Domino played on social action
Snellere besluitvorming op basis van
schatting
Universiteit van Amsterdam
Bachelorscriptie econometrie
Author:
Job Heidweiller
Begeleider:
Dr. Maurice Koster
Inhoudsopgave
1 Inleiding 3
2 Theoretisch kader 5
2.1 Wat is een netwerk? . . . 5
2.1.1 Omgeving speler . . . 6
2.1.2 Drempelwaarden . . . 6
2.2 Co¨operatief spel . . . 7
2.3 Model Chwe . . . 8
2.3.1 Common knowledge . . . 8
2.3.2 Interpretatie link . . . 8
2.3.3 Spelvoorbeeld met twee spelers . . . 9
2.3.4 Voorbeeld ’afzetten ceo’ . . . 10
2.3.5 Spelvoorbeeld met vier spelers . . . 10
2.3.6 Dynamiek binnen het netwerk . . . 12
3 Nieuw model 12 3.1 Plan van aanpak . . . 12
3.2 Uitleg verschillende catogorie¨en drempelwaarden . . . 13
3.2.1 Waarom sociaal netwerk . . . 14
3.2.2 Dynamische systemen . . . 14 3.2.3 Dekpunten berekenen . . . 14 3.2.4 Categorie 1 . . . 16 3.2.5 Categorie 2 . . . 16 3.2.6 Categorie 3 . . . 16 3.3 Oplossingsstrategie . . . 17 3.4 Schatting . . . 17 3.5 Nutsfunctie . . . 18 3.6 Dynamiek . . . 18 4 Modelleren 19 4.1 Random netwerk genereren . . . 19
4.2 Drempelwaarde genereren . . . 20
4.3 Beslissing maken . . . 21
5 Resultaten 26 5.1 Uitleg begrippen . . . 26 5.2 Categorie 1 . . . 27 5.3 Categorie 2 . . . 28 5.4 Categorie 3 . . . 30 6 Discussie 31 7 Bibliografie 33 8 Bijlage 1 35
1
Inleiding
Sociale netwerken doordringen onze sociale en economische leefwerelden op talloze ma-nieren (Jackson, 2008). Zo spelen ze een centrale rol in het doorspelen van informatie over kansen op de arbeidsmarkt en zijn ze van doorslaggevend belang bij de handel in goederen en diensten. Een sociaal netwerk is een verzameling van of groep personen met een bepaald patroon in de interacties tussen deze personen (Scott, 2000; Wasserman en Faust, 1994), zoals zakenrelaties tussen bedrijven (Mariolis, 1975; Mizruchi, 1982) of huwelijken tussen families (Padgett en Ansell, 1993). Hamouda en Akaichi (2013) stel-len dat sociale netwerken ”de vonken waren die bijdroegen aan het plaatsvinden van de onverwachte revolutie in sommige Arabische landen gedurende de Arabische lente.” In dit laatste voorbeeld is sprake van het zogenoemde domino-effect van sociale netwerken waar de onderhevige studie zich vooral op richt. Onder het domino-effect wordt verstaan dat de ene de actie de andere tot gevolg heeft enzovoort. Op die manier kan een keten van acties ontstaan, waardoor een kleine verandering grote gevolgen kan hebben. Sociale netwerken spelen een belangrijke rol in het al dan niet in actie komen van een individu, maar uiteindelijk ook in het inbeweging komen van grotere groepen.
Grannovetter (1978) gebruikt drempelwaarden om collectieve actie te beschrijven. Deze aanname van bepaalde drempelwaarden vormt een uitgangspunt van deze scriptie en wordt besproken in het theoretisch kader. Hoewel collectieve actie afhangt van zowel sociale structuur als individuele prikkels, worden deze twee benaderingen vaak apart be-schreven door de sociale netwerktheorie en speltheorie (Chwe, 1999 en 2000). Collectieve actie is speltheoretisch beschreven door Berk (1974) waarbij hij beargumenteert dat ”de nadruk op de irrationaliteit van participanten van spelers in collectieve actie op zijn best misplaatst is.” Deze conclusie is een ondersteuning van de aanname van rationaliteit die ten grondslag ligt aan de speltheorie (Myerson, 1991).
Chwe (1999 en 2000) stelt een model op dat deze twee insteken met elkaar verenigt. Het model laat het belang zien van de sociale structuur in een spel waarbij de deelnemers alleen willen deelnemen als een aantal anderen dit ook doet. Sociale informatie is daarbij voorwaardelijk voor het al dan niet handelen. Chwe (2000) beschrijft een co¨ordinatiespel, waarin een collectieve actie genomen moet worden en het I’ll go if you go principe cen-traal staat. Dit principe houdt in dat iedere speler pas wil deelnemen als er een minimaal aantal andere spelers ook meespeelt, en er eerst overlegd kan worden voordat de groep simultaan een beslissing maakt. Iedere speler maakt voor zichzelf een individuele beslis-sing, gegeven de informatie die deze speler heeft. De groep spelers houdt zich wel aan dezelfde beslisregels, maar de groep is heterogeen qua eigenschappen, omdat elke
spe-ler een unieke positie binnen het sociale netwerk heeft en ook een eigen drempelwaarde krijgt. Elke speler moet daarom een individuele keuze maken op basis van de informatie die deze speler van anderen uit zijn netwerk krijgt.
Het model van Chwe richt zich op co¨ordinatiespellen in het algemeen, maar hij geeft ook diverse voorbeelden uit het dagelijks leven waarbij sociale netwerken van invloed zijn op individuele besluitvorming. Zijn motivatie tot het modelleren van dergelijke processen komt voort uit zijn interesse in sociale netwerken bij politieke deelname, zoals het al dan niet participeren in protesten, opstand of revolutie. Het belang van sociale netwerken voor politieke participatie is in vele contexten onderzocht, zoals de invloed ervan op deelname aan politieke bewegingen door Snow, Zurcher en Ekland-Olson (1980), en bij het oplaaien van de revolutie van Oost-Duitsland in 1989 door Opp en Gern (1993).
Om de werkelijke wereld te modelleren moeten er concessies worden gedaan aan de realiteit in de vorm van aannames. Deze aannames dienen echter zo realistisch mogelijk te zijn om een zo goed mogelijk model te verkrijgen. Het is de vraag of het model dat Chwe (1999, 2000) beschrijft, nog beter de werkelijkheid zou kunnen representeren door de onderliggende aannames te verzwakken of te specificeren. In deze scriptie wordt dit idee verder uitgewerkt, door het model uit te bouwen tot een complexer systeem dat meer recht doet aan de dynamische werkelijkheid van sociale actie. Hierbij wordt er vanuit gegaan dat personen niet pas spelen als ze zekerheid hebben op genoeg medespelers, maar spelers maken aan de hand van informatie die ze uit hun connecties in het sociale netwerk krijgen een schatting van de situatie in het totale netwerk, en daarop baseren ze hun besluit om al dan niet mee te doen. Met deze aanpassing wordt een ander inzicht gegeven in collectieve actie en uit de resultaten zal blijken of dit ook een effectieve manier is.
In hoofdstuk 2 wordt een toelichting gegeven op het theoretisch kader met een korte introductie op grafen en sociale netwerken. Tevens wordt het aan deze scriptie ten grond-slag liggende model van Chwe nader uitgelegd. In hoofdstuk 3 wordt het nieuwe model beschreven en het toegevoegde concept schatting nader uitgewerkt. De gemaakte keuzes ten behoeve van het programmeren van het model worden in hoofdstuk 4 toegelicht. In hoofdstuk 5 worden de resultaten gepresenteerd, gevolgd door een discussie in hoofdstuk 6 waarin de bevindingen worden samengevat, een conclusie wordt gegeven en aanbevelingen voor nadere uitwerking van het nieuwe model worden gedaan.
2
Theoretisch kader
2.1
Wat is een netwerk?
In algemene zin is een netwerk elk systeem dat wiskundig gerepresenteerd wordt door een graaf waarbij de knopen verbonden worden door verbindingen die de interactie tus-sen deze twee elementen weergeven (Barrat, Barthelemy en Vespignani, 2008). Deze abstracte definitie van een netwerk maakt het mogelijk in tal van gebieden netwerken te zien. Voorbeelden hiervan zijn: sociale netwerken, informatie netwerken, technologie netwerken en biologische netwerken (Newman, 2003). Hoewel netwerktheorie in uiteen-lopende wetenschappen gebruikt wordt, komt de gebruikelijke weergave van netwerken voort uit de wiskundige grafentheorie (Barrat, Barthelemy en Vespignani, 2008).
Grafentheorie is een wiskundige tak die zich bezig houdt met grafen. De definitie van Gross en Yellen (2005) van een graaf is: graaf G = (V, E) is een wiskundige structuur bestaande uit twee eindige verzamelingen V and E. De elementen van V worden knopen genoemd en de elementen van E links. Elke lijn is gerelateerd aan ´e¨en of twee knopen, die de eindpunten genoemd worden.
Een netwerk kan worden weergegeven door de knopen te defini¨eren als een verzameling N = {1, ..., n} waarbij elk individu een nummer wordt toegekend. De matrix g waar in de literatuur ook wel naar wordt verwezen als de adjacency matrix (Jackson, 2008), presenteert de verbindingen. Waarbij elke cel van de matrix alsvolgt ge¨ınterpreteerd kan worden: gij = 1 link 0 geen link
In een ongericht netwerk is er altijd sprake van een tweezijdige verbinding. Dit bete-kent dat als je van a naar b kan, er ook van b naar a gegaan kan worden. Bij een gericht netwerk hebben de verbindingen een bepaalde richting waardoor het kan zijn dat er wel van a naar b gegaan kan worden, maar niet van b naar a.
4
1 2
3
worden als: (N, g) met N = {1, 2, 3, 4} en g = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
De manier waarop de knopen verbonden zijn, bepaald de topologische structuur van het netwerk. In deze scriptie wordt gefocust op netwerken waarbij de knopen staan voor personen en de verbindingen voor de interactie tussen personen.
2.1.1 Omgeving speler
Met de omgeving van een speler wordt dat deel van het netwerk bedoeld, dat een bepaalde speler kan overzien. Het hangt van de aannames af, hoe groot deze omgeving is. Er kan bijvoorbeeld worden aangenomen dat een speler alleen die connecties kan zien met wie een directe link bestaat, maar ook zou kunnen worden aangenomen dat de speler diens connecties ook kent, de indirecte links. Aannames over de grootte van de omgeving die een speler kan overzien, kunnen daarom verschillen.
2.1.2 Drempelwaarden
Zowel in het model van Chwe(1999 en 2000) dat in de volgende paragraaf aan bod komt, als in het nieuwe model wat in deze scriptie wordt beschreven, wordt er gebruik gemaakt van drempelwaarden. Met de drempelwaarde van een speler wordt het minimum totaal aantal spelers bedoeld dat deze speler wil hebben om zelf ook te spelen.
Met drempelwaarde wordt door Granovetter (1987) de waarde bedoeld waarbij de kosten van het meedoen aan de actie overstegen worden door de opbrengsten. Dit resul-teert in een nutsfunctie waarbij een speler een binaire keuze maakt, wel of niet spelen. Bij niet spelen is het nut 0 en bij wel spelen is het nut afhankelijk van het aantal spelers dat speelt(k), en de drempelwaarde d:
u(k) = k ≥ d f (k; d) k < d 0
f (k; d) is een functie die de eigenschap heeft dat f (d; d) > 0 omdat als de drempel-waarde exact wordt behaald er ook gespeeld wordt. Een andere eigenschap die geldt in het het model van Chwe en het nieuwe model is dat de functie monotoon stijgend is in k; oftewel: dkdf (k; d) ≥ 0. Dit betekent: ’meer is beter’ ten aanzien van het aantal spelers
dat speelt. Als een extra speler speelt dan kan van geen enkele andere speler het nut hierdoor lager worden.
Granovetter (1978) beargumenteert het gebruik van drempelwaarden door te stellen dat er bijvoorbeeld bij rellen verschillende typen mensen zijn. Een radicaal persoon die een grote drang heeft om deel te nemen aan een rel, heeft een lage drempelwaarde, terwijl een conservatief persoon die deze behoefte minder sterk heeft een hogere drempelwaarde bezit. De drang om mee te doen aan een collectieve actie wordt gekwantificeerd in vorm van een drempelwaarde k. Deze is voor elk persoon verschillend. Een lage drempelwaarde betekent dat een persoon heel erg graag wil dat er een verandering komt en is relatief bereid om een groot risico te nemen. Een hoge drempelwaarde komt overeen met een risico-averse speler, deze speler doet pas mee als hij er van overtuigd is dat er ruim genoeg personen zijn om de verandering door te voeren.
Aan de hand van de drempelwaarde kunnen er drie soorten spelers onderscheiden worden: ten eerste, spelers die altijd willen deelnemen. De drempelwaarde van deze spelers is 1. Dat houdt in dat deze spelers al gaan spelen als er 1 persoon meedoet, en aangezien ze zelf deze persoon kunnen zijn, spelen ze altijd. Deze spelers spelen op die manier onafhankelijk van wat de andere spelers in het netwerk doen. Ten tweede, spelers die nooit spelen, de drempelwaarde van deze spelers is n + 1. Met n spelers in het netwerk is het onmogelijk om zoveel spelers te laten deelnemen en daarom zullen deze spelers nooit deelnemen. Ten derde is er nog een groep spelers die een drempelwaarde 1 < d < n + 1 in hebben. Voor deze groep hangt de keuze van deelname af van het aantal andere spelers dat gaat deelnemen. De keuze die zij maken is gebaseerd op de informatie die zij krijgen vanuit de connecties in hun netwerk. Spelers hebben in alle gevallen alleen een minimum drempel en geen maximum; het maakt voor de keuze van een speler met drempelwaarde 3 niet uit of er 3 spelers meedoen, of 30. De drempelwaarde is alleen het omslagpunt tussen wel en niet meedoen, het nut wordt wel hoger met meer spelers.
2.2
Co¨
operatief spel
De modellen die in deze scriptie besproken worden zijn allemaal vormen van co¨operatieve spelen. Een vrij vertaalde definitie van een co¨operatief spel naar Brandenburger (2007) is de volgende: ”Een co¨operatief spel bestaat uit de volgende twee elementen: (i) een verzameling spelers, en (ii) een karakteristieke functie die de gegenereerde waarde van verschillende groepen spelers in het spel specificeert. Formeel, laat N = {1, 2, . . . , n} de eindige verzameling spelers zijn, en laat i, waar i loopt van 1 tot n, de verschillende spelers van N voorstellen. De karakteristieke functie is een functie, genoteerd als v,
die elke deelverzameling S van N kan kwantificeren tot een waarde. Het getal v(S) is ge¨ınterpeteerd als de waarde die gecre¨eerd wordt, wanneer de spelers die S vormen samen komen en interactie hebben. Samengevat is een co¨operatief spel een paar (N,v) waarbij N een eindige set is en v een functie die deelverzamelingen van N omzet naar getallen.
Deze definitie houdt in dat bij een co¨operatief spel groepen spelers overeenkomstige doelen hebben en het spel een competitie is tussen groepen spelers en niet alleen tussen individuen.
2.3
Model Chwe
Het model van Chwe (2000) veronderstelt een spel waarbij iedereen in een groep een individuele keuze moet maken, om wel of niet deel te nemen. Het model is gebaseerd op een situatie waarbij binnen een groep iedereen een individuele keuze maakt, maar deze individuele keuzes weer gezamelijk invloed hebben op de groep. De keuze van iedere speler hangt af van zijn drempelwaarde. Als de speler weet dat het aantal spelers dat meedoet groter is dan de drempelwaarde van de speler, dan heeft een speler altijd een voorkeur om te spelen. Dit zorgt ervoor dat er geen impasse ontstaat wanneer er een minimaal aantal spelers nodig is om te spelen. Daarover meer in paragraaf 4.1.
In deze versie van het model maakt de speler geen schatting als niet alle drempelwaar-den bekend zijn, maar speelt de speler alleen als deze zeker weet dat er genoeg spelers spelen. Er is doet zich daarom geen situatie waar een speler speelt, terwijl deze niet had willen spelen. Het omgekeerde geval kan wel voorkomen. Hieruit blijkt dat de spelers risicoavers zijn.
2.3.1 Common knowledge
Als informatie common knowledge is, dan betekent dat dat deze informatie beschikbaar is voor iedere speler (Lewis, 1969; Auman, 1976). En elke speler weet ook weer dat elke speler deze informatie tot zijn beschikking heeft. En elke speler weet ook dat elke speler weet dat elke speler deze informatie tot zijn beschikking heeft. Dit gaat op deze manier tot in het oneindige door.
2.3.2 Interpretatie link
In zowel het model van Chwe (2000) als in het nieuwe model dat in het volgende hoofdstuk beschreven wordt, vindt informatieoverdracht tussen spelers via de eerder genoemde links plaats. Een link is een manier om informatie over de drempelwaarden uit te wisselen. De
2 1
(a) Beide spelen
2 2
(b) Beide spelen
3 1
(c) Alleen links speelt
1 1
(d) Beide spelen
3 2
(e) Beide spelen niet
3 3
(f) Beide spelen niet
Figuur 1: Voorbeelden met twee spelers
links in het netwerk stellen niet alle informatieoverdracht voor, maar alleen de overdracht van informatie over de drempelwaarden. Spelers hebben een link op het moment dat zij genoeg contact hebben om de drempelwaarde van elkaar te weten. De sociale netwerken in deze scriptie bestaan uit ongerichte grafen, dus deze informatieoverdracht is altijd twee kanten op.
2.3.3 Spelvoorbeeld met twee spelers
In figuur 1 (bovenaan deze pagina) staat het meest eenvoudige model van twee spelers weergegeven. De getallen in de knopen staan voor de drempelwaarde van de desbetref-fende speler. Naar de spelers wordt respectievelijk verwezen als ’links’ en ’rechts’. Alle mogelijkheden voor een twee-speler netwerk staan hier beschreven, alleen symmetrische oplossingen zijn weggelaten. Bij (a) speelt de linker speler sowieso en dat weet de rechter speler, deze speelt daarom ook. Bij (b) weten beide spelers dat als ze spelen de ander ook wil spelen. Speltheoretisch zijn er dan twee Nash-evenwichten: namelijk beide spelen of beide spelen niet. Echter wordt er in deze situatie door beiden gespeeld, omdat spelen meer nut heeft dan niet spelen en beide spelers kennen deze preferentie van elkaar. In situatie (c) speelt links ongeacht de keuze van rechts, en rechts speel sowieso niet, ofte-wel alleen links speelt. Bij (d) spelen beide spelers ongeacht de keuze van de ander. In situatie (e) wordt helemaal niet gespeeld, omdat links alleen speelt als er minimaal ´e´en medestander is, maar deze medestander kan niet gevonden worden in rechts, bijgevolg wordt er helemaal niet gespeeld. In de laatste situatie (f) wordt er ook niet gespeeld, omdat beide spelers sowieso niet willen spelen.
De structuur van het netwerk is common knowledge, dat houd indat een speler weet hoeveel spelers er in het netwerk zijn en ook op welke manier deze met elkaar verbonden zijn. Ook de speelstrategie van elke speler is common knowledge. Zoals bij geval (b) van het twee-speler spel (figuur 1) duidelijk wordt. Speltheorie geeft twee mogelijke Nash-evenwichten: beide spelen wel of spelen niet. De manier waarop naar ´e´en van deze evenwichten wordt gegaan, hangt af van de strategie van de spelers.
2.3.4 Voorbeeld ’afzetten ceo’
Ter illustratie dient de toepassing van het model van Chwe (2000) door Huang, et al.(2014) in een situatie waar een aantal (n) senior vicepresidenten van een bedrijf een ongeliefde ceo willen afzetten. Er is een minimum aantal vicepresidenten nodig om de afzetprocedure te starten. En niemand wil aan deze procedure meedoen als er geen zekerheid is dat dit minimum zal worden behaald uit angst voor represailles van de ceo als het plan mislukt. Het minimum aantal deelnemers stellen we q. Iedere vicepresident heeft een bepaalde drempelwaarde die het minimaal aantal deelnemers voorstelt, dat mee moet doen om de speler ook om te krijgen. In het geval van de vicepresidenten die de ceo graag weg willen is dat q. Er zijn ook vicepresidenten die de ceo wel mogen en niet willen meewerken aan deze procedure. Deze hebben een drempelwaarde van groter dan n. Dit kan nooit bewerkstelligd worden omdat er slechts n vicepresidenten zijn. Ten slotte, zijn er ook nog vicepresidenten die geen duidelijke afkeer hebben jegens de ceo, maar ook niet bij een kleine meerderheid van tegenstanders van het afzetten wil horen. Hun drempelwaarde kan tussen de q en de n in liggen.
2.3.5 Spelvoorbeeld met vier spelers
Naar de paper van Huang at al(2014), wordt in deze paragraaf een spel van vier spelers beschreven, waarbij mogelijke situaties worden uitgewerkt. Bovenaan de de volgende pa-gina staat een figuur met vier spelsituaties. (figuur 2a, 2b, 2c en 2d). De spelers zijn in deze figuur genummerd en de getallen representeren hier niet de drempelwaarden. In dit spel wordt aangenomen dat de spelers compleet risico-averse zijn, wat wil zeggen dat ze alleen spelen in absolute zekerheid. In figuur 2a hebben alle spelers een drempelwaarde van 3. De toestand waarin een netwerk zich bevindt, kan als volgt beschreven worden: {3333}. Met de informatie die speler 1 heeft kan hij concluderen dat de toestand ´e´en van de volgende sets is : {3331,3332,3333,3334,3335}. Op het eerste gezicht lijkt het dat spe-lers 1,2 en 3 in elk van deze gevallen zouden spelen, toch is dit niet het geval. Uitgaande van de situatie {3335}, zouden in dit geval spelers 2 en 3 niet spelen. Deze zien dan na-melijk respectievelijk: {3314,3324,3334,3344,3354} en {3134,3234,3334,3434,3534}. Deze spelers zien dan allebei een mogelijkheid ({3354} en {3534}) waar er te weinig deelne-mers zijn om te spelen en gegeven het feit dat de spelers risico-averse zijn, wordt er dan niet gespeeld. Wetende dat deze situatie zich voor kan doen, wordt er in deze situa-tie door speler 1 niet gespeeld. Het netwerk is symmetrisch en daarmee kan er worden aangenomen dat de drie andere spelers dezelfde afweging maken.
2 3 1 4 (a) {3333} 2 3 1 4 (b) {3333} 2 3 1 4 (c) {3334} 2 3 1 4 (d) {3433}
Figuur 2: Voorbeelden met 4 spelers.
Speler 2 en 3 kunnen het hele netwerk zien:{3333}. Speler 1 ziet {3331,3332,3333,3334,3335} en speler 4 ziet: {1333,2333,3333,4333,5333} In dit geval wordt er door iedere speler ge-speeld. Speler 1 speelt, omdat speler 2 en 3 ook een drempelwaarde 3 hebben en ze kunnen deze nu ook van elkaar waarnemen. Het maakt voor deze spelers dan ook niet uit wat de drempelwaarde van speler 4 is. Speler 4 heeft dezelfde situatie als speler 1: spelers 2 en 3 hebben ook een drempelwaarde 3 en alle drie de spelers weten dit ook van elkaar. Deze extra connectie zorgt er voor dat er in dit spel wel actie wordt ondernomen.
Bij figuur 2c is het netwerk hetzelfde als 2b maar de toestand is anders. Speler 1 heeft dezelfde informatie als in netwerk 2b: {3331,3332,3333,3334,3335}. In een consistent model zou deze speler daarom nu weer moeten spelen. Dit is gelukkig het geval omdat wederom de drempelwaarde van speler 4 geen invloed heeft op de andere spelers. Dit komt omdat spelers 1,2 en 3 allemaal een drempelwaarde 3 hebben en dit van elkaar weten. Speler 4 echter ziet {1334,2334,3334,4334,5334}. Speler 4 gaat in dit geval niet spelen, omdat deze speler een hogere drempelwaarde heeft dan het aantal connecties. In een spel met alleen eerstegraads connecties betekent dit dat deze speler nooit genoeg informatie kan hebben om met zekerheid te kunnen spelen. Met eerstegraads connecties wordt bedoeld dat elke speler slechts informatie heeft over de drempelwaarde van spelers waar die persoon ook direct een connectie mee heeft. Er spelen in deze situatie uiteindelijk drie van de vier spelers.
In figuur 2d is de toestand van het netwerk: {3433}. Als de drempelwaarden com-mon knowledge zouden zijn, dan zou iedereen in dit netwerk spelen. Echter wordt er nu helemaal niet gespeeld, omdat deze informatie niet beschikbaar is. Speler 1 ziet
{3431,3432,3433,3434,3435}. In de situatie {3435} wordt er helemaal niet gespeeld en dat is voor speler 1 genoeg reden om niet te spelen. Speler 2 weet de toestand van het netwerk en weet daarmee ook dat speler 1 niet gaat spelen. Speler 2 speelt alleen als alle andere spelers spelen, en speelt daarom niet. Speler 3 speelt alleen als er minimaal 2 andere spelers spelen, maar aangezien zowel speler 1 als 2 niet spelen, speelt speler 3 ook niet. Speler 4 ziet {1434,2434,3434,4434,5434}. Speler 4 heeft een positie die symmetrisch is aan die van speler 1 en maakt dezelfde keuze als speler 1. Speler 4 speelt daarom ook niet. Uit dit voorbeeld blijkt hoe belangrijk de structuur van een netwerk is.
2.3.6 Dynamiek binnen het netwerk
Tot nu toe was het alleen mogelijk informatie te krijgen van de directe connecties. Een simpele manier om dynamiek toe te voegen aan het model, is door aan te nemen dat iemands omgeving zich uitbreidt over tijd (Chwe,2000). Op tijdstip 1 heb je alleen infor-matie over je direct aangrenzende connecties, maar op tijdstip 2 ook van hun connecties en dit gaat zo door tot het hele netwerk bereikt is. Het model dat in deze scriptie beschreven wordt, bevat deze eigenschap ook. Dit wordt in het volgende hoofdstuk besproken.
3
Nieuw model
3.1
Plan van aanpak
Deze scriptie beschrijft een alternatief model voor eenzelfde situatie als in het model van Chwe (2000) dat beschreven is in het theoretisch kader. Met behulp van de schattingen van bepaalde informatie kan vanuit het nieuwe model de sociale besluitvorming rond collectieve actie in vroegere beslissingsfase plaatsvinden. Plan van aanpak hiervoor is om eerst het nieuwe model op te stellen en dit vervolgens in matlab te programmeren en te testen. In dit hoofdstuk wordt het nieuwe model gepresenteerd en uitgelegd.
Het nieuwe model dat in deze scriptie beschreven wordt, neemt aan dat elke speler de keuze heeft om aan een bepaalde actie al dan niet deel te nemen. Elke speler maakt een keuze gebaseerd op de informatie die deze speler krijgt uit zijn omgeving. Een speler wil deelnemen als er een minimum van d-1 andere spelers ook meedoen, waarbij d de drem-pelwaarde van een speler is (zie theoretisch kader). Het nieuwe model beschrijft dezelfde situatie als het model van Chwe: een co¨operatief spel waarbij meedoen geprefereerd wordt boven niet spelen indien er genoeg medespelers zijn die spelen. Spelers moeten simultaan hun keuze maken om wel of niet te spelen. Een co¨operatief spel is een spel waarbij het
verschil tussen de twee modellen zit in de nutsfunctie. In het model van Chwe wordt pas gespeeld als het absoluut zeker is dat het beoogde aantal medespelers meedoet. In het vernieuwde model echter, wordt uitgegaan van een nutsfunctie waarbij deze ’straf’ op onterecht spelen veel kleiner is, waardoor een speler minder risico-averse wordt omdat de eventuele verliezen bij onterecht spelen kleiner zijn dan bij niet spelen. Om deze reden is het nemen van een gok wel de moeite waard, omdat de kans op onterecht niet spelen te groot is. Elke speler maakt daarom een schatting van de populatie op basis van gegevens van zijn directe omgeving. Zo neemt bij weinig informatie en een grote groep spelers de kans op deelnemen toe in verhouding met het model van Chwe. De drempelwaarden waarvan gebruik gemaakt worden, zijn random getrokken uit een normaalverdeling. De keuze voor de de normaalverdeling is gemaakt omdat dit een veel veelvoorkomende ver-deling is en daarom iets realistischer dan een andere verver-deling. Dit is een niet getoetste aanname. De soort verdeling en het totaal aantal spelers is common knowledge De para-meters van deze verdeling zijn het aantal spelers n, de gemiddelde drempelwaarde µ en de variantie σ2. Elke speler maakt een schatting van de µ en de σ2. Waarbij het aantal
connecties plus zichzelf het aantal spelers is dat een speler kan waarnemen. Hoe meer connecties een speler heeft, des te meer informatie een speler heeft en hoe nauwkeuriger zijn schatting is. Een verschil met het model van Chwe is dat de structuur van het net-werk geen common knowledge is. In de volgende paragraaf wordt verder ingegaan op de verschillende categorie¨en drempelwaarden die zich voordoen binnen dit nieuwe model.
3.2
Uitleg verschillende catogorie¨
en drempelwaarden
Onder de mogelijke verdelingen van de drempelwaarden kan je drie categorie¨en onder-scheiden, deze hangen af van de parameters µ en σ. Hierbij wordt uitgegaan dat de drempelwaarden common knowledge zijn. De categorie¨en zijn: (1) verdelingen waarbij er geen enkele oplossing is waarbij er gespeeld kan worden en iedereen zijn drempelwaarde haalt. In deze categorie speel niemand; (2) verdelingen waarbij er mogelijkheid is om te spelen maar er een minimaal aantal spelers nodig is; (3) verdelingen waarbij er sowieso gespeeld wordt. In de de paragrafen 3.2.4-3.2.6 wordt op elke categorie verder ingegaan. Er staat een grafiek bij elke uitleg waarop de horizontale-as het aantal spelers wordt aan-gegeven en op de verticale-as de drempelwaarde. De volgende functies zijn geplot in de afbeelding: y=x en f (x) = φ(x−µσ ) ∗ N . De functie f stelt het aantal spelers voor dat wil spelen gegeven dat er minimaal x mensen spelen. Dit komt neer op het aantal mensen dat een drempelwaarde ≤ x heeft. Als x = f (x) dan is er sprake van een dekpunt. Een dekpunt van functie f is een punt dat de eigenschap heeft dat het zichzelf als beeld heeft
onder de transformatie f . Dit dekpunt is stabiel als kf0(x)k < 1. In categorie 1 en 3 zijn er geen snijpunten in de grafieken en daarmee ook geen dekpunten, elk snijpunt is namelijk een dekpunt in deze afbeelding. Om deze reden is categorie 2 het meest inte-ressant. Dekpunten zijn belangrijk, omdat dit de stabiele evenwichten zijn. Zolang de situatie niet in een dekpunt is, zijn er altijd personen die er belang bij hebben om hun keuze te veranderen.
3.2.1 Waarom sociaal netwerk
Kuran (1989) stelt dat ” politieke revoluties in de moderne geschiedenis, zoals de Franse revolutie van 1789, de Russische revolutie van februari 1917, en de Iraanse revolutie van 1978-79, voor de hele wereld als een verrassing kwam.” Dit terwijl achteraf deze revoluties vaak de ”onvermijdbare uitkomst van machtige sociale krachten” worden gezien.(Kuran, 1989). Een belangrijke reden voor deze onvoorspelbaarheid is dat mensen hun afkeer van een regime niet hardop durven uit te spreken uit angst voor repressies. Dit is een goed argument voor het gebruik van sociale netwerkanalyse. Personen vertellen alleen hun voorkeur aan degene die ze het meest vertrouwen. Als je elk persoon als een knoop beschouwt en dan met links aangeeft wie elkaar de drempelwaarden verteld, dan krijg je een sociaal netwerk.
3.2.2 Dynamische systemen
Granovetter (1978) beschrijft een dynamisch model waar iedere speler een drempelwaarde heeft, maar spelers weten elkaars drempelwaarde niet. Of een speler speelt of niet is common knowledge. De keuze om wel of niet te spelen wordt simultaan gemaakt, maar een speler kan dan altijd zijn keuze aanpassen in een latere ronde. De keuze die een speler maakt, is afhankelijk van het aantal spelers dat al speelt en kan weergegeven worden in de vorm: xt = f (xt−1) en xt+1= f (xt) . Een dergelijke formule is geplot met de lijn y = x
in figuur 3 met een aantal iteraties. Een evenwicht is bereikt als het systeem convergeert naar een dekpunt. Een dergelijk dekpunt is een punt waarvoor geldt dat: f (xt) = xt. In
de volgende paragraaf wordt uitgelegd hoe een dekpunt berekend wordt.
3.2.3 Dekpunten berekenen
Om de dekpunten van y = x en f (x) = Φ(x−µσ ) ∗ N te berekenen moet de volgende vergelijking worden opgelost:
f (x) = x −→ x = Φ(x − µ σ ) ∗ N
(a) startwaarde¡0.5 (b) startwaarde¿0.5
Figuur 3: Voorbeeld iteraties
Deze vergelijking is niet exact op te lossen en daarom wordt er gebruik gemaakt van een algoritme om de oplossingen te benaderen. Er kunnen dan nul, ´e´en, twee of drie snijpunten gevonden worden op het interval [0, N ]. In het geval van 0 snijpunten ligt de cumulatieve distributie functie (CDF) geheel boven of onder de lineaire functie. De verdeling behoort dan tot categorie 1 of 3.
In figuur 3 wordt duidelijk dat de startwaarde bepalend kan zijn naar welk dekpunt geconvergeerd wordt. Het probleem met dynamische systemen is dat als f (x) < x op een interval [0, α) en x0 = 0 (startwaarde) dat er dan nooit iemand gaat spelen in dit model, omdat er alleen gereageerd wordt op anderen die spelen.
Figuur 4: Categorie 1 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 Situatie 1 Threshold
3.2.4 Categorie 1
In categorie 1 zijn er voor elke drempelwaarde (0 < T ≤ N ) spelers bereid om te spelen en de aanname dat spelers spelen als ze kunnen spelen, zorgt ervoor dat altijd iedereen speelt. De dynamiek van deze situatie stijgt monotoon tot iedereen speelt. Als een speler denkt dat deze situatie zich voordoet, zal deze altijd spelen. Er zijn geen verdere aannames nodig om te spelen. In figuur 4 staat een voorbeeld van een grafiek van de CDF van een typische categorie 1 verdeling.
3.2.5 Categorie 2
Categorie 2 is de meest interessante categorie omdat er bepaalde waarden van T (met 0 < T ≤ N ) zijn waarbij er wel gespeeld wordt, en er waarden zijn waarbij er niet gespeeld wordt. Als er niet gespeeld wordt, zijn de waarden laag en als er wel gespeeld wordt zijn de waarden hoger. Volgens de theorie van dynamische systemen hangt het af naar welk dekpunt er geconvergeerd wordt van de startwaarde. In dit model wordt er altijd begonnen met nul spelers, hetgeen in het model van Granoveter (1989) zou betekenen dat er niet gespeeld zou worden. Maar in dit nieuwe model is het nut van spelen in verhouding met niet spelen hoger, dus als spelers weten dat er een mogelijk evenwicht is dan gaan ze zo spelen dat ze in die situatie komen. Figuur 5 toont een voorbeeld van een grafiek van de CDF van de verdeling van categorie 2.
Figuur 5: Categorie 2 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 Situatie 2 Threshold
aantal spelers die willen spelen
3.2.6 Categorie 3
In categorie 3 zijn er voor geen enkele drempelwaarde (0 < T ≤ N ) spelers bereid om te spelen. De dynamiek in deze situatie is statisch en daarom ook niet zo interessant. Als
een speler denkt dat er sprake is van een categorie 3 netwerk dan zal deze nooit spelen. Het maakt niet uit welke oplossingsstrategie je gebruikt, het zal geen nut zal hebben om in dit geval te spelen. Berekeningen voor deze categorie zijn daardoor minder interessant. Categorie 3 kent alleen een dekpunt bij 0 spelers en dit zal daarom ook de beste situatie zijn binnen deze categorie.
Figuur 6: Categorie 3 0 200 400 600 800 1000 1200 0 200 400 600 800 1000 1200 Situatie 3 Threshold
aantal spelers die willen spelen
3.3
Oplossingsstrategie
De oplossingsstrategie van elke speler bestaat uit drie stappen. Eerst wordt een schat-ting van het model gemaakt. Op deze schatschat-ting zal in de volgende paragraaf verder ingegaan worden. Vervolgens wordt de hoogste drempelwaarde berekend die onder deze verdeling nog een stabiele oplossing geeft. Als deze waarde groter of gelijk aan de eigen drempelwaarde is, dan speelt de speler.
3.4
Schatting
In de voorgaande paragraaf is uitgelegd welke drie verschillende categori¨en verdelingen er zijn in het geval van volledige informatie. Elke speler probeert een schatting te maken van de drempelwaarden door de parameters van de verdeling te schatten. In deze paragraaf wordt er verder in gegaan op het fenomeen schatten binnen dit model en het maken van de beslissing.
Voor het schatten van de verwachte waarde µ wordt het gemiddelde van observaties gebruikt. Voor de variantie σ2 wordt de steekproefvariantie s2 gebruikt. Elke speler
maakt een schatting van deze verdeling en beslist aan de hand daarvan of hij wel of niet speelt. De aanname die elke speler maakt, is dat als er gespeeld kan worden er
ook gespeeld wordt. Als je de theorie van dynamische systemen zou toepassen zou er alleen gespeeld worden als er een startpunt was groter dan de waarde van T voor het eerste dekpunt. Het model van Chwe (2000) biedt hier al een oplossing voor door aan te nemen dat als er gespeeld kan worden en iedereen heeft de juiste informatie, dan wordt er gespeeld. Het probleem is echter dat over de juiste informatie beschikken soms lang kan duren. In het artikel van Chwe (2000) heeft hij netwerken van 30 spelers gesimuleerd, terwijl het voor de praktijk interessanter is om naar veel grotere netwerken te kijken. In het theoretisch kader worden de voorbeelden gegeven van situaties waar dit model op van toepassing is. Als het gaat om bijvoorbeeld revoluties, dan zijn 30 spelers wel erg weinig. De methode die in deze scriptie beschreven wordt, gaat naar verwachting sneller naar de eindoplossing, omdat er minder kennis nodig is om een inschatting te maken. Dit heeft als nadeel dat elke speler speelt ook al heeft deze geen absolute zekerheid, waardoor er een risico wordt genomen. Maar dat is geen vreemde aanname, omdat dit soort collectieve acties niet per s´e situaties zijn die nooit mislukken.
3.5
Nutsfunctie
Berk (1974) stelt dat de kosten van het meedoen van een speler minder worden naarmate er meer spelers meedoen. Om deze rede wordt er in deze scriptie een nutsfunctie gebruikt waarbij het aantal medespelers een positieve relatie heeft met het nut. De nutsfunctie die wordt gebruikt in deze scriptie is lineair de variabele k dat het aantal spelers dat totaal speelt voorstelt. ui(k) = 0 niet spelen −αi+ βi∗ k wel spelen
Waarvoor geldt dat: ui(d) ≥ 0 en ui(d − 1) < 0
De parameters α en β zijn per persoon verschillend. Deze parameters worden niet precies berekend in deze scriptie maar er wordt wel uitgegaan dat het gedrag van de spelers past bij de eigenschappen van deze nutsfunctie.
3.6
Dynamiek
In het nieuwe model is een vergelijkbare dynamiek gebruikt als in het model van Chwe (2000). Per ronde wordt de omgeving van een speler groter. Dit wordt gedaan door alle spelers die direct gelinkt zijn aan de omgeving van een speler, bij elke ronde aan de omgeving toe te voegen. De drempelwaarden worden dan zichtbaar, maar de keuze die
gemaakt is om al dan niet te spelen nog niet. Het verschil met het model van Chwe is dat in dit model is gekozen om dit tot drie ronden te beperken. Hiervoor is gekozen omdat voor grote netwerken het onmogelijk is om van iedereen de drempelwaarde te weten. De informatie over iemand zijn drempelwaarde zou anders namelijk toch algemeen bekend kunnen worden en dat is tegenstrijdig met het feit dat de informatie in collectieve actie vaak maar beperkt beschikbaar is (Kuran 1989). Als de omgeving van een speler groter wordt, dan heeft de speler ook meer waarnemingen om zijn schatting op te baseren waardoor deze als het goed is ook weer nauwkeuriger wordt.
Spelers die al in een vroeg stadium gespeeld hebben, kunnen hun keuze niet meer ongedaan maken. Gezien de nutsfunctie van deze spelers hebben zij er baat bij om zoveel mogelijk medespelers mee te laten spelen. Dit doen ze door de schatting van andere spelers te manipuleren door hun drempelwaarde lager te laten voordoen dan deze in werkelijkheid is. In dit model is er voor gekozen om per tijdseenheid waarbij gespeeld is, de drempelwaarde die voor een speler zijn connecties te zien is te verlagen met vijf. Dit verlagen van de voor andere spelers waarneembare drempelwaarden wordt in de scriptie overhalen genoemd.
Bijvoorbeeld: als een speler een drempelwaarde van 15 heeft en gelijk besluit te spelen in ronde 1, dan gaat hij proberen zijn connecties over te halen om ook te spelen door voor te doen alsof hij eigenlijk een drempelwaarde heeft van 10 in ronde 2 en 5 in ronde 3. Op deze manier krijgen zijn connecties een verkeerd beeld van de de populatie en hoopt de speler dat zijn medespelers overstag gaan om ook te spelen.
4
Modelleren
In dit hoofdstuk wordt in het kort het belangrijkste deel van de geschreven matlab code besproken. De volledige code is te vinden in de bijlage 1.
4.1
Random netwerk genereren
De volgende matlabcode wordt gebruikt om een netwerk van N spelers te genereren. Er wordt eerst een bovendriehoek matrix gegenereerd die vervolgens symmetrisch gemaakt wordt.
d = rand(N,1)+0.1; % Diagonale waarden
t = triu(bsxfun(@min,d,d.’).*rand(N),1); %bovendriehokmatrix M = round(diag(zeros(N,1))+t+t.’); %Maakt matrix symetrisch
Het onderstaande stuk code is om elke speler minimaal 1 verbinding te laten heb-ben. Spelers zonder verbindingen worden zo uitgesloten. Het is nog steeds mogelijk om verschillende delen in het netwerk te hebben die niet met elkaar verbonden zijn.
aos=sum(sum(M)==0); if aos>0 rrr=rand(1,N)*N; rr=ceil((sum(M)==0).*rrr); for i=1:N if rr(i)>0 M(i,rr(i))=1; M(rr(i),i)=1; end end end
4.2
Drempelwaarde genereren
Op de volgende manier worden de drempelwaarden bepaald. Er is gekozen voor een truncated normaalverdeling in plaats van een gewone normaalverdeling, omdat zo drem-pelwaarden onder 0 uitgesloten kunnen worden. In de code staat minimumdrempelwaarde voor het punt waar de kansdichtheid het hoogst is. In de onderstaande code hangt die van N af. De variabele sigma stelt de variantie van de verdeling voor. De sigma en mi-nimumdrempelwaarde worden zo gekozen dat er een verdeling van de gewenste categorie ontstaat.
%G is een matrix waarin alle korste afstanden berekend worden Afstanden=Afstanden+Afstanden’;
sigma=5;
minimumdrempelwaarde=45;
%N drempelwaarden worden vanuit truncated normaalverdeling getrokken met %sigma als standaardafwijking en met gemiddelde minimumdrempelwaarde
4.3
Beslissing maken
De variabele gemiddeldeperspeler is de schatting van µ die iedere speler maakt. De variabele skwadraat is de schatting die iedere speler maakt van σ2.
Tot slot is de variabele ss een string waarin staat of een speler wel of niet gaat spelen. Deze wordt als volgt gegenereerd: eerst wordt de cumulatieve normaalverdeling per speler gegenereerd op basis van de geschatte parameters, daarna wordt gekeken of er gespeeld kan worden - door na te gaan wat het hoogst mogelijke aantal spelers is dat gaat spelen en vervolgens dit te vergelijken met de eigen drempelwaarde - waarbij gespeeld wordt, als er naar verwachting minstens het aantal spelers gaat spelen dat de eigen drempelwaarde vereist. gemiddeldeperspeler=MM*Threshold./sum(MM)’; skwadraat=(MM*Threshold.^2-sum(MM)’.*gemiddeldeperspeler.^2)./sum(M)’; for i=1:N j=N+1; x=0; while x>j && j>3 j=j-1; x=normcdf(j,gemiddeldeperspeler(i),skwadraat(i)); end if j>Threshold(i) ss(i)=1; end end
Afstanden is een matrix waarin alle kortstepad lengte tussen twee spelers wordt be-rekend. Als twee spelers niet met elkaar verbonden kunnen worden omdat het netwerk niet uit een geheel bestaat, wordt er op die plek van de matrix N + 1 ingevuld.
%korste pad van netwerk wordt berekend voor elk punt. Dit is natuurlijk een %symmetrische matrix.
for j=2:N
for i=1:(j-1)
n=1;
while n<(N+1) && Afstandenhelp(i,j)==0 Afstandenhelp=Afstandenhelp*M; n=n+1; end Afstanden(i,j)=n; end end
%G is een matrix waarin alle korste afstanden berekend worden Afstanden=Afstanden+Afstanden’;
In het onderstaande stuk code wordt de omgevingsmatrix bepaald. De omgevingsma-trix bevat voor elke speler een vector waarbij wordt aangegeven of een andere speler al dan niet in zijn omgeving is.
Mij = 1 in omgeving 0 iet in omgeving for jj=1:3 if jj==2 MM=(Afstanden<3); elseif jj==3 MM=(Afstanden<4); else MM=(Afstanden<2); end M=MM-diag(ones(1,N)); if jj>1 drempelwaarde1=drempelwaarde-5*Welofnietspelen(k+jj-1,:)’; else drempelwaarde1=drempelwaarde; end
In het onderstaande stuk code wordt het hoogste dekpunt van de CDF vannormaal-verdeling met de geschatte parameters berekend. Als de drempelwaarde hoger is dan het aantal spelers of het gevonden dekpunt lager is dan de drempelwaarde dan wordt er niet gespeelt.
for i=1:N x=1; if jj>1 && Welofnietspelen(k+jj-1,i)==1 j=0; else j=N+1; end if drempelwaarde(i)<=N while x<j && j>3 j=j-1; x=N*normcdf(j,gemiddeldeperspeler(i),sqrt(skwadraat(i))); end if j>drempelwaarde(i) welofnietspelen(i)=1; end end end
4.4
Voorbeeld
In deze paragraaf wordt het hele programma een keer doorlopen. In figuur 7 staat een netwerk van 10 spelers afgebeeld. Dit netwerk is eerst random getrokken met behulp van het in de vorige paragraaf uitgelegde algoritme.
Dit netwerk kan ook weergegeven worden met behulp van de gravennotatie, zoals uitgelegd in het theoretisch kader (N, g).
Figuur 7: Afbeelding van netwerk Node 1 Node 2 Node 3 Node 4 Node 5 Node 6 Node 7 Node 8 Node 9 Node 10 g = 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 en N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
De drempelwaarden worden random getrokken met als parameters: µ = 7 en σ = 2. Deze zijn in vectorvorm:
6 6 10 7 8 6 11 6 7 8
Wat de cumulatieve functie oplevert ,zoals afgebeeld in figuur 8.
Uit deze figuur kan worden geconcludeerd dat er twee dekpunten zijn: (0, 0) en (8, 8). Volgens de aannames die in dit model gemaakt zijn gaan de spelers proberen in een van de stabiele punten te komen waarbij wel gespeeld wordt. Spelen wordt immers geprefereerd boven niet spelen. Maar het is niet zeker of dit lukt. Als iedereen elkaars drempelwaarde wist, zou er sowieso gespeeld worden. Elk individu maakt een schatting van de parameters
Figuur 8: Categorie 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
speler drempelwaarde gemiddeldethreshold std
1 6 7.00 3.0000 2 6 8.25 6.9167 3 10 7.33 5.3333 4 7 9.00 8.0000 5 8 7.50 0.5000 6 6 6.00 0 7 11 8.20 4.7000 8 6 8.25 4.2500 9 7 8.00 4.4000 10 8 8.00 5.5000
Tabel 1: Voorbeeld 10 speler
µ en σ. Die schatting staat weergegeven in de tabel hieronder. De standaarddeviaties varie¨en sterk omdat elke speler maar gemiddeld 2.8 connecties heeft en daarmee inclusief zichzelf gemiddeld 3.8 waarnemingen. De schattingen zijn daarom niet heel betrouwbaar. In dit geval spelen alle speler behalve speler 7. Het is niet verwonderlijk dat speler 7 niet speelt, omdat zijn drempelwaarde van 11 in een spel met 10 spelers nooit bereikt kan worden. Dat brengt het totaal op negen spelers die spelen. Van die negen spelers heeft alleen speler 3 een drempelwaarde van boven de 9. Omdat speler 7 niet speelt zijn er dus te weinig spelers om aan de drempelwaarde van speler 3 te voldoen, waardoor deze onterecht meespeelt. Er zijn geen spelers die onterecht niet spelen. Speler 3 is daarmee de enige speler die een foute keuze heeft gemaakt.
5
Resultaten
In dit hoofdstuk worden de resultaten besproken van een simulatie van het nieuwe model, die gegenereerd zijn met het in het hoofdstuk 4 uitgewerkte programma. De gebruikte begrippen voor de weergave van de tabellen worden uitgelegd in 5.1, gevolgd door de data per categorie in 5.2 t/m 5.4. Voor elk van de drie categorie¨en die besproken zijn in hoofdstuk 3 zijn verdelingen gekozen. Het programma trekt vervolgens uit deze verdelin-gen de drempelwaarden. De conclusie met betrekking tot de verkreverdelin-gen resultaten wordt besproken in de discussie (Hoofdstuk 6).
In de simulatie worden netwerken van 50 spelers beruikt. Dit is een grote groep, maar de benodigde rekentijd blijft haalbaar met 1000 runs per categorie. De getallen en percentages die weergegeven worden in dit hoofdstuk zijn telkens de gemiddelden van deze 1000 runs per categorie.
5.1
Uitleg begrippen
De gegevens staan per categorie weergegeven in twee tabellen. In tabel 2, 4 en 6 staan de gegevens per ronde. Onder Deelnemers is het percentage te vinden van het gemiddeld aantal deelnemers in die ronden, dit is het percentage ten opzichte van het totaal aantal spelers. Deelnemers zijn hier dus de spelende spelers. Onder Goede keuze staat het percentage spelers dat een goede keuze gemaakt heeft gegeven het totaal aantal spelers dat speelt die ronde in verhouding tot hun drempelwaarde. Dit percentage komt overeen met het percentage dat niet zijn keuze zou veranderen in het model van Granoveter (1989). Dit is iets anders dan of iemand een goede keuze heeft gemaakt in vergelijking met de perfecte situatie. De spelers die geen goede keuze hebben gemaakt, kunnen worden onderverdeeld in twee groepen: spelers die overschatten en spelers die onderschatten. Als een speler overschat dan speelt de speler wel maar spelen er te weinig spelers om zijn drempelwaarde te halen. Bij onderschatten speelt een speler niet terwijl hij achteraf dit gezien zijn drempelwaarde en het totaal aantal spelers dat speelt liever wel gedaan zou hebben. Onder Omgeving staat het gemiddeld aantal spelers dat iemand in zijn omgeving heeft.
In tabel 3, 5 en 7 staan de algemene gegevens over de drempelwaarden per categorie. De gemiddelde drempelwaarde staat voor de gemiddelde drempelwaarde per speler in de 1000 runs. Drempelwaarde > 50 staat voor het percentage spelers dat een drempel-waarde groter dan 50 heeft. Drempeldrempel-waarde=1 staat voor het percentage spelers dat een drempelwaarde van 1 heeft.
5.2
Categorie 1
Voor het krijgen van deze categorie zijn de de drempelwaarden getrokken uit een trunca-ted normaalverdeling op het interval [1, 30] met een variantie van 25.
Zoals uitgelegd in hoofdstuk 3 is categorie 1 de categorie waar iedereen zou moeten spelen bij volledige informatie. In figuur 9 staat de CDF functie geplot van de verde-ling waar de drempelwaarden uit getrokken worden. De functie stijgt erg snel in heer eerste deel, wat duidt op veel lage drempelwaarden. In tabel 3 staan de gegevens van de drempelwaarden weergegeven. De gemiddelde drempelwaarde is 7.4, wat een lage drempelwaarde is in verhouding tot het aantal spelers. Het netwerk met deze drempel-waardeverdeling is te interpreteren als een een groep mensen die relatief met een laag aantal medespelers ten opzichte van de hele groep wil spelen. Het aantal spelers met een drempelwaarde van 1 is met 8% de meest voorkomende drempelwaarde. Dit betekent dat 8% van de spelers ongeacht de keuze van de andere spelers deelnemen.
Geen van de spelers hebben een drempelwaarde hoger dan 50 bij deze drempelwaar-deverdeling. Volgens de modellen van Chwe (2000) en Granoveter(1989) zouden bij deze drempelwaarden uiteindelijk alle spelers deelnemen. Dit is bij het nieuwe model ook het geval: in alle drie de ronden spelen 100% van de spelers, zoals weergeven in tabel 2. Dit betekent dat iedereen een goede keuze maakt en dat er dus geen spelers zijn die een onderschatting of overschatting hebben gemaakt. Het nieuwe model geeft met deze ver-deling drempelwaarden een goede oplossing; niemand maakt een fout en deze oplossing is al na 1 ronde bereikt. Het maakt in dit geval niet uit of de omgeving groter wordt; de drempelwaarden zijn zo laag dat elke speler in de groep al gelijk speelt. De omgeving voor ronde 1, 2 en 3 bestaat gemiddeld uit respectievelijk 2.66, 9.56 en 15.85 spelers.
Figuur 9: Categorie 1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x F(x) Empirical CDF
Tabel 2: Gegegevens per ronde: categorie 1
Ronde Deelnemers Goede keuze Overschattingen Onderschatting Omgeving
1 100% 100% 0% 0% 2.66
2 100% 100% 0% 0% 9.56
3 100% 100% 0% 0% 15.85
Tabel 3: Gegegevens drempelwaarden: categorie 1
Gemiddelde drempelwaarde 7.4 Drempelwaarde 50 0% Drempelwaarde=1 8% .
5.3
Categorie 2
Voor het krijgen van deze categorie zijn de de drempelwaarden getrokken uit een trunca-ted normaalverdeling op het interval [−30, 20] met een variantie van 25. Bij elke drem-pelwaarde is vervolgens 35 opgeteld. De CDF-functie van deverdeling is geplot in figuur 10.
Zoals weergegeven in tabel 5 is de gemiddelde drempelwaarde bij deze categorie 2 verdeling 35.5. Er zijn geen spelers die hoe dan ook spelen ongeacht wat hun medespelers doen en 0.14% van de spelers wil niet spelen ongeacht de keuze van de andere. Tijdens de eerste ronde speelt 92.5% van de spelers en in de ronde daarna speelt 99.3% van de spelers (zie tabel 4). Dit verschil valt te verklaren doordat spelers meer informatie hebben, maar ook omdat de spelers die in ronde 1 al gespeeld hebben andere proberen ’over te halen’. Deze stijging van het aantal spelers zorgt voor een afname van het aantal spelers dat een overschatting heeft gemaakt; het percentage overschattingen daalt daarom met 6%. Het aantal spelers dat niet speelt maar dat eigenlijk wel had moeten doen daalt van 4.2% naar 0.1%. De spelers die in eerste instantie onterecht niet speelden op basis van de informatie in ronde 1 spelen bijna allemaal toch in ronde 2. 2.7% van de spelers speelden in ronde 1 terecht nog niet, maar in ronde 2 wel.
In ronde 3 stijgt het aantal deelnemers nog met 0.3% van het totaal aantal spelers. Dit heeft wel tot gevolg dat het aantal overschatters met 1% daalt. Deze grote daling in overschattingen wordt veroorzaakt doordat veel spelers maar 1 speler extra nodig hebben om hun drempelwaarde te behalen. De groep die verkeerd schat bestaat grotendeels uit spelers die niet ver van hun drempelwaarde afzijn. Dit komt omdat als 49 van de
Tabel 4: Gegegevens per ronde: categorie 2
Ronde Deelnemers Goede keuze Overschattingen Onderschatting Omgeving 1 92.5 % 88.4% 7.4% 4.2% 2.68 2 99.3 % 98.5% 1.4% 0.1% 9.66 3 99.6 % 99.6% 0.4% 0% 16.06 .
Tabel 5: Gegegevens drempelwaarden: categorie 2
Gemiddelde drempelwaarde 35.5 Drempelwaarde 50 0.14% Drempelwaarde=1 0% .
50 spelers deelnemen, alleen spelers met een drempelwaarde van 50 een overschatting kunnen maken. Spelers met een drempelwaarde van groter dan 50 spelen namelijk per definitie niet, omdat het aantal spelers common knowledge is.
Het vergroten van de omgeving en het overhalen van andere spelers door spelers die al gespeeld hebben, heeft tot gevolg dat het aantal spelers dat een goede keuze maakt stijgt van 88,4% tot 99,6%. De omgeving voor ronde 1, 2 en 3 bestaat gemiddeld uit respectievelijk 2.68, 9.66 en 16.06 spelers Figuur 10: Categorie 3 0 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x F(x) Empirical CDF
5.4
Categorie 3
Voor het krijgen van deze categorie zijn de de drempelwaarden getrokken uit een trunca-ted normaalverdeling op het interval [−30, 20] met een variantie van 25. Bij elke drem-pelwaarde is vervolgens 45 opgeteld. De CDF-functie van de verdeling is geplot in figuur 11.
Dit is de categorie waarin niemand zou moeten deelnemen bij volledige informatie over de drempelwaarden. De gemiddelde drempelwaarde bij deze verdeling is 45.5. Nul procent van de spelers in de runs speelt ongeacht de keuze van anderen, omdat 0% een drempelwaarde van 1 heeft. 16% van de spelers heeft een drempelwaarde groter dan 50 en speelt daarom niet ongeacht de keuze van de andere spelers (zie tabel 7).
In de eerste ronde speelt 12% van de spelers. Als een speler gespeeld heeft kan deze zijn keuze niet ongedaan maken en daarom kan dit percentage niet lager worden in de latere rondes, ondanks dat een speler meer informatie krijgt. Spelers die toch de keuze hebben gemaakt om te spelen gaan wel hun andere spelers overhalen, dit is waarschijnlijk de oorzaak dat het percentage spelers dat speelt nog stijgt naar 12.3% in ronde 2 en 12.4% in ronde 3. Alle spelers die niet spelen maken onder deze verdeling een goed keuze. De percentages die hier bijhoren voor ronde 1,2 en 3 zijn respectievelijk: 88.0%, 87.7% en 87.6% (zie tabel 6). De spelers die geen goede keuze maken zijn uitsluitend spelers die overschatten. Dit betekent dat de spelers die geen goede keuze maken, spelers zijn die spelen terwijl onder volledige informatie dit geen goed idee blijkt.
Figuur 11: Categorie 3 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x F(x) Empirical CDF
Tabel 6: Gegegevens per ronde: categorie 3
Ronde Deelnemers Goede keuze Overschattingen Onderschatting Omgeving
1 12.0% 88.0% 12.0% 0% 2.68
2 12.3% 87.7% 12.3% 0% 9.60
3 12.4% 87.6% 12.4% 0% 15.97
Tabel 7: Gegegevens drempelwaarden: categorie 3
Gemiddelde drempelwaarde 45.5 Drempelwaarde> 50 16.0% Drempelwaarde=1 0%
6
Discussie
De oplossingsstrategie van het nieuwe model was erop gericht om in een verdeling van categorie 2 de spelers toch tot deelnemen te krijgen, hetgeen blijkt te gebeuren gezien de verkregen resultaten.
Een samenvatting van de resultaten laat namelijk het volgende zien: in de eerste ronde in categorie 1 heeft 100% van de spelers gespeeld, waarmee ook 100% van de spelers een goede keuze heeft gemaakt. Voor deze verdeling werkt de oplossingsstrategie goed. De spelers maken deze correcte keuze op basis van gemiddeld slechts 2.66 medespelers in hun omgeving. Bij de verdeling van categorie 2 werkt de nieuwe oplossingsstrategie ook goed, gezien het hoge aantal spelers dat een goede keuze maakt. Een verschil met de categorie 1 verdeling is dat de oplossing per ronde verbetert. Het beschikken over meer informatie in combinatie met het overhalen, overtuigt nog meer spelers om te spelen. Het is in deze scriptie niet onderzocht hoe groot deze effecten individueel zijn, dit is een interessant onderwerp voor vervolg onderzoek. Door de stijging per ronde van het aantal spelers dat speelt neemt het aantal onderschattingen af omdat spelers ’toch gaan spelen’. En het aantal overschattingen neemt af omdat met meer spelers de drempelwaarde van deze spelers toch behaald wordt. Het nieuwe model is voor deze categorie drempelwaarden bedacht en werkt gelukkig ook nauwkeurig. Er komt een oplossing waarbij 99.6 % van de spelers een goede keuze maakt. De groep die geen goede keuze maakt, bestaat uit spelers die overschatten (0.4% ). Deze spelers maken maar een kleine inschattingsfout van 1 of 2 drempelwaarden zoals uitgelegd in het vorige hoofdstuk. In categorie 3 worden beduidend
meer fouten gemaakt. 12% van de deelnemers overschat in de eerste ronde. Dit stijgt in twee rondes naar 12.4% waarschijnlijk komt dat door het overtuigen. De spelers die gespeeld hebben, kunnen hun keuze niet meer ongedaan maken dus proberen ze het beste van hun situatie te maken. Dit doen ze door te pretenderen dat hun drempelwaarde lager is dan deze in werkelijkheid is en ze hopen dat andere spelers hierdoor eerder geneigd zijn om ook te spelen. Het lukt binnen deze categorie maar beperkt om andere spelers over te halen, omdat tegelijkertijd het netwerk groter wordt. De spelers die overschatten in deze situatie hebben een veel groter verschil tussen het aantal spelers dat meedoet en de drempelwaarde. Het gemiddeld aantal spelers dat speelt per netwerk is 6, terwijl de minimum drempelwaarde 25 is.
Wat met deze data is aangetoond, is dat met de beslisregels van het nieuwe model in bepaalde gevallen snel een goede oplossing voor het merendeel van de spelers kan worden bereikt. In deze scriptie is per categorie een verdeling gekozen. De conclusie die wordt getrokken, geldt alleen voor deze specifieke verdelingen. Uit vervolgonderzoek zou moeten blijken of generalisaties voor de gehele categorie¨en mogelijk zijn. In deze scriptie is aangetoond dat in 3 specifieke situaties het nieuwe model effectief is.
De grootste verbetering ten opzichte van het model van Chwe (2000) is dat er geen vollegdige kennis meer nodig is van alle drempelwaarden. Het is niet realistisch dat in grote, sociale netwerken de drempelwaarde van elke speler voor iedereen bekend is. Een ander voordeel van het nieuwe model is dat het maar drie ronden nodig heeft om tot een oplossing te komen. Bij het model van Granovetter (1989) kunnen er veel meer iteraties nodig zijn om zo dicht bij een dekpunt in de buurt te komen dat deze afstand verwaarloosbaar klein is.
Een nadeel van het nieuwe model is dat de spelers moeten aannemen dat de drem-pelwaarden uit een bepaalde verdeling worden getrokken. In dit model is de normaal-verdeling gebruikt, maar in praktijk zouden de drempelwaarden een andere normaal-verdeling kunnen hebben. Dit model toepassen op andere verdelingen van drempelwaarden zou een interessant onderwerp kunnen zijn voor vervolgonderzoek.
Geconcludeerd kan worden dat het nieuwe model dat in deze scriptie ge¨ıntroduceerd wordt, goed werkt in de opgevoerde categorie¨en, met name in categorie 1 en 2. He model bevat zowel voor- als nadelen ten opzichte van de huidige theorie. Het nieuwe model biedt veel ruimte voor vervolgonderzoek. De netwerken zouden op een andere manier gegene-reerd kunnen worden, of er zou bepaalde standaardnetwerken kunnen worden gebruikt.
7
Bibliografie
Aumann, R. J. (1976). Agreeing to disagree. The annals of statistics, 6, 1236-1239. Barrat, A., Barth´elemy, M. & Vespignani, A. (2008). Dynamical processes on complex
networks. Cambridge: Cambridge University Press.
Berk, R. A. (1974). A gaming approach to crowd behavior. American Sociological Review 39 (6), 355-373.
Brandenburger, A. (2007). Cooperative game theory. Teaching Mate-rials at New York University.
Chwe, M. S. Y. (1999). Structure and strategy in collective action 1. American journal of Sociology, 105 (1), 128-156.
Chwe, M. S. Y. (2000). Communication and coordination in social networks. The Review of Economic Studies, 67 (1), 1-16.
Granovetter, M. (1985). Economic action and social structure: the problem of
Granovetter, M. (1978). Threshold models of collective behavior. American journal of
sociology, 78 (6) 1420-1443.
Gross, J. L.,& Yellen, J. (2005). Graph theory and its applications. CRC press. Hamouda, S. B., & Akaichi, J. (2013). Social networks’ text mining for sentiment
classification: The case of Facebook’statuses updates in the ’Arabic Spring’era. International Journal Application or Innovation in Engineering and Management, 2 (5), 470-478.
Huang, J.P., Koster, M., Lindner, I. & Ramer, R. (2014) A game theoretic model for the effect of knowledge on collective action: action as communication device. Unpublished manuscript.
Jackson, M. O. (2008). Social and economic networks. New Jersey: Princeton University Press.
Kuran, T. (1989). Sparks and prairie fires: A theory of unanticipated political revolution. Public choice, 61 (1), 41-74.
Lewis, David K. (1969). Convention: a philosophical study. Cambridge: Harvard Press.
Mariolis, M. (1975). Interlocking directorates and control of corporations: The theory of bank control Social Sci. Quart. 56 (3), 425-439
Mizruchi, M. (1982). The American Corporate Network, Beverly Hills: Sage Publications. Molloy and B. Reed, (1995). A critical point for random graphs with a given degree
sequence, Random Structures Algorithms 6 (2-3), 161-179
Myerson, R. B. (1991). Game theory: analysis of conflict. Camebridge: Harvard University.
Opp, K. D., & Gern, C. (1993). Dissident groups, personal networks, and spontaneous cooperation: The East German revolution of 1989. American Sociological Review
58 (5), 659-680.
Padgett, J. F., & Ansell, C. K. (1993). Robust Action and the Rise of the Medici, 1400-1434. American Journal of Sociology, 98 (6) 1259-1319.
Scott, J. (2012). Social network analysis. Londen: Sage.
Snow, D. A., Zurcher Jr, L. A., & Ekland-Olson, S. (1980). Social networks and social movements: a microstructural approach to differential recruitment. American Sociological Review 45 (5), 787-801.
Wasserman, S., & Faust, K. Social Network Analysis. 1994. Cambridge: Cambridge University Press.
8
Bijlage 1
time=cputime;
%aantal spelers in netwerk N=50; %aantal genereren n=1000; Welofnietspelen=zeros(3*n,N) ; Drempelwaarden=zeros(n,N); bestekeuzeachteraf=zeros(3*n,N); drempelwaarde1=0; k=0; m=zeros(3000,1); for k=0:3:2997 Afstanden=zeros(N); H=zeros(N); Keuze=zeros(N,1); Aa=zeros(N); Ab=zeros(N); Ac=zeros(N,1); M=zeros(N); keu=zeros(N,1); Kk=zeros(N,1); K=zeros(N); welofnietspelen=zeros(1,N); rr=0; % netwerkmatrix genereren
d = rand(N,1)+0.1; % Diagonale waarden
t = triu(bsxfun(@min,d,d.’).*rand(N),1); %bovendriehokmatrix M = round(diag(zeros(N,1))+t+t.’); %Maakt matrix symetrisch
aos=sum(sum(M)==0); %aantal onverbonden spelers
%Hier worden alle onverbonden spelers alsnog met een willekeurige andere %speler verbonden if aos>0 rrr=rand(1,N)*N; rr=ceil((sum(M)==0).*rrr); for i=1:N if rr(i)>0
%deze while loop zorgt dat spelers niet zichzelf als enige link %krijgen while rr(i)==i rr(i)=ceil(rand*N); end M(i,rr(i))=1; M(rr(i),i)=1; end end end
%korste pad van netwerk wordt berekend voor elk punt. Dit is natuurlijk een %symmetrische matrix.
for j=2:N
for i=1:(j-1)
Afstandenhelp=M; n=1;
while n<(N+1) && Afstandenhelp(i,j)==0 Afstandenhelp=Afstandenhelp*M; n=n+1; end Afstanden(i,j)=n; end end
Afstanden=Afstanden+Afstanden’;
sigma=5;
minimumdrempelwaarde=45;
%N thresholds worden vanuit truncated normaalverdeling getrokken met %sigma als standaard afwijking en met gemiddelde Piekthresholds
drempelwaarde=ceil(TruncatedGaussian(sigma, [-30,20],50,1)+minimumdrempelwaarde);
% in de onderstaande matrix MM wordt de omgeving van een speler % vastgelegd. for jj=1:3 if jj==2 MM=(Afstanden<3); elseif jj==3 MM=(Afstanden<4); else MM=(Afstanden<2); end M=MM-diag(ones(1,N)); m(k+jj)=sum(sum(M))/100; if jj>1 drempelwaarde1=drempelwaarde-5*Welofnietspelen(k+jj-1,:)’; else drempelwaarde1=drempelwaarde; end gemiddeldeperspeler=MM*drempelwaarde1./sum(MM)’; skwadraat=(MM*drempelwaarde1.^2-sum(MM)’.*gemiddeldeperspeler.^2)./sum(M)’;
for i=1:N x=1; if jj>1 && Welofnietspelen(k+jj-1,i)==1 j=0; else j=N+1; end if drempelwaarde(i)<=N while x<j && j>3 j=j-1; x=N*normcdf(j,gemiddeldeperspeler(i),sqrt(skwadraat(i))); end if j>drempelwaarde(i) welofnietspelen(i)=1; end end end
% bestekeuzeachteraf is een binaire matrix waar een een staat of een % speler wel had moeten spelen gezien het aantal spelers en een nul als % de speler dit beter niet had kunnen doen.
%
%Wel of niet spelen is een matrix waarin de keuze van elke speler om wel %of niet te spelen wordt opgeslagen.
bestekeuzeachteraf(k+jj,:)=(drempelwaarde’<=sum(sum(welofnietspelen))); Welofnietspelen(k+jj,:)=welofnietspelen;
end
%achteraf. Drempelwaarden(k/3+1,:)=drempelwaarde’; end sum(sum(bestekeuzeachteraf(1:3:3000,:))) sum(sum(bestekeuzeachteraf(2:3:3000,:))) sum(sum(bestekeuzeachteraf(3:3:3000,:))) sum(sum(Welofnietspelen(1:3:3000,:))) sum(sum(Welofnietspelen(2:3:3000,:))) sum(sum(Welofnietspelen(3:3:3000,:))) sum(sum(Welofnietspelen)) berekentijd=cputime-time;
