Het tellen van non-equivalente kleuringen van de
n-dimensionale hyperkubus
Vincent Schmeits
14 juli 2017
Bachelorscriptie Begeleiding: dr. J. H. BrandtsKorteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
De n-dimensionale kubus heeft 2nn! symmetrie¨en die elk, voor iedere 0 ≤ k ≤ n een permutatie induceren van de k-facetten (k = 0 voor de hoekpunten, k = 1 voor de ribben, etc.). Deze k-facetten kunnen gekleurd worden. Wanneer een verzameling van kleuringen gesloten is onder de werking van de symmetrie¨en van de kubus, kan het Lemma van Burnside gebruikt worden om het aantal banen (en dus het aantal verschillende non-equivalente kleuringen) te berekenen door het gemiddelde te nemen over het aantal invariante kleuringen per symmetrie. Het aantal invariante kleuringen van een symmetrie kan bepaald worden aan de hand van het cykeltype van de ge¨ınduceerde permutatie van de k-facetten. Omdat het aantal symmetrie¨en snel toeneemt als n groter wordt, is het niet realistisch om voor iedere symmetrie het cykeltype te bepalen als we het aantal banen daadwerkelijk willen kunnen berekenen. Twee symmetrie¨en uit dezelfde conjugatieklasse blijken echter hetzelfde cykeltype te induceren, hetgeen betekent dat we in iedere conjugatieklasse slechts van ´e´en symmetrie het cykeltype hoeven te bepalen om ze allemaal te kunnen vinden. Door de conjugatieklassen te identificeren met het zogeheten signed cycle type is het mogelijk om een Matlab-programma te schrijven voor het bepalen van het aantal banen, dat gebruik maakt van dit gegeven over de conjugatieklassen.
Titel: Het tellen van non-equivalente kleuringen van de n-dimensionale hyperkubus Auteur: Vincent Schmeits, vinschm@gmail.com, student nr.: 10816674
Begeleiding: dr. J. H. Brandts Tweede beoordelaar: dr. C. C. Stolk Einddatum: 14 juli 2017
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1. Inleiding 4
2. Het tellen van non-equivalente kleuringen 6
2.1. Het kleuren van verzamelingen . . . 6
2.2. Symmetrie¨en en P´olya’s teltheorie . . . 8
2.3. Het kleuren met specifieke aantallen . . . 10
3. De n-kubus en zijn symmetrie¨en 13 3.1. Symmetrie¨en in Rn . . . 13
3.2. De n-kubus . . . 14
3.3. De hyperoctahedrale groep . . . 15
3.4. k-facetten . . . 17
4. Conjugatieklassen van de hyperoctahedrale groep 20 4.1. Cykeltypes van geconjugeerde elementen . . . 20
4.2. De groep Wn . . . 21
4.3. Conjugatieklassen van Wn . . . 23
5. Het berekenen van non-equivalente kleuringen van In 29 5.1. De facettenmatrix . . . 29
5.2. De typetabel . . . 31
5.3. Implementatie van de P´olya theorie . . . 33
5.4. Opmerkingen . . . 35 6. Conclusie 36 6.1. Terugblik . . . 36 6.2. Vooruitblik . . . 37 7. Populaire samenvatting 39 A. Matlabcode 40 B. Tabellen 45
1. Inleiding
Beschouw de hoekpunten van een 3-dimensionale kubus. Men kan zich het volgende afvragen: kunnen we 4 hoekpunten kiezen zodat iedere ribbe aan hoogstens ´e´en van de gekozen hoekpunten grenst, en ieder zijvlak aan hoogstens twee? Men kan eenvoudig nagaan dat dat op twee manieren kan, zoals te zien in Figuur 1.1.
Figuur 1.1.: De twee mogelijkheden die voldoen aan de voorwaarden.
Een kubus heeft symmetrie¨en: spiegelingen en rotaties die de kubus in zichzelf over-voeren. Een symmetrie van de kubus induceert een permutatie van de hoekpunten. Wanneer we de kubus in Figuur 1.1 een kwartslag draaien, wordt de deelverzameling links overgevoerd in de deelverzameling rechts: we noemen twee deelverzamelingen van de hoekpunten equivalent als er een symmetrie is die de een in de ander overvoert. Er is dus slechts ´e´en equivalentieklasse van deelverzamelingen van grootte 4 die voldoen aan onze voorwaarde.
In het algemeen hebben we het bij de n-dimensionale kubus over k-facetten: de hoek-punten zijn de 0-facetten, de ribben en zijvlakken respectievelijk de 1- en 2-facetten. Voor n > 3 zijn de 3-facetten dan bijvoorbeeld een soort ‘zij-kubussen’ (zie Hoofdstuk 3). Ook een n-dimensionale kubus heeft symmetrie¨en. De discussie over equivalentie-klassen van deelverzamelingen voor n = 3, zoals hierboven, kunnen we veralgemeniseren naar het volgende probleem.
Probleem 1.1. Zij n ∈ N. Wat is het aantal verschillende non-equivalente deelverza-melingen A van de hoekpunten van de n-kubus, zodat |A| = n + 1, waarvoor geldt dat ieder k-facet aan hoogstens k elementen uit A grenst (voor alle 0 ≤ k ≤ n − 1)?
Het tellen van equivalentieklassen van deelverzamelingen doet ons denken aan het tellen van kleuringen van objecten modulo symmetrie¨en; men heeft vast wel eens het voorbeeld van een ketting met gekleurde kralen gezien. Een ketting kan worden omge-draaid en kralen kunnen naar de andere kant van de ketting worden gebracht. Daarmee
rekening houdend, hoeveel unieke kettingen met n kralen van m verschillende kleuren zijn er te maken?
Figuur 1.2.: Deze kettingen zijn ‘hetzelfde’.
De Hongaarse wiskundige George P´olya (1887-1985) hield zich bezig met dergelijke telproblemen, met name met betrekking tot chemische verbindingen (zie Kombinatori-sche Anzahlbestimmungen f¨ur Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen [5]). Het tellen van kleuringen van objecten, modulo een groep van permutaties van deze objecten, wordt vaak ‘P´olya-tellen’ genoemd en we zullen het dan ook hebben over ‘de theorie van P´olya’. De basis voor de theorie van P´olya ligt bij het Lemma van Burnside, wat men zich kan herinneren van een vak over groepentheorie. Dit lemma stelt ons in staat om het aantal banen (equivalentieklassen van kleuringen) onder de werking van de permutaties te berekenen, zonder dat we de banen zelf hoeven te identificeren: het aantal banen is gelijk aan het gemiddeld aantal invariante kleuringen per symmetrie. Het nemen van een deelverzameling van de hoekpunten van een kubus kan gezien worden als het kleuren van de hoekpunten met 2 kleuren; punten in de deelverzameling krijgen kleur 1, de rest van de punten krijgt kleur 2. Wellicht kan de theorie van P´olya ons dus helpen bij het zoeken naar een oplossing voor Probleem 1.1.
In dit verslag zijn we daarom ge¨ınteresseerd in het berekenen van het aantal non-equivalente kleuringen van de hoekpunten, ribben, en hogerdimensionale facetten van de n-kubus. Dat wil zeggen, we willen een Matlab-programma kunnen schrijven dat daadwerkelijk het aantal equivalentieklassen van een verzameling kleuringen kan bepalen, gebruik makend van de theorie van P´olya.
We zullen eerst de theorie van P´olya behandelen, gebaseerd op hoofdstuk 14 van het boek Introductory Combinatorics van R. Brualdi [2]. Daarna volgt een beschrijving van de n-dimensionale kubus, en van de bijbehorende symmetrie¨en in het bijzonder. Het is echter niet realistisch om het Matlab-programma alle symmetrie¨en af te laten gaan. Het aantal symmetrie¨en van een n-kubus is namelijk gelijk aan 2nn!; voor de 10-kubus zijn dat er al bijna 4 miljard. Daarom bekijken we in Hoofdstuk 4 de conjugatieklassen van de symmetriegroep van de n-kubus. Het blijkt dat we van iedere conjugatieklasse slechts ´e´en symmetrie hoeven te bekijken om iets te kunnen zeggen over alle symmetrie¨en in dezelfde conjugatieklasse. Dat zal het Matlab-programma een stuk effici¨enter kunnen maken. De methodes die we gebruiken voor de implementatie worden beschreven in Hoofdstuk 5.
2. Het tellen van non-equivalente
kleuringen
In dit hoofdstuk beschrijven we de theorie van P´olya, over het tellen van kleuringen van verzamelingen, modulo een groep van permutaties. De stof die wordt besproken is voor een groot deel gebaseerd op en ge¨ınspireerd door hoofdstuk 14 van het boek Introductory Combinatorics van R. Brualdi [2].
2.1. Het kleuren van verzamelingen
Zij X een willekeurige verzameling en laat m ∈ N. Dan kunnen we de elementen van X verdelen over disjuncte deelverzamelingen A1, . . . , Am zodat Smi=1Ai = X. Een
derge-lijke verdeling correspondeert met het nummeren van de elementen van X van 1 tot en met m om aan te duiden bij welke Ai ieder element hoort:
Definitie 2.1.1. Voor een willekeurige verzameling X noemen we de afbeelding c : X → {1, . . . , m}, die de elementen van X verdeelt over de deelverzamelingen Ai = c−1({i}),
een kleuring of m-kleuring van X.
Merk op dat de afbeelding c de verzameling X niet noodzakelijk partitioneert : in tegenstelling tot bij een partitie mogen de Ai leeg zijn. Een kleuring hoeft dus niet
alle ‘kleuren’ te gebruiken. In voorbeelden zullen we meer dan eens letterlijk kleuren gebruiken om deelverzamelingen aan te duiden.
Voorbeeld 2.1.2. Neem voor X de verzameling van hoekpunten van een vierkant. Een kleuring c : X → {1, 2} kent aan elk hoekpunt ´e´en van twee mogelijke kleuren toe. Dan zijn er dus 24 = 16 dergelijke kleuringen van X mogelijk. In Figuur 2.1 is een viertal 2-kleuringen van X weergegeven, waarbij de verzamelingen A1 en A2 de kleuren rood en
blauw toegewezen krijgen.
Wanneer de elementen van een verzameling X gepermuteerd worden, kan er gekeken worden naar wat er gebeurt met de bijbehorende kleuring.
Definitie 2.1.3. Laat H een permutatiegroep van de verzameling X zijn (dat wil zeggen, H is een ondergroep van S(X), de verzameling van alle permutaties van X). Als c een m-kleuring van X is, dan defini¨eren we voor π ∈ H de kleuring π ∗ c door
(π ∗ c) : X → {1, . . . , m} : x 7→ c(π−1(x)).
Merk op dat de bewerking ∗ ervoor zorgt dat een kleuring van X ‘meebeweegt’ onder permutaties: een punt x krijgt de kleur die het punt π−1(x) heeft v´o´ordat de permutatie wordt uitgevoerd.
Figuur 2.1.: Een verzameling van 2-kleuringen van X.
Opmerking 2.1.4. Als voor alle π ∈ H en alle c ∈ C geldt dat π ∗ c ∈ C, dan is ∗ een groepswerking van H op X (dit gaat men eenvoudig na). We zeggen dan ook wel dat C gesloten is onder H.
Voorbeeld 2.1.5. Zij X = {A, B, C, D} de verzameling van hoekpunten van een vier-kant. Laat
H = {id, (AB)(CD), (AC)(BD), (AD)(BC)}
een verzameling van permutaties van X zijn, waarbij de permutaties zijn weergegeven in de cykelnotatie. De verzameling C = {c1, c2, c3, c4} van een viertal 2-kleuringen van
X, zoals weergegeven in Figuur 2.2, is gesloten onder H.
Figuur 2.2.: Een gesloten verzameling van 2-kleuringen van X onder H.
Definitie 2.1.6. Zij X een verzameling en H een permutatiegroep van X die werkt op C, een verzameling van m-kleuringen van X. We definieren de relatie ∼ op C als volgt: voor c1, c2 ∈ C geldt c1 ∼ c2 indien er een π ∈ H is zodat π ∗ c1 = c2. In dat geval
noemen we c1 en c2 equivalent : men gaat eenvoudig na dat ∼ een equivalentierelatie is.
De kleuringen c1 en c2 zijn non-equivalent wanneer ze niet equivalent zijn.
Definitie 2.1.7. De equivalentieklassen van C (met betrekking tot ∼) zijn de banen van C onder de groepswerking van H. De verzameling vaste punten van een permutatie π ∈ H, gedefinieerd door
is de verzameling van kleuringen die invariant zijn onder π. Het aantal non-equivalente kleuringen in C onder H duiden we aan met N(H, C), en is dus gelijk aan het aantal banen of equivalentieklassen van C.
De voorgaande definities vinden we terug in het Lemma van Burnside. Lemma 2.1.8 is een variant van dit lemma, het bewijs is te vinden in het boek van Brualdi (zie [2], Theorem 14.2.3).
Lemma 2.1.8 (Burnside). Zij X een eindige verzameling en laat de permutatiegroep H werken op een verzameling C van kleuringen van X. Dan geldt:
N(H, C) = 1 |H|
X
π∈H
|Cπ|.
Dit lemma zegt dus dat het aantal banen van C onder H gelijk is aan het gemiddeld aantal vaste punten over de elementen van H.
Voorbeeld 2.1.9. In Voorbeeld 2.1.5 vormen {c1, c2} en {c3, c4} de banen van C, want
(AC)(BD) ∗ c1 = c2 en (AB)(CD) ∗ c3 = c4. Verder geldt:
Cid= {c1, c2, c3, c4},
C(AB)(CD) = {c 1, c2},
C(AC)(BD) = {}, C(AD)(BC) = {c3, c4}.
Tot slot controleren we N(H, C) = 1
4
|Cid| + |C(AB)(CD)| + |C(AC)(BD)| + |C(AD)(BC)| = 1
4(4 + 2 + 0 + 2) = 2,
zoals we al hebben kunnen zien aan het begin van dit voorbeeld. Zie nogmaals Figuur 2.2.
Deze toepassing van Lemma 2.1.8 is nog niet erg indrukwekkend. Het identificeren van de banen wordt echter niet eenvoudiger naarmate de permutatiegroep en verzamelingen van kleuringen groter worden. Door middel van Lemma 2.1.8 kunnen we dan wel het aantal banen (en dus het aantal non-equivalente kleuringen) vinden, zonder dat we ze hoeven te identificeren.
2.2. Symmetrie¨
en en P´
olya’s teltheorie
In de rest van dit verslag hebben we het over kleuren van meetkundige objecten (zoals de n-dimensionale kubus) waarbij we bepaalde symmetrie¨en in acht nemen. De precieze
definitie van een symmetrie laten we nog even in het midden; in Hoofdstuk 3 bespreken we de symmetrie¨en van de n-kubus. Voor nu is het belangrijk dat een symmetrie, dus bijvoorbeeld een rotatie of spiegeling, van een object bepaalde onderdelen van dat object permuteert.
Voorbeeld 2.2.1. De dihedrale groep D4is een groep van symmetrie¨en van het vierkant,
voortgebracht door de rotatie ρ (over 90 graden, met de klok mee), en de spiegeling σ (door de verticale as door het midden), zoals weergegeven in Figuur 2.3. In de tabel staan de permutaties van de hoekpunten die corresponderen met de symmetrie¨en. In de laatste kolom is voor iedere permutatie het aantal cykels weergegeven.
f ∈ D4 π ∈ H #(π) id (A)(B)(C)(D) 4 ρ (ABDC) 1 ρ2 (AD)(BC) 2 ρ3 (ACDB) 1 σ (AB)(CD) 2 ρσ (AD)(B)(C) 3 ρ2σ (AC)(BD) 2 ρ3σ (A)(D)(BC) 3
Figuur 2.3.: De 8 symmetrie¨en in de groep D4.
De volgende opmerking ligt aan de basis van P´olya’s teltheorie.
Opmerking 2.2.2. Als c een kleuring is van een eindige verzameling X, dan is c inva-riant onder de permutatie π van X wanneer iedere cykel in de ontbinding van π all´e´en elementen van dezelfde kleur bevat. Omgekeerd kan c alleen invariant zijn onder π als voor iedere cykel geldt dat de elementen in deze cykel dezelfde kleur hebben. Voor alle x ∈ X geldt dan immers dat π(x) dezelfde kleur moet hebben als x. Het kleuren van de elementen wordt zo gereduceerd tot het kleuren van cykels.
Lemma 2.2.3. Het totaal aantal m-kleuringen van een eindige verzameling X dat in-variant is onder een permutatie π van de elementen van X, is gelijk aan m#(π), waarbij #(π) het aantal cykels van π is.
Bewijs. Dit is een gevolg van Opmerking 2.2.2, iedere cykel van π kan ´e´en van de m verschillende kleuren krijgen, dus er zijn m#(π) invariante kleuringen.
De volgende stelling combineert het voorgaande lemma en Lemma 2.1.8.
Stelling 2.2.4. Zij X een eindige verzameling en H een permutatiegroep werkend op de verzameling C van alle m-kleuringen van X. Duid het aantal cykels van een permutatie π ∈ H aan met #(π). Dan het aantal non-equivalente m-kleuringen gelijk aan
N(H, C) = 1 |H|
X
π∈H
m#(π).
Voorbeeld 2.2.5. Het aantal non-equivalente m-kleuringen van de hoekpunten van het vierkant in Voorbeeld 2.2.1 is gelijk aan
1 8(m
4+ 2m3+ 3m2+ 2m).
2.3. Het kleuren met specifieke aantallen
In de vorige sectie hebben we gezien hoe men het totaal aantal non-equivalente m-kleuringen van een verzameling kan vinden. Maar wat als we iedere kleur een specifiek aantal keer willen gebruiken? Bijvoorbeeld, stel we hebben een verzameling X van n elementen, waarvan we er p rood willen kleuren en q = n − p blauw, hoeveel non-equivalente kleuringen zijn er dan onder deze restrictie?
Definitie 2.3.1. Laat X een verzameling van n elementen zijn, en C de verzameling van alle m-kleuringen van X. Als a1, . . . , am niet-negatieve gehele getallen zijn zodat
n = a1+ . . . + am, dan definieren we de verzameling Ca1,...,am door
Ca1,...,am= {c ∈ C : |c−1({1})| = a1, . . . , |c−1({m})| = am}.
Met andere woorden; Ca1,...,am is de verzameling van m-kleuringen waarvoor geldt: a1
elementen van X krijgen kleur 1, a2 elementen krijgen kleur 2, enzovoorts.
Bij de hierboven genoemde ‘restrictie’ van p elementen rood en de rest blauw, zijn we dus op zoek naar het aantal non-equivalente kleuringen in Cp,q. Net als in de vorige
sectie gaan we Lemma 2.1.8 gebruiken. Door Opmerking 2.2.2 moeten we dan voor iedere permutatie π uit de permutatiegroep bepalen op hoeveel manieren we de cykels kunnen kleuren. Dat is immers gelijk aan het aantal invariante kleuringen. Maar omdat we niet meer de beschikking hebben over alle mogelijke kleuringen, ligt dat aantal wat minder voor de hand, zoals ge¨ıllustreerd in het volgende voorbeeld:
Voorbeeld 2.3.2. Zij X = {1, 2, 3, 4, 5} en laat p = 2, q = 3. Dan bevat Cp,q geen
invariante kleuringen onder de permutatie (1)(2345), door Opmerking 2.2.2.
Van een permutatie hebben we dus meer informatie nodig dan alleen het aantal cykels. Definitie 2.3.3. Zij H een permutatiegroep van een eindige verzameling X van n ele-menten. Het cykeltype van een element π ∈ H is het tupel (e1, . . . , en), waarbij ei
het aantal cykels van lengte i is in de cykelontbinding van π. Het cykeltype zullen we aangeven met type(π).
Voorbeeld 2.3.4. Voor τ = (132)(46)(57) ∈ S7 geldt: type(τ ) = (0, 2, 1, 0, 0, 0, 0).
Het cykeltype van een permutatie π zullen we gebruiken om het aantal invariante kleuringen in Ca1,...,am te bepalen. Om het enigszins overzichtelijk te houden laten we
eerst zien wat er gebeurt in het geval dat m = 2.
Lemma 2.3.5. Laat p + q = n en zij π ∈ H met type(π) = (e1, . . . , en). Definieer voor
M de verzameling van alle t = (t1, . . . , tn) ∈ Zn≥0 die voldoen aan de vergelijkingen
t1≤ e1, t2 ≤ e2, . . . , tn≤ en (2.1)
en
p = t1+ 2t2+ . . . + ntn. (2.2)
Dan is het aantal kleuringen in Cp,q dat invariant is onder π gelijk aan
X t∈M e1 t1 e2 t2 · · ·en tn .
Bewijs. Als c ∈ Cp,q invariant is onder π, dan kleurt c de cykels van π, zoals we konden
zien in Opmerking 2.2.2. Laat ti het aantal cykels van lengte i met kleur 1 zijn, dan
voldoet t = (t1, . . . , tn) aan (2.1) en (2.2). Andersom geldt: als t een oplossing is van
(2.1) en (2.2), dan kan er een invariante kleuring c ∈ Cp,q geconstrueerd worden door
precies ti cykels van lengte i kleur 1 te geven (voor alle i). Het aantal mogelijkheden om
deze cykels te kiezen uit de cykels van π is gelijk aan e1
t1
e2
t2 · · ·
en
tn. Een oplossing t van
(2.1) en (2.2) correspondeert dan met e1
t1
e2
t2 · · ·
en
tn verschillende invariante kleuringen.
Het totaal aantal invariante kleuringen in Cp,q is dan gelijk aan de som van deze termen
over alle mogelijke t ∈ M .
In de volgende stelling zien we wat er gebeurt voor algemene m.
Stelling 2.3.6. Zij π ∈ H met type(π) = (e1, . . . , en). Laat Ca1,...,am de verzameling
van m-kleuringen zijn zoals in Definitie 2.3.1. Definieer voor M de verzameling van alle T = (tij) ∈ Zm×n≥0 waarvoor geldt ej = m X i=1 tij voor alle 1 ≤ j ≤ n (2.3)
en ai = n X j=1 j · tij voor alle 1 ≤ i ≤ m. (2.4)
Dan is het aantal kleuringen in Ca1,...,am dat invariant is onder π gelijk aan
Cπ a1,...,am = X T ∈M n Y j=1 ej t1,j, t2,j, . . . , tm,j . (2.5)
Bewijs. Het principe is hetzelfde als in Lemma 2.3.5: als c invariant is onder π, en tij
is het aantal cykels van lengte j met kleur i, dan voldoet T = (tij) aan (2.3) en (2.4).
Andersom kunnen we voor een oplossing T = (tij) van (2.3) en (2.4) weer een invariante
kleuring construeren door de cykels van π te kleuren. Het aantal manieren om de cykels van ej te verdelen over t1,j, t2,j, . . . , tm,j is gelijk aan de multinomiaalco¨effici¨ent
ej t1,j, t2,j, . . . , tm,j = ej! t1,j!t2,j! · · · tm,j! . Voor een oplossing T = (tij) van (2.3) en (2.4) zijn er dan
n Y j=1 ej t1,j, t2,j, . . . , tm,j
verschillende invariante kleuringen. Het aantal invariante kleuringen in Ca1,...,am dan
gelijk aan de som van deze termen over alle mogelijke T ∈ M .
Het aantal non-equivalente kleuringen in Ca1,...,am kan vervolgens weer bepaald worden
met Lemma 2.1.8.
In het volgende hoofdstuk zullen we de n-dimensionale kubus beschrijven, zodat we de P´olya-theorie kunnen gaan gebruiken voor het kleuren van de k-facetten.
3. De n-kubus en zijn symmetrie¨
en
Symmetrie¨en van de 3-dimensionale kubus spreken enigszins tot de verbeelding; men kan een kubus draaien en hem door bepaalde vlakken spiegelen om hem zo op zich-zelf af te beelden. Voor hoger-dimensionale kubussen verdwijnt deze intu¨ıtie. In dit hoofdstuk beschrijven we de algemene definitie van een symmetrie (onze definitie zal enigszins afwijken van de gebruikelijke definitie). Vervolgens identificeren we de groep van symmetrie¨en van de n-dimensionale kubus, en zullen we de k-facetten defini¨eren.
3.1. Symmetrie¨
en in R
nOm te beginnnen hebben symmetrie¨en te maken met orthogonale transformaties. Her-inner je de definitie:
Definitie 3.1.1. Een orthogonale transformatie van de Euclidische ruimte Rn is een lineaire afbeelding T : Rn → Rn die het inproduct bewaart. Dat wil zeggen, voor alle
x, y ∈ Rn geldt:
hT x, T yi = hx, yi.
Merk op dat een orthogonale transformatie van Rneen isometrie is: de elementen van
Rn behouden dezelfde afstand tot elkaar onder T .
Lemma 3.1.2. De verzameling van orthogonale transformaties van Rn is een groep met als bewerking de samenstelling van afbeeldingen.
Bewijs. De verzameling van orthogonale transformaties van Rn is gesloten onder deze bewerking: de samenstelling van twee orthogonale transformaties is duidelijk weer or-thogonaal. Daarnaast is het samenstellen van afbeeldingen associatief en het eenheids-element van de groep is de identieke afbeelding. Verder is een orthogonale transformatie T injectief, want voor x, y ∈ Rngeldt:
T (x) = T (y) =⇒ kx − yk = kT (x − y)k = kT (x) − T (y)k = 0 =⇒ x = y.
De dimensiestelling geeft ons dan dat
dim(Im T ) = dim(Rn) − dim(Ker T ) = dim(Rn) = n,
waaruit volgt dat T tevens surjectief is. Hiermee is aan de vierde eigenschap van een groep voldaan: T is bijectief en heeft dus een welgedefinieerde inverse.
De volgende definitie van een symmetrie wijkt enigszins af van de gebruikelijke de-finitie. Meestal gaat het om een combinatie van een orthogonale transformatie en een translatie in Rn. Wij laten de translatie weg, omdat onze n-dimensionale kubus gecen-treerd zal zijn in de oorsprong:
Definitie 3.1.3. Een symmetrie van een deelverzameling A van Rn is een orthogonale transformatie T waarvoor geldt dat T (A) = A.
Opmerking 3.1.4. De verzameling van symmetrie¨en van een deelverzameling A is een ondergroep van de groep van orthogonale transformaties. Voor symmetrie¨en T en U geldt immers
(T ◦ U )(A) = T (A) = A en T−1(A) = A. In het bijzonder vormen de symmetrie¨en van A zelf een groep.
Definitie 3.1.5. De groep van symmetrie¨en van een deelverzameling A ⊆ Rn noemen we de symmetriegroep van A.
3.2. De n-kubus
Nu defini¨eren we de n-kubus en laten we zien dat de symmetriegroep niet meer dan 2nn! elementen heeft.
Definitie 3.2.1. Voor n ∈ N is de n-dimensionale (eenheids-)hyperkubus een deelver-zameling van Rn gedefinieerd door
In= {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn| x1, . . . , xn∈ [−1, 1]}.
We zullen dit meestal de n-kubus noemen.
Definitie 3.2.2. De verzameling Bn = {−1, 1}n is de verzameling van hoekpunten van de n-kubus. Als twee hoekpunten in precies ´e´en co¨ordinaat verschillen, dan zeggen we dat het buren zijn. Op die manier heeft elk hoekpunt precies n buren. Van een hoekpunt x ∈ Bn is −x het tegenoverstaande hoekpunt.
Voorbeeld 3.2.3. De hoekpunten (1, 1, −1) en (1, 1, 1) van de 3-kubus zijn buren van elkaar. De hoekpunten (−1, 1, −1) en (1, −1, 1) vormen een paar tegenoverstaande hoek-punten van de 3-kubus.
Lemma 3.2.4. Als T een symmetrie is van In, dan is T een symmetrie van Bn. Bewijs. Voor een punt x ∈ In geldt kxk2 ≤ n, waardoor
x ∈ Bn ⇐⇒ kxk2 = n;
de norm van een punt in In is maximaal als en alleen als dat punt een hoekpunt is van In. Wanneer T een symmetrie is van In, dan geldt voor een hoekpunt x ∈ Bn
kT (x)k2= kxk2 = n,
omdat T een isometrie is. Dit impliceert dat T (x) ∈ Bn, aangezien T (x) ∈ In, dus er geldt T (Bn) ⊆ Bn. Omdat T injectief is en Bneindig, hebben we dan T (Bn) = Bn.
Lemma 3.2.4 zegt dus dat een symmetrie de hoekpunten van In op de hoekpunten van In afbeeldt. Dit gegeven is nodig voor de volgende stelling.
Stelling 3.2.5. Het aantal elementen van de symmetriegroep van In is niet groter dan
2nn!.
Bewijs. Zij b0 = (1, 1, . . . , 1) ∈ Bn en definieer voor 1 ≤ i ≤ n:
bi = (1, . . . , 1, −1 plek i
, 1, . . . , 1),
zodat {b1, . . . , bn} de verzameling van buren van b0 is. Men gaat eenvoudig na dat
{b1, . . . , bn} een basis is voor Rn. Door Lemma 3.2.4 weten we dat voor een willekeurige
symmetrie T geldt dat T (b0) weer een hoekpunt is van Bn. Dat betekent dat
|{T (b0) : T is een symmetrie van In}| ≤ 2n.
Laat M de verzameling zijn van alle symmetrie¨en T waarvoor geldt T (b0) = x voor een
zekere x ∈ Bn. De buren van b0 worden door T op de buren van T (b0) afgebeeld. Dan is
|{(T (b1), . . . , T (bn)) : T ∈ M }| ≤ n!.
Als voor symmetrie¨en T en U geldt
T (bi) = U (bi) voor alle 1 ≤ i ≤ n,
dan is T = U , omdat {b1, . . . , bn} een basis is. Een symmetrie wordt dus uniek bepaald
door T (b1), . . . , T (bn). Er zijn niet meer dan 2nopties voor T (b0), en als T (b0) bekend is
zijn er hoogstens n! opties voor de overgebleven T (b1), . . . , T (bn), waarna de symmetrie
vastligt. Er kunnen dus niet meer dan 2n· n! verschillende symmetrie¨en van Inzijn.
In de volgende sectie laten we zien dat het aantal elementen van de symmetriegroep van In precies gelijk is aan 2nn!.
3.3. De hyperoctahedrale groep
Nu zullen we de structuur van de symmetriegroep van In bekijken, aan de hand van
twee soorten ‘basissymmetrie¨en’.
Definitie 3.3.1. Definieer voor a = (a1, . . . , an) ∈ Zn2 de afbeelding ca: Rn→ Rn door
(ca(x))k= (−1)akxk.
We zeggen ook wel dat cade k-de co¨ordinaat van x inverteert wanneer ak= 1. Definieer
daarnaast voor de permutatie σ ∈ Sn de afbeelding sσ : Rn→ Rn door
(sσ(x))k= xσ−1(k).
Voorbeeld 3.3.2. Laat a = (1, 0, 1) ∈ Zn2 en σ = (1 2 32 3 1) ∈ Sn. Voor x = (x1, x2, x3) ∈ R3
geldt dan
ca(x) = (−x1, x2, −x3) en sσ(x) = (x3, x1, x2).
Opmerking 3.3.3. Er geldt
ca= cb ⇐⇒ a = b en sσ = sτ ⇐⇒ σ = τ
Lemma 3.3.4. De afbeeldingen ca en sσ zijn symmetrie¨en van In.
Bewijs. De afbeeldingen ca en sσ zijn duidelijk lineair. Daarnaast geldt voor x, y ∈ Rn:
hca(x), ca(y)i = n X k=1 (−1)akx k· (−1)akyk = n X k=1 xkyk = hx, yi, en hsσ(x), sσ(y)i = n X k=1 xσ−1(k)yσ−1(k)= n X k=1 xkyk= hx, yi,
dus ca en sσ zijn tevens orthogonaal. Tot slot geldt voor willekeurige x ∈ In dat
ca(x), sσ(x) ∈ In. Hieruit volgt dat de afbeeldingen ook surjectief zijn:
ca(ca(x)) = x en sσ(sσ−1(x)) = x
voor alle x ∈ In (want ook sσ−1(x) ∈ In). Daarom geldt ca(In) = sσ(In) = In.
Samenstellingen van verschillende ca en sσ leveren nieuwe symmetrie¨en van In op.
We laten zien dat de hele symmetriegroep door unieke combinaties van sσ en ca wordt
voortgebracht.
Lemma 3.3.5. Laat σ ∈ Sn en a ∈ Zn2. Dan vormt sσca= sσ◦ ca een unieke symmetrie
van In, dat wil zeggen, voor τ ∈ S
n en b ∈ Zn2 geldt:
sτcb= sσca =⇒ τ = σ en b = a.
Bewijs. Neem x ∈ Bn waarvoor geldt
xk= (−1)ak voor alle 1 ≤ k ≤ n.
Dan geldt precies ca(x) = (1, 1, . . . , 1), zodat per aanname:
(sτcb)(x) = (sσca)(x) = sσ((1, 1, . . . , 1)) = (1, 1, . . . , 1).
Dan is
cb(x) = s−1τ ((1, 1, . . . , 1)) = (1, 1, . . . , 1) = ca(x),
hetgeen betekent dat b = a. Hieruit volgt tevens
sτ = sτc2b = sτcbca= sσc2a= sσ.
Stelling 3.3.6. De symmetriegroep van In is precies de verzameling Hn:= {sσca : σ ∈ Sn, a ∈ Zn2}.
Bewijs. Uit Opmerking 3.3.3 volgt dat {sσ : σ ∈ Sn} = Sn = n! en {ca : a ∈ Zn2} = Zn2 = 2n. Door Lemma 3.3.5 geldt dan dat
Hn = {sσ : σ ∈ Sn} · {ca : a ∈ Zn2} = 2nn!.
De elementen van Hn zijn symmetrie¨en van In. Door Stelling 3.2.5 wisten we al dat er
hoogstens 2nn! verschillende symmetrie¨en kunnen zijn. Dan moet gelden dat Hnde hele
symmetriegroep van de n-kubus is.
Definitie 3.3.7. De verzameling Hn noemen we de hyperoctahedrale groep.
3.4. k-facetten
In Sectie 3.2 hebben we het gehad over de hoekpunten van de n-kubus. Maar we zouden ook kunnen kijken naar bijvoorbeeld de ribben of zijvlakken, zoals we die kennen van de 3-kubus. Dergelijke ‘onderdelen’ noemen we facetten. De definitie van een (k-)facet van de n-kubus volgt.
Definitie 3.4.1. Zij n ∈ N en laat 0 ≤ k ≤ n. Laat verder b1, . . . , bn−k ∈ {−1, 1} en
1 ≤ i1< . . . < in−k ≤ n. Dan is de verzameling
{(x1, . . . , xn) ∈ In| xi1 = b1, . . . , xin−k = bn−k}
een k-facet van In.
Voorbeeld 3.4.2. De verzamelingen
{(x, −1, 1) | x ∈ [−1, 1]} en {(1, y, z) | y, z ∈ [−1, 1]}
zijn respectievelijk een 1- en een 2-facet van de 3-kubus. De 1-facetten van de n-kubus noemen we ook wel ribben en 2-facetten noemen we zijvlakken. Merk op dat de 0-facetten corresponderen met de hoekpunten van de n-kubus.
Lemma 3.4.3. Het aantal verschillende k-facetten van de n-kubus is gelijk aan fn(k) :=
n k
Bewijs. De k-facetten van de n-kubus zijn deelverzamelingen waarbij over k co¨ordinaten gevarieerd wordt en waarbij n−k co¨ordinaten vastliggen. Er zijn nk mogelijke manieren om de k co¨ordinaten te kiezen waarover gevarieerd wordt. Voor ieder van deze keuzes zijn er n − k co¨ordinaten over die de waarden 1 en −1 kunnen aannemen. Dan zijn er dus nk · 2n−k verschillende k-facetten.
Lemma 3.4.4. Zij T ∈ Hn en laat A en B twee k-facetten van In zijn. Dan geldt:
(i) T (A) is een k-facet van In; (ii) T (A) = T (B) =⇒ A = B. Bewijs. (i) Er geldt
A = {(x1, . . . , xn) ∈ In| xi1 = b1, . . . , xin−k = bn−k}
voor zekere b1, . . . , bn−k ∈ {−1, 1} en 1 ≤ i1< . . . < in−k ≤ n. Verder geldt door Stelling
3.3.6 dat T = sσ ◦ ca voor zekere (unieke) σ ∈ Sn en a ∈ Zn2. Definieer
dj = (−1)aij · bj voor 1 ≤ j ≤ n − k.
Dan geldt
ca(A) = {(x1, . . . , xn) ∈ In| xi1 = d1. . . , xin−k = dn−k}
en vervolgens
T (A) = sσ(ca(A)) = {(x1, . . . , xn) ∈ In| xσ(i1) = d1, . . . , xσ(in−k) = dn−k},
dus T (A) is weer een k-facet van In. (ii) Omdat T inverteerbaar is, geldt
A = T−1T (A) = T−1T (B) = B.
Gevolg 3.4.5. Laat 0 ≤ k ≤ n. Zij K de verzameling van k-facetten van In. Dan is Hn isomorf aan een ondergroep van S(K).
Bewijs. Door Lemma 3.4.4 is T ∈ Hneen bijectie van K naar zichzelf, dus de afbeelding
ρT : A 7→ T (A) is een element van S(K). Definieer dan de afbeelding
ψ : Hn→ S(K) : T 7→ ρT.
Dit is een homomorfisme: voor T, U ∈ Hngeldt
ψ(T ◦ U ) = ρT ◦U = ρTρU = ψ(T )ψ(U ).
Daarnaast is ψ injectief, omdat Ker(ψ) = {id}. Dat betekent dat ψ : Hn→ ψ(Hn) een
Definitie 3.4.6. Zij T ∈ Hnen K de verzameling van k-facetten van Invoor een zekere
0 ≤ k ≤ n. Het k-type van T is gedefinieerd door typek(T ) := type(ψ(T )),
met ψ zoals in Gevolg 3.4.5.
Voorbeeld 3.4.7. Nummer de zijvlakken van de 3-kubus zoals in Figuur 3.1. In Tabel B.1 zijn voor alle symmetrie¨en in H3 de ge¨ınduceerde permutaties van de zijvlakken
en de bijbehorende 2-types weergegeven. Omdat we voor iedere symmetrie het aantal cykels weten, kunnen we Stelling 2.2.4 gebruiken om het totaal aantal non-equivalente m-kleuringen te vinden; dat is gelijk aan
1 48(m
6+ 3m5+ 9m4+ 13m3+ 14m2+ 8m).
Figuur 3.1.: Nummering van de zijvlakken.
We zouden nu al een Matlab-programma kunnen schrijven dat, zoals in Voorbeeld 3.4.7, alle mogelijke combinaties van de sσ en ca af gaat om zo voor iedere symmetrie
het k-type te kunnen bepalen. Vervolgens kunnen we met Lemma 2.1.8 en de rest van de theorie uit Hoofdstuk 2 berekenen hoeveel equivalentieklassen een bepaalde verzameling kleuringen heeft. Dat levert al heel wat op: we hoeven in ieder geval niet per kleuring alle symmetrie¨en af te gaan om het aantal non-equivalente kleuringen te bepalen. Het aantal symmetrie¨en van de n-kubus (2nn!) stijgt echter snel naarmate n groter wordt; de 10-kubus heeft er bijna 4 miljard. In het volgende hoofdstuk zien we dat alle elementen in een conjugatieklasse van Hn hetzelfde k-type hebben. Dat op zich is redelijk evident;
belangrijker is dat we gaan zien hoe we deze conjugatieklassen kunnen identificeren. In plaats van alle symmetrie¨en af te gaan, hoeven we dan slechts ´e´en symmetrie per conjugatieklasse te bekijken.
4. Conjugatieklassen van de
hyperoctahedrale groep
In dit hoofdstuk laten we zien dat alle elementen in een conjugatieklasse van Hnhetzelfde
k-type hebben (0 ≤ k ≤ n). Vervolgens identificeren we de conjugatieklassen door de symmetrie¨en van Inte zien als elementen van het cartesisch product Zn2×Sn; we laten de
meetkundige betekenis los om de groepsstructuur gemakkelijker te kunnen bestuderen.
4.1. Cykeltypes van geconjugeerde elementen
Dat geconjugeerde elementen in Hn hetzelfde k-type hebben volgt uit de definitie van
het k-type en uit de volgende twee elementaire resultaten met betrekking tot de permu-tatiegroep Sn.
Lemma 4.1.1. Laat σ, ρ ∈ Sn permutaties zijn. Als de cykelontbinding van σ wordt
gegeven door
σ = (a1a2. . . ak)(b1b2. . . b`) · · · (p1p2. . . pz),
dan wordt de ontbinding van ρσρ−1 gegeven door
ρσρ−1 = (ρ(a1)ρ(a2) . . . ρ(ak))(ρ(b1)ρ(b2) . . . ρ(b`)) · · · (ρ(p1)ρ(p2) . . . ρ(pz)).
Bewijs. Zie Lemma 3.4 in het boek van Rotman [6]. Lemma 4.1.2. Zij σ, τ ∈ Sn. Dan geldt:
σ en τ zijn geconjugeerd ⇐⇒ type(σ) = type(τ ).
Bewijs. Als τ = ρσρ−1 voor een zekere ρ ∈ Sn, dan is type(σ) = type(τ ) door Lemma
4.1.1. Omgekeerd, veronderstel dat type(σ) = type(τ ). Als σ = (a1a2. . . ak)(b1b2. . . b`) · · · (p1p2. . . pz),
dan is τ van de vorm
τ = (a01a02. . . a0k)(b01b20 . . . b0`) · · · (p01p02. . . p0z).
Neem vervolgens ρ ∈ Sn zodanig dat ρ(i) = i0 voor alle 1 ≤ i ≤ n. Door Lemma 4.1.1
geldt dan dat τ = ρσρ−1. (Rotman [6], Theorem 3.5)
Met de implicatie naar rechts van Lemma 4.1.2 bewijzen we de volgende stelling. De omgekeerde implicatie (en Lemma 4.1.1) hebben we later nog nodig.
Stelling 4.1.3. Voor T, U ∈ Hn en alle 0 ≤ k ≤ n geldt:
T en U zijn geconjugeerd =⇒ typek(T ) = typek(S).
Bewijs. Laat ψ : Hn→ S(K) het isomorfisme zijn zoals in het bewijs van Gevolg 3.4.5.
Als T en U geconjugeerd zijn, dan zijn ψ(T ) en ψ(U ) geconjugeerd in S(K). Omdat S(K) na nummering van de k-facetten reduceert tot Sfn(k) (met dezelfde cykeltypes, onafhankelijk van de nummering), geldt dat ψ(T ) en ψ(U ) hetzelfde cykeltype hebben door Lemma 4.1.2, dus typek(T ) = typek(S).
4.2. De groep W
nNu definieren we een groep Wndie isomorf zal zijn aan Hn. De definitie en het idee om te
werken met deze alternatieve groep komen uit het artikel Structures and representations of the hyperoctahedral group van M. Baake [1].
Lemma/Definitie 4.2.1. Het cartesisch product Wn= Zn2 × Sn met als bewerking
(a, σ) · (b, τ ) = (aτ + b, στ ),
waarbij aτ gedefinieerd is door (aτ)k = aτ (k) (de k-de co¨ordinaat van aτ), is een groep
die isomorf is aan Hn.
Bewijs. Men gaat vrij eenvoudig na dat Wninderdaad een groep is; associativiteit volgt
onder andere uit het feit dat voor a, b ∈ Zn2 en σ, τ ∈ Sn geldt:
aστ + bτ = (aσ+ b)τ.
Daarnaast is (0, id) het eenheidselement, en is (aσ−1, σ−1) de inverse van (a, σ).
Door Opmerking 3.3.3 en Stelling 3.3.6 is de afbeelding φ : Wn→ Hn: (a, σ) 7→ sσca
een bijectie. Laat dan σ, τ ∈ Sn en a, b ∈ Zn2. Nu is ten eerste
((sτcaτ)(x))k= (caτ(x))τ−1(k) = (−1)(aτ)τ −1(k)x τ−1(k) = (−1)akx τ−1(k) = (−1)ak(s τ(x))k = ((casτ)(x))k
voor alle 1 ≤ k ≤ n, dus sτcaτ = casτ. Hieruit volgt dat
φ((a, σ) · (b, τ )) = φ((aτ+ b, στ ))
= sστcaτ+b
= sσsτcaτcb
= sσcasτcb= φ((a, σ)) ◦ φ((b, τ )),
Het voorgaande lemma geeft ons de mogelijkheid om de groepsstructuur van Hnte
be-studeren door te kijken naar de structuur van Wn. We zijn in het bijzonder ge¨ınteresseerd
in de conjugatieklassen van Wn die, via het eenvoudige isomorfisme, direct vertaald
kun-nen worden naar de conjugatieklassen van Hn. Eerst volgt nog een tweetal definities
met betrekking tot Wn.
Definitie 4.2.2. Laat w = (a, σ) ∈ Wn. De signed cycle ontbinding van w is gelijk aan
de cykelontbinding van σ, waarbij alle k waarvoor geldt ak = 1 worden aangeduid met
een streep.
Voorbeeld 4.2.3. Laat w = (a, σ) ∈ Wn, waarbij a = (1, 0, 0, 1) en σ = (12)(34). Dan
geldt w = (¯12)(3¯4), wanneer zij als signed cycle ontbinding wordt geschreven.
Definitie 4.2.4. Zij w = (a, σ) ∈ Wn. Een cykel (x1x2. . . xi) in σ noemen we een cykel
van even graad wanneer geldt
i
X
k=1
axk = 0 (in Z2),
en we noemen het een cykel van oneven graad wanneer juist geldt
i
X
k=1
axk = 1 (in Z2).
Merk op dat het hier, zoals aangegeven, om een optelling in Z2 gaat. Dat zal ook in
de komende lemma’s en stellingen het geval zijn. Laat u = (u1, u2, . . . , un) met ui het
aantal cykels (x1x2. . . xi) in σ van lengte i van even graad. Laat op dezelfde manier
v = (v1, v2, . . . , vn) met vi het aantal cykels (y1y2. . . yi) in σ van lengte i van oneven
graad. Het paar (u, v) noemen we het signed cycle type van w. Dit zullen we aangeven met types(w).
Voorbeeld 4.2.5. Laat w = (a, σ) ∈ W7, waarbij a = (0, 1, 1, 0, 1, 0, 1) en σ =
(12)(376)(4)(5). De cykels (376) en (4) zijn van even graad en de cykels (12) en (5) zijn van oneven graad. Dan is types(w) = (u, v), waarbij
u = (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0) en v = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0).
Merk op dat ui (vi) correspondeert met het aantal cykels van lengte i met een even
(oneven) aantal streepjes in de signed cycle ontbinding van w: w = (1¯2)(¯3¯76)(4)(¯5).
Opmerking 4.2.6. Voor w = (a, σ) ∈ Wn geldt
(u, v) = types(w) =⇒ u + v = type(σ).
Dus het signed cycle type deelt het cykeltype van σ op in u en v, en deze opdeling hangt af van a.
4.3. Conjugatieklassen van W
nNu kunnen we het gaan hebben over de conjugatieklassen van Wn. Eerder zagen we
dat elementen in Sn geconjugeerd zijn dan en slechts dan als ze hetzelfde cykeltype
hebben. Een vergelijkbaar resultaat, maar wat minder eenvoudig te bewijzen, is er voor geconjugeerde elementen uit Wn; de volgende stelling identificeert de conjugatieklassen
van Wn aan de hand van het signed cycle type. Deze stelling staat ook in [3], zie
Theorem 4.13. Een bewijs wordt daar helaas niet gegeven. Ons eigen bewijs volgt in deze paragraaf.
Stelling 4.3.1. Voor w = (a, σ) ∈ Wn en z = (b, τ ) ∈ Wn geldt:
w en z zijn geconjugeerd ⇐⇒ types(w) = types(z).
Het bewijs van deze stelling wordt verderop gegeven. Eerst volgt nog een aantal benodigde lemma’s.
Lemma 4.3.2. Zij w = (a, σ) ∈ Wn en laat ρ ∈ Sn. Definieer z = (0, ρ)(a, σ)(0, ρ)−1.
Dan geldt
types(w) = types(z).
Bewijs. Omdat (0, ρ)−1 = (0, ρ−1), zien we per definitie van vermenigvuldiging in Wn
dat
z = (aρ−1, ρσρ−1).
Laat nu b = aρ−1 en τ = ρσρ−1, zodat z = (b, τ ). In Lemma 4.1.1 zagen we dat er
een bijectie is tussen de cykels van σ en de cykels van τ : iedere cykel (x1x2. . . xi) in σ
correspondeert met een cykel (y1y2. . . yi) in τ , zodanig dat yk = ρ(xk) voor 1 ≤ k ≤ i.
Dan geldt dat
i X k=1 byk = i X k=1 (aρ−1)ρ(x k)= i X k=1 a(ρ−1ρ)(x k)= i X k=1 axk.
Door de bijectie tussen de cykels betekent dat dat types(w) = types(z).
Lemma 4.3.3. Zij w = (a, σ) ∈ Wn en laat d ∈ Zn2. Definieer z = (d, id)(a, σ)(d, id)−1.
Dan geldt
types(w) = types(z).
Bewijs. Omdat (d, id)−1 = (d, id), zien we per definitie van vermenigvuldiging in Wn
dat
Laat nu b = dσ+ a + d, zodat z = (b, σ). We zien dat voor een cykel (x1x2. . . xi) in σ geldt dat i X k=1 (dσ+ d)xk = dσ(xi)+ dxi+ i−1 X k=1 dσ(xk)+ dxk = dx1 + dxi+ i−1 X k=1 dxk+1 ! + i−1 X k=1 dxk ! = 2 · i X k=1 dxk = 0,
Waarbij we nogmaals opmerken dat het hier altijd over de optelling in Z2 gaat. Dan is i X k=1 bxk = i X k=1 (dσ+ a + d)xk = i X k=1 (dσ+ d)xk+ i X k=1 axk = i X k=1 axk.
Omdat dit voor iedere cykel van σ geldt, zien we dat types(w) = types(z).
De twee voorgaande lemma’s zijn nodig voor de implicatie naar rechts van Stelling 4.3.1. Het volgende lemma wordt gebruikt voor de implicatie naar links. Direct na het lemma volgt een voorbeeld.
Lemma 4.3.4. Zij w = (a, σ) ∈ Wnen z = (b, τ ) ∈ Wn, zodanig dat types(w) = types(z).
Dan is er een ρ ∈ Sn waarvoor τ = ρσρ−1 en zodanig dat voor alle cykels (x1x2. . . xi)
in τ geldt i X k=1 aρ−1(x k)= i X k=1 bxk.
Bewijs. Laat de cykelontbinding van σ van de vorm
σ = (c1. . . cp) · · · (d1. . . dq)(e1. . . er) · · · (f1. . . fs)
zijn, waarbij de cykels zonder streep van even graad zijn, en de cykels met streep van oneven graad (ten opzichte van a). Omdat types(w) = types(z), geldt dan dat de
ontbinding van τ in dezelfde vorm geschreven kan worden;
τ = (g1. . . gp) · · · (h1. . . hq)(m1. . . mr) · · · (`1. . . `s)
(met even/oneven ten opzichte van b). Neem dan ρ ∈ Sn, net als in het bewijs van
Gevolg 4.1.2, zodanig dat
τ = (ρ(c1) . . . ρ(cp)) · · · (ρ(d1) . . . ρ(dq))(ρ(e1) . . . ρ(er)) · · · (ρ(f1) . . . ρ(fs)).
Voor een cykel (x1x2. . . xi) in τ geldt dan duidelijk dat i X k=1 aρ−1(x k)= i X k=1 bxk,
omdat ρ ‘even cykels naar even cykels stuurt’ en ‘oneven cykels naar oneven cykels’ (waarbij ‘even’ en ‘oneven’ slaan op de graad van de cykels).
Voorbeeld 4.3.5. Laat w = (a, σ) ∈ W5 en z = (b, τ ) ∈ W5, met
a = (1, 0, 1, 1, 0), b = (0, 1, 0, 0, 0) en σ = (12)(34)(5), τ = (15)(24)(3). Dan is types(w) = types(z), wat eenvoudig te zien is in de signed cycle ontbindingen:
w = (¯3¯4)(5)(¯12), z = (15)(3)(¯24). Neem dan de permutatie ρ = 1 2 3 4 5
2 4 1 5 3, dan is
aρ−1(1)+ aρ−1(5)= a3+ a4= 0 = b1+ b5;
aρ−1(2)+ aρ−1(4)= a1+ a2= 1 = b2+ b4;
aρ−1(3) = a5= 0 = b5.
Bewijs van Stelling 4.3.1. “⇒”: Stel dat er een y ∈ Wn is zodanig dat z = ywy−1.
Omdat we y kunnen schrijven als
y = (d, ρ) = (0, ρ)(d, id) voor zekere d ∈ Zn2 en ρ ∈ Sn, geldt dan
types(z) = types((0, ρ)(d, id) · (a, σ) · (d, id)−1(0, ρ)−1)
= types((d, id) · (a, σ) · (d, id)−1)
= types(w)
door Lemma’s 4.1.1 en 4.3.2.
“⇐”: Stel dat w = (a, σ) en z = (b, τ ) hetzelfde signed cycle type hebben. Kies ρ ∈ Sn
zoals in Lemma 4.3.4. Dan geldt
(0, ρ)(a, σ)(0, ρ)−1= (aρ−1, τ ).
Dan zijn we alleen nog op zoek naar een element d ∈ Zn2, waarvoor geldt dat
(d, id)(aρ−1, τ )(d, id) = (b, τ ). (4.1)
Voor y = (dρ, ρ) = (d, id)(0, ρ) geldt dan immers ywy−1= z, zodat w en z geconjugeerd
zijn. Om te voldoen aan vergelijkig (4.1), moet voor d gelden:
dτ + aρ−1 + d = b. (4.2)
We construeren een d die aan deze vergelijking voldoet. Laat (x1x2. . . xi) een cykel in
τ zijn. Definieer dan voor 1 ≤ k ≤ i: dxk = k−1 X m=1 aρ−1(x m)+ bxm, (4.3)
waarbij dx1 = 0 de lege som is. Voor 1 ≤ k ≤ i − 1 hebben we dan (dτ+ aρ−1+ d)x k = aρ−1(xk)+ dτ (xk)+ dxk = aρ−1(x k)+ dxk+1+ dxk = aρ−1(x k)+ k X m=1 aρ−1(x m)+ bxm ! + k−1 X m=1 aρ−1(x m)+ bxm ! = aρ−1(x k)+ aρ−1(xk)+ bxk = bxk.
Verder geldt voor k = i: (dτ + aρ−1 + d)x k = aρ−1(xi)+ dτ (xi)+ dxi = aρ−1(x i)+ dx1+ i−1 X m=1 aρ−1(x m)+ bxm ! = aρ−1(x i)+ 0 + aρ−1(xi)+ bxi = bxi,
waarbij de derde stap volgt uit het feit dat in Z2 geldtPim=1aρ−1(x m)=
Pi
m=1bxm door
Lemma 4.3.4, per constructie van ρ. Omdat we de dxk kunnen construeren voor iedere
cykel in τ , krijgen we uiteindelijk een d = (d1, . . . , dn) die voldoet aan vergelijking (4.2).
Het volgende voorbeeld illustreert hoe het gewenste conjugatie-element geconstrueerd kan worden zoals in het bewijs van de omgekeerde implicatie van Stelling 4.3.1.
Voorbeeld 4.3.6. Laat w = (a, σ), z = (b, τ ) ∈ W9 met
σ = (13254)(67)(89), a = (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0) en
τ = (12846)(39)(57), b = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1). Dan is types(w) = types(s). Schrijf dan
w = (89)(¯13¯2¯54)(¯67) en z = (¯3¯9)(128¯46)(¯57),
(cykels van even graad staan links, cykels van oneven graad rechts), zodat we een ρ kunnen kiezen zoals in Lemma 4.3.4: laat ρ = (1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 8 2 6 4 5 7 3 9). Dan geldt τ = ρσρ−1,
met als gevolg dat
(0, ρ) · w · (0, ρ)−1 = (39)(¯12¯8¯46)(¯57).
Tot slot hebben we een d ∈ Zn2 nodig die voldoet aan vergelijking (4.2). Hiervoor
gebruiken we voor iedere cykel in τ uitdrukking (4.3): dus d1 = 0 en
daarnaast is d3 = 0 en d9 = a8+ b3= 1, en tot slot d5= 0 en d7 = a6+ b5= 0. Hierdoor geldt d = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1), dτ = (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), aρ−1 = (1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0), zodat dτ+ aρ−1+ d = (0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1) = b. Nu is (dρ, ρ) het conjugatie-element: (dρ, ρ)(a, σ)(dρ−1, ρ−1) = (dρσρ−1 + aρ−1+ d, ρσρ−1) = (dτ+ aρ−1+ d, τ ) = (b, τ ).
Tot slot zijn we benieuwd naar het aantal elementen per conjugatieklasse.
Stelling 4.3.7. Zij w = (a, σ) ∈ Wn met types(w) = (u, v). Laat t = u + v, zodat
p =Pn
i=1ti het totaal aantal cykels is in de signed cycle ontbinding van w. Dan is het
aantal elementen in de conjugatieklasse van w gelijk aan n! · 2n−p
Qn
i=1(iti· ui!vi!)
.
Bewijs. De conjugatieklasse van w bevat precies alle elementen met het cykeltype (u, v), door Stelling 4.3.1. Dat wil zeggen dat het aantal elementen in deze conjugatieklasse gelijk is aan het aantal mogelijkheden om de getallen 1, . . . , n te ‘verdelen’ over de cykels van even en oneven graad van σ. Het aantal elementen dat in een cykel van even graad zit is gelijk aan m := Pn
i=1i · ui. Het aantal elementen in een cykel van oneven graad
is dan n − m. Dan zijn er mn manieren om elementen uit {1,. . . ,n} te kiezen voor de cykels van even graad. Voor ieder van deze keuzes zijn er
m 1, . . . , 1 u1 keer , 2, . . . , 2 u2 keer , . . . , n, . . . , n unkeer = Qnm! i=1(i!)ui (4.4)
manieren om de m elementen te verdelen over de cykels van even graad. Daarbij moet nog gecompenseerd worden voor de verschillende configuraties van cykels per lengte; de permutatie (12)(34)(56) is immers gelijk aan de permutatie (56)(12)(34). Dus moeten we de uitdrukking (4.4) nog delen door u1! · · · un!. Dat geeft de uitdrukking
m! Qn
i=1(i!)uiui!
Wanneer alle elementen verdeeld zijn over de cykels, zijn er per cykel van lengte i nog (i − 1)! cykels mogelijk wat betreft de volgorde van de elementen in de cykel (en niet i!, omdat bijvoorbeeld (123) = (312)). Dit geldt voor iedere cykel, dus over alle cykels zijn datQn
i=1((i − 1)!)ui mogelijkheden. Dat kunnen we vermenigvuldigen met uitdrukking
(4.5), wat resulteert in m! Qn i=1(i!)uiui! · n Y i=1 ((i − 1)!)ui = m! Qn i=1iuiui! .
Als alle cykels van even graad bekend zijn, moet nog bepaald worden welke elementen een ‘streep’ krijgen in de signed cycle ontbinding. Dat is altijd een even aantal, wat precies de helft zal zijn van het totaal aantal mogelijkheden om ‘strepen te geven’ aan de elementen in een cykel. Dus voor iedere cykel van lengte i zijn er 2i−1mogelijkheden
om een even aantal strepen te zetten. Alles bij elkaar geeft dat de uitdrukking m! Qn i=1iuiui! · n Y i=1 2ui(i−1) = m! · 2 P ui(i−1) Qn i=1iuiui! .
Een vergelijkbare uitdrukking is er voor de cykels van oneven graad. De twee resulte-rende uitdrukkingen, gecombineerd met het aantal mogelijkheden mn om de elementen op te delen voor de even en oneven cykels, geven dat het aantal elementen in de conju-gatieklasse gelijk is aan
n m ·m! · 2 P ui(i−1) Qn i=1iuiui! ·(n − m)! · 2 P vi(i−1) Qn i=1ivivi! = n! · 2 (P i·ti)−(P ti) Qn i=1iui+viui!vi! = n! · 2 n−p Qn i=1(iti· ui!vi!) .
Voorbeeld 4.3.8. Laat (u, v) een signed cycle type van W5 zijn, met
u = (1, 1, 0, 0, 0) en v = (0, 1, 0, 0, 0).
We construeren een element w met dit type en laten zien hoeveel mogelijkheden er in totaal zijn. We kiezen eerst 3 elementen voor de cykels van even graad, zeg de elementen 1,3 en 5, ´e´en van de 53 = 10 mogelijkheden. Verdeel ze over de cykels van lengte 1 en 2, bijvoorbeeld (13)(5), ´e´en van de 1,23 = 3 mogelijkheden. Per lengte is er slechts ´e´en cykel, dus we hoeven niet te compenseren voor het aantal cykels per lengte. In iedere cykel kunnen we vervolgens een even aantal strepen zetten, dus bijvoorbeeld (¯1¯3) (twee mogelijkheden) en (5) (´e´en mogelijkheid). Er is ´e´en overgebleven cykel van oneven graad, (24), waarbij (¯24) ´e´en van de twee mogelijkheden is om een oneven aantal strepen te zetten. In totaal zijn er dus
10 · 3 · 2 · 2 = 120
verschillende elementen met dit type. Dat is dan het aantal elementen in de conjugatie-klasse van w = (¯1¯3)(5)(¯24).
5. Het berekenen van non-equivalente
kleuringen van I
n
In dit hoofdstuk bespreken we de methoden die gebruikt worden voor het Matlab-programma dat aantallen van noequivalente kleuringen van de k-facetten van de n-kubus bepaalt. De functie polyaTotal() is een implementatie van Stelling 2.2.4 en bepaalt het totaal aantal non-equivalente m-kleuringen. De functie polya() is juist gebaseerd op Stelling 2.3.6, om te kunnen kleuren met specifieke aantallen. De belang-rijkste deelfunctie van deze twee functies is typeTable(), die gegeven n en k, een tabel maakt waarin alle mogelijke k-types van de elementen van Hn staan, en een vector die
aangeeft hoe vaak elk k-type voorkomt. Deze functie maakt gebruik van de kennis uit Hoofdstuk 4. Allereerst leggen we uit hoe we de symmetrie¨en van Hn beschouwen als
operaties op de zogeheten facettenmatrix.
5.1. De facettenmatrix
Definitie 5.1.1. Zij n ∈ N en 0 ≤ k ≤ n. Het middelpunt van het k-facet A = {(x1, . . . , xn) ∈ In| xi1 = b1, . . . , xin−k = bn−k}
voor zekere b1, . . . , bn−k ∈ {−1, 1} en 1 ≤ i1 < . . . < in−k ≤ n, is het punt (x1, . . . , xn) ∈
A waarvoor geldt:
xj = 0 wanneer j 6= i` voor alle 1 ≤ ` ≤ n − k.
Voorbeeld 5.1.2. Laat
A = {(x, −1, 1)|x ∈ [−1, 1]} en B = {(1, y, z)|y, z ∈ [−1, 1]}. Het middelpunt van A is (0, −1, 1) en het middelpunt van B is (1, 0, 0).
Opmerking 5.1.3. Wanneer A en B twee k-facetten van In zijn, en voor T ∈ H n
geldt T (A) = B, dan beeldt T het middelpunt van A af op het middelpunt van B. Dat betekent dat we de k-facetten kunnen identificeren aan de hand van hun middelpunten; in plaats van te kijken naar de permutatie van de k-facetten kan men evengoed kijken naar de permutatie van de corresponderende middelpunten. Om die reden zullen we vanaf nu een k-facet aanduiden met het bijbehorende middelpunt.
Definitie 5.1.4. We definieren voor Dn de verzameling van alle facetten (dus voor alle
k ∈ {0, . . . , n}) van In. Met andere woorden:
ten gevolge van onze ‘nieuwe definitie’ van een k-facet zoals besproken in Opmerking 5.1.3.
Figuur 5.1.: De 0- (rood), 1- (blauw), 2- (groen) en 3- (geel) facetten van I3. Merk op dat Inin totaal 3nfacetten heeft (inclusief Inzelf). We nummeren de facetten van −3n2−1 tot en met 3n2−1 als volgt:
Definitie 5.1.5. Het nummer van een facet x ∈ Dn is gelijk aan
n
X
i=1
xi· 3i−1.
Definitie 5.1.6. De matrix Mn,k met als kolommen precies alle k-facetten van In,
gesorteerd op nummer (van klein naar groot), noemen we de k-facettenmatrix (voor In).
Symmetrie¨en van Inzullen, zoals verderop wordt beschreven, de kolommen van Mn,k
permuteren. Het nummeren van de facetten is nodig om in Matlab een permutatie van de kolommen van Mn,k te achterhalen door middel van de sort() functie.
Voorbeeld 5.1.7. De 2-facettenmatrix van de 3-kubus is gelijk aan
M3,2= 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1
De nummers die corresponderen met de kolommen van M3,2 zijn −9, −3, −1, 1, 3 en 9.
De functie triMatrix(n,k) geeft de k-facettenmatrix voor In (zie A.5). Voor een gegeven symmetrie T ∈ Hn geldt T = s ◦ c voor zekere (unieke) s ∈ S en c ∈ C,
zoals beschreven in Hoofdstuk 3. Het k-type van T wordt nu bepaald door T te zien als combinatie van elementaire rij-operaties op de matrix Mn,k: de symmetrie c bepaalt
hoe de rijen gepermuteerd dienen te worden. De resulterende matrix bevat dezelfde kolommen als Mn,k, maar in een andere volgorde (zie Voorbeeld 5.1.9). De vector van
nummers die correspondeert met de kolommen van deze matrix is een permutatie van de vector die bij Mn,k hoort.
Notatie 5.1.8. Voor T ∈ Hn noteren we de matrix die verkregen wordt door T toe te
passen op Mn,k als T (Mn,k).
Voorbeeld 5.1.9. Laat T = c · s een symmetrie van In zijn, met
c : (x1, x2, x3) 7→ (−x1, −x2, x3) en s : (x1, x2, x3) 7→ (x2, x3, x1).
Om het 2-type van T te kunnen bepalen moeten we de bijbehorende permutatie van de 2-facetten kennen. M3,2 = 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 −1 0 0 0 0 1 c −−→ 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 1 s −−→ 0 1 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 0 0 = T M3,2. De corresponderende nummers zijn uiteraard ook gepermuteerd:
v = (−3, 1, 9, −9, −1, 3). Het cykeltype van deze permutatie is (0, 0, 2, 0, 0, 0).
De functie cType(v) bepaalt, gegeven de gepermuteerde vector v, het cykeltype dat hoort bij de permutatie. Zie A.9.
5.2. De typetabel
Om de theorie van P´olya toe te kunnen passen hebben we alle k-types nodig van de symmetrie¨en in Hn. Met de theorie van Hoofdstuk 4 weten we dat we uit iedere
con-jugatieklasse ´e´en representant kunnen kiezen, het bijbehorende k-type moeten bepalen, en Stelling 4.3.7 moeten gebruiken om te bepalen hoe vaak het k-type voorkomt. Een belangrijke vraag is dan natuurlijk: hoe bepalen we precies van iedere conjugatieklasse ´e´en representant? Door Stelling 4.3.1 weten dat iedere conjugatieklasse met precies ´e´en signed cycle type correspondeert. We willen dus alle mogelijke signed cycle types af gaan. Daarvoor hebben we de definitie van een partitie nodig.
Definitie 5.2.1. Een rijtje natuurlijke getallen a1≥ a2 ≥ . . . ≥ ak(≥ 1) waarvoor geldt
dat n =Pk
i=1ai, heet een partitie van n. Een andere notatie voor dezelfde partitie is de
vector b = (b1, b2, . . . , bn), waarbij bj het aantal i is waarvoor geldt: ai = j.
Voorbeeld 5.2.2. De getallen 2, 2 en 1 vormen een partitie van 5. De partitie kan ook genoteerd worden als (1, 2, 0, 0, 0).
Merk op dat een cykeltype van een element in Sn ook een partitie voorstelt van het
getal n (in de tweede notatie). Alle mogelijke cykeltypes van Sn zijn dan precies alle
partities van n. De functie partitions(n) geeft een matrix met alle partities van n (en dus alle mogelijke cykeltypes). Deze functie is gebaseerd op de beschrijving van Donald Knuth onder het kopje Generating all partitions of an integer [4]. Zie A.6.
Voorbeeld 5.2.3. Het commando partitions(5) retourneert de matrix 0 1 0 2 1 3 5 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 waarvan de kolommen de mogelijke cykeltypes van S5 zijn.
Definitie 5.2.4. Een dubbelpartitie van een getal n is een paar van partities (p, q), met p een partitie van m en q een partitie van n − m voor zekere 0 ≤ m ≤ n.
Het signed cycle type van een element w = (a, σ) ∈ Wn is nu in principe een
dub-belpartitie van n (met nog een aantal nullen om iedere partitie van lengte n te laten zijn): het signed cycle type splitst de cykels van n op in cykels van even graad (met een totale lengte van m) en van oneven graad (met een totale lengte van n − m). Alle mogelijke signed cycle types van Wn zijn dan precies de dubbelpartities. Het aantal
conjugatieklassen van Hn is dus gelijk aan het aantal dubbelpartities van n.
Voorbeeld 5.2.5. Laat n = 7 en zij p = (1, 1, 0) een partitie van m = 3 zijn en q = (0, 2, 0, 0) een partitie van n − m = 4. Dan is (p, q) een dubbelpartitie van n. Het signed cycle type dat correspondeert met deze dubbelpartitie is (u, v), waarbij
u = (p | 0, 0, 0, 0) en v = (q | 0, 0, 0).
Gegeven een dubbelpartitie (dus een signed cycle type) (p, q) van n willen we een element vinden dat hoort bij de unieke corresponderende conjugatieklasse. We splitsen de getallen 1 tot en met n in een cykel van lengte m en een cykel van lengte n − m, dus
(1 2 . . . m)(m+1 m+2 . . . n).
Vervolgens delen we de linker- en rechtercykel op in kleinere cykels aan de hand van respectievelijk de partities p en q. De gepartitioneerde cykels van de linkercykel krijgen nergens een streep. De gepartitioneerde cykels van de rechtercykel krijgen ieder een streep op het eerste element. Zodoende heeft het resulterende w ∈ Wn het signed cycle
type (u, v), waarbij
u = (p | 0, . . . , 0
n − m keer
) en v = (q | 0, . . . , 0
m keer
). Zie het volgende voorbeeld.
Voorbeeld 5.2.6. Laat p = (1, 2, 0, 0, 0) en q = (1, 1, 0). Dan is (p, q) een dubbelpartitie van 8. We verdelen de getallen 1 tot en met 8 over twee cykels:
(12345)(678).
Deze cykels ‘partitioneren’ we aan de hand van p en q, en de cykels afkomstig van de bovenstaande rechtercykel krijgen een streep op het eerste element. Laat dus
w = (1)(23)(45)(¯6)(¯78).
Dit correspondeert met de symmetrie T = sσca ∈ H8, waarbij σ = (1 2 3 4 5 6 7 81 3 2 5 4 6 8 7) en
a = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0), en het signed cycle type van w is inderdaad gelijk aan (u, v) met u = (1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0) en v = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0).
Met de formule van Stelling 4.3.7 bepalen we vervolgens het aantal elementen in de conjugatieklasse van het element T . Dat is gelijk aan (12·1!1!)·(28!·233·2!1!) = 20160.
De functie conClass(j,k) bepaalt, gegeven partities j en k van respectievelijk m en n − m, de σ en a van het representerende element T = sσca, en ook het aantal elementen
van de bijbehorende conjugatieklasse, zoals in het vorige voorbeeld. Het element T kan dan toegepast worden op de k-facettenmatrix, om het k-type te bepalen dat hoort bij de conjugatieklasse. Merk op dat verschillende conjugatieklassen wel hetzelfde k-type kunnen hebben.
De functie typeTable(n,k,compact) maakt een tabel van alle cykeltypes door alle dubbelpartities af te gaan en de functie conclass() te gebruiken om de bijbehorende elementen uit Hn te bepalen. Vervolgens wordt de symmetrie uitgevoerd op de
k-facettenmatrix en wordt het k-type gevonden met cType(). Alle cykeltypes die gevon-den worgevon-den komen in de tabel te staan. Verder retourneert typeTable() een vector (die langs te tabel kan worden gezet) met het aantal keer dat ieder cykeltype voorkomt. Bij compact=1 wordt de tabel ingekort door gelijke cykeltypes samen te voegen, compact=0 geeft de volledige tabel voor alle conjugatieklassen.
Voorbeeld 5.2.7. Het commando [E,u] = typeTable(2,0,1) geeft
E = 0 0 0 1 0 2 0 0 2 1 0 0 4 0 0 0 en u = 2 3 2 1 ,
voor de 0-types van de 2-kubus. Vergelijk dit met de tabel in Figuur 2.3.
5.3. Implementatie van de P´
olya theorie
Wanneer alle k-types en frequenties bekend zijn kan de theorie van P´olya worden toege-past. De functie polyaTotal(n,k,m) bepaalt het totaal aantal non-equivalente kleurin-gen van de k-facetten van de n-kubus met m verschillende kleuren. De functie gebruikt
typeTable() om voor iedere conjugatieklasse het aantal cykels te kunnen bepalen, en maakt vervolgens gebruik van Stelling 2.2.4. Zie A.2.
Lastiger wordt het wanneer we de k-facetten willen kleuren met specifieke aantallen voor iedere kleur, zoals in Sectie 2.3. Stel dat we kleuren met m kleuren, zodat precies ai facetten kleur i krijgen, voor alle 1 ≤ i ≤ m, zodat a1+ a2+ . . . + am = fn(k). Laat
π = (e1, . . . , efn(k)) een k-type zijn. Om Stelling 2.3.6 toe te passen, moeten we alle
matrices T = (tij) af gaan die voldoen aan de vergelijkingen (2.3) en (2.4). Dat doen we
als volgt: kies voor iedere 1 ≤ i ≤ m − 1 een partitie van ai. Plaats de gekozen partities
dan als rijen in een (m − 1)×fn(k)-matrix T0 = (ti,j), door de rijen met nullen aan te
vullen indien nodig. Controleer dan of voor alle 1 ≤ j ≤ fn(k) geldt: m−1
X
i=1
tij ≤ ej. (5.1)
Zo nee, probeer een nieuwe combinatie van partities van de ai. Zo ja, dan is er een
unieke vector tm = (tm,1, . . . , tm,fn(k)) waarvoor de matrix T =
T0
tm voldoet aan (2.3)
en (2.4): dat is immers de vector met tm,j= ej−
m−1
X
i=1
tij voor alle j.
Dan hebben we dus een unieke matrix T gevonden uit de verzameling M in Stelling 2.3.6. Door alle combinaties van de partities van a1, . . . , am−1 af te gaan kunnen we
zo alle matrices in M vinden. De reden dat we op deze manier te werk gaan is dat het bepalen van alle partities van een getal behoorlijk intensief is; zo zijn er bijna 200 miljoen partities van het getal 100. Het is zeker niet aan te raden om al deze partities in ´e´en matrix in Matlab te zetten. Met deze methode kunnen we echter wel nog voor beperkte(!) a1, . . . , am−1 invariante kleuringen bepalen voor grote waarden van fn(k);
van de overgebleven am hoeven we niet de partities te bepalen. Bovendien, men kan
nagaan dat voor het product in uitdrukking (2.5) geldt:
fn(k) Y j=1 ej t1,j, t2,j, . . . , tm,j = fn(k) Y j=1 ej t1,j ej− t1,j t2,j · · ·ej− Pm−2 i=1 ti,j tm−1,j tm,j tm,j =1 . (5.2)
Dat betekent dat de onderste rij van T ¨uberhaupt niet nodig is om dit product uit te rekenen.
Voorbeeld 5.3.1. Zij n = 5 en k = 4, dan kleuren we dus f5(4) = 10 verschillende
4-facetten van de 5-kubus. Laat a1 = 3, a2 = 2, a3 = 1 en a4 = 4. De zes mogelijke T0
(combinaties van partities van a1, a2, a3) zijn:
T10 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , T20 = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , T30 = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , T40 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , T50 = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , T60 = 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .
Stel dat π = (3, 2, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) een k-type is, dan voldoen alleen T10, T20 en T40 aan (5.1). Voor ieder van deze matrices bepalen we het aantal invariante kleuringen.
T10 : 3 0 3 0 3 1 ·2 0 2 1 1 0 ·1 1 0 0 0 0 · 10 Y j=4 0 0 3 = 6, T20 : 3 1 2 0 2 1 ·2 1 1 1 0 0 ·0 0 0 0 0 0 · 10 Y j=4 0 0 3 = 12, T40 : 3 0 3 2 1 1 ·0 0 0 0 0 0 ·1 1 0 0 0 0 · 10 Y j=4 0 0 3 = 3.
Het aantal invariante kleuringen voor π is dus 6 + 12 + 3 = 21. Merk op dat de term 00 erg vaak voorkomt; in het Matlab-programma houden we hier rekening mee door van de matrices T eventueel een nulmatrix af te knippen.
De functie polya(n,k,a) geeft het aantal non-equivalente kleuringen van de k-facetten van de n-kubus, waarbij a de vector is met de waarden a1, . . . , am−1 zoals hierboven. De
functie:
1. bepaalt alle k-types met typeTable();
2. bepaalt voor ieder k-type het aantal invariante kleuringen door alle combinaties van partities van de elementen van a af te gaan zoals in Voorbeeld 5.3.1;
3. vermenigvuldigt per k-type dit aantal met het aantal keer dat het k-type voorkomt; 4. sommeert over alle k-types en deelt door het aantal symmetrie¨en van Hn (Lemma
2.1.8),
om zo het aantal non-equivalente kleuringen te bepalen. Zie A.1.
5.4. Opmerkingen
De bottleneck voor het bepalen van de typetabel is het bepalen van het cykeltype voor iedere conjugatieklasse. Dat komt omdat cType() voor iedere permutatie van de k-facetten alle fn(k) elementen afloopt, en alle cykels moet doorlopen om het cykeltype te
kunnen achterhalen. De cykeltypes zijn echter niet afkomstig van willekeurige permuta-ties; slechts een zeer klein deel van alle mogelijke cykeltypes komt in de tabel terecht. Wellicht is er iets te zeggen over de structuur van de cykeltypes voor n en k, zodat cykeltypes sneller gevonden kunnen worden.
Daarnaast kost het veel tijd om voor het kleuren met specifieke aantallen (met polya()) alle combinaties van partities van a1, . . . , am−1 af te gaan. Er zijn 42 partities van het
getal 10. Als a1 = a2 = a3= 10 en a4 = 34, dan gaat het al om 423 = 74088 combinaties.
Wees dus voorzichtig met de aantallen in het laatste argument van polya().
Het bepalen van de typetabel is (dus) grotendeels afhankelijk van het aantal k-facetten. De facettenmatrix is een n×fn(k)-matrix van het type double, dat betekent dat iedere
entry 8 bytes aan ruimte inneemt. Het commando triMatrix(20,7) probeert dan een matrix van zo’n 5 gigabyte proberen te construeren. Wees dus ook daar voorzichtig mee.
6. Conclusie
Het is ons gelukt om een programma te schrijven dat voor beperkte n het aantal equi-valentieklassen van kleuringen van de k-facetten kan bepalen. Wie weet valt er nu iets te zeggen over de vraag die in de inleiding is geponeerd.
6.1. Terugblik
In de inleiding hebben we het gehad over het volgende probleem:
Probleem 6.1.1. Zij n ∈ N. Wat is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A ⊆ Bn van grootte n + 1, waarvoor geldt dat ieder k-facet aan hoogstens k elementen uit A grenst (voor alle 0 ≤ k ≤ n − 1)?
Een wat minder grote restrictie op de voorwaarden voor de deelverzameling geeft een eenvoudigere variant:
Probleem 6.1.2. Zij n ∈ N. Wat is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A ⊆ Bn van grootte n + 1, waarvoor geldt dat iedere ribbe aan hoogstens 1 element uit A grenst?
Dergelijke vraagstukken lijken niet eenvoudig te zijn; de oplossing ligt in ieder geval niet voor de hand. Toch kan het tellen van non-equivalente kleuringen ons misschien helpen om een idee te krijgen van de orde van grootte van de antwoorden. Herinner dat we het nemen van een deelverzameling kunnen zien als een 2-kleuring: hoekpunten in A krijgen kleur 1, de overige hoekpunten kleur 2. Wanneer twee hoekpunten aan de uiteinden van ´e´en ribbe kleur 1 hebben, kunnen we dat zien als het kleuren van de ribbe zelf met kleur 1. Als op deze manier in een deelverzameling ‘een ribbe gekleurd kan worden’, dan voldoet de verzameling niet aan de voorwaarde van ‘hoogstens ´e´en hoekpunt per ribbe’. De functie polyaMulti(n,k,p) geeft ons de mogelijkheid om meerdere facetten tegelijk een 2-kleuring te geven (k is nu een vector van dimensies voor de facetten, p een bijbehorende vector met voor iedere dimensie het aantal facetten dat kleur 1 krijgt). Voor iedere symmetrie is het aantal invariante kleuringen dan simpelweg het product van het aantal invariante kleuringen per facet. Een eenvoudig inclusie-exclusie-argument geeft ons dan het volgende bescheiden resultaat, waarbij we niet kijken naar deelverzamelingen van grootte n + 1, maar van grootte 3.
Stelling 6.1.3. Zij n ≥ 3. We beschouwen de n-kubus. Laat
(i) C1 de verzameling non-equivalente 2-kleuringen waarbij drie hoekpunten kleur 1
(ii) C2de verzameling non-equivalente 2-kleuringen waarbij ´e´en hoekpunt kleur 1 heeft,
en ´e´en ribbe kleur 1.
Dan is het aantal non-equivalente deelverzamelingen A ⊆ Bn van grootte 3, waarbij iedere ribbe aan hoogstens 1 element uit A grenst, gelijk aan
|C1| − |C2| + 1.
Bewijs. Van de verzameling C1 willen we geen kleuringen waarbij twee hoekpunten aan
´e´en ribbe zitten. Een dergelijke kleuring correspondeert met een kleuring uit B. Maar B bevat nog ´e´en kleuring die niet correspondeert met een kleuring uit A; de kleuring waarbij het hoekpunt met kleur 1 aan het uiteinde van de ribbe met kleur 1 ligt. Dit kan, rekening houdend met symmetrie¨en, op 1 manier, dus het aantal gewenste kleuringen is gelijk aan
|C1| − |C2| + 1.
Figuur 6.1.: Visualisatie van Stelling 6.1.3. Deze uitdrukking komt overeen met het commando
polya(n,0,3) - polyaMulti(n,[0,1],[1,1]) + 1.
Voor deelverzamelingen groter dan 3 wordt het lastiger, maar met een dergelijke rede-nering is het ook mogelijk om boven- en ondergrenzen te vinden. Zo is
polya(n,0,n+1) - polyaMulti(n,[0,1],[n-1,1])
een eenvoudige ondergrens voor Probleem 6.1.2 (vrij zwak, want pas vanaf n = 9 is dit positief).
6.2. Vooruitblik
Het is nog maar de vraag of non-equivalente kleuringen daadwerkelijk kunnen helpen bij het oplossen van Probleem 6.1.1. We zijn niet bepaald dicht in de buurt gekomen, maar de programmatuur komt mogelijk wel van pas bij toekomstig onderzoek. Het ligt misschien meer voor de hand om op de ´e´en of andere manier de verzameling van 2-kleuringen te identificeren die voldoen aan de voorwaarde ‘hoogstens k elementen uit A per k-facet’, al lijkt ons dit al een ingewikkeld probleem op zich.
