Netwerkformatie bij
Een Informatiestroom via alle Mogelijke Wegen
Marthe van der Klein 10002001
28 juni 2013
Bachelor Econometrie Universiteit van Amsterdam Scriptie Econometrie
Dankwoord
In dit dankwoord wil ik mij graag richten tot allen die geholpen hebben bij het tot stand komen van deze bachelorscriptie. Mijn bijzondere dank gaat uit naar Marco van der Leij en Daan in ’t Veld die mij gedurende het hele proces begeleid hebben. Hun raadgeving, onvermoeide adviezen, feedback en kennis hebben mij geholpen tijdens het schrijven van deze scriptie. Ik dank hen voor de pairwise stability functie en de hulp tijdens het
programmeren.
Ik dank Inge ter Laak en Zhong Zhi Hu voor het brainstormen en de momenten van ontspanning tijdens koffie en lunchpauzes.
Voor alle simulaties is gebruik gemaakt van het programma R.
Inhoud 1 Inleiding ...2 2 Model ...3 3 Methode ...5 3.1 Aanname informatiestroom ...5 3.2 Nutsfunctie ...5 3.3 Onderzoeksmethode ...6 4 Resultaten ...7 4.1 Stabiliteit ...8 4.1.1 Ster netwerk...8 4.1.2 Leeg netwerk ...9 4.1.3 Compleet netwerk ...10 4.1.4 Cirkel netwerk ...11 4.1.5 Andere netwerkstructuren ...12 4.2 Efficiëntie ...15
4.3 Pairwise stability en Efficientie ...15
4.4 Vergelijking met het connections model ...17
5 Conclusie ...18
Bibliografie ...20
Bijlage I Bewijs stelling 1 ...21
Bijlage II Bewijs stelling 2 ...24
Bijlage III Bewijs stelling 3 ...25
2
1 Inleiding
Sociale netwerken spelen een grote rol in het dagelijks leven. Ze zijn bijvoorbeeld belangrijk bij de overdracht van informatie over vacatures, de verspreiding van nieuwe ideeën en cruciaal voor de handel van goederen. Informatie tussen twee personen kan overgedragen worden via een directe link of een indirecte link. Het is dus niet alleen belangrijk wie jij kent, maar ook wie je vrienden kennen.
De vele manieren waarop netwerken het dagelijks leven beïnvloeden, maakt het belangrijk om te begrijpen hoe deze netwerken in elkaar zitten. In een netwerk kunnen nieuwe links gelegd worden en bestaande links verwijderd worden. Zo ontstaat er een nieuwe
netwerkstructuur. Personen in een netwerk, hierna spelers, krijgen via directe of indirecte links informatie dat nut oplevert. Ze zullen het nut maximaliseren om zo een optimale positie in het netwerk in te nemen. In dit onderzoek wordt onderzocht welke netwerken stabiel zijn en welke netwerken efficiënt zijn.
Er zijn verschillende onderzoeken gedaan naar de structuur van netwerken. Jackson en Wolinsky (1996) onderzoeken welke netwerken stabiel zijn en welke netwerken efficiënt zijn. Zij introduceren het connections model waarin informatie tussen spelers via de kortst
mogelijke route stroomt. Informatie dat via een directe link tussen twee spelers stroomt, wordt volledig doorgegeven maar een directe link kost ook geld of tijd. Informatie dat via een indirecte link tussen twee spelers stroomt, wordt niet volledig doorgegeven maar een indirecte link kost geen geld of tijd. Een indirecte link levert dus minder op dan een directe link; hoe verder de spelers uit elkaar liggen, des te minder informatie doorgegeven wordt.
Goyal en Vega-Redondo (2007) onderzoeken hoe potentiële winst door een link wordt verdeeld over alle spelers die deel uitmaken van de link. Als twee spelers via een directe link zijn verbonden, wordt de winst gelijk verdeeld over de twee spelers. Als twee spelers via een indirecte link verbonden zijn, hangt de verdeling van de winst af van de concurrentie tussen de tussenliggende spelers. Spelers willen zich graag tussen twee andere spelers plaatsen om te voorkomen dat een andere speler zich daar plaatst. Door zelf een link te vormen met een speler wordt er dus voorkomen dat de winst gedeeld wordt met een andere speler.
Anders dan in de hiervoor besproken onderzoeken, wordt in dit onderzoek aangenomen dat informatie tussen spelers via alle mogelijke wegen in het netwerk
doorgegeven wordt. Het is namelijk niet altijd aannemelijk dat informatie tussen twee spelers via de kortste route wordt uitgewisseld. Er wordt een nieuw model opgesteld met een
3
nutsfunctie die afwijkt van het connections model. De uitkomsten van het nieuwe model worden vergeleken met het connections model, daardoor kan er gekeken worden of er nu andere netwerken stabiel en efficiënt zijn.
Een leeg, een compleet en een dominante groep netwerk blijken stabiel in het Bonacich model. Deze netwerken zijn voor bepaalde waarden van delta en c zelfs
tegelijkertijd stabiel, dit is vooral rond de overgang waar een leeg of een compleet netwerk stabiel is. Niet elk netwerk is efficiënt; alleen het lege en het complete netwerk zijn efficiënt. In tegenstelling tot het connections model is het ster netwerk niet meer belangrijk, het netwerk is niet stabiel of efficiënt.
In de volgende paragraaf wordt een inleiding van netwerkformatie theorie gegeven. Er worden netwerkstructuren behandeld en er wordt een evenwichtsconcept geïntroduceerd. Paragraaf 3 bestaat uit drie delen. In het eerste deel wordt uitgelegd hoe informatie tussen spelers stroomt in het model en in het tweede deel wordt de nutsfunctie van het model gegeven. In het derde deel volgt de onderzoeksmethode. De resultaten worden in paragraaf 4 weergeven. In het eerste gedeelte hiervan worden de resultaten gegeven wanneer een netwerk stabiel is en in het tweede gedeelte worden de resultaten gegeven wanneer een netwerk efficiënt is. In het derde gedeelte worden deze resultaten met elkaar vergeleken en in het laatste gedeelte worden de resultaten vergeleken met het connections model. Paragraaf 5 geeft de conclusie en de bijlagen bevinden zich achterin.
2 Model
Een netwerk bestaat, zoals in de inleiding vermeld is, uit spelers. Deze verzameling spelers van netwerk wordt genoteerd als de spelersverzameling . Als speler i gelinkt is met speler j dan wordt dit genoteerd als . Als speler i niet gelinkt is met speler j dan wordt dit genoteerd als . Als de link nog niet bestaat in netwerk en deze wordt toegevoegd, wordt dit genoteerd als . Andersom geldt dat als de link wordt verwijderd uit het netwerk dit genoteerd wordt als .
Er wordt gebruikgemaakt van het evenwichtsconcept pairwise stability. Een netwerk is pairwise stable als:
- voor elke en - voor elke als dan
4
Er moet dus gelden dat voor elke link in het netwerk , het nut voor speler i en voor speler j minstens zo hoog is als het nut voor hen zonder de link . Verder moet er gelden dat voor elke link die niet in het netwerk ligt, als speler i een strikt hogere nutswaarde heeft met de link , dan heeft speler j een strikt lagere nutswaarde met de link . Tussen elk paar spelers kan een link gelegd worden en er kan een link verwijderd worden. Een netwerk is efficiënt als: voor . Er moet gelden dat er geen enkel netwerk gevormd kan worden zodanig dat het totale nut van de spelers hoger is dan in het netwerk . Er is ten minste één netwerk efficiënt, gegeven dat er eindig veel netwerken zijn.
Netwerken kunnen in verschillende structuren voorkomen. In de analytische resultaten worden er vier structuren besproken, namelijk een compleet, een ster, een leeg en een cirkel netwerk. Een compleet netwerk is een netwerk waarin elke speler met alle andere spelers uit het netwerk gelinkt is. Voor elke speler i is het aantal directe links gelijk aan . Een ster netwerk is een netwerk waarin één centrale speler gelinkt is met alle andere spelers, de
periferiespelers. De periferiespelers zijn niet met elkaar gelinkt, zij hebben maar één directe link terwijl de centrale speler dus directe links heeft. Een leeg netwerk is een netwerk zonder links; geen enkele speler vormt een link met een andere speler. Een cirkel netwerk is een netwerk waarin elke speler precies twee links heeft. Er wordt een continu pad gevormd waardoor er grafisch een cirkel ontstaat. In figuur 1 zijn de netwerkstructuren weergeven. Met behulp van simulaties wordt er onderzocht of er ook nog andere netwerkstructuren
voorkomen die pairwise stable en efficiënt zijn.
5
3 Methode
Voor dit onderzoek wordt eerst aangenomen hoe de informatie in een netwerk stroomt tussen de spelers. Vervolgens wordt er een nutsfunctie opgesteld die voldoet aan de aanname van de informatiestroom. In de laatste subparagraaf wordt de onderzoeksmethode behandeld.
3.1 Aanname informatiestroom
Informatie tussen twee spelers kan via het kortste pad stromen maar ook via omwegen. In dit model wordt informatie via een wandeling door het netwerk doorgegeven. Dit betekent dat informatie tussen speler i en speler j via de link ij kan gaan als ze direct gelinkt zijn, maar ook via de link ikj als speler i en j een directe link hebben met speler k. De informatiestroom kan via alle mogelijke manieren van speler i naar speler j gaan en dus ook meerdere keren via dezelfde speler doorgegeven worden. In het connections model kan dit niet. Informatie wordt in dat model via een pad door het netwerk doorgegeven, wat betekent dat informatie maar op één manier tussen twee spelers doorgegeven wordt.
Door aan te nemen dat informatie op alle mogelijke manieren van speler i naar speler j stroomt, spelen indirecte buren een grotere rol. Als een speler i een directe link heeft met speler j en speler j aan een groot netwerk gelinkt is, heeft speler i toegang tot veel informatie. Het aantal directe links en de spanwijdte van de indirecte links heeft dus invloed op de positie van speler i en dus op de hoogte van het nut van speler i.
Voorbeelden van een informatiestroom die via alle mogelijke wegen stroomt zijn overtuigingen en houdingen (Borgatti, 2005). Een speler kan een overtuiging aan meerdere spelers op hetzelfde moment doorgegeven, zonder de overtuiging zelf te verliezen. Ook kan een overtuiging meerdere keren langs dezelfde speler komen, iemand kan immers ook meerdere keren door dezelfde persoon beïnvloed worden.
3.2 Nutsfunctie
Om te voldoen aan de aanname dat informatie tussen twee spelers via alle mogelijke manieren stroomt, is er een nieuwe nutsfunctie nodig. Voor deze nutsfunctie wordt gebruik gemaakt van Bonacich centrality. Bonacich centrality is een maatstaf voor directe en indirecte links
(Ballester, Calvó-Armengol, & Zenou, 2006). Het totaal aantal paden die vertrekken vanaf speler i worden geteld en de waarde van de paden wordt gewogen aan de hand van de decay factor , dat dalend is voor de lengte van de paden. Een bij matrix houdt de
6
directe links in een netwerk van de spelers bij. De vector Bonacich centrality wordt gedefinieerd als met de identiteitsmatrix, een bij 1 vector
bestaande uit enen en de decay factor waarvoor geldt met de grootste eigenwaarde van G.
De nutsfunctie voor het model in dit onderzoek, hierna Bonacich model, is een functie van de Bonacich centrality en de kosten van directe links. Aangenomen wordt dat elke directe link kost. De nutsfunctie wordt gedefinieerd als met de
identiteitsmatrix, een bij 1 vector bestaande uit enen, de getransponeerde
eenheidsvector, het aantal links van speler i, de kosten voor een link en de decay factor waarvoor geldt met de grootste eigenwaarde van het netwerk en van alle netwerken die een afwijking zijn van het netwerk .
In het connections model stroomt informatie alleen via het kortste pad. De nutsfunctie in dat model wordt gedefinieerd als
met , de afstand tussen speler i en j, het aantal directe links van speler i en de kosten per directe link. De hoeveelheid informatie die doorgegeven wordt, hangt af van de afstand tussen spelers die gelinkt zijn. Een directe link geeft alle informatie door aan een speler maar een indirecte link slechts een gedeelte. De waarde van de decay factor uit het connections model wordt vergeleken met de waarde van de decay factor uit het Bonacich model.
3.3 Onderzoeksmethode
Om te onderzoeken welke netwerk pairwise stable is, wordt de nutsfunctie van elke speler bepaald. Dit wordt voor vier verschillende netwerkstructuren gedaan; voor een leeg,
compleet, ster en cirkel netwerk. De nutsfuncties worden vergeleken met de nutsfuncties van het netwerk met één link meer of één link minder. Als het toevoegen van een link ij voor speler i en voor speler j meer nut oplevert dan in de huidige situatie, is het netwerk niet stabiel. Er kan immers nog een link worden toegevoegd. Als het toevoegen van een link ij voor speler i strikt meer nut zal opleveren maar voor speler j strikt minder nut zal opleveren, zal de link niet worden gelegd. Als er geen links meer gelegd kunnen worden en als het nut van speler i en j minstens zo hoog is als het nut dat de spelers zouden krijgen zonder een link met elkaar, is het netwerk pairwise stable.
In een netwerk kunnen spelers met hetzelfde aantal links, een gelijke positie innemen. Als spelers symmetrisch aan elkaar zijn, kunnen ze in dezelfde groep ingedeeld worden. De
7
Bonacich centrality en de nutswaarde is dan voor de hele groep gelijk. Een voorbeeld van een groep spelers zijn de periferiespelers in een ster netwerk. Zij hebben allemaal dezelfde
Bonacich centrality en nutswaarde.
Om de nutsfuncties te berekenen, wordt de Bonacich centrality vector eerst herschreven. wordt genoteerd als . De
Bonacich centrality van speler i wordt dan en de nutsfunctie van speler i kan genoteerd worden als .
Pairwise stability wordt naast analytische berekeningen ook met behulp van
computersimulatie bepaald. Er wordt alleen gekeken naar . In de nutsfunctie staat namelijk dat met λ de grootste eigenwaarde van netwerk en van alle netwerken die een afwijking zijn van netwerk . Dit betekent dat er voor alle afwijkingen in het netwerk gecontroleerd moet worden op deze condititie. Om dit te vermijden wordt voor λ de grootste eigenwaarde van een netwerk gebruikt, de eigenwaarde van een compleet netwerk. Deze eigenwaarde is en als dit wordt ingevuld voor λ volgt hieruit . Met computersimulaties wordt onderzocht of er ook nog andere netwerkstructuren zijn die pairwise stable zijn. De efficiëntie van netwerkstructuren wordt alleen met behulp van computersimulaties bepaald.
4 Resultaten
In deze paragraaf worden de resultaten van het onderzoek weergeven. In subparagraaf 1 wordt voor een ster, een leeg, een compleet en een cirkel netwerk bepaald wanneer het netwerk pairwise stable is en met behulp van simulaties wordt er onderzocht of er ook nog andere netwerkstructuren zijn die pairwise stable zijn. In subparagraaf 2 wordt bepaald of de netwerkstructuren efficiënt zijn en of er nog andere netwerken zijn die efficiënt zijn.
Paragraaf 3 vergelijkt de resultaten van pairwise stability en efficiëntie en paragraaf 4 maakt een vergelijking met het connections model.
De resultaten die met behulp van simulatie verkregen zijn, worden gegeven voor n=4 en n=7. Er wordt gekozen om de nadruk hierop te leggen omdat vanaf n=4 een cirkel en een
8
compleet netwerk verschillende structuren zijn en n=7 is een iets groter netwerk wat duidelijk verschil in resultaten geeft ten opzichte van n=4.
4.1 Stabiliteit
In de subparagrafen hieronder wordt per netwerkstructuur bepaald wanneer het netwerk pairwise stable is. Eerst worden de nutsfuncties van elke speler bepaald en vervolgens worden deze vergeleken met de nutsfuncties van de spelers met één link meer of één link minder. In de laatste subparagraaf wordt gezocht naar andere netwerkstructuren die stabiel zijn.
4.1.1 Ster netwerk
Een ster netwerk is een netwerk waarbij één centrale speler links heeft met alle
periferiespelers en elke periferiespeler alleen een link heeft met de centrale speler. Elke periferiespeler neemt dezelfde positie in het netwerk in, dus de Bonacich centrality en de nutsfunctie is voor elke periferiespeler gelijk. De Bonacich centrality van een periferiespeler is en van een centrale speler . De vergelijkingen kunnen opgelost worden zodanig dat en uitgedrukt worden in en , dit wordt en . De nutsfunctie is nu eenvoudig af te leiden, en
.
Stelling 1
Een sternetwerk is nooit pairwise stable voor
In een ster netwerk kunnen twee periferiespelers een link met elkaar vormen of de centrale speler kan een link verwijderen met een periferiespeler en andersom. Als de afwijkingen voor de spelers die een link toevoegen of verwijderen, niet meer nut opbrengt dan in het
sternetwerk, dan is het netwerk pairwise stable. Uit de stelling volgt dus dat als een periferiespeler altijd een hogere nutswaarde kan krijgen als hij een link vormt met een andere periferiespeler of als hij de link met de centrale speler verwijdert of de centrale speler
9
kan een hogere nutswaarde verkrijgen als hij een link met een periferiespeler verwijdert. In bijlage I volgt het analytische bewijs van de stelling.
4.1.2 Leeg netwerk
Een leeg netwerk is een netwerk waarin spelers geen links hebben met andere spelers. De Bonacich centrality is voor elke speler gelijk aan en de nutsfunctie is gelijk aan
.
Stelling 2
Een leeg netwerk is pairwise stable als geldt met .
In een leeg netwerk kunnen twee spelers besluiten om een link met elkaar te vormen. Als de twee spelers niet meer nut krijgen dan zonder een link, is het netwerk pairwise stable. Uit de stelling volgt dus als een speler geen hogere nutswaarde krijgt als hij een link met een speler vormt als . Het voordeel van geen links is groter dan de opbrengst van een link. In bijlage II wordt de stelling bewezen.
Met behulp van computersimulatie kan een plot gemaakt worden voor welke waarden van δ en het netwerk stabiel is. In figuur 2 is te zien dat een leeg netwerk voor n=4 pairwise stable is voor delta tussen 0.01 en 0.33 en c tussen 0 en 1, waarbij niet elke combinatie van delta en c pairwise stable is. De groene lijn in figuur 2 geeft aan dat het gebied boven de lijn pairwise stable is. In figuur 3 is te zien dat een leeg netwerk voor n=7 pairwise stable is tussen 0.01 en 0.16 en c tussen 0 en 1, waarbij niet elke combinatie van delta en c pairwise stable is. De groene lijn is dezelfde lijn als in figuur 2 maar het gebied is kleiner waar het netwerk stabiel is door de grens delta is 0.16. Dit is de grens voor n=7.
10 Figuur 2 Pairwise stability leeg netwerk n=4 Figuur 3 Pairwise stability leeg netwerk n=7
4.1.3 Compleet netwerk
Een compleet netwerk is een netwerk waarin elke speler gelinkt is met alle andere spelers uit het netwerk. De Bonacich centrality voor elke speler is wat te schrijven is als . De nutsfunctie voor elke speler is .
Stelling 3
Een compleet netwerk is pairwise stable als geldt
met
.
In een compleet netwerk kan een speler een link verwijderen. Als deze speler hierdoor niet meer nut krijgt dan met de link, is het netwerk pairwise stable. . Uit de stelling volgt dus als een speler geen hogere nutswaarde krijgt als hij een link met een speler verwijdert als . Dit betekent dat de marginale opbrengst van een link strikt stijgend is. Het voordeel van een link is groter dan de besparing van de kosten van een link. In bijlage III volgt het bewijs van de stelling.
11
Met behulp van computersimulatie kan een plot gemaakt worden voor welke waarden van δ en het netwerk stabiel is. In figuur 4 is te zien dat een compleet netwerk voor n=4 pairwise stable is voor delta tussen 0.01 en 0.33 en c tussen 0 en 1, waarbij niet elke combinatie van delta en c pairwise stable is. In figuur 5 is te zien dat voor n=7 het netwerk pairwise stable is voor delta tussen 0.01 en 0.16 en c tussen 0 en 1, waarbij niet elke
combinatie van delta en c pairwise stable is. Het gebied waar een compleet netwerk pairwise stable is, is voor n=7 kleiner dan voor n=4. De rode lijn in figuur 4 en 5 geeft aan dat het gebied onder de lijn pairwise stable is.
Figuur 4 Pairwise stability Compleet netwerk n=4 Figuur 5 Pairwise stability Compleet netwerk n=7
4.1.4 Cirkel netwerk
Een cirkel netwerk is een netwerk waarin elke speler precies twee links heeft en er grafisch een cirkel ontstaat. Voor elke speler is de Bonacich centrality gelijk aan
. De
nutsfunctie voor elke speler is gelijk aan . Anders dan in de hiervoor besproken netwerkstructuren hangt de Bonacich centrality en de nutsfunctie niet af van de netwerkgrootte . Als de netwerkstructuur van een cirkel netwerk verandert, hangt de Bonacich centrality en de nutsfunctie wel af van de netwerkgrootte . Een cirkel netwerk wordt uitgewerkt voor n={4,6,8}.
12
Stelling 4
i) Een cirkel netwerk met n=4 is nooit pairwise stable voor . ii) Een cirkel netwerk met n=6 is nooit pairwise stable voor . iii) Een cirkel netwerk met n=8 is nooit pairwise stable voor .
In een cirkel netwerk kunnen twee spelers een link vormen en spelers kunnen een link verwijderen. In een cirkel netwerk met vier spelers kan er op één manier een link worden toegevoegd; alleen de twee spelers die niet gelinkt zijn kunnen een link vormen. In een cirkel netwerk met zes spelers kan een link op twee manieren worden toegevoegd. Spelers die eerst via één indirecte link verbonden waren kunnen een link vormen maar spelers die eerst via twee indirecte links verbonden waren kunnen ook een link vormen. In een cirkel netwerk met 8 spelers wordt dit met nog een mogelijkheid uitgebreid, een link toevoegen kan daar op drie verschillende manieren. Spelers die eerst via één indirecte link verbonden waren kunnen een link vormen, spelers die eerst via twee indirecte links verbonden waren kunnen een link vormen en spelers die eerst via drie indirecte links verbonden waren kunnen een link vormen.
Elk van de netwerken zijn pairwise stable als het nut van de spelers die een link toevoegen of verwijderen kleiner of gelijk is aan het nut van de spelers in een cirkelnetwerk. Voor spelers in een cirkelnetwerk met n={4,6,8} en delta tussen 0 en of geldt dat een speler een hogere nutswaarde krijgt als hij een link verwijdert of een link vormt met een speler; het netwerk is niet stabiel. In bijlage IV volgt het bewijs van de stelling.
4.1.5 Andere netwerkstructuren
Met behulp van computersimulaties is gezocht naar andere netwerkstructuren die pairwise stable zijn. Voor n=4 is er, naast een compleet en een leeg netwerk, één ander
netwerkstructuur die pairwise stable is. Dit is een dominante groep netwerk waarin 3 spelers volledig gelinkt zijn en 1 speler geen links heeft. In figuur 6 is te zien dat voor een aantal waarden van delta en c het netwerk stabiel is. Dit is rond de grens wanneer een leeg netwerk of een compleet netwerk stabiel is.
13 Figuur 6 Pairwise stability overig netwerk n=4
Voor n=7 is hetzelfde gedaan. Naast het lege en complete netwerk zijn er vier andere netwerkstructuren pairwise stable zijn. Dit zijn ook dominante groep netwerken waarbij het eerste netwerk bestaat uit 3 spelers die volledig gelinkt zijn en 4 spelers die geen links
hebben, het tweede netwerk bestaat uit 4 spelers die volledig gelinkt zijn en 3 spelers die geen links hebben, het derde netwerk bestaat uit 5 spelers die volledig gelinkt zijn en 2 speler die geen links hebben en het laatste netwerk bestaat uit 6 spelers die volledig gelinkt zijn en 1 speler die geen links heeft. In figuur 7 is te zien dat ook deze netwerken allemaal pairwise stable zijn rond de grens waar een compleet netwerk en waar een leeg netwerk pairwise stable is.
14 Figuur 7 Pairwise stability overige netwerken n=7
Een dominante groep netwerk bestaat altijd uit een component van spelers die volledig gelinkt zijn en spelers die geen links hebben. In figuur 8 staan alle dominante groep netwerken die pairwise stable zijn voor n=7.
15
4.2 Efficiëntie
Met behulp van simulatie kan bepaald worden wanneer een netwerk efficiënt is. Een leeg, een compleet, een ster en een cirkel netwerk zijn niet allemaal efficiënt. Alleen het lege netwerk en het complete netwerk zijn voor bepaalde waarden van delta en c efficiënt. In figuur 7 en 8 is het resultaat te zien in een vorm van een plot voor n=4 en n=7.
Figuur 7 Efficiëntie n=4 Figuur 8 Efficiëntie n=7
Er zijn geen andere netwerkstructuren voor n=4 die efficiënt zijn. Het netwerk wat naast het lege en het complete netwerk pairwise stable is, het dominante groep netwerk waarin drie spelers volledig gelinkt zijn en 1 speler geen links heeft, is ook niet efficiënt. Voor n=7 is alleen gecontroleerd of de dominantie groep netwerken efficiënt zijn maar geen van de vier netwerken is efficiënt.
4.3 Pairwise stability en Efficiëntie
Er is een gebied waar een leeg, een compleet en een dominante groep netwerk pairwise stable is. Dit is rond de overgang waar een leeg of een compleet netwerk stabiel is. In de gebieden waar meerdere netwerken stabiel zijn, baat het niet om af te wijken van de huidige structuur. Het levert niet meer op om een link toe te voegen of te verwijderen. In een leeg netwerk baat
16
het dus niet om een link toe te voegen en in een compleet netwerk baat het niet om een link te verwijderen. In figuur 9 en 10 is te zien dat meerdere netwerken op het zelfde punt pairwise stable kunnen zijn.
Figuur 9 Pairwise stability n=4 Figuur 10 Pairwise stability n=7
Niet elk netwerk is efficiënt waar het pairwise stable is. In het gebied waar zowel een leeg als een compleet netwerk pairwise stable is, is grotendeels alleen het complete netwerk efficiënt. Het lege netwerk is voor dat gebied dus wel pairwise stable maar niet efficiënt. Twee spelers kunnen geen link vormen zonder dat één van de spelers slechter af is maar als elke speler links zou vormen met de rest van de spelers zou het gezamenlijke nut hoger zijn.
In het gebied waar zowel een leeg als een compleet netwerk pairwise stable is, is rond de grens een heel klein gebied waar alleen het lege netwerk efficiënt is. In dit gebied kan een speler uit een compleet netwerk geen link verwijderen zonder een lagere nutswaarde te krijgen maar als alle spelers geen links meer zouden hebben zou het gezamenlijke nut hoger zijn.
De dominante groep netwerken zijn nooit efficiënt. Voor zowel n=4 als voor n=7 is voor het gebied waar de netwerken pairwise stable zijn, alleen een compleet netwerk efficiënt. Dit betekent dat twee spelers geen links kunnen vormen zonder dat één van de spelers slechter af is maar als elke speler met alle andere spelers uit het netwerk een link zou vormen zou het gezamenlijke nut veel hoger zijn.
17
4.4 Vergelijking met het connections model
In het connections model worden er drie type netwerkstructuren behandeld; een compleet, een ster en een leeg netwerk. Omdat in het Bonacich model ook het cirkel netwerk wordt
uitgewerkt, wordt aan het connections model ook het cirkel netwerk toegevoegd. Voor een compleet, een leeg en een ster netwerk hangt pairwise stability in het connections model niet af van de netwerkgrootte. Voor elke combinatie van delta en c is precies één van deze drie netwerkstructuren stabiel. Het cirkel netwerk hangt wel af van de netwerkgrootte. In figuur 9 is te zien dat het cirkel netwerk voor n=4 pairwise stable is rond de grens waar een ster en een compleet netwerk pairwise stable zijn. In figuur 10 is te zien dat voor n=7 een cirkel netwerk juist pairwise stable is rond de grens waar een leeg en een ster netwerk pairwise stable zijn. Het cirkel netwerk is dus pairwise stable voor delta en c waar, afhankelijk van de
netwerkgrootte, een leeg, een compleet of een ster netwerk ook al pairwise stable is.
Figuur 9 Pairwise stability connections model n=4 Figuur 10 Pairwise stability connections model n=7
In het connections model hangt efficiëntie voor een ster netwerk en voor een leeg netwerk af van de netwerkgrootte. Voor een compleet netwerk hangt efficiëntie niet af van de netwerkgrootte. In figuur 11 en 12 is te zien dat een leeg netwerk voor n=7 voor minder combinaties van c en delta efficiënt is dan bij n=4. Het omgekeerde geldt voor een ster netwerk, daar zijn bij n=7 juist meer combinaties van c en delta waar het netwerk efficiënt is in vergelijking bij n=4.
18 Figuur 11 Efficient connections model n=4 Figuur 12 Efficient connections model n=7
Het belangrijkste verschil tussen het connections model en het Bonacich model is dat in het connections model het ster netwerk erg belangrijk is en in het Bonacich model de dominante groep netwerken erg belangrijk zijn. Hiernaast spelen in beide modellen het lege en het complete netwerk een grote rol.
5 Conclusie
Er is onderzocht welke netwerken pairwise stable en efficiënt zijn in een Bonacich model. Voor delta tussen 0 en blijken lege, complete en dominante groep netwerken pairwise stable en lege en complete netwerken efficiënt. In tegenstelling tot het connections model is het ster netwerk niet meer pairwise stable en efficiënt en is het netwerk niet meer belangrijk.
In de gebieden waar meerdere netwerken stabiel zijn, baat het niet om af te wijken van de huidige structuur. Het levert niet meer op om een link toe te voegen of te verwijderen. In een leeg netwerk baat het dus niet om een link toe te voegen en in een compleet netwerk baat het niet om een link te verwijderen. In een dominante groep netwerk baat het niet om een link toe te voegen of te verwijderen.
19
In het gebied waar meerdere netwerken stabiel zijn, is grotendeels het complete
netwerk efficiënt. Het lege netwerk is in dit gebied dus wel pairwise stable maar niet efficiënt. Dit betekent dat een paar spelers geen link kan vormen zonder dat één van de spelers slechter af is. Als alle spelers links zouden vormen met alle andere spelers uit het netwerk zou het gezamenlijk nut veel hoger zijn. Als mensen zelf hun netwerk vormen, maken zij dus te weinig links aan. De overheid moet het aantrekkelijker maken om links te vormen. Als iedereen links vormt met elkaar zal er een compleet netwerk ontstaan. Omdat dit netwerk efficiënt is in het gebied zal het gezamenlijke nut voor de mensen hoger zijn dan in een leeg netwerk.
In het gebied waar meerdere netwerken stabiel zijn, is een heel klein gebied waar het lege netwerk efficiënt is. Hier is dus het complete netwerk pairwise stable maar niet efficiënt. Spelers kunnen geen link verwijderen zonder een lagere nutswaarde te krijgen maar als elke speler al zijn links zou verwijderen zou het gezamenlijke nut veel hoger zijn. Mensen vormen dus teveel links en de overheid zou het vormen van links moeten belemmeren. Als het niet aantrekkelijk is om links te vormen zal er een leeg netwerk ontstaan wat wel efficiënt is.
De dominante groep netwerken zijn wel pairwise stable maar nooit efficiënt. In het gebied waar zij pairwise stable zijn, is het complete netwerk efficiënt. Mensen maken dus uit zichzelf te weinig links. Om het gezamenlijke nut groter te maken, moet de overheid het vormen van links stimuleren. Als het aantrekkelijk is om links te vormen zal er een compleet netwerk ontstaan en omdat dit netwerk efficiënt is, wordt de waarde van het gezamenlijke nut hoger.
20
Bibliografie
Ballester, C., Calvó-Armengol, A., & Zenou, Y. (2006). Who's who in networks. Wanted: The key player. Econometrica , 5 (74), 1403-1417.
Borgatti, S. P. (2005). Centrality and Network flow. Social Networks , 27 (1), 55-71.
Buskens, V., & van de Rijt, A. (2008). Dynamics of networks if everone strives for structural holes. American journal of sociology , 114 (2), 371-407.
Calvó-Armengol, A., Patacchini, E., & Zenou, Y. (2009). Peer effects and social networks in education. The review of economic studies (76), 1239-1267.
Goyal, S. (2007). Connections: an introduction to the economics of networks. Princeton university press.
Goyal, S., & Vega-Redondo, F. (2007). Structural holes in social networks. Journal of economic theory , 137 (1), 460-492.
Jackson, M. (2008). Social and economic networks. Princeton university press.
Jackson, M., & Wolinsky, A. (1996). A strategic model of social and economic networks. Journal of economic theory (71), 44-74.
Bijlage I Bewijs stelling 1
Stelling 1
Een ster netwerk is nooit pairwise stable voor
.
Het bewijs volgt uit het volgende lemma:
Lemma 1
Een sternetwerk is pairwise stable als
met λ de grootste eigenwaarde van het ster netwerk en alle netwerken van alle mogelijke afwijkingen hierin, is.
Als in een ster netwerk een link tussen de centrale speler en een periferiespeler verwijderd wordt, zijn er drie groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de spelers die één link met de centrale speler hebben, groep 2 is de centrale speler en groep 3 is de speler zonder links. De bonacich centrality van groep 1 is , van groep 2 en van groep 3 . Deze functies kunnen uitgedrukt worden in een functie van en , dit wordt
en . De nutsfuncties worden , en .
Als in een ster netwerk een link tussen twee periferiespelers wordt gevormd, zijn er drie groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de spelers met één link met de centrale speler, groep 2 is de centrale speler en groep 3 zijn de twee spelers die een link met de centrale speler en met elkaar vormen. De bonacich centrality van groep 1 is , van groep 2 en van groep 3 . Deze functies kunnen worden uitgedrukt in en , dit wordt
,
en
, en
.
Een voorwaarde voor een pairwise stable ster netwerk is dat het nut van de centrale speler in een ster netwerk minstens zo hoog moet zijn als in een ster netwerk met één link minder tussen de centrale speler en een periferiespeler. Voor deze periferiespeler moet het nut in een ster netwerk ook nog minstens zo hoog zijn als het nut in een netwerk zonder de link met de centrale speler. Dit wordt genoteerd als ) en ), met het netwerk g met één link minder tussen de centrale speler en de periferiespelers. Als de
nutsfuncties worden ingevuld ontstaan de volgende vergelijkingen:
en
. Dit kan herschreven
worden tot en .
Naast deze voorwaarde moet ook gelden dat als voor één periferiespeler een nieuwe link toevoegen met een andere periferiespeler strikt meer nut opbrengt, dit voor de andere periferiespeler strikt minder nut oplevert. Als twee periferiespelers een link met elkaar vormen, hebben de spelers een gelijke nutsfunctie. Er moet gelden dat de link voor beiden spelers niet meer nut oplevert, de vergelijking wordt: met het netwerk met een link tussen twee periferiespelers. Als de nutsfuncties ingevuld worden, volgt de volgende vergelijking:
. Dit kan herschreven
worden tot
. Een ster netwerk is pairwise stable als er
aan beide voorwaarden is voldaan dus er moet gelden dat
met λ de grootste eigenwaarde van het ster netwerk en alle netwerken van alle mogelijke afwijkingen hierin is.
Als δ is het netwerk niet meer stabiel. Dit kan bewezen worden door δ in
te vullen in de stelling. Hieruit volgt
geldt: . Er kan niet meer aan de vergelijking voldaan worden en dus is het ster netwerk vanaf n=4 nooit pairwise stable.
Bijlage II Bewijs stelling 2
Stelling 2
Een leeg netwerk is pairwise stable als geldt
met .
Als twee spelers besluiten een link met elkaar te leggen, wordt de bonacich centrality van die spelers , wat te schrijven is als . De bonacich centrality van de overige spelers blijft gelijk, . De nutsfuncties worden en . Een leeg netwerk is pairwise stable als geldt dat een link ij toevoegen voor speler i strikt beter is, maar voor speler j strikt slechter is. Speler i en j die de link ij vormen, hebben dezelfde nutsfunctie in een leeg netwerk. Er moet dus gelden dat de link beiden spelers niet meer nut oplevert dan de situatie zonder de link. Dit kan op de volgende manier genoteerd worden: met het netwerk g waarin twee spelers in een leeg netwerk een link vormen. Als de
nutsfuncties worden ingevuld, wordt de vergelijking . Hieruit volgt dat als een leeg netwerk pairwise stable is.
Bijlage III Bewijs stelling 3
Stelling 3
Een compleet netwerk is pairwise stable als geldt met .
Als een link tussen twee spelers verwijderd wordt, wordt de bonacich centrality voor de twee spelers met een link minder: . De overige spelers hebben bonacich centrality . Deze functies kunnen herschreven worden als:
en . De nutsfuncties zijn en .
Een compleet netwerk is pairwise stable als geldt het nut van een speler minstens zo hoog is als het nut in een netwerk met één link minder. Er moet dus gelden dat
met het netwerk waarin twee spelers niet met elkaar verbonden zijn. Dit geeft en kan herschreven worden tot . Een compleet netwerk is dus pairwise stable als geldt dat .
Bijlage IV Bewijs stelling 4
Stelling 4
i) Een cirkel netwerk met n=4 is nooit pairwise stable voor . ii) Een cirkel netwerk met n=6 is nooit pairwise stable voor . iii) Een cirkel netwerk met n=8 is nooit pairwise stable voor .
Het bewijs volgt uit de volgende lemma’s:
Lemma
1) Een cirkel netwerk met n=4 is pairwise stable als
met waarbij de grootste eigenwaarde van het ster netwerk en alle netwerken van alle mogelijke afwijkingen hierin is.
2) Een cirkel netwerk met n=6 is pairwise stable als
met
waarbij de grootste eigenwaarde van het ster netwerk en
alle netwerken van alle mogelijke afwijkingen hierin is. 3) Een cirkel netwerk met n=8 is pairwise stable als
waarbij de grootste eigenwaarde van het ster netwerk
Als is de Bonacich centrality voor elke speler gelijk aan . Als er een link verwijderd wordt, zijn er twee groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de twee spelers met één link minder en groep 2 zijn de twee spelers met twee links. De bonacich centrality voor deze groepen kan geschreven worden als en wat gelijk is aan en . Hieruit volgt dat en
. Als er een link toegevoegd wordt, kunnen spelers die eerst via één indirecte link
verbonden waren zich nu via een directe link verbinden. Er zijn weer twee groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de twee spelers met één link extra en groep 2 zijn de twee spelers met 2 links. De bonacich centrality voor deze groepen kan geschreven worden als en wat gelijk is aan en . Hieruit volgt dat en .
Een cirkel netwerk met 4 spelers is pairwise stable als geldt dat het nut voor elke spelers minstens zo hoog is als het nut van de spelers in een netwerk met één link meer of minder. Er moet dus gelden dat en met het netwerk met één link minder en het netwerk met één link meer. Dit geeft
en
. Dit kan herschreven worden als
met λ de grootste
eigenwaarde van netwerk G is.
Als δ is het netwerk niet meer pairwise stable. Dit kan bewezen worden door δ in te vullen. De vergelijking wordt en voldoet niet meer. Een cirkel netwerk van n=4 kan dus nooit stabiel zijn als δ .
Als is de Bonacich centrality voor elke speler gelijk aan . Als er een link verwijderd wordt, zijn er drie groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de twee spelers met één link minder, groep 2 zijn de twee spelers die twee links hebben waarvan één link met een groep 1 speler en groep 3 zijn de twee spelers die twee links hebben met een groep 2 en groep 3 speler. De bonacich centrality voor deze groepen kan geschreven worden als , en wat gelijk is aan
, en . Hieruit volgt dat , en .
Er kan op twee manieren een link worden toegevoegd. Er kan een link gevormd worden tussen twee spelers die eerst via één indirecte link verbonden waren of er kan een link gevormd worden tussen twee spelers die eerst via twee indirecte links verbonden waren. Er kan dus een link dichtbij of ver weg gevormd worden. Als er een link tussen twee spelers dichtbij toegevoegd wordt, zijn er vier groepen spelers te onderscheiden. Er zijn twee groep 1 spelers die een extra link hebben, twee groep 2 spelers die gelinkt zijn met een groep 1 en groep 3 speler, één groep 3 speler die ligt tussen de groep 2 spelers en één groep 4 speler die ligt tussen de groep 1 spelers. De bonacich centrality zit er als volgt uit: , , en . Dit kan herschreven worden als , ,
en
. Als er een link tussen twee spelers ver weg toegevoegd wordt,
zijn er twee groepen spelers te onderscheiden. Er zijn twee groep 1 spelers die één extra link hebben, de overige vier spelers zijn groep 2 spelers die twee links hebben. De bonacich centrality zit er als volgt uit: en . Dit kan genoteerd worden als en .
Net als een cirkel netwerk met 4 spelers is een cirkel netwerk met 6 spelers pairwise stable als geldt dat het nut voor elke spelers minstens zo hoog is als het nut van de spelers in een netwerk met één link meer of minder. Anders dan het netwerk met 4 spelers kan er nu op twee manieren een link toegevoegd, hierdoor is er een vergelijking extra. Er moet dus gelden dat en met het netwerk met één link minder en het netwerk met één link meer. Als de nutsfuncties ingevuld worden, leidt dit tot de volgende vergelijkingen: , en . Dit kan herschreven worden als
met
Als δ is het netwerk niet meer pairwise stable. Dit kan bewezen worden door δ in te vullen. De vergelijking wordt en voldoet niet meer. Een cirkel netwerk van n=6 kan dus nooit stabiel zijn als δ .
Als is de Bonacich centrality voor elke speler gelijk aan . Als er een link verwijderd wordt, zijn er vier groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de twee spelers met één link minder, groep 2 zijn de twee spelers die twee links hebben waarvan één link met een groep 1 speler, groep 3 zijn de twee spelers die een link hebben met een groep 2 en een groep 4 speler en groep 4 zijn de twee spelers die een link hebben met elkaar en een groep 3 speler. De bonacich centrality voor deze groep kan geschreven worden als , , en wat gelijk is aan
, , en .
Er kan op drie manieren een link worden toegevoegd. Er kan een link gevormd worden tussen twee spelers die eerst via één indirecte link verbonden waren, er kan een link gevormd worden tussen twee spelers die eerst via twee indirecte links verbonden waren of er kan een link gevormd worden tussen twee spelers die eerst via drie indirecte links verbonden waren. Voor de eerste variant zijn er vijf groepen spelers te onderscheiden. Er zijn twee groep 1 spelers die een link vormen met elkaar en met een groep 2 en een groep 3 speler, een groep 2 speler die tussen de groep 1 spelers in ligt, een groep 3 speler die gelinkt is met een geroep 1 speler en een groep 4 speler, een groep 4 speler die gelinkt is met een groep 3 en een groep 5 speler en een groep 5 speler die tussen twee groep 4 spelers in ligt. De bonacich centrality zit er als volgt uit: , , ,
en . Dit kan herschreven worden als
, , , en .
Als er een link wordt toegevoegd tussen spelers die eerst via twee indirecte links verbonden waren, zijn er vier groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn de twee spelers die een extra link vormen, groep 2 zijn de twee spelers die tussen de groep 1 spelers in liggen, groep 3 zijn de twee spelers die een link vormen met een groep 1 en een groep 4 speler en groep 4 zijn de twee spelers tussen de groep 3 spelers in. De bonacich centrality ziet er als
volgt uit: , , en . Dit kan herschreven worden als ,
, en .
Als er een link wordt toegevoegd tussen spelers die eerst via drie indirecte links verbonden waren, zijn er drie groepen spelers te onderscheiden. Groep 1 zijn twee spelers die een extra link vormen, groep 2 zijn twee spelers die een link hebben met een groep 1 speler en een groep 3 speler en groep 3 zijn twee spelers die tussen twee groep 2 spelers liggen. De bonacich centrality ziet er als volgt uit: , en
. Dit kan genoteerd worden als , en .
Net als een cirkel netwerk met 4 en 6 spelers is een cirkel netwerk met 8 spelers pairwise stable als geldt dat het nut voor elke spelers minstens zo hoog is als het nut van de spelers in een netwerk met één link meer of minder. Anders dan het netwerk met 4 en 6 spelers kan er nu op drie manieren een link toegevoegd. Er moet dus gelden dat
en met het netwerk met één link minder en het netwerk met één link meer. Als de nutsfuncties ingevuld worden, leidt dit tot de volgende vergelijkingen:
, , en
. Dit kan herschreven worden als
met λ de grootste eigenwaarde van
netwerk G is.
Als δ is het netwerk niet meer pairwise stable. Dit kan bewezen worden door δ in te vullen. De vergelijking wordt max{0.468,2.96,0.2455} wat niet voldoet. Een cirkel netwerk van n=8 kan dus nooit stabiel zijn als δ .
