H5: Rijen

Hoofdstuk 1: Rijen. 1. a. 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191 800, 400, 200, 100, 50, 25, 1 2 12 1, 4, 10, 22, 46, 94, 190, 382 b.

c. nieuwe waarde oude waarde : 2

2 2

nieuwe waarde oude waarde

2. a. u12 u2 10  u1 4 24 u3 10  u2 4 244 u4 10  u3 4 2444 u5 24444 b. A(1) 34 1 2 (2) (1) 17 A  A  1 1 2 2 (3) (2) 8 A  A  1 4 (4) 4 A  1 8 (5) 2 A  c. 1 2 (1) K   1 2 1 (2) 3 1 K  _   1 1 (3) 3 4 K    1 1 4 4 (4) 3 3 K    1 4 1 4 13 3 (5) 3 3 K    3. a. un1un3 met u13 … 15, 18, 21, 24 b. un1 4 un met u15 … 5120, 20480, 81920 c. un1 0,5un met u11200 … -150, 75, 37 , 1821 34 4.

a. Bij beide notaties ontstaat de volgende term van de rij door de vorige term te

vermenigvuldigen met 1,4 en er 400 van af te trekken. Beide rijen beginnen bij 1400. b. Voer in: mode rij 4 (seq) enter y=

0

nMin u n( ) 1, 4 ( u n 1) 400 ( ) 1400

u nMin 

En kijk in de tabel: vanaf n8zijn de termen groter dan 5000

c. 2nd _{zoom (Time). In het window stel je n en x in}

van 0 tot 8. Vervolgens zoom optie 0 (ZoomFit)

5.

a. 30: er worden ieder jaar 30 walvissen gedood. 230: de beginpopulatie is 230

1,1: de groei is 10% per jaar.

b. u n( ) 1,1 ( u n 1) 20 met u0 230

c. De 10% aangroei moet dan ook weer gevangen worden: 0,10 230 23  walvissen. 6. a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 b. u n( )u n(  1) u n( 2) met u(1)u(2) 1 7. a. 1000, 1100, 1180, 1244

c. Na 11 jaar zijn er 1457 druivenstokken.

Vanaf dat moment neemt het aantal druivenstokken met 5% toe; dus vermenigvuldigen met 1,05. 1457, 1530, 1606, 1687, 1771, 1860, … d. _{u n}( ) 1457 1,05_{ } n 8. a. u_n  7 4(n 1) 4n3 b. u_n 200 5( n   1) 5n 205 9. a. u11 u2     u1 2 1 1 4 u3 u2   2 2 1 9 u4 u3   2 3 1 16 b. 2 n

u n (maar of je dit kunt bedenken?)

c. unun1un12(n  1) 1 un1 2n1 en dat klopt. 10. a. b. c. _{10 2}n 1 n u    11. a. b. 1 1 2 64 ( )n n u _{ } 

c. Voer in: mode rij 4 (seq) enter y= 1

nMin u n( ) 0,5 ( u n1) u nMin( ) 64 en kijk in de tabel: bij n17

12. a. u4  q 4(2 4   2 3 4 1) b. 2 1 3 3 3(2 3 3 3 1) 28 u        1 3 60 180q q   2 60 28 (3 1) 28 16 16 32 2 p p p p         c. 2, 10, 28, 60, 110 13. a. b. _{A t( ) 16 1,5 } t1 c. vierkant 1 2 3 oppervlakte 8 8 64  _{4 2 4 2 32 }

je ziet ook zonder berekening dat de oppervlakte 32 is. 4 4 16  n 1 2 3 4 5 un 10 20 40 80 160 2n-1 _{1 2 4 8 16}

14.

a. A1: 0,5 m2 _{A2: 0,25 m}2 _{A3: 0,125 m}2

b. _{O n}( ) 0,5_ n c. _{O(8) 0,5} 8 _{0,004 m}2_. 15. a./b. u3  6 r 2 4 3 2 6 6 54 9 3 3 u u r r r r r r r             

c. recurrente betrekking: un1 3 un met u1 2 rangnummerformule:

1 2 3n n u _{ }  16. 1 ( ) 1 2n A n    en 63 18 (64) 1 2 9, 22 10 A     17. a. s4 u5 u1 16 1 15  en s5 u6 u1 32 1 31  b. 64 19 64 65 1 2 1 1,84 10 s u  u    18. a. 1 1 3 n n u _  u met 2 1 3 u  b. 8 1 ₁9 3 0,9998 1 u u s     c. n9 19.

a. twee keer: 8 2 2 €12,    drie keer: 8 2 3 €14,    b. B n(  1) B n( ) 2 met B(1) 10 c. B n( )B n(   1) 2 B n(    2) 2 2 B n(   2) 4 B n(    3) 2 4 B n(   3) 6 ... ...B(1) (   n 1) 2 10 (   n 1) 2 10 2 n  2 8 2n 20. a. -7, -3, 1, 5, … un1 un4 met u1  7 un   7 4(n1) b. 1 2 1 ,  1 6 1 ,  5 6,  1 2,  … 1 1 3 n n u _ u  met 1 1 12 u   1 1 2 3 1 ( 1) n u    n c. 49, 32, 15, -2, … un1 un 17 met u1 49 un 49 17( n1) d. 3.03, 3.63, 4.23, 4.83, … un1 un0,60 met u1 3,03 un 3,03 0,60 (  n 1) e. 8, 8, 8, 8, … un1 8 met u1 8 un 8 f. 7 5, 7 3, 7 11, … un1 un8 met u1 7 5 un  7 5 8(  n1) 21. a. 2s100100 101 10100  b. 2som501 (500 1000) 751500   1 100 2 10100 5050 s    som375750

22.

a.

b. 2   s8 8 (4 25) 8 29  en dus s8   21 8 29  12 8 (u1u8) 116 23.

a. un: 5, 7, 9, 11, 13, … s20  12 20 (5 43) 480  

b. un: 4, 7, 10, … recurrente betrekking: un1un3 met u14

rangnummerformule: un  4 3(n1) s20  12 20 (4 61) 650   24.

a. Nummer 5 geeft 4 handdrukken. b. 6 4 10 

c.

d. Het aantal handdrukken bij 2 personen is 1. De derde persoon geeft 2 handdrukken, de vierde geeft er 3, …. De nde _{persoon geeft n-1 handdrukken.}

Bij twee personen wordt er in totaal 1 handdruk gegeven. Bij drie personen worden er in totaal 1 2 3  handdrukken gegeven, bij vier personen 1 2 3 6   handdrukken, … en bij

n personen 1 2 3 ... (    n 1). Bij 25 personen: 1

2

1 2 3 ... 24     24 (1 24) 300   handdrukken. e. Bij 26 personen worden er 25 handdrukken meer gegeven: 325 handdrukken. f. rekenkundig: H(2)H(1) 2 H(3)H(2) 3 Nee! meetkundig: (2)(1) 3 H H  (3) (2) 2 H H  Nee! 1 49 2 (50) 49 (1 49) 1225 H s      25. a. 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374, 13122, 39366 b. v4 u5u4 108 en v5 u6u5 324 26.

a. 12 2 10  , 22 12 10  , 32 22 10  : de verschillen zijn steeds 10.

b. Omdat in een rekenkundige rij een volgende term berekend wordt door bij zijn voorganger een constante bij op te tellen of af te trekken.

c. 1, 2, 4, 7, 11, … 27. a. v2 a3a2 10a2 12 2 2 a   b. 1 1 1 n n n n n n n n n v a a a v a en a a v          5 8 2 10 28 52 80 s         n 1 2 3 4 5 6 7 8 un 4 7 10 13 16 19 22 25 u9-n 25 22 19 16 13 10 7 4 aantal mensen 2 3 4 5 6 7 aantal handdrukken 1 3 6 10 15 21 n 1 2 3 4 5 6 vn 6 12 18 24 30 36 an -8 -2 10 28 52 82

28. a. vn: 8, 24, 72, 216, … vn  3 vn1 met v18 1 8 3n n v _{ }  b. vn: -6, 3, -1.5, 0.75, … vn   12 vn1 met v1  6 6 ( 12) 1 n n v      c. vn: 90, 900, 9000, 90000, … vn 10vn1 met v190 1 90 10n n v _{ }  d. vn: 259 , 9 250  , 9 2500  , … 1 1 10 n n v  v _ met 9 1 25 v   9 1 1 25 ( )10 n n v     29. a. 1 1 n n u  u r  1 1 1 1 1 ( 1 1) n n n n n n v u u u r u r  r  u r u           b. 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n n v r u r u r v r u r u     

 , dus ook de verschilrij is meetkundig met reden r.

c. 1 1 1 1 1 _{(1 )} 1 1 1 n r n n u u u u r u s r r r r            

Deze rij is niet meetkundig.

30.

a. un: 100, 101, 100, 101, 100

b. recurrente betrekking: vn1  1 vn met v11 rangnummerformule:

1 1 ( 1)n n v _{  }  c. 1 1 2 2 100 ( 1)n n u     31. a. u9 92 81 b. c. vn un1un (n1)2n2n22n 1 n2 2n1 d. 2 2 1 ( ( 1) ( 1) ) ( ) n n n v u _ u  a n b n  c an bn c  2 2 ( 2 1) 2 a n n bn b c an bn c an a b            

De rangnummerformule voor de verschilrij is lineair, dus de verschilrij is rekenkundig.

32. a. v_n 12 8( n1) b. v10 12 8 9 84   u11u10 u11100 11 184 u  c. vn1unun1 1 1 1 12 8( 2) 1 8 4 n n n n n u u _ v _ u _   n u _  n met u1 296

d. De verschilrij is een rekenkundige rij. De rij un is dan kwadratisch: un an2bn c

1 0 4 u u  Met u1   a b 300 296 en u2 4a2b300 284 volgt 0 0 296 4 300 u u c       nu dat a 4 b en 4(4 ) 2 16 2 0 b b b      b0 en a4 Dus ₄ 2 ₃₀₀ n u  n  n 1 2 3 4 5 6 7 un 1 4 9 16 25 36 49 vn 3 5 7 9 11 13 15

33.

a.

b. vn: 2, 4, 8, 16

c. De verschilrij is een meetkundige rij met reden 2.

d. Bij n1 schijven: het kost Z(n) zetten om de bovenste n schijven naar het tweede stokje te verplaatsen. Dan de onderste schijf naar stokje 3 (in totaal dan Z n( ) 1 zetten). En

vervolgens kost het weer Z(n) zetten om de n schijven van het tweede naar het derde stokje te verplaatsen. In totaal dus 2Z n( ) 1 zetten.

e. Als de verschilrij een meetkundige rij is met reden 2, dan is de rij zelf dat ook. Dus ( ) 2n 1

Z n   .

f. _{Z(64) 2} 64_{ 1 1,84 10} 19

minuten_{3,5 10} 13

jaar

34. recurrente betrekking: un10,70un met u11813

rangnummerformule: _{1813 0,70}n 1

n

u   

35.

a. un1un2 met u11 De rangnummerformule wordt dan un  1 2(n 1) 2n1 b. sn: 1, 4, 9, 16 c. sn n2 d. 10 1 2 1 2 2 4 ... 20 10 (2 20) 110 k k          





b. un is een meetkundige rij met reden 3: un  2 3n1 c. 2 3 2 2(3 1) 3 1 3 1 2 n n n n s         37. a. 1 jaar: 500 1,05 € 525,   n jaar: _{B n}( ) 500 1,05_{ } n b. _{B(10) 500 1,05 } 10

is het bedrag na 10 jaar. De rente is het bedrag na 10 jaar min de inleg van €

500,-(10) € 314, 45

R 

c. V(1) 0,05 500  : de rente is 5% van het bedrag ervoor.

Dus V(2) is 5% van het bedrag na 1 jaar: V(2) 0,05 (500 1,05)  

V(3) is 5% van het bedrag na 2 jaar: _{V(3) 0,05 (500 1,05 )  } 2 V(n) is 5% van het bedrag na n-1 jaar: _{V n( ) 0,05 (500 1,05 )  } n1

aantal schijven 1 2 3 4 5

aantal zetten 1 3 7 15 31

n 1 2 3 4 5

sn 2 8 26 80 242

e. 10 10 0,05 500 1, 05 0,05 500 314, 45 1,05 1 s        38.

a. Elke besmette computer besmet weer 50 andere computers: un150un met u1 50 1

50 50n 50n n

u    

b./c. ₅₀5 _{312.500.000; gemeenschappelijke adressen worden buiten beschouwing gelaten.}

Dus niet erg realistisch d. u2 12 2 3 3 5 4 3 2 3 1 1 1 96 12 8 2 2 6 6 2n n n n u r u r u r u r r r u _ u met u u                  39. a. b. un: 5, 12, 22, 35 c. vn: 7, 10, 13, 16 d. vn1vn3 met v1 7, dus vn  7 3(n  1) 4 3n e. De rij un is kwadratisch: un an2bn c 0 0 1 2 4 1 1 5 4 2 1 12 4 4(4 ) 2 16 2 1 12 v en u c u a b en u a b a b b b b                    1 1 2 2 2 5 2 1 b b en a    2 1 1 2 2 1 2 1 n u  n  n 40. a. u2   6 u1 1 u3  6 u2 5 u4  6 u3 1 u5  6 u4 5 b. un1 6 un met u15. c. 3 ( 1)n 1 2 n u     

d. Als u13 dan zijn alle termen 3.

e. un110 2 un f. un1un 1 3 10 2 3 10 3 n n n n u u u u    

T_1.

a. 2500: nieuwe aanplant 0,8: 20% wordt gekapt, dus 80% blijft staan. b. Het stijgt steeds minder en komt uiteindelijk in een evenwichtssituatie.

c. Je krijgt dan eenzelfde soort ontwikkeling, alleen ligt de evenwichtswaarde hoger (15000) d. B t(  1) 0, 75B t( ) 3000 De evenwichtswaarde is 12000. T_2. a. 73, 77, 81, 85, 89 b. 362, 401, 442, 485, 530 T_3. a. 1 1 2 12 ( )n n u _{ }  12 10 125 10 ₁ 128 2 12 ( ) 12 23 1 s      b. 3n n u  10 11 1 3 3 88572 3 1 k k u     



a. Het verschil tussen de 5e _{en 9}e _{term van een rekenkundige rij is ook 4a.}

4 16 4 a a   un1un4 met u17, ofwel un  7 4(n  1) 3 4n b. 1 100 2 100 (7 403) 20500 s      c. 1 1 2 2 (7 3 4 ) 2 (10 4 ) 5 2 1173 n s  n   n  n  n  n n  2 1 2 2 5 1173 0 25 23 ABC formule n n n n         T_5. a. un: 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62 b. vn: 5, 7, 9, 11, 13, 15

c. De verschil is een rekenkundige rij: er komt steeds 2 bij. d. v_n  5 2(n  1) 3 2n

T_6.

a. a1,04 en b400

b. Na 10 jaar staat er € 12960,49 op de rekening.

c. Omdat die waarden alleen gelden alleen gelden op het moment dat de rente is bijgeschreven en de € 400,- er af zijn gehaald.

d. € 10559,27

e. Hij moet dan elke keer verkregen rente er vanaf halen: 12000 0,04 480  euro.

T_7. a. b. ja. n 1 2 3 4 5 aantal geel 3 9 27 81 243 aantal blauw 1 4 13 40 121

e. 3 3n 1 3n n g     f. 10 10 3 59049 g   gele driehoekjes en 59049 1 2  29524 blauwe driehoekjes. T_8. a. 18 1

54  3 186 31 26 13: meetkundige rij. rangnummerformule:

1 1 3 54 ( )n n u _{ }  b. 7,5 9  1,5 6 7,5  1,5 4,5 6  1,5: rekenkundige rij rangnummerformule: un  9 1,5(n 1) 10,5 1,5 n c. 8 1 8 27 3 8 38: niet meetkundig

8 1 7  27 8 19  : niet rekenkundig. un n3 (je moet het maar zien)

d. 1 1

2 2

   61 6: niet meetkundig.

1  2 3 6 1 5  : niet rekenkundig 13 6 7  22 13 9  33 22 11  De verschilrij is rekenkundig; de rij is kwadratisch.

0 3 u   c 1 2 3 2 4 2 3 1 u a b u a b          4(1 ) 2 3 2 1 1 2 0 b b b b         0 1 b en a rangnummerformule: un n23 T_9. a. u6 162r 2 7 162 u  r 3 8 162 u  r 4 9 162 u  r 4 4 1 81 1 3 162 r 2 r r     b. recurrente betrekking: 1 1 3 n n u _  u met 4 1 162 3 13122 u    rangnummerformule: 1 1 3 13122 ( )n n u _{ }  c. 15 1 3 15 ₁ 3 13122 13122 ( ) 19682,9986 1 s      d. 1 3 1 1 1 2 3 3 1 3 13122 13122 ( ) 1 13122(1 ( ) ) 19683 (1 ( ) ) 1 n n n n s          

e. Als n steeds groter wordt, nadert 1 3

( )n