Faculteit Economie en Bedrijfskunde, Amsterdam School of Economics Bachelorscriptie en Afstudeerseminar Econometrie
Een modificatie van het Mackey-Glassmodel
voor financiële tijdreeksanalyse
Joran Roor – 10218882
Begeleider: prof. dr. C.G.H. Diks
Datum: 23-12-2015
[1] 1 Inleiding
In de afgelopen decennia zijn er meerdere testen ontwikkeld voor het toetsen op
Grangercausaliteit. De vraag naar dergelijke testen lijkt groot, aangezien vele modellen in bijna alle takken van wetenschap gebruik maken van tijdreeksanalyse. Voor economische
onderzoekers kan het interessant zijn om te weten in welke mate er sprake is van
Grangercausaliteit zodat hier rekening mee gehouden kan worden in de voorspellingen van de ontwikkeling van bepaalde tijdreeksen. Een probleem is echter dat een test soms te vaak een fout maakt van de eerste of tweede soort of dat deze niet bruikbaar is voor het type data dat geanalyseerd wordt.
Statistische analyse lijkt een standaard academische vaardigheid te zijn geworden. Ook voor niet-exacte wetenschappen is het interessant om het verloop van bepaalde variabelen te voorspellen. Voor dergelijke onderzoeken wordt vaak statistische software gebruikt met de daarin ingebouwde statistische testen die veelal tientallen jaren geleden afgeleid zijn door statistici. Met de betrouwbaarheid van de test wordt in deze gevallen vaak geen rekening gehouden.
Wiskundig gezien is het niet altijd mogelijk om exact aan te tonen of een statistische test voldoet aan de voorwaarden van betrouwbaarheid. Vaak zijn de door de wetenschap
“geaccepteerde” testen verzonnen methoden die in de praktijk in het grootste deel van de gevallen een juiste conclusie blijken te geven. Dit betekent dat de testen in theorie altijd voor verbetering vatbaar zijn en dat er voor iedere datastructuur een andere “beste” test zou moeten gelden. Hierdoor worden onderzoeken uit het verleden met betrekking tot dit onderwerp nog altijd herzien door wetenschappers uit de huidige tijd.
De moderne onderzoeksmethoden die de technologische ontwikkelingen van de afgelopen twintig jaar met zich meebrengen bieden nieuwe inzichten voor de statistiek. Zo is een Monte Carlosimulatie steeds beter toepasbaar met de toenemende rekenkracht van computers en wordt programmeren voor steeds meer mensen toegankelijk.
[2]
Eveneens voor de testen op Grangercausaliteit geldt dat deze niet altijd betrouwbaar zijn voor alle soorten data (Diks & Panchenko, 2006). De Mackey-Glassvergelijking voor het testen van niet-lineaire Grangercausaliteit is goed toepasbaar op biologische data, echter zou het toepassen van dit model op financiële data kunnen leiden tot een lage power. Dit betekent dat er gemiddeld vaak een fout van de tweede soort gemaakt wordt.
In deze scriptie wordt een nieuwe test voor niet-lineaire Grangercausaliteit ontwikkeld die bruikbaar is voor financiële data door het Mackey-Glassmodel te modificeren. Hierbij wordt de niet-lineaire term in deze vergelijking vervangen door een term die vergelijkbaar is met
veelvoorkomende termen in financiële modellen. Aan de hand van Monte Carlosimulaties wordt de betrouwbaarheid van de statistische test onderzocht.
Dit artikel is als volgt ingedeeld. In Sectie 2 wordt een aantal basisbegrippen met betrekking tot Grangercausaliteit en betrouwbaarheid van testen toegelicht en daarnaast worden enkele onderzoeken met betrekking tot Grangercausaliteit besproken. In Sectie 3 wordt de
onderzoeksopzet toegelicht en wordt er besproken welke methoden er gebruikt worden.
Vervolgens worden in Sectie 4 de resultaten van de Monte Carlosimulaties beschreven. In sectie 5 wordt aan de hand van de resultaten de betrouwbaarheid van de test uitééngezet en
vergeleken met andere testen. Sectie 6 geeft een samenvatting en concludeert.
2 Theorie en literatuur
Indien er een extra variabele aan het model toegevoegd wordt, kan er onderzoek worden gedaan naar Grangercausaliteit tussen de twee variabelen. Volgens Hiemstra en Jones (1994) is Grangercausaliteit het volgende. Beschouw het stationaire bivariate proces {(Xt,Yt)} met
F(Xt|It-1) de conditionele kansverdeling van Xt gegeven een informatieset It-1. Hierbij bevat It-1 de vectoren 𝑿𝑡−1𝐿𝑥 ≡ (𝑋
𝑡−𝐿𝑥, 𝑋𝑡−𝐿𝑥+1, … , 𝑋𝑡−1) en 𝒀𝑡−1 𝐿𝑦
[3]
respectievelijk Lx en Ly het aantal waarnemingen uit het verleden van {Xt} en {Yt}. Als er geen sprake is van Grangercausaliteit van {Yt} op {Xt} dan geldt de gelijkheid
𝐹(𝑋𝑡|𝑰𝑡−1) = 𝐹(𝑋𝑡|(𝑰𝑡−1− 𝒀𝑡−1 𝐿𝑦
)). (1)
Hier geldt dus dat de conditionele verdeling van Xt onafhankelijk is van het feit of de
waarnemingen van 𝒀𝑡−1𝐿𝑦 gegeven zijn naast de overige variabelen in informatieset It-1. Indien (1) niet geldt dan is er sprake van Grangercausaliteit. Er kan ook sprake zijn van instantane
Grangercausaliteit. Dit betekent in dit geval dat de conditionele verdeling van Xt afhankelijk is van de op hetzelfde tijdstip waargenomen Yt. Indien er geen sprake is van strikte
Grangercausaliteit geldt de gelijkheid
𝐹(𝑋𝑡|𝑰𝑡−1) = 𝐹(𝑋𝑡|(𝑰𝑡−1+ 𝑌𝑡)). (2)
Hierbij is dus de waarde van Yt toegevoegd aan de gegeven informatieset.
De aanwezigheid van Grangercausaliteit kan worden aangetoond met behulp van een ‘Granger Causality test’. Om de kwaliteit van een dergelijke statistische test te bepalen dient onderzocht te worden of de test de juiste conclusies trekt. Aan de ene kant betekent dit dat de test niet te vaak de nulhypothese onterecht mag verwerpen, maar deze mag aan de andere kant ook niet te vaak de nulhypothese niet verwerpen terwijl de alternatieve hypothese in
werkelijkheid klopt. In andere woorden moeten dus de fouten van de eerste en de tweede soort binnen de perken gehouden worden. Om deze kwestie te testen worden binnen de statistiek twee maatstaven gehanteerd: de ‘size’ en de ‘power’ (Heij, Boer, Franses, Kloek, & Dijk, 2004). De size geeft de kans dat de statistische test een fout maakt van de eerste soort. De power is de kans dat de test geen fout maakt van de tweede soort. Aan de hand van Monte Carlosimulaties kunnen de size en de power geschat worden (Heij, Boer, Franses, Kloek, & Dijk, 2004). Uit het model van het datagenererend proces kan met zekerheid worden bepaald of de nulhypothese wel of niet juist is met betrekking tot de gegenereerde data zodat fouten van de eerste en tweede soort aangetoond kunnen worden.
[4]
In vele artikelen wordt onderzoek gedaan naar Grangercausaliteit. Kyrtsou en Labys (2006) onderzoeken het verband tussen de inflatie in de Verenigde Staten en de prijzen van
grondstoffen. Hiervoor worden meerdere methoden gebruikt, waaronder het
Mackey-Glassmodel. Het Mackey-Glassmodel wordt afgeleid in het onderzoek van Mackey en Glass (1977) om de dynamiek van fysiologische systemen te beschrijven. Deze systemen worden wiskundig gemodelleerd waarna ze grafisch in beeld kunnen worden gebracht. Er wordt gesteld dat vele fysiologische systemen afhankelijk zijn van waarnemingen uit het verleden.
Het Mackey-Glassmodel dat wordt gebruikt door Kyrtsou en Labys (2006) ziet er als volgt uit: 𝑋𝑡 = 𝛼11 𝑋𝑡−𝜏1 1 + 𝑋𝑡−𝜏 1 𝑐1 − 𝛿11𝑋𝑡−1+ 𝛼12 𝑌𝑡−𝜏2 1 + 𝑌𝑡−𝜏 2 𝑐2 − 𝛿12𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡, 𝜀𝑡∼ 𝑁(0,1) (3a) 𝑌𝑡 = 𝛼21 𝑋𝑡−𝜏1 1 + 𝑋𝑡−𝜏 1 𝑐1 − 𝛿21𝑋𝑡−1+ 𝛼22 𝑌𝑡−𝜏2 1 + 𝑌𝑡−𝜏 2 𝑐2 − 𝛿22𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 ∼ 𝑁(0,1) (3b)
met α en δ de te schatten parameters, τ de vertraging en c een constante. Aan de hand van de data wordt de Mackey-Glassvergelijking geschat op basis van meerdere vertragingen. De parameters α12 en α21 blijken in veel gevallen significant waarmee niet-lineaire
Grangercausaliteit tussen de twee variabelen wordt aangetoond.
3 Onderzoeksopzet
In dit onderzoek wordt het Mackey-Glassmodel uit het onderzoek van Kyrtsou en Labys (2006) gemodificeerd zodat het een betrouwbare test voor Grangercausaliteit wordt, toegepast op financiële data. Hiervoor zal de oorspronkelijke test geanalyseerd worden op
onbetrouwbaarheden zodat deze meegenomen kunnen worden in de verbetering van het model. Vervolgens wordt de niet-lineaire term zodanig aangepast zodat de waargenomen size en power van het model wijzen op een goede statistische test. Om tot deze betrouwbare test te komen worden er meerdere niet-lineaire termen toegepast in het model.
[5]
Voor het schatten van de size wordt er een Monte Carlosimulatie gedaan waarbij het datagenererende proces gebaseerd is op een model waarvan bekend is dat er geen sprake is van Grangercausaliteit. De parameters van dit model worden geschat voor een financiële dataset met behulp van de kleinstekwadratenschatter. Vervolgens wordt bij iedere iteratie van de Monte Carlosimulatie de test op Grangercausaliteit toegepast. Indien de test de nulhypothese verwerpt wordt er een fout gemaakt van de eerste soort. Het aantal keren dat deze fout wordt gemaakt wordt bijgehouden om daarmee de size van de test te kunnen bepalen. De size zal voor alle waarden van het significantieniveau α worden bepaald.
Het bepalen van de power werkt soortgelijk als het bepalen van de size. In dit geval wordt voor de Monte Carlosimulatie een datagenererend proces gebruikt dat is gebaseerd op het gemodificeerde Mackey-Glassmodel, met een storingsterm daarbij opgeteld. Aan de hand van de financiële data worden met behulp van de kleinstekwadratenschatter de parameters geschat. Bij de gegenereerde data tijdens de Monte Carlosimulatie is in dit geval sprake van
Grangercausaliteit. Indien de test de nulhypothese dan niet verwerpt is er sprake van een fout van de tweede soort. Aan de hand van het aantal fouten en het totale aantal simulaties wordt de power van de test geschat. Ook voor de power geldt dat deze voor alle waarden van het
significantieniveau zal worden bepaald.
Indien er een test geformuleerd is met een binnen de normen gestelde power en size wordt deze vergeleken met de bestaande test van Mackey en Glass (1977), toegepast in Kyrtsou en Labys (2006). Hier wordt een dataset gebruikt die vergelijkbaar is met de dataset gebruikt in Kyrtsou en Labys (2006). Vervolgens worden de resultaten vergeleken en worden er conclusies getrokken over de betrouwbaarheid van beide testen.
[6] 4 Analyse
4.1 Mackey-Glassmodel van Kyrtsou en Labys (2006)
Voor het simuleren van het door Kyrtsou en Labys (2006) gebruikte Mackey-Glassmodel wordt gebruik gemaakt van een vergelijkbare dataset, afkomstig van het ‘Bureau of Labour Statistics’. Het betreft maandelijkse data met betrekking tot inflatie in de Verenigde Staten en de
‘Commodity price index’ (grondstofprijzen) in de periode van januari 1970 tot en met juli 2002. De eerste logaritmische verschillen van de inflatie zal worden aangeduid met x en de eerste logaritmische verschillen van de grondstofprijzen met y. Voor de Mackey-Glassvergelijking worden dezelfde parameterwaarden gekozen voor c1, c2,τ1 en τ2 zoals door Kyrtsou en Labys
(2006) bepaald zijn op basis van de likelihood ratio test. Met deze parameterwaarden (c1=2,
c2=2,τ1=4 en τ2=1) wordt de Mackey-Glassvergelijking
Figuur 1. Links de grafieken van de niet-lineaire termen van Kyrtsou en Labys (2006) met de daadwerkelijke waarnemingen in het groen. Rechts een uitvergroting van de waarnemingen in de rode rechthoek.
[7] 𝑋𝑡 = 𝛼11 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝛿11𝑋𝑡−1+ 𝛼12 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝛿12𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡, 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0,1) (4a) 𝑌𝑡 = 𝛼21 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝛿21𝑋𝑡−1+ 𝛼22 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝛿22𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 ∼ 𝑁(0,1). (4b)
In tabel 1 is te zien dat de parameters van de niet-lineaire termen α12 en α21 significant zijn
geschat. Volgens de test zou dit moeten wijzen op niet-lineaire Grangercausaliteit.
Omdat de significantie van de lineaire termen gebruikt wordt voor de indicatie van lineaire Grangercausaliteit is het belangrijk om te weten of er in dit geval werkelijk een niet-lineair model geschat wordt. Hiervoor wordt met behulp van een scatterplot geanalyseerd of de
Coëfficiënten Waarde α11 0,26096*** δ11 0,61915*** α12 56,34591*** δ12 -56,28662*** α21 0,3234*** δ21 0,2497 α22 217,0414*** δ22 -216,6791***
Tabel 1. De geschatte parameters van (4a) en (4b). ‘***’ impliceert een significantie van 0,1 %.
[8]
waarnemingen van 𝑋𝑡−4 en 𝑌𝑡−1 daadwerkelijk in een niet-lineair gebied vallen van
respectievelijk de termen 𝑋𝑡−4
1+𝑋𝑡−42 en
𝑌𝑡−1
1+𝑌𝑡−12 . In Figuur 1 is te zien dat zowel de waarnemingen van
x als y slechts in een beperkt gebied van de grafiek vallen. In de grafiek is zelfs te zien dat de punten bij benadering lineair zijn. Dit is een onwenselijk verschijnsel bij het onderzoeken van niet-lineaire verbanden.
De aanwijzing voor lineariteit van de niet-lineaire observaties wekt de vraag op in hoeverre de niet-lineaire term met deze data verschilt van de lineaire termen. In Figuur 2 is te zien hoe deze zich tot elkaar verhouden. De in hoge mate aanwezige correlatie, vooral tussen de termen van y, wijst op multicollineariteit binnen het model.
4.2 Eliminatie van multicollineariteit
Om de lineariteit uit de niet-lineaire term te verwijderen wordt de lineaire benadering ervan afgetrokken. Het model ziet er dan uit als
𝑋𝑡 = 𝛼11( 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝑋𝑡−4) − 𝛿11𝑋𝑡−1+ 𝛼12( 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝑌𝑡−1) − 𝛿12𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡, 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0,1) (5a) 𝑌𝑡 = 𝛼21( 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝑋𝑡−4) − 𝛿21𝑋𝑡−1+ 𝛼22( 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝑌𝑡−1) − 𝛿22𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 ∼ 𝑁(0,1). (5b)
Echter levert dit een niet-stationair model op waardoor de gesimuleerde data niet convergeert. Dit model is dus niet bruikbaar voor Monte Carlosimulaties.
Een andere methode om de correlatie tussen twee variabelen te verminderen is door een rotatie van 90 graden toe te passen op het model. Het model ziet er dan uit als
𝑋𝑡 = 𝛼11( 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝑋𝑡−4) − 𝛿11(𝑋𝑡−1+ 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 ) + 𝛼12( 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝑌𝑡−1) − 𝛿12(𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 ) + 𝜀𝑡, 𝜀𝑡 ∼ 𝑁(0,1) (6a) 𝑌𝑡 = 𝛼21( 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 − 𝑋𝑡−4) − 𝛿21(𝑋𝑡−1+ 𝑋𝑡−4 1 + 𝑋𝑡−42 ) + 𝛼22( 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 − 𝑌𝑡−1) − 𝛿22(𝑌𝑡−1 + 𝑌𝑡−1 1 + 𝑌𝑡−12 ) + 𝑢𝑡, 𝑢𝑡 ∼ 𝑁(0,1) (6b)
[9]
Deze rotatie verminderd de correlatiecoëfficiënt naar -0,716 voor de termen van x en naar -0,598 voor de termen van x. Hoewel dit leidt tot een verbetering van het model, draagt dit niet bij aan het doel van het onderzoek. Dit komt omdat de lineariteit en de niet-lineariteit in dit model niet meer van elkaar gescheiden zijn waardoor het niet meer gebruikt kan worden in het onderzoek naar niet-lineaire Grangercausaliteit.
4.3 Een verschuiving van het Mackey-Glassmodel van Kyrtsou en Labys (2006)
Om de test te verbeteren worden de niet-lineaire termen van Kyrtsou en Labys (2006) zodanig aangepast dat alle observaties in een niet-lineair gebied vallen. Hiervoor dient de formule “smaller” gemaakt te worden en verschoven naar rechts. De nieuwe vergelijkingen worden dan
𝑋𝑡 = 𝛼11 𝑋𝑡−𝜏1− 𝜃1 𝜂1+ (𝑋𝑡−𝜏1− 𝜃1)𝑐1 − 𝛿11𝑋𝑡−1+ 𝛼12 𝑌𝑡−𝜏2− 𝜃2 𝜂2+ (𝑌𝑡−𝜏2− 𝜃2)𝑐2 − 𝛿12𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡 (7a) 𝑌𝑡 = 𝛼21 𝑋𝑡−𝜏1− 𝜃1 𝜂1+ (𝑋𝑡−𝜏1− 𝜃1)𝑐1 − 𝛿21𝑋𝑡−1+ 𝛼22 𝑌𝑡−𝜏2− 𝜃2 𝜂2+ (𝑌𝑡−𝜏2− 𝜃2)𝑐2 − 𝛿22𝑌𝑡−1+ 𝑢𝑡 (7b)
met c1=2, c2=2,τ1=4, τ2=1, η1=3*10-6, η2=3*10-5, θ1=3,5*10-3 en θ2=5*10-3. Als deze opnieuw geplot
worden zien de scatterplots eruit zoals in Figuur 3. In beide plots is duidelijk zichtbaar dat de observaties zich bevinden in een niet-lineair deel van de term. Deze niet-lineaire term bevat twee toppen, wat vanuit economische intuïtie onbetrouwbaar lijkt. Dit verschoven model levert dan ook
[10]
een erg hoge size en een lage power op en geeft daarom geen verbeteringen ten opzichte van het oude model, behalve een vermindering van de multicollineariteit.
4.4 Een nieuw model
Zoals in het verschoven model van Kyrtsou en Labys (2006) zichtbaar was, bevonden zich er twee toppen in de plot van de niet-lineaire term. Vanuit economische intuïtie is dit een onwerkelijke situatie en dient hier rekening mee gehouden te worden bij het maken van een nieuw model. In het nieuwe model wordt een constante toegevoegd, de niet-lineaire term van de vertragingen van de
Figuur 4. De observaties van de niet-lineaire termen van (8a) en (8b).
[11]
te schatten variabele wordt weggelaten en de niet-lineaire term van de andere variabele wordt aangepast door het toevoegen van exponentiële termen. Het nieuwe model ziet er dan uit als
𝑋𝑡 = 𝛼1− 𝛿11𝑋𝑡−1+ 𝛾1 𝑒𝜎2(𝑌𝑡−𝜏2−𝜃2) 𝜂2+ 𝑒𝜎2(𝑌𝑡−𝜏2−𝜃2) − 𝛿12𝑌𝑡−1+ 𝜀𝑡 (8a) 𝑌𝑡 = 𝛼2− 𝛿21𝑌𝑡−1+ 𝛾2 𝑒𝜎1(𝑋𝑡−𝜏1−𝜃1) 𝜂1+ 𝑒𝜎1(𝑋𝑡−𝜏1−𝜃1) − 𝛿22𝑋𝑡−1+ 𝑢𝑡 (8b)
Ook in dit model wordt de significantie van de coëfficiënten van de niet-lineaire termen onderzocht en ook hier wijzen deze op niet-lineaire Grangercausaliteit, echter in mindere mate dan in het oude model (zie tabel 2). In Figuur 4 is te zien dat ook voor deze termen geldt dat de observaties in een niet-lineair gedeelte van de grafiek vallen en dat er zich hier geen toppen bevinden. In Figuur 5 is zichtbaar dat de correlatiecoëfficiënt van de termen in (8b) kleiner is ten opzichte van het oude model.
4.5 Vergelijking van de size
Aan de hand van 10000 simulaties met een datagenererend proces waarbij de nulhypothese geldt wordt de size van het model van Kyrtsou en Labys (2006) en het nieuwe model bepaald
Coëfficiënten Waarde α1 0,0010517*** δ11 0,5786164*** γ1 0,0018758*** δ12 -0,0368023 α2 0,0008514 δ21 0,1928130*** γ2 0,0029794** δ22 0,2168994
Tabel 2. De geschatte parameters van (8a) en (8b). ‘***’ en ‘**’ impliceren een significantieniveau van respectievelijk 0,1% en 1%.
[12]
voor alle waarden van significantieniveau α. In Figuur 5 is zichtbaar hoe deze zich verhouden tot het betrouwbaarheidsinterval van de binomiaal verdeelde nominale size. Aan de hand van deze grafiek is te zien dat de size van het nieuwe model binnen het betrouwbaarheidsinterval van de nominale size valt, terwijl dat voor het model van Kyrtsou en Labys (2006) grotendeels niet het geval is.
Figuur 6. Het voorspellingsinterval van de nominale size (lichtblauw), de size van het MG-model van Kyrtsou en Labys (2006) (rood) en de size van het nieuwe model (donkerblauw), uitgezet tegen het significantieniveau α.
[13]
4.6 Vergelijking van de power
Aan de hand van 10.000 simulaties met 500 observaties wordt de size adjusted power geplot voor iedere waarde van α. Dit wordt gedaan door de geschatte power uit te zetten tegen de geschatte size. In Figuur 6 is te zien hoe de size adjusted power van de twee modellen zich tot elkaar verhouden. Duidelijk is te zien hoe de power van het nieuwe model voor Xt hoger ligt dan
die van het oude model van Kyrtsou en Labys (2006). In het model voor Yt lijken beide modellen
te beschikken over een vergelijkbare power.
5. Samenvatting en conclusie
Het doel van dit onderzoek was om de gebreken van het model van Kyrtsou en Labys (2006) op te sporen en een model met een hogere power en een lagere size af te leiden zodat er op een betrouwbare manier getest kan worden op niet-lineaire Grangercausaliteit bij financiële
tijdreeksen. Aan de hand van meerdere plots bleek dat met de desbetreffende data in het oorspronkelijke model van Kyrtsou en Labys (2006) de niet-lineaire termen nauwelijks afweken van de lineaire termen waardoor er in hoge mate sprake was van multicollineariteit. Daarnaast betekende dit dat er in werkelijkheid bij benadering geen niet-lineair verband geschat werd en het daarmee onwaarschijnlijk werd dat deze methode in staat is om te testen op niet-lineaire Grangercausaliteit.
Door middel van verschuivingen, vervangingen en weglatingen bij het oude model werd er een nieuw model gemaakt zodat alle observaties in een niet-lineair gedeelte van de niet-lineaire termen vielen. Dit zorgde voor een vermindering van de multicollineariteit.
Uit de sizeplot van beide methoden bleek dat de waargenomen size van het model van Kyrtsou en Labys significant groter is dan de nominale size, terwijl de waargenomen size van het nieuwe model binnen het betrouwbaarheidsinterval valt. Voor de power van de twee modellen geldt dat deze nagenoeg gelijk zijn voor de modellen van xt, maar dat de power van
[14]
betrouwbaar als het oude model en in de meeste gevallen betrouwbaarder (met name voor kleine waarden van α), echter is deze niet strikt betrouwbaarder. Zowel het nieuwe als het oude model trekken de conclusie dat er sprake is van niet-lineaire Grangercausaliteit, echter doet het nieuwe model dat in een mindere mate van significantie.
Referenties
Diks, C., & Panchenko, V. (2006). A new statistic and practical guidelines for nonparametric Granger causality testing. Journal of Economics & Control, 9(4), 1647-1669.
Heij, C., Boer, P., Franses, P. H., Kloek, T., & Dijk, H. K. (2004). Size and Power. In
Econometric Methods with Applications in Business and Economics (p. 56). Oxford
University Press.
Hiemstra, C., & Jones, J. (1994). Testing for linear and nonlinear Granger causality in the stock price-volume relation. The Journal of Finance, 49(5), 1639-1664.
Kyrtsou, C., & Labys, C. (2006). Evidence for chaotic dependence between US inflation and commodity prices. Journal of Macroeconomics, 28(1), 256-266.
Mackey, M. C., & Glass, L. (1977). Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems.
Science, 197(4300), 287-289.
Tsay, R. S. (2005). Parametric tests. In Analysis of financial time series (pp. 186-187). Wiley Series.
