Over een door wrijving geëcxiteerd precessieverschijnsel

Over een door wrijving geëcxiteerd precessieverschijnsel

Citation for published version (APA):

Groeneveld, G. (1961). Over een door wrijving geëcxiteerd precessieverschijnsel. De Ingenieur, 73(22), 97-102.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1961

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

OVER EETJ DOOR WRIJVING

GEEXCITEXRD

PRECESSI

EVERSCEIJNSEZ

-

d o o r i r G. G r o e n e v e l d

T e c h n i s c h e Hogeschool Zindhoven

SUMPARY:

A d e s c r i p t i o n and analysis is g i v e n of t h e w h i r l i n g motion of a motor w i t h r o t a t i n g s h a f t and d i s k , as e x c i t e d b y f r i c t i o n of a n o b j e c t , pressed against t h e d i s k . The motor i s f i x e d at one p o i n t o f i t s axis of symmetry and r e s t r a i n e d b y s p r i n g s against r o t a t i o n round axes, p e r p e n d i c u l a r t o t h e axis of sym-

metry.

'#hen t h e object i s p r e s s e d a g a i n s t one s i d e of t h e d i s k , a f a s t w h i r l

I n

t h e same d i r e c t i o n as t h e r o t a t i o n o f t h e s h a f t and d i s k is e x c i t e d , when t h e o b j e c t i s p r e s s e d against t h e o t h e r s i d e a slow w h i r l i n t h e o p p o s i t e d i r e c t i o n b u i l d s up. Damping i s taken i n t o a c c o u n t . T h e r e i s c l o s e agreement between t h e o r y and experiment.

(i

.

.i. Ii<LEIDIPX.

I n h e t b o e k W e c h a n i c a l V i b r a t i o n s " van'

3.Y.

den X a r t o g wordt een q u a l i t a t i e v e b e s c h r i j v i n g gegeven van z e l f e x c i t a t i e van e e n p r e c e s s i e b e w e g i n g . 1 )

I n o n d e r s t a a n d a r t i k e l worden n a i n v o e r i n g v a n een a a n t a l l i n e a r i s a t i e s de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n v o o r d i t v e r s c h i f n s e l o p g e s t e l d e n opgelost.

I n f i g .

1

i s schematisch de o p s t e l l i n g van h e t t e b e s c h r i j v e n

s y s t e e m weergegeven. Een e l e c t r o r n o t o r i s b e v e s t i g d a a n een h o r i - * z o n t a i e p l a a t , welke a l z i j d i g symmetrisch v e r e n d aan een vast

frame i s opgehangen. Het punt O van d e s c h i j f i s een vast punt

1 ) J.P. den Hartog: "Mechanical T J i b r a t i o n s , " 4e druk,

1%

G r a w - H i l l

van h e t

frame.

X o t o r h u i s en p l a a t d r a a i e n n i e t om hun eigen

as.

Op d e as OS van d e motor is

een

s c h i j f b e v e s t i g d , d i e

met

con- s t a n t e h o e k s n e l h e i d 52 door de

motor

wordt aangedreven. Tegen d e z e s c h i j f wordt e e n w r i j v i n g s l i c h a a m g e d r u k t op een c o n s t a n t e a f s t a n d b van d e vertikaal d o o r O. D i t w r i j v i n g s l i c h a a m wordt

massaloos v e r o n d e r s t e l d ; de a a n d r u k k i n g g e s c h i e d t door middel v a n

een

veer en .kan zowel aan de bovenzijde a l s

aan

de o n 2 e r z i j d e ( g e s t i p p e l d g e t e k e n d ) g e s c h i e d e n .

Zonder w r i j v i n g s l i c h a a m kan de motoras bewegingen om d e Z-as U i t - v o e r e n , d i e s a m e n g e s t e l d g e d a c h t kunnen worden

u i t

een langzame

r o t a t i e

t e g e n de d r a a i z i n veri d e s c h i j f

i n

!tegenlopende precessie: en een s n e l l e r o t a t i e

met

d e z e l f d e d r a a i z i n a l s d e s c h i j f (meelo- pende p r e c e s s i e ) .

Wordt h e t w r i j v i n g s l i c h a a m boven op d e s c h i j f gedmkt, dan z a l

de meelopende p r e c e s s i e weggedempt worden; d e t e g e n l o p e n d e pre- c e s s i e z a l daarentegen j u i s t o n t s t a a n , mits de s t e e d s aan.wezige demping k l e i n genoeg is.

Wordt h e t w r i j v i n g s l i c h a a m onder t e g e n de s c h i j f g e d r u k t , dan wordt de meelopende precessie geëxciteerd en d e t e g e n l o p e n d e onderdrukt. I n d i t a r t i k e l worden de k l e i n e bewegingen b e s c h r e v e n van d e

motoras Û S t e n o p z i c h t e van de vertikaie r u s t s t a n d CP.

N a a s t de b e r e k e n i n g e n z i j n i n h e t l a b o r a t o r i u m voor T e c h n i s c h e Mechanica van d e Y e c h n i s c h e Hogeschool t e Eindhoven p r o e v e n $e-

2aan met een model.

$

2.

NOPZNCLATUUR. I

::aast de i n f i g . 1 en i n b o v e n s t a a n d e t e k s t aangegeven g r o o t h e d e n

worden verder g e b r u i k t ( i n v o l g o r d e van hun voorkomen i n d e t e k s t ) :

X',

Y',

Z '

Wx1 9 Wy'

*x*

D

y

= h u i p a s s e n k r u i s d o o r h e t vaste punt O ;

=

h o e k s n e l h e i d

van

de beweging van motor * en s c h i j f om de X I - a s , r e s p . d e Y'-as.

5 impulsmoment van d e bewegende d e l e n om

d e X-as, resp. de Y-as.

=

impulsmoment van d e bewegende d e l e n om

da X'-as, de Y'-as, r e s p . d e Z'-as.

=

d r u k k r a c h t , d o o r h e t w r i j v i n g s l i c h a a m op d e s c h i j f u i t g e o e f e n d , i n d i e n d e motor- as een k l e i n e u i t w i j k i n g

x

h e e f t . h o o f d t r a a g h e i d s a s s e n v a n motor en s c h i j f ,

b-1

[ay]

[KI

[K]

=

w r i j v i n g s k r a c h t

,

idem. <

- 3 -

w

w

x1

Y

T X ,

I4

Y

c

G

B

i

P

r

6 S ' E 1 1

%

1

6,

,

'6,

LKI [KLT~] =

componenten van

?i

2

P2x in de

negatieve X-richting resp.

de

ne-

gatieve Y-richting.

de X-as, resp.

de

Y-as.

terugstelmoment per radiaal uitbuiging.

= moment van alle uitwendige krachten om

= veerstijfheid van de ophanging;

= gewicht van de bewegende delen.

=

demping van het systeem; dempingsmoment

per eenheid van hoeksnelheid van het

systeem om de X-as, resp. de Y-as.

= n;assatraagheidsuiouent van de bewegende

delen ten opzichte van de

Xa-as

en ten

opzichte van de Y'-as.

= massatraagheidsmoment van

d e

rotor met

schijf ten opzichte van de Z'-as.

= hoeksneiheiä van de rotor met schijf' om

de Z'-as.

I - I

- P

1;Q

R

- 1

=

Pzl

=

P,

b

= -

c

+Ga

- -

= int

egrat

iec

on

st

an

t

en.

= complexe eigenfrequentie.

=

tijd.

= hoeksneïneiù van de meelopen& resp.

de

tegenlopende precessie

dij

afwezigheid

van demping en van wrijvingslichaam.

= eerste benadering

van

de verandering van

u,

en

id2

tengevolge van de demping resp.

de druk en

de

wrijving

van

het wrijvings-

lichaam.

Tussen haken zijn geplaatst de dimensies van de grootheden in een

technisch eenhedenstelsel.

i

3.

KEUZE

VAN

ASSENKRUIS

EN

COÖRDINATEN.

n

Een vast r e c h t s d r a a i e n d a s s e n k r u i s w o r d t gekozen met de o o r s p r o n g i n O, de %as v e r t i k a a l naar beneden en h e t XOZ-vlak d o o r d e l i j n , waarlangs h e t w r i j v i n g s l i c h a a m beweegt.

De plaats van de m o t o r a s w o r d t gekenmerkt d o o r d e c o ö r d i n a t e n

x

en

y van h e t punt S.

V o o r t s wordt t i j d e l i j k een a s s e f i k r u i s g e b r u i k t l a n g s d r i e hoofd- t r a a g h e i d s a s s e n van motor en s c h i j f ( f i g . 2 ) .

A s OX' l i g t h i e r v a n i n h e t XOZ-vlak; as OZ' i s d e as van d e motor en as

OY'

staat

l o o d r e c h t op b e i d e .

di

f

4. GEVOLGEI YUi DE LINEARISERING.

Aangezien s l e c h t s k l e i n e u i t w i j k i n g e n van de motokas t e n o p z i c h t e

v a n d e v e r t i k a l e s t a n d z u l l e n worden b e s c h r e v e n ( X «

1 ,

y « <)9 z i j n

d e hoeken t u s s e n

X-

en X l - a s , t u s s e n

Y-

en Y * - a s

en

tussen Z- en ZI-as k l e i n . Brenzo z i j n de hoeken d i e b i j v ò o r b e e l d d e Z'-as

maakt

met

d e L-as en de Y-as o n g e v e e r 99". H e t z e l f d e g e l d t v o o r de overige hoeken. I n h e t b i j z o n d e r i s de c o s i n u s v a n d e hoek t u s s e n de Z'-as

en

d e X-as g e l i j k

aan

H

X en d e c o s i n u s van.de hoek t u $ s e n de Z I - a s

en

d e

4

Y

n

( 1

1

Y-as g e l i j k aan ;E t e r w i j l ax,

=

-

f

en w

=-e".

l '

Onder d e z e aannamen kan worden g e s t e l d , d a t :

.

X

v

Ofschoon de f a c t o r e n

X D

dus n i e t worden

Y"

(Dzl

kan

v e e l g r o t e r z i j n dan Dx, en D en

;e

k l e i n z i j n , mogen d e termen -DZl weggelaten).

A l s v e r d e r gevolg van d e l i n e a r i s e p i n g

kan

n o ï d e n g e s t e l d , $et d e d r u k k r a c h t (en b i j c o n s t a n t e w r i j v i n g s c o ë f f i c i ë n t dus ook d e w r i j - vingskracht), d i e d o o s h e t w r i j v i n g s l i c h a a m op d e s c h i j f w o r d t u i t - g e o e f e n d , l i n e a i r a f h a n k e l i j k is van x en o n a f h a n k e l i j k van y.

Het b e w i j s h i e r v a n v o l g t o g e n b 1 i k k e l i j . r u i t de f i g u r e n ?a en 3 b . I n f i g u u r 3a i s de s i t u a t i e b i j een u i t w i j k i n g x v a n d e Z'-as g e t e k e n d ;

i n f i g . 3 b d e s i t u a t i e b i j e e n u i t w i j k i n g y van d e z e a s . De d r u k k r a c h t

is evenredig met d e k r a c h t i n de veer v a n h e t w r i j v i n g s l i c h a a m en dus

met d e verplaatsing v a n d i t l i c h a a m .

X

en e

2'

- 5 -

( 3 )

(4)

Voor de drukkracht kan

dus

worden geschreven

Pf

2

P l x ; voor de wrij-

vingskracht

P;

2

P2

X.

*

Hierin, evenals in alle volgende vergelijkingen, geldt steeds

het bovenste teken

v o o r

aandrukken van het wrijvingslichaam

aan de bovenzijde van de schijf, het onderste teken voor

aan-

drukken aan de onderzijde.

De wrijvingskracht

P;

2

P2x

krijgt, bij een positieve uitwij'-ing

y,

een richtingsverandering (fig. 3c) en dientengevolge een Component

in de negatieve X-richting, groot W

=

5

(Pi

2

1;~).

Aangezien het

echter niet nodig is

?:

groter te maken dan de maximale absolute

waarde van P2x,

is

dus

W

loosbaar klein ten opzichte van

3 z

P'

+

P

X.

evenredig met de factor

xy

en

diis

veïviaaï-

X

Y 2 - 2

6.

Uitgegaan wordt van de impulsmomentstelling om

de

vaste assen Ox

en YY.

M

= I ,

en

M = D

Hierin zijn, met gebruikmaking van

( 1 )

en

( 2 ) :

M

M

= -

D

= - I 1 f + I Q - 0 - 1

.

X X Y

Y

= c f

+

G a y

+

Pl$'

!

.

x

a

P

+

px

X

P

L

€

X

-

G - X

a 5

P:b

-

P,xb

-

4

1

"e

l

Y

X 2 - e X i

I

Qy-

Y

' T

2 1

X

Invullen van

( 4 ) in

(3)

en rangschikken levert de volgende differen-

tiaalvergelijkingen:

1

..

I252

e

p

.

c

+Ga

I

x

+

- y +

P2ex

+

-y =

-

?;.e

PY

-

- T

4

0

?AFIICULIERIC

0PLO.SSING.

IIet is gemakkelijk in te zien.dat

P;b!

x = ?

c+Ga+P,be

i y

=

(51

Met

P'b

c< c+Ga

en

Pil? << c+Ga i s d i t e e n c o n s t a n t e zeer k l e i n e u i t w i j k i n g ( (x

<-=

2

; /y

I

<<

1,

d i e k a n worden v e r w a a r l o o s d .

Door h e t aanbrengen van e e n v o o r s p a n n i n g i n d e ophangveren (onder g e l i j k b l i j v e n d e s t i j f h e i d ) kan e r b o v e n d i e n voor worden g e z o r g d dat de r e c h t e r l e d e n v a n de v e r g e l i j k i n g e n

(5)

p r e c i e s

=

O worden.

1

I n t e r e s s a n t e r is d e algemene o p l o s s i n g van h e t homogene s t e l s e l v e r g e l i j k i n g e n : 1 . . I p Q .

P .

+ P 9 x + - y c +Ga

= o

I

2-

e

T Y

--e

x

+ T Y

-

I

1

Q .

p .

y?

+

* y

+

-j-x

+

P - b x

+

_e

=

O

7 .

AFKORTINGEI$. De v o l g e n d e a f k o r t i n g e n worden nu i n g e v o e r d :

$ = P

LKT?

(traagheidsmoment) I Q

A =

₉

e

c +Ga - = p

1

p2P

=

s P b = s ' 1 z$

P

( t o e r e n t a l ) ( v e e r s t i j f h e i d ) ( w r i j v i n g ) (demping). R De t u s s e n h a a k j e s g e p l a a t s t e woorden z i j n geen e x a c t e b e s c h r i j v i n g

van

de g r o o t h e d e n p

t/m

U. Ael b e z i t t e n ze e e n d i r e c t v e r b a n d met

deze l e t t e r s . Het s t e l s e l

(7)

gaat nu o v e r i n :

py

-

qX

+

ry 2 sx

+

ui = O pj;

+

q$

+

rx

+

s ' x

+

UX

=

o

*

*

- 7 -

8. AFBYELDING TIAN DE EEIGSNWAARDZN I N HET CGK?LZX,'

VLAK.

Gezocht worden o p l o s s i n g e n v a n het s t e l s e l

(8)

van

de vorm

t

y

=

Re Be'

( 9 )

w a a r i n A, B en

5

complexe c o n s t a n t e n kunnen z i j n .

I n v u l l e n v a n deze oplossing i n d e d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n l e v e r t twee homogene v e r g e l i j k i n g e n i n

A

en B, waaraan s l e c h t s

v o o r bepaalde waarden

van

5

,

d e e i g e n w a a r d e n , kan worden vol- daan ( a f g e z i e n v a n de t r i v i a l e a p l o s s i n g

A

= B

=

0 ; dus x

=

y

=

O). De b e t e k e n i s v a n

=

5

+

i n

i s e v i d e n t .

I n d i e n

5

O neemt de a m p l i t u d e v a n de beweging a f ; i n d i e n

5

9 O

(q

#

O ) , dan z i j n d e componenten v a n de oplossing, x en y: harmo- n i s c h e b e t r e g i n g e n met c o n s t a n t e a m p l i t u d e ; i n d i e n

5

> O, dan neemt de a m p l i t u d e t o e en i s de beweging i n s t a b i e l .

9. EZ?

Oi~GED!I?G"&' SYSSEEPI ZO?IDZH 8RIJVINGSLICHARM.

S t e l t men s

=

6'

=

u

=

O en v u l t men (9) i n h e t z o v e r k r e g e n

s t e l s e l

(8)

i n ,

dan v o l g t ,

n a

d e i i n g door

e

ct

.

e

Opdat n i e t A = B

=

O, moet, z o a l s n a e n i g r e k e n e n v o l g t :

A a n g e z i 3 n

C, e=

C2

m i v e r imaginair z i j n . kan worden g e s c h r e v e n

x

= Ai

c o s ( w f t

+

q,f

+

A Z

C O S ( ' W ~ ~

+

<p2) U i t de t w e e d e v e r g e l i j k i n g v a n h e t s t e l s e l

(8)

v i n d t men dan na één k e e r i n t e g r e r e n : y

=

R , s i n ( w , t + q , )

-

i i , s i n ( ~ ~ t + ( ~ ; ! ) (12) K i e s t men d e b e g i n v o o r w a a r d e n z o d a n i g , d a t A Z

=

O, dan o n t s t a a t i n b o v e n a a n z i c h t dus f i g . 5a, e e n ' s n e l l e , met de d r a a i r i c h t i n g

van

s1 meelopende p r e c e s s i e ; k i e s t men de b e g i n v o o r w a a r d e n z o d a n i g , d a t

A, =

O, dan o n t s t a a t f i g . 5b, een langzame, t e g e n de d r a a i r i c h t i n g

van

Q

in lopende precessie.

Substitutie van p,

q

en

r in

u,

en

w2

geeft

w,

en

w2

als functie

van

101

I,

I I

VI:

d

.i.

4

(

y),,

1%

!

=

2

I,

Pig.

6 geeft een afbeelding van

w,

en

w2

als functie van

P.

Hierin

is het teken van

wt

en

w2

In

overeenstemming gebracht met de

projectie van

Q

op de Z-as.

10. H E I G E D Z P E T E SYSTEEM

ZONDER

:O,XIJVINGSLICHAAM.

Voor

het systeem

( 0 )

met

s

=

s s

=

3

en

u

zeer klein wordt de

op-

lossing geschreven in de vorm:

-

3

íiw+e)t

(iu+c)t

x

= Re Ae

y

=

Re Be

Hierin wordt i@ gelijk genomen aan de oplossingen

van

het

on@-

dempte systeem, zodat dus

E

de kleine afwijking ten opzichte van

dat systeem voorstelt.

Vult men

(141

in het nu verkregen systeem

(8) in, dan krijgt men,

na verwaarlozing

va.¶ E 2

en hogere machten van

E :

Invullen van

w

=

w,

resp.

w

=

w2

levert:

en

5

n ( 1 5 )

( i 6 1

(zie fig.

7 )

Opgemerkt moet worden dat de (snellere) meelopende precessie sneller

zal dempen dan de tegenlopende precessie.

- 9 -

11.

HZT

OXGSDEMPTE SYSTEEN

?UT

JVINGSLICHAAM.

Het s y s t e e m

(8)

met

u = O, s en s' z e e r k l e i n , wordt g e h e e l be-

handeld als h e t gedempte s y s t e e m zonder w r i j v i n g s l i c h a a m . Nu wordt g e s t e l d : (iw+6

)t

(iw+6

)t

x

=

Re A e y

=

Re Be I n v u l l e n van w

=

w1 r e s p . w

=

w2 l e v e r t nu: 5 ' + i + 8 6 --2-

2

i

-(17)

( 1 8 )

Aangezien h e t b o v e n s t e t e k e n h i e r i n v o o r aandrukken aan de boven- z i j d e g e l d t , l i g g e n de waarden

van

<

i n d i t g e v a l a l s i n f i g . 8Z. B i j aandrukken aan d e o n d e r z i j d e o n t s t a a t f i g .

8b.

H e t L I 2 V Lj 7 - t R dat 0 ; . -.j aar,dYdkRen aan Ye b o v e n z i j d e de t e g e n l o p e n d e

p r e c e s s i e g e ë x c i t e e r d w o r d t ; bij aandrukken aan de o n d e r z i j d e de

meelopende p r e c e s s i e .

12.

?ET

G E I 3 P T E GTSTEEM N?iZ Y:'RIJVINGSLICHAIY!M.

Voor k l e i n e waarden van 6 , s' en u kunnen d e waarden van ë

en

6 van d e v o r i g e honfdstuk_ken o p g e t e l d worden. Dus zal, i n d i e n

IE,

I

-=

/Bebl

1,

b i j aandrukken aan de o n d e r z i j d e de meelopende p r e c e s s i e worden g e ë x c i t e e r d . Evenzo w o r d t , i n d i e n Ië2

I

-=

IXe6,

I ,

de t e g e n l o p e n d e p r e c e s s i e g e ë x c i t e e r d bij aandrukken a a n de b o v e n z i j d e .

Aangezien

c e s s i e t e e x c i t e r e n dan de t e g e n l o p e n d e . H i e r v o o r i s immers een g r o t e r e

s , d u s een g r o t e r e w r i j v i n g n o d i g . D i t kan o.a. worden b e r e i k t d o o r een g r o t e r e v e e r s t i j f h e i d van h e t w r i j v i n g s l i c h a a m .

1

5

"IE*

I

z a l

h e t dus m o e i l i j k e r z i j n , de meelopende pre-

13.

ZXPEHIMENPZLE 2ESULTATZN.

I n h e t l a b o r a t o r i u m v o o r T e c h n i s c h e Mechanica van d e T e c h n i s c h e Hogeschool t e Eindhoven i s een model gemaakt ( f i g . 9 ) . waarmee

de boven omschreven v e r s c h i j n s e l e n kunnen worden gedemonstreerd. Het w r i j v i n g s l i c h a a m i s een r u b b e r d o p j e , gemonteerd op een b l a d - v e e r t j e .

De o v e r i g e o n d e r d e l e n

z i j n

d i r e c t h e r k e n b a a r op de f o t o . ziet model v o l d o e t goed a a n de v e r w a c h t i n g e n .

Het i s i n t e r e s s a n t om op t e merken, d a t om p r e c e s s i e t e e x c i t e r e n , de v e e r s t i j f h e i d van h e t o n d e r s t e w r i j v i n g s l i c h a a m i n d ê r d a a d g r o t e r moest worden genomen dan d e v e e r s t i j f h e i d van h e t b o v e n s t e w r i j - v i n g s l i c h a a m .

14. CVPICI,USIE.

Gezien de r e s u l t a t e n v a n h e t model g e e f t d e boven omschreven t h e o r i e , met de g e b r u i k t e v e r e e n v o u d i g i n g e n en l i n e a r i s a t i e s ,

een

goed b e e l d v a n h e t

i n

"Mechanical V i b r a t i o n s " b e s c h r e v e n v e r s c h i j n s e l .

c

15.

OPMERKINGd;.;N.

1. P l a a t s t nen h e t g e h e l e model o n d e r s t e b o v e n , dan kan men door de

v e e r s t i j f h e i d v a n de ophanging t e v a r i ë r e n , a a n r v e r s c h i l l e n d e waarden, o o k n e g a t i e v e , geven, Dân x o r d t n a - e l i j k r

=

--

V o o r r - = O g e e f t de t h e o r i e e n i g e merkwaardige r e s u l t a t , , e n , d i e aan- . s l u i t e n b i j d e theorie van d e v e t i k a a l s t a a n d e zware t o l .

2. Er is eelp z e k e r e a n a l o g i e op

t e

merken t u s s e n d e bevregingsmogelijk-

heden v a n motor en s c h i j f e n de bewegingsmogelijkheden van een a a n

één

z i j d e ingeklemd d r a a i e n d e e l a s t i s c h e as met op h e t a n d e r e e i n d e e e n s c h i j f . I n Biezeno-Granmel "Tec?Í&che Dynamik"

wordt h i e r g e s p r o k e n v a n " k r i t i s c h e E r e h z a h l ë n

lm

G l e i e h l a ü f üiid

i m Gegenlauf ( e r s t e Type)."

Een u i t b r e i d i n g v a n de a n a l o g i e d o e t h e t vermoeden r i j z e n , d a t b e i d e vormen b i j v o o r b e e l d d o o r h e t a a n l o p e n v a n de s c h i j f z u i l e n kunnen vrorden geëxciteerd,

c-Ga

x -

1 )

19 Siezeno-Grammel: "Technische Dynamik" 2% druk, Springer

1953,

d l

11,

pp.

1 8 3 t/m 187.

X.b.: f i g . 13 op pag. 187 houdt echter

6