Wetenschappen
— Schadereserve bepalingen met de
Double Chain Ladder methode
Lennart Niezen
Schadereserve bepalingen met de Double Chain Ladder methode
Bachelorscriptie Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam
Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics
Auteur: Lennart Niezen Studentnr: 6055001
Email: lennart.niezen@student.uva.nl Datum: 8 juli 2014
1 Introductie 1
2 Theoretisch kader 3
2.1 Chain Ladder . . . 3
2.2 Double Chain Ladder . . . 4
2.3 Bornhuetter-Ferguson . . . 9
3 Casestudy 11
3.1 Omschrijving van de data . . . 11
3.2 Resultaten. . . 13
3.3 Vergelijking . . . 16
4 Conclusie 20
Appendix 21
Introductie
Schadeverzekeraars moeten ultimo boekjaar hun cijfers bekend maken in de jaarreke-ning, daarbij moeten zij op een adequate wijze de verplichtingen in kaart brengen. Deze verplichtingen bevatten onder andere toekomstige uitbetalingen van schades uit vorige boekjaren. De verzekerde is verzekerd gedurende de periode waarover premie betaald is. Alle aanspraken die voortvloeien uit de verzekerde periode zijn voor rekening van de ver-zekeraar, onafhankelijk van het boekjaar waarop deze gemeld of afgehandeld is. Het kan dus voorkomen dat claims nog niet gemeld zijn op het moment dat de verzekeraar zijn boekjaar afsluit, zulke claims worden ook wel IBNR-claims genoemd (Incurred But Not Reported). Een andere soort toekomstige verplichting ontstaat omdat een verzekeraar tijd nodig heeft om de claim te controleren en tot excasso over te gaan. Een dergelijke claim noemen we een RBNS-claim (Reported But Not Settled). De Verzekeraar dient een reserve aan te houden die de verwachte toekomstige kosten van zowel INBR- als RBNS-claims dekt. Een veel gebruikte manier om toekomstige schades te schatten is om te werken vanuit schadedriehoeken en daarbij de Chain Ladder (CL) methode te gebruiken. (Kaas e.a., 2008)
Schadedriehoeken zijn matrices met geaggregeerde data van schadeclaims, naar pe-riode van herkomst en ontwikkeling (betalingsvertraging of meldingsvertraging). Op het evaluatiemoment is er van het oudste jaar de meeste data beschikbaar en van het huidige jaar het minst. Door dit verschil in informatie ontstaat er een driehoek van gegevens. Zie tabel 2.1 in het volgende hoofdstuk voor een voorbeeld van een schadedriehoek. De ontbrekende data, de onderdriehoek, zijn de toekomstige betalingen waarvoor een verzekeraar een reserve dient aan te houden. Verbeek (1972) beschreef reeds in 1972 een algoritme, voor de Chain Ladder Methode, waarbij de reserves geschat worden met slechts de rij- en kolomsommen. Ook bestaat voor deze aanpak een econometrisch alternatief, namelijk het GLM-model (Generalized Linear Model). Deze methode kan een reserve ook met andere factoren, zoals inflatie, schatten. (Renshaw, 1989). Door-dat de Chain Ladder methode uiteindelijk alleen gebruik maakt van de sommen van de kolommen en rijen gaan er veel statistische gegevens verloren. Tevens wordt er geen onderscheid gemaakt tussen nog niet gemelde claims (IBNR) en claims die wel binnen zijn maar nog niet volledig afgehandeld (RBNS).
De Double Chain Ladder (DCL) door Verrall e.a. (2010) brengt een uitbreiding op het standaard Chain Ladder model door een model op te stellen die met aannames op microniveau schattingen maakt door gebruik te maken van twee schadedriehoeken (betalingen en meldingen). Hierdoor is het mogelijk om factoren te schatten voor de vertraging van melding (Reporting Delay) en betaling (Settlement Delay). Met deze factoren kan dit model onderscheid maken tussen RBNS- en IBNR-claims. De totale claimhoogte stijgt (of daalt) door verschillen in de claimfrequentie en/of de gemiddelde uitbetaling per claim. Omdat het aantal binnengekomen meldingen bekend is, is het tevens mogelijk de claiminflatie (Severity Inflation) te schatten. Deze methode wordt
door Mart´ınez-Miranda e.a. (2012) beschreven als een mijlpaal in de theorie van
dereserveringen en van groot belang voor schadeverzekeraars bij het rapporteren binnen het nieuwe Solvency II framework.
In deze scriptie wordt onderzocht of de DCL een methode is die beter inzicht geeft over toekomstige schades bij het bepalen van een realistische reserve. In hoofdstuk 2 wordt de methode geanalyseerd en vergeleken met de andere methoden die op dit mo-ment gebruikt worden om deze reserves te schatten. De methodes die we gaan vergelijken zijn het hierboven kort beschreven CL-model en de methode van Bornhuetter-Ferguson (BF) die een aanpassing maakt op basis van het aantal polissen. Hoofdstuk 3 bevat een beschrijving van de data en wordt er een implementatie van de onderzoeksmethode opgezet. In hoofdstuk 4 gaan we schattingen voor de reserve met de DCL-methode en de uitkomsten analyseren en vergelijken met andere technieken zoals CL en BF.
Theoretisch kader
2.1
Chain Ladder
De Chain Ladder Methode (CL) is een methode die verzekeraars gebruiken om de toe-komstige betalingen (of het aantal meldingen) te schatten op basis van geaggregeerde data. Deze data wordt samengevoegd in een vierkante matrix Xij waarbij de bovendrie-hoek gevuld is met de waargenomen waardes (Zie tabel 2.1). Het Chain Ladder model heeft als doel om de onbekende elementen te schatten en het vierkant vol te maken. Het model heeft per jaar (i) een onafhankelijke αi co¨effici¨ent wat de totale som van de verwachte uitbetalingen (of meldingen) van dat jaar aangeeft. Daarnaast heeft iedere ontwikkelingsperiode (j) een co¨effici¨ent βj welke een procentuele weging aangeeft. Deze co¨effici¨ent geeft aan hoeveel procent van de totale som (αi) na j-aantal periodes, na het voorkomen van de claim, betaald (of gemeld) is. De geschatte toekomstige betalingen zijn dan de vermenigvuldiging van αi en βj voor elke i en j (formule 2.1a) waarvoor geldt dat i + j >= m + 1 waarbij m het aantal periodes is waarover data beschikbaar is. De elementen die niet in het domein vallen (de bovendriehoek) zijn de uitbetalingen die reeds waargenomen zijn en niet geschat hoeven te worden.
E[Xij] =αbiβbj. (2.1a)
m−1 X j=0
βj = 1 (2.1b)
Om de co¨effici¨enten te schatten zijn er meerdere algoritmes beschikbaar, de ge-makkelijkste daarvan is de Verbeek algoritme (Verbeek, 1972;Kaas e.a., 2008). Hierbij worden de co¨effici¨enten stapsgewijs geschat, gebruikmakend van alleen de sommen van de kolommen (Cj) en rijen (Ri). Deze methode maakt gebruik van de vergelijkingen
Ontwikkelingsjaar uitbetalingsvertraging 0 1 2 3 4 β1 β2 β3 β4 β5 2009 α1 4426765 992329.6 88951.98 13240.37 38621.509 2010 α2 4388958 984169.3 60161.74 35004.18 ? 2011 α3 5280130 1239396.2 76122.46 ? ? 2012 α4 5445384 1164233.7 ? ? ? 2013 α5 5612138 ? ? ? ?
Tabel 2.1: Een bovendriehoek met uitbetaalde claims van een schadeverzekeraar voor 5 jaar
(2.2) die voortvloeien uit de formules bij2.1. Een restrictie aan de vermenigvuldiging in
2.1a toevoegen is mogelijk omdat er oneindig veel optimale oplossingen bestaan vanwege overparameterisering. Als α wordt geschaald met twee, wordt β geschaald met een half om dezelfde schatting te behouden. Door de som van β gelijk te stellen aan 1 (Restrictie
2.1b), krijgt de co¨effici¨ent van β een betekenis, namelijk een percentage van het geheel. Een andere mogelijkheid voor een restrictie is om α1 gelijk te stellen aan 1. Daardoor geven alle opvolgende α co¨effici¨enten de verhouding ten opzichte van jaar 1 aan, zodanig dat de groei van schadegrootte wordt aangegeven.
b
αi( bβ1+ · · · + bβn−i+1) = Ri. (2.2a) (αb1+ · · · +αbi) bβn−i+1= Cn−i+1. (2.2b)
Omdat er als restrictie is toegevoegd dat Pn
t=1βt = 1 is, wordt α1 de som van de eerste rij R1 (uit formule 2.2a). De rij R1 bevat immers alle ontwikkelingsperiodes waarvan gegevens beschikbaar zijn aangezien dat de eerste periode is. De daaropvolgende rijsommen hebben steeds ´e´en ontwikkelingsperiode (en dus β) minder. Als α1 de som van de rij is, kan ook βn(de laatste β) geschat worden, door de formule2.2b in te vullen (met nog steeds i = 1): αb1βbn = Cn. Nu de laatste βn geschat is kan de tweede ronde iteratie beginnen met i = 2 zodanig dat α2en βn−1ook geschat kunnen worden; analoog voor de iteraties tot en met i = n. Door de te schatten α en β co¨effici¨enten naar ´e´en kant te halen krijgen we de formules 2.3. De co¨effici¨enten in deze formules kunnen nu geschat worden door deze, om de beurt van i = 1 tot en met i = n, in te vullen. Voor een R-Code van deze methode zie Appendix B - B.1.
b αi= Ri 1 −Pn t=n−i+1βbt (2.3a) b βn−i+1= Cn−i+1 Pi t=1αbt (2.3b)
Naast het algoritme van Verbeek kunnen dezelfde CL-co¨effici¨enten ook geschat wor-den door gebruik te maken van de GLM methode (zie formule 2.4). Hierbij worden de co¨effici¨enten αi en βj geschat door een Poisson regressie te doen waarbij ontstaanjaar en afwikkelingsjaar als categorische variabelen gebruikt worden. In Appendix B - B.2 staat een R-code om de regressie uit te voeren.
Xij ∼ POI(αiβj) onafhankelijk. (2.4)
2.2
Double Chain Ladder
Gegevensstructuur van de DCL
De Double Chain Ladder door Mart´ınez-Miranda e.a. (2012) is een uitbreiding op het standaardmodel, zoals beschreven in de Chain Ladder methode, om toekomstig te be-talen schadeclaims te schatten. Het DCL model verschilt van andere modellen doordat met twee (geaggregeerde) soorten gegevens wordt gewerkt, de betalingen enerzijds en het aantal gerapporteerde schades anderzijds. Deze twee databronnen zijn gekozen omdat deze relatief gemakkelijk te vinden zijn bij de meeste schadeverzekeraars in tegenstelling tot een gehele dataset op individuele basis. Werken met individuele data is tevens vaak computerintensief en een individueel model kan tamelijk verzekeraar afhankelijk zijn
Xij 0 m 1 m i j Nit 0 m 1 m i t
Figuur 2.1: De twee driehoeken die gebruikt worden bij de DCL-methode. De linker driehoek bevat de hoogte van de betaalde schades Xij met ontstaanjaar i en ultimo
betalingsvertra-ging j. De rechter driehoek bevat de gerapporteerde claimaantallen Nij met ontstaanjaar i en
meldingsvertraging (Reporting Delay) t.
De gegevens van de daadwerkelijk uitbetaalde claims zitten in de matrix Xij van grootte m, de lengte van de observatieperiode. De indices van de matrix zijn i (van 1 tot en met m) voor de periode waaruit de claim is voortgekomen en j (van 0 tot en met m) voor de het aantal periodes waarmee de betaling is vertraagd. Analoog geldt dit ook voor het aantal gemelde claims in matrix Nit, van grootte m en ontstaanjaar i. De index t van deze matrix geeft het aantal periodes waarmee de melding is vertraagd. Voor beide driehoeken hebben wij de standaard α en β CL-parameters geschat, zie hoofdstuk 2.1
bij de CL voor meer specificaties. Met de driehoeken en CL-parameters worden in de DCL-methode twee extra parameters geschat: inflatie- en vertragingsparameters. Deze zijn nodig omdat in de DCL-methode claims vanuit microniveau worden beschreven om daarna de reserve als geheel op macroniveau uit te rekenen.
Bij de DCL methode heeft een schadeclaim (k) ´e´en bepaalde claimhoogte y, daar-naast heeft een claim in totaal drie tijdstippen: het ontstaan van de schade (i), meldings-vertraging (t) en verwerkingsmeldings-vertraging (l). Hierbij is de meldingsmeldings-vertraging (Reporting Delay) het aantal (gehele) periodes tussen het ontstaan en de melding van de claim is. De verwerkingsvertraging (Settlement Delay) is het aantal (gehele) periodes tussen de melding en de laatste betaling van de claim. Zie figuur 2.2 voor een voorbeeld van een individuele schademelding. In dit voorbeeld ontstaat er een claimrecht op tijdstip 2 (i = 2, deze wordt pas gemeld op tijdstip 3 (t = 1) en uitgekeerd op tijdstip 5 (l = 2). Op tijdstippen 2 tot en met 4 zou de verzekeraar een reserve aan moeten houden voor deze claim. De verzekeraar, die op tijdstip 2 nog niet op de hoogte is van deze claim, moet voor zulke gevallen wel geld reserveren (IBNR-reserve). Op tijdstip 3 en 4 is deze schade wel bekend maar nog niet uitbetaald (RBNS-reserve). Vanaf tijdstip 5 hoeft er voor deze claim geen reserve meer worden opgenomen en is deze afgehandeld. In het DCL-model is daardoor een versimpeling toegepast, er is maar ´e´en mogelijk tijdstip van betaling met ´e´en betalingshoogte.
0 k 1 2 Schade 3 M elding 4 5 U itbetaling 6 m
Figuur 2.2: Tijdlijn van een schademelding met: ontstaanjaar i = 2, meldingsvertraging t = 1, verwerkingsvertraging l = 2 en de gehele betalingsvertraging j = 3.
Het DCL-model
Het DCL-model begint met het beschrijven van claims op individueel niveau waarna deze als geheel veralgemeniseerd wordt om de ontbrekende betalingen te schatten. Als ieder jaar volledig ontwikkeld is, is er voor iedere claim het ontstaansjaar i, meldingsvertraging j en verwerkingsvertraging l bekend. Het is daarom mogelijk om de claims te groeperen in een bepaalde claimgroep met dezelfde eigenschappen (i, t en l). Deze data kan dan beschreven worden in een driedimensionale matrix Nitlpaid waarbij met als elementen het aantal claims die in dezelfde claimgroep (i, t en l) zijn.
Als de portfolio volledig ontwikkeld is, is ook de betalingshoogte van iedere claim bekend. Voor elke claim k, defini¨eren we Yitl(k), die de betalingshoogte aangeeft voor iedere claim die in dezelfde claimgroep zit. Het aantal elementen in deze groep is daardoor precies gelijk aan de waarde in matrix Nitlpaid, omdat er uit wordt gegaan van ´e´en betaling per claim.
Voor alle waardes waarvan de som van i, t en l kleiner of gelijk zijn dan m kan de Nitlpaid- en Yitl(k)-matrix gevormd worden als er een dataset beschikbaar is met individuele claims. De DCL-methode maakt gebruik van aannames en de geaggregeerde data Niten Xij om Nitlpaid en Yitl(k)te benaderen. Om de matrix van het aantal claims te schatten, is de aanname gemaakt dat het aantal periodes, dat tussen de melding en de betaling van de claim zit, een vast verloop heeft. Een nieuwe parameter ˜πlis daarvoor ge¨ıntroduceerd, deze geeft aan welk percentage van de claims l-periodes later betaald is. Voor het bepalen van de hoogte van de claim is aangenomen dat deze alleen afhangt van het ontstaansjaar en de periodes dat het duurde om de claim te verwerken (Settlement Delay). De nieuwe parameter γi geeft het effect van het ontstaansjaar aan en ˜µl geeft het effect van de verwerkingsvertraging aan.
E[Nitlpaid] = Ni,tπ˜l. (2.5)
In formule2.5is weergegeven hoe in dit model Nitlpaidafhangt van de gemelde schades (Nit) en de parameter voor verwerkingstijd ( ˜πl). De matrix Nit geeft het aantal mel-dingen aan uit jaar i, met meldingsvertraging t. Een claim is op een bepaald moment afgerond, dit moment kan in dezelfde periode vallen (0-periodes vertraagd) of in een latere periode vallen. Het aantal periodes dat een claim verwerkingsvertraging heeft, is daardoor uit te drukken in een percentage. De bijbehorende parameter ˜πl, die dit percentage weergeeft, is niet afhankelijk van het jaar van herkomst of de vertraging van melding.
E[Yitl(k)|Nitlpaid] = ˜µlγi (2.6)
Naast het aantal claims is ook de claimhoogte in het model opgenomen. In formule
2.6 is deze als de vermenigvuldiging van twee nieuwe parameters ˜µl en γi gesteld. De variabele γiis een factor met als index de periode van herkomst i, dat het effect aangeeft van die bepaalde periode op de hoogte van de claim. De parameter ˜µl met als index de verwerkingsvertraging l, geeft het effect van de verwerkingsvertraging op de hoogte van de claim weer. Een lange verwerkingstijd kan duiden op een ingewikkelde en vaak dure claim. Omdat er opnieuw te veel parameters zijn, is de restrictie toegevoegd dat voor het eerste jaar γ1 gelijk is aan 1. De waardes van de parameter γi kan dan ge¨ınterpreteerd worden als de claiminflatie ten opzichte van jaar 1. Wat opvalt is dat in het DCL-model geen parameter met als index de meldingsvertraging (t) is opgenomen. Dit is omdat
Mart´ınez-Miranda e.a. (2012) een aanname maakt dat de melddatum geen effect heeft
op de hoogte van de uitbetaling. Door met een verwachte schade te werken is het ook niet mogelijk om een claim zonder betaling te hebben (afgewezen claim).
Nu zowel het aantal claims als de claimhoogte in het model zijn toegevoegd, kunnen deze twee formules2.6en2.5worden samengevoegd om de totale schadelast te schatten. In formule 2.7 wordt de totale schadelast voor ieder tijdstip i, met meldingsvertraging
t en verwerkingsvertraging l geschat door te sommeren over alle individuele claims k, dat aantal claims is Nitlpaid.
E[Xitlpaid] = E[ Nitlpaid X k=1 Yitl(k)] = E[ Nitlpaid X k=1
Yitl(k)|Nitlpaid] = E[Nitlpaidµ˜lγi] = Nitπ˜lµ˜lγi (2.7)
In de praktijk wordt er vaak alleen gekeken naar het jaar van oorsprong van de schade en in welk tijdstip deze betaald is (of moet worden). Het is interessanter om te kijken naar de totale vertraging van betaling (j) dan naar de meldingsvertraging en verwerkingsvertraging. In formule 2.8 is de verwachting van de totale claimhoogte op ieder tijdstip i, met de betalingsvertraging j geschat. Hierdoor komen we op een alternatieve schatting voor Xij (ten opzicht van de CL-methode) op basis van enkele co¨effici¨enten en het aantal gemelde schades. De claims die met j-periodes vertraagd betaald zijn, zijn een combinatie van de schades waarvan de meldingsvertraging t en verwerkingsvertraging l gelijk zijn aan j. Door dat te herschrijven geldt dat t = j − l, hierdoor neemt de sommatiePj
l=0X paid
i,j−l,lde correcte schades mee. Op de plek van t in formule 2.7 komt j − l te staan, waardoor alleen Ni,j−l verandert. Dit komt omdat de andere parameters niet afhangen van t.
E[Xij|Nitlpaid] = E[ j X l=1 Xi,j−l,lpaid ] = j X l=0 Ni,j−lπ˜lµ˜lγi (2.8)
We herschrijven nu de parameters in2.9om tot de nieuwe parameters µ en πl. Omdat ˜
µl de verwachting van de claimhoogtes is voor iedere l-periode en ˜πl een percentage is (en de kans aangeeft), kan µ ge¨ınterpreteerd worden als het gewogen gemiddelde van de claims. De parameter πlgeeft dan het totale effect van de verwerkingsvertraging per periode l aan, als percentage van het geheel.
µ = m−1 X l=0 ˜ πlµ˜l (2.9a) πl= ˜ πlµ˜l µ , (2.9b)
Door2.8om te schrijven met de definities van2.9krijgen we de formule (2.10). Dit is de verwachting van de betalingen van schades op basis van het aantal gemelde schades. Deze schatting gebruiken we om de RBNS reserve te schatten. Voor de IBNR-reserve is deze formule niet nuttig, er zijn namelijk geen meldingen beschikbaar, Nit is leeg voor het toekomstige aantal meldingen.
E[Xij|Nitlpaid] = j X l=0 Ni,j−lπ˜lµ˜lγi = j X l=0 Ni,j−lπlµγi (2.10)
Omdat er geen informatie is over het aantal gemelde schades in de toekomst, de onderdriehoek van Nit, gebruiken we de geschatte (fitted) waardes voor Nit. Deze is te schatten door gebruik te maken van de normale Chain Ladder methode (2.11), waarbij index j vervangen is door index t. Door deze aanpassing geeft βt het percentage aan van meldingsvertraging. E[Nit] = αiβt. (2.11a) m−1 X t=0 βt= 1 (2.11b)
In formule 2.12 is Nit vervangen door de geschatte waardes van Nit die gevonden zijn op basis van de CL methode in formule2.11. De schatting bevat naast de gewenste onderdriehoek (toekomstige claim aantallen) ook een schatting voor de reeds gegeven bovendriehoek. Deze schattingen zijn ook te gebruiken om de RBNS-reserve te schatten, maar dat is niet aan te raden omdat de echte data beschikbaar is.
E[Xij] = j X l=0 Ni,j−lπlµγi = j X l=0 αiβj−lπlµγi= µγiαi j X l=0 βj−lπl (2.12)
Voor RBNS-claims, die dus al gemeld zijn, is het dus aan te raden om formule
2.10 te gebruiken. Voor IBNR-claims is het nodig dat de geschatte waardes van de claimaantallen gebruikt worden (formule2.12).
Schatten van de parameters
Naast het aantal gemelde claims zijn schattingen van de parameters µ, γien πlco¨effici¨enten nodig. Om die co¨effici¨enten uit te rekenen kunnen we gebruik maken van een tweede CL-schatting, namelijk op de betalingen Xij (2.13a). Omdat er nu op twee manieren de verwachte betalingen geschat zijn (2.12 en 2.13a), kunnen we deze aan elkaar gelijk stellen. Dit is ook de reden waarom Mart´ınez-Miranda e.a. (2012) dit model de Double Chain Ladder hebben genoemd.
E[Xij] =αbiβbj, met de restrictie: m−1 X j=0 βj = 1 (2.13a) E[Xij] = µγiαb˜i j X l=0 b˜ βj−lπl (2.13b) b αiβbj = µγiαb˜i j X l=0 b˜ βj−lπl (2.13c)
Bij formule 2.13.c zijn de twee schattingen voor Xij aan elkaar gelijk gesteld. In deze vergelijking is er voor αi en βj−l, de schatters voor het aantal claims (bα˜i en bβ˜j−l) gebruikt. Deze formule is te splitsen in twee vergelijkingen. De eerste vergelijking hangt alleen af van het jaar van claimoorsprong en heeft alle termen met index i uit de ori-ginele formule tot zich genomen (2.14a). De tweede vergelijking hangt alleen af van de betalingsvertraging en bevat de termen met index j (2.14b).
b αi = µγiαb˜i (2.14a) b βj = j X l=0 b˜ βj−lπl (2.14b)
Uit vergelijking 2.14a zijn de parameters µ en γi te berekenen, door deze om te schrijven levert dat formule 2.15a op. Omdat er vanwege de overparameterisering γ1 gelijk aan 1 is gesteld, kunnen we µ en de overige γi gemakkelijk schatten (2.15b). De sommatie van2.14b over l met als index j − l voor β, kan gezien worden als een matrix vermenigvuldiging. Deze matrix heeft dan in iedere kolom de β-vector beginnend vanaf de diagonaal tot aan de maximumgrootte n. Door daarvan de inverse te nemen krijgen
we de formule van 2.15c. γi = b˜ αi µαbi (2.15a) µ = αb1 b˜ α1 omdat γ1 = 1 (2.15b) π0 .. . .. . πm−1 = b β0 0 . . . 0 b β1 βb0 . .. 0 .. . . .. ... 0 b βm−1 . . . βb1 βb0 −1 b˜ β0 .. . .. . b˜ βm−1 (2.15c)
Nu alle variabelen bekend zijn, kan de DCL-sommaties van de vergelijkingen2.10en
2.12worden uitgevoerd om tot een schatting te komen van de verwachte reserve. Hierbij is een splitsing gemaakt tussen de IBNR- en RBNS-claims.
2.3
Bornhuetter-Ferguson
Het standaard CL-model gebruikt de rij- en kolomsommen van de Xij-driehoek om tot een reserve te komen. De rijsom van het meest recente jaar bestaat slechts uit ´e´en waarneming, waarna de volgende ontwikkelingsjaren geschat worden. Dit gebrek aan data zorgt voor onnauwkeurige schattingen, de Bornhuetter-Ferguson (BF) methode voegt het aantal polissen toe om tot een betere schatting te komen. Deze methode gaat uit van een combinatie van de CL methode en een ratio. Deze ratio kan bijvoorbeeld de ratio zijn tussen schadehoogte en premie-inkomsten (Loss Ratio), of de schadehoogte per polis.
In ons geval is alleen het aantal polissen beschikbaar, dan hangt de schadehoogte alleen af van het aantal verkochte polissen (ni) en de verwachte kosten per polis µi. Als er inkomsten bekend zijn, hangt de schadehoogte af van de hoogte van de premie-inkomsten en de verwachting van het uitkeringspercentage. Het percentage van de claims die j periodes vertraagd zijn (βj) verandert niet ten opzichte van de CL-methode. Deze methode is dus eigenlijk het CL-model met extra gegevens; zie vergelijkingen2.16.
De verwachte uitbetaling per polis kan verschillen per jaar, doordat de groep van verzekerden of de polisvoorwaarden veranderen. Als de concurrent van een autoverze-keraar bijvoorbeeld een goedkopere polis voor vrouwen aanbiedt, zorgt dat ervoor dat de groep van de niet gedifferentieerde verzekeraar meer mannen bevat (die gemiddeld hogere schades maken). Een vaste schade per polis (µ) voor ieder jaar i, kan ook gekozen worden als daar aanleiding voor is.
E[Xij] =αb BF i βbj. (2.16a) m−1 X j=0 βj = 1 (2.16b) E[αBFi ] = niµi (2.16c)
Een schatting voor de co¨effici¨ent(en) van µ kan op verschillende manieren, zoals de totale schade van het eerste jaar te delen door het aantal polissen van dat jaar. Het eerste jaar is immers het jaar waar de meeste gegevens van beschikbaar zijn en de grootste kans heeft om volledig ontwikkeld te zijn; zie2.17. Het nadeel van deze schatting is dat er maar ´e´en jaar wordt meegenomen. Een alternatief zou zijn door het gewogen
gemiddelde van alle jaren te gebruiken. Daarvoor zijn wel de ontbrekende ontwikkeljaren nodig, maar die zijn weer te schatten door het uitvoeren van de CL methode.
µi= µ = Pm j=1X1,j n1 (2.17a) E[αBFi ] = ni Pm j=1X1,j n1 (2.17b) (2.17c)
Deze methode heeft zijn voor- en nadelen, jaarspecifieke verschillen kunnen niet in het model worden opgenomen zoals een grote storm in een bepaald jaar. Voor een jaar met weinig gegevens (de laatste jaren) kan een hoge betaling veel invloed hebben op de verwachte reserve, daar zou een schatting op basis van het aantal polissen consistenter zijn.
Casestudy
In het theoretisch kader in hoofdstuk 2 zijn de methodes beschreven om tot schatters te komen. In dit hoofdstuk gaan wij deze methodes uitvoeren en vergelijken in een casestudy. De data in deze casestudy is hetzelfde als Antonio en Plat (2013) in hun paper
”Micro-level stochastic loss reserving for general insurance” gebruiken. De data is afkomstig van een Europese verzekeraar en bevat binnengekomen claims van een aansprakelijkheidsverzekering.
3.1
Omschrijving van de data
De data is afkomstig van een aansprakelijkheidsverzekering, bij zo een verzekering kun-nen de claims in twee verschillende soorten schades gesplitst worden, namelijk materi¨ele schade (MD, Material Damage) en letselschade (BI, Bodily Injury). De gehele dataset heeft data van 1997 tot en met 2009 en heeft in totaal 491.912 claims. Van deze claims is het bekend wanneer het ongeval heeft plaatsgevonden, wanneer er melding van de schade is gemaakt, of de claim volledig afgehandeld is (of nog open is), wanneer en hoe-veel uitbetaald is. Meerdere betalingen per claim en claims zonder betaling komen voor in deze dataset. Als voorbeeld van de structuur van de dataset (zie tabel3.1) waar drie verschillende schades zichtbaar zijn. In dat voorbeeld zien we dat de eerste schade is voorgekomen, gemeld en uitbetaald in 1997, de status is afgesloten (C) en ´e´en betaling heeft plaatsgevonden. De tweede schade komt uit en is gemeld in 1997, deze schade is afgesloten in 2004 en ieder jaar tussen 1997 en 2004 is er een betaling geweest. De laatste is voorgekomen en gemeld in 2004 maar de claim is nog open (O) en er is (nog) geen betaling geweest.
Naast de claims is er ook data beschikbaar over het totaal aantal polissen per jaar voor de jaren 2000 tot en met 2009, voor de jaren 1997 tot en met 1999 is de data geschat. Deze schatting is aangeleverd en wordt als gegeven beschouwd, de waardes liggen dan ook in de lijn der verwachting. Tabel 3.2 geeft deze weer samen met de uitgekeerde bedragen over het eerste ontwikkelingsjaar per schadejaar per subgroep. Dit toont dat de uitkering per polis in het eerste ontwikkelingsjaar per polisjaar aflopend is voor zowel
scha nr schadejaar afsluitjaar status dev1 . . . dev8 meldjaar
P009937924 1997 1997 C 1052.77 . . . 0 1997
. . . .
P010234639 1997 2004 C 54.45 . . . 34939.52 1997
. . . .
P900024641 2004 0 O 0 . . . 0 2004
Tabel 3.1: Voorbeeld van de datastructuur van drie schademeldingen afkomstig uit een aan-sprakelijkheidsverzekering
Polissen Schade uitbetalingen in hetzelfde jaar
Gehele verzekering Letsel Materi¨ele
jaar aantal oorspong totaal per polis totaal per polis 1997 345872 schatting 261239.8 0.755 4426765 12.799 1998 395282 schatting 202302.7 0.512 4388958 11.103 1999 444693 schatting 237619.5 0.534 5280130 11.874 2000 494103 meting 237013.0 0.480 5445384 11.021 2001 544932 meting 388655.2 0.713 5612138 10.299 2002 620275 meting 259707.8 0.419 6593299 10.630 2003 668107 meting 236365.5 0.354 6603091 9.883 2004 718563 meting 248164.5 0.345 7194587 10.012
Tabel 3.2: Gegevens over de groei van het aantal polissen en de groei van de schadehoogte die in hetzelfde jaar is uitbetaald (Ontwikkelingsjaar 0).
letsel als materiaalschade.
De reden van het gebruiken van de de subset van 1997 tot en met 2004 is omdat we de data van 2004 tot en met 2009 kunnen gebruiken om de voorspellingen te controleren. De subset die we gebruiken om te schatten heeft in totaal 224836 claims voor materi¨ele schade en 4483 claims voor letselschade. Zie tabel 3.3 voor een samenvatting van de algemene gegevens van de claims. Hierbij valt direct op dat er veel minder claims van letselschade binnenkomen dan van materi¨ele schade, maar de gemiddelde uitbetaling (inclusief 0 betalingen) veel hoger ligt bij letselschade, namelijk 3025 tegen 250. Ook is te zien dat het aantal open claims van letselschade, als percentage van het geheel, veel hoger (23%) ligt dan bij materi¨ele schades(2%). Bij het analyseren van de dataset komt er naar voren dat letselschades vaker meerdere uitbetalingen hebben en daarom nog open staan, dat is ook te zien in de tabel dat zeven op de tien open claims met betaling zijn bij letselschade; bij materi¨ele schade is dat een stuk minder.
De verschillende afwikkelingstijden en het grote verschil in de hoogte van claims bevestigen het vermoeden dat deze twee soorten schades verschillen, daarom gaan we twee verschillende schattingen maken. Hierbij beschouwen we beide soorten schades als aparte verzekeringen. Voor beide gegevens gaan we de uitbetaalde- en gemelde claims aggregeren om de driehoeken te construeren met grootte 8 (van 1997 tot en met 2004). Hierdoor vinden wij in totaal vier bovendriehoeken: twee Nij- en twee Xij-driehoeken. In Appendix A zijn de driehoeken van materi¨ele schade( XijM D :4.1 en NijM D : 4.2) en voor de letselschade (XijBI :4.3en NijBI :4.4) te vinden.
BI: 1997-2004 MD: 1997-2004
Afgehandeld Open Afgehandeld Open
Claims Aantal 3452(77%) 1031(23%) 220730 (98%) 4106 (2%) Met betaling 2939 716 181571 1497 Zonder betaling 513 315 39159 2609 Totaal claims 4483 224836 Gemiddelde uitbetaling 3025 250.350 Variantie 658090 × 106 171888 × 106
Tabel 3.3: Algemene gegevens van de data voor Letselschade (BI) en materi¨ele (MD) in de sample van 1997 tot en met 2004
3.2
Resultaten
Chain Ladder resultaten
Het uitvoeren van de Chain Ladder Methode geeft de CL-parameters αi en βj als resul-taat, deze zijn van belang en worden gebruikt in alle methodes die hier zijn beschreven. De CL methode is toegepast op alle vier de driehoeken, de resultaten voor de schattingen van de schadehoogtes staan in figuur3.1. Waarbij de linker grafiek de verwachte claim-hoogte (αi) toont met op de linker-as de hoogte voor letselschade en op de rechter-as die van materi¨ele schade. Hier valt op dat de hoogte van letselschade een grillig ver-loop heeft, dit is wellicht te verklaren door de grote piek in het eerste jaar van gemelde schades. In de rechter grafiek staat het ontwikkelpercentage voor de daadwerkelijke be-taling. De grafiek laat zien dat bij Materi¨ele schade ongeveer 80% van de gevallen in hetzelfde jaar wordt betaald (ontwikkeljaar 0). Bij letselschade zijn de uitbetalingen verspreid over de jaren. Dit kan komen omdat het bij letselschade vaker voorkomt dat er meerdere betalingen zijn, maar bij materi¨ele schade ´e´en betaling genoeg is.
● ● ● ● ● ● ● ● 2200 2600 3000 3400
Verwachte claim hoogte
Oorsprongsjaar claim Claimhoogte x1000 ● ● ● ● ● ● ● ● 6000 7000 8000 9000 ● ● Soort Claim Letsel Materieel 1 2 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● 0.0 0.2 0.4 0.6 Ontwikkelpercentage Ontwikkelingsjaar claim ● ● ● ● ● ● ● ● 0 1 2 3 4 5 6 7 ● ● Soort Claim Letsel Materieel
Figuur 3.1: De chain Ladder co¨effici¨enten geplot, links de verwachte schadehoogte αien rechts
de βj ontwikkelingsparameters
Bornhuetter-Ferguson resultaten
De methode van de Bornhuetter-Ferguson is zeer vergelijkbaar met de CL-methode, met als uitgangspunt het aantal polissen en niet de daadwerkelijke schades. Bij verlies per polis is er geen nadelig effect van verschuivingen in de marge, maar wel met een kleiner wordende portfolio. Het is zichtbaar in tabel 3.2 dat de betaling per polis niet synchroon loopt met het eerste jaar, terwijl dit wel verondersteld wordt. Dit is omdat er vanuit wordt gegaan dat ieder polisjaar zich op dezelfde manier ontwikkelt, dus zou de verwachting niet moeten verschillen bij het kijken naar alleen het eerste polisjaar. Deze manier heeft als voordeel dat portfoliogroei correct wordt meegenomen, als een verze-keraar een grote groei meemaakt in aantal polissen (goede actie of overname portfolio) komt dat misschien niet direct tot uiting komt in de betaalde schades. In grafiek 3.2
zijn de premies ten opzichte van de totale geschatte schades getoond. We kunnen uit de grafiek zien dat voor letselschade de schades niet erg overeenkomen met het aantal polissen, maar bij materi¨ele schade is dit wel een goede maatstaf. De schatting van µ die wordt gekozen is de gemiddelde uitkering op basis van de fitted values van de CL-methode. Deze is uitgevoerd in het schadereservering programma IBNRS van Addactis, voor de ontwikkeling van de BF-schatting ten opzichte van de CL schatting.
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 Jaarontwikkeling Letselschade
Jaar van claimoorsprong
400 500 600 700 Claimhoogte Exposure (totaal) 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 6000 7000 8000 9000 Jaarontwikkeling Motorschade
Jaar van claimoorsprong
400 500 600 700 Claimhoogte Exposure (totaal)
Figuur 3.2: Exposure tegen schadeclaims
Double Chain Ladder resultaten
De Double Chain Ladder methode is een uitbreiding op het standaard CL-model en schat twee extra variabelen, namelijk de inflatieparameters γi voor ieder jaar en de ver-tragingsfactoren bij de verwerking πl na melding. De resultaten voor letsel- en materi¨ele schade staan in figuur 3.3. Rechts staat de grafiek van inflatieparameters waarbij het eerste jaar als 1 is gedefinieerd en de overige als factor ten opzichte van het eerste jaar is geplot. Materi¨ele schade laat een licht stijgende lijn zien terwijl de parameters voor letselschade niet echt een duidelijk beeld schetsen. In de rechter grafiek staan de verwer-kingsvertragingsfactoren geplot, bij Materi¨ele schade zijn de meeste claims binnen twee jaar volledig betaald. Letselschade heeft daarbij niet een duidelijk verloop, de meeste kans is er op ´e´en jaar vertraging.
● ● ● ● ● ● ● ● 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 Severity inflation underwriting period 1 2 3 4 5 6 7 8 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Soort Claim Letsel Materieel 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Delay parameters settlement delay 0 1 2 3 4 5 6 7 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Letsel Letsel (aanpassing) Materieel Materieel (aanpassing)
Figuur 3.3: De DCL-parameters voor het verschil in hoogte van de claims per boekjaar γ inflatie en de π vertragingsvariabele welke het percentage van ontwikkeling na melding aangeeft
DoorVerrall e.a. (2010) zijn een paar aanpassingen/uitbreidingen aan de co¨effici¨enten
gedaan om tot een verbetering te komen van het DCL-model. De eerste aanpassing gaat over de verwerkingsvertraging na melding π, deze is aangepast zodanig dat de som ge-lijk is aan 1 en alle waardes positief. Dit is ook een logisch resultaat, alle claims worden
afgehandeld en een negatief percentage van betalingen is onwaarschijnlijk. Door de ma-nier van berekenen uit hoofdstuk 2.2kan het zijn dat deze licht afwijkt en niet precies als som 1 heeft. Daarom is de een aanpassing gedaan om tot een sluitend resultaat te komen. In3.3zijn in de rechter grafiek de aanpassingen toegevoegd, voor beide soorten schades verschilt er weinig.
Een tweede aanpassing is gemaakt door de tabel uit te breiden met extra ontwik-kelingsjaren. De totale betalingsvertraging is in het model gesplitst in een meldings- en verwerkingsvertraging, beide met grootte m. Bij de DCL-methode zijn de toekomstige jaren van nog niet gemelde claims ook meegenomen (IBNR), deze claims kunnen ook nog eens een lange verwerkingsvertraging hebben. Die twee vertragingen kunnen samen groter zijn dan m waardoor er aan de rechterkant van het vierkant extra ontwikkelings-jaren zijn. Zie figuur3.4voor een tijdlijn die gesplitst is in IBNR en RBNS. Claims die gemeld zijn, maar nog niet betaald, kunnen alleen betaald worden met 0- en m-periodes vertraging; het rode vlak in de grafiek. Claims die nog niet gemeld zijn liggen in het gehele blauwe vak, waarbij er sprake kan zijn van 2m − 1 periodes waarin de betaling kan plaats vinden. Dit maximum wordt alleen bereikt als de maximum vertraging van melding in combinatie met de maximum vertraging van verwerking optreedt .In de prak-tijk komt het voor dat deze toekomstige betalingen nog langer doorgaan, een jaarlijkse uitkering bijvoorbeeld, maar dat zit niet in de mogelijkheden van dit model.
1997
0 Gegevens
2004
m RBN S
IBN R 2018
Figuur 3.4: Tijdlijn van schadereserves, waarneming is in 2004, gegevens bereik is van 1997 tot en met 2004 (8 jaar), rode lijn: toekomstige betalingen op basis van waargenomen ingediende claims (RBNS), blauwe lijn: geschatte toekomstige betalingen op basis van schattingen over het nog in te dienen claims
3.3
Vergelijking
De resultaten van de drie methoden geven onderbouwde schattingen van de vermoe-delijke toekomstige uitbetalingen die de verzekeraar moet gaan betalen. Zij gebruiken gemakkelijk toegankelijke gegevens, die de meeste verzekeraars snel kunnen produceren. De BF en CL-methode zijn qua uitlegbaarheid het beste omdat deze met slechts enkele berekeningen te vinden zijn. De BF/Loss-ratio methode laat minder goede resultaten zien, doordat de data geen constante ratio aangeeft. De CL-methode gebruikt alleen de claimhoogtes, waardoor alle effecten zijn samengevat in dit getal. Een stijging van de schade geeft geen indicatie of dit komt door inflatie, de groei van het aantal polissen of dat het een rampjaar is. De BF-methode gebruikt cijfers van de hoeveelheid polissen en de schadehoogtes. Deze methode houdt geen rekening met een verandering in de hoogte van de claim per polis, inflatie en een rampjaar zijn niet te meten. De DCL methode houdt wel rekening met inflatie door daarvoor een aparte parameter te schatten. Deze parameter zal ook een gedeelte van het effect van een grote ramp op zich nemen. Het kan ook lager uitvallen, door bijvoorbeeld hagelschade waar heel veel kleine schades voor-komen, waardoor in ´e´en jaar de gemiddelde schade lager ligt. De groei van het aantal polissen zit er niet direct in, maar wordt indirect geschat door de stijging van het aantal binnengekomen claims. Deze verhoging kan ook betekenen dat er alleen meer schades gemeld zijn, vanwege een ramp bijvoorbeeld.
We zien in tabel 4.5 (letselschade) en tabel 4.6 (Materi¨eleschade), die beide in de Appendix A staan, de resultaten van de verschillende methoden waarbij de sommen over de diagonaal zijn gemaakt om de te verwachten betalingen per toekomstig jaar te kunnen schatten (zoals de tijdlijn 3.4). Hierbij is er een splitsing van zowel de RBNS als de IBNR schattingen gemaakt voor het DCL-model. Voor de schattingen voor de IBNR reserves zijn extra ontwikkelingsjaren toegevoegd gebaseerd op schattingen van toekomstige gemelde claims. Voor materi¨ele schade zitten de schattingen van de drie methode het dichtste bij elkaar in de buurt, zeker de DCL en CL-methode schatten nagenoeg dezelfde waardes. Dat de effecten zo dicht op elkaar liggen voor CL en DCL is niet verwonderlijk, de extra data komt van het aantal gemelde schades en de splitsing van de vertragingsfactoren, waarbij vertraging dat voor Materi¨ele schade maar rond de 20% ligt. Voor letselschade liggen de geschatte schadehoogtes wat verder uit elkaar, dit effect is wel toe te schrijven aan het feit dat er een extra staart is toegevoegd aan het model.
Alleen de BF-methode maakt veel hogere schattingen, dat komt omdat voor beide methode de beginvector te hoog was. Hoe meer polissen des te meer schade er wordt verwacht. Deze relatie is niet zo duidelijk bij letselschade, het beginjaar heeft duidelijk veel schade maar niet veel polissen lopen. Juist omdat de BF-methode gebruik maakt van de eerste waarneming en die extrapoleert op het aantal polissen wat er is, zal deze een flinke overschatting van de claims hebben en geeft in dit geval geen betrouwbaar resultaat.
Nu de resultaten van de verschillende methodes zichtbaar zijn in de grafieken (letsel:
4.5 en materieel: 4.6), kunnen we dit vergelijken met daadwerkelijke uitbetalingen. De dataset van 2005 tot en met 2009 bevat slechts vijf jaren, de andere methodes gebruiken een schatting van minimaal zeven jaar. De schattingen zijn naar verwachting hoger dan de gemeten waardes, omdat er datapunten missen. De getoonde gerealiseerde data bevat zowel de IBNR- als de RBNS-reserve. In de tabellen3.5en3.4staat de vergelijking van de modellen naar jaar van oorsprong. In de laatste twee rijen zijn de resultaten van de schattingen aangepast voor de jaren waarover geen gegevens zijn door de schattingen van hogere jaren te verwijderen.
De resultaten bij “5 jaar max” zijn de schattingen waar betalingen na vijf jaar per polisjaar niet zijn meegenomen. Bij de DCL methode zijn daardoor exact dezelfde da-tapunten vergeleken. De CL en BF methode hebben dan minder dada-tapunten en zouden naar verwachting lager moeten schatten dan de waargenomen waarden. De optie
“zon-Jaar DCL CL BF echt resultaat 1997 45249 0.0 0 161724 1998 247027 239864 245971 253674 1999 430721 434950 424060 654908 2000 711713 681544 641894 1099727 2001 1352976 1326666 1127168 1296333 2002 1665773 1644997 1814786 2111528 2003 2316645 2285620 2501877 1387881 2004 2504037 2464376 3492194 1782529 Totaal 9274140 9078018 10247951 8748304 5 jaar max 8337159 8214663 9146987 8748304 zonder staart 8910011 9078018 10247951 7682861
Tabel 3.4: Som rijen van jaar van oorsprong vergelijking van de verschillende resultaten BI
Jaar DCL CL BF echt resultaat
1997 453 0 0 0 1998 10541 10645 10570 38670 1999 35875 35997 32672 390 2000 59675 59657 601878 20467 2001 142902 142246 137943 19949 2002 231599 231514 237011 120654 2003 366293 366209 397374 259548 2004 2174442 2174266 2337104 1666243 Totaal 3021779 3020534 3212862 2125921 5 jaar max 2955463 2954955 3138884 2125921 geen staart 3016956 3020534 3212862 2103284
Tabel 3.5: Som rijen van jaar van oorsprong vergelijking van de verschillende resultaten MD
der staart” is de schatting waarbij het maximaal ontwikkeljaren gelijk is gesteld aan het aantal beschikbare jaren (het vierkant vol gemaakt). Daar verliezen de DCL en de geobserveerde waardes enkele datapunten, de CL en BF methode verliezen geen da-tapunten daar was al geen sprake van een staart. Met deze aanpassing gebruiken alle drie de schattingen evenveel datapunten, dat zijn er wel drie meer dan de waargenomen waardes.
Bij het bekijken van de tabellen (3.5en3.4) valt direct op dat geen van de schattingen de werkelijke schadehoogtes op adequate wijze heeft weten te schatten. Bij letselschade zijn de schattingen nog in de buurt, dat komt voornamelijk omdat de waardes overschat worden in het vierkant maar onderschat in de staart. Het verwijderen van de staart levert een grotere schok op in het echte resultaat dan de modellen voorspelden. Dit is mogelijk te verklaren doordat in de modellen geen claims met meerdere betalingen mogelijk zijn en dat bij letselschade wel vaker het geval is. Bij materi¨ele schade is de overschatting groter, dit is niet te verklaren door het feit dat er maar vijf toekomstjaren beschikbaar zijn. Bij materi¨ele schade zijn de schades nagenoeg allemaal al afgehandeld binnen vijf jaar, vandaar dat de aanpassingen weinig effect hebben.
Om dit grafisch weer te geven zijn de gegevens ook geplot in grafiek (3.5). De gevon-den totale reserve (puntschatting) voor letselschade (links) en materiaalschade (rechts) van de DCL, CL en de echte waarde staan daarin als verticale strepen. Op de achtergrond
DCL−Bootstrap Letsel Totale schade x1000 Frequency 7500 8000 8500 9000 9500 0 20 40 60 ● ● ● Waarn. CL DCL DCL−Bootstrap Materieel Totale schade x1000 Frequency 2500 3000 3500 0 10 20 30 40 ● ● ● Waarn. CL DCL
Figuur 3.5: DCL Bootstrap (Martinez DCL-pakket) zonder staart (max ontwikkeljaar = 8) met de waargenomen uitgaven (groen), de puntschatting van de CL-methode (geel) en de punt-schatting van de DCL-methode(rood)
is een frequentietabel zichtbaar, wat de verdeling is van de DCL-bootstrap. Dit is het re-sultaat van een bootstrap-simulatie methode, waar de residuen geresampled zijn om tot mogelijke waardes te komen. De grafieken zijn beide gemaakt met het DCL-bootstrap script (Mart´ınez-Miranda e.a., 2012) waar in deze scriptie geen code van beschikbaar is. Het aantal simulaties dat is uitgevoerd voor beide soorten schades is 1000. Om de ver-schillende schattingsmethodes te vergelijken is de staart niet meegenomen, hierdoor zijn de schattingen sowieso hoger. De DCL-bootstrap verdeling voorziet bij beide soorten schades niet dat de daadwerkelijke schades zo laag liggen. Voor materiaalschade gaan we het resultaat proberen te verklaren door de gegevens te analyseren.
In 4.7 in de bijlage staat de betalingsdriehoek van materi¨ele schade inclusief de ontwikkeling van 2004 tot en met 2009. Bij het analyseren van deze data is het te zien dat 2004 sterk afwijkt in ontwikkelingspatroon in vergelijking met de rest van de jaren. Daarnaast is het ongelukkig dat dit het laatste jaar is en alleen de schadehoogte van ontwikkeljaar 1 (hetzelfde jaar betaald) beschikbaar is. Dit laatste jaar is ook het jaar dat het minst ontwikkeld is en dus de meeste impact heeft op de reserve. In tabel 3.6
is er een vergelijking gemaakt met het jaar daarvoor, waar de procentuele verschillen in kaart zijn gebracht. Het aantal polissen is tussen 2003 en 2004 met 7,6% gestegen, het eerste ontwikkeljaar laat een stijging zien van 9,0%. Omdat dat ook het enige cijfer, dat via de geaggregeerde data van dat moment bekend was, deed dit eerder een slecht jaar vermoeden. De toekomstige jaren geven een ander beeld, er is namelijk een gewogen gemiddelde daling te zien van 29,6% ten opzichte van 2003. De combinatie van sterk afwijkende ontwikkeljaren, verhoogde startwaarde en met het feit dat het laatste jaar het zwaarst weegt op de reserve kon er met geaggregeerde gegevens sowieso geen goede schatting worden gemaakt. Ook een reserve bepaling op basis van het aantal polissen geeft een te hoge schatting.
Polissen Ontwikkeling claimhoogte Som
Jaar aantal dev1 dev2 dev3 dev4 dev5 dev6 dev(2-6)
2003 668107 6603091 1659748 145253 52340 28988 17780 1904109 2004 718563 7194587 1154449 87383 49871 38306 11437 1341446 verschil 7,6% 9,0% -30,4% -39,8% -4,7% 32,1% -35,7% -29,5%
Tabel 3.6: Verschil in ontwikkeling RBNS-claims tussen 2003 en 2004 voor materi¨ele schade. Waarbij de laatste kolom dev(2-6) de totale betalingen na het jaar van het ontstaan van de claim.
Conclusie
Mart´ınez-Miranda e.a. (2012) noemde De Double Chain Ladder een mijlpaal in de
scha-dereserveringen en zou een waardevolle uitbreiding zijn op het standaard Chain Ladder Model. De kwantitatieve resultaten van de Double Chain Ladder op basis van deze casestudy, geven daar geen uitsluitsel over. De methode gaf geen noemenswaardige ver-schillen met de andere methodes voor materi¨ele schade, omdat de kracht van het model juist ligt bij het vertragingseffect. Bij letselschade was er wel een duidelijk verschil, maar door de grote afwijking met de echte waardes is daar niet veel waarde aan te hechten. Vooral bij de dataset van materi¨ele schade was het laatste jaar een negatieve uitschieter. In vergelijking met het jaar was er een groei van 7,6% van de polissen en het enige gege-ven datapunt over het laatste jaar gaf een stijging van de schades van 9% aan. Door dit grote verschil was er geen ander resultaat mogelijk dan een zeer prudente reserveschat-ting. Een simulatiestudie, waar de schadegegevens worden gegenereerd, zou uitkomst kunnen bieden om een zuivere analyse te kunnen geven van de verklaringskracht van het DCL-model.
De methodologie van de DCL-methode is in ieder geval interessant en zou een toe-gevoegde waarde kunnen betekenen in de voorspelling van schadereserves. De extra pa-rameters die in het model zijn opgenomen geven extra informatie over de ontwikkeling van de claims. Mede door ontbinding van vertragingsfactoren kunnen ook de reserves gesplitst worden in een reserve voor reeds gemelde claims (RBNS) en een reserve van toekomstige claims (IBNR). In de praktijk komt het voor dat een ‘incurred claims’ ge-bruikt word om de RBNS-claims te schatten. De expert binnen het verzekeringsbedrijf maakt een schatting van de claimhoogte door inhoudelijk naar de binnengekomen claims te kijken. Door twee manieren te hebben om de RBNS te schatten ontstaat er een extra controlemoment voor de actuaris of de schattingen wel representatief zijn.
De methode heeft ook een paar tekortkomingen, die in de toekomst misschien opge-lost kunnen worden. De grootste aanname in het model, die niet de werkelijkheid goed beschrijft, is dat een claim maar ´e´en betalingstijdstip met ´e´en betalingshoogte heeft. Dit is onrealistisch, zoals ook in onze dataset naar voren komt hebben letselschades vaak meerdere betalingen. Een model op individuele basis zoals beschreven door Antonio en
Plat (2013) zou uitkomst kunnen bieden. Dit was in het verleden onbegonnen werk, maar
tegenwoordig hebben computers ontzettend veel rekenkracht en zijn de meeste polissen gedigitaliseerd. Tevens hebben zij op dezelfde dataset een beter resultaat gevonden dan het DCL-model.
A: Tabellen
Ontwikkelingsjaar uitbetalingsvertraging Jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 1997 4426765 992330 88952 13240 38622 26720 36818 10750 1998 4388958 984169 60162 35004 75768 23890 572 NA 1999 5280130 1239396 76122 110189 112895 11751 NA NA 2000 5445384 1164234 171583 16427 6451 NA NA NA 2001 5612138 1837950 155863 127146 NA NA NA NA 2002 6593299 1592418 74189 NA NA NA NA NA 2003 6603091 1659748 NA NA NA NA NA NA 2004 7194587 NA NA NA NA NA NA NATabel 4.1: Een bovendriehoek met uitbetaalde claims voor de materi¨ele schade van een aan-sprakelijkheidsverzekering tussen 1997 en 2004 Ontwikkelingsjaar meldingsvertraging Jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 1997 21848 897 8 2 2 6 0 0 1998 22145 815 14 5 4 0 0 NA 1999 24753 985 15 9 2 1 NA NA 2000 24990 1087 31 0 1 NA NA NA 2001 27024 1362 30 7 NA NA NA NA 2002 30950 1274 29 NA NA NA NA NA 2003 31722 1344 NA NA NA NA NA NA 2004 33474 NA NA NA NA NA NA NA
Tabel 4.2: Een bovendriehoek met gemelde claims voor de materi¨ele schade van een aanspra-kelijkheidsverzekering tussen 1997 en 2004
Ontwikkelingsjaar uitbetalingsvertraging Jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 1997 261240 614345 359247 526225 546227 137401 129535 338865 1998 202303 473225 307341 336221 268519 55922 178618 NA 1999 237619 568857 393213 270499 249177 285602 NA NA 2000 237013 556606 428973 496155 406118 NA NA NA 2001 388655 628156 528596 558910 NA NA NA NA 2002 259708 569780 533164 NA NA NA NA NA 2003 236365 743043 NA NA NA NA NA NA 2004 248165 NA NA NA NA NA NA NA
Tabel 4.3: Een bovendriehoek met uitbetaalde claims voor de letselschade van een aansprake-lijkheidsverzekering tussen 1997 en 2004 Ontwikkelingsjaar meldingsvertraging Jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 1997 545 41 4 0 3 6 0 0 1998 418 37 10 2 6 0 0 NA 1999 450 29 3 7 0 0 NA NA 2000 495 60 23 2 0 NA NA NA 2001 488 67 2 2 NA NA NA NA 2002 500 51 4 NA NA NA NA NA 2003 539 47 NA NA NA NA NA NA 2004 642 NA NA NA NA NA NA NA
Tabel 4.4: Een bovendriehoek met gemelde claims voor de letselschade van een aansprakelijk-heidsverzekering tussen 1997 en 2004
DCL CLM BF
Jaar RBNS IBNR Totaal Totaal Totaal
1 2625052 33338 2658390 2613084 2863566 2 2008430 81094 2089524 2050353 2267164 3 1563257 70452 1633709 1637529 1832372 4 1116222 75743 1191965 1186400 1328271 5 692055 71516 763571 727297 855613 6 505004 41349 546353 547817 653826 7 285997 34767 320763 315537 447138 8 0 45890 45890 NA NA 9 0 13604 13604 NA NA 10 0 6091 6091 NA NA 11 0 3173 3173 NA NA 12 0 1106 1106 NA NA 13 0 0 0 NA NA 14 0 0 0 NA NA Tot. 8796018 478122 9274140 9078018 10247951
Tabel 4.5: Resultaten voor de toekomstig te betalen schades voor letselschade (BI) waar de DCL is opgesplitst tussen RBNS en IBNR en verlengd is tot 14
DCL CLM BF
Jaar RBNS IBNR Totaal Totaal Totaal
1 1804564 312455 2117019 2116755 2256216 2 292055 72464 364519 364297 381360 3 228017 7626 235643 235718 248811 4 155444 5499 160944 160895 170041 5 72580 4758 77338 77290 82456 6 46177 1502 47678 47704 51390 7 16435 1382 17817 17876 19194 8 0 756 756 NA NA 9 0 44 44 NA NA 10 0 14 14 NA NA 11 0 6 6 NA NA 12 0 2 2 NA NA 13 0 0 0 NA NA 14 0 0 0 NA NA Tot. 2615272 406507 3021779 3020534 3209469
Tabel 4.6: Resultaten voor de toekomstig te betalen schades voor materi¨ele schade (MD) waar de DCL is opgesplitst tussen RBNS en IBNR en verlengd is tot 14
Jaar dev1 dev2 dev3 dev4 dev5 dev6 dev7 dev8 . . .
1997 4426765 992330 88952 13240 38622 26720 36818 10750 . . . 1998 4388958 984169 60162 35004 75768 23890 572 16481 . . . 1999 5280130 1239396 76122 110189 112895 11751 390 0 . . . 2000 5445384 1164234 171583 16427 6452 10416 36 10014 . . . 2001 5612138 1837950 155863 127146 12711 3478 350 2960 . . . 2002 6593299 1592418 74189 71112 17035 14539 9120 8847 . . . 2003 6603091 1659748 149708 52340 36733 17780 2987 . . . . 2004 7194587 1417395 109328 86319 41764 11437 . . . .
Tabel 4.7: RBNS plus IBNR reserve van materi¨ele schade, waarbij de lichtblauwe elementen de daadwerkelijke waardes zijn. De grafiek loopt nog door, omdat er voor ieder herkomstjaar vijf ontwikkeljaren zijn
Jaar dev1 dev2 dev3 dev4 dev5 dev6 dev7 dev8 . . .
1997 261240 614345 359247 526225 546227 137401 129535 338865 . . . 1998 202303 473225 307341 336221 268519 55922 178618 78124 . . . 1999 237619 568857 393213 270499 249177 285602 132109 96813 . . . 2000 237013 556606 428973 496155 406118 364968 247141 275271 . . . 2001 388655 628156 528596 558910 445835 375009 146507 239145 . . . 2002 259708 569780 533164 443737 131989 121889 332044 1081869 . . . 2003 236365 743043 558239 236507 216725 205145 171265 . . . . 2004 248165 793848 401072 235537 253590 98483 . . . .
Tabel 4.8: RBNS plus IBNR reserve van Letselschade, waarbij de lichtblauwe elementen de daadwerkelijke waardes zijn. De grafiek loopt nog door, omdat er voor ieder herkomstjaar vijf ontwikkeljaren zijn
B: R-Code
Listing 4.1: ”Chain Ladder formule in R met de Verbeek Algoritme”
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 # C h a i n L a d d e r op b a s i s van V e r b e e k A l g o r i t m e 3 # I n p u t : ’ B o v e n d r i e h o e k_Input ’ een n*n v i e r k a n t e m a t r i x 4 # w a a r b i j de b o v e n d r i e h o e k g e v u l d is met g e g e v e n s per p e r i o d e en g e e n c u m u l a t i e v e w a a r d e s . 5 # O u t p u t : een l i j s t met d r i e w a a r d e s : 6 # a l p h a : een v e c t o r ( g r o o t t e n ) met de c o f f i c i n t e n v o o r a l p h a 7 # b e t a : een v e c t o r ( g r o o t t e n ) met de c o f f i c i n t e n v o o r b e t a 8 # f i t s : een n*n m a t r i x met de v o o r s p e l d e w a a r d e s 9 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 10 11 C h a i n L a d d e r < - f u n c t i o n( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t ) { 12 n< - n r o w( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t )
13 # n = g r o o t t e van de matrix , het a a n t a l j a a r w a a r v a n g e g e v e n s b e s c h i k b a a r z i j n
14
15 a l p h a < - b e t a < - n u m e r i c( n )
16 # alpha , b e t a z i j n n u m e r i e k e v e c t o r e n
17
18 Cum_B e t a < - Cum_A l p h a < - 0
19 # Cum_Beta , Cum_A l p h a z i j n de c u m u l a t i e v e s o m m e n van de a l p h a en b e t a c o f f i c i n t e n als h u l p v a r i a b e l e
20 21 B o v e n d r i e h o e k_I n p u t [is.na( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t ) ]< -0; 22 # a l l e l e g e ( not a p p l i c a b l e ) w a a r d e s w o r d e n 0. 23 24 R o w s u m< -r o w S u m s ( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t ) ; C o l s u m< -c o l S u m s ( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t ) 25 # Rowsum , C o l s u m de h u i d i g e r e e d s b e k e n d e s o m m e n van r i j e n en k o l o m m e n 26 27 for( i in 1: n ) { 28 a l p h a [ i ] < - R o w s u m [ i ]/(1 - Cum_B e t a ) 29 Cum_A l p h a < - Cum_A l p h a + a l p h a [ i ] 30 b e t a[ n - i +1] < - C o l s u m [ n - i +1]/Cum_A l p h a 31 Cum_B e t a< - Cum_B e t a + b e t a[ n - i +1] 32 } 33 # V e r b e e k a l g o r i t m e z o a l s u i t g e l e g d is in het t h e o r e t i s c h k a d e r van de C h a i n L a d d e r M e t h o d e 34 35 f i t s < - a l p h a %* % t(b e t a) 36 # De g e s c h a t t e w a a r d e s v o o r op b a s i s van a l l e e n de a l p h a en b e t a co \" e f f i c i \" e n t e n . 37 38 r e t u r n(l i s t( a l p h a = alpha , b e t a=beta, f i t s = f i t s ) ) }
Listing 4.2: ”Bornhuetter Ferguson methode in R”
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 # B o r n h u e t t e r F e r g u s o n op b a s i s van V e r b e e k A l g o r i t m e 3 # ! a f h a n k e l i j k van de f u n c t i e C h a i n L a d d e r 4 # I n p u t : ’ B o v e n d r i e h o e k_Input ’ een n*n v i e r k a n t e m a t r i x 5 # w a a r b i j de b o v e n d r i e h o e k g e v u l d is met g e g e v e n s per p e r i o d e en g e e n c u m u l a t i e v e w a a r d e s . 6 # ’ E x p o s u r e ’ ( g r o o t t e n ) v e c t o r met de b i j b e h o r e n d e r i s i c o b l o o t s t e l l i n g 7 # O u t p u t : een l i j s t met d r i e w a a r d e s : 8 # a l p h a B F : een v e c t o r ( g r o o t t e n ) met de c o f f i c i n t e n v o o r a l p h a v o o r de BF m e t h o d e 9 # b e t a : een v e c t o r ( g r o o t t e n ) met de c o f f i c i n t e n v o o r b e t a
10 # f i t s B F : een n*n m a t r i x met de v o o r s p e l d e w a a r d e s f i t s van BF
11 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #
12
13 BF_CLM < - f u n c t i o n( B o v e n d r i e h o e k_Input , E x p o s u r e ) { 14 n< - n r o w( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t )
15 # n = g r o o t t e van de matrix , het a a n t a l j a a r w a a r v a n g e g e v e n s b e s c h i k b a a r z i j n
16 17 if( n ! = l e n g t h( E x p o s u r e ) ) { 18 S t o p (" G r o o t t e van de m a t r i x en v e c t o r m o e t e n g e l i j k z i j n ") } 19 # c o n t r o l e d o e n of d e z e van g e l i j k e g r o o t t e z i j n 20 21 CLM < - C h a i n L a d d e r ( B o v e n d r i e h o e k_I n p u t ) 22 # G e b r u i k m a k e n d van de C h a i n L a d d e r ( V e r b e e k A l g o r i t m e ) om de a l p h a en b e t a w a a r d e s te h e r l e i d e n 23 24 a l p h a B F < - CLM$a l p h a*E x p o s u r e/E x p o s u r e [1]
25 # De BF a a n p a s s i n g m a k e n op b a s i s van r e l a t i e v e g r o e i/k r i m p van de E x p o s u r e d o o r te d e l e n d o o r de e e r s t e e x p o s u r e . 26 27 f i t s B F < - a l p h a B F %* % t( CLM$ b e t a) 28 # De g e s c h a t t e w a a r d e s v o o r op b a s i s van a l l e e n de a l p h a en b e t a co \" e f f i c i \" e n t e n . 29 30 r e t u r n(l i s t( a l p h a B F = alphaBF , b e t a= CLM$ beta, f i t s B F = f i t s B F ) ) } Listing 4.3: ”RBNS Formule in R” 1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 # R B N S R e s e r v e u i t r e k e n e n , F o r m u l e 3 # I n p u t : Years , N_T r i a n g l e_Input , pj , mu , i n p u t 4 # O u t p u t : R B N S : M a t r i x ( m x 2*m -1) 5 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 7 R B N S < - m a t r i x(0 , Years , (2*Years -1) ) 8 # L e g e m a t r i x a a n m a k e n v o o r de o u t p u t 9 # g r o o t t e ( m x 2*m -1) om a l l e t o e k o m s t i g e j a r e n te h e b b e n 10 11 for( i in 1: Y e a r s ) { 12 # i is een i n d e x v o o r de L o o p van de b o e k j a r e n 13 # D e z e l o o p t v a n a f 1 tot het m a x i m a a l a a n t a l j a r e n 14
15 for( j in ( Years - i +2) : (2*Years -1) ) {
16 # j is de i n d e x v o o r de l o o p van de o n t w i k k e l i n g s j a r e n .
17 # D e z e l o o p t v a n a f de b e n e d e n d r i e h o e k d i a g o n a a l tot aan de l a a t s t m o g e l i j k e t o e k o m s t i g e u i t b e t a l i n g .
19 for( l in 1 : ( j -1) ) {
20 # l is de i n d e x v o o r de l o o p b e t a l i n g s v e r t r a g i n g
21 # die l o o p t van 1 tot het o n t w i k k e l i n g s j a a r - 1.
22
23 M a x P i< - min( l +1 , Y e a r s )
24 # M a x P i is de w a a r d e die a a n g e e f t wel e l e m e n t uit Pi m o e t g e h a a l d w o r d e n v o o r de v e r t r a g i n g s f a c t o r
25 # Als er de v e r t r a g i n g s f a c t o r g e b r u i k t m o e t w o r d e n v o o r een v e r t r a g i n g die wij n i e t h e b b e n
26 # w o r d t de v e r t r a g i n g s f a c t o r g e b r u i k t b e h o r e n d e aan het l a a t s t e j a a r .
27
28 if(( j - l ) <= Y e a r s ) {
29 # A l l e e n als het v e r s c h i l t u s s e n m e l d i n g ( j ) en v e r t r a g i n g s e f f e c t k l e i n e r is dan
30 # de m a x i m a l e m o g e l i j k e a f s t a n d b e s t a a t er een N 31 32 R B N S [ i , j ] < - R B N S [ i , j ] + N_T r i a n g l e_I n p u t [ i ,( j - l ) ]*pj [ M a x P i ]*mu*i n f l a t [ i ] 33 # De som f o r m u l e REF n a a r f o r m u l e 34 } 35 } 36 } 37 }
Listing 4.4: ”IBNR Formule in R”
1 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 2 # I B N R R e s e r v e u i t r e k e n e n , F o r m u l e 3 # I n p u t : Years , N_F i t t e d_CLM , pj , mu , i n p u t 4 # O u t p u t : I B N R : M a t r i x ( m x 2*m -1) 5 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # 6 7 I B N R < - m a t r i x(0 , Years , (2*Years -1) ) 8 # L e g e m a t r i x a a n m a k e n v o o r de o u t p u t 9 # g r o o t t e ( m x 2*m -1) om a l l e t o e k o m s t i g e j a r e n te h e b b e n 10 11 for( i in 1: Y e a r s ) { 12 # i is een i n d e x v o o r de L o o p van de b o e k j a r e n 13 # D e z e l o o p t v a n a f 1 tot het m a x i m a a l a a n t a l j a r e n 14 15 for( j in ( Y e a r s - i + 2) :(2*Years -1) ) { 16 # j is de i n d e x v o o r de l o o p van de o n t w i k k e l i n g s j a r e n . 17 # D e z e l o o p t v a n a f de b e n e d e n d r i e h o e k d i a g o n a a l tot aan de l a a t s t m o g e l i j k e t o e k o m s t i g e u i t b e t a l i n g . 18 19 for( l in 1:( j + i - Years -1) ) { 20 # l is de i n d e x v o o r de l o o p b e t a l i n g s v e r t r a g i n g
21 # die l o o p t van 1 tot het o n t w i k k e l i n g s j a a r - 1.
22
23 M a x P i< - min( l , Y e a r s )
24 # M a x P i is de w a a r d e die a a n g e e f t wel e l e m e n t uit Pi m o e t g e h a a l d w o r d e n v o o r de v e r t r a g i n g s f a c t o r
25 # Als er de v e r t r a g i n g s f a c t o r g e b r u i k t m o e t w o r d e n v o o r een v e r t r a g i n g die wij n i e t h e b b e n
26 # w o r d t de v e r t r a g i n g s f a c t o r g e b r u i k t b e h o r e n d e aan het l a a t s t e j a a r . 27 28 if( ( j - l +1) <= Y e a r s ) { 29 I B N R [ i , j ] < - I B N R [ i , j ] + N_F i t t e d_CLM [ i ,( j - l +1) ]*pj [ M a x P i ]*mu*i n f l a t [ i ] 30 # De som f o r m u l e REF n a a r f o r m u l e 31 } 32 } 33 } 34 }
Antonio, K. en R. Plat (2013).
”Micro-level stochastic loss reserving for general insu-rance”. In: Scandinavian Actuarial Journal. doi: 10.1080/03461238.2012.755938. Kaas, R. e.a. (2008). Modern Actuarial Risk Theory—Using R. 2nd edition. Springer. Mart´ınez-Miranda, M.D, J.P Nielsen en R. Verrall (2012).
”Double Chain Ladder”. In: Astin Bulletin 42 (1), p. 59–76.
Renshaw, A. (1989).
”Chain Ladder and Interactive Modelling.” In: Journal of the Institute of Actuaries 116, p. 559–587.
Verbeek, H.G. (1972).
”An approach to the analysis of claims experience in motor lia-bility excess of loss reinsurance”. In: Astin Bulletin 6 (3), p. 195–202.
Verrall, R., J.P. Nielsen en A. Jessen (2010).
”Prediction of RBNS and IBNR Claims Using Claim Amounts and Claim Counts”. In: Astin Bulletin 40 (2), p. 871–887.
