Voor het tijdperk van de rekenmachine werden opgaven zoals
4 3
5, 4323 x 16,782
1,0342 x 400,74 opgelost met behulp van de logaritmetafel. Daarbij werd gebruik gemaakt van de bekende
eigenschappen bij logaritme, t.w.:
log log log
g g g
a b ab
log log log
g g g a
a b
b
nglogaglogan Bovenstaande opgave kan dan als volgt uitgewerkt worden:
Stel 4 4 3 3 5, 4323 16,782 5, 4323 16,782 log log 1,0342 400,74 x x 1,0342 400,74 4 3
logxlog(5, 4323 16,782) log(1, 0342 400, 74)
4 3
logx(log 5, 4323 log16,782) log(1,0342 log 400, 74)
1 3
logx (4 log 5, 4323 log16, 782) log(1,0342 log 400, 74). Nu komt de logaritmetafel in beeld. Hoe
berekenen we log 5, 4323 met een logaritmetafel?
Omdat log1 log 5, 4323 log10 geldt dus dat 0 log 5, 4323 1 . Op grond van deze insluiting vinden we dus zonder enig hulpmiddel, dat log 5, 4323 0,... . Het gedeelte achter de komma zoeken we op in de logaritmetafel.
In de logaritmetafel (zie afbeelding hiernaast) zoeken we in de eerste kolom het getal 543 (de eerste drie cijfers van 54323) op en in de rij waarin 543 staat kijken we nu in de vierde kolom (de kolom waar boven een 2
staat). We vinden dan op de plaats van de stippen in de uitdrukking log 5, 432 0,...
de cijfers 73496 .
We hebben dus nu gevonden
log 5, 432 0,73496 . Merk op dat dit het antwoord is voor log 5, 432 en nog niet voor
log 5, 4323.
Het getal 5,4323 ligt tussen 5,432 (waarvan we nu de logaritme gevonden hebben) en 5,433. In de logaritmetafel vinden we
log 5, 432 0,73496 en log 5, 433 0,73504
Het verschil tussen de beide uitkomsten is gelijk aan 0,00008 . Daarom gebruiken we nu om te interpoleren het tabelletje rechts-onder.
Om log 5, 4323te berekenen moeten we aan de uitkomst van 0,73496 van log 5, 432 nog 0,000024 toevoegen en vinden we uiteindelijk log 5, 4323 0,734984 . Ter controle: het antwoord ligt dus inderdaad tussen log 5, 432 0,73496 en log 5, 433 0,73504 . De GR geeft trouwens log 5, 4323 0, 7349837459 .
We hebben nu gevonden log 5, 4323 0,734984 . We berekenen nu log16,782. Omdat
log10 log16, 782 log100
1 log16,782 2 beginnen we dus met
log16,782 2,... . In de logaritmetafel zoeken we in de eerste kolom naar 167
en in die rij vinden we in tiende kolom (de kolom met bovenaan 8 ), dat op de stippen in de uitdrukking
log16,782 1,... moet staan 22479 . We hebben dus nu gevonden
log16,78 2, 22479 . Om de uitkomst van
log16,782 moeten we voor het
interpoleren gebruik maken van de tabel
26 midden rechts van de bladzijde. Interpoleren geeft log16, 782 1, 224842 . Zie volgende bladzijde.
De volgende stap is het berekenen van log 1,0342.
Omdat 1 1,0342 10 geldt
log1 log1, 0342 log10 , dus
0 log1,0342 1 , dus log1,0342 0,...
We gaan weer op zoek in de logaritmetafel wat er op de stippen achter de komma moet staan. In de eerste kolom zoeken we 103 en volgen deze rij tot de kolom waarboven staat 4 en we vinden log1,034 0,01452 .
Omdat het verschil tussen de kolommen met
4 en 5 erboven gelijk is aan 42 (494 452)
moeten we voor het interpoleren gebruik maken van
We moeten aan 01452 nog 8,4 toevoegen en vinden dus log1,0342 0,014604 . Ons rekentuig geeft als uitkomst 0,0146045334.
Tenslotte berekenen we log 400,74. Zie volgende bladzijde.
Het getal voor de komma van de uitkomst van log 400,74bepalen we zonder
logaritmetafel.
Omdat 100 400,74 1000 geldt
log100 log 400, 74 log1000 , dus
2 log 400,74 3 . We weten nu al, dat
log 400,74 2,...
De decimalen bepalen we met behulp van de logaritmetafel. We zoeken in de eerste kolom naar 400 en doorlopen de
bijbehorende rij tot de kolom waarboven 7
staat.
We vinden log 400,7 2, 60282 . Inter-poleren geeft log 400,74 2,602864. We vinden dus uiteindelijk, dat log x
4 0, 734984 1, 224842 0, 014604
1
32,602864, hetgeen in die tijd zonder rekentuig herleid kon worden tot
logx3, 282552667.
Wat de waarde van x nu is, zoeken we terug in de logaritmetafel, maar nu niet van linkse kolom en wandelend door een rij naar het binnenste van de bladzijde (de getallen, die
de cijfers achter de komma bij de uitkomst van een logaritme geven en we mantissen,
enkelvoud: mantisse, noemen), maar vanuit die mantissen het bijbehorende getal in de eerste kolom te zoeken.
Omdat 3 3, 282552667 4 geldt log1000 log 3, 282552667 log10000 , dus ligt ons uiteindelijke antwoord tussen 1000 en 10000.
Omdat in de deze logaritme-tafel mantissen staan van vijf cijfers ronden we in onze gevonden uitkomst logx3, 282552667 eerst af tot
logx3, 28255.
Het getal achter de komma ligt tussen de mantissen 28240 en 28262. Kijk hiervoor in de linkse kolom en bij 191 en in de eerste rij onder
6 | 7 . Ons antwoord ligt dus tussen 1916 en 1917, immers ons antwoord lag tussen 1000 en 10000. We kunnen nu ons definitieve antwoord iets verfijnen. Het verschil tussen de mantissen 28240 en 28262 is gelijk aan 22, dus gebruiken we de onderstaande hulptabel:
Het door berekende getal achter de komma 28255 wijkt 15 af van de mantisse 28240, dus kijken we in de hulptabel bij het dichtstbijzijnde getal rechts van de streep, nl. 15,4. dit levert links van de streep een 7 op en dat zorgt met in achtneming
van het feit, dat ons antwoord tussen 1000 en 10000 moet liggen voor het vijfde cijfer van ons antwoord, dus is ons uiteindelijke antwoord gelijk aan 1916,7.
Een rekenmachine geeft als antwoord voor
4 3
5, 4323 x 16,782
1,0342 x 400,74 1916,696144, dus voorwaar een goede prestatie van de logaritmetafel.
