Een ondergrens voor de lengte van een partiële transversaal in een Latijns vierkant

Een ondergrens voor de lengte van een partiële transversaal

in een Latijns vierkant

Citation for published version (APA):

Vries, de, A. J., & Wieringa, R. M. A. (1978). Een ondergrens voor de lengte van een partiële transversaal in een Latijns vierkant. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7802).

Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

",

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN Onderafdeling der Wiskunde

Memorandum 1978-02 April 1978

Een Ondergrens voor de Lengte van een Partiele Tranqversaal

in een Latijns Vierkant

door

A.J. de Vries en R.~1.A. Wieringa

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

1. Inleiding

Een Ondergrens voor de Lengte van een Partiele Transversaal

in een Latijns Vierkant

door

A.J. de Vries en R.H.A. Wieringa

Een Latijns vierkant van orde n is een vierkante matrix waarvan elke rij en elke kolom een permutatie is van de symbolen 1, ••• ,n.

Een transversaal van een Latijns vierkant van orde n is een verzameling

van n verschillende elementen van de matrix, met precies ~en element in elke

rij en elkekolom.

Een partiele transversaal ter lengte k van een Latijns vierkant van

or-de n (n ~ k) is een verzameling van k verschillende elementen van de matrix

met ten hoogste ~~n element in elke rij en elke kolom.

Een partiele transversaal ter lengte n is dus een transversaal.

Bet vermoeden van Ryser [1J is, dat een Latijns vierkant van orde n

voor oneven n altijd een transversaal heeft, en voor even n tenminste een partHHe transversaal ter lengte n - 1 heeft.

K.K. Koksma [2J heeft aangetoond dat een Latijns vierkant van orde n

2n

+

1

een partie Ie transversaal heeft met lengte tenminste 3

Kan deze grens nog verlegd worden?

2. Notatie

In deze paragraaf enkele notatieafspraken: Latijns vierkant korten we verder af als LV.

Als we over elementen van een LV spreken, gebruiken we Griekse letters, eventueel .geindiceerd: ( l , 13, Y I • • • , ( l . I l3

i , Y . , • .• •

~ ~

We willen een LV dikwijls onderverdelen in blokken. V~~r de namen van

deze blokken gebruiken we hoofdletters, eventueel geindiceerd: K,R,RO,K

2,Ri, •••

Natuurlijke getallen (zoals bijvoorbeeld afmetingen van blokken) geven

*

*

we.aan met kleine letters, eventueel geindiceerd: d,k,~~,.",k.,r.,k.,r., •••

]. ]. ]. ]. Ter illustratie een plaatje:

- 2 -(Xl • • Ct k I RB •

· .

•

.

·

•

·

.

•

.

·

·

·

'0

·

• 1

·

•

.

·

•

.

·

·

_°d

·

·

_• K ₁

·

RO

·

·

d 3. Algemene structuur

We gaan uit van een LV van orde n met In parti~le transversaal ter

leng-te t, en geen paiti~le transversaal met lengte > t, In zogenaamde maximale

partiele transversaal.

We definH~ren !), als !), := n - t.

Zonder verlies van algemeenheid kunnen

we het LV onderverdelen in de blokken LB,RB,

LO,RO, en veronderstellen dat de hoofddiagonaal

van LB een maximale parti~le transversaal vormt

met elementen l, ••• ,t (zie de figuur hiernaast).

!

.

•

.

• LB RB

. .

_.

t LO RO

Omdat de partiele transversaal maximaal is, zijn de elementen van RO

alle ~ t.

We verde len ze in:

- elementen die meer dan eenmaal voorkomen, gevormd uit de symbolen 0l, •• ,od. - elementen die slechts eenmaal voorkomen: El' ••• 'Se.

. 2

In LO staan!)' elementen > t, evenals in RB.

We leiden nu enkele eigenschappen af over de ligging van de elementen

0l, ••• ,od op de diagonaal t.o.v. de elementen > t in LO en RB, en over de

ligging van de elementen > t in LO en RB t.o.v. elkaar.

1. Stel op positie (i,i) van de matrix staat In 0 E {ol, ••• ,od} (i::;; t).

De-ze 0 maakt dus deel uit van de partiele transversaal.

a. Dan kan in kolom i in LO geen element

~ > t staan, want anders zouden we In partiele transversaal kunnen vormen ter

lengte t + 1, door uit de oorspronkelijke

,

- 3

-partiele transversaal 0 (opde diagonaal) te verwijderen, in kolom i

~, en in RO een 0 die niet in dezelfde rij als ~ staat (er zijn

ten-mi~ste twee o's in RO) te nemen.

b. Eve~~in kan in rij i in RB een element ~ > t staan, hetgeen op geheel analC]A wijze aangetoond kan worden.

2. a. Stel dat in LO in kolom i ~ t In ~ > t

staat en in rij i in RB In

W

> t. Dan

moet ~

= W.

Want anders zouden we een

partiele transversaal ter lengte t + 1

kunnen vormen door het element a op

positie (i,i) uit de partiele

transver-saal te verwijderen en de elementen ~

en

W

eraan toe te voegen.

,

1.

b. Een rechtstreeks gevolg van a. is, dat als in LO in kolom i In ~ en In

W

staan, beide > t, in RB in rij i alle elementen ~ t zijn, en

omge-keerd, als in RB in rij i twee elementen staan die > t zijn, in LO in

kolom i alle elementen ~ t zijn.

We definieren voor i

=

0,1, ••• ,£:

K., deelverzameling van LO, als die kolommen waarin precies i elementen > t

~ staan, £

*

als K. u K. , ~ j=i ]

*

k. als IK·I, k. _{~ 1. ~} als IK~I, (met IKI bedoelen we het aantal kolommen van K),

R., deelverzameling van RB,als die rijen waarin precies i elementen > t staan,

1-*

£

Ri als U R

j ,

j=i

r i als IRil,

r~

als

IR~I,

(met IRI bedoelen we het aantal rijen van R).

Verder definiere.n we:

Als Keen deelverzameling is van LO, dan K', deelverzameling van RB, als die rijen i waarvoor geldt dat kolom i in K zit, en

Als R een deelverzameling is van RB, dan RI, deelverzameling van LO, als die kolommen i waarvoor geldt dat rij i in R zit.

Met bovenstaande eigenschappen en definities kunnen we zonder verlies van algemeenheid het LV als volgt opgebouwd denken:

4

-•

_*,

k2

...

.

.

*

r 2 ,.

...

. .

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

. .

. .

r'

.

] ••

.

.

. .

.

.

.

. . .

•

·

_'0

...

·

] _d

·

*

K2

t '*

_*

k2 r₂ k1 d ~

*

*,

(In LO zijn Kl

n

R2

n

K2 beide leeg!)

*

~

~.

RO

~

KO

*

*

*

*

Er geldt dus altijd n ~ k2 + r

2 + kl + d + t en n ~ k2 + r2 + r l + d + t.

Voor de elementen El, ••• ,E

e op de diagonaal geldt het volgende:

Stel op plaats (i,i) op de diagonaal staat een

E E: {E

l , ... ,Ee}, (i:5: t) •

a. Dan mogen er in LO in kolom i geen ~ en

W,

beide > t voorkomen; anders zouden we een

partHHe transversaal ter lengte t + 1

kun-nen vormen door uit de oorspronkelijke

trans-versaal de E die op de diagonaal staat te

ver-wijderen, en de E die in RO (zeg in rij j)

voorkomt en van ~ en ~ een die niet in rij j

staan toe te voegen.

.

<P • • • • • • •

®

-j

t

].

b. Evenzo mogen dan in RB in rij i geen twee elementen > t voorkomen.

4. Hoofdstelling

We bewijzen in deze paragraaf de

5

-We veronderstellen verder in deze paragraaf t ~ 3.

In het bewijs onderscheiden we de gevallen:

1. d < t.

2. d ~ t.

4.1. d < L

De d elementen 0l, •••

,a

d nemen in RO (afmetingen t x t ) maximaal d.t

plaatsen in beslag. Hieruit voIgt voor e (het aantal elementen dat precies

eenmaal in RO voorkomt): e

~

51,2 - t.d.

Deze e elementen c

l, ••• ,ce komen ook als element van de partiele

trans-*

*

versaal op de diagonaal voor, echter niet "boven" K2

u

R

2', zoals we in het

laatste gedeelte van paragraaf 3 gezien hebben (met "boven" K bedoelen we in

LB in die kolommen waaruit in LO K bestaat) •

Definieer S, deelverzameling van LO, als Kl U Ri en s als

lsi.

Tellen we aIle elementen > t in LO, dan zijn dat er 51,2, in RB eveneens

51,2, dus samen 251,2. Hiervan liggen er ten hoogste 2s in S U Sf, de rest,

ten-. t 202 2 uk .

*

*

.

*

k I .

*

m1ns e N - S st s, 1n K2 u R

2• Omdat 1n K2 per 0 om en 1n R2 per r.1J

*

*

r 2 . /

1

ten hoogste t elementen kunnen voorkomen, geldt k2 + r

2 ~ I (2R. - 2s) 51, • Nu voIgt uit de afmetingen van de blokken (en stukken diagonaal) van het LV:

*

*

+ max{s,e} + d + £ , n ~ (k 2 + r2) dus nR, ~ t{k* 2 + r

*

2) + 51, max{s,e} + dt + 51,2 ~ (2£2 _ 2s) ₊ 51, max{s,e} + dR,

₊

51,2

=

39,2 + dR, + £ max{s,e}

-

2s

.

Als s ~ _{e dan 5/, max{s,e} - 2s}

₌

_{s(R. - 2)} ~ e(R. - 2).

Als s S _{e dan R. max{s,e} - 2s} ~ _{R.e - 2e}

=

e(R. - 2) •

Dus n5/, ~ 3.9.2 + d5/, + e(5/, 2) , en, met e ~ £(R. d) en d.9.

₌

t 2 - .9.(.9. - d):

nQ, ~ 3Q,2 + Q,2 - Q,(Q, - d) ₊ Q,(Q, - d)(Q, - 2)

=

4Q,2 _{+ Q,(Q, - d) U - 3)}

d.w.z. n ~ 451, ₊ (51, - d) (51, - 3).

Aangezien d < 51" dus 51, - d ~ 1, geldt nu

•

6

-4.2. d ~ iL.

Definieer weer S en s als in 4.1. Duideli.jk is, dat

*

*

n ~ (k 2 + r2) + s + d + iL

~

(k; +

r;>

+

s

+

2~

. k

*

*

Ais 2 + r

2 + s ~ 3iL, dan voIgt onmiddellijk: n ~ SiL. (2)

*

Stel nu verder k; + r

2 + s ~ 3~ - 1.

Tellen we weer de elementen > t in La en RB, en bedenken dat in S u SI ten

hoogste 2s en in K2 U R2 2{k

2 + r2) elementen > t staan, dan blijven er voor

*

*

.

2 K3 u R3 tenm~nste 2~ - 2s - 2(k 2 + r2) over. Zo vo gt: I k

*

3 + r3

*

~ f(2~ n2 - 2( s + k 2 + r

»/n1

2 ~.

*

*

*

*

+ r 2) : Nu voIgt, met k2 + r 2

=

(k₃ + r 3) + (k₂ niL ~

~(k;

_{+ r}

*

3) + iL(s + k2 + r2) + 2~2 ;e: U 2 _ _{2(s + k2 + r} 2) + ~(s + k2 + r2) + 2~2

=

4.il.2 + (iL - 2) (s + k2 + r 2) Er zijn nu twee mogelijkheden:

De eerste mogelijkheid is dat s + k2 + r

2 ~ ~, dan voIgt onmiddellijk

n~ ~ 4~2

+ (iL - 2)t I

dus

n ~ S.il. - 2 • (3)

De andere mogelijkheid is dat s + k2 + r

2 ~ i - I . We be schouwen deze

moge-lijkheid nader en stellen dus s + k2 + r

2

~ ~

-

1.

Dangeldt

(omdat ~ ~ 3). Wil hieraan voldaan zijn, moet minstens een van de getallen

*

*

k3 en r3 ~ i zijn. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we hier stellen

7

-We kunnen het LV nu als vOlgt teke-.

nen: (de definities van D, a

1, .•• ,ak*, ₃

Q en q hale men uit de

fi-We beschouwen nu de laatste kolom van het LV. Hierin moeten de elementen

.

*

*

a

i en 8j (1

=

1, ••• ,k3, j = l, •.. ,r3) alle voorkomen. We tonen nu aan dat in

*

K

3', D en RO geen a,'s en 8,'s mogen 1 J

voorkomen. Zou dit wel he.t geval zijn dan zouden we 'n partHHe transversaal

ter lengte t + 1 kunnen vormen. We laten

*

voor K3' en D aIleen pIaatjes zien waar-in staat aangegeven hoe de partiele

trans-versaal ter lengte t + 1 gerealiseerd zou

a l _,

.

a

*

k3

*

K3

*,

K3

·

...

"

...

'6

• 1

*

·

• •

.

_R3

·

,

6

*

r3 • ,

·

...

·

,

.

·

•

.

Q

·

_• •

.

•

·

...

·

·

'0

·

• _{• I}

·

· ·

•

D

·

· ·

•

·

·

• _°d

·

·

•

·

*,

·

R3

_·

•

RO

·

q d

kunnen worden door e.lementen uit de oorspronkelijke te verwijderen en nieuwe toe te voegen:

(qI, X en 1jJ zijo steeds elementen > t. We kiezen steeds het meest ttgecompli-ceerde" geval). a •••••••• I :

~a

•

.

2

@

X X

@

In mag geen a

1~o

...

<t>- .. • ... .

.

$ . . . .. a. staan. 1

.

• ... ·0

In D mag geen a. staan.

1 ct· •••• • •••

.

...

~ ~8"'"

·

• ~

·

(ill)

In

_K3

*,

mag geen

e.

staan.

1

I~

...

.~<x>~

~o~

.

· .

:

..

~

·

.

•

·

·

5

·

·

®

In D mag geen

S.

staan.

1

q

..

4.3.

8

-*

*,

In paragraaf 3 hebben we aangetoond dat op de diagonaal "boven" K3 U R3 geen

O.

's en £.'s mogen staan. Dit kunnen we nu anders omschrijven als:

~ ]

In RO mogen geen ails en S. IS staan.

J

In de laatste kolom van het LV kunnen de a. 's en S.'s dus alleen staan

~ J

*

in de blokken R3 en Q.

Er zijn in totaal k; + r; ai's en Sj'S; R; en Q hebben lengte r; resp. qi

dus moet gelden (willen de a. I s en S. I S in de twee blokken "passen"):

*

*

*

~

J

r3 + q 2 k3 + r

3, dus q 2 k; 2 t zoals we zonder verlies van algemeenheid

hadden aangenomen.

In In

De hoogte van het LV

₌

k* * n 3 + r3 + q + d + Q, 2 2£ - 1 .+ £ + £ + t

=

5£ - 1 We hebben aangetoond: 4.1: Als d < £ dan n 2 5£ - 3 (1 )

*

4.2: Als d >' Q, _{en k2 + r}* _{s 2 3£} 2 + dan n 2 Als d > t, k* _{+ r}* _{3£ - 1} 2 + s S; en 2 Als d > £, k* + r* 31 - 1 2 + s S; en 2

Algemeen geldt dus: n 2

St -

3.

Hiermee is de hoofdstelling bewezen. k2 k2 5£ ( 2) + r₂ + s 2 £ dan n 2 5£ - 2 + r 2 + sS; £-1 dan n 25£ - 1 (4) (3) (4) 5. Conclusies n + 3 4n - 3

Lemma 1. Als n 2 12 dan geldt £ S; 5 ' dus t 2 S

Bewijs. Als £ 2 3, dan voigt uit de hoofdstelling dat n 2 5Q, - 3, dus

n < n + 3 4n- 3

N - 5 en t 2 • Als £ S; 2, voigt het gestelde direct.

Lemma 2. Als n S; 11 dan geldt £ S; 2, dus t 2 n - 2.

Bewijs. Zou Q, 2 3, dan zou met de hoofdstelling volgen: n 2 SQ, - 3 2 12.

Opmerking. Dat voor n S; 6 £ S; 1, dus t 2 n- 1 geldt, kan op eenvoudige

- 9 ~

6. Referenties

[1) H.J. Ryser, Neuere Probleme der Kombinatorik im Vortrage fiber Kombina-torik, Oberwolfach, 24-28 juli 1967. Mathematischen Forchungsinsti-tut, Oberwolfach, 1968.

[2) K.K. Koksma, A lower Bound for the Order of a Partial Transversal in a Latin Square, Journ. of Comb. Th. 7, 94-95 (1969).