Bachelor Econometrie
Bachelorscriptie
Heuristieken switchmodel
toegepast op aandelenprijzen
Sharon Keizer (10359540)
Begeleider Cars Hommes
29 juni 2015
I
NHOUDSOPGAVE
1. Inleiding ... 1 2.Theoretisch Kader ... 3 2.1 Verwachtingen ... 3 2.2 Heuristieken ... 3 2.3 Heterogene agentenmodel ... 4 2.4 Fundamentele waarden ... 6 2.5 Hypothese ... 7 3.Onderzoeksopzet ... 8 3.1 Dataset ... 8 3.2 Model ... 9 3.3 Gemiddelde kwadratenfout ... 10 4.Resultaten en Analyse ... 114.1 Parameters van het model ... 11
4.2 Analyse resultaten - Gordon ... 12
4.3 Analyse resultaten – Campbell en Cochrane ... 14
4.4 Beoordeling resultaten ... 15 4.5 Vergelijken onderzoeken ... 16 4.6 Verbetering onderzoek ... 18 5.Conclusie ... 19 Bibliografie ... 21 Bijlagen ... I Grafieken ... II Matlabcode ...
1
1.
I
NLEIDING
In de economie zijn de verwachtingen van individuen heel belangrijk. Deze verwachtingen beïnvloeden namelijk de beslissingen die genomen worden door handelaren op de markt en hierdoor ook de gerealiseerde marktprijzen en verhandelde hoeveelheden. De verwachtingen van individuen zijn vaak voor een deel gebaseerd op de marktgeschiedenis, terwijl de marktprijzen weer gevormd wordt door individuele verwachtingen. Dit proces van wederzijdse feedback blijft zich herhalen en kan door te optimistische of te negatieve verwachtingen grote pieken en dalen veroorzaken (Hommes, 2011, p. 1).
De traditionele theorie gaat uit van individuen met rationele verwachtingen, er is geen ruimte voor marktpsychologie of irrationele agenten. De basis voor deze theorie wordt gelegd in het werk van Muth (1961) en Lucas (1972). Er wordt verondersteld dat er perfecte kennis van de economie is. Experimenten met proefpersonen hebben echter aangetoond dat deze veronderstellingen niet heel realistisch zijn.
De psychologische experimenten van Kahneman en Tversky (1973) en Tversky en Kahneman (1974) concluderen dat de beslissingen die mensen maken onder onzekerheid vaak beter beschreven kunnen worden door eenvoudige heuristieken. Het begrip begrensd rationeel wordt geïntroduceerd door Simon (1957). Doordat veel economen zijn gaan inzien dat rationaliteit onrealistisch sterke veronderstellingen heeft, groeide de interesse in begrensde rationaliteit in de jaren 90 (Hommes, 2006, p. 5). Sargent (1993) concludeert dat agenten ook gebruikmaken van adaptief leren bij het maken van voorspellingen. Dit houdt in dat ze observaties van tijdreeksdata gebruiken om hun verwachtingen te bepalen, leren van voorgaande resultaten en daar hun gedrag op aanpassen. Dit leidde uiteindelijk tot het ontstaan van het heterogene agentenmodel (HAM).
Anufriev en Hommes (2012) introduceren het heuristieken switchmodel (HSM), dit model is een generalisatie van het heterogene agentenmodel uit Brock en Hommes (1997). Dit model wordt toegepast op de data van een experiment met proefpersonen. De taak van de deelnemers was om een voorspelling van de prijs van een risicovol product te geven van twee perioden in de toekomst, zonder de voorspelformule te kennen. Uit het experiment komen vier gemeenschappelijke voorspelregels naar voren die de voorspellingen van de deelnemers goed beschrijven. Het homogene verwachtingenmodel verklaart niet waarom verschillende patronen in gedrag gevonden zijn in verschillende sessies. Hiervoor is een model met heterogene verwachtingen nodig waar deelnemers kunnen wisselen tussen strategieën als ze in het verleden hebben geleerd dat hun strategie niet werkt. Het heuristieken switchmodel is een voorbeeld van een model met evolutionaire selectie tussen verschillende voorspelstrategieën.
Het principe van variëren tussen verschillende heuristieken kan ook worden toegepast op echte financiële data die niet uit een experiment afkomstig zijn. Hommes en In ’t Veld (2014) schatten op basis van de kwartaaldata van de S&P500 aandelenprijzen het heterogene agentenmodel (HAM). In dit onderzoek staat het verklaren van de dot.comzeepbel in de jaren 1990 en de financiële crisis in 2008 centraal. Ze gebruiken een
2
switchmodel met twee heuristieken: fundamentalisten die geloven dat de prijzen uiteindelijk zullen terugkeren naar de fundamentele waarde en trendvolgers die geloven in een voortzetting van de trend. Dit alles leidt uiteindelijk tot de volgende vragen: Wat zal er met de resultaten van het model gebeuren als er niet twee, maar meer heuristieken gebruikt worden om de gebeurtenissen te verklaren? Geeft dit betere resultaten of juist niet?
Dit onderzoek focust zich op de manier waarop het heuristieken switchmodel met de vier heuristieken uit Anufriev en Hommes (2012) toegepast kan worden op de tijdreeksdata van de S&P500 aandelenprijzen. Deze data komt uit het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014). Er worden vier voorspelstrategieën gebruikt om de schommelingen van de aandelenprijzen, met in het bijzonder de dot.comzeepbel en de financiële crisis, te verklaren. Het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014) wordt opnieuw uitgevoerd met vrijwel hetzelfde model. Een paar kleine aanpassingen zijn noodzakelijk, omdat nu vier heuristieken gebruik worden in plaats van twee. De voorspelresultaten worden bepaald door eerst de fundamentele waarden te berekenen met het dynamische model van Gordon (1962) met een constante risicopremie en daarna met het model van Campbell en Cochrane (1999) met tijdvariërende risicopremie. Vervolgens worden bij beide fundamentele waarden modellen ook de waarden van de variabele van het heuristieken switchmodel bepaald. Hiermee kunnen de fracties van handelaren die een bepaalde heuristiek gebruiken in een periode bepaald worden. Ook wordt bekeken of de resultaten van dit onderzoek met vier verschillende soorten handelaren overeenkomen met de resultaten van het onderzoek met fundamentalisten en trendvolgers van Hommes en In ’t Veld (2014).
Het volgende hoofdstuk bespreekt de achterliggende theorieën van het heuristieken switchmodel en geeft het model dat de basis vormt van dit onderzoek. Ook wordt een hypothese geformuleerd over de resultaten. Vervolgens worden de opzet en de inhoud van het onderzoek toegelicht in hoofdstuk 3 en in hoofdstuk 4 worden de resultaten gepresenteerd, geanalyseerd en beoordeeld. Vervolgens wordt een vergelijking gemaakt met het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014). Afgesloten wordt met een conclusie die een samenvatting geeft van het voorafgaande en een antwoord geeft op de onderzoeksvraag.
3
2.
T
HEORETISCH KADER
Dit hoofdstuk bespreekt de achterliggende theorieën van het heuristieken switchmodel dat de basis vormt van dit onderzoek. Eerst wordt het heterogene agentenmodel besproken met de gebruikte heuristieken en daarna worden de modellen van de fundamentele waarden behandeld. Ten slotte wordt een hypothese geformuleerd over de resultaten van het onderzoek.
2.1 Verwachtingen
De overgang van agenten met rationele verwachtingen naar agenten met heterogene verwachtingen vond geleidelijk plaats in de vorige eeuw. In de afgelopen jaren is veel onderzoek gedaan naar modellen met heterogene verwachtingen en agenten met begrensde rationaliteit. Het heterogene agentenmodel is toegepast op verschillende markten om de validiteit van heterogene verwachtingen te toetsen (Hommes, 2011, p. 2). Dit wordt bijvoorbeeld gedaan met tijdreeksdata van aandelenprijzen in Hommes en In ’t Veld (2014), met inflatiedata in Cornea, Hommes en Massaro (2013) en met data van huizenprijzen in Bolt et al. (2014). Hier wordt de hypothese geformuleerd dat het model van heterogene verwachtingen betere resultaten geeft dan het fundamentele model met rationele verwachtingen.
Laboratoriumexperimenten hebben aangetoond dat individuen vaak geen rationele beslissingen nemen. In een experiment van Smith, Suchanek, & Williams (1988) wordt een instabiele marktomgeving gecreëerd waar geen evenwicht op de markt wordt bereikt, maar zeepbellen en crashes kunnen ontstaan. Als agenten rationeel zijn, is dit niet mogelijk.
De leren-te-voorspellen experimenten uit Hommes (2011) en Anufriev en Hommes (2012) bevestigen de heterogene agentenhypothese. Ze hebben als doel verschillende theorieën te toetsen die betrekking hebben op heterogene verwachtingen en adaptief leren. Financiële experts gebruiken verschillende voorspelstrategieën om financiële data te voorspellen. Het gewicht dat gegeven wordt aan bepaalde voorspelmethoden kan geleidelijk variëren in de tijd. Evolutionaire selectie is het leermechanisme dat gebruikt wordt bij het heuristieken switchmodel; individuen kunnen wisselen naar een andere heuristiek als ze in het verleden hebben geleerd dat hun strategie niet werkt. De gebruikte heuristieken en de gerealiseerde prijs hebben effect op elkaar door wederzijdse feedback en zijn samen een dynamisch proces (Anufriev & Hommes, 2012, p. 49).
2.2 Heuristieken
Uit het experiment dat besproken wordt in Anufriev en Hommes (2012) blijkt dat er vier gemeenschappelijke voorspeltechnieken zijn die het gedrag van de proefpersonen bij het voorspellen van de prijzen het beste beschrijven. De prijsformule van de adaptieve verwachtingen heuristiek (ADA) is van de vorm
4
. (1)
Hier is de laatst geobserveerde waarde en de laatst voorspelde waarde. Voor w = 1
wordt deze formule gereduceerd tot naïeve verwachtingen, waarbij de voorspelling van
gelijk is aan de laatste observatie . De tweede heuristiek is de trendvolgende
methode, de formule van de prijsvoorspelling is
(2)
De laatst geobserveerde prijs wordt als uitgangspunt gebruikt en er wordt aangepast in de richting van de laatste prijsverandering. De coëfficiënt γ bepaalt de sterkte van de aanpassing; een waarde groter dan 1 geeft sterke trend (STF) en kleiner dan 1 een zwakke trend (WTF). De laatste heuristiek is de verankering en aanpassende verwachting (LAA):
(3)
Bij deze voorspelmethode wordt als anker het gemiddelde genomen van de laatste observatie pt-1 en het gemiddelde van alle voorgaande observaties pavt-1. Hier wordt nog een
aanpassing in de richting van de laatste prijsverandering aan toegevoegd.
De vier voorspeltechnieken, die het gedrag van de deelnemers uit het experiment het beste beschrijven, worden gebruikt als heuristieken bij dit onderzoek, waarbij het model gedefinieerd is als in het artikel van Hommes en In ’t Veld (2014).
2.3 Heterogene agentenmodel
Het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014) bestaat uit het schatten van een eenvoudig heterogene agentenmodel (HAM) met handelaren met begrensde rationaliteit waarbij de fundamentele waarde van aandelenprijzen bekend is. Handelaren hebben verschillende verwachtingen van de markt, sommige gaan ervan uit dat de prijzen altijd zullen terugkeren naar de fundamentele waarde en anderen geloven dat de prijzen een bepaalde trend volgen (Hommes C. , 2006). Er wordt gebruikgemaakt van een heuristieken switchmodel dus handelaren kunnen van strategie veranderen en leren van hun voorgaande prestaties. In dit onderzoek worden niet de twee heuristieken uit Hommes en In ’t Veld (2014) gebruikt, maar de vier heuristieken uit het experiment van Anufriev en Hommes (2012).
Cheng et al. (2012) concluderen op basis van een aantal economische artikelen over het heterogene agentenmodel dat de eenvoudige vergelijking tussen fundamentalisten en trendvolgers meestal voldoende is om data over prijsschommelingen te verklaren. De vraag is wat er gebeurt als meer soorten opvattingen gebruikt worden om de data te verklaren.
Kwartaaldata van de S&P500 aandelenprijzen laten zien dat het marktsentiment wisselt tussen verschillende gedragsstrategieën. Dit wisselen tussen verschillende strategieën versterkt de pieken en dalen in de economie. In Hommes en in ’t Veld (2014) wordt gekeken of het HAM de grote zeepbel in de jaren 90 en het crashen van de markt tijdens de financiële crisis in 2008 beter kan verklaren dan het benchmarkmodel.
5
Het model dat gebruikt wordt is een generalisatie van het prijsmodel van Brock en Hommes (1998) en Boswijk et al. (2007) dat tijdsvariatie in dividenden en discontovoeten toestaat. Handelaren zijn in staat om de fundamentele waarde te bepalen, maar hebben verschillende strategieën om de prijs van het aandeel in de volgende periode te voorspellen. De waarden van het HAM met verschillende heuristieken worden afgezet tegen de fundamentele waarden van het model van Gordon (1962) en het model van Campbell en Cochrane (1999). Eerst wordt een standaardformule van de prijs van een risicovol product (Cochrane, 2001) gegeven met dividend en discontovoet :
(4)
Om de heterogeniteit te modelleren worden H verschillende typen handelaren beschouwd die verschillende verwachtingen hebben. De prijs-dividendratio is van de vorm
(5)
met 1/R* de verwachte effectieve discountfactor en de fracties van de handelaren die
bepaalde verwachting gebruiken. Vervolgens kan het HAM worden geformuleerd als de
prijsafwijking van de fundamentele waarde. Deze variabele kan geschreven worden als – (6)
waarbij de voorspelling is van de afwijking voor strategie h en de
prijs-dividendratio van de fundamentele waarde. Het standaard prijsmodel uit (4) is nu omgeschreven tot een dynamisch heterogene agentenmodel. Aangenomen wordt dat de handelaren dezelfde opvatting hebben over de fundamentele waarde.
Het HAM uit vergelijking (6) kan geschreven worden als een econometrisch AR(1)-model met tijdvariërende parameter en een foutterm. Hommes en In ’t Veld (2014) gebruiken
H = 2, de vergelijking wordt:
(7) De tijdsvariërende coëfficiënt ϕt is het gemiddelde marktsentiment. De fracties van
handelaren die een bepaalde strategie gebruiken hangen af van de vier te bepalen parameters en alle voorgaande geobserveerde waarden van :
(8)
In het model is sprake van positieve verwachtingen feedback, als het algemene marktsentiment hoger is dan zal de gerealiseerde prijs ook hoger zijn. Als bijvoorbeeld trendvolgend gedrag overheerst dan kunnen tijdelijke zeepbellen ontstaan die versterkt worden door trendvolgende verwachtingen (Hommes & In 't Veld, 2014, p. 10).
6
2.4 Fundamentele waarden
Het eerste model dat Hommes en In ’t Veld (2014) gebruiken als fundamentele waarde is het model van Gordon (1962) dat uitgaat van dividenden en een constante risicopremie. Er wordt geen standaardmodel gebruikt, maar een dynamisch model net als in Boswijk et al. (2007) waarbij handelaren mogelijke veranderingen in toekomstige parameters kunnen bepalen uit data van dividenden en de rentevoet op tijdstip t. Hierdoor is het model flexibeler en is het mogelijk om tijdvariatie te hebben in de fundamentele prijs-dividendratio rond . De fundamentele prijs-dividendratio wordt gegeven door een eerste ordebenadering:
(9) De parameter g is de groeivoet van het dividend en r is de som van de verwachte risicovrije rentevoet plus de risicopremie. De overige parameters worden bepaald door
(10) Om de waarde van δt* te schatten wordt de kwartaaldata van de S&P500 van prijzen en
dividenden gebruikt met T = 252 observaties van het eerste kwartaal van 1950 tot het laatste kwartaal van 2012.
Het tweede model voor de fundamentele aandelen indexwaarde is het consumptie-gewoontemodel van Campbell en Cochrane (1999) met een tijdvariërende risicopremie. Dit houdt in dat investeerders een hogere risicopremie vragen als de consumptie daalt tijdens een recessie en omgekeerd bij een opleving van de economie juist minder risicomijdend worden. De variabele in dit model is de relatieve afstand tussen het voorschrijdende gemiddelde consumptieniveau en de gerealiseerde consumptie, deze afstand heet het consumptiesurplus. De geschatte consumptiesurplusratio laat macro-economische trends zien in de data. Vervolgens wordt het model gefit op echte prijs-dividendratio. De consumptiesurplusratio wordt gegeven door
(11) met het consumptieniveau en de gemiddelde consumptie. De logconsumptiesurplusratio wordt gedefinieerd als = log . In Campbell en Cochrane (1999) wordt aangenomen dat deze ratio als een heteroscedastisch AR(1)-proces geschreven kan worden:
(12)
De symbolen , en zijn de parameters van de consumptiesurplusratio, = log Ct en = + + met .
7
De prijs-dividendratio wordt in Hommes en in ’t Veld (2014) bepaald door:
(13) met b en p groter dan 0 en de foutterm. Deze manier van schatten is minder precies dan
de methode die Campbell en Cochrane (1999) gebruiken, maar geeft een soortgelijk resultaat. Door een grote verschuiving in de aandelenmarkt in de jaren 90 wordt een structurele breuk aan de consumptiesurplusratio toegevoegd om een beter schattingsresultaat te krijgen:
(14)
Deze vergelijking wordt gebruikt bij het bepalen van de variabele = . Door de breuk in 1995 kan het model beter gefit worden op de data.
2.5 Hypothese
Met het beschreven heterogene agentenmodel waar geswitcht kan worden tussen verschillende methoden en de modellen waarmee de fundamentele waarden worden bepaald, kan een variabele gedefinieerd worden die de prijsafwijking is van de fundamentele waarde. De hypothese van het onderzoek van Hommes en in ’t Veld (2014) is dat door het model met rationele verwachtingen uit te breiden met heterogeniteit en een switchmechanisme het in staat is om een betere verklaring te geven van de schommelingen in de aandelenprijzen. Het ontstaan van de zeepbel in de jaren 90 en de financiële crisis in 2008 worden beter beschreven door dit model dan door een model met rationele verwachtingen.
De heuristieken die gebruikt worden in het experiment van Anufriev en Hommes (2012) worden in dit onderzoek in de praktijk toegepast op de data van aandelenprijzen. De verwachting is dat door het toevoegen van deze extra heuristieken waartussen de handelaren kunnen variëren, het model gedetailleerder wordt en de aandelenprijzen beter geschat kunnen worden. In het oorspronkelijke onderzoek van Hommes en in ’t Veld (2014) werd er gewerkt met alleen fundamentalisten en trendvolgers, nu zijn er handelaren met adaptieve verwachtingen, zwakke en sterke trendvolgers en handelaren die gebruik maken van verankering en aanpassing. De hypothese in dit onderzoek is dat het gebruiken van vier heuristieken in plaats van twee betere resultaten oplevert. De verdere details en opzet van het onderzoek worden besproken in het volgende hoofdstuk.
8
3.
O
NDERZOEKSOPZET
In het vorige hoofdstuk is de achterliggende theorie besproken die in dit onderzoek gebruikt wordt. Een aantal belangrijke veronderstellingen zijn gemaakt, modellen zijn geformuleerd en variabelen gedefinieerd. Kortom, de basis van het onderzoek is gelegd en wordt verder uitgebreid in dit hoofdstuk. Eerst wordt besproken hoe de dataset eruitziet, vervolgens wordt het model gedetailleerd beschreven en tot slot komt een manier om de resultaten te beoordelen aan bod.
3.1 Dataset
De data die gebruikt wordt om het model te schatten zijn de kwartaaldata van de S&P500 aandelenprijzen en dividenden, gecorrigeerd voor de inflatie. De S&P500 is de beursindex van de aandelenmarkt in de Verenigde Staten waarin de 500 grootste Amerikaanse bedrijven zijn opgenomen gemeten naar marktkapitalisatie. De tijdreeks loopt vanaf het eerste kwartaal van 1950 tot het laatste kwartaal van 2012. De oorspronkelijke data komt van Shiller (2000) en is aangepast door Hommes en in ’t Veld (2014) voor hun eigen onderzoek.
Figuur 1:Tijdreeks van de S&P500 prijs-dividendratio en de fundamentele prijs-dividendratio van het
Gordon model (bovenste) en het model van Campbell en Cochrane (onderste).
9
Ook de data van de fundamentele prijs geschat met het dynamische model van Gordon (1962) of het consumptiegewoontemodel van Campbell en Cochrane (1999) komt uit het onderzoek van Hommes en in ’t Veld (2014). Met deze tijdreeksen kunnen de fundamentele en de gerealiseerde prijs-dividendratio bepaald worden. De fundamentele waarden zijn berekend met de vergelijkingen die in het theoretisch kader te vinden zijn en de gerealiseerde waarden zijn berekend door de tijdreeks van de prijs te delen door de tijdreeks van de dividenden. Vervolgens kan de tijdreeks van de variabele berekend
worden. Deze tijdreeks wordt weer gebruikt bij het bepalen van de fracties van handelaren
van het model, dit wordt gedaan met Matlab. Hiervoor moeten nog een aantal
parameters uit het model worden gedefinieerd.
3.2 Model
In het theoretisch kader is het model van Hommes en In ’t Veld (2014) behandeld. Zij bepalen eerst de fundamentele waarde van de prijs met het model van Gordon (1962) of het model van Campbell en Cochrane (1999). Met deze waarden kunnen de fundamentele prijs-dividendratio berekend worden door vergelijking (9) en (14). Vervolgens wordt het heterogene agentenmodel geschat met vergelijking (6) door de data te gebruiken van de S&P 500:
–
.
Het model is omgezet naar een model met H = 4 verschillende soorten handelaren. De vier soorten handelaren zijn respectievelijk de handelaren met adaptieve verwachtingen (ADA), zwakke (WTF) en sterke trendvolgers (STF) en handelaren die gebruikmaken van verankering en aanpassing (LAA). De formules van de prijsvoorspellingen van deze handelaren
zijn te vinden in het theoretisch kader, dit zijn (1), (2) en (3). Deze formules van prijsvoorspellingen worden gebruikt om de variabele , de afwijking van de fundamentele prijs-dividendratio, te voorspellen. De heuristieken kunnen geschreven worden als:
(15) (16) (17)
De formules voor 1/R* en aangepast naar vier strategieën (H=4) zijn respectievelijk:
(18)
(19)
10
Hier is de groetvoet, β de intensiteit van de keuze en α de parameter voor asynchroon updaten. Om de prestaties van de verschillende methoden te meten wordt een absolute
voorspelfout gebruikt. Deze vergelijkingen wijken af van het model van Hommes en In
’t Veld (2014) en komen uit Cornea, Hommes, & Massaro (2013):
(20)
(21)
Hier is K het aantal vorige perioden dat gebruikt wordt om de absolute fout te bepalen. Als de absolute voorspelfout voor een bepaalde methode h afneemt en de prestatiemeter boven de andere methoden uitkomt, dan zullen meer handelaren deze methode gaan gebruiken (Hommes en In ’t Veld, 2014). Er wordt een plot gemaakt van de fracties om
te kijken hoe de fracties zich tot elkaar verhouden in de tijd. In de eerste periode zijn de fracties allemaal gelijk aan 1/4, maar later veranderen deze verhoudingen. Uit deze tijdreeksen van de fracties kan veel informatie gehaald worden over het voorspelgedrag van de handelaren.
3.3 Gemiddelde kwadratenfout (MSE)
De laatste stap is de voorspellingen van de waarde te vergelijken met de gerealiseerde waarden van en de resultaten te beoordelen. Dit wordt gedaan door de gemiddelde kwadratenfout (MSE) van de vier voorspelmethoden te bepalen en de resultaten met elkaar te vergelijken. Ook wordt de MSE van de voorspelling bepaald. De vergelijking van de gemiddelde kwadratenfout is:
(22) De parameters worden zo gekozen dat de schatting een zo klein mogelijke gemiddelde kwadratenfout heeft, dit geeft de beste voorspelling van de waarde en zorgt voor een duidelijke grafiek van de fracties Daarnaast wordt een vergelijking gemaakt tussen de
resultaten van het model met het dynamische Gordon model of het consumptiegewoonte- model van Campbell en Cochrane (1999) als fundamentele waarde. Tot slot worden de resultaten van het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014) met twee heuristieken vergeleken met de resultaten van dit onderzoek met vier heuristieken. Hierbij wordt vooral gelet op het verklaren van de zeepbel in de jaren 90 en de financiële crisis in 2008.
11
4.
R
ESULTATEN EN
A
NALYSE
In het vorige hoofdstuk is beschreven hoe de resultaten bepaald en beoordeeld worden. Dit hoofdstuk gaat over het beschrijven van deze resultaten en de analyse hiervan. Mogelijke verklaringen voor grote pieken en dalen in de data worden gegeven en verdere vragen naar aanleiding van de resultaten worden besproken. Eerst komt het bepalen van de parameters in het model aan bod, daarna worden de resultaten gepresenteerd, geanalyseerd en beoordeeld en tot slot wordt een vergelijking gemaakt met de resultaten uit het onderzoek van Hommes en In ’t Veld(2014). Afgesloten wordt met een verbetering van het oorspronkelijke onderzoek.
4.1 Parameters van het model
De parameters van het model zijn gekozen op basis van de gemiddelde kwadratenfout (MSE) van de voorspelling. Een zo klein mogelijke fout geeft het beste voorspelresultaat. De parameters α en β zijn geoptimaliseerd door de waarden te kiezen die de kleinste MSE opleveren. Dit is gedaan door eerst een groot interval te kiezen waarop de waarden van α en β variëren. Als duidelijk is in welk interval de waarde van de MSE het kleinst is, wordt het interval verkleind net zolang tot de kleinste MSE gevonden is. Dit leidde tot de volgende waarden van de parameters voor het model met het dynamische model van Gordon (1962) of het model van Campbell en Cochrane (1999) als fundamentele waarde:
Tabel 1: Bepaalde waarden van de parameters van het model
(ADA) (WTF) (STF) β K
Gordon 0.65 0 1.3 1.008 0.87 36 4
C & C 0.65 0 1.3 1.008 0.98 61 4
Hierbij is w de coëfficiënt van de adaptieve heuristiek, en de coëfficiënten van de zwakke en sterke trendvolgers, R* de discontovoet per kwartaal, α de coëfficiënt van asynchroon updaten, β de intensiteit van de keuze en K het aantal vorige perioden dat gebruikt wordt bij het bepalen van de absolute voorspelfout.
De parameter K uit vergelijking (20) is gelijkgesteld aan vier, omdat het kwartaaldata van aandelen betreft. Dit zorgt ervoor dat alleen het voorafgaande jaar gebruikt wordt bij het bepalen van de absolute voorspelfout. De waarde van R* is overgenomen uit Hommes en In ’t Veld (2014). Eerst zijn de parameters van de heuristieken , en vastgezet op respectievelijk 0.65, 0 en 1.3 om een grid search uit te kunnen voeren voor de coëfficiënt van asynchroon updaten en de intensiteit van de keuze β. De waarde van van de adaptieve verwachtingen heuristiek en de waarde van van de sterke trendvolgende heuristiek zijn overgenomen uit Anufriev en Hommes (2012). De parameter van de zwakke trendvolgende heuristiek is aan 0 gelijk gesteld, omdat dit de kleinste MSE opleverde bij verschillende waarden van α en β. Deze formule wordt nu , de
12
verwachting is dus gelijk aan de laatste observatie. De waarden zijn bij beide modellen hetzelfde gekozen, omdat op deze manier de resultaten van de modellen beter met elkaar vergeleken kunnen worden. Bij het eerste model zijn de waarden van α en β die de kleinste MSE opleverden in de grid search 0.87 voor α en 36 voor β. Bij het tweede model is dezelfde aanpak gebruikt. Al snel kwam naar voren dat α = 0.98 en β = 61 de kleinste MSE gaven bij de waarden van de parameters van de heuristieken. De bijbehorende gemiddelde kwadratenfouten van de beide modellen zijn weergeven in tabel 2.
Met de parameters uit tabel 1 zijn de fracties en voorspelde waarden van
bepaald in Matlab. Bovendien zijn de gemiddelde kwadratenfouten berekend voor elke voorspelmethode en voor de uiteindelijke totale voorspelling van Met deze data is een plot gemaakt van de fracties van de vier heuristieken: adaptieve verwachtingen (ADA), zwakke (WTF) en sterke trendvolgers (STF) en de methode van verankering en aanpassing (LAA). Om verklaringen van pieken en dalen in de tijdreeks van te kunnen geven aan de hand van de gebruikte heuristieken, is ook een plot gemaakt van de gerealiseerde en de voorspelde waarden van
4.2 Analyse resultaten - Gordon
In figuur 1 zijn de waarden van de prijs-dividendratio van de S&P500 en de fundamentele waarden weergegeven van zowel het dynamische Gordon (1962) als het Campbell en Cochrane (1999) consumptiegewoontemodel. Eerst worden de resultaten besproken met de Gordon fundamentele waarde, later komen de resultaten met de Campbell en Cochrane fundamentele waarde aanbod.
De grafiek van de prijs-dividendratio van de S&P500 laat duidelijk grotere schommelingen zien dan de PD-ratio van de Gordon fundamentele waarde. Vooral in de periode na 1995 was de ratio van de S&P500 veel hoger. Dit kwam voornamelijk door het stijgen van de aandelenprijzen van bedrijven in de internet en technologiesector. Deze zeepbel was op zijn hoogtepunt rond het jaar 2000 en was met een waarde van ongeveer 90 drie keer zo hoog dan de fundamentele PD-ratio met een constante risicopremie (Hommes & In ’t Veld, 2014, p. 12). Na 2000 gingen de prijzen gestaag naar beneden, maar de PD-ratio bleef ook gedurende de financiële crisis in 2008 boven de fundamentele PD-ratio. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat het dividend bleef stijgen tot 2008 door activiteiten van grote banken, waardoor de prijzen ook omhoog gingen. Pas na het faillissement van de Lehman Brothers in 2008 stortte de aandelenmarkt in (Hommes & In ’t Veld, 2014).
In figuur 2 zijn in de tijdreeks van x een hoge piek in de jaren 90 en een flink dal in 2008 te zien. Dit onderzoek focust zich op het verklaren van deze twee gebeurtenissen met het heuristieken switchmodel met vier heuristieken. De handelaren kunnen van methode switchen als blijkt dat hun methode minder goed presteert. Dit switchen van handelaren tussen de verschillende heuristieken is te zien in figuur 2. Elke periode gebruikt een deel van de handelaren een bepaalde methode, deze fracties zijn berekend met vergelijking (19). De bovenste afbeelding in figuur 2 geeft de gerealiseerde en voorspelde waarden van x(t)
13
Figuur 2: Grafiek van de gerealiseerde en voorspelde waarden van x(t), samen met de fracties van
handelaren die een bepaalde heuristiek gebruiken, onder het Gordon model.
weer. De voorspelling van x(t) volgt de patronen in de tijdreeks van de gerealiseerde waarden goed. De piek in de jaren 90 en de financiële crisis zijn ook beide goed voorspeld door het model. In de onderste afbeelding van figuur 2 is te zien dat gedurende de hele periode de adaptieve verwachtingen (ADA, blauw) en zwakke trendvolgende (WTF, roze) heuristieken de overhand hadden. Bij de sterke trendvolgers (STF, zwart) en gebruikers van verankering en aanpassing (LAA, rood) bleven de fracties voornamelijk onder de 20 procent. Wel valt op dat vanaf 1995 het aantal sterke trendvolgers toenam. Vlak voor het hoogtepunt van de zeepbel was het percentage van de zwakke en sterke trendvolgers samen ruim 70 procent. De ADA heuristiek is hier afgenomen tot nog maar 20 procent en LAA heuristiek tot bijna nul procent. Door het trendvolgende gedrag van de handelaren werd het effect van de prijsstijging nog meer versterkt. Nadat de zeepbel uit elkaar spatte, daalde het aantal sterke trendvolgers van 30 naar onder de 10 procent. De ADA heuristiek steeg daarentegen naar 50 procent. Het aantal handelaren dat de LAA heuristiek gebruikte, bleef lange tijd vrijwel gelijk aan nul. Pas bij het herstellen van de markt na de financiële crisis in 2008 steeg de fractie van de LAA heuristiek naar ongeveer 40 procent. Het percentage van de ADA heuristiek nam in een paar jaar sterk af van 60 naar 20 procent. De fracties WTF en STF veranderden daarentegen niet veel.
Bij de zeepbel in de jaren 90 en de financiële crisis in 2008 zijn verschillende patronen te zien in de fracties. Bij de zeepbel zijn het met name de WTF en STF die zorgen voor de hoge piek in de prijzen, terwijl bij de financiële crisis een grote afname van de ADA heuristiek te zien is en na 2009 een grote stijging van de LAA heuristiek.
2008
2008 2000
14
4.3 Analyse resultaten – Campbell en Cochrane
In de volgende paragraaf worden de resultaten van het model met de fundamentele Campbell en Cochrane (1999) waarde besproken. De onderste afbeelding van figuur 1 geeft de gerealiseerde prijs-dividendratio en de prijs-dividendratio van het Campbell en Cochrane model met tijdvariërende risicopremie. Het eerste dat opvalt, is de structurele breuk in 1995. Deze breuk is toegevoegd om het verschil tussen de twee ratio tijdens de zeepbel te verkleinen en een betere fit van het model te krijgen (Hommes & In ’t Veld, 2014, p. 28). De fundamentele waarde blijft tijdens de zeepbel in de jaren 90 nog altijd onder de waarde van de S&P500. Een verschil met de grafiek met de Gordon fundamentele waarde is dat tijdens de financiële crisis de gerealiseerde PD-ratio onder de fundamentele waarde blijft.
Figuur 3 bestaat net als figuur 2 uit de grafieken van de gerealiseerde en voorspelde waarden van en de fracties van handelaren die een bepaalde strategie gebruiken1. Hier is wederom te zien dat de adaptieve verwachtingen heuristiek (ADA) en de zwakke trendvolgende heuristiek (WTF) overheersen. De schommelingen van tijdreeks van de waarden zijn kleiner dan de schommelingen van de tijdreeks van het model met de fundamentele Gordon waarde. De waarden liggen op het interval [-25, 20], terwijl de waarden van het andere model liggen tussen [-30, 60]. De verschillen tussen de fracties zijn minder significant dan bij het andere model. De STF heuristiek blijft de gehele periode onder
1
Gedetailleerde versies van de figuren zijn opgenomen in de bijlage.
Figuur 3: Grafiek van de gerealiseerde en voorspelde waarden van x(t) en samen met de fracties van
handelaren die een bepaalde heuristiek gebruiken, onder het model van Campbell en Cochrane.
2000
2000
2008
15
de 20 procent en de LAA heuristiek heeft maar drie pieken boven de 20 procent in 1972/1973, 1990 en 2012. De zeepbel in de jaren 90 is bij dit model een stuk kleiner en dat is ook te zien aan de fracties. Van 1990 tot 2000 gebruikten de meeste handelaren de WTF heuristiek. In de periode voor 2000 nam de ADA heuristiek een paar procent af, de WTF heuristiek bleef redelijk constant en de STF en LAA namen een paar procent toe. Hierdoor hadden de trendvolgende handelaren de overhand, de fracties WTF en STF zijn samen meer dan 50 procent. Dit zorgde ervoor dat de prijzen nog meer toenamen en de dot.comzeepbel versterkt werd.
Het heuristieken switchmodel geeft ook een verklaring voor de financiële crisis. De aandelenprijzen daalden sterk na het faillissement van de Lehman Brothers in 2008. In de grafiek van de fracties is dat terug te zien aan de toename van de ADA heuristiek. Het aantal handelaren dat deze methode gebruikte steeg in 2009 tot meer dan 40 procent. Dit is het tegenovergestelde van het gedrag van de ADA heuristiek bij het andere model, waarbij de heuristiek juist flink afnam. De fractie van WTF was voor de crisis rond de 45 procent, maar nam daarna iets af. Doordat een groot aantal handelaren een trendvolgende heuristiek gebruikten, werd de financiële crisis versterkt. Na 2010 begonnen de prijzen te stijgen en nam de LAA heuristiek toe tot 20 procent. Ook volgde een daling van de ADA en WTF heuristieken.
Samengevat hebben de STF en LAA heuristieken geen groot aandeel bij het voorspellen van het percentage van deze methoden blijft voornamelijk onder de 20 procent. Daarnaast laten de ADA en WTF heuristieken ook geen grote schommelingen zien in de grafiek. Deze percentages blijven ongeveer tussen de 25 en 50 procent. De zeepbel en de financiële crisis worden hierdoor niet helemaal verklaard door het model.
4.4 Beoordeling resultaten
De resultaten van de fracties zijn beschreven en geanalyseerd, nu blijft nog de vraag hoe goed de totale voorspelling van is. Dit wordt beoordeeld op basis van de gemiddelde kwadratenfout van de voorspelling.
De gemiddelde kwadratenfout van het model met fundamentele Gordon waarde is 14.3428, deze waarde is kleiner dan 14.9817, de MSE van het model met de fundamentele Campbell en Cochrane waarde. Dit betekent dat de voorspellingen van het eerste model dichter bij de gerealiseerde waarden liggen. Bij het eerste model heeft de WTF heuristiek met 14.1115 de kleinste MSE en geeft dus de beste voorspelling. De MSE van de WTF heuristiek is zelfs net iets kleiner dan de MSE van de HSM voorspelling. Dit betekent dat als alleen de WTF
Tabel 2: Berekende gemiddelde kwadratenfouten van de voorspellingen (MSE)
MSE HSM MSE ADA MSE WTF MSE STF MSE LAA
Gordon 14.3428 14.7647 14.1115 42.7126 86.2997
Campbell en
16
heuristiek gebruikt wordt om de waarden van te voorspellen, het een beter resultaat oplevert dan wanneer alle heuristieken gebruikt worden. Na de WTF heuristiek geeft de ADA heuristiek de beste voorspelling, vervolgens de STF methode en de slechtste voorspelmethode is de LAA met een MSE van 86.2997. Bij het tweede model presteert deze methode aanzienlijk beter met een MSE van 30.1474. Desondanks geeft dit geen beter resultaat bij het voorspellen van de waarde van Hier is de MSE van de voorspelling van alle vier de heuristieken beter dan de MSE van alleen de beste heuristiek. In tabel 2 is te zien dat de WTF heuristiek de beste voorspelmethode is bij dit model met aansluitend ADA, LAA en STF. Op basis van de gemiddelde kwadratenfout geeft het model met fundamentele Gordon waarden een beter resultaat bij het voorspellen van de aandelenprijzen.
4.5 Vergelijking onderzoeken
In de vorige paragraaf zijn de resultaten van het model met Gordon of Campbell en Cochrane fundamentele waarde beoordeeld. De laatste stap in dit onderzoek is deze resultaten vergelijken met de resultaten uit Hommes en In ’t Veld (2014). Zij hebben in hun onderzoek twee heuristieken gebruikt: fundamentalisten en trendvolgers. Fundamentalisten baseren hun verwachtingen van toekomstige aandelenprijzen en hun strategieën op economische factoren als dividend, opbrengsten, economische groei etc. Ze investeren vaak in financiële producten die ondergewaardeerd zijn en verkopen producten die overgewaardeerd zijn. De prijzen in verhouding tot de fundamentele marktwaarde bepalen dus hun gedrag. Trendvolgers baseren daarentegen hun strategieën op geobserveerde patronen in de tijdreeks van voorgaande prijzen. Ze proberen de prijspatronen te extrapoleren en gebruiken deze bij hun investeringsbeslissingen. Een voorbeeld van deze patronen zijn snel stijgende of dalende trends (Hommes, 2006). In figuur 4 zijn de fracties van fundamentalisten weergegeven. Als groter dan 0.5 is, dan hebben de
fundamentalisten de overhand op de markt. Andersom geldt voor kleiner dan 0.5 dat de
Figuur 4: Fracties fundamentalisten
Bron: Hommes en In ’t Veld (2014)
trendvolgers in de meerderheid zijn, want de fractie trendvolgers is gelijk aan = 1 - .
De fracties blijven tot de jaren 90 vrij constant, na 1995 is te zien dat de trendvolgers domineerden op de markt. Dit zorgde ervoor dat de prijzen extra snel stegen tijdens de dot.comzeepbel (Hommes & in ’t Veld, 2014, p.16). Toen de zeepbel instortte kregen de fundamentalisten weer de overhand op de markt. Voor de financiële crisis kregen de
17
trendvolgers steeds meer aanhang, maar door de financiële crisis kon deze terugkeer naar de trendvolgers niet doorzetten. Hommes en In ’t Veld (2014) concluderen dat de financiële crisis slechts een correctie was van de trendvolgers terug naar de fundamentalisten.
In de vorige paragraaf is bij de analyse van de resultaten naar voren gekomen dat het eerste model met de Gordon fundamentele waarde een duidelijkere verklaring gaf van de dot.comzeepbel en de financiële crisis. Bij de zeepbel in de jaren 90 waren de trendvolgers met ruim 70 procent een veel grotere meerderheid dan bij het model met de fundamentele waarde van Campbell en Cochrane. Ook de financiële crisis verklaart het eerste model beter, ADA daalde 40 procent en LAA steeg na de crisis met 40 procent. Dit verklaart de grote prijsdaling tijdens de crisis en later het stijgen van de prijzen na 2009. Bij het tweede model zijn geen grote veranderingen te zien in de fracties. Het model met tijdvariërende risicopremie geeft geen echte verklaring voor de financiële crisis. Als deze resultaten worden vergeleken met de resultaten van Hommes en In ’t Veld (2014) valt op dat er een aantal overeenkomsten zijn, maar ook een paar verschillen.
De verklaring van de dot.comzeepbel in de jaren 90 is vrijwel hetzelfde in beide onderzoeken. Zowel het model met de Gordon als de Campbell en Cochrane fundamentele waarde laten een meerderheid van de trendvolgers zien tijdens deze zeepbel. De sterke stijging van de prijzen vanaf 1995 wordt in beide onderzoeken versterkt door het grote aantal (zwakke en sterke) trendvolgers. Een verschil is de verklaring van de financiële crisis. In figuur 2 is te zien bij het model met Gordon fundamentele waarde het vooral de grote daling van ADA heuristiek is die het dalen van de prijzen tijdens de crisis verklaart. Het is niet zoals Hommes en In ’t Veld (2014) concluderen slechts een terugkeer van de trendvolgers naar de fundamentalisten, want de fracties van WTF en STF veranderen niet veel tijdens de periode 2006-2010. De WTF heuristiek blijft in deze periode op het interval [0.35, 0.45] en de STF heuristiek op [0, 0.1]. Het model met de Campbell en Cochrane fundamentele waarde geeft echter geen goede verklaring voor de financiële crisis. Er is geen significant verschil in de fracties te zien tijdens deze periode.
Tot slot worden de gemiddelde kwadratenfouten van beide onderzoeken met elkaar vergeleken. Hieruit kan een conclusie getrokken worden welk onderzoek het beste resultaat heeft. In tabel 3 zijn de gemiddelde kwadratenfouten van zowel het model met de Gordon als de Campbell en Cochrane fundamentele waarde weergegeven. Bij beide modellen is
Tabel 3: Gemiddelde kwadratenfouten onderzoeken
MSE Hommes en In ‘t Veld MSE HSM MSE WTF
(beste heuristiek)
Gordon 13,8408 14.3428 14.1115
Campbell en
18
de voorspelling van de aandelenprijzen in Hommes en In ’t Veld (2014) beter. De gemiddelde kwadratenfout in hun onderzoek is voor het model met Gordon fundamentele waarde 13,8408 en voor het tweede model 13,6571. Deze waarden zijn kleiner dan de MSE van het heuristieken switchmodel in dit onderzoek en de MSE van de best presterende heuristiek. Geconcludeerd kan worden dat de hypothese die zegt dat het gebruiken van vier heuristieken in plaats van twee betere resultaten oplevert onjuist is. Het verklaren van de dot.comzeepbel en de financiële crisis was wel mogelijk met het model met vier heuristieken, maar bij het voorspellen van de aandelenprijzen was de MSE van het model met twee heuristieken uit Hommes en In ’t Veld (2014) kleiner.
4.6 Verbetering onderzoek
Om het eindresultaat te verbeteren en een lagere gemiddelde kwadratenfout van de voorspelling te krijgen, kan het onderzoek nog uitgebreid worden met een aantal aanpassingen. De parameters van de heuristieken zijn in dit onderzoek vastgezet op 0.65, 0 en 1.3. Dit zijn nog niet de optimale waarden die de kleinste gemiddelde kwadratenfout opleveren. Een mogelijke verbetering is om nogmaals een grid search uit te voeren om alle optimale parameters te bepalen. Daarnaast kan de LAA heuristiek uitgebreid worden met een parameter, het variëren van deze parameter kan een lagere MSE opleveren. Als de LAA heuristiek uitgebreid wordt met een parameter komt formule (17) er als volgt uit te zien:
Deze nieuwe parameter wordt meegenomen in de grid search naar optimale parameters die de kleinste MSE geven. De waarden van en K blijven gelijk, de rest van de parameters worden geoptimaliseerd. Dit geeft de volgende parameterwaarden en gemiddelde kwadratenfouten van de voorspellingen:
Tabel 4: Waarden parameters gevonden met grid search en bijbehorende gemiddelde
kwadratenfouten (MSE) van beide onderzoeken.
(ADA) (WTF) (STF) (LAA) β K
Gordon 0.74 0 2.36 0.65 1.008 0.66 29 4
C & C 0.84 0 1.7 0.1 1.008 0.98 30 4
MSE Hommes en In ‘t Veld MSE HSM
Gordon 13,8408 13,8408
Campbell en Cochrane 13,6571 14.5998
Tabel 4 laat zien dat de gemiddelde kwadratenfouten van Hommes en In ’t Veld nog altijd kleiner dan of gelijk zijn aan de MSE van de voorspelling van het heuristieken switchmodel met vier heuristieken. Zelfs met optimale parameters voor alle heuristieken is het resultaat met vier heuristieken niet beter dan het resultaat met twee heuristieken.
19
5.
C
ONCLUSIE
Heterogeniteit in het gedrag van mensen wordt al een aantal decennia onderzocht. Belangrijke begrippen werden geïntroduceerd door Simon (1957) en Sargent (1993). Zij deden onderzoek naar begrensde rationaliteit en adaptief leren. Veel laboratoriumexperimenten zijn uitgevoerd om meer inzicht te krijgen in deze begrippen. Al snel ontstond het idee voor een model met heterogene agenten (HAM).
Dit model werd ook gebruikt in het experiment dat besproken wordt in Anufriev en Hommes (2012), maar zij breidden het model uit met bepaalde heuristieken waartussen de deelnemers konden variëren. Uit het experiment komen vier gemeenschappelijke voorspelregels naar voren die de voorspellingen van de deelnemers goed beschrijven. Dit zijn de adaptieve verwachtingen heuristiek (ADA), de zwakke (WTF) en sterke trendvolgers (STF) en de handelaren die gebruik maken van verankering en aanpassing (LAA). Het principe van variëren tussen verschillende heuristieken is toegepast op echte financiële kwartaaldata van de S&P500 aandelenprijzen. In dit onderzoek staat het verklaren van de dot.comzeepbel in de jaren 1990 en de financiële crisis in 2008 centraal. De volgende vragen worden beantwoord: Wat zal er met de resultaten van het model gebeuren als er niet twee, maar meer heuristieken gebruikt worden om de gebeurtenissen te verklaren? Geeft dit betere resultaten of juist niet?
Hierbij is het heuristieken switchmodel uit het onderzoek van Hommes en In ’t Veld (2014) gebruikt met de heuristieken van Anufriev en Hommes (2012). De resultaten zijn bepaald door eerst de fundamentele waarden te schatten met het dynamische model van Gordon (1962) met constante risicopremie en daarna met het consumptiegewoontemodel van Campbell en Cochrane (1999) met tijdvariërende risicopremie. Vervolgens worden bij beide fundamentele waarden ook een voorspelling gemaakt van de waarden van , de afwijking van de prijs-dividendratio van fundamentele waarde. Deze tijdreeks is weer gebruikt om de fracties van handelaren die een bepaalde heuristiek gebruiken in een periode te bepalen. Met deze fracties wordt een verklaring gegeven van de grote prijsstijging tijdens de dot.comzeepbel en de grote prijsdaling tijdens de crisis.
Eerst zijn de parameters van het heuristieken switchmodel gekozen op basis van de gemiddelde kwadratenfout (MSE) van de voorspelling. Een zo klein mogelijke fout geeft het beste voorspelresultaat. De parameters α en β zijn geoptimaliseerd door de waarden te kiezen die de kleinste MSE opleveren. De parameters van de heuristieken van beide modellen zijn vastgezet op respectievelijk 0.65, 0 en 1.3. Dit is gedaan zodat de resultaten van de modellen makkelijk met elkaar vergeleken kunnen worden.
Na de analyse van de resultaten zijn de resultaten van het model met de Gordon en Campbell en Cochrane fundamentele waarde beoordeeld. Dit is gedaan door te kijken naar de gemiddelde kwadratenfouten van de voorspellingen van de aandelenprijzen. Bij het eerste model heeft de WTF heuristiek met 14.1115 de kleinste MSE en geeft dus de beste voorspelling. De MSE van de WTF heuristiek is zelfs net iets kleiner dan de MSE van de HSM
20
voorspelling. Bij het tweede model is de MSE van het heuristieken switchmodel het kleinste met 14.9817.
De laatste stap in het onderzoek was de resultaten vergelijken met de resultaten van Hommes en In ’t Veld (2014). Zij hebben in hun onderzoek twee heuristieken gebruikt: fundamentalisten en trendvolgers. De verklaring van de dot.comzeepbel in de jaren 90 is vrijwel hetzelfde in beide onderzoeken. Zowel het model met de Gordon als de Campbell en Cochrane fundamentele waarde laten een meerderheid van de trendvolgers zien tijdens deze zeepbel. De sterke stijging van de prijzen vanaf 1995 wordt in beide onderzoeken versterkt door het grote aantal trendvolgers. Het onderzoek van Hommes en In ’t veld (2014) laat ook zien dat de fractie trendvolgers ongeveer 1 is. Een verschil is de verklaring van de financiële crisis. In figuur 2 is te zien bij het model met Gordon fundamentele waarde het vooral de grote daling van ADA heuristiek is die het dalen van de prijzen tijdens de crisis verklaart. Het is niet zoals Hommes en In ’t Veld (2014) concluderen slechts een terugkeer van de trendvolgers naar de fundamentalisten, want de fracties van WTF en STF veranderen niet veel tijdens de periode 2006-2010. Het model met de Campbell en Cochrane fundamentele waarde geeft echter geen goede verklaring voor de financiële crisis. Er is geen significant verschil in de fracties te zien tijdens deze periode.
Als gekeken wordt naar de MSE van de voorspellingen van beide onderzoeken komt naar voren dat het model van Hommes en In ’t Veld met twee soorten handelaren beter presteert. Voor zowel het model met Gordon als met Campbell en Cochrane fundamentele waarde is de MSE van de voorspelling kleiner dan de MSE van het model uit dit onderzoek met vier heuristieken. De hypothese die zegt dat het gebruiken van vier heuristieken in plaats van twee betere resultaten oplevert is onjuist.
Tot slot is het onderzoek nog uitgebreid door te kijken of de MSE van het onderzoek wel kleiner is dan de MSE van Hommes en In ’t Veld (2014) als alle parameters in het model geoptimaliseerd worden met een grid search. Ook is een parameter toegevoegd aan de LAA heuristiek. Deze aanpassingen hebben geleid tot een kleinere MSE voor beide modellen met Gordon of Campbell en Cochrane fundamentele waarde, maar dit leidde niet tot een beter resultaat dan het resultaat van het model met twee heuristieken.
De overeenkomsten en verschillen in verklaring van de twee belangrijkste gebeurtenissen in de markt van de afgelopen jaren zijn behandeld. Het eindresultaat van het model met Gordon fundamentele waarde is gelijk aan dat van Hommes en In ’t Veld (2014). Het model met Campbell en Cochrane fundamentele waarde heeft daarentegen geen beter resultaat weten te behalen. In de toekomst kunnen nog andere aanpassingen aan het model gebracht worden om dit resultaat mogelijk te verbeteren.
21
Bibliografie
Anufriev, M., & Hommes, C. (2012). Evolutionary Selection of Individual Expectations and Aggregate Outcomes in Asset Pricing Experiments. American Economic Journal:
Microeconomics 4(4), 35–64.
Anufriev, M., Assenza, T., Hommes, C., & Massaro, D. (2012). Interest rate rules and macroeconomic stability under heterogeneous expectations. Macroeconomic
Dynamics, 1-31.
Bolt, W., Demertzis, M., Diks, C., Hommes, C., & van der Leij, M. (2014). Identifying booms and busts in house prices under heterogeneous expectations. DNB Working Paper
No. 450, 1-37.
Boswijk, H. P., Hommes, C. H., & Manzan, S. (2007). Behavioral heterogeneity in stock prices.
Journal of Economic Dynamics & Control 31(6), 1938–1970.
Brock, W., & Hommes, C. (1997). A rational route to randomness. Econometrica 65(5), 1059– 1095.
Brock, W., & Hommes, C. (1998). Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model. Journal of Economic Dynamics and Control 22(8-9), 1235-1274. Campbell, J. Y., & Cochrane, J. H. (1999). By force of habit: A consumption-based explanation
of aggregate stock market behavior. The Journal of Political Economy 107(2), 205-251.
Cheng, S.-H., Chang, C.-L., & Du, Y.-R. (2012). Agent-based economic models and econometrics. The Knowledge Engineering Review 27(2), 187-219.
Cochrane, J. H. (2001). Asset Pricing. Princeton University Press.
Cornea, A., Hommes, C., & Massaro, D. (2013). Behavioral Heterogeneity in U.S. Inflation Dynamics. Tinbergen Institute Discussion Paper No. 13, 1-41.
Gordon, M. (1962). The Investment, Financing, and Valuation of the Corporation. Irwin. Hommes, C. (2006). Heterogeneous agent models in economics and finance. In Handbook of
Computational Economics Vol. 2: Agent-Based Computational Economics (pp. 1109 -
1186). Amsterdam: Elsevier.
Hommes, C. (2011). The heterogeneous expectations hypothesis: Some evidence from the lab. Journal of Economic Dynamics & Control 35(1), 1-24.
Hommes, C., & in't Veld, D. (2014). Booms, busts and behavioral heterogeneity in stock prices. Universiteit van Amsterdam. CeNDEF working paper.
22
Kahneman, D., & Tversky, A. (1973). On the psychology of prediction. Psychological Review
80(4), 237-251.
Lucas, R. E. (1972). Expectations and the Neutrality of Money. Journal of Economic Theory
Volume 4, 103-124.
Muth, J. F. (1961). Rational Expectations and the Theory of Price Movements. Econometrica
29(3), 315–335.
Sargent, T. (1993). Bounded Rationality in Macroeconomics. Clarendon Press.
Shiller, R. J. (2000). Measuring bubble expectations and investor confidence. The Journal of
Psychology and Financial Markets 1(1), 49-60.
Simon, H. A. (1957). Models of man; social and rational. New York: John Wiley.
Smith, V. L., Suchanek, G. L., & Williams, A. W. (1988). Bubbles, Crashes, and Endogenous Expectations in Experimental Spot Asset Markets. Econometrica 56(5), 1119-1151. Tversky, A., & Kahneman, D. (1974). Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases.
23
Bijlage I Grafieken
24
25
Bijlage II Matlabcode
Bij onderstaande matlabcode is de data met het Gordon model als fundamentele waarde gebruikt. De matlabcode voor de data van het andere model wijkt iets af, de optimale parameters zijn veranderd en de formules zijn aangepast naar T = 243. De code is afkomstig uit het onderzoek van Anufriev, Assenza, Hommes en Massaro (2012) en is aangepast voor dit onderzoek. function [n1pi,n2pi,n3pi,n4pi,piexpave,pi_exp_sim,U_pi,MSE_table,SE_pi_all]= hsmscriptie(hsm_param1) % definieer parameters betaIC = 36; delta = 0.87; T = 252; K = hsm_param1; R = 1.008; g_ada = 0.65; g_wtf = 0; g_stf = 1.3; g_laa = 1; %lees de data x in x = xlsread('testdata.xlsx'); % creeer variabelen pi_exp_ada=zeros(T+1,1); pi_exp_wtf=zeros(T+1,1); pi_exp_stf=zeros(T+1,1); pi_exp_laa=zeros(T+1,1); piexp1=zeros(T+1,1); piexp2=zeros(T+1,1); piexp3=zeros(T+1,1); piexp4=zeros(T+1,1); n1pi=NaN(T,1); n2pi=NaN(T,1); n3pi=NaN(T,1); n4pi=NaN(T,1); Upi1=zeros(T,1); Upi2=zeros(T,1); Upi3=zeros(T,1); Upi4=zeros(T,1); zpi=zeros(T,1); abserror1=zeros(T,1); abserror2=zeros(T,1); abserror3=zeros(T,1); abserror4=zeros(T,1); sumabserror=zeros(T,1);
piexp1(3)= -21; % verwachting voor periode 3 voor de adaptieve regel
% fracties op tijdstip 3 n1pi(3)=1/4; n2pi(3)=1/4;
n3pi(3)=1/4; n4pi(3)=1-n1pi(3)-n2pi(3)-n3pi(3); % voorspelling op tijdstip 3 (voor tijdstip 4) x_ave3 = mean(x(1:3)); piexp1(4)=g_ada*x(2)+(1-g_ada)*piexp1(3); piexp2(4)=x(2)+g_wtf*(x(2)-x(1)); piexp3(4)=x(2)+g_stf*(x(2)-x(1)); piexp4(4)=0.5*(x_ave3+x(2))+g_laa*(x(2)-x(1)); piexpave(3)=(n1pi(3)*piexp1(4)+n2pi(3)*piexp2(4)+n3pi(3)*piexp3(4)+n4pi(3)*piexp4(4 ))*1/R; % fracties op tijdstip 4 n1pi(4)=1/4; n2pi(4)=1/4; n3pi(4)=1/4; n4pi(4)=1-n1pi(4)-n2pi(4)-n3pi(4); % voorspelling op tijdstip 4 (voor tijdstip 5) x_ave4 = mean(x(1:4));
piexp1(5)=g_ada*x(3)+(1-g_ada)*piexp1(4); piexp2(5)=x(3)+g_wtf*(x(3)-x(2));
26 piexp4(5)=0.5*(x_ave4+x(3))+g_laa*(x(3)-x(2)); piexpave(4)=(n1pi(4)*piexp1(5)+n2pi(4)*piexp2(5)+n3pi(4)*piexp3(5)+n4pi(4)*piexp4(5 ))*1/R; % fracties op tijdstip 5 n1pi(5)=1/4; n2pi(5)=1/4; n3pi(5)=1/4; n4pi(5)=1-n1pi(5)-n2pi(5)-n3pi(5); % dynamisch feedback systeem
for t=5:T % aandelenprijzen heuristieken xave=mean(x(1:t)); piexp1(t+1)=g_ada*x(t-1)+(1-g_ada)*piexp1(t); piexp2(t+1)=x(t-1)+g_wtf*(x(t-1)-x(t-2)); piexp3(t+1)=x(t-1)+g_stf*(x(t-1)-x(t-2)); piexp4(t+1)=0.5*(xave+x(t-1))+g_laa*(x(t-1)-x(t-2)); % update fitness for k = 1:K if piexp1(t-k+1) == 0 abserror1(k)=0; else abserror1(k)= abs(piexp1(t-k+1) - x(t-k)); end if piexp2(t-k+1) == 0 abserror2(k)=0; else abserror2(k)= abs(piexp2(t-k+1) - x(t-k)); end if piexp3(t-k+1) == 0 abserror3(k)=0; else abserror3(k)= abs(piexp3(t-k+1) - x(t-k)); end if piexp4(t-k+1) == 0 abserror4(k)=0; else abserror4(k)= abs(piexp4(t-k+1) - x(t-k)); end end
sumabserror(t) =sum(abserror1)+ sum(abserror2)+sum(abserror3)+sum(abserror4); Upi1(t)= -sum(abserror1)/sumabserror(t); Upi2(t)= -sum(abserror2)/sumabserror(t); Upi3(t)= -sum(abserror3)/sumabserror(t); Upi4(t)= -sum(abserror4)/sumabserror(t); % numerieke truc vUpi=[Upi1(t),Upi2(t),Upi3(t),Upi4(t)]; Upi=max(vUpi); Upi1_f(t)=Upi1(t)-Upi; Upi2_f(t)=Upi2(t)-Upi; Upi3_f(t)=Upi3(t)-Upi; Upi4_f(t)=Upi4(t)-Upi; %fracties bepalen zpi(t+1)=exp(betaIC*Upi1_f(t))+exp(betaIC*Upi2_f(t))+exp(betaIC*Upi3_f(t))+exp(beta IC*Upi4_f(t)); n1pi(t+1)=delta*n1pi(t) + (1-delta)*exp(betaIC*Upi1_f(t))/zpi(t+1); n2pi(t+1)=delta*n2pi(t) + (1-delta)*exp(betaIC*Upi2_f(t))/zpi(t+1); n3pi(t+1)=delta*n3pi(t) + (1-delta)*exp(betaIC*Upi3_f(t))/zpi(t+1); n4pi(t+1)=delta*n4pi(t) + (1-delta)*exp(betaIC*Upi4_f(t))/zpi(t+1); % voorspelde variabelen piexpave(t)=(n1pi(t)*piexp1(t+1)+n2pi(t)*piexp2(t+1)+n3pi(t)*piexp3(t+1)+n4pi(t)*pi exp4(t+1))*1/R;
27
% bepaal SE voor voorspelde variabele
if (t>4)
SE_pi(t) = (piexpave(t)-x(t)).^2;
End
% bepaal SE voor de verschillende regels % ADA pi_exp_ada(3) = -21; pi_exp_ada(4) = g_ada*x(2)+(1-g_ada)*pi_exp_ada(3); pi_exp_ada(5) = g_ada*x(3)+(1-g_ada)*pi_exp_ada(4); pi_exp_ada(t+1) = g_ada*x(t-1)+(1-g_ada)*pi_exp_ada(t); if (t>4) SE_pi_ada(t) = (pi_exp_ada(t+1)-x(t)).^2; end % WTF pi_exp_wtf(t+1) = x(t-1)+g_wtf*(x(t-1)-x(t-2)); if (t>4) SE_pi_wtf(t) = (pi_exp_wtf(t+1)-x(t)).^2; end % STF pi_exp_stf(t+1) = x(t-1)+g_stf*(x(t-1)-x(t-2)); if (t>4) SE_pi_stf(t) = (pi_exp_stf(t+1)-x(t)).^2; end % LAA xave=mean(x(1:t)); pi_exp_laa(t+1) = 0.5*(xave+x(t-1))+g_laa*(x(t-1)-x(t-2)); if (t>4) SE_pi_laa(t) = (pi_exp_laa(t+1)-x(t)).^2; end end
% krijg voorspellingen van alle heuristieken pi_exp_sim = [piexp1, piexp2, piexp3, piexp4]; U_pi = [Upi1,Upi2,Upi3,Upi4]; SE_pi_all = [SE_pi_ada',SE_pi_wtf',SE_pi_stf',SE_pi_laa',SE_pi']; % bepaal MSE MSE_pi = sum(SE_pi(6:252))/247; MSE_pi_ada = sum(SE_pi_ada(6:252))/247; MSE_pi_wtf = sum(SE_pi_wtf(6:252))/247; MSE_pi_stf = sum(SE_pi_stf(6:252))/247; MSE_pi_laa = sum(SE_pi_laa(6:252))/247; MSE_table(:,1) = [MSE_pi_ada,MSE_pi_wtf,MSE_pi_stf,MSE_pi_laa,MSE_pi]; % maak plots van fracties en voorspelde waarden van x
a(:,1)=1950:0.25:2012.75; b(1,:)=1950:0.25:2012.75; hold on plot(a,x,'b') plot(b,piexpave(1:252),'--r') xlabel('Tijd') ylabel('x(t)') plot(a,n1pi(2:253),'b') plot(a,n2pi(2:253),'m') plot(a,n3pi(2:253),'k') plot(a,n4pi(2:253),'r') xlabel('Tijd') ylabel('Fracties')
