De wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen van de verstevingsfunctie van Nadai

De wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen van

de verstevingsfunctie van Nadai

Citation for published version (APA):

Lamers, W. J. (1983). De wringproef als onderzoekmethode voor het vaststellen van de verstevingsfunctie van Nadai. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0017). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

afstudeerplaats

VAN

NADAl

l..0r?l3oo

q

W.J. Lamers

Technische Hogeschool Eindhoven afdeling werktuigbouwkunde vakgroep W P :B

seetie omvormtechnologie

afstudeermentoren: dr. ire J.A.H. Ramaekers (THE) ire J.W. Deckers (H.T.S. Eindhoven)

rapportnr. WPB 0017

SAMENVATTING

Indien een staaf van een bepaald materiaal wordt gewrongen, is dit materi-aal in staat grotere rekken te realiseren dan bij een zuivere trekbelas-tinge De verstevigingsfunctie bij plastische vervorming wordt veelal met een trekproef bepaald. Deze functie zou dus kunnen worden uitgebreid door het doen van wringproeven. Tijdens de wringproef worden de hoekverdraai-ing tussen de staafuiteinden en het wrhoekverdraai-ingmoment gemeten. Deze geg~vens

worden vertaald in effectieve rekken en spanningen met behulp van de plas-ticiteitsleer. De moeilijkheid die zich hierbij voordoet is dat zonder de kennis van de C- en n-waarde van een materiaal de spanningsverdeling over de dwarsdoorsnede van de wringstaaf onbekend is. Van een dunwandige buia kan de verdeling ala constant worden beschouwd. Doordat buizen onder wring-belasting g.aan plooien, bouwen we die op uit twee masaieve staven met verschil in diameter. Het verschil in moment is een maat voor de schuifspanning in het verschiloppervlak van beide dwarsdoorsneden. Het doel van dit afstudeer-project is het onderzoeken of de verstevigingskromme van de wringproef en van de trekproef met elkaar overeenkomen.

Na uitvoering van wring- en trekproeven met staal C45, RVS-staal en messing levert een vergelijking tussen beide verstevigingskrommen ons dat

voor de staalsoorten de n-waarde van de wringproef lager ligt dan van de trekproef

voor messing de n-waarde van de wringproef hetzelfde is als van de trekproef

voor messing de effectieve spanningen bij de wring-prqef globaal een 100 N/mm2 lager liggen dan bij de trekproef.

Het aangenomen model van eilkelvoudige afschuiving beschrijft niet het werkelijke wringproces omdat weldegelijk lengteverandering plaats vindt. Dit kan de oorzaak zijn van de verschillen in het resultaat.

YOORWOORD

Dit verslag is opgezet als afstudeerverslag ter voltooiing van mijn studie aan de H.T.S •• Deze afstudeerwerkzaamheden zijn op de Technische Hogeschool Eindhoven (TEE) verricht in opdracht van de sectie omvormtechnologie.

In deze periode ward ik begeleid door dr. ir. J. Ramaekers (THE) en door

ir. J. Deckers. Hiervoor rnijn hartelijke dank. Tevens wil ik de overige rnedewerkers van de sectie bedanken voor hun spontane hulp en adviezen en de prettige sarnenwerking.

INHOUDSOPGAVE

SAMENVATTING

VOORWOORD

1 INLEIDING

2 ANALYSE VAl~ WRINGING Mill' BEHULP V.AJj DE PLASTICITEITS-THEORIE

2.1 • Wringing van massieve ronde staven

2.1.1. Afleiding van de effectieve spanning 2.1.2. Afleiding van de effectieve rek 2.1.,. De theoretische

moment-hoekverdraai-ingskromme

2.2. Wringing van dunwandige buizen

2.2.1. Afleiding van de effectieve spanning 2.2.2. Afleiding van de effectieve rek

, UITVOERING V11N DE PROEVEN EN VERGELIJKING VAN DE

RE-SULTATEN

,.1. Beschrijving van de trekproef ,.2. Beschrijving van de wringproef

,.,. De verstevigingskrommen van staal C45

,.4. De verstevigingskrommen van Roestvrij Staal ,.5. De verstevigingsfunctie van messing

,.6. De moment-hoekverdraaiingskromme volgens de theorie en in de praktijk

4

HErr BREUKGEDRAG EN DE KRITISCHE REK

4 •1. Waarnemingen van het breukgedrag

4.1.1. Het breukgedrag van staal X10 Cr Ni 18 10 4.1 .2. Het breukgedrag van messing

4.2. De kritische rek bladzijde 2

5

7

7

7 8 11 11 11 12 14 14

15

16 18 20 22

25

25

25

26

28

5

NABESCHOUWING EN AAN::BEVELINGEN VOOR VERnER ONDERZOEK

bladzijde

31

LITERATUURLIJST

33

::BIJLAGEN

1 korte analyse van de samenhang tussen materiiHe

snelheidsverschillen en rek

34

37

41

42

45

lengteverandering van proefstaven (grafisch

weer-gegeven)

afleiding van de cirkel van Mohr afbeelding wringbank

2

3

4

verstevigingskrommen staal C45

1 INLEIDING

Onder invloed van belastingskrachten vervormt een materiaal, eerst elastisch en daarna ook plastisch. In het laatatgenoemde geval is de vervorming blij-vend. In de plasticiteitsleer die zich bezig houdt met omvormende processen is hoofdzakelijk de plastische rek van belang zodat, wanneer in dit verslag gesproken wordt van rek, automatisch de plastische rek wordt bedoeld.

Voor vele materialen geldt dat er vervormingsversteviging optreedt; de weer-stand van het materiaal neemt toe met een voortgaande mate van vervorming. Een realistiach model voor de beschrijving hiervan is de exponentiale ver-steviging die vaak wordt aangeduid als de verver-stevigingsfunctie van Nadai of ala verstevigingsfunctie van Ludwik.

effectieve spanning effectieve voorrek effectieve procearek karakteristieke spanning verstevigingsexponent

De n- en C-waarde van een materiaal be palen de geschiktheid ervan voor plastische vervorming. De trekproef is een veel toegepaste methode voor het verschaffen van deze grootheden. Maar in principe zijn veel omvorm-processen hiervoor geschikt,hetzij in meer, hetzij in minder goede mate. Bepaling van deze grootheden kan ook met de wringproef mits we hiervoor dunwandige ronde buizen nemen, zodat de schuifspanning bij benadering ala constant mag worden beschouwd. In de praktijk is deze proef moeilijk of

niet uitvoerbaar omdat de buis zal gaan plooien. Een mogelijkheid dit pro-bleem te ondervangen is het wringen van 2 staven met verschil in diameter. Het verschil in dwarsdoorsnede-oppervlak is dat van een buis.

Er zijn enkele redenen aan te voeren om voor de beschrijving van de materi-aalversteviging de wringproef te kiezen en niet de trekproef. Een zelfde materiaal kan door wringing meer effectieve rek ondergaan dan door trekbe-lasting. Omdat we aldus beschikken over een breder traject met meetpunten

zal de Nadai-kromme waarschijnlijk met grot ere nauwkeurigheid kunnen worden getrokken. Omdat bij wringing de grootste spanningen en vervorming aan de buitenrand optreedt, kan bekeken worden of het bereiken van een stabiliteits-criterium scheurvorming tot gevolg heeft. Een bijkomend gunstig aspect van de wringproef is dat deze vrij is van wrijvingsinvloeden.

Uit deze gedachtengang is deze afstudeeropdracht ontstaan. De omschrijving luidde:

Het vergelijken van de verstevigingsfunctie bepaald via trek met die bepaald via wringing.

Het testen van de betrouwbaarheid van de n- en C-bepaling zoals die met wringproeven zijn bepaald.

Het analyseren van de wringproeftheorie voor massieve staven en buizen.

Het vinden van de kritische breukrek bij wringing. Dit is bedoeld als verschaffing van gegevens voor opgestelde breukcriteria.

Het verzinnen van een inrichting voor de aanwezige wringbank voer het varieren van een axiale druk voer gecombineerde druk-wring-proeven.

In hoofdstuk 2 zullen vanuit de plasticiteitsleer uitdrukkingen veor effec-tieve rek en -spanning en voor de theoretische moment-hoekverdraaiingskromme worden afgeleid. In de twee daarop volgende hoofdstukken worden de resul-taten van de pro even besproken. Het laatste punt zal in dit verslag niet worden behandeld. Het is de visie van de schrijver dat de aanwezige wring-bank zich hiertoe niet leent gezien de constructie ervan.

In dit verslag zult u geen tabellen van meetwaarden aantreffen. Deze zijn apart gebundeld en zijn beschikbaar bij dhr. Ramaekers.

2

ANALYSE VAN WRINGING MET BEHULP VAN DE PLASTICITEITSTHEORIE

Deformatie kan worden beschouwd als het gevolg van verschillen in verplaat-singen van materiele punten in de tijd. We onderscheiden rotatie, transla-tie, volumeverandering, rek en afschuiving.

Zuivere afschuiving is een deformatieproces waarbij een hoekverdraaiing op-treedt tussen twee oorspronkelijk onderling loodrecht georienteerde materi-ele lijnmateri-elementen (zie figuur

3 ).

2.1 Wringing van massieve ronde staven

2.1.1. Afleiding van de effectieve spanning

Figuur 1: Spanningsblokje belast op wringing

,i

JT~Z

f~.t"

,.,.L

-

-~----,.

~---

--

:J

--7

;,,.

'ri~

Het getekende blokje wordt belast op enkelvoudige afschuiving. Door het maken van doorsnijdingen in respectievelijk x, y, z-richting onder een willekeurige hoek en vervolgens opstellen van krachtenevenwicht kan het fi-guur van Mohr worden geconstrueerd voor dit belastingsgeval. De afleiding hiervan staat in bijlage 2. Hier wordt aIleen volstaan met het tekenen van het figuur van Mohr.

De cirkels van Mohr voor enkel-voudige afschuiving

De effectieve spanning volgens von Mises luidt:

(I )

rr

=-

Vr-{

"":"'"f0-q;-/

--cr:.-1..~J

1.-+-(

~-.2.--

-(Jj-):-+-(

0-;-3-_

-cr;---:-t~)

I Invullen van de in dit geval geldende hoofdspanningen levert:

CT=1:V3

2.1.2. Afleiding van de effectieve rek

Er zullen twee methoden besproken worden om een formule voor de effectieve rek bij wringing af te leiden, namelijk via een arbeidsbeschouwing en via het aannemen van een reksnelheidsveld. Beide methoden zijn gebaseerd op enkelvoudige afschuiving.

x. '

De arbeid is gedefinieerd als kracht, verme~igvuldigdmet de afgel~de weg.

(T·

dx.. .

d!j)

cLu.

d=c

.c1!j'd.Z

In figuur

3

is te zien dat

Invulling in de uitdrukking voor de specifieke arbeid levert:

Een andere relatie voor de specifieke arbeid luidt:

(3 )

dAs

=

(J".

d."I

Er is reeds afgeleid dat tS"::.

V3'

t[* • Substitutie hiervan in de laatste vergelijking en gelijkstelling voor beide arbeidsuitdrukkingen geeft

.

We definieren drie loodrecht op elkaar staande snelheidscomponenten U-t, U'f' en

U

_z

op het cilinderoppervlak op afstand z

=

L.

z

~

-

u.

~

~ ~

!

7

~- _f

:~

.

u~

In hijlage 1 wordt in het kort ingegaan op de relatie tussen snelheid en rek. Voor wringing zijn aIle snelheden nul behalve

U~.

dU.~

- - =

0 d~ )

~

(LV )Z=L

-L

)

aUIq

1'(t.v\Z:L

---=----d

2:.

L

Na invulling van deze partiele-afgeleide-termen in de reksnelheidstensor (zie bijlage 1) blijft over:

(6)

• I /"

(W)Z:L

ElfZ,

=

2.'

L

De reksnelheden kunnen worden samengevoegm tot een effectieve reksnelheid, zie literatuur 2, hoofdstuk ,.

_0- I

E

=

-V3

Lf

(J

/,,(W)Z::L)2.

"3

T+

L

~_

1

r

(cLlR)

E .

-'..r3

L

dt

IJ{ is de hoekverdraaiing van de staaf in radialen ter plaatse z

=

L

df=-I

...!....

dlf

V3

L

2.1.3. De theoretische moment-hoekverdraailngskromme

Een uitdrukking voor de moment-hoekverdraaiingskromme kan worden afgeleid uit een arbeidsbeschouwing die vanuit twee verschillende gezichtspunten wordt opgezet.

dA

) (T.

dT

d

V

v

Voor een wringstaaf is de afleiding van de laatste formule als voIgt:

R

cI.

A

= )

C

(d·

dY

(

l-1[.

r

L·

dr )

o

(13)

dA

= ) \ - (

~~

f(

CV3).

d'f'

(HHl

).dr

o

I'Deling"door d~ levert een formule op voor het wringmoment als functie van C, n, r en de hoekverdraaiing.

R

h

Mw

=)

- -

.tltC

(L

lf

_{1j3 )}

r

hi".2.

dr

V3

0

M

w

.2

n:

C.

(

L~Y

(~J

h+3

(JI.f )

_-

R

V3

2.2. Wringing van dunwandige buizen

2.2.1. Afleiding van de effectieve spanning

De verdeling van de schuifspanning over de doorsnede luidt volgens de theo-rie:

'L-

c.

(~)"

Voor een dunwandige buis benaderen we de schuifspanning met een constante. Door het opstellen van momentenevenwicht ontstaat een verband tussen schuif-spanning en moment.

dM

_w

-

dF.

r

-

T·dA·

r

-

r·

(2.re

r.dr).

r

(16

J MIN

-

)~

.2.

T[ .

r·

r

~

dr

Figuur

5:

Dwarsdoorsnede met

R,

symbolenverklaring 2,.1t

·rr

( R

l J

R,3 )

-3

De effectieve spanning (zie formule 2) kan nu worden geschreven als:

( It)

0 - -

12·'{f·

Mw

IT (

cd

~3

-

d})

2.2.2. Afleiding van de effectieve rek

De uit formule (11) berekende schuifspanning zal een waarde hebben die tus-sen de werkelijke maximale en de werkelijke minimale inligt.

kelijke en de bena-schuifspanning in de buiswand I'

\ 1

'r

\~

~

_\L

ce:.

- r '

•

~ ~

1\

r "

.-

_Figuur

_6:

_{De wer} ~ derde

Om de juiste spanning-rek-relatie te krijgen zullen we noch de binnendiame-ter, noch de buitendiameter moeten kiezen, maar een waarde die daar tussen ligt. Als benadering wordt gekozen voor R

=

(R

3 UITVOERING VAJJ DE PROEVEN EN VERGELIJKING VAN DE RESULTATEN

Uit dezelfde staaf van een materiaal worden een aantal proefstaafjes gemaakt waarvan enkele zullen worden gebruikt voor een trekproef, en de overige voor een wringproef. De staafjes hebben de vorm zoals geschetst is in figuur

7.

Voor de wringproeven is het belangrijk dat alle staafjes eilindrisch zijn. Door ondersteuning met een center tijdens het draaien en door voorziehtig nadraaien, waardoor tonvormigheid wordt verminderd, is dit mogelijk. Over een deel van de afrondingsstraal vindt ook afsehuiving plaats.

Dit maakt een precieze rekberekening moeilijk. De hierdoor ontstane fout wordt in dit verslag geaccepteerd. ~~

<,

,,\.

+-t--~~-p--Figuur

7:

Vorm van de wringstaven; diameter varieerde van

5

tot 8 rom.

3.1. Beschrijving van de trekproef

De trekproeven zijn uitgevoerd op een Monsanto tensometer, type Wmet een kraehtaflezing via een kwikkolom. De diameter is gemeten met een micrometer met een verdeling in 0,01 rom.

Ook in het insnoergebied waar in de staaf geen lijnspanningstoestand heerst, kan de effectieve spanning bepaald worden met de zogenaamde Bridgmancorrectie.

Voor het meten van de insnoerstraal is een profielprojector in het laborato-rium van de seetie aanwezig. De projector is voorzien van een raster met cir-kels lopend.e van naar 18 rom in stapjes van 0,1 rom. Bij staal C45 bleken de op die manier berekende spanningen duidelijk te haag te zijn. Dat de Bridgmancorrectie niet geheel correct is, is reeds enige tijd bekend (zie afstudeerrapport van Cox Sitters, THE). Deze punten zullen als anbruikbaar worden beschouwd voor de bepaling van n en C.

3.2.

Beschrijving van de wringproef

De vakgroep Materiaalkunde beschikte over een wringbank. Deze is gebruikt voor de in dit verslag beschreven metingen. De werking kan het beste aan de hand van een schets van het apparaat worden uitgelegd. Zie bijlage

3.

De wringbank bestaat uit een tafel waarop een wagen in lengterichting kan bewegen. Een zijdelingse verplaatsing is niet mogelijk. Op de wagen bevindt zich een inspankop die verbonden is met een pendelarm. Deze inspankop kan vrij draaien om de axiale as. Op het uiteinde van de tafel bevindt zich nog een inspankop die wordt aangedreven door een elektromotor via een worm-wormwielconstructie. Aan deze zijde wordt de staaf een hoekverdraaiing op-gelegd. De eenparige hoeksnelheid waarmee wordt getordeerd kan worden gere-geld met een potentiometer. De pendelarm komt uit de evenwichtstoestand waardoor een tegenmoment ontstaat dat evenwicht maakt met het moment in de staaf. De p~ndelarm verplaatst bij het verdraaien een nokrol die verbonden is met een tandheugeltje. Het hiermee corresponderende rondseltje waaraan een wijzer is bevestigd, gaat draaien. Tussen de verdraaiing van het tand-wieltje en het wringmoment bestaat een lineair verband. Aan de onderkant van de pendelarm kunnen enkele verschillende gewichten worden gehangen zo-dat men de mogelijkheid heeft over meerdere bereiken nauwkeurig te met en. Er is gebruik gemaakt van een bereik van 0 tot 300 kgcm en van 0 tot 600 kgcm. De hoekverdraaiing kan worden afgelezen op een schijf die verdeeld is in 100 stapjes en meedraait met de aangedreven inspankop. Een teller houdt het aantal omwentelingen bij.

De proefstaafjes worden na het inspannen zonder stoppen en zonder wegnemen van de belasting getordeerd. De hoeksnelheid wordt zo laag gehouden dat af-lezen van moment en hoekverdraaiing, wat na elkaar moet gebeuren, voldoende nauwkeurig mogelijk is.

De hoekverdraaiing is een optelling van een elastisch en een plastisch deel. De elastische hoekverdraaiing is onder andere een functie van de diameter

zelf-de netto hoekverdraaiing zijn geterzelf-deerd, is het elastisch zelf-deel daarvan veer be ide verschillend. Het verschil in elastische verdraaiing van twee staven waaruit een buis wordt nagebootst bedraagt slechts een paar tienden van een graad. De elastische verdraaiing is geen bran van een grote fout. Ook de to-tale fout die ontstaat bij de berekening van de rek is aanvaardbaar. Bij een hoek van 500 ligt deze in de buurt van 10

%,

na een omwenteling is deze al gereduceerd tot ca. 2

%.

Een voorwaarde om te kunnen slagen in de opzet, namelijk het beschrijven van de versteviging,is dat de verspaningsdeformatie in de buitenrand van de wring-staafjes wordt verwijderd of beperkt gehouden. Want juist het materiaal aan de buitenrand dient voor de beschrijving van de verstevigingsfunctie. Men kan het materiaal gloeien zodat zowel de voordeformatie als de verspanings-deformatie verdwijnt, of men moet tijdens het draaien de snedediepte tijdig halveren. Deze laatste methode is gebaseerd op een vuistregel dat de diepte van de zone die wordt beInvloed wordt door de verspaning ongeveer even groot is als de snedediepte. De voordeformatie blijft in dit geval weI aanwezig. Na het gloeien mag de oxidehuid worden weg-gepolijst. De door dit proces geIntroduceerde verspaningsarbeid is verwaarloosbaar.

3.3. De verstevigingskrommen van staal C45

Het betreft hier staal C45 in leveringstoestand (DIN 17200: nummer 1.0503) De staafjes zijn tussen de centers gedraaid waarbij de snedediepte steeds is gehalveerd. Hieronder staat een tabel met de resultaten.

trekproef wringproef staaf n C

[0

schil n C

to

. -,-,,-1 0,183 880

-

(d 4-d1) 0,156 820

-2 0,194 980

-,

(d 5-d2) 0,150 820

-3 0,178 880

-

(d₆-d 3) 0,142 830

-Tabel 1: De uit de gr~iek opgemetenwaarden voor n, C en

I

_{o •} De dimensie van C is N/mm •

to-r~Ith~DT

-,---

~"'_.-.'-·-r~·

i·

r-r

I0

3-+---+'--,---ii--+-,--+--f--+-+-++--,----,-i-,--~±~H":_'T+_++trt----:

--, , : , ' ' , ' , I , " " , ' ,

,

'.

! i ' i ! ! , ,

.

. • I,

!I

I I_ ·.~I ,I, i -1-.:::1I'iO' , ... ,'! I ,:: ' " 8 , 7 , i

"

'

!

11eetoapler· wormerveer No. 21 H

Figuur 8: Punten van de verstevigingsfunctie van zowel wring- als trekproef .. :trekproef staaf 1 .' :trekproef staaf 2 X :trekproef staaf

3

A. :wringproef schil (d4 - d₁)

o

:wringproef schil(d

S

-

d2) o :wringproef schil (d

₆

-

d

3

)

De grafieken van wring- en trekproef lopen door elkaar heen, wat niet bevor-derlijk is voor de dUidelijkheid. Daarom zijn de krommen van de afzonderlij-ke proeven neg eens geteafzonderlij-kend in bijlage 4a en 4b. Als men objectief meet liggen de n-waarden bij de wringproef lager. Tech is er weI een gebied aan te wijzen waar de kremmen redelijk gelijk lopeno Het is dus een kwestie van interpretatie van de grafiek. De eerste trekproef is uitgeveerd op trekstaaf 2. De ligging van de functie is wat afwijkend van de daarop velgende trekproeven. De oorzaak hiervan kan liggen aan het feit dat de schrijver op dat moment geen enkele ervaring had met trekproeven. Duidelijk is te zien dat de op Bridgman gecorrigeerde punten te hoog liggen.

Het materiaal bleek anisotropie te bezitten, evenwel in zeer geringe mate (R

=

1,045). Het dwarsdoorsnede-eppervlak van de trekstaven is dan geen zui-vere cirkel meer. De procentuele fout in de rek bedraagt + 2,1

%,

de fout in de spanningen ~ 1,9

%.

De anisotropie is derhalve geen storende factor.

Er

zijn 6 wringstaafjes getordeerd. In principe kan elke combinatie van 2 wringstaven worden gekozen om het verschilmoment af te lezen. Aan de ene kant willen we de fictieve buiswanddikte zo klein mogelijk houden, omdat dan de aanname van een constante schuifspanning meer de werkelijkheid be-nadert. Aan de andere kant moet het verschilmoment weI meetbaar blijven. Om de optimale schildikte te vinden berekenen we de verstevigingsfunctie voor verschillende dikten. De resulterende grafiek is ondergebracht in bij-lage 4c. Een schildikte van 0,1 of 0,2 rom geeft een te grote spreiding in de ligging van de meetpunten. Bij een dikte van 0,3 of 0,4 mm zijn de metingen goed reproduceerbaar.

notatie:

Een fictief gevormde buis wordt in dit verslag aangeduid met de diameter-nummering waaruit deze is opgebouwd. Bijvoorbeeld: SChil(d

6 - d1).

opmerking:

Na de wringproef bleken de staafjes dunner en dus langer te zijn geworden. Een verklaring hiervoor kan zijn dat de anisotropie van het materiaal tijdens het wringen toeneemt. Het molecuulrooster gaat zich onder invloed van de belasting richten. (lit.4)

3.4. De verstevigingskrommen van Roestvrij Staal

De volledige benaming van het materiaal luidt: X10 Cr Ni Mo Ti 18 10 (DIN 17440, nummer 1.4571). De proefstaafjes zijn niet tussen de centers gedraaid. Het stafmateriaal is opgespannen in de drieklauw en is aan het uiteinde on-dersteund. door een center. Na het draaien zijn de staafjes gegloeid op 1000

°e.

Vervolgens zijn ze afgeschrikt in water.

De verstevigingsfunctie van de trekproef zoals getekend in figuur 9 beschrijft deze totaan de insnoering. Ondanks de warmtebehandeling is een duidelijke voordeformatie zichtbaar.

trekproef wringproef staaf n C~

Eo

schil n C C.O ----1 0,48 1300 0,06 (d 4-d1) 0,45 1070 0,05 2 0,41 1300 0,06 (d

5

-d1 ) 0,46 110O 0,05

Tabel 2: De uit de gra~iek afgelezen waarden voor n, C en

eo'

De dimensie van C is N/mm •

- - ,._; _. . . . -. .... ... ,.. . I

I I . , i l l I I I I 0

6 7 8 q 10 2 3 5 6 B 9

'0

.

Figuur

9:

De verstevigingskrommen van wring- en trekproef

l( trekproef staaf 1

*

trekproef staaf 2 , ~ingproef schil(d

4

-d1) .-wringproef schil(d

5

-d1)

De voordeformatie komt ook tot uitdrukking in de wringproef. Voor grote rekken bUigt de verstevigingskrorome af. Dit wordt veroorzaakt door het lange tijd nauwelijks toenemen van het wringmoment in een latere fase van een wring-proef. Deze staalsoort is zeer taai; een staafje van 53 rom breekt pas na 12 omwentelingen.

De lengte van de staafjes liep uiteen van 53 tot 54 mm. Dit lijkt niet veel maar voor grote hoekverdraaiingen moet men hier weldegelijk rekening houden. Wanneer van 2 staafjes de lengte niet hetzelfde is, is de rek bij een be-paalde opgelegde hoekverdraaiing ook niet gelijk. Het is dan niet correct het verschilmoment uit de moment-hoekverdraaiingskrommen zoals die zijn ge-meten af te lezen. Dat mag pas als de metingen van een der staafjes zijn omgerekend naar de lengte van de andere staaf. Deze--emrekening is gebeurd.

De wringproef levert een verstevigingskromme op die lager ligt dan die van de trekproef. De n-waarde van de wringproef is kleiner.

Voor het begin van een wringproef is op iedere staaf een lijn getrokken met een viltstift om de afschuiving zichtbaar te maken. Na het inspannen is een meetklokje op het bed van de wringbank geplaatst ten einde de verplaatsing van de wagen te met en. De viltstiftlijn toont aan dat de vervorming niet over de gehele staaflengte hetzelfde is. De bevindingen hierover staan in hoofdstuk 4 waar het breukgedrag wordt beschreven. Het verloop van de lengte-verandering tijdens de proef is geschetst in bijlage 5.

3.5. De verstevigingsfunctie van messing

De specificatie van het materiaal luidt: KMs 58 (eu Zn 40 Pb

3).

am de kri-tische rek zo goed mogelijk te be palen is geprobeerd een goede oppervlakte-kwaliteit te bewerkstelligen. De vervaardiging van de staven is als voIgt geschied. voordraaien: n-= 1250 omw./min voeding = 0,1 mm/omw. nadraaien n

=

2500 omw./min voeding

=

0,1 mm/omw. snedediepte

=

0,25 mm

Het voordraaien is gebeurd met een radiusbeitel (3mm), het nadraaien met een diamantbeitel. Daarna zijn de staafjes een uur gegloeid op 300

a

400 graden en langzaam afgekoeld.

trekproef wringproef staaf n C

Eo

sehH n C

Co

1 _{0,264 820}

-

_(d 6-d1) 0,275 660

-2 0,258 820

-

(d

S

-d2) 0,258 680

-2 Tabel

3:

Verstevigingsgrootheden van KMs

58.

De dimensie van C is N/mm •

I

~

I , i

"i~

••-

.1 1 I ' [ - I - III i

_~

i i

'! .

I I

iii

I r ' , [ iT ,I , ; i I I I ' I I

1-Q-+----;~..,'--i,a_~,-',ttlNrlTI/tiri"-",-'I;,I+'I+f++-1-+-+--1-,-1',-,j-c--i---"+I-,-.--+--+--r-'.,--t['-'''-'',-r---:I~Lr-..-tJ-.t-t

,,-~-_--:--i---+-i-~-ti-8 L ~ ~. : r • : I-rtic.. I ...+: ~..=-r--,---+---,f---_I-- ! I : I

!

i

i

" - - _ I

n

i

.11'1

1 1 1 1 1

11£: •

I

;

~f--t'

-11-+-1,-0-.-L,-,I,Ir----__+_ I l' -, ! I I I ! I 5 6 7 8 Q/0 ~~~_O_7__~__q_LQ~

Figuur 10: De verstevigingskrommen voor wring- en trekproef (KMs 58).

*

trekproef staaf 1

•

trekproef staaf 2 X wringproef sehil(d

4

-d1) 0 _{wringproef sehil(d}

5

-d2)

...

wringproef sehil(d 6-d1)

De meetpunten van de trekproef hebben betrekking op de deformatie voor de insnoering. D~ punten van de wringproef zijn de lager gelegen punt en. De effeetieve spanning is over het hele rekgebied een 100 N/mm2 lager dan bij de trekproef. Voor de wringproef kan niet gesproken worden van een n-waardej daarvoor is de spreiding in de ligging van de meetpunten te grillig. De kleinste n-waarde is opgemeten uit sehil(d

De punten van deze kromme liggen niet mooi op een lijn. De overige metingen lijken betrouwbaarder, vooral die van schil(d₆ - d₁). Hieruit zou men kunnen concluderen dat een schildikte van 0,5 mm een geschiktere keuze is. Voor rek-ken groter dan 0,5 loopt de kromme van messing nagenoeg horizontaal. Het is van messing bekend dat Nadai niet de juiste beschrijving van de versteviging is als de rek groot is.

,.6.

De moment-hoekverdraaiingskromme volgens de theorie en in de praktijk We zullen nu overgaan tot een terugkoppeling van de in paragraaf '.,. tot

,.6.

gevonden verstevigingsgrootheden, n en C. In de theorie is een uitdruk-king afgeleid voor de theoretische moment-hoekverdraaiingskromme, (formu-Ie 14). Indien het aangenomen wringing-model de werkelijkheid goed beschrijft, dan moet de theoretische kromme samenvallen met de praktijk-kromme. Is dit niet zo, dan is het model energetisch gezien niet kloppend. Want de aflei-ding van die formule is via energievergelijkingen gebeurd.

Formule 14 is slechts bruikbaar wanneer er in het materiaal geen voordefor-matie is opgeslagen. Daarom zal de controle beperkt blijven tot staal

C45

en

KMS 58.

De n-waarde is vooral van invloed op de steilheid van de kromme, de C-waarde

op de ligging in de figuur. Uit figuur 11 bli.jkt dat de ligging van de theo-retische kromme consequent hoger is. Er is weI sprake van een evenwijdig verloop.

Figuur 11: Moment-hoekverdraaiingskrommen van staal

C45.

:De getrokken lijnen zijn gemeteI!kronmlerr;d-e-gestippelde lijnen zijn theoretische krommen

Ookhier is er een dUidelijk verschil tussen theorie en praktijk. Voor hoe-ken groter dan 700 graden zullen we geen vergelijking mahoe-ken omdat de func-tie van Nadai voor dit gabied een slechte beschrijving is. In het andere gebied is er geen sprake van een evenwijdig verloop zoals bij staal

C45.

:De kromming van de theoretische lijnen is minder sterk. Heel opvallend is dat het verschilmoment tussen beide theoretische krommen gelijk is aan dat tussen beide praktijkkrommen.

Figuur 12: Moment-hoekverdraaiingskrommen van staaf

5

en 2, materiaal KMs

58.

4 BET BREUKGEDRAG EN DE KRITISCHE REK

4.1 •

Waarnemingen van het breukgedrag

4.1.1.

Het breukgedrag van staal

X10

Cr Ni

18 10

In

3.4.

is reeds het verschijnsel van niet-uniforrne deforrnatie aangeduid. De metingen die hieraan verricht zijn zijn ondergebracht in tabel

4.

diameter A

-

5,18

5,38

5,59

5,78

5,97

voor proef B

5,0

5,19

5,39

5,60

5,79

5,98

C

-

5,20

5,39

5,61

5,80

5,99

diameter A

4,87

-

5,21

5,44

5,61

5,79

na proef B

4,85

-

5,21

5,41

5,58

5,77

C

4,82

-

5,26

5,44

5,61

5,81

plaats van breuk C A B B B

plaats kleinste C A B B B

spoed

staafnummer 1 2 ₃

₄

₅

6

-f->'~,...I . - - _ . - - - ' - _ .

A

c

Tabel

4:

Diameters (in mm) voor en na de wringproef en plaats van breuk. A, B, en C geven de plaats van meting weer.

De staafjes zijn voor aanvang van de proef een klein beetje conisch. Toch is punt A niet automatisch de plaats waar breuk optreedt. Er is spr~e van een plaatselijke concentratie van deformatie waardoor ergens anders een kleinste doorsnede kan ontstaan. De plaats van breuk is weI de plaats waar uiteindelijk de diameter het kleinst wordt. Daar is de spoed minimaal; daar heeft de meeste afschuiving plaats gevonden. Het begin van de rekconcentratie is niet onderzocht.

De wringproef met staaf 2 is mislukt doordat de meedraaiende meetschijf voor de hoekaanduiding per ongeluk is komen stil te staan. Daarmee viel de vooraf ingestelde referentie weg en werd de proef op dat moment zinloos. Omdat het proefstaafje nog lang niet kapot was, kon het gebruikt worden voor een "snelle" wringproef. De gebruikelijke reksnelheid was ca. 0,0008

[ 1/sec ] ofwel een omwenteling per

4

minuten, bij de snelle wringproef bedroeg de reksnelheid 0,007 [1/sec] ofwel een omwenteling per halve minuut.

In dit geval treedt een nog sterkere rekconcentratie op over een gebied (hier in het midden van de staaf) van ongeveer 5 rom. De rek blijft zich vanaf een bepaald ogenblik daar concentreren totdat breuk plaats vindt. De staaf wordt daar ter plaatse warm.

Zo dicht mogelijk aan de inklemkanten is een speed gemeten van 8,9 rom. Rondom het breukvlak is deze slechts 5,1, respectievelijk 5,7 rom.

Dus bij lage reksnelheden vindt lange tijd rek plaats die regelmatig verdeeld is over de lengte. Hierbij vindt afschuiving plaats in de zwakste doorsnede. Doordat deze vanwege de verstevigingniet de zwakste blijft zal iedere door-snede afwisselend aan de beurt komen. Bij grote rekken wordt het gebied dat de zwakste doorsneden levert beperkt tot een smalle zone. De reksnelheid is een invloedrijke factorwat betreft het aanvangspunt van de rekconcentra-tie.

4.1.2. Het breukgedrag van messing

Alhoewel dit materiaal minder ductiel is, is ook hier het verschijnsel van niet-uniforme deformatie zichtbaar. Tabel 5 geeft een overzicht van de meet-resultaten.

De letters A, B en C hebben weer betrekking op de plaats van meting op het wringstaafje. Zie tekening bij tabel

4.

Staaf 1 breekt niet op de Staaf

₄

breekt niet op de Staaf

3

breekt niet op de De overige staven breken

staafnummer 1 2 3 4 5 6 diameter veor 6,98 I 7,20 7,43

I

7,63 I 7,82 8,01 proef diameter na A 6,88 7,10 I 7,36 7,53 7,71 7,88 breuk B 6,88 7,10 7,35 7,53 7,70 I 7,89

c

6,87 7,11 7,35 7,52 7,69 7,89 plaats van A A B A C A breuk spoed A 15,9 16,7 21,2 17,5 17,4 16,2 B 16,2 16,7 20,9 17,9 17,3 17,2

c

15,6 17,1 22,4 18,1 16,9 17,5

tabel

5:

Diameter en spoed (in rom) van messing wringstaven.

dunste plaats en niet bij de kleinste spoed. dunste plaats, maar weI bij de kleinste speed. dunste plaats, maar weI bij de kleinste spoed. op die plaats waar spoed en diameter het kleinst zijn. AIle wringstaafjes van messing breken bij de afrondingsstraal aan de zijde waar de energie werdt toegevoerd (vaste inspankop), ongeacht of

hierin het inspangedeelte van de staaf met of zonder center wordt geplaatst. Proefstaaf 1 en

3

wijken hiervan af. Proefstaaf 1 breekt juist bij de af-rondingsstraal aan de tegenoverliggende kant. Proefstaaf

3

heeft gediend voor een "snelle" wringproef (1 omwenteling per 20 sek.). Aan de grootte van de spoed kan men al zien dat eerder breuk is opgetreden dan bij de langzaam getordeerde staven. Het is de enige staaf die niet bij de afrondingsstraal breekt.

Kort samengevat kan worden gesteld dat breuk plaats vindt waar de spoed het kleinate is. De diameter hoeft daar niet het klemete te zijn.

4.2. De kritische rek

Al geruime tijd wordt onderzoek gepIeegd naar het breukgedrag van ductiele materialen. Er wordt gepoogd breukcriteria op te steIIen waarmee de breuk-rek kan worden voorspeld. Een bepaalde categorie van breukcriteria zijn geba-seerd op component en van de spanningstoestand in het materiaal die het ge-volg zijn van een uitwendige belasting. 20 is er het criterium van de kriti-sehe normaalspanning en dat van de kritische isostatikriti-sehe spanning. Andere breukcriteria zijn gebaseerd op energieprincipe's. Hiertoe behoren de cri-teria van de kritische plastische en van de kritisehe elastische energie.

Het is bekend.dat de kritische rek een functie is van de gemiddelde hoofd-spanning

a- .

Bij een vermindering hiervan wordt de breukrek groter. Dit

m

is in verschillende onderzoeken aangetoond. (lit. 6)

0;,

C

,

Voor toetsing van versehillende criteria zijn natuurlijk proefresultaten nodig. De wrir~proef heeft als bijzondere eigenschap dat

cr-

_m

=

0, mits wordt

uitgegaan van enkelvoudige afsehuiving. Voor de in dit verslag beproefde ma-teriaalsoorten zal de kritisehe rek bij wringing volgens dit model worden vastgesteld.Dat dit niet de geheel juiste besehrijving is, gezien de forse lengteverandering, zal dus buiten beschouwing worden gelaten. De gehanteerde formule luidt:

E.

bte.uI<. k,.

~kr'

d.

.1'(

=

360·

L·

IT

staafnummer 1 2 3 4 5 6 d 4,985 5,185 5,37 5,595 5,80 5,98 0 ~br KI" 2031 1260 1729 1661 1742 1772 L 52,9 52,7 52,7 52,9 52,8 52,7 0

fbI"

k...

0,964 0,625 0,888 0,885 0,964 1,013 gemiddelde: 0,890 variantie : 0,016 Tabel 6 staafnummer 1 3 4 5 b d 5,00 5,39 5,60 5,79 5,98 0 'fbI"

kr

4508 4226 4155 4186 4010 L 53,0 53,0 54,0 53,5 53,9 0

E.

b,. KI"' 2,143 2,165 2,171 2,282 2,242

gemiddelde kritische rek: 2,201 variantie " "0,0028

materiaal KMe hard (gegloeid)

-Tabel 1 staafnummer 1 2 _{4 5} 6 d 6,98 7,20 7,63 7,82 8,01 0 ~brkr 1175 1112 1066 1143 1128 L 49,0 50,5 52,5 52,5 52,0 0

E

1.1" kr 0,830 0,799 0,781 0,858 0,875 .•

gemiddelde kritische rek: 0,829 variantie " 1I 0,0012

Tabel 8

In deze tabellen en due ook voor de berekening is vear de diameter de ge-middelde diameter van een staaf ingevuld, en voor de lengte de lengte tus-sen de inspangedeelten. De aanwezigheid van afrondingsstralen wordt niet in beschouwing genomen. De berekende waarde ligt dan wat lager dan de werkelijke. Er wordt uitgegaan van een uniforme rek over de hele staaflengte.

A

KMs 58 0 C45

..

1L"'1s 58 wringing Lamers 0 ... ... ... ...

~

\

\

\

\

\

\

\

0,7)

1,0 1,2,~ 1,)0 )

Cb,..

kr

\

\

\

\

\

I 0,5'0 0,2.5' \

\~

\

\ \ b. \

"

\

"

"-'6. 0,) 0,'-5"

Hierboven staat de breukfunctie getekendvoor ~~ en C45 .zoals die door proeven is bepaald. De nulpunten zijn bepaald door L.P.M. Derks. Het KMs 58 is niet gegloeid zodat de door mij bepaalde waarde niet met deze punten ver-geleken mag worden. Het staal C45 waarvan hier de breukfunctie is bepaald is wel gegloeid. Door wringing wordt een kritische rek bereikt van

0,99,

een waarde die door mij gehaald is voor C45 in ongegloeide toestand. Als we hier de redenering door mogen trekken dat een materiaal in gegloeide toes-tand een grotere rek toelaat dan in ongegloeide toestoes-tand, dan kan de waarde van

0,99

nog verder worden opgeschroefd.

5

NABESCHOUWING EN AANEEVELINGEN VOOR VERDER ONDERZOEK

De wringproef ala methode voor bepaling van de verstevigingsfunctie heeft

een aantal prettige en minder prettige eigenschappen. Deze zullen hier punts-gewi.js worden opgesomd.

voordelen

_.- -

-

--Materialen staan grot ere reKken toe wanneer ze belast worden op

wring-ing in plaats van trek.

De wringproef is een proef zonder wrijving

De reproduceerbaarheid van de n- en C-bepaling blijkt goed te zijn.

De afrondingsstralen van een proefstaafje zijn een atorende factor in de nauwkeurigheid van de rekbepaling.

De methode is omslachtig omdat de proef twee maal uitgevoerd moet worden. Zolang het moment nag door de pendelarm gemeten wordt, moeten de moment-hoekverdraaiingskrommen worden getekend om de verachilmomenten te kunnen bepalen. Want de stand van de pendelarm voor twee staven met onderling verschillende diameter is bij een gelijke verdraaiing van de aangedre-ven inspankop verschillend. De netto hoekverdraaiing is dus in beide gevallen anders.

Ex dient rekening te worden gehouden met de verspaningsdeformatie. Gloeien of het afbouwen van de snedediepte is nodig voor het verwijderen ervan.

De rek over de staaflengte blijft niet uniform. De hoekverdraaiing tus-sen de staafuiteinden is daarom geen maat voor werkelijk optredende plaat-selijke rekken.

De metingen die tot nu toe zijn gedaan hebben niet geleid tot een duidelij-ke overeenkomst tussen de verstevigingsfunctie van de wringproef en die van de trekproef. TIit kan in verband worden gebracht met de dikte- en langsrek tijdena het wringen. Er zijn dUB meer afschuifvlakken. Het model van enkel-voudige afschuiving is wellicht te simpel. 11isschien dat een andere rekveld-aanname dat beter met de werkelijkheid overeenkomt ook tot bet ere resultaten zal leiden. Dit lijkt mij een nuttige voortzetting van dit onderzoek.

LITERATUURLIJST

1 Leenders, H.T.T.

De wringproef in de teehnisehe pIastieiteitsIeer intern rapport T.H.E. seetie omvormteehnologie 1970

2 Veenstra, prof. dr. P.C. / Hoogenboom, ire S.

Teehnische pIasticiteitsIeer collegedietaat T.H.E. nr. 4.250.0 1976 2-e herziene druk

3 Kals, ire J.A.G. / Ramaekers, dr. ire J.A.H. / Houtaekers, ire L.J.A.

Plastisch omvormen van metalen (grondbegrippen) 1978 3-e druk

4 Backhaus, G.

Langsdehnung bei plastischer Torsion infolge Bausehinger Effekt und Faserdrehung

Act. Mech. Bd 26 ('77) bIz. 115/118

5 Deckers, ire J.W.

Plasticiteitsleer

collegedictaat H.T.S. Eindhoven nr. 271

6 Reijntjes, H.C.E.

Het breukgedrag van ductiele materialen afstudeerverslag T.H.E. nr. PT 0522 1981

7 Derks, L.P.M.

Onderzoek van breukfuncties met behulp van de wringproef verslag T .H.E. nr. PT 0457

KORTE ANALYSE VAN DE SAMENHANG TUSSEN MATERIELE SNELHEIDSVERSCHILLEN EN REK

.

U1

_dU,

ci.

x.,

x~

I

..

U,

+

1

Ie

>-

d

x.

1

A

dx. , X,~.

We bekijken een lijnstuk AB tussen twee materiele punten A en B waarvan

• • ~u" d

punt A beweegt met een snelheid U, en punt B met snelheid Ll, +~ XI

Het tweede gedeelte van de laatste term stelt de verlenging per tijdseen-heid voor van lijnelement AB en wordt ook wel de verlengingssneltijdseen-heid genoemd. Per definitie wordt geschreven:

E...

=

verlengingssnelheid

~ momentane lengte

[~

wordt reksnelheid genoemd. Hierin geeft i de snelheidsrichting aan en j de richting waarin de verandering van die snelheid wordt bekeken.

dU

1

dx

.

aut,

.

au!

•

,

dU,

•

_Cl.

4

=

•

E.3~

=

tIl d

x.

₁ I

-

} _dX t ) dX3

dx ,

d

XI

Hierboven staan de termen voor het geval dat i = j.

.

~2.

112.+

d

u,1.

dX

i

•

- -

•

i

U

1

d

X,

_•

ciu.

t

E

1.1

-

_dX,

A

dx,

B

.

De termen voor

£.

ij

met i treffende lijndeeltje.

X,

~

be-•

'dU,

dxJ.

C

U1 +

--

_dX", •

X2.

"dU,

t

d.X2,.

_C''l..

-

--

_"dX

2

.

A

u.

~

x.

_l

De onderlinge beweging tussen dX

1 en dX2 die aanvankelijk loodrech~op e1-kaar stonden, bestaat uit een rotatie en een afschuiving. De afschuifsneI-heid wordt beschreven door:

.

t. ..

-~

+

_J_

dUo

o

Xi.

J

De volledige reksnelheidstensor Iuidt derhaIve:

~l(, 1

(d'"

''''J

I (

- + - -

~

u,

•

"30

-

- + - -

2.. dj,3 ~'j..,I ;,))(... 2.. 'd){1.. dX, •

1. (

d\.t

1

+

dU.. )

.

I

(~

dU

3 ) f~,

_-

d_dX2.

u.",

_1.

_d

_x~

_+'

_d

_Xl.

~

L dX, dX~

.!.. (

·"3

+ ;)

~, ~

~

eu,

+

au..

~

~

2.- ;}x, ;''I-? t. ~)(t 'd'j..,3

_~

_x'3

Analoog hieraan kan ook een reksnelheidstensor worden afgeleid voor het ge-val dat de sne1heden in cilindercoordinaten zijn gegeven. Deze ziet er als voIgt uit:

.

£

rr

tr'f

.

£ ..

=

.

~ t.lft'"

€.

I.f~

£1r

E..'t.'-Y Hierin is

.

.

_dUI"

t

_rr

_-

-dr

.

.

_dLtI.f

t.1.f~

-

u,1"

+

d~

r

r

.

_dCt.~

t.~.z.

-

_d'%.

E

~r

=

+(

dU.

_d2+~

dU..

~

c.~~

-

_' (_' .Jlt

_{l. r d~}Z

+

dU,,)

_dZ

.

.

~i

)

E.'t~

_-

I

(_' • du'r

+

~

.t

_r

_d

_tf

H'

•

AFLEIDING VAN DE CIRKEL VAN MOHR

Voor de volledigheid zullen we een afleiding geven van de cirkel van Mohr voor enkelvoudige afachuiving. Wanneer we in het apanningablokje van figuur 1 een dooranijding aanbrengen evenwijdig met de x-as, dan ontataat de volgende figuur.

Evenwicht in y-richting:

- if

elx.

clj

+

ax

Vcltz.'J.+

d.j

1..'(

1;

cos

'f

+

as

sin

If ) -

0

-T

+V(~~)\

I

(r;

toS

~

1-

OS

rio

~)

- 0

(

-

d.'7..)2.

+1

d.:J

=

coS ~

( :r )

- T

+

rr

_s

+

OS·

tCLn

tf -

0 Evenwicht in z-richting:

- 'l

dx

.11<.

1-

dx

V

dz\d:J~

(-

'r;

r'h

~

+

as

toS

~)=

0

-T

+

o

~\

~

~(~;Y

j

cl'Z.

-

_tal)

_~

-

rin

~

(1I)

- rr -

15

₊

_CJ5

(i~ ~

)

-

0

Optelling van 'I en :It levert:

(m)

Eliminatie van

OS:

- '[ +

rr;

+

OS·

ian

\f

=

0

- T -

rrs

+

as .

cot

'f

=

0

T' ( -

cos'l.lf

+

Sin

1.

~

J

+

er;

cost.

'f

. l.

Strl ~

:: 0

ers

=

T

CO.$

(l

tR)

De vergelijkingen:lJI en liL vormen samen de vergelijking van een cirkel rondom de oorsprong van een asaenstelsel met een straal ter grootte van~.

o

Verdraaiing van het spanningsblokje over een hoek van

45

om de x-as levert ons de hoofdrichting.

t

krachtenevenwicht in de 1-richting:

- 1:

+

I

(<f

Sin

Ill" 1-

U;

coS

r\ ::

0

coS

If

S

T )

krachtenevenwicht in de 2-richting:

os .

SLn

y

+

T

_S

coS

If

= 0

subatitutie van 3ZT in 32:. levert:

- rr

OS

(ian

'-y

-fa

I )

0

as

=

t

rc- (

CoS

(2y)

t

I)

of door eliminatie van

OS

rr

s

=

rr .

c.oS

r-'

Sin

"'V

Vergelijking ][( en ~ vormen samen een vergelijking van een cirkel met een straa.l van

rr

/2 en met als middelpunt de coordinaten

(t T,

0). Door het aanbrengen van een derde doorsnijding en het wederom opstellen van krach-tenevenwicht kan nog een derde cirkel worden gevonden met vergelijkingen:

( .x: )

os

=

t'l ( -

I

+

COS

(28))

• . j . 1 . t I .il t

i

RHtHtittlHI' I, . . II T ! '. I fHH+++H+++H+l-f.H'It++H+++ttH~j+'1ictttJiitVliitt't

HI '

1 : :1·1 II

ItttlitttttOO1mm

II . 1.1 ; I I, l' .

3

meetpapier wormerveer

- 7

II

l

I c! '

_d

,jf

1

1 I , 1:1_{i I}

!

I .' ~!

3 . ! : ..

1_1.

1

H

II

II!!

I'/if

1II1

II

I'

...

r

l

,·.-·1

j

1

_,

1..,

_{l ..}

t .)fH'i.1t'

.111.~i'.l!1

r:.1 1

I,Hi,.tmllT[:'lHjl.'\!'liHl': .

jill I· '"

f

lA~lrl'~H'

JJ!

~

WI'

II

II

i1'1

nn

UI

I '

rji~'

'Ii

r,t

r-

11

1

III! (1IIII',II,I,!1

il"1I

I,ll

I'

I

I

'i!, ..

!~

I

,I

I

mllill

I

rnl

rll

nlln-t-iAt-l'l'iTt

')ft',

lJI1"t',

~~

j

~rlltll"TI1 ~I",

I

.

,II'

11

ill

I

111·/j"

·111:

IflHlf

1,IIIIIilii

!I!I

I~:

writ)

IbHt!J~ 1.1~IJ,:

AH

'I

ltii

2

3

2 3 4 5 6 7 8 9

10-

1 2 4 5 6 7 8 9

'0

o 2 3 4 5 6 7 8 9

10'

...

__

. _ - - _ . _ - - - _ . - - - . - - - - ' . . . . : : - - '

" - - - _.._---_.• -5 - 7 5 4 3 , II ! i: iI' 6 7 8 9

10°

5 4 3 2 ~

r

II'

I I I· I -I 6 7 8 9

10

5 4 3 2