Hyperbolische automorfismen op de torus
Sietse van der Pal, Stephen Adei
7 juli 2020
Projectverslag Wiskunde jaar 2 Begeleiding: prof. dr. Ale-Jan Homburg
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Inhoudsopgave
1. Inleiding 3 2. Automorfisme 4 3. Pointcar´e recurrentiestelling 6 4. Topologisch verweven 8 5. Resultaten 9 6. Discussie 12 7. Conclusie 13 Bibliografie 14 Populaire samenvatting 15 A. Appendix 161. Inleiding
Met dit project gaan we ons bezig houden met het vakgebied dynamische systemen. Hiervoor hadden wij beiden nog geen ervaring in dit vakgebied. Ondanks dat waren we erg ge¨ıntereseerd in dit onderwerp. Dit project gaat over de Pointcar´e recurrentie stelling.
Henri Poincar´e was gedurende de 19e eeuw een Franse wiskundige en filosoof van de wetenschap. Hij hield zich veelal bezig met dynamische systemen waardoor zijn werk ook zijn vruchten afwerpt in velden buiten de wiskunde om zoals de natuurkunde en de astronomie.
In 1890 kwam hij met de Poincarr´e recurrentie stelling, die zegt dat een systeem na een lang genoeg maar eindige tijd terug zal keren naar een staat die dichtbij de beginstatus ligt. Deze stelling kun je toepassen op de torus door middel van hyperbolische automor-fismen. Kort gezegd is een hyperbolisch automorfisme een afbeelding die in ons geval een torus naar zichzelf stuurt en zo telkens een vervorming geeft van de oorspronkelijke torus. Dit is het best te illustreren aan de hand van een afbeelding op een torus.
Een torus is te beschouwen als een rechthoekig vlak, waarbij tegenoverliggende zijdes in elkaar overlopen. Wij bekijken de vierkante torus T2. Die kan je beschouwen als het vlak [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 waar de equivalentie relaties (0, y) ∼ (1, y)∀y ∈ [0, 1] en (x, 0) ∼ (x, 1)∀x ∈ [0, 1] op werken. Wanneer we een afbeelding hebben op de torus kunnen we een hyperbolisch automorfismen loslaten op deze afbeelding. Het automorfisme geeft dus telkens een nieuwe vervorming van de originele afbeelding. Volgens de Poincarr´e recurrentie stelling zouden we na een eindig maal toepassen van deze afbeelding de originele afbeelding (of iets wat daar dicht bij komt) terug moeten krijgen.
Een formele vorm van de stelling luidt: De verzameling van recurrente punten van een volumebehoudend homeomorfisme over de torus is compact in de torus. Deze stelling gaan we later bewijzen in dit project.
Het leek ons interesant om in dit onderzoek op zoek te gaan naar patronen tussen tori en hyperbolische automorfismen. Om dit te doen bekijken we hyperbolische auto-morfismen en wat eigenschappen van dergelijke afbeeldingen. Daarna zetten we uiteen wat de recurentiestelling van Poincar´e precies inhoud en leveren we hiervoor de nodige bewijzen. Verder moeten we even stilstaan bij het feit dat er een wezenlijk verschil is tussen de torus T2en de discretisatie ervan. Vervolgens onderzoeken we hoeveel iteraties een discrete afbeelding nodig heeft om te voldoen aan de recurrentie stelling. Dit doen we met behulp van Python.
2. Automorfisme
Eerst zetten we uiteen hoe een hyperbolisch automorfisme op de torus word geconstru-eerd. Hier moeten we eerst een aantal dingen voor defini¨eren.
Definitie 1 (Hyperbolisch matrix). Zij A een n × n matrix met gehele elementen en | det(A)| = 1. Zij λ1, . . . , λn de bijbehorende eigenwaarden. Als de modulus van alle
eigenwaarden ongelijk is aan 1 noemen we A hyperbolisch. Neem nu een hyperbolisch 2 × 2 matrix
A =a b c d
.
Het karakteristieke polynoom van dit matrix is
pA(λ) = a − λ b c d − λ = λ2− (a + d)λ + ad − bc = λ2− sp(A) + det(A).
Met behulp van de definitie krijgen we dat
pA(λ) = λ2− sp(A) ± 1.
Dit betekent voor de eigenwaarden λ1, λ2 dat
λ1= sp(A) +psp(A)2∓ 4 2 en λ2 = sp(A) −psp(A)2∓ 4 2 .
Merk op dat det(A) = λ1λ2. Omdat | det(A)| = 1 volgt dus ook dat
|λ1| = 1 |λ2|.
We kunnen dus zonder verlies van algemeenheid aannemen dat 0 < |λ1| < 1 < |λ2|.
Uit het feit dat | det(A)| = 1 volgt voor inverse matrix A−1 dat | det(A−1)| = 1, waaruit volgt dat A−1 ook gehele elementen heeft en evenzo hyperbolisch is.
Definitie 2 (Hyperbolisch automorfisme op de torus). Zij A een hyperbolisch n × n matrix. Dan induceert A een afbeelding op Tn = Rn/Zn, de n-torus. Deze afbeelding schrijven we als fA, met
fA(x) = A1x(mod1), . . . , Anx(mod1) en A = A1 · · · An .
Zo een afbeelding noemen we een hyperbolisch automorfisme op de torus
Voor de rest van het project/verslag zullen we naar hyperboische automorfismen op de torus verwijzen als simpelweg automorfismen. Uit deze definitie volgt dat A een automorfisme induceert op T2,
φ : T2 → T2.
Ook induceert de inverse A−1 een automorfisme dat de inverse is van φ, dus φ is een homeomorfisme.
Zij φ een automorfisme zoals eerder beschreven. Merk op dat het matrix A dat φ induceert het vlak R2 opspant. Echter volgt uit de definitie van φ dat alle punten zich in equivalentieklassen bevinden, namelijk die van de co¨ordinaten mod Z2. Een punt in (a, b) in T2defini¨eren we dus aan de hand van zijn equivalentieklasse [(a, b)]. Nu kunnen we defineren wat recurentie betekent voor een automorfisme.
3. Pointcar´
e recurrentiestelling
We gaan de recurrentiestelling van Poincarr´e bewijzen. Daarvoor moeten we eerst re-currentie defini¨eren.
Definitie 3. Een punt a ∈ A heet recurrent voor een functie f als er voor elke omgeving U ⊆ A om a een k > 0 bestaat zodat fk(a) ∈ U .
In de recurrentiestelling wordt als functie f een hyperbolische automorfisme van de torus gebruikt. De recurrentie stelling van Poincar´e luidt zo:
Stelling 1. De verzameling van recurrente punten van een hyperbolische automorfisme van de torus is dicht in de torus.
Hiermee bedoelen we met dicht dat een verzameling A ⊂ X dicht is in X precies als ¯
A = X, waarbij ¯A de afsluiting van A is.
Om deze stelling te kunnen bewijzen definie¨eren we eerst 1/n-recurrente punten. Definitie 4. Een punt a is 1/n-recurrent als er een k ∈ Z bestaat zodat de afstand in de torus tussen a en fk(a) strikt kleiner is dan 1
n.
Laat Rn de verzameling zijn van alle 1/n-recurrente punten. Rn is open voor elke n.
De doorsnede van alle Rn is de verzameling van recurrente punten in de torus T2.
Stelling 2. Voor alle n > 0 geldt dat Rn⊂ T2 een dichte verzameling is in de torus.
Bewijs. Laat Ω ⊂ T2 een open bol met straal strikt kleiner dan 2n1 . En laat daar een hyperbolische afbeelding fk(Ω) op los. Voor elke k > 0 geldt dat fk(Ω) een open verzameling is even groot als Ω, want f is bijectief. Omdat de torus eindig is geldt verder dat na een eindig aantal iteraties k de verzamelingen fk(Ω) overlappen. Er bestaan dus een k1 en k2 met 0 < k1< k2 zodat fk1(Ω) ∩ fk2(Ω) 6= ∅. Als we k = k2− k1 nemen zien
we dat Ω ∩ fk(Ω) 6= ∅. Maar dat betekend dat elk punt in Ω ∩ fk(Ω) een 1/n-recurrent punt is. Dus voor elke open bol Ω bestaat er minstens ´e´en 1/n-recurrent punt. Daaruit concluderen we dat elke Rn een dichte verzameling is.
We willen nu dat dit resultaat ook voor de verzameling van alle recurrente punten geldt. Daarvoor defini¨eren we eerst een Baire ruimte.
Definitie 5. Een Baire ruimte is een topologische ruimte waarbij voor elke aftelbare collectie van dichte open verzamelingen {Uα} geldt dat hun doorsnede T Uα wederom
dicht is.
Het bewijs van deze stelling is bekend en zullen we hier niet bespreken, omdat dit niet belangrijk is voor het vervolg van ons project.
We hebben nu wel genoeg informatie om de recurrentie stelling van Pointcar´e te kun-nen bewijzen. De doorsnede T Rn is namelijk de volledige verzameling van recurrente
punten. Voor elke n > 0 is Rn open en de collectie {Rn} is aftelbaar. Omdat de torus
een Baire ruimte is betekend het dus dat T Rn een dichte verzameling is. Hiermee is
stelling 1 bewezen.
In ons project willen we kijken naar hyperbolische automorfismen op de torus. We gaan onderzoeken in hoeveel iteraties een afbeelding toegepast op het automorfisme terug keert naar een status dat lijkt op de orginele afbeelding. Volgens de Pointcar´e rucurentie stelling geldt het altijd dat een afbeelding toegepast op een hyperbolisch automorfisme na een eindig aantal iteraties terug keert naar een status die dicht licht op de orginele afbeelding. Dit komt omdat de verzameling van recurrente punten; de punten die na een eindig aantal iteraties op dezelfde plek terecht komen, dicht is in detorus. Oftewel de nieuwe afbeelding bestaat voornamelijk uit recurrente punten. Dus de afbeelding zou erg lijken op het orgineel.
Toch blijkt dat recurentie op T2 niet een gegeven te zijn. Sterker nog, recurentie doet
4. Topologisch verweven
Voor ons onderzoek moesten we hoe dan ook automorfismen discretiseren omdat het programmeren anders haast niet te doen is. Het blijkt echter zelfs dat dit discretiseren een meer doet dan slechts het vereenvoudigen van ons vraagstuk. Door het discretiseren van de afbeelding is de dynamica van het gediscretiseerde automorfisme anders is dan die van het continue geval. Zoals we eerder hebben gevonden heeft een hyperbolisch 2×2 matrix een eigenwaarde met modulus strikt groter dan 1, ofwel |λ2| > 1. De seperatrix
die hierbij hoort is dus instabiel [nova artikel referentie]. Zij Wu de projectie van deze onstabiele seperatrix op T2. Dan volgt dat de snijpunten van Wu met de cirkel
{[(x1, x2)]|x2 = 0} ⊂ T2 gegeven worden kα1 α2 , 0 |k ∈ Z ,
waarbij (α1, alpha2) een eigenvector is voor eigenwaarde λ2.
Propositie 4 (hypbolische automorfismen hebben een dichte seperatrix). Het ratio α1: α2
is irrationaal en ¯Wu = T2.
Broer en Takens (2010) hebben voor Arnold’s cat map, waar zij naar refereren als de Thom Map, bewijzen gegeven voor deze propositie. Zij maken hier en daar gebruik van het feit dat voor Arnod’s cat map symetrisch is met een determinant die gelijk is aan 1 en dat daarom de eigenwaarden re¨eel zijn. Deze bewijzen zijn envoudig te extrapoleren naar hyperbolische automorfismen in het algemeen.
Definitie 6 (Topologisch verweven). We noemen een afbeelding f : M → M topologisch verweven als voor alle niet-lege open U, V ∈ M er een n0 ∈ N bestaat zo dat voor alle
n > n0 geldt dat
fn(U ) ∩ V 6= ∅.
Propositie 5 (Hyperbolische automorfismen zijn topologisch verweven). Een hyperbo-lisch automorfisme op de torus φ : T2→ T2 is topologisch verweven.
Het bewijs van de propositie voor Arnold’s cat map wordt wederom gegeven in het hiervoor benoemde artikel.
We zien dus dat er op de torus dus eigenlijk helemaal geen sprake kan zijn van recur-rentie. De recurrentie kan zich alleen voordoen als de torus gediscretiseerd wordt. Dit is een belangerijk punt omdat dit betekent dat als we kijken naar de limiet ten opzichte van de discretisatie we eigenlijk geen recurente afbeelding krijgen, terwijl we die wel hebben onder elke discretisatie.
5. Resultaten
Voor we onze resultaten delen is het belangerijk om eerst wat dingen goed op een rijtje te hebben. Allereerst hebben we het vanaf nu uitsluitend over gediscretiseerde afbeeldingen. Dit betekent grofweg dat we de afbeelding mod N nemen voor zeker N ∈ N. Ook gebruik ik periode en orde verwisslebaar. Zij φ een hyperbolisch automorfisme. Dan is het enige fixpunt van T2 het punt [(0,0)]. De overige punten itereren zich in groepen of banen over een bepaalde periode. Voor deze punten geldt het volgende lemma.
Lemma 6. Zij φ een gediscretiseerd hyperbolisch automorfisme geinduceerd door A. Zij [(a, b)], [(c, d)] ∈ T2 met [(0, 0)] 6= [(a, b)]. Als er een n ∈ N bestaat zo dat φn([(a, b)]) =
[(c, d)], dan hebben [(a,b)] en [(c,d)] dezelfde periode.
Hierbij defini¨eren we de n-de itereatie van φ op [(a, b)] als φn([(a, b)]).
Bij een discretisatie van een automorfisme nemen we het automorfisme mod N voor zekere N ∈ Z>1. De punten op T2 zijn dan ook de gehele punten mod N . Als het
ware nemen we het vierkant [0, N ]2 met alle gehele coordinaten/punten en schalen we alles naar beneden door door een factor N te delen. Bijvoorbeeld voor N = 4 komt het punt [(3, 2)] in [(0, N )]2 overeen met [(34,24)] = [(34,12)] in T2. Ghys (1994) kwam met de volgende stelling.
Stelling 7. De orde van een element van de groep SLn(Z/N Z) is maximaal 3N .
Merk op dat voor A ∈ SLn(Z/N Z) geldt det(A) = 1. Een hyperbolisch automorfisme
kan echter ook geinduceerd worden door een matrix B met det(B) = −1. Omdat het kwadraat van zo een matrix wel weer determinant 1 heeft volgt dat de bovengrens voor de orde van matrices met determinant -1 gelijk is aan 6N . Dit is een natuurlijk resultaat gezien het feit dat matrices met negatieve determinanten de orientatie omkeren. Hierdoor zal er altijd een even aantal iteraties nodig zijn om terug bij de oorspronkelijk torusafbeelding te eindigen.
Eerder werd vermeld dat naast de oorsprong alle overige punten zich in groepen ite-reren over de torus. We illustite-reren dit aan de hand van een voorbeeld.
Voorbeeld 8. Zij N = 4, A =0 1 1 1
en φ de afbeelding geinduceerd door A. Merk op dat det(A) = −1, dus volgens onze stelling moet de periode van φ kleiner of gelijk zijn aan 24. Evident volgt dat φ([(0, 0)]) = [(0, 0)]. Als we nu [(1, 0)] ∈ T2 nemen en kijken wat er gebeurt na elke iteratie van φ vinden we het volgende.
[(1, 0)] 7→ [(0, 1)] 7→ [(1, 1)] 7→ [(1, 2)] 7→ [(2, 3)] 7→ [(3, 1)] 7→ [(1, 0)].
Deze punten hebben dus periode 6. Nemen we nu een punt dat zich niet in deze keten bevind, bijvoorbeeld [(2, 0)], dan vinden we
Deze punten hebben periode 3. We zijn nog steeds niet alle punten tegen gekomen dus we nemen weer een punt dat we nog niet eerder hebben gezien, bijvoorbeeld [(3, 0)] en herhalen het proces,
[(3, 0)] 7→ [(0, 3)] 7→ [(3, 3)] 7→ [(3, 2)] 7→ [(2, 1)] 7→ [(1, 3)] 7→ [(3, 0)].
De periode van deze keten is ook 6. De periode van φ is dan de kleinst gemene veelvoud van al deze periodes. Dus de periode van φ voor N=4 is 6.
Uit dit voorbeeld vallen gelijk een aantal dingen op. Ten eerste dat de periode voor N = 4 aanzienlijk lager is dan 6N = 24. Ook valt op dat de 15 elementen die zich permuteren als een element van de permutatiegroep S15. In het algemeen geldt dat
permutatie die hoort bij een hyperbolisch automorfisme gelijk is aan een element van SN −1, waarbij N wederom de discretisatie bepaalt.
Voor ons onderzoek hebben we de volgende matrices bestudeerd,
A =0 1 1 1 , B =2 1 1 1 , C =5 7 3 4 , D =9 5 7 4 .
Het is eenvoudig na te gaan dat al deze matrices hyerbolische automorfismen induce-ren. Merk wel op dat det(B) = det(D) = 1 en det(A) = det(C) = −1. We hebben eerst voor 2 ≤ N ≤ 100 geplot hoe de periodes eruit zien
We gaan eerst de eerste resultaten bespreken die we hebben gekregen uit onze code. Voor matrix A kregen we het volgende plot.
Dit plot voldoet aan onze verwachtingen. Het aantal iteraties gaat met de verfijning van de discretisatie omhoog maar overschrijdt de bovengrens van 6N nooit. We hebben dit experiment herhaalt voor matrices B, C en D. Ook daar zien we een vergelijkbaar patroon ontstaan. De grafieken voor de overige matrices staan in de appendix. Om na te gaan of de bovengrens word gehanteerd doen we hetzelfde expriment, maar dan
voor 2 ≤ N ≤ 200 waarbij we dan ook de bovengrens programmeren. Dit geeft ons het volgende plot.
We vinden dat een enkele keer de bovengrens van 6N wordt bereikt, bij N ∈ {10, 50}, maar nooit wordt overschreden. Voor matrices B, C en D staan de plots in de appendix.
6. Discussie
Als we kijken naar de plots valt het gelijk op hoe vergelijkbaar de resultaten zijn. Het klopt inderdaad dat matrices met determinant -1 over het algemeen langer nodig hebben dan die met determinant 1. Opvallend is wel dat voor alle vier de matrices bij een discretisatie van 10 × 10 en 50 × 50 de bovengrens bereiken. Ik weet niet zeker of dit toeval is of of er iets wiskundigs achter zit. Daarvoor zou ik dit experiment met nog meer matrices moeten uitvoeren.
Ook is het interessant hoe de periode vrij laag blijft, ook wanneer de discretisatie zich wat meer verfijnt. Bij een gediscretiseerde 100 × 100 torus zijn er 9999 punten die zich itereren over de torus. Neem nu bijvoorbeeld het volgende matrix
9 5 7 4
.
De periode bij een discretisatie van 100 × 100 is dan slechts 150. Dit is uitzonderlijk laag. Kijkende naar de plots voor de verschillende matrices lijkt het ook niet onwaarschijnlijk dat er een N ∈ N bestaat zo dat de boven grens wellicht nog kleiner is dan 3N .
Ons experiment leidt tot het vermoeden dat een gediscretiseerd hyperbolisch automor-fisme mod N altijd een eindige periode heeft, die een stuk kleiner is dan je zou denken (bij grote N ). Het is echter wel zo dat we door de discretisatie eigenlijk alleen rationale punten itereren. We weten dat T2 zich heel anders gedraagt. Dit komt waarschijnlijk
door hoe automorfisme werken op irrationele punten.
Het programma dat we hebben gebruikt voor het onderzoek is vrij eenvoudig maar toch krachtig. Zie de appendix voor de volledige code. Het Python grid werkt iets anders dan we gewend zijn, het punt (0, 0) zit daar in de linkerbovenhoek. Hierdoor moet het y-co¨ordinaat worden gespiegeld.
Voor een vervolgonderzoek is het een idee om de code uit te breiden zo dat hij uit zichzelf automorfismen genereert om de recurentie/periode/orde te bepalen. Hier en daar kan de code ook nog wel wat efficienter want voor grote N duurt het toch wel lang voor er iets gevonden word.
7. Conclusie
De conclusie ligt hier erg voor de hand. Er word duidelijk voldaan aan de recurentiestel-ling van Poincar´e. In de stelling word geen indicatie gegeven over het aantal iteratities dat nodig is om de recurentie te volbrengen en dat hebben we uitgebreid kunnen on-derzoeken. We hebben met ons onderzoek echter gevonden dat dit getal relatief laag is, vooral voor een fijnere discretisatie. Het voelt alsof er nog meer te winnen valt wat betreft onderzoek op dit gebied. Dit was in ieder geval een stap in de juiste richting.
Bibliografie
[1] Broer, Henk, and Floris Takens. ”Dynamical systems and chaos. Vol. 172.” Springer Science & Business Media (2010): 109-112
[2] Ghys, ´E. (1994). ”Variations autour du th´eoreme de r´ecurrence de Poincar´e.” J. de maths des ´eleves (l’ENS de Lyon), 1, 3-12.
Populaire samenvatting
In dit project hebben we onderzoek gedaan naar hyperbolische automorfismen op de torus. Dat is een functie die een vierkante afbeelding stuurt naar een andere afbeelding van het zelfde formaat. Door meerdere automorfismen van deze soort toe te passen op een afbeelding komt uiteindelijk weer dezelfde afbeelding uit
A. Appendix
Hier in de appendix laten we nog een aantal grafieken zien. De eerste drie volgende grafieken zijn de resultaten voor de matrix die daarboven genoemd staat. Dit laat de spreiding zien van de periode voor afbeeldingen met een afmeting tussen de nul en honderd. De volgende grafieken zijn voor dezelfde matrices, maar met afmetingen tot 200. Ook zijn daar de bovengrenzen aangegeven. Daaronder staat de Python code die we hebben gebruikt.
from PIL import Image from numpy import random from t a b u l a t e import t a b u l a t e from m a t p l o t l i b import p y p l o t a s p l t import p i c k l e #M= 0 , 1 , 1 , 1 #M= 2 , 1 , 1 , 1 #M= 5 , 7 , 3 , 4 M= 9 , 5 , 7 , 4 def r e c u r e n t i e (M, k o p i e , o r i g i n e e l , d i m e n s i e ) : f o r k in range ( d i m e n s i e ) : f o r l in reversed ( range ( d i m e n s i e ) ) : x = (M[ 0 ] ∗ k+M[ 1 ] ∗ ( l ))% d i m e n s i e y = (M[ 2 ] ∗ k+M[ 3 ] ∗ ( l ))% d i m e n s i e k o p i e [ x , y ] = o r i g i n e e l . g e t p i x e l ( ( k , l ) ) def randImage ( s i z e ) : i m a r r a y = random . rand ( s i z e , s i z e , 3 ) ∗ 255 p l a a t j e = Image . f r o m a r r a y ( i m a r r a y . a s t y p e ( ’ u i n t 8 ’ ) ) . c o n v e r t ( ’RGB ’ ) return p l a a t j e r e s u l t a t e n = [ ] f o r d i m e n s i e in range ( 2 , 1 0 1 ) : p l a a t j e = randImage ( d i m e n s i e ) k o p i e 1 = p l a a t j e . copy ( ) p i x e l s 1 = k o p i e 1 . l o a d ( ) t e l l e r = 0 while True : t e l l e r +=1 k o p i e 2=k o p i e 1 . copy ( ) p i x e l s 2 = k o p i e 2 . l o a d ( ) r e c u r e n t i e (M, p i x e l s 2 , k o p i e 1 , d i m e n s i e ) k o p i e 1=k o p i e 2 . copy ( ) i f l i s t ( p l a a t j e . g e t d a t a ())== l i s t ( k o p i e 1 . g e t d a t a ( ) ) : break i f t e l l e r >= 9 9 9 9 : break
r e s u l t a t e n . append ( [ d i m e n s i e , t e l l e r ] ) matrixnaam =s t r (M[ 0 ] ) + ’ ’+s t r (M[ 1 ] ) + ’ ’+s t r (M[ 2 ] ) + ’ ’+s t r (M[ 3 ] ) t i t l e = ’ r e s ’+matrixnaam print ( t i t l e , ’ \n ’ ) print ( t a b u l a t e ( r e s u l t a t e n , h e a d e r s = [ ’ d i m e n s i e ’ , ’ a a n t a l i t e r a t i e s ’ ] ) ) w i t h open ( t i t l e , ’wb ’ ) a s f : p i c k l e . dump( r e s u l t a t e n , f ) r e s x = [ i [ 0 ] f o r i in r e s u l t a t e n ] r e s y = [ i [ 1 ] f o r i in r e s u l t a t e n ] p l t . p l o t ( r e s x , r e s y , ’ o ’ , r e s x , [ i ∗6 f o r i in r e s x ] , ’ b− ’ , r e s x , [ i ∗3 f o r i in r e s x ] , ’ r− ’ ) p l t . y l a b e l ( ’ p e r i o d e ’ ) p l t . x l a b e l ( ’ a f m e t i n g d i s c r e t i s a t i e ’ ) p l t . t i t l e ( ’ P l o t v o o r m a t r i x ’+matrixnaam ) p l t . s a v e f i g ( t i t l e ) p l t . show ( )
