Hoofdstuk 4 Toevalsvariabelen

(1)

Hoofdstuk 4

Toevalsvariabelen

V-1

a. 4 van de 20 partijen eindigen in remise: 4 1

20 5 ( ) P remise   b. 7 7 7 7 20 20 20 20 ( ) 0,015 P vvvv     

c. Victor wint ze spelen remise: 11 11 11 11 11

20 20 20 20 20

( ) 0,0503

P A wint geen partij      

d. Beide spelers winnen een keer en één keer spelen ze remise of de drie partijen

eindigen in remise: 7 4 9 4 4 4 20 20 20 20 20 20 ( , , ) ( , , ) 6 0,197 P V r A P r r r         V-2 a. 7 6 5 3 2 1 10 9 8 7 6 24 ( ) P RRRWW       b. er zijn 5 10 3  _  

  mogelijke rijtjes met drie rode en twee witte knikkers

c. 1 5 24 12 (3 , 2 ) 10 P R W    d. 7 6 5 4 3 11 10 9 8 7 6 12 ( ) 1 ( ) 1

P minstens één witte  P geen witte        V-3 a. 7 3 3 2 10 10 ( ) ( ) ( ) 0,0309 P RRRWW    b. P R W(3 , 2 ) 10 0,0309 0,3087   c. 7 4 3 7 5 10 10 10 ( ) (3, 4 5 ) 0,3087 5 ( ) ( ) 0,8369 P meer rode P of rood      

V-4

a.

b. je kunt dan 1

8

1000 125 keer de uitslag 14 verwachten

c. 3 1 1 1 8 4 4 8 2 5 9 14 6 E          V-5 a. b. 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 1 2 3 4 2 E          V-6 a. 2, 3, 4, …, 10 b. c. 1 1 1 1 24 12 12 24 2 3 ... 9 10 6 E           V-7 a. 11 23 ... 7 185    uitsla g 2 5 9 14 kans 3 8 14 14 18 aantal sleutels 1 2 3 4 kans 1 4 43 13 14 34  32 21 14 14 st e en 2 steen 1 S 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 som 2 3 4 5 6 7 8 9 10 kans 1 24 121 18 16 61 16 18 121 241

(2)

1 a. 5 8 7 13 12 11 ( 1) 3 0,4895 P R       b. 8 7 6 13 12 11 ( 0) 0,1958 P R      5 4 8 13 12 11 5 4 3 13 12 11 ( 2) 3 0,2797 ( 3) 0,0350 P R P R            c. E R( ) 0 0,1958 1 0,4895 2 0,2797 3 0,0350 1,15         2 a. S: {2, 3, 4, ...,11,12} b. 3 1 36 12 ( 4) ((1,3) (2,2) (3,1)) P S  P of   c. 1 36 ( 2) ((1,1))

P S P  , de kans dat de som van de

ogen gelijk is aan 2. d. 3 a. b. 11 6 2 1 20 20 20 20 ( ) 100 200 500 1000 215 E X          4

a. Het verschil is 0 als met beide dobbelstenen

hetzelfde aantal ogen wordt gegooid. Dat gebeurt in

6 van de 36 gevallen: 6 1 36 6 ( 0) P V    . b. c. 6 10 2 36 36 36 ( ) 0 1 ... 5 1,94 E V         5 a. 4 1 3 8 8 8 ( ) 1 2 3 1,875 E X        en 5 2 1 8 8 8 ( ) 10 11 12 10,5 E Y        b./c. 3 8 ( 3) P X   , 5 8 ( 10) P Y   en 3 5 15 8 8 64 ( 3 10) P X  en Y     d./e. 4 8 ( 1) P X   , 2 8 ( 11) P Y   en 4 2 8 8 8 64 ( 1 11) P X  en Y     6 a. 3 8 ( 3) P U   , 5 8 ( 10) P V   en 2 8 ( 3 10) P U  en V   b. nee c. 4 8 ( 1) P U   , 2 8 ( 11) P V   en 1 8 ( 1 11) P U  en V   d. 4 2 1 8 8 8, ja. 7 a. 5 1 15 3 ( ) P B   , 6 2 15 5 ( ) P D   en 2 15 ( 3) P blauwe  onafhankelijk S 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(S=s ) 1 36 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 steen 1 st e e n 2 S 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 X 100 200 500 1000 kans 11 20 206 202 201 V 0 1 2 3 4 5 P(V=v) 6 36 1036 368 366 364 362 st e e n 2 steen 1 V 1 2 3 4 5 6 1 0 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 5 4 3 2 1 0 1 6 5 4 3 2 1 0

(3)

b. 3 1 15 5 ( ) P C   , 6 2 15 5 ( ) P D   en 2 15 ( 2) P blauwe  afhankelijk

(4)

8

a. Het draaien van de twee schijven gebeurt onafhankelijk van elkaar.

b. 2 8 ( 3 10) ( 3) ( 10) P U  en V   P U  P V  9 4 4 1 8 8 4 ( 2) P S     en 4 4 1 8 8 4 ( 1) P P     Maar 4 4 1 8 8 4 ( 2 1) P S  en P    , dus afhankelijk 10 a. Voer in: L1: 98, 99, 100, 101, 102, 103 en L2: 4, 9, 175, 8, 3, 1 1-Var Stats: x100 b.  0,52 11 a. 8 200 (101 ) P pepermuntjes  b. Voer in: L2: 0,020 0,045 0,875 0,040 0,015 0,005 x100 c.  0,52 d. 4 9 1 1 200 200 200 200 ( ) 98 99 ... 103 (98 4 99 9 ... 103 1) E X                gemiddelde 12 a.

b. Voer in: L1: 0, 1, 2, 3 en L2: 81, , ,83 38 18 1-Var Stats: x 1,5 en  0,87

13

a. 1, 2, 3 of 4

b.

c. Voer in: L1: 0, 1, 2, 3 en L2: 1013, 265, 1435 , 2861 1-Var Stats: x 1,27 en  0,54

14 a./b. Voer in: L1: 100, 50, 10, 0 en in L2: 0,0034 0,0574 0,3251 0,6141 1-Var Stats: x6,46 en  12,97 15 a. Voer in: L1: 1, 3, 6, 10, 16, 24 en L2: 61, , , , ,61 16 61 16 16 1-Var Stats: E X( ) 10 en ( ) 7,94X 

b. De waarden van de tweede tol zijn allemaal 3 groter. De spreiding is niet veranderd.

( ) 13 E Y  en ( ) 7,94X  K 0 1 2 3 kan s 21  12 21 18 3   21 12 21 83 3   21 21 21 83 12  21 12 18 X 1 2 3 4 kan s 1013 133  1012 265 133   122 1011 1435 133    122 111 1 2861 X 100 50 10 0 kan s 0,153 0,0034 3 0,15 0,85 0,0574 2  3 0,15 0,85  2 0,3251 0,6141

(5)

c. De waarden van de derde tol zijn 2 keer zo groot als die van de eerste tol. Zowel de

verwachtingswaarde als de standaardafwijking worden 2 keer zo groot: E Z( ) 20

(6)

16 1 1 1 2 2 4 ( 2) ( ) P X  P kk    3 3 1 2 8 4 3 1 2 8 ( 3) ( ) 3 ( ) ( 4) (3 3 ) 6 ( ) P X P mkk of kmk of mmm P X P mmkk of kmmm             ( ) 3,125 E X  en ( ) 0,78X  17 a. ongeveer 2 5105 42 zakjes b. 42 151 178 171 134 1000 250.8, 253 :     _100 67,6%_ c. 3527 61 105 151 178 171 134 86 45 1519 1000 249.7, 254.1 :            100 95,1% d. 86 45 19 7 2 1000 ( 253) 0,159 P G _ _     _

e. ongeveer bij 251,9 gram

18

a.

b. De vorm is enigszins klokvormig

c. Voer in: L1: 110, 114, 118, 122, 126, 130, 134 en in L2: 1, 7, 48, …, 2 1-Var Stats: g 123,0 en  4,03 d. 1474 23 2 250 ( 127) 0,174 P X       e. 1 347 250 ( 115) 1 ( 115) 1 0,975 P X   P X       19 a. G164,4 2 5,4 175,2   g b. 159 164,4 5,4     en 169,8 164,4 5,4     : ongeveer 68%

c. Het interval 161.7, 164.4 ligt dichter bij de top van de klokvorm, dus die kans is

groter.

20

a. E G( ) ligt dan bij 50%: E G( ) 103

b. P G( 100) 0,30

c. 16% grens ligt ongeveer bij 97 gram. De standaardafwijking is ongeveer 6 g.

21

a. 145,2 153,0 7,8     en dus is P X( 145,2) 0,16

b. 168,6 ligt dichter bij het gemiddelde van Y, dus P Y( 168,6) is groter

c. 1 4

2

(4 ) ( ) 0,0625

P kleiner dan gemiddelde  

d. de kans dat de gemiddelde lengte groter is dan 160 cm zal groter zijn.

22 Twee derde komt in de buurt van de 68%. Dat wil zeggen dat x  70 en

120

x  . Hieruit volgt dat 70 120

2 95

x _  _ _en 120 70 2 25

 _  _

(7)

23

a. D S 100

b. E D( )E S( ) 100

c. de spreiding verandert niet omdat de salarissen en het gemiddelde salaris verhoogd

worden met 100 euro.

d. J 1,03S

e. E J( ) 1,03 E S( )

f. de spreiding (gemiddelde afwijking tot het gemiddelde) wordt ook 1,03 keer zo groot

Dus ( ) 1,03J  ( )S 24 a. voer in L1: 0 1 5 10 en L2: 0,4 0,3 0,2 0,1 1-var Stats: E U( ) 2,3 en ( ) 3,16U  b./c. W  3 U, dus E W( ) 3 E U( ) 0,7 en ( )W ( ) 3,16U  25 E F( )E(1,8 C 32)E(1,8C) 32 1,8  E C( ) 32 77  ( )F (1,8 C 32) (1,8 C) 1,8 ( ) 4,5C          26

a. onafhankelijk; de uitkomst van tolletje B hangt niet af van de uitkomst van tolletje A.

b. Voer in L1: 1, 2, 3 en L2: 12, ,14 41 1-var Stats: E X( ) 1,75 en ( ) 0,83X 

Voer in L1: 1, 2, 3, 4 en L2: 41, , ,41 41 14 1-var Stats: E Y( ) 2,5 en ( ) 1,12Y 

c. d. E S( ) 4,25 en ( ) 1,39S  e. E S( )E X( )E Y( ) f. nee g. _2_{( )}_S __2_{( )}_X __2_{( )}_Y 27 a. tussen   276 en   338 b. tussen   53 en   77

c. E cola light(  )E cola( )E light( ) 307 65 372  

d. _₍_{cola light}_ ₎_ _2₍_cola₎__2₍_light₎ _ ₃₁2_₁₂2 _₃₃_{: de vraag schommelt tussen}

339 en 405 liter.

28

a. Voer in L1: 1, 2, 3, 4, 5 en 6 L2: 16, , ...,16 16

1-var Stats: E X( ) 3,5 en ( ) 1,71X 

b. De verdeling van X1 en X2 zijn gelijk

1 2 1 1 ( ) ( ) 3,5 3,5 7 E X X E X  X    2 2 2 2 1 2 1 1 (X X ) (X ) (X ) 1,71 1,71 2,42         c. E X( 1 X2X2) 3,5 3,5 3,5 10,5    en S 2 3 4 5 6 7 P 1 1 1 2 4 8 21   14 41 41 163 12    41 2 14 14 41 21    14 2 41 41 14 2  14 14 18 161

(8)

29 a. E X( 1)E X( 2) ... E X( 10) 3,5 en (X1)(X2) ... (X10) 1,71 b. E S( )E X( 1X2 ... X10)E X( )E X( ) ... E X( ) 10 E X( ) 35 c. __{( )}_S _ _2_{( )}_X __2_{( ) ...}_X _{ }_2_{( )}_X _ ₁₀__2_{( )}_X _ ₁₀_ _2_{( )}_X _ ₁₀___{( )}_X ( )S 10 1,71 5,41     d./e. zie b en c. 30 a. 5 36 ( 4) P x   (zie uitkomstentabel) b. c. E x( ) 3,5 en ( ) 1,21x  d. E x( )E X( )

Tja, dat kun je niet verzinnen:

( ) ( ) 2 X x    31

a. Het 5 keer draaien met een kanstol is onafhankelijk.

( ) 5 23,75 118,75 E S    en ( )S  5 32,19 71,98  b. E x( ) 23,75 en 1 5 ( )x 32,19 14,40     32 a. E T( ) 10 250 2500   gram en ( )T  10 6 18,97  gram. b. E x( ) 250 gram en 1 10 ( )x 6 1,90     gram. 33 a. E T( ) 25 4 100   uur en ( )T  25 10 50  min. b. ( )G  12510 2 min. c. 2 : 4 uur en 20 minuten. 34 a. ( )G  1_n 19 2 b. ( )G  1_n19 0,10 19  19 2 9,5 90,25 n n    1 10 100 n n  

Dus vanaf 91 klosjes wordt de Bij 100 klosjes is de

standaardafwij-standaardafwijking van de gemiddelde king met 90% gereduceerd.

lengte kleiner dan 2.

35 Bij 2X zijn de mogelijke uitkomsten: 2, 4, 6, 8, 10, 12

Bij X1 X2 zijn de mogelijke uitkomsten: 2, 3, 4, 5, …, 12

36

a. Het standaarddeviatie is groter, de waarnemingen zijn meer gespreid; de top ligt

dus lager.

b. De kromme ligt meer naar rechts en is breder en lager.

x 1 2 3 4 5 6 1 1 1,5 2 2,5 3 3,5 2 1,5 2 2,5 3 3,5 4 3 2 2,5 3 3,5 4 4,5 4 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 3,5 4 4,5 5 5,5 6 x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 kan s 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361

(9)

37 2 1 1 5 4 10 ( 2) ( ) P X  P RR    3 3 2 1 2 1 1 5 4 3 5 4 3 5 3 3 3 3 2 2 1 2 2 1 2 2 1 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 10 2 5 ( 3) ( , ) ( 4) ( , , ) ( 5) P X P RWR WRR P X P RWWR WRWR WWRR P X                           ( ) 4 en ( ) 1 E X   X  38 a. 5 3 125 6 216 ( 0) ( ) P X    2 5 75 1 6 6 216 2 5 15 1 6 6 216 3 1 1 6 216 ( 1) 3 ( ) ( 2) 3 ( ) ( 3) ( ) P X P X P X              b. 1 2 ( ) E X  c. 125 75 15 1 216 216 216 216 ( ) 50 50 100 250 3,47 E W           

De speler verwacht een verlies van € 3,47 per spel.

39 a. 1 2 3 3 ( ) 0 24 16 E X      en ( ) 11,31X  b. 1 1 1 2 4 4 ( ) 0 18 42 15 E Y        en ( ) 17,23Y 

c. De uitkomsten van schijf 1 en 2 zijn onafhankelijk, dus: E X Y(  )E X( )E Y( ) 31

en _₍_{X Y}_ ₎_ _2_{( )}_X __2_{( )}_Y _ _11,312__17,232 __20,62

d. De speler verwacht per spel €1,- te verliezen. Na 10 keer spelen verwacht hij dus

nog € 390,- op zak te hebben.

40

a. 95% van de gevallen is in 50-70 minuten geklaard. Dat wil zeggen: gemiddeld 60

minuten en 2 is 10 minuten. X Norm(60, 5)-verdeeld

b. T Norm(600, 5 10)Norm(600,15)-verdeeld c. P T( 570) 0,025 (570 600 2 15     2 41 a. 0 S n  0 10 10 10 10 0 10 S n S n n n          b. ( ) 0,25 E S  en E C( ) 10 E S( ) 2,5

c. S is binomiaal verdeeld met succeskans 0,25

1 1 1 ( ) ( ... _n) ( ) ... ( _n) ( ) E S E X  X E X  E X  n E X winst -50 50 100 250 kans 125 216 21675 21615 2161 X 0 24 Y 0 18 42 kans 1 3 23 kans 12 14 14 S 0 1 kan s 0,75 0,25 aantal vragen 10 20 30 40 E(S) 1 2 2 5 1 2 7 10 E(C) 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2

(10)

d. 1 4 ( )S 1 0,25 0,75 3 0,43       en ( ) 10C  ( ) 4,3S  e. f. _{( )} ₍10 ₎ 10 _{( )} n n C S S     

Test jezelf

T-1 a. 0, 1, 2, 3 of 4

b. hij heeft 0 azen gekregen. 28 27 26 25 24 23 22 21

32 31 30 29 28 27 26 25 ( 0) 0,2955 P A          c. 4 3 2 1 28 27 26 25 32 31 30 29 28 27 26 25 8 ( 4) 0,0019 4 P B   _{ }            d. 24 23 22 21 20 19 18 17 32 31 30 29 28 27 26 25 ( 0 0) 0,0699 P A en B          ( 0) ( 0) 0,2955 0,2955 0,0873

P A P B    , dus ze zijn afhankelijk

e. 21 20 19 18 17 16 15 14 32 31 30 29 28 27 26 25 ( 0 0) 0,0193 P A en H           23 20 19 18 24 22 21 17 32 31 30 29 28 27 26 25 ( 0) ( 0) 0,2955 0,0207 P A P H            , dus afhankelijk. T-2

a. P voldoet niet aan vraag( ) 0,15 0,09 0,03 0,01 0,28    

b. voer in L1: 35, 36, 37, …, 44 en L2: 0,02 0,07 … 0,01 1-var Stats: E X( ) 39,3 en ( ) 1,94X  T-3 a. b. 5600   . Volgens de eerste vuistregel is dat 16% van de partij. c. 5200  2 en 6400   .

Volgens de vuistregels ligt daar 81,5% tussen. d.

e. Bij de Lumi is 5000 branduren 2,5 standaardafwijkingen onder het gemiddelde. Bij

het merk Sol is dat 3,5 standaardafwijkingen. De kans bij Sol is dus kleiner.

aantal vragen 10 20 30 40 SD(S ) 1,369 1,936 2,372 2,739 SD(C 1,369 0,968 0,791 0,685

(11)

T-4

a. ( )Z (4X7) 4 ( ) 7 57X   en ( )Z (4X 7) 4 ( ) 12X 

b. ( )S (X Y )( )X ( ) 35Y  en __{( )}_S __₍_{X Y}_ ₎_ _2_{( )}_X __2_{( ) 5}_Y _

T-5

a. E(10blokken) 10 E blok( ) 20 uur en (10blokken) 10(blok) 0,79 uur. b. (één blok uit10) 0,25₁₀ 0,079 uur.

c. 1_n 0,25 0,05 5 25 n n   T-6 a. 1, 2 of 4 b. 1 1 1 3 2 2 ( 1) (321 13) 2 P U  P of     1 1 1 3 2 3 1 1 1 3 2 6 ( 2) (23 13) 2 ( 4) (123) 1 P U P of P U P            

c. voer in L1: 1, 2, 4 en L2: 12, ,13 61 1-var Stats: E U( ) 1,83 en ( ) 1,07U 

d. E W( ) 10 ( 2 1,83)     1,67 en ( )W  10 1,07 3,37  T-7

a. die van de moeders zal een grotere spreiding hebben. Die is dus breder.

b. de spreiding van het gemiddelde van 6 potten pindakaas is 6 keer zo klein, maar

het gemiddelde is nog steeds 350 gram. De kans dat er minder dan 350 gram in een pot pindakaas zit is in beide gevallen 0,5.

Echter: de kans dat er in een pot pindakaas tussen de 345 en 350 gram pindakaas zit is in het geval van het gemiddelde van de 6 potten groter.

Extra oefening – Basis

B-1

a. W 2: het aantal witte knikkers bij de eerste twee trekkingen is 2.

3 4 2 10 9 15 ( 2) ( ) P W  P ww    b. 0, 1, 2 of 3 c. 7 6 5 4 1 10 9 8 7 6 ( 0) P R       d. 4 3 5 4 1 10 9 8 7 21 ( 2 0) ( 2) ( 0) P W  en R       P W  P R  dus afhankelijk B-2 a. 4 3 2 1 6 5 4 5 ( 3) ( ) P X  P vvv     3 2 4 2 2 6 5 4 3 5 3 2 1 4 2 2 6 5 4 3 2 5 ( 4) ( , ) 3 ( 5) ( , , , , ) 6 P X P lvvv vlvv of vvlv P X P llvvv lvlvv lvvlv vllvv vlvlv of vvllv                 

(12)

B-3

a. 50,2   en 50,8  : hiertussen ligt ongeveer 68%

b. 50   2 0,3 50,6   B-4 a. E X(3 2,2) 3 E X( ) 2,2 15,1  en (3X 2,2) 3 ( ) 1,2X  b. E X Y(  )E X( )E Y( ) 4,3 19,2 23,5   2 2 (X Y) 0,4 7,1 7,11      B-5 a. E T( ) 20 E één pak( ) 20 1000 20000   gram b. ( )T  20(één pak) 20 12 53,7  gram c. E G( ) 1000 gram en ( )G  12₂₀ 2,68 gram

Extra oefening – Gemengd

G-1 a. _{P X}₍ __{0) 0,42}_ 5 __0,0131 4 2 3 3 2 4 5 5 ( 1) 0,58 0,42 0,0902 1 5 ( 2) 0,58 0,42 0,2492 2 5 ( 3) 0,58 0,42 0,3442 3 5 ( 4) 0,58 0,42 0,2376 4 ( 5) 0,58 0,0656 P X P X P X P X P X    _{ }        _{ }        _{ }        _{ }        b. E X( ) 2,90 en ( ) 1,10X  G-2 a. tussen   99 en   105,4 gram

b. T 80 102,2 8176  gram. Dus er wordt naar verwachting 176 gram te veel thee in de doos geleverd.

(13)

G-3 a. E Z( _T) 100 10 1000   gram en (Z_T) 100 1,5 15  gram b. E Z( _N) 40 3,5 140   gram en (Z_N) 40 0,7 4,43  gram c. G(ZT1 ZT2  ... ZT4) ( ZN1 ZN2  ... ZN10) ( ) 4 1000 10 140 5400 E G      en 2 2 ( )G (15 4) (4,43 10) 33,11      

Uitdagende opdrachten

U-1

a. bij de vijfde worp betaalt de verliezer € 16,- en dat kan al niet

b. er zijn 12 mogelijke spelverlopen

2 12 6 12 4 12 ( 2) ( , ) ( 3) ( , , , , , ) ( 4) P X P KK MM P X P KKM KMKK KMMM MKKK MKMM MMK P X         ( ) 3,17 E X  en ( ) 0,69X  U-2

a. 16% bevat al minder dan   497,5 gram.

b. ( )G  9,5_n 19 7 2 7 2,71 7,37 n n     

Door 8 zakken in een doos te stoppen wordt het de standaardafwijking van 1 zak uit die doos kleiner dan 7. In dat geval is van hoogstens 2,5% van de dozen het

gemiddelde gewicht van een zak rijst minder dan 500 gram.

U-3

a. 4, 3, 2 of 1

b. De eerste maakt niet uit, de tweede moet van de eerste verschillen, de derde moet

van de eerste twee verschillen en de vierde moet gelijk zijn aan de laatste. Dan zijn

er nog 4

2    

  verschillende volgorde van deze 4. Dus

6 5 4 1 5 6 6 6 6 9 4 ( 3) 2 P X       _{ }   . c. 6 5 4 3 5 6 6 6 6 18 ( 4) P X       1 216 6 1 5 1 6 1 1 5 35 6 6 6 6 6 6 6 6 216 ( 1) ( 2) 3 4 P X P X               35 5 5 1 216 216 9 18 ( ) 1 2 3 4 3,11 E X         

d. Het is niet duidelijk of bij de tweede worp de getallen van de eerste worp weer

(14)