Vrije Universiteit Brussel Academiejaar 2012-2013 Examen januari eerste zittijd: gedeelte oefeningen
Wiskunde: algebra, analyse en meetkunde
Eerste Bachelor Bio-ingenieurswetenschappen en Ingenieurswetenschappen Architectuur Geef je antwoorden ten laatste om 12 uur af. Los elke vraag op een apart blad op, schrijf op elk blad je naam en je rolnummer en het nummer van de vraag. Schrijf op het opgavenblad uit hoeveel beschreven bladen je antwoorden bestaan, reken kladbladen en opgavenblad niet mee. Geef duidelijk aan welke bladen kladbladen zijn. Zorg ervoor dat je oplossing duidelijk leesbaar is, verklaar elke stap in je oplossing. Geef alle kladbladen en het opgavenblad ook af.
We wensen je veel succes met dit examen! 1. (4p) Beschouw de matrix A = 1 2 0 0 3 0 2 −4 2
(a) (3p) Bepaal de eigenwaarden van A, en bepaal bij elke eigenwaarde de bijhorende eigenruimte.
(b) (1p) Bestaat er een inverteerbare matrix P zodat D = P−1AP een diagonaalmatrix is? Indien ja, bepaal P en D. Indien nee, leg uit waarom niet.
2. (2p) Beschouw de functie f : R → R met voorschrift
f (x ) = x3− 27 x − 3 x < 3 2x2+ bx x ≥ 3
(a) (1p) Bestaat er een b ∈ R zodat f continu is op heel R? Toon aan!
(b) (1p) Bestaat er een b∈ R zodat f differentieerbaar is op heel R? Toon aan!
3. (3p) Bepaal alle punten op de kromme met vergelijking x3+ y2 = 1 die het dichtst liggen bij het punt (−1, 0).
4. (3p) Beschouw de functie
f : [1, +∞[ → R : x 7→ f (x) = 2
3(x − 1)
3/2.
(a) (2p) Bereken de lengte van de grafiek van x = 1 tot x = 4.
(b) (1p) Bert maakt een wandeling over de grafiek. Als hij vertrekt in het punt (1, 0) en vervolgens een afstand 42 aflegt, hoe ver bevindt hij zich dan van de y -as?
5. (5p) Los de volgende beginwaardenproblemen op.
(a) (3p) y00+ 4y0+ 4y = cos x + sin x , y (0) = 0, y0(0) = 1 (b) (2p) y0 = e
xsin(2x )
3y2 , y (0) = 1
6. (3p) Bereken de oppervlakte van het gebied in het vlak dat begrensd wordt door de kromme met poolvergelijking r = sin θ cos θ.
