Elliptisch gepolariseerd licht

Elliptisch gepolariseerd licht

Citation for published version (APA):

Bergmans, J. (1960). Elliptisch gepolariseerd licht. (DCT rapporten; Vol. 1960.013). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1960

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

I. De bijzondere gevallen.

Wanneer l i n e a i r gepolariseerd l i c h t een dubbelbrekend niedium

paeseert, zodanig d a t het vlak van l i n e a i r e p o l a r i s a t i e een

w i l l e k e u r i g e hoek, d

,

dubbele breking en de onderlinge r e t a r d a t i e in deze hoofdvlak-

k e n een w i l l e k e u r i g e hoek, f o (

r

f n.5) bedraa$t, o n t s t a a t een l i c k b o o r t , d i e i n de liberatuw e l l i p t i s c h gepolariseerd wordt genoemd,

We kunnen h i e r i n twee bijzondere g e v a l l e n onderscheiden namelijk d f f ) m a a k t met de hoofdvlamen van

a) hoek c( E

b) hoek )' E

$

.

-

en

I e l a Geval a: o( 5 -fa

We kiezen VOOT de tekening h e t vlak, waarin het l i n e a i r gepo-

- 2 -

TI

1,2. Geval b: )'I

2'

WeMezen nu de hoofdvlakken van dubbele breking vertikaal en horizontaal.

Q cos w t

a

cosa. c o s w ~ i

hoofd

ulak

van

dubbele b.re(ri-9

met z e t a t d a t i e h o e k =

2

1

1 -

a ~ i q q ~ . ~ ~ ~

=

( ~ ~ - f )

=

a s c 1 7 0 c . S i J i

@r.

We vinden dus voor het e l l i p t i s c h gepolariseerde lichBr i n het vertikale vlak t a eos o( .cos(wt)

i n het horizontale vlag. a s i n o( .sin( w

t).

I e 3 . ûaiechrijvina vaa het wezen van het elliptiscái gegolariseerde l i c h t . Tussen het e l l i p t i s c h gepolariseerde l i c h t , B a t i n dexe beide

bijzondere g e v a l l e n ontstaat, bestaat geen w e ~ e n l i j k versohil. A l s ue O ( =

.5

J s t e l l e n , kunnen w e voor beide d e volgende om- s c h r i j v i n g gevenr

geprojecteerd i n de r i c h t i n g van de v o o r t p l a n t i n g van

l i c h t omschrijft het eindpunt van de resulterende v e c

e l l i p s * waarvan de ass om op ieder moment de

vector, denken w e ons een e e n h e i d s v e o t o ~ , d i e met een constante ìïoe'ksneiQeiU cj roteeztn de r e a a l t e r r n d e r e a t a r S;r

ièdere t i j d

t

t e vinden door d e componenten van d

veetor i n de r i c h t i n g van de assen van de eiUps t e vemenig- vuldigen met resp. a s i n

01

(a s l n

₈

f l

en a co8 @ ( a ces

3 ~ ' ) *

Door d i t i a weeen g e l i j k z i j n en door de omkeerBa

aet

iichi; kunnen w e eilkp.piis&i gëpolariseerd i%&&., &at ent-

s t a a n i s volgens methode 5 weer volgens methode

3

terggfome-

i c h verhouden als tg o(

=

t

d t e kennen van dese resulterende

1.4. Snarmont

.

erd l i c h t . Daardoor 5 i 3 n we in staaá

n

LI

₂ bevatten, t e metea door de s t a n d van de Analysator, D i t h e e t de compenélatfe methode

van SBnasmont. De hoek o( wordt dan gemeten, waardoor w e de hoek f kennen.

1.5. Voor 2-dimensionale metingen is de kennis van de bilzondere

gevallen toereikena.

Bij het twee-dimensionale photo-spanningsonderzoek wordt voor de metingen altijd slechts gebruik gemaakt van ellip- tisch gepolariseerd liaht afkcnistig van 88n van deze bijzen- dere gevallen. Toah is het onbevredigend geen goed inzichC te hebben in het elliptisch gepolariseerde liaht afkomst$& van het algemene geval.

2 , Bet algemene geval.

Als eerste vraag zoa&en we daaPbPj willen steiìeni

is er bij deze lichtsocrt naast de door het eindpunt van de resul- terende vector omschreven ellips ook de eenheidevector aan te wij%en, die met een constante hoeksnelheid

w

roteert, en die ons

voor iedere tijd, t, door vermenigvuldiging in de richting van de assen van de ellips, de jUiste stand vein de resulterende Tecta- am-

geeft 7

In het algemene geval hebben we een hoek o( f

$

en een retardatie- hoek

i

f n.?

2.1. Be Eonionretrierhe behandeling,

-

TT

/

Y

Een willekeurig gekozen assenkruis, dat een hoek 'p aaakt met de hoofdvbkken van dubbele breking, levert de volgeade

formules voor de beide ontb enen in

X-

en Y-richting:

y E a co8 a.cos <p.cos(wtt)

+

a sincr.sin<p,oos(wt-,y)

x = a sin W.cos ~ ~ c e s í w i

-XI

-

a cos ci.sin <p.ces( w t )

( 2

>

- 4 -

Wanneer de formules ( 1 ) voor g en x omgewerkt kunnen

worden t o t :

y

=

Q s i n í w t + y )

x = p coa(wt + Y ) en

zouden we de hierboven g e s t e l d e "eerste vraag" bevestigend hebben beantwoord.

Om d i t C e onderzoeken werken w e de formules ( 1 ) verder Uit.

p a ( cos d .a- .'9 +s%n 4 .sin Cp.cos $')cos(

w t

1

+a

e f i

a .sin <P.sin f .sin(ot )

x=a(sinOTrcos~Plcoe~r-eoso(,sin'f)cos(wt)+a sina.aos<P.sbj.ra

We s t e l l e n nu:

a í c o s M .COS <p.

+

sin u ,sin <p .cos

voor y B r i j g e n we dema

JP = q . s i n v . c o s ( w t 9 4 Q ~ C O S

* . s i n ( w t )

-E q . s i n ( w t + Y ) -

1

5 q.sia Y

= q c o s 9 a.sin o( .sin Q .sin

i

Ook s t e l l e n we:

a ( s i n d.cos 'p.cos [

-

co8 a.sin y ) = p.006 v

-bi,ein u .COS 'p .sin

d'

en krijgen VOOY x:

x = P.COS ~ . c o s ( w t ) - p , s i n v . s i n u t = p.ces(wt+ y)

i

p- p.siKJ v

( 3 )

Het gaat er dus om n a t e gaan of er een bepaalde m a r d e van ? t e

kieeen is, w a a r b i j voor qs p en V re8le waarden ontstaan.

Zowel u i t de e e r s t e t w e e g e L i J k s t e l l i n g e n ( 2 ) a b ~ 2 % de tweede

twee ( 3 ) kunnen we t g V' halen. Deze beide waarden van %g Y moeten dus abia elkaar g e l i j k z i j n :

cos cos

Y'

+ s t n a .sin <p *cos ,y sin d .CQS 9 .sin y

s i n o( .sin 'P .sin COS O r & b MeGOS Y'eOOS

l

tg Y =

Deze v e r g e l i j k i n g bevat m ~ a r 8&n onbekende, namelijk 'p

.

We werken heia om tot:

2 2 R i t 3 4 e S h 2 V .Sin (PaSS=

y

= C I S CX , E b Cp,SCS 'p

-

2 2 b -s

-

s i n o( .COB ci .EOS 'f .COS f

+

-

s i n ci *CQS

r

.sia ~ . C Q S 'p o

*

sia a .COS o( .sin

y

*co8 J

-

2

2

sfwel:

s i n 2 d .sin <P.cos 'P = cos 2 M .sin Y e c o s <p

-

2

2

+(sin 4

-

cos ci ) sin 2 Y ' =

-

9

s i n 2 M .CQS r.ces 2 'p

aos 2 a . s i n 2

Y'=

s i n

2

o(.cos 2 <P.cos J e

-

s i n o( .cos a.cos f .(cos

Y

-

s i n 'p

>

ear

en: en:

Eet b l i j k t dus d a t het a l t i j d mogelijk is een hoek 'p t e kiezen zodanig d a t de formules voor de coSrdinaten worden omgevormd tot:

y = q s i n í w t

+

?)

X = p C Q r t t w t i W ) .

Er b l i j k t dus ook een eenheidsvector t e zijn, die met

constante hoeksnelheid roteert, die na voor iedere t i j d , t, door vermenigvuldiging i n de richting van de assen van de

e l l i p s , de j u i s t e s t a n d van de resulterende vector aangeeft.

I n wezen komt dus het e l l i p t i s c h gepolariseerde l i c h t van

het algemene geval overeen met d a t van de beide bijzondere

gevallen.

Men kan u i t de beide s t e l l e n gelijkstellingen ( 2 ) en ( 3 ) na-

t u u r l i j k de waarde van q en p uitrekenen.

q=a1/(oos u .cos ?+sin .sin <P.cos 12+ sui o( * s i n <p .sin

y

'

g=a

d i t is om t e vormen i n :

q-a V o o s ( a - y ) - a s & n u o c . c o s 2 y . ( i - c o B l )

sin ( o ( -

y )

+

*

sin 2oc.00s 2

y.c1

-

C O S J ) I

2

2

2

2 2 2

2 '

( s i n d =cos ( P - ~ o E I J -eoe d .sin

Y )

+

s i n o( *COS 'P *sin

i

2

2 p-

Eet behulp van formule

(4)

zou men ùoek 'p i n deae formules

moeten kunnen elimineren. I k heb daartoe geen kans gezien. Het resultaat l i j k t me erg ingewildreld en daardoor niet meer

De ordinaat van het efndppaat van de vector v a h e t e l l i p t i s c h gepolariseerde l i c h t vinden we door de vector a o08 d , d & e

een hoek

ut

maakt met de v e r t i k a l e as,op die as t e projecteren.

d a t eindpunt vinden we door de vector a 8Pn o(

-

maakt met de veator a C O B

a,

op de horizontale

bYe moeten nu de kromme onderzoeken, die dit eindpunt

E

beschrijft.

Hiervoor tekenen we de beide vectoren a c o s d en a sin& nog eens opnieuw en beschrijven een tirkel met de verbin- dingslijn van de beide eindpunten van deze veetoren als middellijn.

/

Alle punten van deze cirkelomtrek worden bij het wentelen van de getekende Eiguur op hun beurt beeldpunt van bet eindpunt van de vector van het elliptisch gepolariseerde lichtr Qe lengte van de halve assen van de ellips lezen we dlrect pit de figuur af door de verbindingslijn GT van Q met het middelpunt M vaa de cirkel te trekkea,

Om O kunnen we dus ook twee cirkels trekken, die ongesehresen en

Om de stand van de assen de ellips te vi

ingeschreven cirkel van de ellips zijn.

naar de stand van

sch gepolariseer

t eindpunt

T

van OH be

lijn ST vertikaal staat, dat de figuur is

de hoek EST =

d.

Deze

loopt dus evenwijdig aa grote en de l%J as van

a-

elllgs &%e doar de eindganteo van elfiptisch gepolariseerde licht wordt beachrevea.

&e zien dus: de klassieke manier van het tekenen van een

ellbps op de twee assenisnebeve Se omgemhreven en ingeschreven cirk Ook bij deze neetkundige behandeling van het probleem 5.8 aak-

kelijk in te zien, dat er weer een eenheidsvector te denkean ia, die met constante hoeksnelheid GJ roteert en waarvan men Be

ontbondenen in de richting van de assen van de ellips maar be- hoeft te veraenigmldigea net. de raarde van de halve BL~SSPI oia

voor iedere tijd % de vector van het elliptisch ge

licht te verkrijgen. Deze eenheidsveotor ligt name

lijn ORa

2 .3 . E l l i p t i s c h gepolariseerd l i c h t passeert weer opnieuw een

dubbelbrekend medium.

Nu w e gesien hebben, dat het e l l i p t i s c h gepolariseerde l i c h t , dat i n het algenene geval ontstaat, i n weeen niet

dat van de beide bijeondere gevallen, stel-

,

of er nog i e t s wezenlijks anders nam vo-

e e l l i p t i s c h gepolariseerd l i c h t een dubbel- laten passeren, waarvan de hoofdvlakken v a n

r een willekeurige hoek staan Eiat de

assen van

AA1 an B3' e i j n de assez van de a l l i p a , &%e dear Bet eina- punt E van het e l l i g t i m h gepolariseerde l i c h t wordt bed

an de ongeschreven en chreven c i r k e l van de

(E

Pe

getekend op de &eke ts€u&rF set g*bm*-

sieke tekenmethode kunnen we c al5 volgt omohrij-

ven: het eindpunt E wordt gevonden, doo

t

de vertikale projectie (op A A t ) van veotor ûT wordt gekombineerd net de

horizontale projectie (op BB') van de vector OU. We ktinnen

dit 2 genererende veotwes anemeni de &BO gseft de ~ e s % i k a h *

de andere de horizontale projectie van El Omdat het assenkruis samenvalt met de assen van de e l l i p s , vallen Be beide veetoren

l a n g s elkaar.

Wanneer we na een over een hoek gedraaid aesenkruis XP Inbenen, dan Irusnen =e ook ooor d i t aase&rw&s e90 s t e l "ge:eee- rerende vectoren" vinden, OR en OS, eodanig Qat de projectie

van OR op de Y-as de y-waarde en de projectle van Os Q5& de

X-as de x-waarde van E geeft.

Beide vectoren hebben eea constante onderlinge hoek en reteren set hoeksnelheid u ) e

- a -

Bet f e i t dat w e nu v o o r iedere ontbondene, resp. i n de

Y-

en i n de X-richting, een aparte genererende vector ken-

nen, maakt het ons gemakkelijk het effect van de vertra-

g i n g s h o e k , r . i n de X-as i n rekening te brengen. Veetor OS wordt daardoor namelijk over een hoek

1(

gedraaid t o t de

s t a n d OS 9 e

Na het passeren van het dubbel-brekende medium hebben we das

voor h e t assenkruis X-Y de genererende veetoren: OR en O S ' . Op d e z e l f d e methode als aangegeven onder 2.2. kunnen we u i t deze v e c t o r e n de g r o o t t e en de stand van de assen van h e t nu ontstane e l l i p t i s c h gepolariseerde l i c h t construeren.

I n d e f i g u u r s i j n we daaraan a l begonnen door de c i r k e l set

B en S' als m i d d e l l i j n reeds t e tekenen. We a à j n e c h t e r n i e t v e r d e r gegaan, omdat anders de f i g u u r n i e t meer o v e r s i o h t e l i j k

2011 s i j n .

We behoeven ook n i e t verder te gaan, want i n 2.2, hebben we

aangetoond, d a t l i c h t , d a t vastgelegd wordt door twee van der- g e l i j k e genereren& vectoren, e3LS;ptiscB g e p o l a r i s e e r d B.ebt

is s e t een e e n h e i d s r i c h t v e c t o r , d i e een constante omwentelings- sileìheid besit.