Een oplossingsconcept van een coalitioneel spel : de core

Een oplossingsconcept van een

coalitioneel spel: de core

Auteur:

Dorien Lugten

10383864

Begeleider:

Roald Ramer

Econometrie & Operationele Research

Inhoudsopgave

1. Inleiding 1

2. Theoretisch kader 3

3. Opzet van het onderzoek 9

4. Resultaten van het onderzoek 12

5. Analyse 17

6. Conclusie 22

7. Referenties 23

1

Inleiding

In de speltheorie staat het maken van keuzes centraal. Er wordt onderzoek gedaan naar de beslissingen die spelers maken en wat voor een invloed deze beslissingen hebben op de be-slissingen van andere spelers. De uitkomst van een spel wordt bepaald door alle bebe-slissingen die spelers maken. Er wordt van uitgegaan dat spelers intelligent zijn en rationeel handelen, dit zijn belangrijke aannames in de speltheorie. Een speler is intelligent als hij het spel vol-ledig doorziet, dat wil zeggen als hij de gevolgen van elke beslissing kan overzien. Rationeel handelen betekent dat een speler de voor zichzelf gunstigste keuze kiest (Van Damme, 2009). Er bestaan verschillende soorten spellen in de speltheorie. Zo zijn er niet-co¨operatieve spellen en co¨operatieve spellen. Bij niet-co¨operatieve spellen maken de spelers zelfstandig beslissingen. Een voorbeeld van zo’n spel is het tweepersoons nul-som spel. Bij dit spel krijgt de winnaar ´e´en punt en de speler die verliest krijgt nul punten. Spelen ze gelijk dan krijgen de spelers beiden een halve punt. In de praktijk zijn tweepersoons spellen zoals schaken en dammen nul-som spellen. Tegenwoordig wordt er binnen de speltheorie het meeste onderzoek gedaan naar niet-co¨operatieve spellen.

De focus ligt in dit onderzoek op het co¨operatieve spel. Bij co¨operatieve spellen worden situaties gemodelleerd waarin spelers bindende overeenkomsten met elkaar sluiten. De eis bij dit soort spellen is dat de spelers gezamenlijk tot een beslissing moeten komen en zich dan aan deze beslissing moeten houden (Maschler, Solan, & Zamir, 2013). Veel gezelschapsspellen zijn vaak co¨operatief. Hierbij werken de spelers niet tegen elkaar, maar met elkaar. Het doel van deze spellen is het leren van overleggen, naar elkaar luisteren, samen beslissingen nemen en creatief denken. In de praktijk zijn deze vier aandachtspunten erg belangrijk. Volgens Van Damme ligt de nadruk bij co¨operatieve spellen op de groep en op het verdelingsprobleem: welke coalitie ontstaat er en hoe wordt de overwaarde van de coalitie verdeeld? (Van Damme, 2009).

Een soort co¨operatief spel is een coalitioneel spel. Bij coalitionele spellen worden situaties gemodelleerd waarin spelers samenwerken om hun doelen te bereiken. Deze samenwerkings-contracten worden coalities genoemd. Als er een coalitie kan worden gevormd waartegen

niemand van de spelers een bezwaar maakt, dan heeft een coalitioneel spel een oplossing. Er zijn verschillende idee¨en over hoe zo’n coalitie gevormd wordt, dus er zijn ook verschillende oplossingsconcepten van coalitionele spellen. Een van die oplossingsconcepten wordt de core genoemd (Maschler, Solan, & Zamir, 2013).

De core van een coalitioneel spel is de verzameling van alle uitkomsten waar geen enkele deelcoalitie bezwaar tegen kan maken. Bestaat zo’n uitkomst niet, dan is de core van een coalitioneel spel leeg. Als de core van een coalitioneel spel niet leeg is, dan bestaat er in ieder geval ´e´en oplossing. Er kunnen zich dan ook meerdere oplossingen in de core bevinden. Nash, Nagel, Ockenfels en Selten (2012) hebben onderzoek gedaan naar het ontstaan van een coalitie en hebben gekeken naar de core van spellen. Zij hebben bij dat onderzoek gebruik gemaakt van driepersoons spellen. Het experiment dat wordt besproken in het derde hoofdstuk is gebaseerd op het experiment van NNOS (2012); de resultaten van de experimenten worden later geanalyseerd. Het experiment heeft als doel om een inzage te geven hoe een coalitie ontstaat. Welke spelers zullen met elkaar gaan samenwerken als de core van een spel leeg is?

Om hierachter te komen wordt eerst de theorie besproken die nodig is om het experiment uit te voeren. Het theoretisch kader bestaat uit formules en definities die noodzakelijk zijn bij het vinden van de core van een spel. Deze theorie is verkregen uit het meest recente boek over de co¨operatieve spellen: Game Theory van Maschler, Solan en Zamir. Na de theorie wordt in het derde hoofdstuk het onderzoek van NNOS (2012) beschreven. Tevens wordt in dit hoofdstuk het hierop gebaseerde onderzoek gepresenteerd. In het vierde hoofdstuk worden de resultaten van het onderzoek weergegeven in een tabel en wordt er een verklaring gegeven. Tevens wordt er een analyse gedaan en worden mogelijke oorzaken van de desbetreffende resultaten besproken. Er wordt afgesloten met een conclusie en de centrale vraag wordt beantwoord.

2

Theoretisch kader

Zoals eerder beschreven houdt de speltheorie zich bezig met het maken van keuzes. In dit hoofdstuk wordt eerst het ontstaan van de speltheorie besproken en daarna wordt er doorge-gaan op co¨operatieve spellen; coalitionele spellen in het bijzonder. Bij verschillende theorie¨en bestaan verschillende oplossingsconcepten. De focus ligt hier op ´e´en van deze concepten; de core. Daarnaast wordt er een voorbeeld gegeven om de theorie te verduidelijken.

John von Neumann schreef in 1928 het eerste artikel over gezelschapsspellen, in het bij-zonder de nul-som spellen (Von Neumann, 1928). Zijn theorie¨en heeft hij samen met Oskar Morgernstern uitgebreid en zij brachten in 1944 een boek uit, waarin de eerste toepassingen van politieke en economische problemen worden beschreven (Von Neumann & Morgern-stern, 1944). Daarin worden de co¨operatieve spellen en de bijbehorende oplossingsconcepten ge¨ıntroduceerd. Deze publicaties vormen de basis van de speltheorie. De term co¨operatief betekent: samenwerken met een gemeenschappelijk doel (Myerson, 1991).

John Nash is verder gegaan op de theorie¨en van von Neumann en Morgernstern, waarbij hij het Nash-evenwicht ontwikkelde en een co¨operatief onderhandelingsmodel formuleerde. Na twee jaar gestudeerd te hebben aan de universiteit van Princeton, haalt Gillies in 1953 zijn PhD. Zijn scriptie werd gepubliceerd in Contributions to the theory of games, vol.2, waarin de core voor het eerst werd gekarakteriseerd. Gillies heeft zijn scriptie gebaseerd op het Edgeworth Box (1881) en B¨ohm-Bawerk (1891). Maschler en Davis zijn verder gegaan op het oplossingsconcept van een co¨operatief spel, de core. In 1965 publiceren zij samen het artikel The Core of a Cooperative Game. Samen met Solan en Zamir bracht Maschler in 2013 het leerboek Game Theory uit. Dit boek gaat verder in op de eigenschappen van de core en de definities om aan te tonen wanneer de core leeg is en wanneer deze niet leeg is worden gegeven. Maar wat is nu precies een coalitioneel spel en de core van een coalitioneel spel? In dit onderzoek ligt de nadruk op TU-spellen. Bij dit soort spellen wordt gebruik gemaakt van overdraagbaar nut. Nut kan overgedragen worden van de ene speler naar de ander als alle spelers risico-neutraal zijn en wanneer het nut gelijk gesteld kan worden aan geld.

Zoals eerder beschreven, worden bij coalitionele spellen situaties gemodelleerd waarin spelers kunnen samenwerken om hun doelen te bereiken. Neem nu aan dat een coalitioneel spel een paar (N ; v) is, waarbij N = {1, 2, ...n} staat voor een verzameling van alle spelers en waarbij v de coalitionele functie is die aan elke coalitie S een waarde v(S) toekent. Als een speler geen deel uitmaakt van de coalitie dan is zijn waarde 0: v(i) = 0, ∀i. Dit is algemeen bekend als een nul-genormaliseerd spel. Ook een coalitie zonder spelers heeft een waarde 0: v(∅) = 0. Stel de vector x = {x1, ..., xn} is de voorgestelde waardeverdeling. Dan noteren

wij x(S) =P

i∈Sxi.

Stel nu dat alle spelers samenwerken, zodat de grote coalitie N tot stand komt, dan moet er worden bepaald hoe de waarde van de coalitie v(N ) onderling over alle spelers verdeeld gaat worden. Deze verdeling moet voldoen aan twee voorwaarden. De eerste voorwaarde bij de verdeling van de waarde van de coalitie N is effici¨entie: x(N ) = v(N ). In woorden betekent dit dat de totale waarde die de spelers van de coalitie ontvangen gelijk moet zijn aan de totale waarde van de coalitie. De tweede voorwaarde is individuele rationaliteit: xi ≥ v(i) = 0, elke speler xi krijgt het bedrag v(i) als ze niet deelnemen aan de coalitie. De

spelers eisen dus minstens het bedrag v(i) als ze wel willen deelnemen aan de coalitie; zo zorgen de spelers ervoor dat ze er door de coalitie niet slechter op worden. Uit deze twee voorwaarden volgt de definitie van een verdeling:

X(N ; v) = {x ∈ RN : x(N ) = v(N ), xi ≥ 0 ∀i ∈ N }

Stel nu dat een coalitie S wordt gevormd. De coalitie bestaat alleen uit deelnemende spelers, dus S is een deelverzameling van N: S ⊆ N . Er zijn verschillende oplossingsconcepten voor coalitionele spellen. De core is het meest intu¨ıtieve oplossingsconcept en bestaat uit alle mogelijke rationele verdelingen van de waarde van de coalitie. De core heeft drie belangrijke eigenschappen. De eerste eigenschap gaat uit van rationaliteit: x(S) ≥ v(S). Een verdeling kan zich alleen in de core bevinden als aan elke eis van alle spelers is voldaan. Spelers doen alleen mee aan een coalitie als de waarde x(S) die ze krijgen als ze meedoen aan de coalitie groter is dan de waarde v(S) die ze krijgen als ze niet meedoen aan de coalitie. Met alle

voorgaande definities kunnen we de core defini¨eren: de core van een coalitioneel spel (N ; v), genoteerd als C(N ; v), is de verzameling van alle coalitionele rationele verdelingen:

C(N ; v) = {x ∈ X(N ; v) : x(S) ≥ v(S), ∀S ∈ N }

Een verzameling van coalities D is een evenwichtige verzameling als er een vector van evenwichtige gewichten (δS)_S∈D bestaat, zodanig dat geldt: P_S∈D;i∈SδS = 1 ∀i ∈ N . De

evenwichtige gewichten zijn positieve getallen.

De Bondareva-Shapley stelling geeft een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor het bestaan van een niet lege core. Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor het bestaan van een niet lege core van een coalitioneel spel (N ; v) is dat elke evenwichtige verzameling D van coalities en elke vector van evenwichtige gewichten (δS)S∈D van D moet voldoen aan:

v(N ) ≥P

S∈DδSx(S).

Deze voorwaarde wordt ook wel de Bondareva-Shapley voorwaarde of evenwichtsvoor-waarde genoemd. Bondareva (1963) en Shapley (1967) hebben onafhankelijk van elkaar deze stelling ontdekt. Een coalitioneel spel die aan deze voorwaarde voldoet wordt een evenwich-tig spel genoemd, met andere woorden de core van een coalitioneel spel is niet leeg dan en slechts dan als het spel evenwichtig is. Deze stelling wordt met name gebruikt om aan te tonen dat alle spellen in een bepaalde klasse een niet lege core hebben, hetgeen het geval is bij marktspellen. Shapley en Shubik (1969) hebben aangetoond dat een marktspel geheel evenwichtig is en dus de core niet leeg is.

Als de core niet leeg is, betekent dit niet dat er een unieke oplossing is. De core is een afbakening van alle mogelijke oplossingen, er kunnen dus meerdere mogelijke oplossingen bestaan voor een coalitioneel spel. De core is dan niet leeg, maar heeft geen unieke oplossing. Als de core maar ´e´en oplossing bevat, dan is dat de nucleolus. De nucleolus is een ander oplossingsconcept van coalitionele spellen, dat wordt beschreven in Game Theory, maar hier wordt verder niet op ingegaan.

Bij driepersoons spellen is de quota van een speler de waarde die deze speler toevoegt aan de coalitie. Er wordt hier alleen gekeken naar een coalitie van twee spelers. De quota’s

zeggen niets over de waarde die elke speler toevoegt als de grote coalitie wordt gevormd. Bij een driepersoons spel kunnen de quota’s van de drie spelers berekend worden. Als we de quota’s van twee spelers bij elkaar optellen moet dit gelijk zijn aan de waarde van deze tweepersoonscoalitie. Als we voor elke combinatie van tweepersoonscoalitie deze vergelijking opschrijven, krijgen we drie vergelijkingen met drie onbekenden:

qA+ qB = v(AB) (1)

qA+ qC = v(AC) (2)

qB+ qC = v(BC) (3)

Waarbij geldt dat de quota’s positief zijn: qA, qB, qC ≥ 0. De waarde van de quota wordt nu

als volgt berekend:

qA = (v(AB) + v(AC) − v(BC))/2 (4)

qB = (v(AB) + v(BC) − v(AC))/2 (5)

qC = (v(AC) + v(BC) − v(AB))/2 (6)

Aan de hand van de quota’s is te bepalen of de core van een spel leeg is of niet. De core van een spel is niet leeg als v(N ) ≥ qA+ qB + qC. In het geval dat de som van de waarde

van de grote coalitie groter is dan de som van de drie quota’s, v(N ) > qA+ qB + qC, is

er sprake van een overschot. De core van een spel is leeg als er sprake is van een tekort: v(N ) < qA+ qB+ qC.

Ter verduidelijking wordt er een voorbeeld gegeven dat kan worden toegepast in de prak-tijk. Stel dat drie steden verbonden willen worden met een waterbron en dat elke stad hiervoor kosten moet betalen. De kosten van iedere verbinding staan aangegeven in figuur 1. Door de verbindingen te delen met de andere steden kunnen kosten bespaard worden (Peters, 2007). De verzameling van spelers is N = {1, 2, 3}, elke willekeurige deelverza-meling hiervan noemen we een coalitie. De kosten van een coalitie worden bepaald door de goedkoopste manier om alle steden van de coalitie met de waterbron te verbinden. De

Figuur 1: De verbindingen tussen de drie steden en de waterbron S {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} c(S) 100 140 130 150 130 150 150

v(S) 0 0 0 90 100 120 220

Tabel 1: Mogelijke coalities met bijbehorende coalitiewaarde en kosten

verschillende coalities met bijbehorende coalitiewaarde v(S) en kosten c(S) staan vermeld in tabel 1. De coalitiewaarde wordt berekend door de kostenbesparingen te berekenen: v(S) = P

i∈Sc({i}) − c(S). Stel de coalitie S = {1, 2} wordt gevormd, dan is de

kostenbe-sparing: v(S) = c(1) + c(2) − c({1, 2}) = 100 + 140 − 150 = 90. Het is gunstig voor de drie steden om samen te werken (Peters, 2007). Stel nu dat de spelers de grote coalitie {1, 2, 3} vormen, hoe moet de waarde van de coalitie dan verdeeld worden? Er ontstaat een verdeling (x1, x2, x3) die moet voldoen aan de volgende eis: elke afzonderlijke speler krijgt minstens

zoveel als hij deelneemt aan de coalitie dan dat hij ook alleen kan bewerkstelligen (Peters, 2007). Dit betekent dat aan de volgende voorwaarden moet worden voldaan:

x1, x2, x3 ≥ 0 (7)

x1+ x2 ≥ 90 (8)

x1+ x3 ≥ 100 (9)

x2+ x3 ≥ 120 (10)

Deze ongelijkheden bepalen samen de core van het spel (Peters, 2007). In het hierboven gegeven voorbeeld zijn de quota’s te berekenen met de volgende vergelijkingen:

q1+ q2 = 90 (12)

q1+ q3 = 100 (13)

q2+ q3 = 120 (14)

In dit geval zijn de quota’s: q1 = 35, q2 = 55 en q3 = 65. Deze drie quota’s samen is 155.

Dit is minder dan de waarde van de grote coalitie, 220. Er is dus sprake van een surplus. In dit geval zijn er meerdere oplossingen mogelijk, dus de core van dit spel is niet leeg.

Als er een unieke verdeling is die voldoet aan alle ongelijkheden, dan is dat de core van het spel. Zijn er meerdere verdelingen die voldoen aan alle ongelijkheden dan moeten de spelers met elkaar gaan onderhandelen over de beste verdeling. Dit is het geval bij een surplus of een tekort. De core van het spel is in dit geval niet leeg. Bestaat er geen enkele verdeling die voldoet aan alle ongelijkheden, dan is de core van het spel leeg.

Bij het experiment wordt op dezelfde manier onderzocht of de core leeg of niet leeg is. Er worden tien verschillende spellen gespeeld, waarbij de waarden van de verschillende coalities steeds anders zijn. Dit betekent dat ook de ongelijkheden en de quota’s voor de tien spellen verschillend zijn. Als bij een spel de verdeling die tot stand komt door de spelers niet voldoet aan de bijbehorende ongelijkheden, dan is de core leeg. Dit is te verwachten bij een tekort. Spelers gaan ervan uit dat ze er qua waarde niet op achteruitgaan. Als dit wel het geval is, blijkt het in de praktijk moeilijker te zijn om tot een gezamenlijke beslissing te komen. Als er een verdeling tot stand komt die wel voldoet aan de bijbehorende ongelijkheden, dan is de core niet leeg. De verwachting is dat dit het geval is bij een surplus of als er precies genoeg is om alle drie de spelers tevreden te houden. De resultaten van het onderzoek wijzen uit of deze verwachtingen overeenkomen met de praktijk.

3

Opzet van het onderzoek

Zoals eerder besproken hebben Nash, Nagel, Ockenfels en Selten (2012) onderzoek gedaan naar het ontstaan van coalities. Hoe ontstaat een coalitie en hoe wordt de winst of het verlies onder de deelnemers van de coalitie verdeeld. Om hier antwoord op te kunnen geven hebben Nash, Nagel, Ockenfels en Selten (2012) een experiment ontwikkeld en uitgevoerd. Bij dit experiment zijn er tien coalitionele spellen met elk drie verschillende spelers (A, B en C), waarbij de waarden van elke mogelijke coalitie van te voren al bekend zijn (zie tabel 2). Speler A is bij alle tien de spellen de sterkste speler en speler C is de zwakste speler. Speler B zit tussen speler A en C in.

Tabel 2: Coalities met bijbehorende coalitiewaarden van de tien spellen en de bijbehorende quota’s

Het experiment bestaat uit twee fases. Bij fase 1 kan elke speler van het spel met drie spelers ´e´en andere speler accepteren om samen een paar te vormen. In het geval dat niemand het voorstel accepteert wordt de fase opnieuw gespeeld, net zo lang totdat iemand het voorstel accepteert. Als er geen paar gevormd wordt, krijgt niemand iets uitbetaald. Wordt er wel een paar gevormd, dan wordt de speler die het voorstel heeft geaccepteerd inactief. Deze speler wordt nu gerepresenteerd door de speler die het voorstel heeft gedaan. De speler die het voorstel heeft gedaan gaat nu samen met de overgebleven speler fase 2 in.

of niet. Als ze niet willen samenwerken, wordt fase 2 herhaald net zo lang totdat de speler het samenwerkingsverband accepteert of totdat de coalitie uit fase 1 tot stand komt. In het laatste geval verdeelt de geaccepteerde speler in fase 1 de waarde van de tweepersoonscoalitie over de twee deelnemende spelers. Als de coalitie in fase 2 wordt gevormd, dan verdeelt de geaccepteerde speler in fase 2 de waarde van de driepersoonscoalitie over de drie deelnemende spelers.

Het experiment van Nash, Nagel, Ockenfels en Selten (2012) is een geprogrammeerd model dat wordt uitgevoerd met behulp van een computer, waardoor geen rekening gehouden wordt met persoonlijke kenmerken van spelers. Dit is een groot nadeel, want in de praktijk spelen persoonlijke kenmerken een grote rol bij het nemen van beslissingen. Individuen die terughoudend zijn bij onderhandelingen zullen minder goed uit de onderhandeling komen ten opzichte van individuen die op de voorgrond treden en precies weten wat ze willen. NNOS hebben een experiment gedaan op basis van niet-co¨operatieve speltheorie. In deze scriptie is een experiment uitgevoerd op basis van de co¨operatieve speltheorie.

Bij dit experiment worden dezelfde tien coalitionele spellen gespeeld als bij het experiment van Nash, Nagel, Ockenfels en Selten (2012) en elk spel wordt gespeeld door drie verschillende spelers. Het enige verschil is dat bij dit experiment de coalitiewaarden vermenigvuldigd zijn met zes. De reden waarom dat is gedaan, is omdat spelers vaak voor ronde getallen kiezen. Ook bij dit experiment is speler A volgens de quota’s de sterkste speler, opgevolgd door speler B en speler C is de zwakste speler. Het experiment wordt met drie spelers uitgevoerd in de vorm van een quota spel. In de praktijk is dit een stuk makkelijker te onderzoeken dan een spel met vier of meer spelers. Bij vier of meer spelers moet al snel gebruik worden gemaakt van een computer, terwijl een quota spel met drie spelers met de hand kan worden uitgerekend. Er zijn vijf rondes waarbij de drie spelers steeds gerouleerd worden. Dit is noodzakelijk omdat de spelers nu met elkaar aan tafel zitten en de mogelijkheid er is dat ze elkaar kennen en er dan sprake kan zijn van een gunfactor die een rol kan gaan spelen bij de keuze van die spelers. Voordat het spel begint krijgen de drie spelers de waarden van elke mogelijke coalitie te zien. Ook krijgen de deelnemers van te voren een instructieformulier

Figuur 2: Instucties en tafelindeling voor een proefpersoon

Figuur 3: Resultatenformulier per spel

uitgereikt, zie figuur 2. Als ze de waarden hebben bestudeerd, begint het spel en hebben ze ´e´en minuut de tijd om tot een gezamenlijk besluit te komen. Dit betekent dat alle drie de spelers het eens moeten zijn met de beslissing. Het is de bedoeling om een coalitie te vormen, dit kan een twee- of driepersoonscoalitie zijn. Komen de drie spelers niet binnen de minuut tot een gezamenlijk besluit, dan krijgt elke speler niets uitbetaald. De tijd die de drie spelers nodig hebben om tot een gezamenlijk besluit te komen wordt bijgehouden. Met deze tijd is achteraf te zien bij welk spel de spelers het snelst tot een besluit komen en waar dit mee te maken heeft. De resultaten worden per ronde op een formulier bijgehouden en opgeslagen, zie figuur 3. De verwachting is dat bij de spellen waar sprake is van een surplus, dit zijn de spellen zeven tot en met tien, er snel een coalitie wordt gevormd. Bij spellen waar sprake is van een tekort wordt er minder snel een coalitie gevormd, omdat geen van de drie spelers minder dan hun quota uitbetaald willen krijgen. Qua verdeling is de verwachting dat de sterkste speler, in dit geval speler A, het meest uitbetaald krijgt en de zwakste speler, speler C, het minst. Als er een deelcoalitie wordt gevormd is de verwachting dat de waarde van de deelcoalitie gelijk is aan de quota’s van de spelers die deelnemen aan de deelcoalitie. Tevens wordt er verwacht dat geen van de spelers minder dan hun quota uitbetaald krijgt, omdat ze geen van allen genoegen nemen met minder. In het volgende hoofdstuk worden de resultaten van dit onderzoek weergegeven en wordt gekeken of mijn verwachting juist was.

4

Resultaten van het onderzoek

In bijlage 1 staan de resultaten van het onderzoek. Er zijn tien spellen gespeeld, die elk vier keer zijn herhaald. Er zijn in het totaal dus 50 waarnemingen. In de eerste drie kolommen staan de vijf verdelingen per spel en in de vierde kolom staat de tijd die nodig is om tot die verdeling te komen. In de vijfde kolom wordt weergegeven of het de grote coalitie of een tweespelercoalitie betreft. De spelers die deel uitmaken van de gevormde coalitie staan weergegeven in de zesde kolom. In het geval dat er een tweepersoonscoalitie wordt gevormd, kan dat een coalitie zijn tussen de spelers A en B, de spelers A en C of de spelers B en C. De vergelijkingen om te bepalen of de core leeg is of niet, staan gegeven in kolom zeven. Tevens staat in bijlage 1 de quota van elke speler per spel. De resultaten zullen nu per spel besproken worden.

Bij de eerste vijf spellen is er geen enkele oplossing die voldoet aan alle voorwaarden. Dit betekent dat de core van deze spellen leeg is. Ook geldt bij de eerste vijf spellen dat de som van de drie quota’s groter is dan de waarde van de grote coalitie: qA+ qB+ qC ≥ v(ABC).

Dit betekent dat de spelers die een coalitie vormen een tekort hebben. Welke coalitie er wordt gevormd en hoe de waarde van die coalitie wordt verdeeld is wel verschillend bij deze spellen. De gemiddelde tijd om tot deze beslissingen te komen is ook anders.

Bij spel 1 is de gemiddelde tijd die de spelers nodig hebben om een coalitie te vormen en om de waarde van die coalitie te verdelen, 44 seconden. Van de vijf waarnemingen wordt de grote coalitie ´e´en keer gevormd, de tweepersoonscoalitie van A en C ook ´e´en keer en de tweepersoonscoalitie van A en B drie keer. Bij spel 2 is de gemiddelde tijd voor het vormen van een coalitie 56 seconden. Er wordt twee keer een coalitie tussen speler A en B gevormd, twee keer tussen speler A en C en ´e´en keer wordt de grote coalitie gevormd. De gemiddelde tijd van spel 3 is 37,8 seconden. Die van spel 4 is 35,2 seconden. Bij spel 3 en spel 4 worden dezelfde coalities gevormd. Bij ´e´en van de vijf waarnemingen wordt de grote coalitie gevormd en bij de andere vier een tweepersoonscoalitie; twee keer tussen de spelers A en B, ´e´en keer tussen de spelers A en C en ´e´en keer tussen de spelers A en B. De tweede waarneming van

spel 3 kan worden gezien als een deelcoalitie tussen speler A en B, omdat speler C eigenlijk niets krijgt in vergelijking tot de andere twee spelers. Bij spel 5 wordt de grote coalitie vier keer gevormd en een tweepersoonscoalitie tussen speler A en B een keer. De gemiddelde tijd die hiervoor nodig was, is 55,6 seconden.

Er is ´e´en unieke oplossing bij spel 6, omdat er maar ´e´en vector x = (xA, xB, xC) is die

aan de volgende voorwaarden voldoet.

xA, xB, xC ≥ 0 (15)

xA+ xB ≥ 600 (16)

xA+ xC ≥ 540 (17)

xB+ xC ≥ 300 (18)

xA+ xB+ xC = 720 (19)

Dit is de verdeling x = (420, 180, 120). De core van dit spel is niet leeg en bestaat alleen uit deze unieke oplossing. Deze is precies gelijk aan de quota’s van de drie spelers. Samen zijn de quota’s 720. Er geldt dus: qA+ qB + qC = v(ABC). Bij dit spel is er geen sprake van

een tekort of een surplus. Vier van de vijf waarnemingen zijn tweespelercoalities; drie keer een coalitie tussen speler A en B en ´e´en keer tussen speler A en C. De vijfde waarneming is de grote coalitie. In figuur 4 zijn de core en de vijf waarnemingen getekend. De gemiddelde tijd om de coalitiewaarde te verdelen is 45 seconden.

Figuur 4: De core en de vijf waarnemingen van spel 6

De laatste vier spellen hebben een niet lege core met meerdere oplossingen. Er voldoen namelijk verschillende verdelingen aan de voorwaarden. De core van deze vier spellen staan samen met de vijf waarnemingen per spel in figuur 5 aangegeven. Ook geldt bij de laatste vier spellen dat de som van de drie quota’s kleiner is dan de waarde van de grote coalitie: qA+ qB + qC ≤ v(ABC). Er is bij deze spellen sprake van een surplus. Drie van de vijf

waarnemingen van spel 7 bestaat uit de grote coalitie. De andere twee waarnemingen zijn tweepersoonscoalities, ´e´en tussen speler A en B en de ander tussen speler A en C. Hier is gemiddeld 47 seconden over gedaan. Ook bij spel 8 wordt bij drie van de vijf waarnemingen de grote coalitie gevormd. De andere twee waarnemingen zijn een coalitie tussen speler A en speler C. De gemiddelde tijd bij spel 8 is 42,2 seconden. Er wordt bij spel 9 en 10 in alle vijf gevallen de grote coalitie gevormd. Bij spel 9 duurde dit gemiddeld 57 seconden en bij spel 10 werd hier gemiddeld 50 seconden over gedaan. Het verloop van de gemiddelde tijden per spel staan aangegeven in figuur 6.

Figuur 5: De core en de vijf waarnemingen van spel 7, 8, 9 en 10

In tabel 3 zijn de resultaten in een kleine tabel samengevat. Hier is te zien dat de grote coalitie in 50% van de gevallen voorkomt. De tweespelercoalitie van speler A en B komt 28% voor, de coalitie van speler A en C 18% en die van speler B en C komt in 4% van de gevallen voor. Hieruit volgt dat speler A in 96% van alle coalities betrokken is, speler B in 82% en speler C in 72%. Als er nu alleen gekeken wordt naar de betrokkenheid in een tweespelercoalitie, dan is speler A in 92% van de gevallen betrokken, speler B in 64% en speler C in 4%. Van alle tweespelercoalities is 56% de coalitie tussen speler A en B, 36% de coalitie tussen speler A en C en 8% de coalitie tussen speler B en C. Dit wordt weergegeven in figuur 7.

Figuur 6: Het verloop van de gemiddelde tijd per spel

Tabel 3: Samenvatting van de resultaten

5

Analyse

De resultaten worden geanalyseerd op basis van drie verschillende kenmerken. Eerst wordt de coalitievorming geanalyseerd. Daarna wordt de core per spel geanalyseerd en tot slot wordt er gekeken naar de gemiddelde speeltijd.

Uit de resultaten blijkt dat bij de eerste vier spellen vaker een tweepersoonscoalitie wordt gevormd dan de grote coalitie. Dit kan komen doordat bij deze spellen er sprake is van een tekort; de drie quota’s gezamenlijk zijn meer waard dan de coalitiewaarde. Als de drie spelers de grote coalitie zouden vormen, dan moeten ze dit tekort verdelen en dat leidt tot ontevredenheid van de spelers. Dit is niet het geval als twee spelers besluiten samen een coalitie te vormen. Het tegenstrijdige hieraan is dat bij spel 5 ook een tekort is, maar bij dit spel wordt wel vaker de grote coalitie gevormd. Dit is te verklaren doordat bij spel 5 de som van de quota’s van speler A en B kleiner is dan de waarde van de grote coalitie. Speler A en B kunnen dan een meerwaarde krijgen als ze de grote coalitie vormen. Bij de eerste vier spellen is qA+ qB gelijk aan de waarde van de grote coalitie, 720. Het vormen van een grote

coalitie heeft dan geen meerwaarde, dus er wordt vaker een deelcoalitie gevormd. Als er een grote coalitie wordt gevormd bij de eerste vier spellen dan is dit altijd de gelijke verdeling. Bij spel 5 is dit niet het geval.

Bij de spellen waarbij de waarde van de coalitie hoger is dan de waarde van de drie quota’s samen, dus waar sprake is van een overschot, wordt vaker de grote coalitie gevormd. Bij spel 9 en spel 10 is zelfs bij elke waarneming de grote coalitie gevormd. Dit komt doordat bij deze spellen het overschot hoger is. Meer overschot om gezamenlijk onderling te verdelen leidt tot meer en snellere tevredenheid van de spelers. Bij een overschot is het aannemelijk dat alle spelers in ieder geval hun quota krijgen uitbetaald en dat rest onderling wordt verdeeld. De resultaten laten zien dat dit niet altijd het geval is. Een goed voorbeeld hiervan is dat bij drie waarnemingen van spel 10 de coalitiewaarde gelijk verdeeld wordt over de drie spelers. Speler B en C krijgen dan beiden meer dan de waarde van hun quota uitbetaald, terwijl speler A minder dan de waarde van zijn quota krijgt. Een verklaring hiervoor zou kunnen

zijn dat speler B en C goed kunnen onderhandelen en sterk aanwezig zijn, terwijl speler A hier niet goed in is. Dit kan bij co¨operatieve spellen voorkomen, omdat de spelers met elkaar moeten onderhandelen. Bij niet-co¨operatieve spellen is dit niet het geval.

De hypothese dat de sterkste speler, in dit geval speler A, het meest vaak een coalitie vormt blijkt uit de resultaten. Speler A is in 96% van alle coalities betrokken en in 92% van de gevallen waarbij een tweepersoonscoalitie wordt gevormd betrokken. Daarentegen worden speler B en speler C respectievelijk 64% en 4% van de gevallen betrokken in een tweepersoonscoalitie. Dit is te verklaren doordat de waarde van een tweepersoonscoalitie met speler A hoger is dan een tweepersoonscoalitie zonder speler A. Speler B en speler C verkiezen dus beide een coalitievorming met speler A boven een coalitievorming met elkaar; een samenwerkingsverband met speler A heeft meer waarde. Als er gekeken wordt naar de resultaten is er inderdaad te zien dat een coalitievorming tussen speler B en C nauwelijks voorkomt. Van de 25 tweepersoonscoalities die gevormd zijn, komt maar twee keer de co-alitie tussen speler B en C tot stand. Dit is maar 8% van alle tweepersoonscoco-alities. Na de waarde van de grote coalitie is de waarde van de coalitie tussen speler A en speler B het hoogst. De resultaten laten zien dat deze coalitie van alle tweepersoonscoalities ook het meeste voorkomt, maar liefst 56%.

Zoals in het vorige hoofdstuk al is laten zien hebben de eerste vijf spellen een lege core, met andere woorden er is geen enkele verdeling x = (x1, x2, x3) die voldoet aan alle

vergelij-kingen. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat er bij deze spellen sprake is van een tekort, aangezien de waarde van de grote coalitie lager is dan de som van de drie quota’s. Een tekort veroorzaakt ontevredenheid van de spelers. Om zo voordelig mogelijk uit de onderhandeling te komen wordt er in dit geval vaak een tweepersoonscoalitie gevormd. Er is te weinig waarde om alle drie de spelers tevreden te stellen. De core van deze spellen is leeg, omdat er bij een tekort sprake is van ontevredenheid van de spelers. Deze spelers zullen dan bezwaar maken. Spel 6 heeft ´e´en unieke verdeling die voldoet aan alle vergelijkingen, dus de core van dit spel is niet leeg. De verdeling waarbij geen van de spelers bezwaar kan maken is gelijk

aan de verdeling waarbij geen van de spelers minder dan hun quota krijgt uitbetaald. Er is in dit geval geen tekort of surplus, dus de enige verdeling in de core is gelijk aan de quota’s. In figuur 4 is deze verdeling aangegeven met een grijze punt. Er is te zien dat de vijf waarnemingen van dit spel niet overeenkomen met dit punt, dus niet in de core zitten.

De core van de laatste vier spellen (aangegeven in figuur 5) is niet leeg. Er zijn zelfs meerdere verdelingen mogelijk. Opvallend is dat de hoeveelheid overschot invloed heeft op de grote van de core. Het overschot bij spel 7, 8, 9 en 10 is respectievelijk 60, 90, 150 en 270. In figuur 5 is te zien dat de core groter wordt naarmate het overschot toeneemt. Ook is te zien dat niet alle waarnemingen in de core zitten. Bij spel 7 liggen alle vijf de waarnemingen buiten de core. Spel 8 en 9 hebben beide twee waarnemingen die buiten de core liggen, de andere drie bevinden zich wel in de core. Alle vijf de waarnemingen van spel 10 liggen in de core. Ook hier is een verband te zien. Naarmate het overschot toeneemt liggen er meer waarnemingen in de core. Een verklaring hiervoor is de grote van de core. De kans dat een waarneming in de core ligt is aanzienlijk hoger bij spel 10, omdat de core hier ook een stuk groter is dan bij de andere drie spellen.

Een mogelijke verklaring voor de waarnemingen die niet in de core liggen is dat een speler genoegen neemt met minder dan zijn of haar quota. Stel dat spelers moeilijk tot een besluit komen, dan kan het zo zijn dat ´e´en van die spelers zichzelf ’opoffert’ zodat ze alsnog gezamenlijk tot een besluit kunnen komen. In de theorie is dit niet mogelijk, omdat de aanname wordt gedaan dat alle spelers rationeel handelen. Uit de resultaten blijkt dat dit in de praktijk wel het geval is. Een andere mogelijke verklaring is dat speler B of spe-ler C in de praktijk een sterkere spespe-ler is dan spespe-ler A. Een sterkere spespe-ler in de zin van beter in onderhandelen, betere verbale communicatie en standvastigheid. Speler A heeft de hoogste quota, maar als speler C sterker is komt het voor dat speler A een stuk minder dan zijn quota uitbetaald krijgt en speler C een stuk meer. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de vijfde waarneming van spel 7. De waarde van de grote coalitiewaarde wordt gelijk verdeeld, terwijl er een onderscheid was in sterkte van spelers. Deze verhouding verandert door het onderhandelingsproces. Dit komt doordat er een co¨operatief spel is gespeeld. Bij

niet-co¨operatieve spellen worden keuzen onafhankelijk van elkaar gemaakt, dus daar blijft de sterkte van spelers wel in tact. Ook is goed te zien dat bij spel 10 speler C veel meer dan zijn quota krijgt uitbetaald. Dit is te verklaren door het overschot. Als speler A en B beide al hun quota krijgen uitbetaalt, zijn ze eerder geneigd om speler C de rest te geven, omdat die speler het zwakst is.

Voordat het onderzoek werd uitgevoerd was verwacht dat de spelers bij de spellen waar sprake is van een tekort meer tijd nodig zouden hebben om tot een gezamenlijk besluit te komen dan bij spellen waar sprake is van een overschot. Als we kijken naar figuur 6 komt deze verwachting niet overeen met het resultaat. Er was een grafiek verwacht waarbij de staafdiagrammen steeds lager zouden worden, maar dat is niet het geval. De gemiddelde tijd bij spellen met een tekort is 45,72 seconden en de gemiddelde tijd bij spellen met een overschot is 48,24. Het diagram geeft geen duidelijkheid of de gemiddelde tijd per spel iets zegt over het vormen van een coalitie.

Bij de spellen 5 en 6 hebben de spelers duidelijk moeite met het vormen van een coalitie en de waardeverdeling. Dit zou kunnen komen doordat bij spel 5 geldt dat er meerwaarde is voor het vormen van een grote coalitie: qA+ qB < 720. En doordat bij spel 6 geen overschot

is.

Het is opvallend dat er een speciaal oplossingsconcept vaak voorkomt; namelijk het op-lossingsconcept van Von Neumann. Von Neumann neemt aan dat ´e´en van de drie spelers een vast bedrag krijgt en dat de rest van het totale bedrag onder de andere twee spelers gelijk verdeeld wordt. In figuur 8 is te zien hoe dit oplossingsconcept er grafisch uitziet. Speler C krijgt standaard het bedrag van de blauwe lijn. Speler A en B verdelen de rest gelijk. De oplossing van Von Neumann wordt aangegeven met de rode stip. Het kan ook voorkomen dat een speler niets krijgt uitbetaald en de andere twee spelers dan de waarde van de deelcoalitie gelijk verdelen. Dit punt wordt dan aangegeven op de rand van de driehoek. In figuur 9 staat per spel aangegeven hoe vaak de Von Neumann oplossing voorkomt. In de grafiek is

te zien dat het aantal von Neumann oplossingen per spel toeneemt. Hoe meer overschot er is, hoe vaker er dus voor zo’n oplossing wordt gekozen.

Figuur 8: Von Neumann oplossingsconcept

6

Conclusie

Met behulp van de resultaten en de analyse in de voorgaande hoofdstukken kunnen we een aantal conclusies trekken. Er is een verband tussen de coalitievorming en het hebben van een tekort of overschot. Als er sprake is van een tekort dan ligt de voorkeur bij een tweepersoonscoalitie. Is er sprake van een overschot dan wordt er vaker voor de grote coalitie gekozen. Tevens blijkt dat de sterkste speler het meest en de minst sterke speler het minst betrokken is bij het vormen van een tweepersoonscoalitie. Hieruit wordt geconcludeerd dat de voorafbepaalde ’sterkte’ van een speler invloed heeft op de keuzes van de spelers. Deze voorafbepaalde ’sterkte’ kan worden vereenvoudigd door de persoonlijkheden van de spelers. Iemand met een sterke mening die speler C is, kan bij de onderhandeling sterker spelen dan speler A. Dit is het voornaamste verschil met het experiment van NNOS. Daar maken spelers onafhankelijk van elkaar een keuze. Goede onderhandelingstechnieken hebben dan geen invloed op de keuze.

Er bestaat een verband tussen een tekort of overschot en een lege of niet lege core. Bij een tekort is de core van een spel leeg en bij een overschot is deze niet leeg, sterker nog: er zijn meerdere verdelingen mogelijk. Als er bij een spel geen sprake is van een tekort of een overschot dan is de core niet leeg, maar is er ´e´en verdeling. In dat geval is deze gelijk aan de quota’s; zo spelen alle spelers quitte. Als er sprake is van een overschot, dan zegt de grootte hiervan iets over de grootte van de core. De core wordt groter als het overschot stijgt.

Of de gemiddelde tijd die nodig is om tot een gezamenlijk besluit te komen iets zegt over welke coalitie gevormd wordt, is niet duidelijk geworden uit de resultaten. Bij een tekort en een overschot is over het algemeen ongeveer even veel tijd nodig.

Er is nog weinig onderzoek gedaan naar co¨operatieve spellen. Om te kunnen veronder-stellen dat deze conclusies algemeen geldig zijn is extra onderzoek nodig. Dit onderzoek bevat 50 waarnemingen, dit is weinig en daarom gevoelig voor uitschieters. Daarnaast is het onderzoek uitgevoerd met studenten die elkaar al eerder hebben ontmoet, wat invloed kan hebben op de resultaten. Om nauwkeurige resultaten te krijgen in een volgend onderzoek is het noodzakelijk om meer waarnemingen te vergaren.

Referenties

[1] (2000). De Revisor, Jaargang 27.

[2] Bondareva, O. (1963). Some applications of linear programming methods to the theory of cooperative games. Problemy Kibernetiki, 10, 119-39.

[3] Maschler, M., & Davis, M. (1965, September). The Core of a Cooperative Game. Naval Research Logistics Quarterly, 12 (3), 223-259.

[4] Maschler, M., Solan, E., & Zamir, S. (2013). Game Theory. New York: Cambridge University Press.

[5] Myerson, R. B. (1991). Game Theory: Analysis of Conflict. London, England: Harvard University Press.

[6] Nash, J. F., Nagel, R., Ockenfels, A., & Selten, R. (2012, December 11). The agencies method for coalition formation in experimental games. PNAS, 109, 20358-20363.

[7] Peters, H. (2007). Speltheorie voor economen. Maastricht: Universiteit Maastricht. [8] Shapley, L.S. & Shubik, M. (1969). On market games. Journal of Economic Theory, 1

(1), 9-25.

[9] Van Damme, E. (2009). Speltheorie. Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs, 109 (2), 90-91.

[10] Von Neumann, J. (1928). Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Math. Annalen, 100, 295-320.

[11] Von Neumann, J., & Morgernstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Beha-vior. Princeton: Princeton University Press.