231 Optica : theorie

2de bach HIR

Q

uickprinter

Koningstraat 13

2000 Antwerpen

www.quickprinter.be

Optica

Smvt - Peremans

3.00 EUR

231

67

Trillingen

1. Eenparige harmonische beweging

Trilling =een ladingsdeeltje beweegt herhaaldelijk heen en weer over de oorsprong van een x-as. Frequentie ݂ = aantal trillingen per seconde (SI eenheid = Hertz (Hz)

ܪݖ ൌ ݐݎ݈݈݅݅݊݃݌݁ݎݏ݁ܿ݋݊݀݁ ൌͳ ݏ

Periode ܶ = duur tijd van één trilling (seconden per trilling) ܶ ൌͳ

݂

Periodieke beweging / harmonische beweging = een beweging die zich op een bepaalde manier herhaalt.

Een harmonische beweging waarbij de afwijking t.o.v. de x-as zich in de tijd verhoudt volgens: ݔሺݐሻ ൌ ܺ௠…‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ

noemt men een eenparige harmonische trilling: de massadeeltjes volgen een sinusoïde curve in de tijd.

x ܺ_௠: amplitude

Maximale uitwijking van het massadeeltje t.o.v. de x-as.

De cosinusfunctie varieert tussen ሾെͳǡͳሿ, dus de uitwijking varieert tussen േܺ௠

x ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ: fase

Het deel van de vergelijking dat varieert in de tijd o ߶: faseconstante / fase hoek

Deze is afhankelijk van de snelheid en positie van het deeltje op ݐ ൌ Ͳ o ߱: hoekfrequentie / hoeksnelheid

Na één periode ܶ moet de uitwijking ݔሺݐሻ terug op zijn beginpositie vallen. M.a.w. (veronderstel ߶ ൌ Ͳ):

ݔሺݐሻ ൌ ݔሺݐ ൅ ܶሻ ֞ ܺ_௠…‘•ሺ߱ݐሻ ൌ ܺ_௠…‘•൫߱ሺݐ ൅ ܶሻ൯ ֞ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ ൌ …‘•൫߱ሺݐ ൅ ܶሻ൯ ֞ ߱ݐ ൅ ʹߨ ൌ ߱ሺݐ ൅ ܶሻ ֞ ߱ݐ ൅ ʹߨ ൌ ߱ݐ ൅ ߱ܶ ֞ ߱ܶ ൌ ʹߨ ֞ ߱ ൌʹߨ

68

1.1. De snelheid van een EHB

Herinner dat: ݒሺݐሻ ൌௗ௫ሺ௧ሻ_ௗ௧ , we krijgen dus:

ݒሺݐሻ ൌ െ߱ܺ_௠•‹ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ

Dit houdt in dat de snelheid fluctueert tussen ט߱ܺ௠ en dat als de uitwijking maximaal is, de snelheid

minimaal is en als de uitwijking nul is, de snelheid maximaal is.

1.2. De versnelling van een EHB

Herinner dat: ܽሺݐሻ ൌௗ௩ሺ௧ሻ_ௗ௧ , we krijgen dus:

ܽሺݐሻ ൌ െ߱ଶ_ܺ

௠…‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ֜ ܽሺݐሻ ൌ െ߱ଶݔሺݐሻ

69

2. De krachtwetten voor een eenparige harmonische beweging

Nu we de versnelling kennen, kunnen we via de wet van Newton de kracht uitgeoefend op het trillend deeltje berekenen:

ܨ ൌ ݉ ή ܽ ֞ ܨ ൌ െሺ݉߱ଶ_ሻݔ

Hierin herkennen we duidelijk de wet van Hoek voor een veer: ܨ ൌ െ݇ݔ

Met ݇ de veerconstante:

݇ ൌ ݉߱ଶ

De Eenparige Harmonische Beweging is de beweging uitgevoerd door een massadeeltje veroorzaakt door een kracht die proportioneel is met de uitwijking van het deeltje, maar met tegengesteld teken.

Een veer is een voorbeeld van een lineaire EHB:

߱ ൌ ඨ݇

݉ܶ ൌ ʹߨට ݉

݇ Een trillend systeem bestaat steeds uit:

x Een verende component gekenmerkt door veerconstante ݇: verhoogt de hoekfrequentie x Een weerstand of massa ݉: verlaagt de hoekfrequentie In het systeem hier afgebeeld zijn die componenten respectievelijk de massaloze veer en het blok.

70

3. Energie in een eenparige harmonische beweging

De mechanische energie van een trillend systeem gaat over van potentiële energie naar kinetische energie, maar de totale hoeveelheid mechanische energie blijft constant over de tijd.

Potentiële energie hangt af van de verende component ܧ_௣௢௧ሺݐሻ ൌͳ_ʹ݇ݔଶ_ൌͳ

ʹ݇ܺ௠ଶ …‘•ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ

Kinetische energie hangt af van de snelheid van de weerstand of massacomponent ܧ௞௜௡ሺݐሻ ൌ

ͳ

ʹ݉ݒଶൌ ͳ

ʹ݉߱ଶܺ௠ଶ •‹ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ Totale mechanische energie

ܧ ൌ ܧ௣௢௧൅ ܧ௞௜௡ ൌ ͳ ʹ݇ܺ௠ଶ …‘•ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ൅ ͳ ʹ݉߱ଶܺ௠ଶ •‹ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ֞ ܧ ൌͳ ʹ݇ܺ௠ଶ ቈ…‘•ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ൅ ݉߱ଶ ݇ •‹ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ቉ ֞ ܧ ൌ ͳ ʹ݇ܺ௠ଶሾ…‘•ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ൅ •‹ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻሿ ֞ ܧ ൌͳ ʹ݇ܺ௠ଶ

Merk duidelijk op dat de totale mechanische energie niet afhankelijk is van de tijd.

De verende component zorgt voor de opslag van potentiële energie, de massacomponent voor de opslag van kinetische energie.

4. eenparige harmonische hoektrilling

Als we deze plaat een hoekuitwijking ߠ geven, dan zal de plaat beginnen draaien, trillen, tussen േߠ.

Het draaimoment dat deze trilling veroorzaakt wordt gegeven door: ߬ ൌ െߢߠ

Dit is de hoek vorm van de wet van Hoek: ߢ is de equivalente van de veerconstante ݇. De equivalente van de massa ݉ is het traagheidsmoment ܫ. We krijgen dan dat:

ܶ ൌ ʹߨඨܫ ߢ

5. Slingers

Bij slingers kan de veercomponent in verband gebracht worden met de zwaartekracht i.p.v. met een fysieke component zoals een veer of touw.

71

5.1. De eenparige slingerbeweging

We nemen een bal met massa ݉ en hangen die op aan een massaloos touw met lengte ܮ. We geven de bal een kleine uitwijking ߠ t.o.v. de neutrale positie en laten dan los. Een eenparige slingerbeweging ontstaat.

Op de bal spelen volgende krachten in: x De trekkracht ܶሬԦ van het touw x De zwaartekracht ܨԦ௚

We kunnen de zwaartekracht ontbinden in:

x Een component volgens de y-richting: ܨ௚…‘• ߠ: heft ܶሬԦ op

x Een component volgens de x-richting: െܨ௚•‹ ߠ: kracht die zorgt voor beweging

We weten uit het verleden (mechanica) dat de hoekversnelling gegeven wordt door: ߙ ൌ݀ଶߠ

݀ݐଶ ֜ ܽሬሬሬԦ ൌ ݈ ή௧

݀ଶ_ߠ

݀ݐଶ

We kunnen dan de wet van Newton toepassen:

ܨ ൌ ݉ ή ܽሬሬሬԦ ֞ ܨ ൌ ݈݉_௧ ݀ଶߠ ݀ݐଶ

Dit moet gelijk zijn aan de resulterende kracht op de bal: െܨ௚•‹ ߠ ൌ െ݉݃ •‹ ߠ:

െ݉݃ •‹ ߠ ൌ ݈݉݀ଶߠ ݀ݐଶ

Deze differentiaalvergelijking kunnen we herschrijven naar standaard vorm: െ݃ •‹ ߠ ൌ ݈݀ ଶ_ߠ ݀ݐଶ ֞ ݈ ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ ൅ ݃ •‹ ߠ ൌ Ͳ ֞ ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ൅ ݃ ݈ •‹ ߠ ൌ Ͳ

Voor zeer kleine hoeken ߠ (in rad) geldt dat •‹ ߠ ൎ ߠ (vb. ߠ ൌ ͷι ൌ ͲǡͲͺ͹͵ݎܽ݀; •‹ ͷι ൌ ͲǡͲͺ͹ʹ) We krijgen dan: ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ൅ ݃ ݈ ߠ ൌ Ͳ y x

72 Of naar analogie met een lineaire veer:

݀ଶ_ߠ

݀ݐଶ ൅ ߱ଶߠ ൌ Ͳ

Waarin

߱ ൌ ට݃ ݈

We hebben nu een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten die we gaan oplossen via de methode van de karakteristieke vergelijking:

x Karakteristieke vergelijking:

ߣଶ_{൅ ߱}ଶ _{ൌ Ͳ ֞ ߣ}ଶ_{ൌ െ߱}ଶ_{֞ ߣ ൌ ඥെ߱}ଶ_{֞ ߣ ൌ ඥ߱}ଶ_ࣻଶ_{֞ ߣ ൌ േ߱݅}

x Homogene vergelijking:

ߠ_ுൌ ܣ …‘• ߱ݐ ൅ ܤ •‹ ߱ݐ

Met ܣǡ ܤ א Թ te bepalen via randvoorwaarden x Particuliere vergelijking: (geen want ܳሺݐሻ ൌ Ͳ)

We bekomen dus als algemene oplossing:

ߠሺݐሻ ൌ ܣ …‘• ߱ݐ ൅ ܤ •‹ ߱ݐ

5.2. De fysische slinger

We nemen nu een willekeurige slinger en hangen hem op. De fysische slinger heeft een massa ݉ en de afstand tussen zijn zwaartepunt en het ophangpunt is ݄. We geven de slinger weer een kleine uitwijking ߠ, waardoor een trillende beweging ontstaat.

De krachten die inwerken op het zwaartepunt van de slinger zijn: x De trekkracht ܶሬԦ

x De zwaartekracht ܨԦ௚, ontbindbaar in:

o Component volgens y-as: ܨ௚…‘• ߠ die ܶሬԦ compenseert

73 Als we de wet van Newton voor draaimomenten toepassen dan krijgen we dat het moment ܯ:

ܯሬሬԦ ൌ െܫߙ

Met ܫ het traagheidsmoment langs de rotatie-as en ߙ de hoekversnelling. ߙ ൌ݀ଶߠ

݀ݐଶ

Het moment wordt dus:

ܯሬሬԦ ൌ െܫ݀ଶߠ ݀ݐଶ

Dit moet gelijk zijn aan het moment dat door de rotatie-as loopt: ܯ ൌ หݎԦ ൈ ܨԦ௚ห ൌ ݄݉݃ •‹ ߠ

Stellen we beiden gelijk dan krijgen we: െܫ݀ଶߠ ݀ݐଶ ൌ ݄݉݃ •‹ ߠ ֞ ݄݉݃ •‹ ߠ ൅ ܫ ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ ൌ Ͳ ֞ ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ ൅ ݄݉݃ ܫ •‹ ߠ ൌ Ͳ

Voor kleine hoeken ߠ geldt dat •‹ ߠ ൎ ߠ. We krijgen dan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten: ݀ଶ_ߠ ݀ݐଶ ൅ ߱ଶߠ ൌ Ͳ Met ߱ ൌ ඨ݄݉݃ ܫ

6. De elektrische LC kring

Zelfinductie van de spoel (wet van Lenz): ܷ௅ൌ െܮ_ௗ௧ௗ௜

74 Invullen in de wet van Lenz geeft dan:

ܷ_௅ ൌ ܮ݀ଶݍ ݀ݐଶ

Toepassing van de wet van Kirchoff geeft: ܷ_௅൅ ܷ_஼ ൌ Ͳ ֞ ܮ݀ ଶ_ݍ ݀ݐଶ൅ ݍ ܥൌ Ͳ ֞ ݀ଶ_ݍ ݀ݐଶ൅ ͳ ܮܥݍ ൌ Ͳ Dit geeft volgende differentiaalvergelijking:

݀ଶ_ݍ

݀ݐଶ ൅ ߱ଶݍ ൌ Ͳ

Met

߱ ൌ ͳ ξܮܥ

7. Eenparige harmonische beweging en een parige cirkelbeweging

Een eenparige harmonische beweging is de projectie van een eenparige cirkelvormige beweging op de diameter van de cirkel waarin de cirkelvormige beweging plaats vindt.

P’ is een deeltje dat een eenparige cirkelvormige beweging uitoefent tegen hoeksnelheid ߱. De straal van de cirkelbaan is ܺ௠ en op

tijdstip ݐ maakt de plaatsvector van P’ een hoek van ߱ݐ ൅ ߶ met de x-as.

We projecteren nu P’ en haar plaatsvector op de x-as (diameter van de cirkel). De plaatsvector geeft ons de positie ݔሺݐሻ van het punt P. Toepassing van goniometrie leert ons dat:

…‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ ൌݔሺݐሻ

ܺ_௠ ֞ ݔሺݐሻ ൌ ܺ௠…‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ De projectie van P’, P maakt dus inderdaad een eenparige harmonische beweging. Hetzelfde kunnen we doen voor de snelheid en de versnelling:

de snelheid van P’ is ȁݒԦȁ ൌ ߱ܺ௠

projectie naar de x-as geeft:

ݒሺݐሻ ൌ െሺ߱ܺ௠ሻ •‹ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ

(hoek met x-as is ߱ݐ ൅ ߶ ൅గ_ଶ dus sin ipv cos. Snelheidsvector in negatieve zin).

75 de versnelling van P’ is ȁܽԦȁ ൌ ߱ଶܺ௠

projectie naar de x-as geeft: ܽሺݐሻ ൌ െሺ߱ଶ_ܺ

௠ሻ …‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ

8. Gedempte trillingen (trillingen met wrijving)

VOORBEELD 1

We nemen een blok met massa ݉ en hangen het aan een veer met veerconstante ݇. Aan het blok zelf hangen we een gewichtloze pendel die in een vloeistof zweeft. (we maken abstractie van de zwaartekracht) Op het blok werkt de veerkracht in:

ܨ_௩ൌ െ݇ݔ

De vloeistof zorgt voor een extra wrijvingskracht op het systeem: ܨ_௪ ൌ െܾݒ

Deze kracht werkt de beweging tegen (vandaar het minteken), is afhankelijk van de eigenschappen van de vloeistof (uitgedrukt in weerstandscoëfficiënt ܾ) en is gerelateerd aan de snelheid ݒ.

De wet van Newton zegt dat:

෍ ܨ_௜ ൌ ݉ ή ܽ

֞ ܨ_௩൅ ܨ_௪ ൌ ݉ ή ܽ ֞ െ݇ݔ െ ܾݒ ൌ ݉ ή ܽ

Hierin kunnen we de snelheid en versnelling vervangen door hun definities zodat we kunnen komen tot een lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten:

െ݇ݔ െ ܾ݀ݔ ݀ݐ ൌ ݉ ݀ଶ_ݔ ݀ݐଶ ֞ ݉ ݀ଶ_ݔ ݀ݐଶ൅ ܾ ݀ݔ ݀ݐ൅ ݇ݔ ൌ Ͳ

Deze differentiaalvergelijking lossen we op via de methode van de karakteristieke vergelijking: Ö Karakteristieke vergelijking: ݉ߣଶ_{൅ ܾߣ ൅ ݇ ൌ Ͳ} ξܦ ൌ ඥܾଶ_{െ Ͷ݉݇} ߣ ൌെܾ േ ξܾଶെ Ͷ݉݇ ʹ݉ ൌ െ ܾ ʹ݉േ ඨ ܾଶ Ͷ݉ଶെ Ͷ݉݇ Ͷ݉ଶ ൌ െ ܾ ʹ݉േ ඨ൬ ܾ ʹ݉൰ ଶ െ ݇ ݉

76 Voor een kleine wrijvingscoëfficiënt geldt dat:

൬ ܾ ʹ݉൰ ଶ ൏ ݇ ݉֜ ൬ ܾ ʹ݉൰ ଶ െ ݇ ݉൏ Ͳ We stellen: ߱ଶ_ൌ ݇ ݉െ ൬ ܾ ʹ݉൰ ଶ We krijgen dan: ߣ ൌ െ ܾ ʹ݉േ ඥെ߱ଶൌ െ ܾ ʹ݉േ ඥ߱ଶࣻଶ ֞ ߣ ൌ െ ܾ ʹ݉േ ߱ࣻ Ö Homogene vergelijking: ݔ_ு ൌ ܣ݁ି ௕ଶ௠௧_{‘• ߱ݐ ൅ ܤ݁}ି ௕ଶ௠௧_{•‹ ߱ݐ}

Met ܣǡ ܤ א Թ te bepalen via randvoorwaarden Ö Particuliere vergelijking: (geen)

We bekomen als algemene oplossing:

ݔሺݐሻ ൌ ܣ݁ି ௕ଶ௠௧_{‘• ߱ݐ ൅ ܤ݁}ି ௕ଶ௠௧_{•‹ ߱ݐ}

Wat leidt tot de eindoplossing:

ݔሺݐሻ ൌ ܺ_௠݁ି ௕ଶ௠௧_{‘•ሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ}

77

VOORBEELD 2

We voegen aan de eerdere LC kring een weerstand toe:

We passen de wet van Kirchoff toe:

x Zelfinductie van de spoel: ܷ௅ൌ ܮௗ௜_ௗ௧

x Weerstand: (wet van Ohm): ܷோൌ ܴ ή ݅

x Condensator: ܷ஼ ൌ௤_஼

ܮ݀݅

݀ݐ൅ ܴ݅ ൅ ݍ ܥൌ Ͳ Hierin vervangen we de stroom door haar definitie: ݅ ൌௗ௤_ௗ௧

ܮ݀ ଶ_ݍ ݀ݐଶ൅ ܴ ݀ݍ ݀ݐ൅ ݍ ܥൌ Ͳ

9. Gedwongen trillingen en resonantie

Wanneer iemand op een schommel schommelt dan maakt hij een vrije trillende beweging. Als iemand de schommel duwt dan spreken we van een gedwongen trilling. Een externe bron beïnvloedt de beweging.

Bij een gedwongen trilling zijn er twee hoekfrequenties:

x natuurlijke hoekfrequentie ߱ (hoekfrequentie die zou gelden bij een vrije trilling) x uitwendige hoekfrequentie ߱ௗ

Voor een gedwongen trilling geldt:

ݔሺݐሻ ൌ ܺ_௠…‘•ሺ߱_ௗݐ ൅ ߶ሻ

De snelheid van de trillingen (en bij benadering ook de uitwijking ܺ௠) is maximaal als:

߱ ൌ ߱_ௗ

Dit verschijnsel noemt men resonantie: de externe bron laat het systeem trillen aan haar eigenfrequentie.

78

Golven

1. Types golven

Er zijn drie types van golven:

1) Mechanische golven (water, geluid, seismografisch, …) x Gedragen zich volgens de wetten van Newton

x Hebben een medium nodig om zich voort te planten (water, lucht, gesteente) 2) Elektromagnetische golven (licht, radio- en tv-golven, microgolven, radargolven, x-stralen,…)

x Hebben geen medium nodig (vacuüm)

x Planten zich voort aan de lichtsnelheid ܿ ൌ ͵ ή ͳͲ଼_݉Ȁݏ

3) Materiegolven (kwantummechanisch: elektronen, protonen, …)

2. Transversale en longitudinale golven

Transversale golven

Uitwijking loodrecht op bewegingsrichting.

Stel je beweegt het uiteinde van een gespannen touw op en neer. Het eerste stukje touw trekt het volgende naar boven en daarna weer naar beneden en zo verder. Het gevolg is een golfbeweging die zich voortplant langs het touw.

Longitudinale golven

Uitwijking langs de bewegingsrichting.

Stel je beweegt een zuiger in en uit een koker. Hierdoor verplaatst er zich

lucht doorheen de koker ten gevolge van een drukverandering en ontstaat er geluid.

79

3. Golflengte en frequentie

De uitwijking van een golf op een bepaald tijdstip ݐ en op positie ݔ wordt gegeven door: ݕሺݔǡ ݐሻ ൌ ݕ௠•‹ሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ

3.1. Amplitude en fase

ݕ_௠ is de amplitude:

Maximale uitwijking t.o.v. evenwichtstoestand v/e deeltje wanneer de golf daar passeert ሺ݇ݔ െ ߱ݐሻ is de fase:

Lineaire functie van de tijd: beschrijft de trilling van een deeltje ten gevolge van het passeren van de golf doorheen de tijd.

3.2. Golflengte en golfgetal

golflente ߣ = afstand tussen twee gelijke vormen van de golf Aan uiteinde golflente is uitwijking ݕ is gelijk: op ݔ ൌ ݔଵ en ݔ ൌ ݔଵ൅ ߣ

Beschouw een vaste tijd ݐ ൌ Ͳ:

ݕሺݔ_ଵǡ Ͳሻ ൌ ݕ_௠•‹ሺ݇ݔ_ଵሻ ൌ ݕ௠•‹൫݇ሺݔଵ൅ ߣሻ൯

֞ ݇ݔ_ଵൌ ݇ሺݔ_ଵ൅ ߣሻ െ ʹߨ ֞ ݇ݔ_ଵെ ݇ݔ_ଵ൅ ݇ߣ ൌ ʹߨ ֞ ݇ ൌʹߨ ߣ ݇ is het golfgetal

3.3. Periode, hoekfrequentie en frequentie

Beschouw een vaste positie ݔ ൌ Ͳ:

ݕሺͲǡ ݐሻ ൌ ݕ௠•‹ሺെ߱ݐሻ ൌ െݕ௠•‹ሺ߱ݐሻ

Elk deeltje ݔ waar de golf passeert beschrijft een eenparige harmonische beweging (trilling).

Periode ܶ = tijd waarin een deeltje een volledige trilling uitvoert De uiteinden van dit tijdsinterval hebben een gelijke uitwijking ݕ

ݕሺͲǡ ݐሻ ൌ െݕ_௠•‹ ߱ݐ ൌ െݕ_௠•‹ ߱ሺݐ ൅ ܶሻ

֞ ߱ݐ ൌ ߱ሺݐ ൅ ܶሻ െ ʹߨ ֞ ߱ݐ െ ߱ݐ ൅ ߱ܶ ൌ ʹߨ ֞ ߱ ൌʹɎ  ߱ is de hoekfrequentie / hoeksnelheid, uitgedrukt in rad/s