Een constitutieve vergelijking voor incompressibel, isotroop elastisch materiaalgedrag

elastisch materiaalgedrag

Citation for published version (APA):

van Hoogstraten, P. A. A. (1988). Een constitutieve vergelijking voor incompressibel, isotroop elastisch materiaalgedrag. (DCT rapporten; Vol. 1988.012). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1988

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

WFW 88.012

E E

N

CONSTITUTIEVE VERGE

LIJ KING

VOOR

INC&PMPWESSllBEL,

ISOTR00Q ELASTISCH MATE RIAALGE DRAG

P.A.A. van Hoogstraten

mei 1988

VAKGROEP FUNDAMENTELE WERKTUIGKUNDE

MATE

RIAAL

In deze notitie wordt een constitutieve vergelijking voor incompressibel, elastisch, isotroop materiaalgedrag afgeleid, die bijvoorbeeld kan worden toegepast bij isotherme deformaties van rubberachtige materialen. Deze notitie

is gebaseerd op een aantal dictaten over continuumsmechanica (

Cl]

t / m [4] ). In de afleiding wordt een Lagrange-formulering toegepast: Een relevante grootheid wordt bepaald als functie van steeds hetzelfde materiële punt. De grootheid wordt als het ware beschouwd door een waarnemer, die met dit materiële punt is verbonden. In de Euler-formulering daarentegen bevindt de waarnemer zich op een vast punt in de ruimte.

Literatuur

Cl1

c21

c31

r41

r51

CS1

c71

CBI

Cpl

-

F. E .Veld pa us

In leid i ng Conti nu u ms mec ha nica

dictaat nr.4612 Vakgroep Fundamentele Werktuigkunde Technische Universiteit Eindhoven

COomens, PSchreurs

Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en biologische materialen intern rapport WFW-87.073 Vakgroep Fundamentele Werktuigkunde Technische Universiteit Eindhoven

A.Huson, C.W.J.ûomens, A.A.H.J.Sauren Biologische materia I en

dictaat nr.4589 Vakgroep Fundamentele Werktuigkunde Technische Universiteit Eindhoven

A.A.

F.

v.d. Ven

Continuumsmechanica I

dictaat nr.2356 onderafdeling der Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eind hoven

Treloar, L.R.C. (1944)

Stress-strain data for vulcanized rubber under va r i ou s types of deformations

Trans.Faraday Soc., 40 : pp.59-70

Mooney, M. (1940)

A theory of large elastic deformation

J.of Appl.Phys., I 1 : pp.582-592

MARC User Information Manual (Volume

A)

Versie K3

MARC Element Library (Volume

8)

Versie K3

1

.

De beschrijving van de deformatie van een lichaam

...

1

1.1 Inleiding

. . .

1

1.2 De deformatietensor

. . .

2

1.3 De rechtse Cauchy-Green-rektensor

. . .

4

1.4 Polaire decompositie van de deformatietensor

. . .

7

1.5 De Green-Lagrange-rektensor

. . .

8

1.6 De deformatiesneiheidstensor

. . .

9

2

.

Debehoudswetten

...

10

2.1 Definities

10

2.2 Behoud van massa

. . .

12

2.3 Behoudvan impuls

. . .

13

14

. . .

2.4 Behoud van impulsmoment

. . .

3

.

De constitutieve vergelijking

...

3.2 Algemene constitutieve principes

. . .

3.3 De specifieke inwendige energie 3.4 Elastisch materiaalgedrag

. . .

3.5 Isotroop elastisch materiaalgedrag

. . .

3.6 Incompressibei, isotroop elastisch materiaalgedrag 3.1 Inleiding

. . .

. . .

. . .

3.7 Enkele voorbeelden van incompressibel, isotroop elastisch materiaalgedrag 15 15 16 20 23 25 27 30 Bijlagen B . l Gradiënt-operatoren

. . .

B I B.2 De volumeveranderingsfactor

. . .

B3

8.3 Gradiënt-operatoren t.o.v. de referentie-toestand en t.o.v. de huidige toestand B5 8.4 Afleiding van de lokale wet van behoud van impuls

. . .

B6 B.5 De invarianten van een tweede orde tensor

. . .

88

B.6 Berekening van de afgeleide naar de tijd van de specifieke inwendige energie B I 0 6.7 De invarianten van de rechtse en linkse Cauchy-Green-rektensor

. . .

b13

Appendices

-1-

Îi

.I

Inleiding

Voor een deformerend lichaam B wordt onderscheid gemaakt tussen een tweetal toestanden: De referentietoestand op het tijdstip to en de huidige of momentane toestand op het tijdstip t,.

In de driedimensionale ruimte wordt een vast punt, de zogenaamde oorsprong O gekozen. Een willekeurig punt P van lichaam B wordt aan deze oorsprong gekoppeld met de zogenaamde positie-vector

'x.

Lichaam B kan worden opgevat als de verzameling van alle materiële punten P, die elk kunnen worden gekenmerkt met een label

t e

,%

lichaam B

O

fig. I : referentie- en momentane toestand

De positievector

2

van punt P is dus een functie van het label

-

t

van P en de tijd t. De

huidige toestand t, kan worden opgevat als de verzameling van alle positievectoren van alle materiële punten op het tijdstip t,:

huidige toestand G(t) =

{'x

= X(t

,

t )

I

b'

t

E B}

(1.1.1)

I n een Lagrange-formulering kan een materieel punt i n plaats van met zijn label

-

5

ook worden gekenmerkt met zijn positievector

Go

in de referentie-configuratie:

1.2

De

deformatietensor

De deformatietensor F (ook wel deformatiegradiënt genoemd) is een tweede orde tensor, die de geometrie van een lichaam in de referentie-toestand afbeeldt op de geometrie in de huidige toestand.

Beschouwen we de positievectoren van twee naburige punten P en Q , dan kan de verschilvector van deze twee positievectoren in de referentie-toestand worden weergegeven met d,; en in de momentane toestand met d;,.

referentie-toesta nd

\\

to momentane toestand t,

fig.2 : deformatietensor F

In bijlage B.l is geformuleerd dat voor een vectorveld

a

=

a(;,,

t) de verschilvector

d2Ì tussen twee naburige punten met de positievectoren

Go

en

Go

+

dx,, gelijk is aan:

2 - A &

d i = dxo

.

(V,a) = a(x,

+

dx,) -

a(%,)

; IIdxoll -+ O (1.2.1)

Met behulp van relatie (1.2.1) kan voor het vectorveld

x,

=

%,(%,

, t ) worden gevonden: d-X, = d?,. (VOXm) =

(V,'X,>"

.

d-Xo =

F .

dx, (1.2.2)

-

-3-

Deformatietensor F is dus gedefinieerd als de geconjugeerde van de gradiënt (ten opzichte van de referentietoestand) van het positie-vectorveld. Onder d e aanname dat er geen toe- of afname van de hoeveelheid materiaal van het lichaam zal plaatsvinden, volgt dat de inverse tensor F-I bestaat en dat

F

dus regulier is ; Het is dan immers geometrisch gezien altijd mogelijk om de momentane toestand terug te transformeren tot de refereniie-toestand.

De determinant van de deformatie-tensor speelt een grote rol bij incompressibele media: In bijlage B.2 wordt afgeleid dat de determinant van F gelijk is aan de verhouding van het volume van het lichaam in de huidige toestand en het volume in de referentie-toestand. De determinant van F wordt daarom vaak de volume- veranderingsfactor

J

genoemd. Bij incompressibele media vindt geen volume- verandering plaats. Er geldt dan:

incompressibele media : J = det

(F)

= 1 (

1

.2.3)

In bijlage

B.3

tenslotte is afgeleid dat de gradiënt-operatoren t.o.v. de referentie toestand en t.o.v. de momentane toestand aan elkaar gerelateerd zijn door de defor mati e-te nsor:

A a

4.3 De rechtse Cauchy-Green

rekftensor

De deformatie van een lichaam bestaat enerzijds uit verlenging van materiële Iijnstukjes van dit lichaam en anderzijds uit afschuiving tussen deze Iijnstukjes onderling.

Een tensor, die alle informatie over deze verlenging en afschuiving bevat, is de zogenaamde rechtse Cauchy-Green-rektensor C :

c =

F C . F

(1.3.

I)

Om dit te illustreren, worden in de referentie-configuratie twee materiële Iijnstukjes in punt P beschouwd: d;,, en dgpo.

referent ie-toesta nd _{momentane toestand}

fig.3 : verlenging en afschuiving van een lichaam

Er geldt: dxio A = dsioeio

-

II

;io

II

= 1 (i = 1,2)

Het lijnstukje dxio gaat in de momentane configuratie over in dXi

(1.3.2)

A

-5-

De verlengingsfactor

Ai

van dit Iijnstukje wordt gegeven door:

A.=

-.l.-- ds.

-

Jeo.

F C

.

F .

eo

=

Jeo.

c

.

eo

'

dsio

(1.3.4)

Met behulp van de definitie van het inwendige produkt van twee vectoren kan worden afgeleid dat in de referentie-configuratie voor de hoek 6 0 tussen de vectoren d;

,, en dXZO moet gelden:

In

de huidige configuratie is de hoek

- 2

2

-e10

.

en0 (1.3.5)

tussen dxl en dx2 gelijk aan 6:

dx,

.

dx, - 2

= e,

.

e,

cos(6) =

Ild%II * IIdX*II

Voor de hoekverandering (0 - 60) kan de volgende relatie worden afgeleid:

-

e,,

.

C .

GZ0

Je,,

.

c

.

e,,

JëZ0

.

c

.

eZO sin(6 - 6,) = -

2

(1.3.6)

(1.3.7)

Tensor

C

bevat dus alle informatie m.b.t. de verlenging van en de hoekverandering tussen willekeurige materiële lijnstukjes in een punt P.

De rechtse Cauchy-Green-rektensor is symmetrisch. Ook is deze tensor positief definiet, omdat voor alle vectoren

3

# O geldt:

a . c . a > o

(1.3.8)

Tensor

C

kan dankzij deze twee eigenschappen worden geschreven in de volgende zogenaamde spectrale representatie:

3

c

=

a:

noinoi

i= 1 (1.3.9)

Een symmetrische tensor biijki nameiijk te kunnen

worden

opgevat

als

de S G vai; ~

De vectoren

nOi

(i = 1,2,3) zijn drie onderling loodrechte eenheidsvectoren en de

scalairen

A-;

(i =

1,2,3)

zijn positieve getallen, die voldoen aan het eigenwaarde- probleem:

C

.

noi =

A-:

.

noi (

1

.3.1

O) De vectoren

nOi

zijn dus eigenvectoren van

C

en de scalairen zijn de bijbehorende eigenwaarden. De eigenwaarden van

C

blijken gelijk te zijn aan het kwadraat van de verlengingsfactoren van lijnstukjes, die in de referentie-toestand gericht zijn langs de eigenvectoren van C. De hoeken tussen deze onderling loodrechte vectoren blijven tijdens de deformatie recht en er vindt dus geen afschuiving tussen deze vectoren plaats. Door deze eigenschappen worden de vectoren

nOi

hoofdrekrichtingen genoemd en de scalairen A, de bijbehorende

hoofdverlengingsfactoren.

-7-

1.4 Polaire decompositie van de deformatietensor

De deformatietensor F kan worden gesplitst in twee tensoren:

F = R . U

(1.4.1)

Deze decompositie kan worden toegelicht aan de hand van een hoofdreltblokje, een blokje materiaal dat wordt opgespannen door de eigenvectoren

nOi

(i =

1,2,3)

van C.

Tensor R is een rotatie-tensor: deze roteert het hoofdrekblokje als star lichaam. Tensor R is orthogonaal; zijn inverse R-I is gelijk aan zijn geconjugeerde

RC.

De de- terminant van

Fa

is gelijk aan

+

l.

Tensor

U

wordt de verlengingstensor genoemd. De ribben van een hoofdrekblokje veranderen als gevolg van deze tensor wel van lengte, maar het hoofdrekblokje blijft daarbij rechthoekig en behoudt zijn oriëntatie. De verlengingstensor is symmetrisch en is ais volgt gedefinieerd:

3 2

-U =

C

AinOinoi

:

U

.

U = U* =

C

i= 1

(1.4.2)

Het toepassen van deformatietensor

F op

een hoofdrekblokje bestaat dus uit het oprekken van dit blokje, gevolgd door een starre rotatie ervan. Een en ander is weergegeven in de onderstaande figuur:

u

1.5 De Green-Lagrange-rektensor

De rek E van een materieel lijnstukje i n een willekeurige richting

eo

(lleoll

= 1) wordt

bepaald met de volgende vergelijking:

-

-

s(e,) = e,

.

E

.

e, (1.5.1)

I n deze relatie stelt E een te kiezen rektensor voor, die de rekdefinitie vastlegt. Terwille van de fysische interpretatie wordt bij grote deformaties voor E vaak de Green-Lagrange-rektensor gekozen: Dit i s de enige bekende rektensor waarvoor geldt dat de rek van een lijnstukje in een willekeurige richting volgens (1.5.1) gelijk is aan de verlenging van dit lijnstukje gedeeld door de oorspronkelijke lengte. Voor alle andere bekende rektensoren geldt dat de rek volgens (1.5.1) in de hoofdrek-richtingen wel gelijk i s aan de verlenging gedeeld door de oorspronkelijke lengte, terwijl dit voor niet-hoofdrek-richlingen niet het geval is. De Green-Lagrange-rektensor heeft de volgende definitie:

1

2

E = -(Fc. F - i)

1

2 =

-(C-

i)

(1.5.2)

1

2

=

-(U*-

i) m e t : I = deeenheidstensor

-9-

1.6

Be defformatie-sneliseidstensor

Vaak speelt de snelheid waarmee de lengte en de richting van een materieel lijnstukje verandert een grote rol. Deze snelheid volgt uit differentiatie naar de tijd van vergelijking:

Na enig rekenwerk levert deze differentiatie de volgende relatie op:

-

(d;,) =

6 .

6-1

.

dx,

(1.6.1)

(1.6.2)

De tensor

6 .

F-I

blijkt te splitsen in een tweetal tensoren:

( 1.6.3)

Tensor

D

is symmetrisch en wordt de deformatie-snelheidstensor genoemd. D is een maat voor de snelheid waarmee lijnstukjes, gericht langs de eigenvectoren van D

oprekken. De zogenaamde rotatie-snelheidstensor of spintensor

f

2

is een maat voor

de

rotatiesnellieid van deze lijnstukjes. Deze tensor is scheefsymmetrisch. Voor de tijdsafgeleide van de Green-Lagrange-rektensor blijkt te gelden:

E = F C . D . F

Voor de tijdsafgeleide van de volumeveranderingsfactor J geldt:

J = J tr(D)

(1.6.4)

2.1 Definities

In

dit

hoofdstuk wordt een lichaam B beschouwd met een volume V(t) en een buiten- oppervlak A(t). De dichtheid van dit lichaam (de hoeveelheid massa per volume- eenheid) i s een functie van de tijd en de positie in het lichaam en wordt aangegeven met p(2,t). in de referentie-toestand worden de genoemde grootheden voorzien van een benedenindex O.

In het lichaam wordt een willekeurig te kiezen snedevlak aangebracht. Het beschouwde deel van lichaam B heeft een volume v(t) en een oppervlak Ä(t).

lichaam B lichaam 6

= deel v. lichaam B

fig.5 : beschouwde deel van het lichaam

De belastingen, die op het beschouwde deel van het lichaam werken, kunnen worden verdeeld i n contact-akties (uitgeoefend

door

het resterende deel van lichaam B of door omringende lichamen, die direkt in contact staan met

B)

en in akties op afstand (bijvoorbeeld als gevolg van de aardgravitatie). Er wordt aangenomen, dat contact- akties alleen leiden tot oppervlakte-krachten 'i;(x,t)

,

aangrijpend op Ä. Akties op afstand zullen resulteren i n volumekrachten &t) , werkend op

q.

Alleen in zeer bijzondere gevallen zijn deze aannamen aanvechtbaar.

-11-

Voor de totale resulterende kracht i((t) op deel Ë geldt:

(2.1.1)

Voor het totale resulterende moment

M(t)

ten opzichte van het vaste punt O geldt:

(2.1.2)

De vector

6

wordt spanningsvector genoemd. In een willekeurig punt

P

op oppervlak A kan een spanningstensor CT worden gedefinieerd, die voldoet aan :

-

(2.1.3)

Vector

fi

is de eenheidsbuitennormaal op oppervlak Ä i n punt P. Tensor CT wordt de

Cauchy-spanningstensor genoemd en is een maat voor de ware spanning in punt

P,

dus de spanning met betrekking op het huidige oppervlak.

In de volgende drie paragrafen zullen de wetten van behoud van massa, impuls en impulsmoment worden geformuleerd. Deze wetten zullen worden gegeven in een globale vorm, m.b.t. het totale lichaam, en in een lokale vorm, geldend in elk punt P

2.2

Behoud

van

massa

Voor een willekeurig te kiezen deel van lichaam B geldt dat de hoeveelheid massa konstant is. In paragraaf 1.2 is aangenomen dat er geen toe- of afname van de hoeveelheid materie zal plaatsvinden. Er moet dus gelden:

(2.2.1)

globale wet van behoud van massa

Met het gegeven, dat de volumeveranderingsfactor J (de determinant van de deformatie-tensor) gelijk is aan de verhouding van het volume in de huidige toestand en het volume in de referentie-toestand, kan de lokale vorm van

(2.2.1)

eenvoudig worden afge le id:

P J = P o

lokale wet van behoud van massa

In paragraaf 1.6 is geponeerd dat:

J =

J t r ( D )

(2.2.2)

(2.2.3)

Na differentiatie van relatie

(2.2.2)

naar de tijd en substitutie van (2.2.3) wordt de volgende vergelijking verkregen:

-1 3-

2.3

Behoud

van

impuls

De totale impuls van lichaam

B

is gelijk aan :

(2.3.1)

De wet van behoud van impuls schrijft voor dat de resulterende kracht

k(t)

op

is aan de impulsverandering van het lichaam:

gelijk

globale wet van behoud van impuls

In bijlage B.4 is de volgende niet-triviale relatie afgeleid: d T(t)

dt

--

_-

&,,

_P

_'v

a

(2.3.2)

(2.3.3)

Ook wordt in deze bijlage afgeleid dat de totale resulterende kracht op

B

te schrijven is als :

(2.3.4)

Als (2.3.3) en (2.3.4) worden gesubstitueerd in (2.3.2) en wordt geëist dat deze relatie moet gelden voor elk willekeurig deel van B dan volgt:

-

a

v .

a C

+

p

g

= p v

lolwle wet van behoud van imipuls

2.4

Behoud

van

impulsmoment

Het totale impulsmoment van lichaam

B

t.o.v. van een vast punt O is gelijk aan : L(t) =

j-

X

x ( p

V)

dV (2.4.1)

V(t)

Volgens de wet van behoud van impulsmoment is het resulterende moment M(t) op lichaam gelijk aan de verandering van het impulsmoment:

A

(2.4.2)

globale wet van behoud van immdsmoment

Na een vrij omvangrijke afleiding kan een zeer eenvoudige vorm voor de lokale wet van behoud van impulsmoment worden afgeleid: Deze wet zegt niets anders dan dat de Cauchy-spanningstensor in elk punt symmetrisch moet zijn:

a = a C

(2.4.3)

-15-

3.1

Inleiding

In het vorige hoofdstuk zijn een drietal lokale behoudswetten geformuleerd, die in elk punt P van een deformerend lichaam moeten gelden.

wet van behoud van massa wet van behoud van impuls

wet van behoud van impulsmoment

:

1

vergelijking : 3 vergelijkingen : 3 vergelijkingen

De wet van massabehoud is een scalaire vergelijking. De andere twee behoudswetten hebben een vectoriële aard en resulteren elk in drie vergelijkingen.

Wanneer de belangrijke aanname wordt gedaan, dat thermische grootheden geen rol spelen tijdens de deformatie, kunnen in elk punt P van lichaam B met label

5

-

dertien onbekenden worden onderscheiden, te weten:

de dichtheid p : in matrixrepresentatie 1 component de positievector

'x

: in matrixrepresentatie 3 componenten de Cauchy-spanningstensor o : in matrixrepresentatie 9 componenten

Voor het beschrijven van een isotherme deformatie van een lichaam zijn dus zeven vergelijkingen voorhanden, terwijl dertien onbekenden kunnen worden onder- scheiden. Wil men komen tot een oplosbaar stelsel vergelijkingen, dan zullen dus nog zes vergelijkingen moeten worden geformuleerd; de zogenaamde constitutieve vergelijkingen.

3.2

Algemene Constitutieve principes

In deze paragraaf zullen een aantal constitutieve principes worden behandeld, waaraan de constitutieve relaties moeten voldoen.

Het principe van equipresentie

Zolang niet het tegendeel

is bewezen, moeten alle afiankelijke variabelen aflangen van

alle onafhankelijke variabelen.

Zoals gebruikelijk wordt aangenomen, dat de positievector en de dichtheid onafhankelijke variabelen zijn en dat de Cauchy-spanningstensor van deze variabelen af ha n kel ijk is.

Het beoaaldheidsprincipe

De afiankelijke vaviabelen in een punt

P

met label

g

Y

in toestand

t zijn

een functie van

de onaflankelijke variabelen in alle punten van het lichaam, gedurende de totale

deformatie- en temperaiuur-geschiedenis,

Wanneer thermische grootheden geen rol spelen, volgt uit dit principe:

-17-

Het principe vaH lokale werking

De ajhankelijke variabelen in een punt

P

met label

-

5

in toestand t zijn alleen een functie

van de onajhankelijke variabelen in de directe omgeving van dit punt gedurende de totale

defo rmat ie- en tempe sat uur-gesc hiedenis.

lichaam B

Toepassing van dit principe op een isotherme deformatie levert:

o($ t > =

N ( P ( ~

+

d t

,

.>

I

%(-

+

d ? , z )

,

I

+

d e E dB , z

I

t>

De dichtheid en de positievector in punten in de nauwe omgeving van punt

P

van het lichaam worden bepaald door de deformatie-tensor F in dat punt. Het principe van lokale werking resulteert daarom in de volgende vereenvoudiging:

Het obiectiviteitsprincìpe

De constitutieve vergelijkingen van een materiaal

zijn onafiankelijk van de plaats

waarvan dit materiaal wordt waasgenomen. De constitutieve relaties moeten dus

onveranderd gelden na een extra starre translatie enlof votatie van het lichaam.

Als starre translaties geen invloed mogen hebben op de constiiuiieve vergelijkingen mag de positievector

i

niet expliciet voorkomen in deze vergelijkingen:

Wanneer het beschouwde lichaam een starre rotatie met rotatietensor Q ondergaat, gaat de deformatietensor

F

over in tensor F* en de Cauchy-spanningstensor a in tensor a* :

F = Q . F

G*= Q

.

G

.

Q"

Ook voor F* en cr* moet de constitutieve relatie (3.2.3) gelden :

(3.2.4)

Na voorvermenigvuldiging met Q en navermenigvuldiging met Qc van

het linker- en rechterlid van relatie (3.2.2) volgt:

Q

.

G

.

Qc = Q

.

N{

F(c

,

T )

I

I

t}

.

Qc (3.2.5) Vergelijken we relatie (3.2.4) met relatie (3.2.5) dan volgt daaruit de voorwaarde waaraan een constitutieve relatie moet voldoen, wil deze objectief zijn voor starre rotaties Q :

-19-

I

Het principe van de thermodvnamische toelaatbaarheid

I

Een proces

is

thermodynamisch toelaatbaar als voldaan wordt aan:

-Ic

de behoudswetten

*

de eerste hoofdwet van de thermodynamica (behoud van energie)

*

de tweede hoofdwet van de thermodynamica (Clausius- Duhern-ongelijkheid)

Omdat de aanname is gedaan, dat thermische grootheden geen rol

spelen, is het principe van de thermodynamische toelaatbaarheid niet van wezenlijk belang. De eerste hoofdwet biedt echter de mogelijkheid om de specifieke inwendige energie t e definiëren, waarvan gebruik kan worden gemaakt bij het afleiden van een constitutieve vergelijking voor elastisch materiaalgedrag.

3.3 De specifieke inwendige energie

De eerste hoofdwet van de thermodynamica kan als volgt worden geformuleerd:

n,+

n e =

u,+

ui

(3.3.1)

De som van het toegevoerde thermische vermogen

n,

en het toegevoerde mechanische vermogen

I1,

is gelijk aan de som van de momentane verandering van de kinetische energie U, en de momentane verandering van de inwendige energie Ui

toeuevoerd thermisch vermogen

Aangezien thermische grootheden geen rol spelen, mag het toegevoerd themisch vermogen gelijk aan nul worden gesteld.

toegevoerd mechanisch vemopen

' Voor de resulterende externe kracht k(t) op lichaam 6

is

in paragraaf 2.1 afgeleid:

Het vermogen, dat door deze kracht wordt geleverd is gelijk aan het toegevoerde mec ha n i sc he ver m og e n

I3

e(t):

4 -

-

ne(t) =

1

( p q

. v

+

?

.

(o". v)) dV

* V ( t )

(3.3.2)

Met behulp van een aantal wiskundige bewerkingen kan (3.3.2) opnieuw worden geformuleerd:

(3.3-3)

met: o :

D

= tr (o

.

D)

D

= deformatie-snelheidstensor (zie paragraaf 1.6)

-21 -

Volgens de lokale wet van behoud van impuls geldt:

dus:

n,(t) =

S,,,[

p

'v

.

'v

+

O] dV

(3.3.4)

kinetische energie

De kinetische energie &(t) van een lichaam kan worden berekend met de volgende formule:

U,(t) =

L:

-

P V . v dV

- -

Voor

de tijdsafgeleide van de kinetische energie geldt:

Uk(t) =

l(t,

p'v

.

dV

(3.3.5)

(3.3.6)

Deze vergelijking volgt niet vanzelfsprekend uit (3.3.5) maar wordt verkregen na een afleiding, analoog aan de afleiding die wordt gegeven in bijlage B.4

inwendige energie

Met behulp van de uitdrukking voor de tijdsafgeleide van de kinetische energie kan een nieuwe uitdrukking voor het toegevoerd mechanisch vermogen worden verkregen:

Na substitutie van deze relatie in de eerste hoofdwet van de thermodynamica volgt voor de tijdsafgeieide van de inwendige energie:

Ui(t) = Jv(,, a D dV =

J

J O : D dV, VO

Met deze formule kan de specifieke energie q5 worden gedefinieerd:

Ui(t) = Jv(,,

~6

d v =

J

P O

6

dvû VO dus: (3.3.8)

(3.3.9)

(3.3.1

O)

-23-

3.4

Elastisch materiaalgedrag

Bij elastisch materiaalgedrag bezit het materiaal geen enkele geheugenwerking. In de constitutieve vergelijkingen voor elastisch materiaalgedrag mogen daarom alleen momentane grootheden voorkomen.

Vergelijking (3.2.3) gaat voor elastisch materiaal-gedrag dus over in:

O(< , t) = N(

F(t

,

t)}

of: O = N

(F}

onder voorwaarde:

N

(Q

.

F}

= Q

.

N

(F)

.

QC

De specifieke inwendige energie voldoet volgens zijn definitie aan:

.

I

4 = - a : D

P

(3.4.1)

(3.4.2)

Omdat voor elastisch materiaalgedrag zowel de Cauchy-spanningstensor als de deformatie-snelheidstensor op tijdstip t worden bepaald door de deformatie-tensor

F

op

dit tijdstip, mag worden gesteld dat de specifieke inwendige energie op tijdstip t

ook

volledig wordt bepaald door F(t). De specifieke energie is een objectieve grootheid. Als Q een starre rotatie-tensor voorstelt, moet dus gelden:

( 3.4.3)

Wanneer wordt verondersteld dat de specifieke energie afhangt van de Green- Lagrange-rektensor E ( =

-

(

Fc

.

F -

I))

wordt altijd aan deze objectiviteits-eis voldaan. Dus wordt aangenomen dat:

1

2

(3.4.4)

Voor het differentiëren van de specifieke inwendige energie naar de Green- Lagrange-rektensor geldt per definitie:

terwijl de definitie van de tijdsafgeleide van

4

als volgt luidt:

Gelijkstelling van (3.4.2) met (3.4.6) levert:

Voor de tijdsafgeleide

E

is in paragraaf 1.6 gevonden:

E

= F c . D . F

(3.4.6)

(3.4.7)

(3.4.8)

Voor het uitwerken van (3.4.7) worden de volgende rekenregels voor het dubbelinwendig produkt van tweede orde tensoren gebruikt:

A : B = tr (A

.

€3) = B : A

A : B . C = A . B :

C

(3.4.9)

Substitutie van (3.4.8) in (3.4.7) en toepassing van bovenstaande rekenregels levert

de

volgende vergelijking

en met behulp van de lokale wet van massabehoud J p = po volgt:

(3.4.1 U)

(3.4.11)

Het linkerlid van deze vergelijking wordt doorgaans de tweede Piola-Kirchhoff- spanningstensor

P,

genoemd. Voor elastisch materiaalgedrag is nu de volgende co nst it u ti eve verge I ijk in g afge I e id:

1

2

En omdat

E

gelijk is aan -(C -i) geldt:

( 3.4.1

2)

-25-

3.5

Isotroop elastisch mate ria

al

ge

drag

Een lichaam gedraagt zich isotroop wanneer in elk materieel punt van dit lichaam de materiaaleigenschappen onafhankelijk zijn van de richting waarin deze worden beschouwd.

Een rubber is een drie-dimensionaal netwerk van polymeer-moleculen. Daardoor i s de aanname van isotropie voor rubbers vaak gerechtvaardigd.

Te bewijzen is dat de specifieke inwendige energie +(C) voor elastisch materiaal onder de aanname van isotropie alleen afhankelijk mag zijn van de invarianten van C: isotropie:

4

= 4(Jl, J,, J3) Jl(C) = tr (C) J2(C) =

-

{ (tr C)p - tr (C2)

]

J3( C ) = det (C)

1

2

Analoog aan formule (3.4.6) geldt:

Differentiatie naar de tijd van formule (3.5.1) levert:

(3.5.1)

(3.5.2)

(3.5.3)

In bijlage B.6 wordt deze formule uitgewerkt. Daarbij wordt gebruik gemaakt van het Cayley-Hamilton-theorema, dat in bijlage 8.5 is afgeleid. Het resultaat van deze uitwerking is de volgende vergelijking:

.

a4

aJ,

a+

aJ,

a+

4 = -

-

+-

__

+-

-

a ~ ,

at

aJ, at aJ, at (3.5.4)

--

_a+

_{[ J , l - C ] : 6 + -}

_a+

_{[ C p - J I C + J , i ] : C}

-

a+

[ ! : C l + - -

a

J,

a

J,

a

J3

Vergelijking van (3.5.4) met (3.5.2) levert een uitdrukking voor de afgeleide van de spec if i eke

i

n we nd ig e en erg ie na ar de rechtse Ca u c h y-G ree n-re kte nso r :

(3.5.5)

a($

0

a4

aC ûJl 8 Jz

a

J3 [ J , I - C ] + - [ C 2 - J 1 C + J 2 1 ]

I + -

a4

-

Voor een isotroop elastische materiaal geldt voor de tweede Piola-Kirchhoff- spanningstensor uit de vorige paragraaf:

J*

3

I

a($

arb

a($

P z = 2 p , -

= 2 p , {

-

a c

a

J1 f3 Jz

a

J3

”

J,

I

C

f34

f3 J2

a

J,

a0

a

J,

+ -

J, f

-

-

-- --

1

c2

(3.5.6)

-27-

3.6

Incom

presslbe

I,

isotroop elastisch mate riaa

Igedrag

Voor een incompressibel materiaal geldt dat er geen sprake

is

van volume- verandering. De volume-veranderingsfactor J is dus gelijk aan

1.

J = - - dV - det(F)= 1

dV0 (3.6.1)

Omdat de determinant van C gelijk is aan het kwadraat van de determinant van F geldt:

J3(C) = det(C) = 1 (3.6.2)

Daar de derde invariant van

C

konstant is, mag de specifieke inwendige energie

4

alleen afhankelijk zijn van de eerste en tweede invariant van

6:

incompressibiiiteit:

Jl(C) = tr (C)

J,(C) = -

1

{ (tr C)2

-

tr ( C a )

1

2

Voor de tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor (formule 3.5.6) volgt dan:

(3.6.3)

(3.6.4)

De tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor is in paragraaf 3.4 gedefinieerd als:

P, = J F-I

.

O

.

F-'

Voor een incompressibel materiaal (J= I) geldt de volgende relatie voor de Cauchy- span n i ngctensor:

1

J <T = - F . P 2 . F C = F . P 2 . F C J, F . F c -

-

"

F . C . F C

ad,

a4

=2po{(T+K

)

aJ2 (3.6.5)

De rechtse Cauchy-Green-rektensor is gelijk aan FC

.

F Naast deze rechtse Cauchy-

Green-rektensor kan een linkse Cauchy-Green-rektensor B worden gedefinieerd:

B = F . F C (3.6.6)

In bijlage B.7 is afgeleid, dat de drie invarianten van B en C identiek zijn, dus:

(3.6.7)

J,= tr(C)= t r ( B )

De Cauchy-spanningstensor a kan worden gesplitst in een tweetal tensoren:

I

3

ad = a -

-

(

tr a)i = deviatorische deel van a

a h = - p l = hydrostatisch deel van o

P = hydrostatische druk

Voor compressibel elastisch materiaal is bekend dat het deviatorisch deel ad is

gerelateerd aan de vormverandering van het beschouwde lichaam en dat het hydrostatisch deel o h i s gerelateerd aan de volume-verandering.

In het geval van incompressibel materiaalgedrag kan de genoemde decompositie ook worden uitgevoerd. Het deviatorisch deel van de Cauchy-spanningstensor zal weer de vormverandering van het lichaam bepalen. De hydrostatische druk p zal nu echter als onbekende moeten worden beschouwd; In een incompressibel materiaal treedt als gevolg van een willekeurig te kiezen hydrostatische spanning geen voiu me-veranderi ng op.

-29-

Het deviatorisch deel van a luidt voor een incompressibel isotroop elastisch materiaal als volgt: 1 ad = a

- -

( t r a ) I 3

1

84

1

3

a&

3 (B-- tr(E3)l)--

(W--

tr(B2)1)

Met behulp van de definities voor de eerste en tweede invariant van B kan deze verge

1

ijk i ng worden her sc h reve n tot:

(3.6.1 O)

g d = 2 p 0

{

(-

$)

B2+

($+

$

J,)

B

+

(-

-

1 -

a4

J,

- -

2 -

846 J,)

I }

3 aJ, 3 ûJ,

Voor incompressibel, isotroop elastisch materiaal is nu de volgende constitutieve relatie op te stellen:

(3.6.1

1)

J, = tr (B)

1

3.7 Enkele voorbeelden van incompressibel,

isatrso

p e

I

a

st is c

h

mate

ria a

I

ge

drag

In de literatuur worden een groot aantal funkties voorgesteld, die de specifieke inwendige energie

4

= 4(Jl,J2) voor incompressibel isotroop elastisch materiaal beschrijven. Naast enkele meer exotische funktievoorschriften blijken veel voorstellen een variant te zijn van de volgende algemene funktie:

(3.7.1)

Voor dit funktievoorschrift geldt dat de specifieke inwendige energie gelijk aan nul is

wanneer er geen deformatie plaatsvindt; dan is de linker Cauchy-Green-rektensor B immers gelijk aan de eenheids-tensor I, waarvoor geldt:

J1(i) = tr (i) = 3 (3.7.2)

Twee eenvoudige voorbeelden van (3.7.1) zijn geformuleerd door Treloar [ S I en Mooney en Rivlin [SI. Een complexere variant is geïmplementeerd i n het Eindige Elementen pakket MARC [7].

Treloar stelt de volgende funktie voor de specifieke inwendige energie voor:

4

= CIO(J,

-

3)

Dit funktievoorschrift resulteert in de volgende constitutieve relatie: 1 3 o =

-

PI+ 2 p 0 { c , ~ EI-

-

cl0tr(B) i ] = - p I + - 2 C , ( B - - 1 t r ( B ) l }

3

(3.7.3) (3.7.4)

-31

-

Het

Moone

y

-R

ivlin

ma fe

ria alge drag

Ook het Mooney-Rivlin-materiaalgedrag is een variant van

(3.7.1):

sh

= CIO (J1-

3)

+

co,

(J,

-

3 )

(3.7.5)

Substitutie van dit funktievoorschrift in de algemene formulering voor incompressibel, isotroop eiastisch materiaalgedrag geeft:

1

1

3

3

o = - p l + 2 p , ( ( ~ , ~ + ~ , t r ( B ) ) ( 5 - - t r ( B ) ! ) - c o l ( B z - - tr(B2)1)

]

= - p l + 2 ( ( C , + C , t r ( B ) ) ( B - - 1 t r ( B ) I ) - C , ( E J * - - 1 t r ( B 2 ) ] )

] (3.7.6)

3

3

Wanneer C, gelijk aan nul wordt gekozen, komt het Mooney-Rivlin materiaalgedrag overeen met het Neo-Hookean gedrag.

Met

elastopneesimafe!eriaalgedrag

in

MARC

In liet Eindige Elementen pakket MARC

[7,8,9]

is een uitgebreidere variant van

(3.7.1)

geïmplementeerd: de zg. derde orde deformatie-formulering van Jamus, Green en Simpson. Voor de specifieke energie geldt dan:

4

= cqo ( J 1 -

3)

+

co1 (TJZ -

3)

+

~ 1 1 (J1 -

3)

(Jz -

3)

+

c,, (J1-

3)*

+

C~O(JI

- 3)3 (3.7.7)

Het Mooney-Rivlin materiaalgedrag volgt uit deze formulering door cll, e,, en c,, gelijk aan nul te stellen. Is de coëfficiënt co, ook gelijk aan nul dan wordt het Neo-Hookean gedrag verkregen.

BIJLAGEN -B.1-

i@

nt-o pe? rato

re

n

Gradiënt-operatoren geven een maat weer voor de verandering van grootheden in twee naburige punten op een bepaald tijdstip t.

sca la ire q root h e de n

Een willekeurige scalaire grootheid wordt verondersteld afhankelijk te zijn van de positievector

"x

en het tijdstip t. De punten P en Q zijn twee naburige punten van lichaam 6, met respektievelijk de positievectoren

'x

en

'x

+

dx in toestand t.

Voor het verschil da van de scalaire grootheid in deze twee punten geldt:

da = a(;

+

d'x,t)

-

a(x,t) ( B . l .I)

&

De gradiënt V is gedefinieerd

als

een operator die, werkend op grootheid a, een vector Va oplevert, zodanig dat het inwendig produkt van de vectoren Va en

'x

gelijk is aan

het verschil da van de scalaire grootheid in de twee naburige punten. Dus:

-

a(;

+

dx,t)

-

a(x,t) = dX

.

Va ; IId'xll -+ 0 (B. 1.2)

Beschouwen we nu de scalaire grootheid a ten opzichte van de Cartesische basis {e,,e,,e,) dan geldt:

3

-x = xlel

+

x,e,

+

x3e3 = _xiei

+ 1

( B. 1.3)

d'x =

5

dxiei (B. 1.4)

en: A dx

.

Va = da = a(x,

+

dx,

,

x,

+

dx,

,

x3

+

dx3)

-

a(x, , x,

,

x,) aa i=l axi 3 a 3 =

C

dxi - = dgi

.

(E

ei -) a i=l axi

Voor de gradiënt-operator

V

volgt dus:

a

- 3 V = C e i - i=? axi (8.1.5) (B. 1.6) vectorvelden

Vervangen we de scalaire grootheid a = a(2,t) door een vectorveld

a

= a(’x,t) dan kan analoog aan het voorafgaande weer gebruik worden gemaakt van een gradiënt- operator om het verschil da te bepalen:

-

da =

i(;

+

dX,t)

-

a(X,t) = dX

. V a

(B.1.7)

De gradiënt

V a

is een tweede orde tensor. Ten opzichte van een Cartesische basis (elie2,e3) geldt weer:

- - -

a

- 3

V

= C e , __ i=l axi (B.1.8) A

Hoewel

V

een operator is, kan deze vaak worden opgevat als een vector. Zo kan een inwendig produkt van

V

en

a

worden gedefinieerd:

-

3

as

3 aai 4

-V

.

a = div(a) = ei.

-

- ; ai= a . ei

i= 1 axi

-22-

i=l axi

(B.1.9)

BIJLAGEN -B.3-

Bijlage

e

wol

urneveran

Alvorens i n te gaan op de voiumeveranderingsfactor J volgen eerst twee wiskundige stel lingen:

de determinant van een tensor

De determinant van een tensor is een zogenaamde invariant: de waarde van de de- terminant is onafhankelijk van het gekozen assenstelsel en wordt door de tensor zelf vastgelegd. Voor een willekeurige tensor

A

kan de determinant worden berekend met de volgende formule:

-

det(A) =

-

2

( A . a ) . ( A .

b)

x ( A .

E )

a . b x C

(6.2.1)

waarbij (a,b,c) de gekozen basis voorstelt.

Inhoud van een parallellopipedurn

Een parallellopipedurn wordt opgespannen door een set van drie onafhankelijke rechtsdraaiende vectoren

a,

b en

c.

a

Met behulp van de definities van het inwendig en uitwendig produkt kan worden afgeleid dat de inhoud van dit parallellopipedum gelijk is aan het zogenaamde tripelprodukt van

a,

b en

-

c.

Beschouwen we nu een blokje materiaal dat in de referentie-configuratie wordt opgespannen door de vectoren dxl0, dx,, en d?,,

.

F @-J

In de momentane configuratie wordt dit blokje opgespannen door de vectoren dx,,, dx,, en dx,, met:

A

A

-

dx,, =

F

.

dx, ; ( i = 1,2,3)

Het volume van het blokje is in de referentie-toestand

dVo = dg,,

.

dXZ0 x dg,,

en in de momentane toestand:

dV, = dx,,

.

dx,, x dx,,

Berekenen we de determinant van F t.o.v. de basis (dg,,, dx,,, dg,,) dan volgt:

(F

.

dg,,)

.

(F

.

dg,,) x (F

.

dg,,)

- _ _

-

dV, dV0 det( F) = 2 d?,,

.

dx,, x dx,, (8.2.3) (B.2.4) (B.2.5) (B.2.6)

De determinant van F kan dus worden beschouwd als de volume-veranderingsfactor J van de referentie-toestand naar de huidige toestand:

dVm

J = det(F) =

-

BIJLAGEN -B.5-

De deformatietensor F is gedefinieerd als:

-

d ;

, = F

.

dx, =

.

dx, = dx,

.

(VOX,) (8.3.1)

waarin V, de gradiëntoperator t.o.v. de referentie-toestand voorstelt. T.O.V. de Cartesische basis (e,,en,e3) is deze te schrijven als:

- 2

-De gradiëntoperator t.o.v. de huidige toestand is dan:

3

-; x, = Cxmiei

3 -

a

V,=Cei _ _

i-1 ax,, i= 1

Uit (8.3.3) volgt eenvoudig dat:

2 3

-

v,x,

= eiei = I ; i is de eenheidstensor

i= 1

Voor d,: mag worden geschreven:

Vergelijken we uitdrukking

(8.3.5)

met (8.3.1) dan volgt:

-

dg,,

.

Vox,

_-

.

V,X, = dx,

.

Vox, d vox,.

v,= v,

_-

0 d V, = (V0%,,,)-'

.

Vo

= F-'

.

Vo

Voor de gradiëntoperatoren geldt dus:

(8.3.2) (8.3.3) (8.3.4) (8.3.5) (8.3.6) d

-

-

V, = F-c. Vo en

V,

= FC

.

V, (8.3.6)

"4:

A f ~ e i ~ i ~ ~

van de lokale

wet

van

impuls

De totale impuls van lichaam wordt gegeven door:

- -

-

i(t) =

I-

p v dV

V(t)

Voor de volumeveranderingsfactor J geldt:

dv J = det(F) = --=-

dV0

- -

A

dus: i(t) =

s-

p J v dVo

VO

Differentiatie van deze relatie naar de tijd levert:

--

d r ( t ) -

I-

( p

J

+

p J)

v

dvo

+

Ivo

p J dv,

dt VO

Toepassing van relatie J = J tr(D) (zie 1.6.5) en van relatie (B.4.2) levert:

- -

~-

d T(t) -

Ivo

J

( p

+

p tr(D)) dvo

+

I-

,o v dV

dt V(t)

Uit de lokale wet van behoud van massa is formule (2.2.4) afgeleid:

p

+

p tr(D)= O

Dus geldt dat de eerste integraal in (B.4.5) gelijk aan nul is:

De globale wet van behoud van impuls kan nu als volgt worden geformuleerd:

(B.4.1)

(6.4.2)

(6.4.3) (6.4.4) (B.4.5) (2.2.4) (B.4.6) (B.4.7)

BIJLAGEN -8.7-

Met behulp van de divergentie-stelling van Gauss kan de oppervlakte-integraal in deze vergelijking worden omgewerkt tot een volume-integraal:

Divergentie-stellinq van

Gauss

Vector

oppervlak A ( t J

van

een lichaam.

l i e t

volume van dit lichaam is V ( t ) .

is

de eenheids-buitennovmaal in een willekeurig punt op het

In

ieder punt van het volume is in iedere toestand t een tweede orde tensor

A,

een vector

2

en een scalar

a

gedefinieerd,

evenals de gradiënt

V.

Dan

geldt:

JA

n .

AdA

JA

n . & d A

=

lv

? . A d v

=

lv

0

. a d v

s,

G a d A =

s,

VCtdV

De stelling van Gauss wordt als volgt toegepast op de oppervlakte- integraal:

Hierbij is gebruik gemaakt van de relatie

6

= (r

.

n (2.1.3). De lokale wet van behoud

van impuls wordt nu uit

(8.4.10)

gevonden door te eisen dat voor elk willekeurig deelvolume

v

aan deze vergelijking moet worden voiciaan. Ûan voigt:

>

e

invarianten van een

Voor het eigenwaarde-probleem A

.

=

A.;

bestaan niet-triviale oplossingen voor eigenvector

a

dan en alleen dan wanneer geldt dat de determinant van (A - Ai) gelijk aan nul is. De bijbehorende vergelijking wordt de karakteristieke vergelijking van tensor A genoemd:

det(A- Ai)= O (6.5.1)

De oplossingen voor

A.

zijn de eigenwaarden van A, De karakteristieke vergelijking kan worden uitgewerkt tot:

A3

- I,

d2

+

I,

A.

- I, = O (6.5.2)

De scalairen li (i=

1,2,3)

zijn de invarianten van tensor A

.

Deze grootheden worden uitsluitend bepaald door de tensor en zijn onafhankelijk van het gekozen assenstelsel waarin de tensor wordt gerepresenteerd. De invariant I, wordt het spoor (trace) van

A genoemd, terwijl de derde invariant doorgaans wordt aangeduid als de determinant van A .

1 - 2

Ten opzichte van de cartesische basis {e,,e,,e,} kunnen de invarianten van A

als

volgt worden geformuleerd:

I, = tr(A) =

el

.

A C . e,

+

e,. A C .

6,

+

e,

.

AC

.

e3

I,

= det(A) = ( A . e,)

.

(A

.

&)

x (A

.

e,)

(B.5.3)

I, =

el

I (A

.

&)

x (A

.

G 3 )

+

&

.

( A .

&)

x (A

.

GI)

+

e 3 . ( A .

e,)

x (A

-

e,)

A

Voor de tweede en de derde invariant kan worden aangetoond dat:

1

2

I,

=

-

{

(trA), - tr(A2)

1

1

1

1

3 2 6

I, = - tr(A3)

- -

tr(A) tr(A2)

+

-

tr3(A) Verder geldt: tr(aA

+

PB)

= atr(A)

+

fitr(B)

det(A

.

B) = det(A)

.

det(B)

trg>

= 3 (B.5.4)

(6.5.5)

(8.5.6) (6.5.7) (B.5.8)

BIJLAGEN -B.9-

Het dubbefinwendig produkt van twee tweede orde tensoren A en B is gedefinieerd als de determinant van het tensorprodukt van A en B :

A :

B

= tr ( A . B)= tr ( A ) . tr (B)= tr ( 6 ) . t r (A)=

B

: A (B.5.9)

A : B . C = t r ( A .

B .

C)= t r ( A . B)tr(C)= A . B : C (8.5.10)

Het Cayley-HaimilQon-Q&eorerria

Het Cayley-Hamilton-theorema zegt dat een tweede orde tensor voldoet aan zijn eigen karakteristieke vergelijking. Dit is als volgt aan te tonen:

Volgens (8.5.2) geldt: 1 3 - I , A 2 +

I 2 L -

I,=

o

( A 3 -

1,A2+

1 2 A -

I,)a=O ; a # O o , 1 3 3 -

I , A * ; +

i , A L I,:=O ; a # O (8.5.1 1) ¢j

-

A 2 > > > 2

-

Het beschouwde eigenwaarde probleem luidt: A . a = Aa ( B.5.12)

dus:

a .

( A .

a)=

A .

A G =

A A .

i

=

AG

A . ( A . ( A .

a))=

A .

A 2 a

= A 2 A . = A3:

( B.5.13) (6.5.14)

Substitutie van (8.5.12) t/m (B.5.14) in (B.5.11) levert:

-

( A 3 - I , A 2 + 12A- I,I).a=O ; a f 0 (B.5.15)

dus: A3-

l1á2+

l2A- 1 3 i = 8 (6.5.16)

Waarmee het Cayley-Hamilton-theorema is aangetoond. Dit theorema is gebruikt voor het afleiden van relatie (B.5.5).

Bijlage

B.6:

Berekening van de afgeleide

naar de

tijd

van de specifieke

ige energie

De specifieke inwendige energie is voor isotroop elastisch materiaal op te vatten als een funktie van de drie invarianten van C:

4

=

4(Jll

J27 J3)

J,(C)

= tr

(I=)

1

2

J,(C) =

-

{

(tr C)p

-

tr

(e2)

3

J3(C)

= det (C)

Differentiatie van (B.6.1) naar de tijd met behulp van de kettingregel levert:

a4

.

ag,

.

J 2 +

-

J,

4 = -

'

'4

j 1 + -

a

J, a J 2

3J3

Vervolgens zullen de termen J,, j2 en

J3

worden bepaald.

Berekenina

van J,

Volgens de definitie van het dubbelinwendig produkt geldt:

J,

= tr(C) = tr(l

.

C ) = I :

C

Differentiatie naar de tijd levert:

2,

=

i : c

+

I : C = i : C

De tijdsafgeleide van de eenheidstensor is immers de nultensor. Voor Jl is

n u

gevonden:

(B.6.1)

(6.6.2)

BIJLAGEN -B.I

1-

Berekenina van J,

Voor de tweede invariant van C geldt:

J, = - ( t r * ( C ) - t r ( C z ) } = - ( ( l : C ) ( l : C ) -

1

1

I : C 2 }

2

2

Met behulp van de rekenregel A :

B

.

C

= A . B : C volgt:

I

: c2= I :

c . c

= I

.

c

:

c

=

c

:

c

dus: en:

1

2

J, = -

((i

: C)(i :

C)-

C : C}

1

2

J2

= - ((i :

C)

(i :

c)

+

(I :

c)

(i

:

C)

-

c

: C

-

C :

c]

= (i : C ) ( I :

6)-

C :

C =

(J,i-

C):

6

Voor J, geldt dus:

J2 = (J, I

-

C) : C (8.6.4)

Berekenina van J,

In bijlage (B.5) is het

Cayley-Hamilton-theorema

afgeleid:

C3

- J, C2

+

J, C

-J,

I = O J, I = C3 -

J, C2

+

J, C Het spoor van het linker- en rechterlid van deze vergelijking luidt:

tr(J, i) = J, tr i = 3 J, = tr(C3) - J, tr(C2)

+

J, tr(C) Voor de derde invariant van C geldt dus:

1

1

1

3

3

3

1

1

1

1

3

3

6 6 J, =

-

tr(C3)- - J, tr(CZ)

+

-

J, tr(C)

-

-

-

I- t-31

,-

- tr(C)tr(C2)+

-

(tr C)*tr(C)-

-

(tr C2)tr(C) t r ( ~ 3 ) - -

1

tr(C) tr(C2)

+

-

1

(tr C)J

3

2

6

- _

-

Bij het berekenen van

J2

is aangetoond dat:

evenzo geldt:

I : C Z = C : C

I :

c3=

c :

c2

Daarmee volgt voor

J,:

1

1

1

J 3 = - 3

( C :

C2)-- 2 ( i : C ) ( C : C ) + - 6 ( i : C)'

Differentiatie van

J3

naar de tijd geeft:

1

1

3

3 j3 = -

C : c z + -

c : ( C : c + c : C )

1

1

_ -

'i ( I : C>(C: C ) -

-

( I : C ) ( C :

C +

C : C ) +

-

(3(1:

C)(I:

C ) 2 ) =

c2

:

C

-

( I : C) (C :

C)

+

- (I : C)2(I :

C)

-

-

(C : C ) (I : C) = [ c2- (I : C ) C +

-

( ( I :

cy-

c :

C) i ] :

c

2 2 6 1 1 2 2

1

2

1

2

= [ ~2 - tr

(c)

c

+

-

(

tr*

(c)

- tr ( ~ 2 ) ) I] : C = [ C e - J I C + J,!] : C

Voor

J3

geldt dus:

j a = [ C 2 - J I C +

J e l l

: C

Substitutie van (8.6.3) t / m (B.6.5) in (8.6.2) levert tenslotte:

(B.6.5)

BIJLAGEN -B.13-

Bijlage B.?:

De inwarianten wan de rechtse

en

linkse eauchy-g;P.een-re~ens~r

I n deze bijlage zal worden bewezen, dat de invarianten van de linkse en rechtse Cauchy-Green-rektensor aan elkaar gelijk zijn.

I in kse Ca u ch y-G ree n-rektensor = B = F . F c rechtse Cauchy-Green-rektensor =

C

= F c . F

(8.7.1)

(B.7.2)

Eerste invariant

De eerste invariant van

C

is:

J,(C) = tr (C) = tr (Fc.

F)

Voor het inwendige produkt van twee tweede orde tensoren geldt:

A : B = t r ( A . B ) = E I : A

Dus volgt voor het spoor van

C:

J, = tr (FC. F) = F c : F = F : Fc = tr ( F . Fc) ( B.7

5)

De eerste invariant van I% ( = tr (F

.

Fc)) is dus gelijk aan de eerste invariant van

C

(B.7.3)

Tweede invariant

De tweede invariant van C is gedefinieerd als:

1

2

J2(C) =

-

{

tr2(C) - tr(C2)}

Met behulp van (8.7.4) is deze uitdrukking te schrijven als:

1

2

J2(C) = - { (FC :

F)'- (FC.

F)

: (FC. F)}

Voor willekeurige tweede orde tensoren A, B en C. geldt:

A . B : C = A : B . C

1 2

J2(C) =

-

{

(Fc

: F)'- Fc :

( F .

Fc

.

F)

}

dus:

Toepassing van (8.7.4) en (8.7.8) levert:

1

- {

(F

:

FC)' - (F .

Fc .

F)

:

Fc

2

1

2

1

2

1

2

J2(C)

= - ( ( F : F C ) * - ( F .

F C ) : ( F . Fc)} = - { t r

2(F

.

FC)

- tr ((F

.

FC)2) } =

-1

tr 2(B)- tr

(W)

1

Deze laatste uitdrukking is gelijk aan de tweede invariant van B.

(B.7.6)

(8.7.7)

(8.7.8)

BIJLAGEN -B.15-

Derde invariant

Voor de derde invariant geldt:

J3(C) = det(C) = det(FC. F) (6.7.10)

Voor twee willekeurige tweede orde tensoren is de volgende vergelijking van toepassing.

det(A

.

8) = det(A) det(i3) = det(6) det(A) = det(B

.

A) (8.7.11) dus: det(FC.

F)

= det(F

.

Fc) = det(í3) = J,(i3)

APP EN DIX -1

-

TENSOREN

egrip

tensor

Voor de beschrijving van fysische processen wordt frequent gebruik gemaakt van scalairen, vectoren en lineaire afbeeldingen. Deze grootheden worden ook wel aangeduid met respektievelijk nulde, eerste en tweede orde tensoren.

scalairen ínotatie: a)

worden volledig bepaald door slechts één getal (bijvoorbeeld de massa van een lichaam) vectoren ínotatie:

iî)

bezitten een grootte, een richting en een zin (bijvoorbeeld de verplaatsing of de snelheid) lineaire afbeeldinaen (notatie: A)

beelden een vector af op een andere vector (bij voor beeld een spiegel i ng)

In de driedimensionale (Euclidische) ruimte kan een of andere referentie worden gekozen; een zogenaamde basis.

* _{Een scalar wordt dan vastgelegd door de numerieke waarde}

i n een bepaald eenhedenstelsel (bijvoorbeeld het aantal kilogrammen)

* _{Een vector wordt vastgelegd door een kolom van drie getallen,} die de componenten van de vector t.o.v. de basis voorstellen (bijvoorbeeld de snelheid in x-, y- en z-richting)

* _{Een lineaire afbeelding wordt t.o.v. de basis vastgelegd door een}

2.1 Enige bewerkingen met vectoren

Een vector wordt gekarakteriseerd door zijn lengte, richting en zin. De lengte van een willekeurige vector

2

wordt weergegeven met

IIall.

Is deze lengte gelijk aan O of 1, dan wordt gesproken van respectievelijk een nulvector (O) of een eenheidsvector

(e)

Naast de bekend veronderstelde sommatie van twee vectoren en de vermenigvuldiging van een vector met een scalar bestaan nog een aantal veel gebruikte bewerkingen met vectoren

-

a l het inwendig produkt van twee vectoren

a

en b

Voor het inwendig produkt van

2

en

6,

die onderling een hoek

q5

maken, geldt:

- -

a

.

b

=

_/I

_bll

_{cos q5}

b)

het uitwendia produkt van twee vectoren

5

en

b

Voor het uitwendig produkt van

a

en

b,

die onderling een hoek q5 maken, geldt:

2

Vector

i

is de eenheidsvector, die loodrecht staat op zowel

a

als b. De zin van ?i wordt

bepaald met de 'rechtse schroef-regel'. Het stelsel vectoren

(2,

b,

i}

wordt daarom rechtsdraaiend genoemd. In tegenstelling tot het inwendige produkt is het uitwendige produkt van

a

en b weer een vector en géén scalar.

APPENDIX -3- TENSOREN

c! het tripel-produkt van drie vectoren

a.

b en

Het tripel-produkt van

a,

b en

'c

is een reëel getal, dat wordt berekend door het inwendige produkt van enerzijds het uitwendige produkt van

a

en b en anderzijds de vector

'c

te nemen:

-

a x

b .

C

=

(11ii11

llbll

sin

$1

(Fi

.

C)

-

n

- - A

Het tripelprodukt van een rechtsdraaiende basis {a,

b,

c} blijkt gelijk te zijn aan het volume V van het parallellopipedum, dat wordt opgespannen door

6,

b en

c.

4

-

d! het tensor- (of dyadisch) produkten van twee vectoren

a

en b

Het dyadisch produkt ab van de vectoren

a

en

6

is een lineaire afbeelding (een tweede orde tensor). Wordt deze afbeelding uitgevoerd op vector dan resulteert een vector

&

v volgens:

-

-

v = (ab)

. 'c

= (b

.

C)

a

_(A.4)

Het resultaat van deze bewerking op is dus een vector in de richting van vector

a

en met een lengte, die gelijk is aan het inprodukt van b en

c,

vermenigvuldigd met de lengte van

2.

a

De geconjugeerde van het dyadisch produkt ab is gedefinieerd als:

-