprentatief volume element (R.V.E.) gedefinieerd kan worden; een R.V.E. moet klein genoeg zijn om partiële

afgeleiden te kunnen definiëren en groot genoeg om discrete schade- mechanismen door continue variabelen te beschrijven, hetgeen voor polymeren een schaal van Imm*lmm*lmm betekent,

c) constructieschaal.

2.2: Aanpak van bezwiikproblemen

Bij de klassieke bezwijkanalyse kunnen de volgende stappen onderscheiden worden :

1 )

indien de geometrie van de constructie, de belastingsgeschiedenis, de

constitutieve relaties en de randvoorwaarden bekend zijn, kunnen de spannings- en rekvelden in de constructie m.b.v. numerieke methoden bepaald worden,

gecontroleerd of een macroscheur wordt geinitieerd,

3 ) de klassieke breukmechanica wordt toegepast om de groei van de macro- scheur tot aan het bezwijken van de constructie te berekenen.

2) m.b.v. een faalcriterium wordt het meest kritieke punt bepaald en wordt

Bij een lokale aanpak wordt een scheur opgevat als een zone waarin de faalcriteria overschreden zijn. De derde stap wordt omzeild door te veronderstellen, dat de groei van een scheur equivalent is aan de

ontwikkeling van de beschadigde zone. De meest geavanceerde aanpak wordt verkregen door vooraf in de constitutieve relaties een koppeling met een damagevariabele (C.D.M.-aanpak) in rekening te brengen (fig. 5 ) .

ïn de literatuur bestaat een grote controverse m.b.t. de keuze van de iiamagevariabëien. t.leestaf wordt aan Ueze variabelen een fysische betekenis toegekend, zoals de porositeit (relatieve volume aan holtes), de radii van deze holtes en de scheurlengte. Bij een dergelijke scalarrepresentatie van de schade blijft de oorspronkelijke materiaalsymmetrie behouden, hetgeen in geval van micro-scheurtjes twijfelachtige resultaten oplevert. Een vector- of tensorrepresentatie lijkt in dat geval een geschiktere keuze, aangezien op deze wijze additionele informatie omtrent de richting van de schade verwerkt wordt.

Hoofdstuk3: Thermodynamica met interne variabelen

Er bestaan situaties waarbij de toestand van een materiaal niet correct gekarakteriseerd kan worden door enkel de basis-thermodynamische velden, dichtheid, verplaatsing en temperatuur. In dat geval moeten additionele variabelen geintroduceerd worden. Bij een medium in een electro-magnetisch veld zijn dit de electrische en magnetische veldsterkte. Indien een ad- ditionele variabele niet eenvoudig experimenteel bepaald kan worden wordt het vaak een interne variabele genoemd. Met behulp van algemene fysische principes is het toch mogelijk om constitutieve wetten af te leiden, ook al is de fysische betekenis van de interne variabele onbekend. Heel algemeen kan gesteld worden, dat een interne variabele een dissipatief mechanisme karakteriseert. Specifieke resultaten kunnen echter slechts dan verkregen worden als de aard van de interne variabele (en dus het dissipatieve mechanisme) bekend is.

H3.1: Balanswetten

De basiswetten van de continuumsmechanica worden gevormd door een stelsel van balanswetten voor achtereenvolgens de massa, de impuls, het impulsmoment en de energie. Deze wetten gelden algemeen en luiden voor niet- polaire media in lokale vorm:

massa : JQ = Eo T impulsmoment: ar = ar (3.1.1) (3.1.2) ( 3 . I . 3 ) (3.1.4)

De gebruikte symbolen hebben de volgende betekenis: Q : soortelijke massa

J = det Q : volumeveranderingsfaktor met IF = deformatietensor

-b

v: snelheid

E: inwendige energie per massa-eenheid r: warmtebron per massa-eenheid

9

: warmtestroomvector

ID = 1 / 2 (

$f

t (Vv) +-* T ) : deformatiesnelheidstensor

Verder moet een thermodynamisch toelaatbaar proces voldoen aan de Clausius- Duhem ongelijkheid, welke stelt dat gedurende elk thermodynamisch proces de interne entropieproduktie groter o f gelijk aan nul moet zijn. De lokale versie van deze ongelijkheid is:

( 3 . 1 . 5 ) Hier hebben we het bestaan geponeerd van:

q : entropie per massa-eenheid

8 : absolute temperatuur

Na invoering van de vrije energiedichtheid JI = E

-

q Q gaat ( 3 . 1 . 5 ) over in :

-E$

- eq8

t tr(as0) t 1 / 0 ( 9 s f i ~ ) >= O ( 3 . 1 . 6 )

-*

De fundamentele onbekenden worden gevormd door : E , x, a t 8 , rj8

g r

\ii en

E

(set interne variabelen). Na substitutie van ( 3 . 1 . 3 ) in 1 3 . 1 . 2 ) hebben we vijf vergelijkingen ter beschikking. Dit is niet voldoende om het gedrag van een continuum onder gegeven bronbelasting te beschrijven. De balanswetten moeten daarom nog aangevuld worden met constitutieve vergelijkingen welke de specifieke eigenschappen van het medium beschrijven.

..,

3.2 : Constitutieve theorie

Alhoewel constitutieve vergelijkingen niet op een rigoreuze wijze kunnen worden afgeleid, moeten zij wel voldoen aan een aantal basisprincipes. Een stelsel van constitutieve vergelijkingen heet toelaatbaar als aan de

volgende principes wordt voldaan: determinisme, lokale werking, momentane werking, objectiviteit, thermodynamische toelaatbaarheid en equipresentie.

Deze algemene principes kunnen nog worden aangevuld met speciale symmetrie- relaties voor media, welke een zekere symmetrie vertonen. Voor de set van onafhankelijke variabelen doen we de volgende aanname: 4 f f , 8 , ?e, € l . Op grond van het principe van de equipresentie moet, men er a priori van uitgaan, dat alle afhankelijke variabelen afhangen van alle onafhankelijke variabelen. Dit betekent in concreto:

. u 4J = s1 (IF,

u,

Be,

E ) rl = rl (OF, Et, $ 8 ,

E )

.l. ( 3 . 2 . 1 )

6

=

€

(E?,

u,

Se,

€; - . . u Gebruikmakend van:

kan afgeleid worden:

Substitutie van ( 3 . 2 . 1 ; in de C l a ~ s i ~ s - û t i h e a oac;e?ijRheid (3.1.5) l e v e r t m.b.v. ( 3 . 2 . 2 ) :

De variabelen P, Et en $8 zijn onafhankelijk, dus hun materiële afgeleiden zijn ook onafhankelijk. Hierdoor vinden we de volgende relaties:

(3.2.3)

a*

q = - -

30

Het principe van de objectiviteit legt verdere restricties op aan de responsfuncties in (3.2.51, die nu moeten voldoen aan:

Voor de Cauchy-spanningstensor geldt m.b.v. (3.2.7):

u -ij

-

In (3.2. E 1 indices naar de (3.2.4) (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) (3.2.9) (3.2.10) (3.2.111

verwijzen Romeinse indices naar de huidige positie en Griekse positie in de referentietoestand. Met behulp van:

3E

A

= 1/2 3Fia 3F. ' E q g 31

-

1

_{= 1/2( öarFi6}

₊

_{óa6Fir l.} 3Fia 3Fia

-

kan (3.2.11) omgewerkt worden tot:

of

Relatie ( 3 . 2 . 1 2 ) is objectief immers:

Na invoering van de tweede Piola-Kirchhoff spanningstensor:

kan ( 3 . 2 . 1 2 ) compacter genoteerd worden als:

( 3 . 2 . 1 2 )

( 3 . 2 . 1 3 )

( 3 . 2 . 1 4 )

In het volgende hoofdstuk wordt aan de interne variabelen een specifieke betekenis toegekend, zodanig dat faalmechanismen beschreven worden. Met de afgeleide theorie van de interne variabelen is het in principe mogelijk om alle vormen van tijdsafhankelijk materiaalgedrag te beschrijven, indien men in staat is om de bijbehorende constitutieve vergelijkingen te achterhalen.

Hoofdstuk 4: C . D . M . nader beschouwd

In dit hoofdstuk wordt nader ingegaan op de keuze van een bepaalde

damagevariabele. In het eerste gedeelte wordt de theorie op een mathematische basis gepresenteerd en uitgewerkt voor isotroop materiaalgedrag. Hierbij wordt zowel een vectoriële als een scalaire schaderepresentatie beschouwd. Tenslotte komen in de praktijk gehanteerde schademodellen aan de orde.

4.1: Damaaevariabelen

Beschouw een infinitesimaal volume-element dV van een beschadigd

continuum op tijdstip t (fig. 6). Dit zogenaamde damagevolume-element moet zodanige afmetingen hebben, dat de theorie van de continuumsmechanica toegepast mag worden (macroschaalniveau in paragraaf 2 . 1 ) .

Bij een scalaire schaderepresentatie wordt de schade in het volume- element weergegeven door een scalar. De fysische betekenis die meestal aan deze scalar wordt toegekend is de volumefraktie aan microdefecten in het volume-element. Andere interpretaties, zoals de straal van de holtes in het element, worden eveneens toegepast.

Bij een vectoriële schaderepresentatie wordt verondersteld, dat de schade bestaat uit kleine vlakke defecten, die qua grootte gekarakteriseerd worden door het defectoppervlak Ai en qua richting door een normaaivector

n

op het defectoppervlak: + + ci = Ain ( 4 . 1 . 1 ) +a

au

= E ci i ( 4 . 1 . 2 )

We nemen aan, dat de schade in een damagevolume-element bechreven kan worden door één schadevector

b,

die we vinden uit de vectorsom van de

JOL

' s .

Sndien we ons conformeren aan de in paragraaf 3.2 afgeleide constitutieve relaties, moeten we de damagevariabelen in een materiële vorm presenteren. Voor de damagevector

3

wordt de volgende transformatie gekozen:

D(a,t) = l/J FT*d ; J = det IF (4.1.3)

Bij de verdere afleiding van de theorie wordt steeds van de materiële schadevector

d

gebruik gemaakt.

d

is een invariante grootheid, immers:

*

*

*

*T T T

6

= I/J IF e d = 1/J IF *Q e Q d =

d

(4.1.4)

De materiële afgeleide van Ï? is dan eveneens invariant.

De transformatie onder (4.1.3) kan als volgt verklaard worden: als

3

een vlakke scheur is, die in de huidige configuratie G wordt

opgespannen door de lijnelementen dX en d; en in de referentieconfiguratie Gr door dX en d?, dan geldt:

In de volgende twee paragrafen zullen we de theorie voor isotroop materiaalgedrag uitwerken.

4.2: Constitutieve relaties voor isotroop materiaalaedras: vectoriële schade

In deze paragraaf worden constitutieve relaties afgeleid voor isotrope lichamen. Voor een meer formele behandeling van het isotropiebegrip verwijs ik naar Appendixl. Een lichaam wordt (volledig) isotroop genoemd als de constitutieve relaties onafhankelijk zijn van de keuze van de oriëntatie van de referentiebasis. De schade wordt in het volgende gekarakteriseerd door étn materiële damagevector

8.

Indien temperatuuref fecten verwaarloosd worden

,

kunnen de responsfuncties uit paragraaf 3.2 geschreven worden als:

(4.2.1)

aJ

T

Bij de afleiding van de restricties voor de constitutieve relaties als gevolg van isotropie, is het van belang om te vermelden op welke wijze de variabelen in (4.2.1)' (4.2.2) en (4.2.3) veranderen bij transformaties van de

referentiebasis: T o = Q*m*Q A T [F = Q*8.Q (4.2.4a) (4.2.4b)

8

=

Q*fi

(4.2.4~) o 9 + + D = QeD ( 4.2.4d)

Q is een willekeurige orthogonale tijdsonafhankelijke tensor.

Isotropie betekent, dat de constitutieve relaties onder invloed van de transformaties (4.2.4) niet veranderen. De restrictie waaraan de Cauchy- spanningstensor dan moet voldoen, volgt na substitutie van (4.2.2) en

(4.2.4b,c) in (4.2.4~~):

In verband met de representatietheorema's voor isotrope functies is het handiger om te werken met de vrije energiefunctie !IJ. Voor deze scalarfunctie vinden we na substitutie van (4.2.1) en (4.2.4b'c) in (4.2.4e):

(4.2.6)

(4.2.7)

Met behulp van representatietheorema's voor isotrope scalar- en vector-

functies kunnen de eisen ( 4 . 2 . 6 ) en (4.2.7) verder uitgewerkt worden. Voor de scalarfunctie IJJ betekent de vergelijking (4.2.61, dat J, alleen afhankelijk

mag zijn van scalarcombinaties van E en $, omdat deze onafhankelijk van Q zijn. Allereerst kan een scalar gevormd worden uit

6,

namelijk

6.3.

Vervolgens kunnen 3 scalars gevormd 2 = -1/2tr(E 1 t I2 ïl = tr E ; 3 2 = 1/3tr(E )

-

1/2trE (tr E 1 I3 worden uit E: 1/2(tr EI' i 3 t 1/6tr(iE ) = det IE (4.2.8) Tenslotte kunnen twee onafhankelijke scalars gevormd worden door combinatie van

if

en E, namelijk: 80Eeif en 6OE2*6. De term &!Enea ( n>2 1 is afhankelijk, aangezien En uitgedrukt kan worden in termen van E

,

E en H m,b.v. het

Cayley-Hamilton theorema:

2

3 2

E - llE

+

I2IE

-

I+ = 0 (4.2.9)

De isotrope scalarfunctie (I mag dus alleen afhangen van:

II = tr E ; Is = -1/2tr( E2) t 1/2(tr !El2 ; X3 = det E ; l4 = $ e $ ;

(4.2.10)

De tweede Piola-Kirchhoff spanningstensor kan nu geschreven worden als:

Wet de relaties: 2 dftr E ) d(tr !E2) dftr ( E 3 ) = 3E diE = SE ; dE = H ; dE (4.2.11) (4.2.12)

kan worden afgeleid:

- -

- E ;

- -

d12

-

dE d1

1

dE - 0 ; 2 d14

-

121

-

I1@

+

IE ;

-

-

dT3 S 1 l - E ; - - dE dE =

e.;

D

t

D

8.E (4.2.13)

Substitutie van (4.2.131 in (4.2.11) levert de gezochte constitutieve relatie voor isotroop materiaaluedraq:

a*

{ E d

D

+

D

342

f

315

as6

+ +

t - D D t - (4.2.14)

De materiële afgeleide van de schadevector kan m.b.v. representatietheorema's voor isotrope vectorfuncties ([ó]) geschreven worden als:

b

(4.2.15)

+ 2 +

= flD t f2E*6

+

f3 E rD ; _{fi =} fi( I!+

...,

'6)

Voor eventueel verder gebruik postuleren we de damaae-evolutieveraeliikinq:

O

+

D = fl

D

; fl = f,( I1'".' 6' (4.2.16)

Op dit moment is de theorie in principe rond. Voor 13 fundamentele onbekenden

e , x, o en

3

zijn 13 vergelijkingen gevonden, bestaande uit:

I massabalans (3.1.1)

3 evenwichtsvergelijkingen (3.1.2)

6 constitutieve vergelijkingen voor a (4.2.14) 3 constitutieve vergelijkingen voor (4.2.16)

Deze vergelijkingen moeten nog aangevuld worden met randvoorwaarden aan het oppervlak van het lichaam G. Op de rand 6G van G kunnen we in elk punt ofwel de drie componenten van de spanningsvector ofwel de drie componenten van de verpiaatsingsvector ofwei combinaties van beide voorschrijven.

+

Indien we lineair elastisch materiaalgedrag beschouwen, bevat de vrije energiefunctie ten hoogste kwadratische termen in E:

= A1II2 t As12 t A I I t A415 2 4- AsI6 ; Ai = Ai(14)

3 1 5 (4.2.17)

Substitutie van (4.2.17) in (4.2.14) levert:

(4.2.18) + + +

t 2A4boiEoD D D t A5( E66

8

t

6

DIIE )

indien we stellen: SAl t AS = A(14) ; A2 = 2p(14) ; A3 = c1(14) ; A5 = c2(14)

kunnen we (4.2.18) onder de aanname

I I

Í!*EeD + + + D D

I

I

<<

1

schrijven als:

(4.2.19) Ten opzichte van een Carthesische basis kunnen we (4.2.19) formuleren als:

( 4.2.20)

(4.2.21)

Ter vereenvoudiging veronderstellen we, dat de coefficienten A , u, c, en c2 constant zijn. In dat geval geldt, dat A en de Lam&-constanten van het onbeschadigde materiaal zijn. De Clausius-Duhem ongelijkheid stelt grenzen aan cl en c Volgens (3.2.6) geldt immers:

2 ’

(4.2.22)

(4.2.23)

Bij sommige materialen, die grote vervormingen kunnen ondergaan, is de weerstand tegen volumeveranderingen veel groter dan de weerstand tegen vormveranderingen, Deze materialen mogen daarom in goede benadering

incompressibel verondersteld worden. Bi] incompressibel makeriaalgedrag wordt enkel het deviatorisch gedeelte van de Cauchy-spanningstensor bepaald door de deformatietoestand en formeel kan dan genoteerd worden:

(4.2.24)

p: hydrostatische druk

a;( ff

,

6

) : deviatorische spanning met trG = O extra nevenconditie: det F = 1

Relatie (4.2.24) moet voldoen aan het principe van de objectiviteit, hetgeen levert:

BI = -plc t ff.G' (!E, (4.2.24)

Na een uitwerking analoog aan die van (4.2.14) blijkt, dat voor isotroop incompressibel materiaalgedrag moet gelden:

(4.2.25)

met: ai = ai( i l r 1 2 , 14, 15f Is)

4.3: Constitutieve relaties voor isotroop materiaalsedras; scalaire schade

In deze paragraaf worden isotropie-eisen &€geleid indien de schade door een scalar of damageparameter gerepresenteerd wordt. Relatie (3.2.14) wordt dan :

Voor isotroop materiaalgedrag geldt:

Geheel analoog aan de afleiding van (4.2.14) kan (4.3.2) herleid worden tot:

(4.3.4) 2

of: P2 = alK t a2E t a3E ; ui = ai(Izt ï2, 13, D1

De damage-evolutievergelijking voor isotrope lichamen kan bij een scalaire schaderepresentatie geschreven worden als:

8

=

8 (

QeEeQlT, D )

VQ

(4.3.5)

Dit betekent, dat

b

alleen mag afhangen van D en de drie invarianten van E:

b

= 6(1,, 1 2 , I g f D 1

Voor praktische toepassingen postuleren we:

b

z a ( i l f 1 2 ) D @(I1,

1.2))

(4.3.6)

( 4 . 3 . 7 )

Voor lineair elastisch materiaalgedrag moeten de ai's in (4.3.4) voldoen aan:

al = AiDjtrE ; a2 = 2 p i U j ; u3 = O (4.3.8)

Substitutie van (4.3.8) in (4.3.4) levert:

(4.3.9)

kan (4.3.9) omgewerkt worden tot:

4 P2 = (1

-

D){ Ao(trlE)iC t 2poE

1

= (1

-

D) Co: E

(4.3. IO)

(4.3.11)

We merken m.b.t. de keuze van de parameters in (4.3.10) op, dat de constitu- tieve relatie onafhankelijk geworden is van de belastingsrichting ( trek/ druk). Bovendien wordt met (4.3.10) automatisch aan de Clausius-Duhem ongelijkheid voldaan.

Relatie (4.3-111 wordt in de literatuur ([Ill, [I818 [I911 frequent gebruikt voor 'isotrope schade' in geometrisch lineaire situaties. De afleiding ervan vindt echter op volledig andere wijze plaats en zal in het volgende beknopt behandeld worden.

Essentieel bij deze methode is het effectieve spanningsconcept, waarbij de werkelijke Cauchy-spanningstensor m.b.v. een effectieve Cauchy-spanningsten- sor 0 gekoppeld wordt aan het oppervlak dat effectief de belasting opneemt:

o

: a

4pil-1

o = (4.3.12)

!!iis een vierde orde tensor, die de damagetoestand van het materiaal karakteriseert. In principe heeft M 3 4 onafhankelijke componenten, i.v.m. symmetrie van de spanningstensoren. Indien men verder aanneemt, dat

-

,

dan heeft M nog 21 onafhankelijke componenten. In [I91 wordt 'ijk1

-

'klij

bovendien het proportionele belastingsconcept gehanteerd, waarbij wordt aangenomen, dat de eigenvectoren van 0 steeds samenvallen met de

eigenvestoren vâzì a. Terr opzichte vâii deze basis va:: eigenvrctvren, h e e f t ?R Y

onafhankelijke componenten. In [I93 wordt verder aangenomen, dat M slechts 3

o

onafhankelijke componenten heeft, waardoor een handelbaar anisotroop

damagemodel ontstaat. Voor isotrope schade kunnen micro-defecten beschreven worden door &Cn scalar 11:

4Pl = (1

-

(4.3.13)

Ket effectieve spanningsconcept wordt steeds gecombineerd met dc: hypothese van rekequivalentie. Deze hypothese stelt, dat de spannings-rek relatie voor

een beschadigd materiaal ( O

<

D =< Dc ) afgeleid kan worden van de potentiaal Jio van een onbeschadigd materiaal (D = O ) , waarbij de Cauchy- spanningstensor wordt vervangen door de effectieve Cauchy-spanningstensor.

Substitutie van ( 4 . 3 . 1 4 ) in ( 4 . 3 . 1 3 ) levert:

(4.3.14)

( 4 . 3 . 1 5 )

In de bestudeerde literatuur wordt uitsluitend binnen de geometrisch lineaire theorie gewerkt. Relatie ( 4 . 3 . 1 5 ) reduceert dan tot:

; E : lineaire rektensor

Voor isotrope schade vinden we m.b.v. ( 4 . 3 . 1 3 ) :

(4.3.16)

(4.3.17)

Voor lineair elastisch materiaal geldt: Jio(!E) = 1 / 2 IE : 4C0: E a dus

4

i€' = ( 1 - D) Co: E

2 ( 4 . 3 . 1 8 )

De relaties ( 4 . 3 . 1 1 ) en ( 4 . 3 . 1 8 ) zijn equivalent. In het voorgaande is dus aangetoond, dat er twee methoden bestaan om damagemodellen te formuleren. De eerste methode voegt bij de onafhankelijke variabelen, die gebruikt worden bij de afleiding van constitutieve relaties, een extra set van interne

variabelen ( zie paragraaf 3.2 ) , die de momentane damagetoestand in rekening brengen. De tweede methode is gebaseerd op het effectieve spanningsconcept en de hypothese van rekequivalentie, eventueel aangevuld met het proportionele belastingsconcept. Het voordeel van de eerste methode is, dat, de afleiding op

een mathematisch correcte wijze plaats vindt. De constitutieve relaties voldoen aan de basisprincipes uit paragraaf 3.2. Het voordeel van de tweede

methode is, dat gewerkt kan worden met de thermodynamische potentiaal van het onbeschadigde materiaal, waardoor op eenvoudige wijze een anisotroop

damagemodel kan worden afgeleid. In verband met de formulering van een damage-evolutievergelijking

voor de vierde orde tensor M te formuleren. In de literatuur wordt dit probleem omzeild door uitsluitend binnen de geometrisch lineaire theorie te werken. Zoals in deze paragraaf is aangetoond, leveren beide methoden onder zekere aannames identieke resultaten op.

is het noodzakelijk om een objectieve afgeleide

4.4: Cumulatieve schade

In de literatuur zijn een groot aantal damagemodellen ontwikkeld, die meestal betrekking hebben op schade in de vorm van één scalar D. Indien deze schade het gevolg is van een periodieke beweging (denk aan hartklepvliezen), wordt de scalar I> vrijwel altijd als functie van het aantal belastingcycli gegeven. Een dergelijk damagemodel, dat afhangt van het aantal doorlopen belastingcycli en karakteristieke materiaalparameters, wordt een cumulatief damagemodel genoemd. Globaal worden in de praktijk de volgende drie typen van damagetoename onderscheiden (fig. 7):

I) de schade neemt lineair toe als functie van het aantal belasting- wisselingen,

2) niet-lineaire toename van de schade, waarbij de de grootste schadetoename ofwel aan het begin, ofwel aan het einde van de levensduur optreedt; dit proces is het meest waarschijnlijke bij I-fasige polymeren; merk verder op, dat een explosieve schadetoename nabij het einde van de levensduur zeer moeilijk experimenteel te achterhalen is,

3 j sterke schadetoenam aan h e t begin en h e t einde vâìì de l e v e n s U ~ ~ z ; dit

proces treedt vooral op bij laminaten en waarschijnlijk bij talloze andere vezelversterkte materialen.

Hwang en Han ([21]) poneren als cumulatief damagemodel:

D = h(n, r, f,...) ( 4 . 4 . 1 )

n: aantal belastingwisselingen r: beiastingsamplitude

De "puntjes" in (4.4.1) duiden op invloeden van andere variabelen, die echter vanwege de additionele complexiteit buiten beschouwing blijven. Indien

bovendien de invloed van de frequentie buiten beschouwing wordt gelaten, kan (4.4.1) na separatie van variabelen geschreven worden als:

( 4.4.2a)

(4.4.2b)

Enige voorbeelden van cumulatieve damagemodellen zijn:

- Palmgren-Miner: D = N/Nf

-

modified Palmgren-Miner: - Lemaitre:

-

Wool:

d

= -kD" D = fN/NfIC D = I

-

11

-

N / N ~ I ~ ; c = C ( E )

Bij de experimentele kwantificering wordt de schade opgevat als een functie van een fysisch waarneembare materiaaleigenschap X:

D = f(X) (4.4.3)

In de literatuur worden onder meer de volgende grootheden gebruikt om damage te kwantificeren:

- residuele rek/sterkte

-

electrische weerstand, waarbij in analogie met het effectieve

0

spanningsconcept een effectieve stroomdichtheid

1

= ;/ (1 - U) ingevoerd kan worden

-

dichtheid

-

(Brinel1)hardhei.d

-

E-modulus

-

krachtafname bij constante verplaatsingen

- acoustische emissie

HoofdstukS: Conclusies en sussesties voor verder onderzoek

In Hoofdstuk1 zijn reeds twee wegen aan de orde gekomen, waarlangs de onderzoekslijn kan worden voortgezet. De eerste weg omvat fundamenteel onderzoek naar faalmechanismen bij polymere materialen. Dit onderzoek heeft zowel theoretische a l s experimentele aspecten. Wat betreft de theoretische aspecten lijkt een Continuum Damage Mechanics aanpak veelbelovend. In de literatuur wordt in dit verband vrijwel steeds binnen de lineaire theorie gewerkt. Aangezien de materialen, die als vliesmateriaal beoogd worden, niet-lineair materiaalgedrag vertonen, is in de hoofdstukken 3 en 4 een algemene theorie behandeld. Nierbij heb ik me beperkt tot zuiver elastisch materiaalgedrag, dat wil zeggen plastische en visco-elastische effecten blijven buiten beschouwing. Deze effecten kunnen overigens m. h. v. interne variabelen eenvoudig verwerkt worden. In de onderstaande tabel wordt een globaal overzicht gegeven van hetgeen gepubliceerd is op het gebied van C.D.M. :

materiaal schadevorm damagevar. lit.

betonlsots micro- scheurtjes

ve c tor

metalen holtes, scalar

scheurtjes tensor

laminaten scheurtjes vector scalar gevulde pol ymeren holtes scalar opmerking [ 1 1 ] , [ 1 7 ] , [ 1 8 ] kruip(plastisch1 en [ l O ] , [ l l ] , [ i 9 ] vermoeiing geen schade-eve?. vgl.

De experimentele verificatie van een model, waarin niet-lineair

elastisch materiaalgedrag gekoppeld wordt aan interne (damage) variabelen, zal niet probleemloos verlopen. Denk bijvoorbeeld aan het optredei, van visco-elastisch gedrag bij polymere materialen onder invloed van een

periodieke belasting. Een bijkomend probleem is de grote tijdspanne waarbinnen cumulatieve schade zich ontwikkeld. Een oplossing voor deze problemen kan een trekproef tot breuk zijn. Deze belastingsituatie is ver verwijderd van de werkelijkheid (hartklepvliezen in vivo), desalniettemin worden dergelijke experimenten in de praktijk bij gebrek aan beter toch uitgevoerd ( [ 2 2 ] ) .

van cumulatieve schade te bestuderen. Daarbij zijn we in de eerste plaats geinteresseerd in veranderingen van materiaalkarakteristieke eigenschappen, zoals E-modulus en breukrek, onder invloed van een externe belasting en het chemisch milieu. Het is zeer wel mogelijk, dat veranderingen in constitutief gedrag zich alleen op lokaal niveau manifesteren. in dat geval zijn we

aangewezen op microscopische technieken en rekdistributiemetingen. Hierna kan een poging ondernomen worden om de verkregen informatie te verwerken in een constitutieve vergelijking voor de schade.

In het kader van het hartkleppenproject is het van belang om de effecten

ïn Hoofdstuk 1 is reeds aan de orde gekomen welke belastingsituaties ongunstig zijn voor de vliezen. Waarschijnlijk zijn plooieffecten van invloed op het faalmechanisme en moeten negatieve hoofdspanningen dus vermeden worden; bij trekproeven blijkt de grootte van de trekspanning van minder belang; de invloed van schuifspanningen (een maat hiervoor is het verschil in grootte van de beide hoofdspanningen) is onbekend. De invloed van deze belastingen op het faalmechanisme kan bepaald worden door middel van (periodieke) uni-axiale trekproeven en "simple shear" tests op

(anlisotroop materiaal onder verschillende belastingniveaus.

Bij de toepassing van C.D.W. moet in eerste instantie gedacht worden aan een scalaire schaderepresentatie. Het inbouwen hiervan in een E.E.M.

programma is zeer wei mogeiijk.

De experimentele resultaten leveren ook de criteria die bij een optimalisatie van de hartklepprothese geminimaliseerd moeten worden. De ontwerpparameters, die bij het optimaliseren gebruikt worden, moeten door middel van numerieke simulaties achterhaald worden. Net behulp van de

statistische theorie van proefopzetten kunnen we de optimaliseringscriteria in kritieke punten als functie van de ontwerpvariabelen bepalen.

Ninimalisering van deze zogenaamde objectfunctie met inachtname van bepaalde nevencondities levert de optimale kiepgeometrie voor de door ons bestudeerde diastolische fase. Aangezien de klep ook tijdens de diastolische fase goed

moet functioneren, moet de (voor de diastolische fase) optimale klep ook aan deze fase getoetst worden. Dit kan echter pas dan uitgevoerd worden als het werk van Joost Horsten voltooid is.

16 - 1 L - IkPa1 ,2

t

10: 8 - 6 - L - 2 - 0 3

Figure I Geometry of the bioprosthesis fro@ two

perspectives showing a single leaflet mounted on the

sten1

tlsl- I

O 6 0:8

DIASTOLE SYSTOLE

i,

DIASTOLE

Fig. 2

Representative outline of the aortic (Pao) and left ventricular (Pkv)

pressures during the cardiac cycle.

AO: aortic valve opens; AC: aortic valve closes.

Fig 4. Siittilnr uerticnl secfioti of value leaflet. Dorl, blue

stain itidicntes deiise tissue inmediately betieafli t h e

aortic surfoce. Looser, niore stni~gy tissue of lenflcf

core ayycnrs to the l e f t . Fnitit tiiiges of yitrple roitliiti

both Core aiid defisc tissitc represriit locatioii of cofiiplc.~

sicgars (glycosniiti,ro~lycn,rs) rvrtliiir cotiiirctive ttssiri9

groiitid siibstame. (Metliyletie bliie-azure; r~iagitrficfl-

coupled calculations

Fig 5 Scheme of coiipled sir.iin4arnapc calciilaiion%

t

Damage

Fig. 7

-

Damage accumulation process

In deze appendix wordt een materiële beschrijving van materiaalsymmetrie gegeven. Beschouw een homogeen blok, waaruit twee congruente lichamen B en B worden gesneden (fig 8a). Aan de lichamen B en B wordt een Carthesische vectorbasis

e

en

E

toegekend. De lichamen B en B ondergaan vervolgens

*

*

*

I .u

*

congruente deformaties binnen het tijdsinterval (t,,t]. P en i? zijn

materiële deeltjes van B en B, waarvan de positievectoren op t en T door

Ir

*

O

*

reap.

3

en X ~ T ) (t.o.v. $) en

3

en

X ( T )

(t.o.v.

De positievectoren van P t.o.v. vectorbasis

e

op to en T worden aangeduid door

2

en

X.

De volgende transformaties gelden voor i? :

gegeven worden (fig. 8b).

-

-,

*

..,

A

*

Q i s een constante orthogonale tensor (fdet Q1=11. We voeren de volgende deformatietensoren in:

*

Met behulp van (Al) kan dan afgeleid worden:

*

We veronderstellen, dat de Cauchy-spanningstensor voor P en L) wordt bepaald door de deformatiegeschiedenis van i? en P

*

in het interval [to,r] :

x

De functionalen M en M zijn in het algemeen verschillend. Alleen dan wanneer M en iH gelijk zijn, worden de vectorbases equivalent genoemd. We mogen (A41 dan schrijven als:

*

Voor de Cauchy-spanningstensor ter plaatse van P m. b. t. de basis

e

geldt:

, %.

Verder geldt de transformatie:

*

We nemen aan, 6at P en P overeenkomstige deeltjes zijn, dus:

*

*

+ - B

?

=

3

---) x = x (congruente deformaties) Met behulp van (AS) volgt dan:

Substitutie van (A91 in ( A 3 1 levert:

(A8 1

*

*

Indien P en P overeenkomstige deeltjes van B en B zijn, volgt met (Ag), (AIO), ( # 4 ) , (A61 en (A7):

Als de vectorbases

e

_-.

en

E

equivalent zijn, wordt (All):

5

(Al 2 1

Indien CQI de set van transformaties vormt, die equivalente vectorbases aan elkaar relateert, dan vormt {QI een groep van symmetrietransformaties voor het materiaal. Deze groep is de volledige orthogonale groep of een

voldaan zijn.

De constitutieve relatie moet voldoen aan het principe van de objectiviteit, hetgeen betekent, dat (A4)1 geschreven moet worden a l s :

*

Voor de Cauchy-spanningstensor in P t.o.v.

e

-

geldt:

Substitutie van (AIO) in (A141 levert:

Met behulp van (A121 (symmetrie-eis), (A131 en (AIS) vinden we een relatie, waaraan voor iedere Q uit de groep van symmetrie-transformaties {Q) moet worden voldaan:

E 1 1 E31 ~ 4 1 C5

1

E61 í71 c91

E

101

Coleman, B.D., Gurtin, M.E. :

Thermodynamics with internal state variables J. Chem. Phys., v47, pp 597-613, 1967

Kestin, J., Bataille, J. :

Irreversible thermodynamics of continua and internal variables

Continuum models o f discrete systems, pp 39-67 University o f Waterloo Press, 1977

Hunter, S.C. :

The mechanics of Continuous media Ellis Horwood Series, sec. ed., 1983 Germain, P., Nguyen, Q . S . , Suquet, P. :

Continuum thermodynamics

J. Appl. Mech., VSO, pp 1010-102O, 1983 Niiller, i. :

Thermodynamics

Pitman Publishing, London, 1984 Krawietz, A. :

Materialtheorie

Springer Verlag, Berlin, 1986 Davison, L., Stevens, A.L. :

Thermomechanical constitution of spalling elastic bodies

J. Appl. Phys., V44, pp 668-674, 1973 Krajcinovic, O . , Fonseka, G.U. :

The c û r i t i r i ~ û ü s damage theory ûf brittle ìììâteïisls

Part I: general theory

Part 2: uni-axial and plane response modes J. Appl. Mech., v48, pp 809-824, 1981 Krajcinovic, D. :

Constitutive equations for spalling elastic bodies J. Appl. Mech., v50, pp 355-360, 1983

Anisotropic damage theory and its application t o creep- crack growth analysis

E131

El61

cl71

i191

Elsevier Science Publishing Co, 1987

Simo, J.G., Ju, J.W., Taylor, R.L., Pister, K.S. :

On strain based continuum damage models: formulation and computational aspects

Constitutive laws for engineering materials, pp 187-194 Elsevier Science Publishing Co, 1987

Azuri, Z., Pluvinage, G. :

Use of damage concept on predicting fatigue-life in two- level strain controlled tests

Talreja, R. :

Fatigue of composite materials: damage mechanisms and fatigue-life diagrams

Proc. R. Soc. London, A378, pp 461-475, 1981 Talreja, R. :

A continuum mechanics characterization o f damage in composite materials

Proc. R. Soc. London, A399, pp 195-216, 1985 Talreja, R. :

Stiffness properties of composite laminates with matrix cracking and interior delamination

Eng. Fract. Mech., v25, pp 751-762, 1986 Poursatip, A . , Ashby, M.F., Beaumont, P. :

Damage accumulation during fatigue-life of composites ICCN-4, Tokyo, pp 663-670, 1982

Lemaitre, J. :

LGca? approach of fracture

Eng. Fract. Mech., V25, pp 523-537, 1986 Lemaitre, J. :

Formulation and identification of damage kinetic constitutive equations

Course on Continuum Damage Mech., Udine, Italy, 1986 Chow, C.L., Wang, J. :

An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics

E221

c251

Implementation of a finite element damage model for rock Constitutive laws for engineering materials, pp 829-840 Elsevier Science Publishing Co, 1987

Hwang, W., Han, K.S. :

Cumulative damage models and multistress fatigue-life prediction

J. Comp. Mat., v20, pp 125-153, 1986 Mc Hugh, S . :

Damage formation in polymers

Int J. Eng. Sci., v22, pp 1023-1034, 1984

The description of material symmetry in materials with memory

Int. J. Sol. Struct., v23, pp 325-334, 1987 Rivlin, R . S . , Smith, G.F. :

Clark, R.E., Swanson, W.M. :

Durability o f prosthetic heartvalves Annals Thor. Surg., v26, p p 323-335, 1978

Design and use of a new machine for accelerated fatiguetesting of prosthetic heart valves

Trans. Am. Soc. Art. Int. Org., v3, pp 138-142, 1978 Raworth, W.S., Lewis, R.W.H. :

Hennig, E., Keilbach, H. :

Calcification of artificial heart valves and artificial hearts

Abstract Trans. Am. Soc. Art. Org., pp 10-27, 1981

Thi?hrikar, M , J . , Piepgras; W.C. :

3tresses of natural versus prosthetic aortic valve leaflets in vivo

Annals Thor. Surg., v30, pp 230-239, 1980

Stress analysis of porcine bioprosthetic heart valves in vivo

Biom. Mat. Res.z v16, pp 811-826, 1982

Thubrikar, N.J., Skinner, J.K., Eppink, R.T., Nolan, S.P. :

E311 E321 c331 C341 E351 E381 bioprosthetic valves

J. Thor. Cardiovasc. Surg., v86, pp 115-125, 1983

Fatigue-induced damage in glutaraldehyde-preserved heart valve tissue

J. Thor. Cardiovasc. Surg., v76, pp 202-211, 1978 Broom, N.D. :

Broom, N.D., Thomson, F.J. :

Influence of fixation conditions on the performance of gluteraldehyde treated porcine aortic valves

Thorax, v34, pp 166-176, 1979 Steenhoven,A.A., van :

The closing behaviour o f the aortic valve Ph.D. thesis, T,U. Eindhoven, 1979

Sauren, A.A.H.J. :

The mechanical behaviour of the aortic valve Ph.D. thesis, T.U. Eindhoven, 1981

Rousseau, E.P.M. :

Mechanical specifications for a closed leaflet valve prosthesis

Ph.D. thesis, T.U. Eindhoven, 1985 Hamid, M . S . , Sabbah, H.N., Stein, P.D. :

Finite element evaluation of stresses in closed leaflets o f bioprosthetic heart valves with flexible stents

Fin. El. An. Des., VI, pp 213-225, 1985

LarGe-deformtien analysis o f aortic valve leaflets during

diastole

Eng. Fract. Mech., v22, pp 773-785, 1985 Hamid, M . S . , Sabbah, H.N., Stein, P.D. :

Hamid, M.S., Sabbah, H.N., Stein, P.B. :

Influence of stent height upon stresses on the cusp of closed bioprosthetic valves

J. Biomech., v19, pp 759-769, 1986 Christie, G.W., Medland, I.C. :

A non-lir,ear fiaitr element stress analysis o f bioprosthetic heart valves

R.H. Gallagher, B.R. Simon 1