UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)
UvA-DARE (Digital Academic Repository)
On the inhomogeneous magnetised electron gas
Kettenis, M.M.
Publication date
2001
Link to publication
Citation for published version (APA):
Kettenis, M. M. (2001). On the inhomogeneous magnetised electron gas. Ridderprint
offsetdrukkerij b.v.
General rights
It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Disclaimer/Complaints regulations
If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You will be contacted as soon as possible.
electronengas s
Ditt proefschrift gaat over randeffecten in een inhomogeen gas van geladen deeltjes in eenn magneetveld. Wat wordt daar mee bedoeld? Laat ik beginnen met de woorden
rand-effecteneffecten en inhomogeen. Het gas waar ik in mijn proefschrift aan reken, zit opgesloten en
iss van de rest van "de ruimte" gescheiden door een ondoordringbare muur. Het feit dat ikk spreek over randeffecten geeft aan dat er, klaarblijkelijk, iets aan de hand is in de buurt vann die muur. Inderdaad gedraagt het gas zich in de buurt van de muur anders dan ver wegg van de muur. Omdat het gas dus niet overal in de ruimte in dezelfde toestand verkeert,, spreken we van een inhomogeen gas. De deeltjes in het gas zijn elektrisch
gela-den,den, zodat ze andere geladen deeltjes aantrekken of afstoten. Als geladen deeltjes in een
bepaaldee richting bewegen, dan spreken we van stroom, en kunnen we er bijvoorbeeld eenn gloeilamp mee laten branden. Ook gedragen geladen deeltjes zich anders als ze zich voortbewegenn in een magneetveld. Het begrip magneetveld is, letterlijk, ongrijpbaar. In zekeree zin is het geen eigenschap van iets tastbaars als een deeltje, maar van de ruimte zelf.. Tussen de uiteinden van een hoefijzermagneet bevindt zich bijvoorbeeld een mag-neetveld.. In zo'n magneetveld worden bewegende geladen deeltjes afgebogen, terwijl ongeladenn deeltjes gewoon rechtuit blijven bewegen. Hierop berust de werking van een televisiescherm.. Geladen deeltjes (elektronen) worden van achter het beeldscherm af-geschotenn en worden door een magneetveld afgebogen om zo op verschillende plaatsen opp het scherm terecht te komen, en het scherm op die plaats op te laten lichten. Interessee in het gedrag van gassen van geladen deeltjes is er in eerste instantie vanuit het vakgebiedd van de plasmafysica. Een plasma is een gas dat voor een niet te verwaarlo-zenn deel bestaat uit geladen deeltjes. Plasma's komen in ons universum veel voor; naar schattingg bevindt 99% van alle materie zich in een toestand die we een plasma kun-nenn noemen. Voorbeelden zijn sterren of de ionosfeer rond onze aarde. Op aarde zijn plasmass veel zeldzamer, maar beslist niet onalledaags. Een fantastisch natuurverschijn-sell dat een plasma veroorzaakt is de bliksem. Maar ook de mens is in staat een plasma
112 2 Samenvatting Samenvatting
tee creëren: TL-licht is bijvoorbeeld afkomstig van een plasma. En ook voor kernfusie, eenn belangrijke kandidaat voor de oplossing voor ons energieprobleem als de olie- en gasvoorradenn uitgeput zijn, is een plasma nodig.
Hett gas dat ik in mijn proefschrift beschrijf is een vrij elektronengas: een gas van (ne-gatief)) geladen identieke puntdeeltjes (de elektronen) die, ondanks hun lading, elkaar afstotenn noch aantrekken. Op die manier zit een echt plasma niet in elkaar, want in wer-kelijkheidd stoten de elektronen elkaar af, maar weglaten van de wisselwerking tussen de deeltjess vereenvoudigt het rekenwerk wel enorm. En als de deeltjes niet te dicht bij el-kaarr komen, of als de afstoting om een andere reden zwak is, dan kan dit een goede eerstee benadering zijn. Ondanks de afwezigheid van wisselwerking tussen de deeltjes onderlingg is het systeem, door de aanwezigheid van de muur en het magneetveld, inte-ressantt genoeg. Juist de combinatie van die twee zorgt voor niet-triviale effecten: omdat hett magneetveld zorgt dat de elektronen afgebogen worden is het mogelijk dat een elektronn meerdere malen met de muur in botsing komt.
Hett eerste hoofdstuk van dit proefschrift begint met een historische introductie over
diamagnetismediamagnetisme in een vrij elektronengas. Diamagnetisme is de naam die gebruikt wordt
voorr het verschijnsel dat een in een magneetveld geplaatst materiaal, zich gedraagt als eenn magneet waarvan het buiten het materiaal waarneembare magneetveld tegengesteld gerichtt is aan het oorspronkelijke magneetveld. Over de oorzaak van diamagnetisme in eenn vrij elektronengas heeft lange tijd onduidelijkheid bestaan. Hoewel deze ondui-delijkhedenn allang de wereld uit geholpen zijn, is het toch interessant om in detail te kijkenn naar de randeffecten die verantwoordelijk zijn voor het diamagnetisme. Verder wordenn in dit hoofdstuk een aantal technieken behandeld die in de latere hoofdstukken gebruiktt zullen worden: de zogenaamde Greenfuncties waarvan ik gebruik zal maken inn hoofstuk 2, en de padintegralen die voor het eerst opduiken in hoofdstuk 3. Inn hoofdstuk 2 begin ik met het uitrekenen van de ladings- en stroomdichtheidspro-fielen.. Het ladingsdichtheidsprofiel geeft de verdeling van de lading als functie van de afstandd tot de muur. Het stroomdichtheidsprofïel doet hetzelfde voor de door het mag-neetveldd opgewekte stroom; de stroom die verantwoordelijk is voor het diamagnetisme. Numeriekee resultaten laten zien dat de profielen een interessante structuur hebben (zie figuurfiguur 2.2). Bij het stroomdichtheidsprofïel zien we dat er een gelaagde structuur ont-staatt waar de stroom afwisselend in de ene en de andere richting loopt. Uiteindelijk zullenn deze profielen een constante waarde bereiken, en een cruciale vraag is hoe dat gebeurt.. Er zijn in principe twee mogelijkheden: via een algebraïsche of een exponenti-elee afval. Algebraïsch wil zeggen: met de afstand tot een zekere (negatieve) macht. Z o n algebraïschee afval is relatief langzaam; op grote afstand van de muur is deze nog steeds
"voelbaar".. De exponentiële afval verloopt veel sneller; de invloed van de muur is al snell verwaarloosbaar klein. In de literatuur was tot nu toe onduidelijkheid over de afval vann de hier beschouwde profielen. Sommige resultaten suggereerden dat voor zwakke magneetveldenn de afval algebraïsch is, terwijl men op grond van andere artikelen een exponentiëlee afval zou verwachten. Op grond van de resultaten in hoofdstuk 2 kan wordenn vastgesteld dat de uiteindelijke afval bij het absolute nulpunt exponentieel, ja zelfss Gaussisch is.
Alss een theoretisch natuurkundige iets "uitgerekend" heeft zal hij zich vaak afvragen of hett resultaat niet op een betere manier afgeleid kan worden. Het woord "beter" kan in dezee context vele betekenissen hebben: eenvoudiger, eleganter, intuïtiever, algemenen-vaakk ook een combinatie van deze aspecten. Ook tijdens het onderzoek dat resulteerde inn dit proefschrift, is dat gebeurd, en hoofdstuk 3 dankt hieraan zijn bestaan. In dit hoofdstukk worden dezelfde dichtheidsprofielen uitgerekend die al in hoofdstuk 2 naar vorenn kwamen, maar nu met behulp van padintegralen. Achteraf blijkt vaak dat een nieuwee methode niet eens zozeer andere resultaten oplevert, maar wel een nieuw ge-zichtspuntt van waaruit het probleem bekeken kan worden. Ook in dit proefschrift is datt het geval. De m.b.v. de nieuwe methode uitgerekende profielen zijn identiek aan dee profielen uit hoofdstuk 2. Maar de herformulering van het probleem in termen van paden,, en het onderverdelen van deze paden in klassen die de muur een bepaald aantal kerenn raken leidt tot nieuwe inzichten.
Dee dichtheidsprofielen uit hoofdstuk 2 en 3 hebben een belangrijk nadeel. Deze uit-drukkingenn hebben de vorm van een som over zogenaamde Landauniveaus. Als de sterktee van het magneetveld afneemt, neemt het aantal Landauniveaus toe, en wordt hett sommeren een eindeloos karwei. Bovendien verschuift het gebied waarin de uit-drukkingenn geldig zijn verder en verder van de muur af. Daarom kijk ik in hoofdstuk 4 specifiekk naar zwakke magneetvelden. Daartoe behandel ik eerst het geval waarin het magneetveldd loodrecht op de muur geplaatst is. Deze situatie is een stuk eenvoudiger omdatt het afbuigen van de banen van de elektronen nu parallel aan de muur plaats-vindt.. In dit geval is de afval van de dichtheidsprofielen, net als overigens voor sterke magneetvelden,, algebraïsch. Terugkerend naar de situatie met het magneetveld parallel aann de muur vinden we op middellange afstand van de muur ook een algebraïsche afval (ziee figuur 4.7).
Inn het laatste hoofdstuk tenslotte, beschouw ik correlatiefuncties voor het elektronen-gas.. Deze correlatiefuncties geven aan, wat de kans is, dat we op een zekere afstand van eenn elektron, een ander elektron zullen aantreffen. Het uitrekenen van de correlaties tussenn elektronen op willekeurige posities is erg lastig, daarom beperk ik mij tot
corre-114 4 Samenvatting Samenvatting
latiess tussen elektronen die zich op dezelfde afstand van de muur bevinden. Op grote afstandd van de muur is de invloed van de muur op de correlatiefuncties klein. In de richtingg loodrecht op het magneetveld vind ik dat de correlaties exponentieel afnemen mett de afstand tussen de deeltjes, net als in het inwendige van het gas. De precieze vormm van de exponent verschilt overigens wel. Parallel aan het magneetveld is de af-vall algebraïsch. Dichterbij de muur wordt ook de afval van de correlatiefunctie in de richtingg loodrecht op het magneetveld algebraïsch. Dit gedrag kan wellicht verklaard wordenn door te bedenken dat er elektronen zijn die dichtbij de muur blijven, en die als eenn pingpongbal herhaald tegen de muur stuiteren.
