Hoofdstuk 1:
Periodieke bewegingen
V-1. a. evenwichtsstand: y 1 periode: 2 1 2 amplitude: 2 b. 1 3 2sin(x ) 1 1 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2sin( ) 0 0 2 2 2 1 2 x x k x k x k x k 2 1 1 1 3 , 3 , 13 en 23 x x x x c. 1 1 1 4 3 12 ( ) 2sin(( ) ) 1 2sin( ) 1 g x x x V-2. a. b. bereik:
1, 7
periode: 2 2 amplitude: 4 c. 2 1 2 b 4 b V-3. a. b. c. d.opmerking: het startpunt van f(t) is een halve periode plus 56 naar rechts verschoven vanwege –3sin(…)
V-4. a. De evenwichtsstand is 3 5 2 1 d , de amplitude is 3 5 2 4 a en de periode is 6.
b. Voor x 2 ligt de grafiek op de evenwichtsstand. De standaardgrafiek is dus 2 naar links verschoven. Dus c 2.
c. 2
6
( ) 1 4 sin( ( 2))
f x x
d. Amplitude, evenwichtsstand en periode blijven gelijk. Voor de horizontale
verschuiving moet ju nu kijken naar het maximum. Van evenwichtstand naar het maximum is een kwart periode. Dus is de standaardgrafiek 1
2 naar links verschoven: 2 1 6 2 ( ) 1 4cos( ( )) g x x V-5. a. periode is 5: 2 5 b . maximum is 9 en minimum -3: 9 3 2 3 d en 9 3 2 6 a
beginpunt heeft x-coördinaat 1
6 : dus 1 6 c 2 1 5 6 3 6sin( ( )) y x b. 120 200 2 40 d en 120 200 2 160 a
Een halve periode is 1: 2 2
b en het beginpunt is 2 naar rechts verschoven:
2
c y 40 160cos( ( x2))
per. ampl. evenw. bereik begin
5 1 4 6 ( ) 3 sin( ( )) f t t 1 4 2 8 3 y 0
3 , 3
5 6 (4 , 0) ( ) 5 12cos(20 ) g t t 2 1 20 10 12 y 5
7 ,17
(0, 17) 1 1 2 3 ( ) 2 sin( ( 1)) h t t 1 3 2 6 12 y 2 2 , 121 21 (4, -2) ( ) 300 650cos(0,1 0,3) k t t 2 0,1 20 650 y 300
350 , 950
(3, 950) x y 0,5 1,5 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2V-6.
a. De periode van f is 2 1
4 2 en de periode van g is 23 23
b. De gemeenschappelijke periode van f en g is 2 .
c. 1 2 sin(3 )t 5 1 6 6 5 1 2 2 18 3 18 3 3t k 2 3t k 2 t k t k Op
1 5 13 17 7 11 18 18 18 18 18 18 0 , 2 :t , t , t , t , t 1 en t 1 V-7. a. 1 2 2sin( x) 1 b. 2cos( ( x1)) 2 1 1 2 2 5 1 1 1 2 6 2 6 1 2 3 3 sin( ) 2 ... 4 1 4 x x k x x k x k 1 2 3 1 4 4 3 1 4 4 cos( ( 1)) 2 ( 1) 2 ( 1) 1 ... 1 2 2 2 x x k x x k x k c. 2 1 3 2 3 sin(x ) 1 d. 5 3cos(2 ) 2 x 2 1 3 2 5 2 1 2 3 6 3 6 5 1 6 2 sin( ) 1 2 1 ... 1 2 2 2 x x k x x k x k cos(2 ) 1 2 0 2 0 x x k x k e. 4cos (2 ) 32 x 2 3 4 1 1 2 2 5 5 1 1 6 6 6 6 5 1 11 7 12 12 12 12 cos (2 ) cos(2 ) 3 cos(2 ) 3 2 2 2 1 ... 2 ... 2 1 ... ... ... ... x x x x k x x x x k x x x f. 2sin ( ) sin( )2 x x 2 1 2 5 1 6 62sin ( ) sin( ) sin( ) (2sin( ) 1) 0 sin( ) 0 sin( ) 0 2 2 x x x x x x x k x k x k V-8. a. 1 1 1 2 2 2 '( ) 2cos( ) cos( ) f t t t b. 1 1 1 1 6 6 2 6 '( ) 3 sin( ( 3)) sin( ( 3)) g x x x
c. h x'( ) sin( )x sin( )x cos( ) cos( ) sin ( ) cos ( )x x 2 x 2 x
d. k t'( ) 4 2sin( ) cos( ) 8 sin( ) cos( ) t t t t
e. l t'( ) 6 3cos ( ) 2 t sin( )t 18 sin( ) cos ( ) t 2 t
f. 2
(1 cos( )) 2cos( ) (2sin( ) 3) sin( ) '( ) (1 cos( )) x x x x m x x 2 2 2 2 2 2 2
(2cos( ) 2cos ( )) (2sin ( ) 3sin( )) (1 cos( ))
2cos( ) 2(sin ( ) cos ( )) 3 sin( ) 2cos( ) 3 sin( ) 2
(1 cos( )) (1 cos( )) x x x x x x x x x x x x x
1. a. 1 0(1, 1 )2 P b. 1 3 1 2 (1 3, 3) P , 1 2 1 2 (2, 1 3) P en 2 3 1 1 2 2 (1 3, 1 3) P c. d. y 0 1 1 6 6 1 3 1 1 1 1 3 2 3 2 5 5 6 6 1 1 2 2 3cos( ) 0 1 1 (1 , 0) en ( , 0) t t t t t P P 2. a. 3 x 3 en 6 y 2 b.
c. met de x-as: met de y-as:
1 2 1 2 3 3 1 1 2 2 4cos( ) 2 0 cos( ) 1 (1 3, 0) en ( 1 3, 0) t t t t 3 sin( ) 0 0 (0, 2) en (0, 6) t t t d. 4cos( ) 2 1t 3 4 2 3 2 2 9 4 16 2 7 16 1 1 4 4 cos( ) sin ( ) ( ) sin ( ) 1 sin ( ) sin( ) 7 sin( ) 7 t t t t t t 3 3 4 4 1 2 7 7 1 7 x x AB 3. a. 1 x 3 en 5 y 5 b.
c. x1 en y 0 zijn de symmetrieassen van K
d. 5 sin( ) 4 8cos( )t t
Voer in: y15 sin( )x en y2 4 8cos( )t
intersect: x1,45 x 3,72 (1,24; 4,96) en (-0,68; -2,72) 4. a. b. y x21 2 2 sin ( ) 1 cos ( )t t y 5. a. (cos( ) 1)(2cos( ) 1) 0t t 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 cos( ) 1 cos( ) 0 2 2 1 2 (0, 0) en (1 3, 0) en ( 1 3, 0) t t t k t k t k x y 1 2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 1 2 3 4 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 1 -1 1 -1
b. x is minimaal -3 voor 1 2 1 t : y 1 x is maximaal 3 voor 1 2 : 1 t y
c. 3 sin( a) 3 sin( )a 3 sin( )a : tegengestelde x-coördinaten
(cos( a) 1)(2cos( a) 1) (cos( ) 1)(2cos( ) 1)a a : dezelfde y-coördinaten
d. 3 sin( ) 2 (cos( ) 1)(2cos( ) 1) 3 x t y t t 6. a. O(0, 0) en A(0,96; 2,52) y 2,63 x b. OB: 1 2 3sin(0,2) 2,99 2cos(0,1 ) y x en OC: 1 2 3sin(0,02) 3,00 2cos(0,01 ) y x
c. Neem een nog kleinere waarde van t. De helling zal 3 naderen. d. y t x t y t y t x x V V V V V V V V 7. a. b. 1 1 2sin( )2 dx t dt en cos( ) dy t dt c. 1 1 2 2 cos( ) ( ) 2 sin( ) dy dx d. 1 2 1 2 1 1 2 4 cos( ) ( ) 0 sin( ) dy dx e. 1 2 cos( ) 1t 1 2 0 2 0 4 t k t k (0) 0 dx dt en (0) 1 dy
dt De noemer wordt dan 0. 8.
a. evenwijdig aan de x-as: b. evenwijdig aan de y-as:
1 2 3 3 1 3 1 1 3 3 1 2 3 3 4sin( ) 0 0 2 2 2 2 (2, 4) en (2, 4) dy t dt t k t k t k t k P P 1 5 1 6 6 2 1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 1 3cos(3 ) 0 3 2 3 1 2 (1, 0), (1, 2 3), (1, 2 3), dx t dt t k t k t k t k P P P 1 1 5 2 (3, 2 3), 16 (3, 0) en 16 (3, 2 3) P P P c. 2 sin(3 ) 2 t en 1 3 4cos(t ) 2 1 3 sin(3 ) 0 3 0 0 t t k t k 1 1 3 2 1 3 cos( ) 0 2 1 2 t t k t k
De kromme gaat door (2, 2) op de tijdstippen 1 3 0 en 1 t t . De hellingen zijn daar 1 3 2 3 4sin( ) (0) 3 3cos(0) dy dx en 2 3 1 2 3 3 4 sin(1 ) (1 ) 3 3cos(4 ) dy dx x y 1 -1 1 2
0
t
9. a.
b. dx sin( )t sin( ) cos( ) cos( ) cos ( ) sin ( )t t t 2 t 2 t
dt en
2cos( ) sin( ) 2sin( ) cos( ) dy t t t t dt 2 2 2sin(1) cos(1) (1) 2,19 cos (1) sin (1) dy dx c. 1 31 13 12 12 3 2 1 2 1 1 3 3 3 4 4 2sin( ) cos( ) 2 3 ( ) 3 cos ( ) sin ( ) dy dx d. 1 1 1 2 3 2 4 3 A x en 1 2 1 2 4 ( ) A y
e. cos ( ) sin( ) cos( )2 t t t 2
1 1 1
2 2 4
cos ( ) sin( ) cos( ) cos( ) (cos( ) sin( )) 0 cos( ) 0 cos( ) sin( )
1 t t t t t t t t t t t t k 1 1 2 4 1 1 2 2 (0, 0) en ( , ) P P 1 2 0 ( ) 0 1 dy dx (vergelijking: y 0) en 14 1 ( ) 0 dy dx
bestaat niet, de raaklijn loopt verticaal: 1
2
x . 10.
a. dx sin( ) 2sin( )cos( )t t t
dt en
2 2
cos( ) (1 cos( )) sin( ) sin( ) cos( ) cos ( ) sin ( ) dy
t t t t t t t
dt
b. Horizontale raaklijn: Verticale raaklijn: 0 dy dt 0 dx dt Voer in: 2 2
1 cos( ) cos ( ) sin ( )
y x x x Voer in: y1 sin( ) 2sin( )cos( )x x x
zero: 2 1 3 3 0 1 x x x zero: 1 2 3 3 0 1 x x x x 0(0, 0) P , 2 3 ( 0,75; 1,30) P P0(0, 0), 1 3 (0,25; 0,43) P , P( 2, 0) en en 1 3 1 ( 0,75; 1,30) P 2 3 1 (0,25; 0,43) P c. 2 2
cos( ) cos ( ) sin ( ) 2 sin( ) 2sin( )cos( )
dy t t t dx t t t Voer in: 2 2 1
cos( ) cos ( ) sin ( ) sin( ) 2sin( )cos( )
x x x y x x x en y2 2 intersect: x0,7381 x 2,8325 x 4,9269 (0,19; 0,18) (-1,86; 0,59) (0,17; -0,77) d. dx(0) dy(0) 0 dt dt e. dy(0,001) 0,002 dx , de helling is ongeveer 0. x y 0,5 -0,5 0,5 1 -0,5
11.
a. evenwichtsstand is y 3 en de amplitude 1, dus 2 x 4
evenwichtsstand is y 5 en de amplitude 1, dus 4 y 6
b. Voor 0 t krijg je maar een deel van de kromme te zien.
c. De periode van de x-coördinaat is 2
2 en die van
de y-coördinaat is 2 2
3 3. De gemeenschappelijke
veelvoud van deze perioden is 2 ; de periode van
de kromme. d. zie c.
12.
a. periode x: 2
2 periode y: 21 2 De periode van K is 2 .
b. Met de x-as: met de y-as:
1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 1 2 1 2 0 1 2cos( ) 0 cos( ) 1 (1 3, 0) en (1 3, 0) y t t t t P P 3 3 4 4 1 2 3 4 1 0 1 sin(2 ) 0 sin(2 ) 1 2 1 2 (0,1 2) en (0,1 2) x t t t k t k P P c. Vermoedelijk in (1, 1): 1 2 1 1 sin(2 ) 1 sin(2 ) 0 2 0 2 2 2 x t t t k t k t k t k 1 1 2 2 1 1 2cos( ) 1 2cos( ) 0 cos( ) 0 1 y t t t t t Op de tijdstippen 1 2 t en 1 2 1
t snijdt de kromme zichzelf in (1, 1). 13. a. x0 c. y 0 1 2 1 2 0 3 sin(2 ) 0 sin(2 ) 0 2 0 2 2 2 (0, 2), (0, 2), (0, 2) t t t k t k t k t k P P P 1 1 5 6 2 6 1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 1 1 2 2 2cos(3 ) 0 cos(3 ) 0 3 2 3 1 2 (1 3, 0), (0, 0), ( 1 3, 0), t t t k t k t k t k P P P 1 2 1 (0, 0), ... P 1 1 5 6 2 6 1 1 2 2 1 (1 3, 0), 1 (0, 0), 1 ( 1 3, 0) P P P b. periode x: 2
2 periode y: 23 23 De periode van K is 2 .
14. a. periode x: 2 1 2 periode y: 2 2 De periode van K is 2 . b. dx 5sin( )t dt en 2cos(2 ) 2 4cos(2 ) dy t t dt x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1
1 1 2 2 1 4 1 4 2 5 2 5 0 cos( ) 0 1 ( ) en (1 ) x t t t dy dy dx dx De raaklijnen zijn: 4 4 5 en 5 y x y x.
c. De figuur wordt een kwart slag gedraaid (de rol van x en y wordt omgedraaid.) 15. a. periode x: 2 2 periode y: 2 3 2 3 De periode van K is 6. b. x0 sin( ) 0 0 2 2 2 1 2 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6 t t k t k t k t k t 1 2 3 3 3 cos( ) en 3 cos( ) dx dy t t dt dt 1 3 3 1 3 9 (0) 1 dy dx 1 9
tan( ) 1 48o. De kromme snijdt de y-as op de
tijdstippen t 0 en t 3 onder een hoek van ongeveer 42°.
2 3 1 5 3 9 (1) dy dx 5 9
tan( ) 29o. De kromme snijdt de y-as op de andere
tijdstippen onder een hoek van ongeveer 61°. 16.
a./b. y 1 cos(2 )t 2(1 cos(2 ) 3 t 2 x 3
c. Voor alle waarden van t is 0 x 2 en 1 y 3. 17. a. periode x: 1 4 2 8 periode y: 2 1 2 De periode van K is 8 . b. 1 1 4cos( )4 dx t dt en 2sin( ) dy t dt : 1 8 0 2 ( ) 0 dy dx
c. Op tijdstip t 0 ligt het punt (0, 2) op de symmetrie-as. Te bewijzen: x t( ) x t( ) en y t( ) y t( ) 1 1 4 4 ( ) sin( ) sin( ) ( ) x t t t x t en y t( ) 2cos( ) 2cos( ) t t y t( ) 18.
a. a x a en p y p. De oppervlakte van de kleinste rechthoek waar de
Lissajousfiguur in past is 2 2a p4ap30. Met andere woorden: 15 2 a p . b. periode van x: 2 b periode van y: 2q
c. De kleinst gemeenschappelijke veelvoud van de perioden moet dan 24 zijn: Bijvoorbeeld: 1 4 b en 2 3 q of 1 6 b en 1 4 q x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
19.
a. met de x-as: met de y-as:
1 2 1 1 12 6 2cos(6 ) 0 cos(6 ) 0 6 (0,78; 0), (2,12; 0), (2,90; 0) ( 0,78; 0), ( 2,12; 0), ( 2,90; 0) t t t k t k 3 sin( ) 0 sin( ) 0 0 (0, 2) t t t k b. De periode van x is 2 .
K1: de periode van y is dan 2 : de periode van de kromme is 2 .
K2: de periode van y is dan 22 : de periode van de kromme is 2 .
K3: de periode van y is dan 23 23: de periode van de kromme is 2 .
c. Als b even is heeft de kromme twee keerpunten.
d. 3 x 3 en 2 y 2 voor alle waarden van b. Alle krommen passen dus in een
rechthoek van 6 bij 4. 20.
a. periode x: 2 2 3 3
5 :
a periode y is 2 2
5 5 de periode van de kromme is dan 2 .
6 :
a periode y is 2 1
6 3 de periode van de kromme is dan 23 .
b. Als a een drievoud is, is de periode van de kromme 2
3 . Als a geen drievoud is, is
de periode van de kromme 2 . Er zijn dus geen gehele waarden van a waarvoor de periode niet gelijk is aan 2
3 of 2 .
21.
a. periode x: 2
2 en de periode van y: 23 23. De periode van de kromme is 2 .
b. Het “startpunt” is ergens anders en wordt in een andere richting getekend. c. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as.
22. a. periode van x: 1 3 2 6 periode van y: 2 2 3 3
De periode van de kromme is 6 . b. Op het interval van
23
0 , is de y-coördinaat één keer maximaal. In de periode van de kromme passen 2
3
6 9
intervallen. Dus 9 raakpunten met de lijn y 2.
Als b2 is de periode van y gelijk aan en daarvan kunnen er 6 in de periode van de kromme: 6 raakpunten. En als 1
2
b is de periode van y 1 2
2 4
. De periode van de kromme is dan 12 . Er zijn dan slechts 3
raakpunten met de lijn y 2. 23.
a. De kromme snijdt zichzelf waarschijnlijk in (0, 1).
1 2 0 (1 2cos( )) sin( ) 0 cos( ) sin( ) 0 x t t t t x y 1 2 -1 -2 1 2 3
1 2 3 3 1 2 3 3 0 1 1 0 (0,1), (0, 1), (0, 3), (0, 1) t t t t P P P P
b. Naarmate a steeds groter wordt, wordt de ‘driehoek’ groter en gaat steeds meer lijken op een cirkel.
c. Voor hele grote waarden van a is a2cos( )t en a2cos( )t vrijwel gelijk aan a. Met andere woorden: x t( )asin( )t en y t( )acos( )t .
2 2 2sin ( )2 2cos ( )2 2(sin ( ) cos ( )) a2 2 2
x y a t a t a t t : een cirkel met straal a. 24.
a.
b. cos( ) 0t (je deelt dan door 0 en dat is flauwekul)
1 2
t k c. Voor 1
2
t bestaat de y-coördinaat niet.
2
1 1
2 2
( ) 1 cos ( ) 1
x . Met andere woorden: voor waarden van t in de buurt van 1
2 , wordt de y-coördinaat
heel groot (positief of negatief) en de x-coördinaat ongeveer 1.
1
x is de verticale asymptoot van K1.
d. cos( )t is maximaal 1 en minimaal -1. Op die momenten zijn de coördinaten van
punten van de kromme: (2, 2) en (2, -2)
e. x 1 cos ( )2 t 2 cos ( ) x 1 cos( ) 1 cos( ) 1 2 2 1 1 t t x t x y y x x
f. Ka heeft een verticale asymptoot als cos( ) 0t ; ofwel als t 21 1 2 ( ) 6 x a g. x a a 2 6 2 6 ( 3)( 2) 0 3 2 a a a a a a 25. a. sin( ) PP' ' OP t PP en cos( ) OP' ' OP t OP b. P(cos( ), sin( ))t t c. ( ) cos( ) ( ) sin( ) x t t y t t 26.
a. De baan van M is een halve cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 3.
b. 2 3 X P x x en 1 3 X Q y y 2 3 1 3 ( ) 6sin( ) 4sin( ) ( ) 6cos( ) 2cos( ) x t t t y t t t x y 1 2 3 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 -12
27.
a. Was het middelpunt (0, 0) geweest, dan zou de parametervoorstelling
( ) 5cos( )
x t t en y t( ) 5 sin( ) t geweest zijn. Nu wordt het middelpunt verschoven
naar (-4, 7), dus: ( ) 4 5cos( ) ( ) 7 5sin( ) x t t y t t
b. De cirkel met middelpunt M(3, -2) en straal 4: x t( ) 3 4cos( ) t en
( ) 2 4sin( )
y t t . Eerst de cirkel verschuiven zodat het middelpunt in (0, 0) ligt,
vervolgens de vermenigvuldigingen uitvoeren t.o.v. de coördinaatassen. Daarna de cirkel weer terugschuiven.
( ) 3 12cos( ) ( ) 2 20sin( ) x t t y t t 28. a. sin( ) 2 PQ PQ t PM en dus PQ2sin( )t cos( ) 2 QM QM t PM en dus QM 2cos( )t
b. De afstand die M heeft afgelegd is de lengte van boog AP: bg AP( ) 2t 2 2 2t c. xP xM PQ 2t 2sin( )t en yP yM QM 2 2cos( )t d. 29. a. b. P0(3, 1) en 1 2 (4, 2) P Q0( 2, 2) en 1 2 (0, 1) Q c. 1 1 0 2( , 1 )2 M en 1 2 1 2 (2, ) M d. 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2
(3 sin( ) 2 2sin( )) 1 sin( ) y (2 cos( ) 1 3cos( )) cos( )
x t t t t t t 30.
a. In driehoek OAP geldt: cos( )t OP 1
OA OA
. Met andere woorden: 1 cos( ) OA
t
.
b. In driehoek OPB is OBP t sin( )t OP OB en dus 1 sin( ) OB t c. 1 2cos( ) 1 2sin( ) x t y t 31. a.
b. De spiraal wordt nog één slag groter.
x y 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 -1 x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 c e x y 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 -4 -6 -8 -10 -12 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12
c. dx 1 cos( )t t sin( ) cos( )t t t sin( )t
dt
1 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) 0 0 1 (0) 0 1 0 0 dy t t t t t t dt dy dx d. tsin( )t t cos( )t 1 4 0 sin( ) cos( ) t t t t k 1 4 1 1 8 8 ( 2, 2) P , 1 4 5 5 8 8 1 ( 2, 2) P en 1 4 9 9 8 8 2 ( 2, 2) P e. 1 1 1 1 2 4 2 4 1 4 1 1 1 1 4 2 4 2 2 2 1 ( ) 8,32 1 2 2 dy dx tan( ) 8,32 83 o
De hoek die de lijn y x maakt is 45o. De hoek die de kromme maakt met de lijn
y x is dan ongeveer 38o.
32.
a. 2 2
(2 sin( )) cos( ) sin( ) cos( ) 2cos( )
'( ) 0 (2 sin( )) (2 sin( )) t t t t t x t t t 1 1 2 2 2cos( ) 0 1 t t t
De x-coördinaat is maximaal 1 voor 1 2 t en minimaal 1 3 voor 1 2 1 t . b. c. x(2 sin( )) sin( ) t t 2 2 4 2 2 2 2 2 sin( ) sin( ) (1 )sin( ) 2 x 2 sin(t) 1 2 cos ( ) (cos ( )) (1 sin ( )) 1
1 x x t t x t x x x y t t t x d. 21 sin( ) 2 sin( ) t t
4cos ( )3 sin( ) 4sin( )cos ( )3
dy t t t t dt 2 3 2 1 3 2 sin( ) 2sin( ) 3 sin( ) 2 sin( ) cos( ) 1 sin ( ) 5 t t t t t t 1 3 2 2 3 5 40 2 3 27 81 16 77 9 243 2 5 2 3 (2 ) 4 5 5 1 5 dy dx x y 0,5 1 -0,5 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -0,2
33. a. b. dx 0 en dy 0 dt dt 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 4 4 cos( ) 0 ( 1, ) en (1, ) t t t P P c. x t( ) sin( ) t sin( )t x t( ) en 2 2 ( ) ( ) ( ) y t t t y t . De kromme is dus symmetrisch in de y-as. d. x( ) 0 en y( ) 12 3 3 2 2 ( ) cos( ) dy dx ( ) 0 x en y() 12 3 3 2 2 ( ) cos( ) dy dx Het begin- en eindpunt van de kromme is 2
1
(0, ) . De kromme maakt in dat punt wel
een knik.
e. Als t nadert tot 0 wordt de y-coördinaat heel erg groot en de x-coördinaat nadert 0.
0
x is een verticale asymptoot. 34.
a. De parametervoorstelling van een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 10 is: 10cos( ) 10sin( ) x t y t
Het middelpunt is (0, 14), dus de y-coördinaat moet nog 14 omhoog verschoven worden. Verder is het beginpunt (-8, 8). Dat is 1 1 8
2 tan ( ) 2,4986
naar rechts verschoven: 10cos( 2,498) 10cos( 3,785)
10sin( 3,785) 14 x t t y t
b. De straal van c2 is twee keer zo klein, dus B draait twee keer zo snel als A en gaat
rechtsom.
c. Met middelpunt (0, 0) en startpunt (5, 0): 5cos(2 ) 5sin(2 ) x t y t
Middelpunt is (-12, 5), dus 12 naar links en 5 omhoog verschuiven. Startpunt (-8, 8): dus 1 3
4
tan ( ) 0,644 naar links verschoven.
5cos(2 0,644) 12 5 sin(2 0,644) 5 x t y t d. y 0 1 2 5sin(2 0,644) 5 0 sin(2 0,644) 1 2 0,644 2 2,214 1,107 (1,107) 10 t t t t t dx dt x y 1 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1
T-1. a. 1 4 1 sin(t ) 1 1 2 1 sin( ) 1t 1 4 1 4 4 4sin( ) 4 6 4sin( ) 2 2 t t 1 2 0 1 sin( ) 2 t b. y 0 c. x 0 1 2 1 1 2 2 sin( ) 1 2 4 (2 2 2, 0) t t k t k P 5 1 5 1 12 12 12 12 1 1 4 2 5 1 1 1 4 6 4 6 5 1 12 12 1 2 3 sin( ) 2 2 2 1 2 (0; 0,39), (0; 0,009), (0;1,61), (0; 1,99) t t k t k t k t k P P P P d. T-2. a. A( 4, 0) b. dx 8 sin(4 ) 4t 32sin(4 )t dt en 5cos(3 ) 3 15cos(3 ) dy t t dt 15 1 3 16 3 ( ) dy dx c. dx 0 en dy 0 dt dt 1 1 1 2 4 2 sin(4 ) 0 4 0 2 4 2 t t k t k t k t k 1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 cos(3 ) 0 3 2 3 1 2 t t k t k t k t k 1 1 4 4 1 1 0(8, 0), ( 8, 22 2), 1 ( 8, 22 2) P P P d. Omdat voor 1 2 t dx 0
dt en je mag niet delen door 0.
1 2 1 2 15cos(1 0,003) ( 0,001) 0,35 32sin(2 0,004) dy dx T-3.
a. De bijbehorende parametervoorstelling van x en y zijn goniometrische functies. b. 3 x 9 en 2 y 6 c. d. 5 6 4 2cos(3( t )) 4 1 2 3 3 5 6 5 1 5 1 6 2 6 2 5 1 2 5 1 2 6 6 3 6 2 3 2 2 1 2 3 3 3 3 1 1 0 2 2 cos(3( )) 0 3( ) 2 3( ) 1 2 (6, 4), (6 1 3, 4) en (6 1 3, 4) t t k t k t k t k t k t k P P P e. dx 3cos(2 ) 2t 6cos(2 )t dt en 5 5 6 6 2sin(3( )) 3 6 sin(3( )) dy t t dt 6 (0) 1 6 dy dx en 6 ( ) 1 6 dy dx x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 -1
f. 5 2 6 3 4 2cos(3( t )) (6 3 sin(2 )) t 5 6 5 6 4 2cos(3( )) 4 2sin(2 ) cos(3( )) sin(2 ) t t t t Voer in: 5 1 cos(3( 6 )) y x en y2 sin(2 )x intersect: x0 x 0,628 x1,885 x x4,398 x 5,655 0(6, 4), 0,628(3.15, 2.10), 1,885(7.76, 5.18), 4,398(4.24, 2.83) en 5,655(8.85, 5.90) P P P P P T-4. a. y 3 cos( ) 1 cos( ) 2t t x 2 b. cos(t) cos( )t
3 cos( ) 3 cos( ) 1 cos( ) 4 4
y t t t x c. 1 2 a , want 1 2 cos(t ) sin( ) t T-5. a. tan( ) 3 AP AP t OA 3 tan( ) AP t P(3, 3 tan( ))t
b. De x-coördinaat van Q is 3 plus de x-coördinaat van P en de y-coördinaat van Q is gelijk aan die van P: 3 3 tan( )
3 tan( ) x t y t c. y 3 tan( ) 3 3 tan( ) 3t t x 3 T-6.
a. met de x-as: y 0 met de y-as: x0
3 2
2 1
4
1 1
2 2
4 sin ( ) sin( ) sin( ) (4sin ( ) 1) 0 sin( ) 0 sin ( ) 0, , sin( ) sin( ) t t t t t t t t t t 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2cos( ) 0 1 (0, 3) en (0, 3) t t t P P 5 5 1 1 6 6 6 6 1 , 1 , , t t t t 1 5 6 6 0(2, 0), ( 3, 0), ( 3, 0), ( 2, 0), ... P P P P b. x1 1 3 ( ) 0 y 1 2 1 2 3 3 2cos( ) 1 cos( ) 1 t t t t 3 1 1 3 3 1 1 2 2 4 sin ( ) asin( ) 0 1 3 3 0 3 a a
c. De kromme raakt de x-as in de oorsprong als x t( )y t( ) 0 en dy 0 dt 1 2 ( ) 4 0 4 y a a 1 2 (1 ) 4 0 4 y a a d. y 0 3 2 2 1 4 2 1 4
4 sin ( ) sin( ) sin( ) (4sin ( ) ) 0 sin( ) 0 sin ( ) 0 sin ( ) t a t t t a t t a t t t a
Er zijn 2 oplossingen als 2 1 4
sin ( )t a geen oplossingen heeft (a0 of a4) of
precies de twee oplossingen t 0 en t (a0).
