Haakjes Herleiden

Herleiden » Haakjes wegwerken

In een formule staan soms haakjes. Deze haakjes kun je wegwerken.

Als je een formule moet herleiden, moet je altijd haakjes wegwerken als die er in staan. Het wegwerken van haakjes kan op drie manieren:

Methode 1. Rechthoekmethode Methode 2. Papegaaienbekmethode Methode 3. Vermenigvuldigingtabel

Methode 1 levert tevens het bewijs dat beide formules gelijk zijn. Handig is uiteraard om te weten dat de keer weggelaten mag worden. Dus 5a betekent 5 × a en 4(3 + a) betekent 4 × (3 + a)

Enkele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = 2(p + 8) zonder haakjes schrijven.

Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van 2 en een breedte van p + 8.

De oppervlakte van deze rechthoek is 2 × p + 2 × 8 = 2p + 16. Dus: q = 2(p + 8) = 2p + 16.

Je kan ook zien dat in de rechthoek het linkervakje een oppervlakte heeft van 2p en het rechtervakje van 2 × 8 = 16. Samen q = 2p+ 16.

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is de snelste van alle drie. Je weet dat je de factor die voor (of achter) de haakjes moet vermenigvuldigen met de termen tussen de haakjes.

Als hulp kan je pijlen (of lijen) tekenen van de factor naar de termen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen. Als je dit helemaal doorheb, dan hoef je de pijlen niet meer te tekenen.

Pijl 1 geeft 3 × 2a = 6a Pijl 2 geeft 3 × 4 = 12

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigingtabel.

De factor komt in de eerste kolom te staan en de termen in de bovenste rij. Dan ga je de factor vermenigvuldigen met de termen.

Voorbeeld

Herleid b = 5a(2a + 4)

× 2a 4 5a 10a2 _20a

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit. Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.

In dit geval dus b = 10a2 _{+ 20a}

Voorbeelden enkele haakjes: b = 3a(5a + 3) = 15a2 _{+ 9} b = 3a(5a – 3) = 15a2 _{– 9} b = 3a(–5a + 3) = –15a2 _{+ 9} b = 3a(–5a – 3) = –15a2 _{– 9} b = –3a(5a + 3) = –15a2 _{– 9} b = –3a(5a – 3) = –15a2 _{+ 9} b = –3a(–5a + 3) = 15a2 _{– 9} b = –3a(–5a – 3) = 15a2 _{+ 9} Let op: b = –(5a – 3) = –5a + 3 b = (4a – 7)3 = 12a – 21 b = (4a – 7) + 3 = 4a – 7 + 3 = 4a – 4

Voorbeeld voor gevorderden (onder elkaar uitgewerkt): –2a(b – 3c) – 5c(a + 2b) =

–2ab + 6ac – (5ac + 10bc) = –2ab + 6ac – 5ac – 10bc = –2ab + ac – 10bc

Dubbele haakjes

Methode 1: Rechthoekmethode

Stel je wilt de formule q = (p + 3)(p + 8) zonder haakjes schrijven.

Dan kun je dat doen door je een rechthoek voor te stellen met een hoogte van p + 3 en een breedte van p + 8.

De oppervlakte van de hele rechthoek is dan: q = p2 _{+ 8p + 3p + 24 = p}2 _{+ 11p + 24.}

Methode 2: Papegaaienbekmethode

De papagaaienbekmethode is weer de snelste van alle drie. Je zorgt dat je iedere term tussen de eerste haakjes een keer vermenigvuldigt met elke termen tussen de tweede haakjes.

Als hulp kan je weer de pijlen (of lijnen) tekenen. Langs die pijlen ga je dan vermenigvuldigen.

Pijl 1 geeft 4a × 2a = 8a2

Pijl 2 geeft 4a × –7 = –28a Pijl 3 geeft 3 × 2a = 6a Pijl 4 geeft 3 × –7 = –21

Deze tel je alle vier op en dan krijg je: 8a2 _{– 28a + 6a – 21 = 8a}2 _{– 22a – 21}

Methode 3: Vermenigvuldigingtabel

De opgave zet je met deze methode in een vermenigvuldigingtabel.

De twee termen van de eerste factor komen onder elkaar in de eerste kolom te staan en de termen van de tweede factor naast elkaar in de bovenste rij.

Voorbeeld

Herleid b = (3 + 5a)(2a – 4)

× 2a –4 3 6a –12

5a 10a2 _–20a

De groene tekst vul je in aan de hand van de gegeven formule. Het rode reken je uit. Het antwoord is dan de rode vakjes opgeteld.

In dit geval dus b = 6a + –12 + 10a2 _{+ –20a = 10a}2 _{– 14a – 12.}

aak de oefeningen op volgende de pagina en controleer het antwoord door voor de variabelen a, b etcetera makkelijke getallen te nemen.

Voorbeelden dubbele haakjes: Controleer bij elk van onderstaande opgaven of de uitwerking correct is. Probeer het eerst zelf en kijk dan pas naar de uitwerking eronder ! : (2a + 3)(4a + 3) = 8a2 _{+ 6a + 12a + 9 =} (3a + 2)(5a – 3) = 15a2 _{– 9a + 10a – 6 =} (5a – 7)(4a – 6) = 20a2 _{– 30a – 28a + 42 =}

8a2 _{+ 18a + 9 15a}2 _{+ a – 6 20a}2 _{– 58a + 42} 5(3a + 5)(2a + 3) = 5(6a2 _{+ 9a + 10a + 15) =} 5(6a2 _{+ 19a + 15) =} 30a2 _{+ 95a + 75} –(2a + 4)(5a – 3) = –(10a2 _{– 6a + 20a – 12 =} –(10a2 _{+ 14a – 12) =} –10a2 _{– 14a + 12} (3a – 4a2_{)(5a – 3) =}

15a2 _{– 9a – 20a}3 _{+ 12a}2 ₌

–20a3 _{+ 27a – 9a}

(5a + 3b)(2a – 7b) = 10a2 _{– 35ab + 6ab – 21b}2 ₌

10a2 _{– 29ab – 21b}2

(3a2_{b – b}3_)(2b2 _{– a) =}

6a2_b3 _{– 3a}2_{b – 2b}5 _{+ ab}3

Het omgekeerde van haakjes wegwerken moet je ook kunnen. Dit wordt: " buiten haakjes halen" genoemd.

Voorbeeld : breng zoveel mogelijk buiten haakjes in: 4a+3a = a(4+3)

4a+ab = a (4+b) want als je de haakjes weer wegwerkt dan ontstaat het linker deel. Nu iets moeilijker

3a2_{b – 6b}3 _{= 3b(a}2 _{- 2 b}2 ₎

Je kunt dit controleren door aan de rechterkant de haakjes weer weg te werken en te kijken of er iets ontstaat dat gelijk is aan de linkerkant van het = teken.

Tip: Meneer van Dale wacht… klopt niet meer omdat de rekenregels veranderd zijn. Een beter ezelsbruggetje is daarom:

H

M

W

V

D

O

A

Eerst de haakjes, dan machtsverheffen en worteltrekken (prioriteit van links naar rechts), dan vermenigvuldigen en delen (prioriteit van links naar rechts), en tenslotte optellen en aftrekken (prioriteit van links naar rechts).

WWW-oefeningen

http://dominguez.nl/links/interactieve%20oefeningen.html http://www.wiskundeonline.nl/lessen/haakjes.htm