Pfaffiaanse oriëntatie
en het tellen van perfecte matchings
Sanne Donker
9 juli 2018
Bachelorscriptie Wiskunde Begeleiding: dhr. dr. Guus Regts
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Abstract
Een Pfaffiaanse oriëntatie is een oriëntatie op een graaf waaronder alle perfecte matchings van de graaf hetzelfde teken hebben. Het blijkt dat zowel planaire grafen en grafen die niet de topologische minor K3,3 bevatten altijd een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. Ook
blijkt dat bij het lijmen en verbinden van Pfaffiaanse grafen met een perfecte matching overdekking, onder zekere condities, de Pfaffiaanse eigenschap behouden blijft. Omdat de Pfaffiaanse oriëntatie van een graaf gelinkt is aan het tellen van perfecte matchings is een toepassing hiervan het tweedimensionale dimer model. Er wordt een formule gegeven voor het aantal configuraties van dimers in een roostergraaf.
Titel: Pfaffiaanse oriëntatie en het tellen van perfecte matchings Auteur: Sanne Donker, s.a.m.donker@hotmail.com, 10780416 Begeleiding: dhr. dr. Guus Regts,
Tweede beoordelaar: dhr. dr. Jan Brandts, Einddatum: 9 juli 2018
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde University van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4
2 Definities 5
3 Planaire grafen 10
4 Grafen zonder de topologische minor K3,3 13
5 Constructie 20
6 Het dimer model 25
7 Conclusie 32
Populaire samenvatting 33
1 Inleiding
Het tellen van het aantal perfecte matchings in een graaf is moeilijk. Het tellen van het aantal perfecte matchings in een bipartiete graaf is zelfs #P-compleet (Valiant, 1979). Maar het blijkt dat wanneer een graaf Pfaffiaans georiënteerd is het aantal perfecte matchings kan worden gevonden in polynomiale tijd (Kasteleyn, 1963). Daarom is het erg interessant om naar grafen met een Pfaffiaanse oriëntatie te kijken.
In het tweede hoofdstuk zal een aantal definities worden genoemd zodat we Pfaffiaanse oriëntatie kunnen definiëren. Daarna wordt de precieze link tussen Pfaffiaanse oriëntatie en perfecte matchings uitgelegd.
Vervolgens zullen verschillende klasse grafen worden bekeken die bepaalde eigenschappen hebben zodanig dat ze Pfaffiaans georiënteerd zijn. In hoofdstuk 3 wordt besproken dat planaire grafen een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. Dit is als eerste bewezen door Kaste-leyn (1967). Echter wordt in deze scriptie het bewijs gevolgd zoals dat is opgeschreven door Aigner in A Course in Enumeration (2007). Daarna zal er in hoofdstuk 4 worden gekeken naar de klasse grafen die niet de topologische minor K3,3 bevatten. Deze karak-terisatie is gedaan door Little (1974). Dit hoofdstuk volgt zijn artikel An extension of Kasteleyn’s method of enumerating the 1-factors of planar graphs.
Behalve dat bepaalde karakterisaties van grafen Pfaffiaans georiënteerd zijn, is het ook mogelijk om een Pfaffiaanse graaf te construeren. In hoofdstuk 5 worden twee manieren besproken waarbij vanuit twee Pfaffiaanse grafen met een perfecte matching overdekking een Pfaffiaanse graaf wordt geconstrueerd. Deze constructies zijn bewezen door Little en Rendle. Hun artikel Operations preserving the Pfaffian property of a graph (1991) zal in dit hoofdstuk als leidraad gebruikt worden.
Als laatste wordt in hoofdstuk 6 een praktische toepassing gegeven voor het tellen van perfecte matchings. Hier wordt het dimer model bekeken. Het geldt namelijk dat het aantal perfecte matchings in een roostergraaf hetzelfde is als het aantal configuraties van dimers in een tweedimensionaal kristalrooster. In dit hoofdstuk wordt een formule gegeven voor het aantal perfecte matchings in een Pfaffiaans georiënteerde roostergraaf. Als eerste zal nu het begrip Pfaffiaanse oriëntatie gedefinieerd worden.
2 Definities
Om Pfaffiaanse oriëntatie te kunnen definieren zijn eerst een aantal definities uit de grafentheorie nodig. Genoemd moet worden dat in deze scriptie wanneer er over een graaf wordt gesproken deze simpel is, geen dubbele lijnen heeft en geen lussen bevat.
Als eerst volgt de defnitie van een matching. Laat G een graaf en M een deelverzameling lijnen van G, dan noemen we M een matching als de lijnen in M geen gemeenschappelijke eindpunten hebben. Een matching M noemen we perfect wanneer alle punten van de graaf G bevat zitten in de matching. Een definitie waarbij gebruik wordt gemaakt van perfecte matchings is die van een alternerende cykel. Een cykel is alternerend als de cykel even is en als bij verwijdering van de punten van de cykel de graaf nog steeds een perfecte matching heeft. Het is goed om op te merken dat een vereniging van twee matchings een cykel overdekking is van de graaf. Iedere cykel in deze overdekking is even omdat oneven cykels niet twee-kleurbaar zijn.
Verder heet een graaf G = (V, E) georiënteerd wanneer de graaf gericht is en geen dubbele lijnen bevat. We noemen een cykel (on)even georiënteerd wanneer het aantal lijnen dat tegen de richting in georiënteerd is, (on)even is. Als we door een cykel heen lopen, om zo de oriëntatie te bekijken, kunnen we dit in twee richtingen doen. Omdat we alleen even cykels zullen bekijken maakt het niet uit in welke looprichting wordt gekeken.
Als laatste algemene definitie noemen we de definitie van een antisymmetrische matrix. Een antisymmetrische matrix is een matrix waarvoor geldt dat AT = −A.
Laat nu n ∈ Z>0 met n even en A = (aij) een n × n antisymmetrische matrix. Dan
definiëren we de Pfaffiaan van A als:
Pf A = 1 n!2n X σ∈S2n sgn(σ) n Y i=1 aσ(2i−1)σ(2i),
waarbij aσ(2i−1)σ(2i) indices zijn van de matrix A (Barvinok, 2017). De constante n!21n
is nodig omdat er een aantal verschillende permutaties zijn die dezelfde lijnen vertegen-woordigen. Voor n! sigma’s geldt namelijk dat het productQn
i=1aσ(2i−1)σ(2i)op volgorde
na hetzelfde is. Ook geldt dat voor iedere permutatie het omdraaien van de permutatie een permutatie geeft waarvan het teken tegenovergestelde pariteit heeft. Maar omdat de
matrix antisymmetrisch is, heeft de waarde van het product ook tegenovergestelde pari-teit. Deze term wordt dus voor n permutaties 2 keer geteld. Vandaar dat de constante
1
n!2n nodig is om de dubbele permutaties uit de som te filteren.
Een perfecte matching van een graaf op 2n punten correspondeert met een partitie van {1, 2, . . . , 2n} in n paren. Zo’n matching schrijven we als µ = i1j1, i2j2, . . . , injn met
ik < jk voor alle k. Het blijkt dat iedere perfecte matching in termen van permutaties
precies n!21n keer voorkomt. Een equivalente definitie van de Pfaffiaan is dus
Pf A =X
µ
sgn(µ)aµ,
met aµ een product van indices van de matrix A (Aigner, 2007).
Het teken van M , sgn M , is als volgt gedefinieerd: laat M0de standaard matching zoals in Figuur 2.1. De lijnen van deze matching hoeven niet daadwerkelijk lijnen van de graaf te zijn, we kunnen M0dus ook als een ‘fictieve matching’ beschouwen. Voor iedere matching
M is er een permutatie π ∈ Snzodanig dat M = πM0. Er geldt dan sgn(M ) : = sgn(π).
Deze definitie van het teken is goed gedefinieerd. Wanneer namelijk geldt dat π1M0 =
π2M0 met π1, π2 ∈ Sn, dan geldt ook π2−1π1M0 = M0. Dus π−12 π1 ∈ Stab(M0). Er
worden dus alleen ‘blokken’, twee punten en de daartussen lopende georiënteerde lijn, omgewisseld dus sgn(π2−1π1) = 1. Hieruit volgt dat sgn(π2−1) · sgn(π1) = 1. Omdat
sgn(π2−1) = sgn(π2) geldt dus ook dat sgn(π2) = sgn(π1).
M
0: =
1 2 3 4 2n − 1 2n
Figuur 2.1: De standaardmatching M0.
Een equivalente definitie van het teken is sgn(M ) : = (−1)C(M0∪M )+O(M0∪M ), waarbij
C(M ∪ M0) staat voor het aantal componenten van M ∪ M0 en O(M0∪ M ) voor het
aantal lijnen in M0∪ M dat tegen de richting in is georiënteerd.
Lemma 2.1. Bovenstaande definities van het teken zijn equivalent: voor M = πM0 geldt sgn(M ) = sgn(π) = (−1)C(M0∪M )+O(M0∪M ).
Bewijs. Laat sgn(M ) = sgn(π). Om de twee matchings hetzelfde te maken moet de permutatie π in ieder geval de lijnen van M0 naar die van M sturen. Indien nodig moet
π de riching van de lijnen van M0omdraaien door middel van transposities. Dus π = π1π2
met π1 de transposities en π2 de permutatie die de lijnen op dezelfde plek legt. Hieruit volgt dat sgn(π1) = (−1)#transposities. De lijnen waarvan de richtingen moeten worden
omgedraaid zijn lijnen die in de cykel tegen de richting in georiënteerd zijn. Omdat afhankelijk van de oriëntatie van de graaf er meer lijnen tegen de richting in georiënteerd kunnen zijn is het aantal transposities gelijk aan O(M0∪ M ) mod 2.
Omdat de vereniging van twee perfecte matchings wordt bekeken is iedere component een even cykel. Het op de juiste plek leggen van de lijnen van M is dus alle lijnen van de cykel een lijn opschuiven. Omdat deze even is geldt sgn(π2) = (−1). Hieruit volgt dat
sgn(π) = sgn(π1π2) = sgn(π1) sgn(π2) = (−1)O(M0∪M )(−1).
Als M ∪ M0 meerdere componenten heeft, geldt dat iedere component een factor -1
toevoegt vanwege de opschuiving van lijnen. Er geldt dus dat sgn(π) = (−1)C(M ∪M0)+O(M0∪M )= sgn(M ).
Voorbeeld 2.1. Laat G een graaf en M een matching van G zoals in Figuur 2.2. Het eerste wat opvalt aan dit figuur is dat de standaardmatching M06⊆ G. Dit maakt niet uit aangezien de standaardmatching fictief is. Verder is het makkelijk te zien dat M = πM0
voor π = (1256)(34). Omdat sgn(π) = (−1) · (−1) = 1 geldt dat sgn(M ) = 1. Als we de andere definitie bekijken zien we dat er twee componenten zijn en twee lijnen die tegen de richting in georiënteerd zijn. Dus sgn(M ) = (−1)2(−1)2 = 1 zoals gewenst.
G 1 2 3 6 5 4 M0 1 2 3 6 5 4 M 1 2 3 6 5 4 M ∪ M0 1 2 3 6 5 4
Figuur 2.2: Een graaf G, de bijbehorende standaardmatching M0 en een willekeurige
matching M .
Laat nu G = (V, E) een graaf op n punten met n even. Laat V = {1, . . . , n} en neem een oriëntatie op G. De georiënteerde bogenmatrix A = (aij) is een antisymmetrische matrix met aij = 1; als i → j −1; als j → i 0; als {i, j} /∈ E.
Als we voor deze matrix de Pfaffiaan berekenen, kunnen we iets zeggen over de graaf G.
Zoals eerder gezegd sommeert de Pfaffiaan over alle perfecte matchings van {1, . . . , n}. Dit is hetzelfde als sommeren over alle perfecte matchings van G. Als we nu een oriëntatie
van G kunnen vinden waarbij geldt dat (sgn µ)aµ altijd +1 of juist atlijd −1 is. Dan geldt dat de absolute waarde van de Pfaffiaan gelijk is aan het aantal perfecte matchings van G. Vanaf nu noteren we het aantal perfecte matchings met M (G). Als er zo’n oriëntatie bestaat, geldt dus dat |Pf (A)| = M (G). Als we nu Cayley’s stelling bekijken, die zegt dat det(A) = (Pf (A))2 voor A een n × n antisymmetrische matrix. Dan zien we dat
M (G)2 = Pf (A)2 = det(A) → M (G) =pdet(A).
Dit is handig aangezien we vele manieren hebben om de determinant te berekenen. Maar hoe weten we dat een graaf zo’n oriëntatie heeft?
Definitie 2.1. Een oriëntatie van een graaf G is Pfaffiaans als iedere alternerende cykel oneven georiënteerd is.
Opmerking: Aangezien een alternerende cykel ontstaat uit de vereniging van twee matchings, is de definitie van Pfaffiaanse oriëntatie alleen zinvol wanneer de graaf een even aantal punten heeft. Grafen met een oneven aantal punten hebben immers geen perfecte matchings. Een graaf met een oneven aantal punten kunnen we dus altijd Pfaffiaans noemen.
Eerder merkten we op dat bij een specifieke oriëntatie het aantal perfecte matchings gelijk is aan de absolute waarde van de Pfaffiaan. Houdt dit dan in dat er ook een link is tussen Pfaffiaanse oriëntatie en perfecte matchings? Jazeker, wanneer een graaf Pfaffiaans georiënteerd is, geldt namelijk dat het teken van alle perfecte matchings hetzelfde is. Lemma 2.2. Een oriëntatie van een graaf G is Pfaffiaans dan en slechts dan als het teken van alle perfecte matchings van G hetzelfde is.
Bewijs. ⇒ De graaf G is Pfaffiaans georiënteerd dus iedere alternerende cykel is oneven georiënteerd. Als we twee matchings M1 en M2 van G hebben, dan zijn er permutaties π1, π2 zodat geldt dat π1M1 = M0 en π2M2 = M0. Hieruit volgt dat π1M1 = π2M2, en
dus dat π−12 π1M1 = M2. Omdat het product van twee permutaties een permutatie is,
kunnen we op dezelfde manier als in het bewijs van Lemma 2.1 laten zien dat sgn(M1)sgn(M2) = (−1)C(M1∪M2)+O(M0∪M ).
Als geldt dat sgn(M1)sgn(M2) = 1, dan hebben de tekens van de twee matchings dezelfde
pariteit en zijn ze dus gelijk. Omdat we een vereniging van twee matchings bekijken, zijn alle componenten alternerende cykels. Vanwege de Pfaffiaanse oriëntatie zijn deze dus oneven georiënteerd. Als we een oneven aantal componenten hebben, hebben we dus ook een oneven aantal odd arcs. Hetzelfde voor het even geval: als we een even aantal componenten hebben, hebben we een even aantal odd arcs. Dus in beide gevallen is de som van het aantal componenten en het aantal odd arcs even. Er geldt dus altijd dat sgn(M1)sgn(M2) = 1 en dus dat de tekens van twee verschillende matchings gelijk zijn.
Dit geldt voor elk tweetal matchings in de graaf, dus alle perfecte matchings in een graaf hebben hetzelfde teken als een graaf Pfaffiaans georiënteerd is.
⇐ We bewijzen dat de graaf Pfaffiaans georiënteerd is door naar een alternerende cykel C te kijken. De cykel C is alternerend dus per definitie heeft G \ C een perfecte matching. Omdat C zelf een vereniging van twee perfecte matchings is, kunnen we de matching van G \ C uitbreiden naar een perfecte matching van G op twee manieren. Noem deze matchings M1 en M2. Vanwege de aanname hebben M1en M2 hetzelfde teken. Dus voor
de permutatie π met πM1 = M2, geldt dat sgn(π) = 1. Doordat de matchings M1 en
M2 alleen van elkaar verschillen in de punten van de cykel C is alleen deze component
relevant voor het teken van π. Hieruit volgt dat het aantal lijnen dat tegen de richting in georiënteerd is in C oneven moet zijn. Dus de alternerende cykel C is oneven georiënteerd en dus is de oriëntatie van G Pfaffiaans.
Er is nog geen algmene manier gevonden om over een willekeurige graaf te zeggen dat deze een Pfaffiaanse oriëntatie heeft. Wel zijn er door verschillende wiskundigen karakterisaties gevonden van grafen die Pfaffiaans georiënteerd zijn.
3 Planaire grafen
Een van deze karakterisaties is ontdekt door Kasteleyn (1967). Hij heeft bewezen dat planaire grafen altijd een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. In dit hoofdstuk zal dat worden bewezen op de manier zoals dat is opgeschreven in A course in enumeration door Aigner (2007).
Voor dit bewijs zijn een aantal definities en lemma’s nodig. Neem G = (V, E, F ) een samenhangende graaf met een oriëntatie. Dan ligt G ligt in het vlak als G getekend kan worden zonder kruisende lijnen. We noemen G planair als deze in het vlak kan worden getekend. Verder noemen we een lijn een brug als het aantal componenten van de graaf groter wordt als de lijn wordt verwijderd. Een brug is dus nooit onderdeel van een cykel. Wanneer we nu kijken naar een facet f dan definieren we Bf als de verzameling lijnen
die om het facet heen liggen en geen bruggen zijn. Als laatste noemen we dat de lijn e ∈ Bf met de richting mee is georiënteerd als we in de richting van e kijken en f aan de
rechterkant hiervan ligt.
Lemma 3.1. Laat G = (V, E, F ) een samenhangende graaf in het vlak. Dan is er een oriëntatie zodanig dat voor ieder facet f het aantal met de richting mee georiënteerde lijnen oneven is. Het is mogelijk dat dit niet geldt voor het buitenste facet.
Bewijs. We bewijzen dit met inductie naar het aantal facetten: |F |.
Basisgeval: |F | = 1, hier zijn alle lijnen bruggen. Omdat oriëntatie op bruggen niet is gedefinieerd, is het in dit geval automatisch waar.
Laat nu |F | > 1. Dan is er een lijn e die geen brug is op de rand van het buitenste facet. Noem het andere facet dat aan e grenst f . Wanneer we nu kijken naar G\e zijn de twee facetten, het buitenste facet en f , samen een facet geworden. Volgens de inductie hypothese is er een oriëntatie op G\e zodanig dat de conditie geldt. Nu kunnen we e weer toevoegen aan G en oriënteren zodanig dat de conditie geldt voor G. Het hoeft immers niet te gelden voor het buitenste facet. De bruggen kunnen we willekeurig oriënteren. Lemma 3.2. Laat G = (V, E, F ) een samenhangende graaf in het vlak die geen bruggen heeft en georiënteerd is zoals in Lemma 3.1 en laat C een cykel. Dan heeft het aantal lijnen in C dat met de richting mee georiënteerd is een tegenovergestelde pariteit t.o.v. het aantal punten in het inwendige van C.
Bewijs. Laat H = (V0, E0, F0) een subgraaf van G bestaande uit het inwendige van C samen met C. Als we het buitenste facet niet meetellen, geldt volgens Eulers formule
|V0| − |E0| + |F0| = 1.
Neem aan dat er p punten, q lijnen en r facetten in het inwendige bevat zijn en dat ` de lengte van C is. Dus
|V0| = p + `, |E0| = q + `, |F0| = r, dan volgt uit Eulers formule
p − q + r = 1.
Neem aan dat c0 lijnen van C met de richting mee zijn georiënteerd. Laat vervolgens ci het aantal lijnen zijn dat in het i-de facet met de richting mee is georiënteerd. Neem aan dat ci oneven is. Iedere lijn in het inwendige grenst aan twee facetten en dus geldt dat
iedere lijn in het inwendige een keer met de richting mee georiënteerd verschijnt. Ook geldt dat de lijnen van C dezelfde oriëntatie hebben op C als op het aangrenzende facet. Hieruit volgt dat
r
X
i=1
ci = q + c0,
omdat alle ci oneven zijn volgt dat r ≡ q + c0 mod 2. Wanneer we dit invullen in
p − q + r = 1 zien we dat p + c0 ≡ mod 2. Dit houdt in dat p en c0 dezelfde pariteit
hebben.
Stelling 3.3. Laat G = (V, E, F ) een samenhangende graaf in het vlak die geen bruggen heeft. Dan is de oriëntatie gegeven in Lemma 3.1 Pfaffiaans.
Bewijs. We willen bewijzen dat iedere alternerende cykel oneven georiënteerd is als voor ieder facet het aantal met de richting mee georiënteerde lijnen oneven is. Laat hiervoor C een alternerende cykel. Dan weten we dat G \ C een perfecte matching heeft. Vanwege de planariteit van G geldt dat zowel het inwendige als het uitwendige van C een perfecte matching heeft. Er zit dus een even aantal punten in het inwendige van C. Uit Lemma 3.2 volgt dan dat het aantal met de richting mee georiënteerde lijnen in C oneven is. Dus ook het aantal tegen de richting in georiënteerde lijnen is oneven. We zien dus dat C oneven georiënteerd is. We hebben de cykel C willekeurig gekozen dus de graaf G is Pfaffiaans.
Wanneer deze stelling gecombineerd wordt met de stelling van Cayley, volgt het onder-staande gevolg.
Gevolg 3.4. Laat G een samenhangende graaf in het vlak die geen bruggen heeft met een Pfaffiaanse oriëntatie en laat A de bijbehorende georiënteerde bogenmatrix. Dan geldt
In dit hoofdstuk is dus bewezen dat iedere samenhangende graaf in het vlak zonder brug-gen een Pfaffiaanse oriëntatie heeft. Echter hoeft de eis van samenhanbrug-gendheid hierbij, en dus ook bij Gevolg 3.4, niet toegevoegd te worden. Een graaf die niet samenhangend is bestaat namelijk uit samenhangende componenten. Wanneer al deze componenten een Pfaffiaanse oriëntatie hebben, heeft de gehele graaf dit ook. Ook het feit dat een graaf wel of geen bruggen heeft kan achterwege gelaten worden. Dit kan omdat een brug ofwel in iedere perfecte matching van een graaf zit ofwel in geen enkele. De oriëntatie van de brug geeft dus geen verschil in tekens van twee perfecte matchings. Hieruit volgt dus Kasteleyns bevinding dat iedere planaire graaf een Pfaffiaanse oriëntatie heeft.
4 Grafen zonder de topologische minor K
3,3
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat planaire grafen altijd een Pfaffiaanse ori-ëntatie hebben. Echter zijn er nog meer klasse van grafen waarvan bekend is dat ze een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. Zo geldt dat iedere eindige graaf die niet de topologische minor K3,3 bevat Pfaffiaans is. De karakterisatie van deze klasse grafen is gedaan door
Little. In dit hoofdstuk volgen we zijn artikel An extension of Kasteleyn’s method of enu-merating the 1-factors of planar graphs (1974). Een belangrijke definitie in dit hoofdstuk is die van een topologische minor (Diestel, 2000). Om te begrijpen wat een topologische minor is, moeten we eerst weten wat een subdivisie is. Als we van een graaf H de lijnen kunnen vervangen door intern discjuncte paden, noemen we de nieuw verkregen graaf K een subdivisie van H. Als vervolgens geldt dat K een deelgraaf is van een willekeurige graaf G, dan is H een topologische minor van G. In Figuur 4.1 is een voorbeeld te zien van 3 grafen die de topologische minor K3,3 bevatten. Aan de rechterkant van de afbeelding is weergegeven op welke manier ze deze bevatten.
a w v z y x y z a v w x a b w v z y x x y a v w z b a b w v z y x x y a v w b
Voordat we de karakterisatie naar deze klasse kunnen bewijzen, moeten we eerst een aantal notaties en definities introduceren. Wanneer voor twee verzamelingen S, T ⊆ V (G) geldt dat S ∩T = ∅, dan noteren we de verzameling lijnen van G met een punt in S en een punt in T met SOT of met SOGT . Normaal gesproken wordt een lijn tussen de punten u en v die niet gericht is, weergegeven met {u, v}. Om verwarring met de verzameling van de twee punten u en v te voorkomen zal de notatie [u, v] worden gebruikt om een lijn zonder richting tussen de punten u en v aan te geven. De graaf Sk
i=1Gi waarbij G1, . . . , Gk
grafen zijn, definiëren we met de verzameling punten Sk
i=1V (Gi) en de verzameling
lijnen Sk
i=1E(Gi). Verder is een graaf m-samenhangend als na verwijdering van m − 1
disjuncte punten de graaf nog steeds samenhangend is. Bij verwijdering van m punten is de graaf dit niet meer. Om de karaktersatie te kunnen bewijzen, bewijzen we eerst het volgende lemma.
Lemma 4.1. Laat G een 2-samenhangende graaf met |V (G)| even en u, v ∈ V (G). Laat C1, . . . , Cmcomponenten zijn van G − {u, v} en neem aan dat m ≥ 2. Definieer dan voor
k 6= m: GP = k [ j=1 Cj, en GQ = m [ j=k+1 Cj.
Als |V (GQ)| even is, laat dan HQ een graaf zodaning dat:
V (HQ) = V (GQ) ∪ {u, v},
E(HQ) = E(GQ) ∪ (V (GQ)OG{u, v}) ∪ {h}
met h = [u, v]. Het is mogelijk dat h ∈ E(G) maar dit hoeft niet het geval te zijn. Als |V (GQ)| oneven is, laat dan HQ een graaf zodaning dat:
V (HQ) = V (GQ) ∪ {u, v, w} met w /∈ V (G),
E(HQ) = E(GQ) ∪ (V (GQ)OG{u, v}) ∪ {h1, h2}
met h1 = [u, w] en h2 = [w, v]. We definiëren HP analoog. Nu geldt: Als HP en HQ
beide Pfaffiaans zijn, dan is G Pfaffiaans.
We hebben de grafen HP en HQ in twee gevallen gedefinieerd, wanneer |V (G)| even en oneven is, dus we splitsen het bewijs ook in deze twee gevallen.
Bewijs. We bekijken eerst het geval waar |V (GQ)| even is. Als HQPfaffiaans georiënteerd
is, dan hebben alle perfecte matchings van HQhetzelfde teken. In het bijzonder geldt dat
de perfecte matchings die h bevatten hetzelfde teken hebben en dat de perfecte matchings die h niet bevatten hetzelfde teken hebben.
Hieruit volgt dat de perfecte matchings van GQ hetzelfde teken hebben. Ook hebben alle perfecte matchings van GQ0 hetzelfde teken, met GQ0 := HQ\h. Op precies dezelfde
manier zien we dat de perfecte matchings van GP hetzelfde teken hebben en zo ook die van GP0 := HP\h.
Wanneer we de perfecte matchings van G bekijken, zijn er twee gevallen:
i) Er geldt dat h /∈ E(G). We weten dat |V (G)| even is. Dus een deelverzameling lijnen van G is een perfecte matching dan en slechts dan als het van de vorm fP ∪ fQ0
of fP0 ∪ fQ is. Waarbij fi een perfecte matching van Gi is voor i = P, P0, Q, Q0. Een
perfecte matching van G moet immers lijnen uit zowel GP als GQ bevatten. Wanneer het van de vorm fP0∪ fQ0 zou zijn, is het geen perfecte matching omdat er dan meerdere
lijnen aan u en v zitten. En wanneer het van de vorm fP ∪ fQ zou zijn, dan zouden de
punten u en v juist niet in de matching zitten waardoor die niet perfect is.
Onder deze oriëntatie hebben alle perfecte matchings van de vorm fP ∪ fQ0 hezelfde
teken, zo ook die van de vorm fP0∪ fQ. Wanneer deze twee tekens verschillen, kunnen ze
hetzelfde gemaakt worden. Dit kan gebeuren door de oriëntatie om te draaien van iedere lijn in GQ0 die aan het punt u raakt. Aangezien er per perfecte matching natuurlijk maar
een lijn aan u raakt, geeft deze verandering het gewenste teken. Iedere perfecte matching in G heeft dus hetzelfde teken. Dus G heeft een Pfaffiaanse oriëntatie.
ii) Neem aan dat h ∈ E(G) en oriënteer h willekeurig. In dit geval is iedere matching van de vorm fP ∪ fQ0, fP0 ∪ fQ of fP ∪ fQ∪ {h}. Zoals we in geval i) zagen, kunnen
we de graaf oriënteren zodanig dat de matchings van de eerste twee vormen hetzelfde teken hebben. Door de oriëntatie van h om te draaien, indien dit nodig is, kunnen de perfecte matchings van de derde vorm hetzelfde teken krijgen als die van de eerste twee. Wederom volgt hieruit dat G een Pfaffiaanse oriëntatie heeft.
Nu rest het ons nog om naar het geval te kijken waar |V (GQ)|, en dus |V (GP)|, oneven
is. Als HQ een Pfaffiaanse oriëntatie heeft, dan hebben de perfecte matcings die h1
bevatten hetzelfde teken. Net als dat de perfecte matchings die h2 bevatten hetzelfde
teken hebben.
Laat nu GQu een graaf zodanig dat:
V (GQu) = V (GQ) ∪ {u},
E(GQu) = E(GQ) ∪ (V (GQ)OG{u}),
definieer GQv analoog. Hieruit volgt dat de perfecte matchings van GQu hetzelfde teken hebben en dat die van GQv hetzelfde teken hebben. We definiëren GP u en GP v op dezelfde manier. Op dezelfde manier zien we dan ook dat de perfecte matchings van GP u
hetzelfde teken hebben net als dat die van GP v hetzelfde teken hebben.
Omdat |V (G)| oneven is, moet iedere perfecte matching van G een lijn bevatten uit V (GQ)O{u, v}. Maar als er geldt dat [u, v] ∈ E(G), dan kan geen enkele perfecte
Dus een deelverzameling lijnen van G is een perfecte matching dan en slechts dan als het van de vorm fP u∪ fQv of fP v∪ fQu is. Met fi een perfecte matching van Gi voor
i = P u, P v, Qu, Qv. Wanneer het namelijk van de vorm fP u ∪ fQu of fP v ∪ fQv zou
zijn, zou het geen matching zijn omdat dan respectievelijk u of v aan meerdere lijnen verbonden is. Op analoge manier als geval i) kunnen we door het omdraaien van de oriëntatie van elke lijn in GPudie aan u raakt een Pfaffiaanse oriëntatie van G construeren. Dus G is Pfaffiaans.
Stelling 4.2. Iedere eindige graaf die niet de topologische minor K3,3bevat, is Pfaffiaans.
Bewijs. Laat G een eindige graaf zijn die niet topologische minor K3,3 bevat. Omdat
een planaire graaf niet de topologische minoren K3,3 en K5 bevat (Kuratowski’s stelling), nemen we aan dat G de topologische minor K5 bevat en dus niet planair is. We weten
namelijk al dat wanneer G planair is dat G dan Pfaffiaans is. De graaf G bevat dus disjuncte punten v, w, x, y, z en een verzameling T van tien disjuncte paden. Voor ieder pad in T geldt dat voor ieder paar u1, u2 van disjuncte punten uit {v, w, x, y, z} geldt
dat u1 en u2 de eindpunten zijn van een pad in T . Ieder pad in T is dus te identificeren
met een lijn van K5.
Per aanname bevat G niet topologische minor K3,3, dus G bevat niet een van de grafen
in Figuur 4.1. Hieruit volgt dat wanneer er een punt u op een pad P is dat tussen de punten v en w uit T loopt, dat dan geldt dat G − {v, w} uit disjuncte componenten bestaat. We zien dus dat de punten x, y, z in een andere component zitten dan het punt u.
Stel nu dat G niet 2-samenhangend is. Dan is er een punt a in G zodanig dat G − {a} tenminste twee componenten heeft. Als G een perfecte matching heeft, dus een even aantal punten, is er precies een van deze componenten, noem deze component C, dat een oneven aantal punten heeft. Dus voor iedere lijn e ∈ E(G) die verbonden is met a maar niet bevat zit in V (C)O{a} geldt dat e niet in een perfecte matching bevat kan zitten.
Laat nu G∗ de graaf die je krijgt als je iedere zulke e uit G weghaalt. Alle componenten van G∗ bevatten niet de topologische minor K3,3 en er geldt dat |V (G∗)| < |V (G)|.
Dus met inductie kunnen we aannemen dat deze componenten een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. Door al deze componenten Pfaffiaans te oriënteren kunnen we een Pfaffiaanse oriëntatie op G construeren. Omdat de lijnen e niet bevat zitten in cykels kunnen ze willekeurig georiënteerd worden in G. Hieruit volgt dat de stelling geldt wanneer G niet 2-samenhangend is.
Neem nu aan dat G wel 2-samenhangend is. Laat hiervoor Gvw de graaf zijn die de vereniging is van de componenten van G − {v, w} die niet x, y, z bevatten. Definieer
vervolgens G0 op de volgende manier. Laat v, w, x, y, z vijf punten zijn van G0 en S een deelverzameling van G0 die tien verschillende intern disjuncte paden bevat. Laat
deze paden zodanig dat voor ieder paar verschillende punten u1 en u2 uit {v, w, x, y, z} er een uniek pad is dat u1 en u2 als eindpunten heeft. Laat het pad in S dat u1 en u2 vebind precies 2 lijnen hebben als |V (Gu1u2)| oneven is en 1 lijn wanneer dit even is. Laat
tenslotte G0 geen andere punten of lijnen hebben dan de punten en lijnen die behoren
tot een pad in S. Dan volgt dat |V (G0)| ≡ |V (G)| mod 2. Het blijkt dus dat het aantal punten van G0, net als dat van G, even is.
Voor ieder paar u1, u2 van disjuncte punten uit {v, w, x, y, z} noteren we met Pu1u2, of
Pu2u1, het pad in S dat u1 en u2 met elkaar verbindt. We laten V (Pu1u2) de verzameling
punten en E(Pu1u2) de verzameling lijnen van Pu1u2 en we definieren de graaf Hu1u2
zodanig dat:
V (Hu1u2) = V (Gu1u2) ∪ V (Pu1u2) en
E(Hu1u2) = E(Gu1u2) ∪ (V (Gu1u2)OG{u1, u2}) ∪ E(Pu1u2).
Neem aan dat G0 Pfaffiaans is. Dan geldt volgens Lemma 4.1 dat als Hvw Pfaffiaans is,
de graaf G1 met
V (G1) = V (Hvw) ∪ V (G0) en
E(G1) = (E(Hvw) ∩ E(G)) ∪ E(G0)
ook Pfaffiaans is. Als we dit argument herhalen en G0 vervangen voor G1, zien we dat
als Hvx Pfaffiaans is, de graaf G2 met
V (G2) = V (Hvx) ∪ V (G1) en
E(G2) = (E(Hvx) ∩ E(G)) ∪ E(G1)
ook Pfaffiaans is. Wanneer we dit herhalen voor ieder paar disjuncte punten in {v, w, x, y, z} kunnen we concluderen dat G10= G Pfaffiaans is.
Nu willen we nog bewijzen dat Hu1u2 Pfaffiaans is voor ieder disjunct paar punten u1, u2
uit {v, w, x, y, z}. Omdat dit voor elk paar punten analoog gaat, bekijken we Hvw. Als Hvw niet de topologische minor K3,3 bevat, kunnen we met inductie aannemen dat Hvw
Pfaffiaans is. Er geldt immers dat |V (Hvw)| < |V (G)|. We nemen dus aan dat Hvw wel
de topologische minor K3,3 bevat.
Laat Hvw0 de graaf die ontstaan is uit Hvwdoor de lijnen en de punten die geen eindpunten
zijn (als deze bestaan) van Pvw te verwisselen met deze van Pvw0 . Waarbij Pvw0 een pad is in G dat v en w verbind en in wiens verzameling punten het punt x zit. Dus geen enkel punt van Gvw is ook een punt van Pvw0 . Dit volgt uit het feit dat per definitie van Gvw,
x in een andere component van G − {v, w} zit dan iedere andere component die een punt uit Gvw bevat.
Als we nu Hvw en Hvw0 vergelijken, zien we dat Hvw0 de topologische minor K3,3 moet bevatten. De graaf Hvw bevat deze immers. Dus Hvw0 bevat deze ofwel zonder dat het
pad Pvw0 met een lijn hiervan wordt geïdentificeerd, ofwel dat het wel met een lijn van K3,3 wordt geïdentificeerd. In beide gevallen is Hvw0 een deelgraaf van G dus dan zou G
ook de topologische minor K3,3 bevatten, tegenspraak. Dus Hvw is Pfaffiaans.
Als laatste moeten we nog bewijzen dat G0 Pfaffiaans is. Omdat |V (G0)| even is, heeft minstens een van de paden in S twee lijnen en is er minstens een pad met slechts een lijn. Laat Pvw een pad zijn met twee lijnen en noem het punt op het pad u. Oriënteer
vervolgens de lijn [v, u] van v naar u en de lijn [u, w] van u naar w. Construeer nu een graaf G00 op de volgende manier: Haal het punt u weg uit G0 en vervang de punten v
en w door een enkel punt v0. Als e een lijn van G0 is, die een punt a uit V (G0) − {u}
verbind met het punt v of w. Laat dan in G00 de lijn e het punt a met v0 verbinden. Onze graaf G00 kan dus dubbele lijnen hebben maar omdat deze epsilon dicht bij elkaar getekend kunnen worden is de graaf wel duidelijk planair. In Figuur 4.2 is een voorbeeld van de grafen G0 en G00 en is goed te zien dat G00 planair is.
w v z y x
G
0:
v0 z y xG
00:
v0 z y x=
Figuur 4.2: Voorbeeld van de constructie van G00.
Daarom is er een Pfaffiaanse oriëntatie G∗ op G00. We orienteren iedere lijn in G0 die niet verbonden is met de punten u, v of w op dezelfde manier in G00 als in G∗ . En we orienteren iedere lijn uit (V (G0) − {u, v, w})OG0{v, w} richting v of w dan en slechts
dan als dezelfde lijn in G00 naar v0 is georiënteerd. Ieder alternerende cykel A0 van G00 correspondeert met een alternerende cykel A in G0 zodanig dat
E(A) = E(A0) of
E(A) = E(A0) ∪ {(v, u), (u, w)}.
Omgekeerd correspondeert ieder alternerende cykel van G0 met een alternerende cykel
Er geldt dat een alternerende cykel van G0 oneven georiënteerd is dan en slechts dan als de corresponderende cykel van G00 oneven georiënteerd is. Er geldt dat (v, u) en (u, w) in dezelfde richting georiënteerd zijn en altijd in dezelfe cykel zitten. Dus omdat G00 Pfaffiaans is, is ook G0 Pfaffiaans. Het volgt dus dat iedere eindige graaf die niet de topologische minor K3,3 bevat Pfaffiaans is.
5 Constructie
In de vorige twee hoofdstukken hebben we gezien dat het mogelijk is om grafen met een Pfaffiaanse oriëntatie te karakteriseren. Het is echter ook mogelijk om grafen te construeren met behoud van de Pfaffiaanse eigenschap van de graaf. Little en Rendl (1991) hebben bewezen dat het samenvoegen van twee Pfaffiaanse grafen een Pfaffiaanse graaf als uitkomst kan hebben. In dit hoofdstuk wordt hun artikel operations preserving the Pfaffian property of a graph gevolgd.
De constructie van Pfaffiaanse grafen wordt in dit artikel in verschillende stappen gedaan. Om deze stappen te begrijpen zijn een aantal definities nodig. Een graaf is bikritisch als G−{u, v} een perfecte matching heeft voor ieder paar punten u, v. Een brick is vervolgens een drie-samenhangende bikritische graaf. Verder heeft een graaf G een perfecte matching overdekking als voor iedere lijn e ∈ G er een perfecte matching is die e bevat.
In het artikel wordt een brick decompositie beschreven. Dus de afbraak van een graaf naar bricks. Uit deze decompositie blijkt dat iedere graaf die een perfecte matching overdekking heeft, kan worden opgebouwd uit het verbinden en lijmen van bricks. Grafen met een perfecte matching overdekking kunnen zelf ook weer aan elkaar verbonden of gelijmd worden. Op basis van het wel of niet Pfaffiaans zijn van de perfecte matching overdekte grafen kan gezien worden of de ontstane graaf Pfaffiaans is.
De twee manieren die worden gebruikt om grafen samen te voegen zijn verbinden, splicing, en lijmen, gluing. Laat v, w punten met graad d in respectievelijk de grafen H en K. Laat v1, v2, . . . , vd de buren van v en w1, w2, . . . , wdde buren van w. Laat nu de graaf G
zodanig dat:
V (G) : = (V (H) ∪ V (K)) − {u, v}, E(G) : = E(H) ∪ E(K) ∪[
i
[vi, wi].
Dan is G ontstaan door de grafen H en K in de punten v en w te verbinden. De verzameling lijnen E(G) \ [E(H) ∪ E(K)] wordt de verbinding genoemd.
Laat nu e1 en e2 lijnen in respectievelijk H en K. En laat L de graaf die is ontstaan uit H en K door de lijnen e1 en e2 samen te voegen als één lijn: e. Dan zijn de grafen L en
Wanneer grafen aan elkaar verbonden of gelijmd worden, zijn er meerdere gevallen. Ofwel beide grafen zijn Pfaffiaans, een van de grafen is Pfaffiaans of geen van beide grafen is Pfaffiaans. Little en Rendl hebben gekeken naar het wel of niet Pfaffiaans zijn van de resulterende graaf, zij hebben hier een aantal stellingen over bewezen. Aangezien deze scriptie zich richt op het Pfaffiaans zijn van grafen worden alleen de stellingen met een positieve uitkomst, een Pfaffiaanse graaf, daadwerkelijk bewezen.
Vandaar als eerst twee stellingen zonder bewijs die laten zien dat het verbinden of lij-men van twee grafen waarvan een niet Pfaffiaans is, een graaf voortbrengt die ook niet Pfaffiaans is.
Stelling 5.1. Laat H en K grafen met een perfecte matching overdekking. Laat G de graaf zijn die is ontstaan uit het verbinden van H en K via respectievelijk w en v. Als H of K niet Pfaffiaans is, dan is G dat ook niet.
Stelling 5.2. Laat H en K grafen met een perfecte matching overdekking, die beide niet K2zijn. Laat G de graaf zijn die is ontstaan uit het lijmen van H en K aan respectievelijk
x en y. Als H of K niet Pfaffiaans is, dan is G dat ook niet.
Wanneer echter geldt dat beide grafen Pfaffiaans georiënteerd zijn, geldt dat de graaf ontstaan uit lijmen ook Pfaffiaans georiënteerd is.
Stelling 5.3. Laat H en K grafen met een perfecte matching overdekking. Laat G de graaf zijn die is ontstaan uit het lijmen van H en K aan respectievelijk x en y. Als H en K beide Pfaffiaans zijn, dan is G dat ook.
Zoals eerder aangegeven zijn zowel de graaf G als de graaf G − e, waarbij e de nieuwe lijn is, ontstaan uit het verbinden van de grafen H en K. Als de graaf G Pfaffiaans georiënteerd is, is de graaf G − e dat ook. Dus voor het bewijs van de stelling wordt naar de graaf G gekeken.
Bewijs. De grafen H en K zijn Pfaffiaans georiënteerd dus iedere alternerende cykel is oneven georiënteerd. Laat de oriëntatie zodanig dat deze overeenkomt op de lijnen x en y. Laat nu A een alternerende cykel in G. Dan zijn er twee gevallen:
i) De alternerende cykel A bevat zowel lijnen uit H − {x} en uit K − {y}. Laat dan AH = A ∩ E(H) en AK = A ∩ E(K). Dan zien we dat AH ∪ {x} en AK ∪ {y} cykels
zijn in respectievelijk de grafen H en K. Vanwege het feit dat beide grafen een perfecte matching overdekking hebben, zijn de cykels alternerend. Als ze niet alternerend zouden zijn, zou de cykel namelijk een oneven aantal punten hebben en daarmee de grafen H en K dus ook. In dat geval kunnen de grafen geen perfecte matching overdekking hebben wat dus leidt tot een tegenspraak. Omdat beide grafen Pfaffiaans georiënteerd zijn geldt
het dat beide cykels zijn oneven georiënteerd zijn. Omdat de oriëntatie overeenkomt op de lijnen x en y is de alternerende cykel A ook oneven georiënteerd.
ii) De alternerende cykel A bevat alleen lijnen uit K. We willen laten zien dat A alterne-rend is in K. De cykel A is alternealterne-rend in G dus A = f ∪ g voor de perfecte matchings f en g in G. Als (f \A)∩E(K) een perfecte matching is van K\V (A), dan is A alternerend. Als dit niet het geval is, is [(f \ A) ∩ E(K)] ∪ {y} een perfecte matching van K \ V (A). Ook in dit geval is A alternerend. Dus in beide gevallen is A oneven georiënteerd. Het geval dat A alleen lijnen bevat uit H gaat analoog aan bovenstaand geval.
Dus voor beide mogelijkheden van A is A oneven georiënteerd, dus G is Pfaffiaans geo-riënteerd.
Twee Pfaffiaanse grafen aan elkaar lijmen, resulteert dus in een Pfaffiaanse graaf. Helaas geldt niet niet perse voor het verbinden van twee Pfaffiaanse grafen. Hiervoor is een extra conditie nodig, namelijk het strak, tight, zijn van de verbinding. Een verbinding C, of in het algemeen gesproken een snede, van een graaf G is strak wanneer voor iedere perfecte matching f van G geldt dat |f ∩ C| = 1.
Voordat we twee Pfaffiaanse grafen aan elkaar kunnen verbinden moeten we eerst een lemma bewijzen. Definities die nodig zijn voor het lemma zijn de definities van een opspannende boom en een opspannend bos. Een opspannende boom T , van het engelse spanning tree, is een samenhangende deelgraaf van de graaf G zonder cykels (definitie van boom) die alle punten van G bevat (definitie van opspannend). Een opspannend bos T , van het engelse spanning forest, is een graaf die in iedere samenhangende component een opspannende boom bevat.
Lemma 5.4. Laat T een opspannend bos van een Pfaffiaanse georiënteerde graaf G. Dan kan een willekeurige oriëntatie van T worden uitgebreid naar een Pfaffiaanse oriëntatie van G.
Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid kunnen we aannemen dat G samenhangend is en dat T een opspannende boom is met een willekeurig gekozen wortel punt r. Het wortel punt is een punt van de graaf zodanig dat alle lijnen van het punt af georiënteerd zijn. Laat nu G∗ de Pfaffiaanse oriëntatie van G zijn en X de verzameling lijnen van T wiens oriëntatie verschillend is in T en G∗. Definieer vervolgens s(v) als het aantal lijnen van X in het unieke pad van T dat de punten r en v met elkaar verbind. Dus als een lijn e in T de punten y en z met elkaar verbind verschillen s(y) en s(z) in pariteit dan en slechts dan als de lijn e ∈ X. Laat nu S de verzameling punten v zijn waarvoor geldt dat s(v) even is. Wanneer we in de graaf G de oriëntatie veranderen van de lijnen die een punt uit S verbinden met een punt dat niet in S zit, zien we dat we van alle lijnen in X de oriëntatie hebben veranderd. Ook zien we dat de oriëntatie van eventuele andere lijnen
uit G die niet in de graaf T bevat zitten, worden veranderd. Een voorbeeld waarin dit zichtbaar is, is te zien in onderstaande figuur.
G
∗ (a)T
r
(b)G
(c)S
V \ S
r
(d)Figuur 5.1: Met (a) een graaf G met oriëntatie G∗, (b) een opspannende boom T van G met de verzameling X in het rood en de verzameling S in het blauw, (c) de graaf G met de nieuwe oriëntatie met in het rood de veranderde lijnen uit T en in het blauw de veranderde lijnen uit G \ T en (d) de snede S − V \ S. Als nieuwe oriëntatie van G nemen we dus de oriëntatie die wordt verkregen uit het veranderen van de richting van de genoemde lijnen. In het figuur is de nieuwe oriëntatie van G te zien in (c). Vanwege de definitie van S is voor iedere alternerende cykel in G∗ de oriëntatie van een even aantal lijnen omgedraaid. Iedere cykel bevat namelijk een even aantal lijnen uit de snede S − V \ S, dit is te zien in Figuur 5.1.d. Dus de alternerende cykels zijn nog steeds oneven georiënteerd en de nieuwe oriëntatie van G is dus nog steeds Pfaffiaans.
Stelling 5.5. Laat H en K grafen met een perfecte matching overdekking. Laat G de graaf zijn die is ontstaan uit het verbinden van H en K via respectievelijk w en v. Neem aan dat de verbinding strak is. Dan geldt dat als H en K Pfaffiaans zijn, G dat ook is.
Bewijs. Lemma 5.4 laat zien dat H een Pfaffiaanse oriëntatie heeft waarbij iedere lijn verbonden aan v georiënteerd is richting v. Op dezelfde manier heeft ook K een Pfaffi-aanse oriëntatie waarbij iedere lijn verbonden aan w georiënteerd is riching w. We nemen G∗als oriëntatie voor G met G∗afkomstig van de oriëntaties van H en K. We oriënteren
de verbinding dus nog niet. Nu gaan we laten zien dat G∗ Pfaffiaans is. Laat hiervoor A een alternerende cykel zijn van G, dan zijn er twee gevallen.
i) Neem aan dat A geen overeenkomstige lijnen heeft met de verbinding C. Dan kunnen we zonder verlies van algemeenheid aannemen dat A een cykel is in K. Per definitie van A heeft G\V (A) een perfecte matching f . We kunnen zien dat f precies een lijn, noem deze e, van C bevat. Beide oorspronkelijke grafen hebben namelijk een perfecte matching waar een lijn in zit die aan respectievelijk w en v zit. Aangezien w en v niet in G zitten, moet er een lijn lopen tussen de twee andere eindpunten van de lijnen. Noem deze punten vH ∈ V (H) en wK ∈ V (H). Laat vervolgens eK ∈ E(K) de lijn die wk met w verbind. Dan is de verzameling lijnen (f ∩ E(K)) ∪ {ek} een perfecte matching van
K\V (A). Hieruit volgt dat A een alternerende cykel is in K. De graaf K is Pfaffiaans dus A is oneven georiënteerd.
ii) Neem nu aan dat A overeenkomstige lijnen heeft met C. De verbinding C is strak dus voor alle perfecte matchings f van G geldt dat |f ∩ C| = 1. Aangezien A = f ∪ g geldt dat |A ∩ C| = |(f ∪ g) ∩ C| = |(f ∩ C) ∪ (g ∩ C)| = 2. Laat |A ∩ C| = {e1, e2} en laat voor alle
i ∈ {1, 2} de lijn ei de punten vi ∈ V (H) en wi∈ V (K) met elkaar verbinden. Laat eHi de
punten vien v verbinden in H en eKi de punten wi en w in K. Dan zijn de verzamelingen AH en AK met AH: = (A ∩ E(H)) ∪ {eH1 , eH2 } en AK: = (A ∩ E(K)) ∪ {eK1 , eK2 } cykels.
Wederom geldt dat G\V (A) een perfecte matching f heeft en dus dat f ∩ E(H) en f ∩ E(K) perfecte matchings zijn van respectievelijk H\V (AH) en K\V (AK). Dus
per definitie zijn AH en AK alternerende cykels van H en K. Aangezien beide grafen
Pfaffiaans zijn, zijn beide cykels oneven georiënteerd. De verzameling AH en A ∩ E(H)
verschillen een even aantal lijnen van elkaar, dit geldt ook voor de verzamelingen AK en A ∩ E(K). Hierdoor komen de oriëntaties van beide verzameling overeen. Omdat we de verbinding willekeurig kunnen oriënteren volgt dat A oneven georiënteerd is.
Omdat in beide gevallen A oneven georiënteerd is, is de ontstane graaf G Pfaffiaans.
Het blijkt dus dat, onder voorwaarden, we twee Pfaffiaanse grafen aan elkaar kunnen verbinden en lijmen met een resulterende graaf die ook Pfaffiaans is. Een toepassing van Pfaffiaanse grafen zal in het volgende hoofdstuk genoemd worden.
6 Het dimer model
Een bekend wiskundig model is het dimer model. Een dimer bestaat uit een lijn en haar eindpunten. In het dimer model wordt er gekeken naar de kans dat dimers op een dusdanige manier op een kristaalrooster liggen zodanig dat geen twee dimers overlappen (Kasteleyn, 1963). Wanneer er naar een tweedimensionaal rooster wordt gekeken en de dimers het hele rooster opvullen, is dit probleem gelinkt aan het aantal perfecte matchings van een roostergraaf. Aangezien een dimer twee punten bevat, geldt dit alleen voor een roostergraaf met een even aantal punten.
Iedere roostergraaf Lm,n, van m bij n, is planair. Omdat planaire grafen Pfaffiaans zijn volgt het dat iedere roostergraaf een Pfaffiaanse oriëntatie heeft. Een voorbeeld van een Pfaffiaanse oriëntatie in een roostergraaf is weergegeven in Figuur 6.1. In deze oriëntatie is iedere verticale lijn is naar beneden georiënteerd en zijn de horizontale lijnen afwisselend per rij naar rechts en naar links georiënteerd.
Figuur 6.1: Voorbeeld van L6,5 met een Pfaffiaanse oriëntatie.
Door van deze oriëntatie gebruik te maken, hebben de wiskundigen Fisher, Kasteleyn en Temperley een formule gevonden om het aantal configuraties van dimers in een rooster-graaf vast te stellen.
Stelling 6.1. Voor een roostergraaf Lm,n met n even geldt
M (m, n) = 4bm2c n 2 bm/2c Y k=1 n/2 Y `=1 cos2 kπ m + 1+ cos 2 `π n + 1 .
Het bewijs dat gegeven wordt, is afkomstig uit A course in enumeration van Aigner (2007).
Bewijs. Laat Lm,n een roostergraaf georiënteerd zoals in Figuur 6.1. En laat vervolgens B de n × n bogenmatrix van de eerste rij punten zijn, dan
B = 0 1 0 · · · 0 −1 0 1 · · · 0 −1 0 · · · ... .. . . .. 1 0 · · · −1 0 .
Om de bogenmatrix A van ons hele m × n rooster te construeren nemen we de boven-staande matrix B en de n × n identiteitsmatrix I zodanig dat
A = B I 0 · · · 0 −I −B I · · · 0 −I B · · · ... .. . . .. I 0 · · · −I ±B .
Door beginnend bij i = 2 eerst de i-de kolom en vervolgens de i + 1-de rij te vermenig-vuldigen met −1, met als laatste de n-de kolom, zien we de volgende gelijkheid:
det(A) = det B −I 0 · · · 0 −I B −I · · · 0 −I B · · · ... .. . . .. −I 0 · · · −I B . (6.1)
Deze gelijkheid geldt omdat n even is. We weten namelijk dat wanneer we een rij (of kolom) van een matrix met een scalair vermenigvuldigen, de determinant ook met deze waarde vermenigvuldigd moet worden. Iedere rij (en kolom) in deze matrix bestaat eigen-lijk uit n rijen en kolommen, B en I zijn n × n matrices, dus we moeten de determinant met (−1)n vermenigvuldigen. Omdat n even is, valt deze term weg.
Neem nu de m × m matrix L als volgt
L = λ −1 0 · · · 0 −1 λ −1 · · · 0 −1 λ · · · ... .. . . .. −1 0 · · · −1 λ .
Zowel rij en kolom vegen verandert niets aan de determinant. Wanneer we dit doen in zowel matrix L als in de blokmatrix van (2.1), zien we dat:
det(L) = det λ − λ1 0 · · · 0 0 λ − λ2 · · · ... .. . . .. 0 0 · · · 0 λ − λm en det(A) = det B − λ1I 0 · · · 0 0 B − λ2I · · · ... .. . . .. 0 0 · · · 0 B − λmI .
Waarbij de λi de door het rij en kolom vegen, verkregen termen zijn. Hieruit volgt dat det A =Qm
k=1det(B − λkI).
Laat nu det(L) = pm(λ) = Qm
k=1(λ − λk) het karakteristieke polynoom van de m × m
matrix C, met C = 0 1 0 · · · 0 1 0 1 · · · 0 1 0 · · · ... .. . . .. 1 0 · · · 1 0 .
Dus de λk in de determinant van A zijn de eigenwaarden van C. Laat nu qn(λ) het
karakteristieke polynoom van B met eigenwaarden µ1, . . . , µn dan:
qn(λ) = det(λI − B) = (λ − µ1) · · · (λ − µn). Hieruit volgt: det(A) = m Y k=1 det(B − λkI) = m Y k=1 det(λkI − B) = m Y k=1 qn(λk) = m Y k=1 n Y `=1 (λk− µ`).
Uit Gevolg 1.4 volgt nu:
M (m, n)2 = det(A) = m Y k=1 n Y `=1 (λk− µ`), (6.2)
met λk en µ` de eigenwaardes van respectievelijk C en B. Nu rest het ons nog om de eigenwaardes van C en B te berekenen. Laat cm(x) het karakteristieke polynoom van C met cm(x) = det x −1 0 · · · 0 −1 x −1 · · · 0 −1 x · · · ... .. . . .. −1 0 · · · −1 x .
Wanneer we de determinant berekenen vanuit de eerste rij krijgen we de volgende verge-lijking:
cm(x) = xcm−1(x) − cm−2(x), met c0(x) = 1, c1(x) = x.
Om deze vergelijking op te lossen, lossen we eerst de volgende vergelijking op door middel van het bijbehorende karakteristieke polynoom te bekijken:
cm(x) − xcm−1(x) + cm−2(x) = 0
z2− zx + 1 = 0.
Uit de abc-formule volgt nu dat α = x+
√ x2−4 2 en β = x−√x2−4 2 de nulpunten zijn. Claim: cm(x) = 1 α − βα m+1− βm+1 = √ 1 x2− 4 x +√x2− 4 2 !m+1 − x − √ x2− 4 2 !m+1 .
Bewijs. We bewijzen dat dit klopt via inductie:
Basisgeval: m=0. Dan c0(x) = α−β1 (α − β) = 1 zoals gewenst.
Handig om op te merken is dat uit invullen van c1(x) en c2(x) volgt dat α + β = x en
αβ = 1. Neem nu aan dat het geldt voor n − 1. Dus cm−1(x) = α−β1 (αm− βm). Dan
zien we dat: cm(x) = xcm−1(x) − cm−2(x) = 1 α − β x (α m− βm) − αm−1− βm−1 = 1 α − β (α + β) (α m− βm) − αm−1+ βm−1 = 1 α − β α m+1− αβm+ βαm− βm+1− αm−1+ βm−1 = 1 α − β α m+1− βm+1 + 1 α − β −αβ m+ βαm− αm−1+ βm−1 = 1 α − β α m+1− βm+1 + 1 α − β −α m−1+ βm−1 (1 − αβ) = 1 α − β α m+1− βm+1 .
Nu zien we dat wanneer λ een nulpunt is van cm(x) dat dan λ+√λ2−4 λ−√λ2−4 m+1 = 1. Er moet namelijk gelden dat αm+1− βm+1 = 0, dus voor k = 1, . . . , m1 geldt
λ +√λ2− 4
λ −√λ2− 4 = e
2kπi m+1.
Uit deze vergelijking kunnen we de waarde van λ en dus de nulpunten verkrijgen. Door beide kanten te vermenigvuldigen met λ+√λ2− 4 volgt het dat (λ+√λ2− 4)2 = 4·em+12kπi.
Door achtereenvolgens te worteltrekken, λ van kant te verplaatsen en te kwadrateren blijkt dat:
λ2− 4 = 4 · em+12kπi ± 4λ · e kπi m+1 + λ2.
Nu is duidelijk zichtbaar dat de λ2 wegvalt. We zien dus dat −1 = e2kπim+1 ± λ · e kπi m+1.
Hieruit volgt dat
λ = ±e 2kπi m+1+ 1 em+1kπi = ±(em+1kπi + e −kπi m+1) = ± cos kπ m + 1. Dus de eigenwaarden van C zijn
λk= 2 cos kπ m + 1 , k = 1, . . . , m.
Analoog kunnen we de eigenwaarden van B bepalen. Dit doen we door naar de ver-gelijking te kijken die we verkrijgen door de determinant van B vanuit de eerste rij te berekenen:
bn(x) = xbn−1(x) + bn−2(x), met b0(x) = 1, b1(x) = x.
Om de vergelijking op te lossen kijken we dit keer naar het volgende polynoom: z2− zx − 1 = 0.
Uit de abc-formule volgt dat α = x+
√ x2+4
2 en β =
x−√x2−4
2 de nulpunten zijn en wederom
volgt: bn(x) = 1 α − βα n+1− βn+1 = √ 1 x2− 4 x +√x2− 4 2 !n+1 − x − √ x2− 4 2 !n+1 .
Laat nu µ een nulpunt van bn(x) dan geldt dat
µ+√µ2+4
µ−√µ2+4
n+1
= 1. Analoog kunnen we voor ` = 1, . . . , n laten zien dat
−1 = −e2`πin+1 ± iµ · e `πi n+1, 1
k 6= 0 want dan zou moeten gelden√λ2− 4 = −√λ2− 4, maar voor a ∈ C geldt alleen a = −a voor
en dat dus µ = ±1 + e 2`πi n+1 ie2`πin+1 = ±1 i e−`πin+1 + e `πi n+1 = 2i cos `π n + 1.
Dus de eigenwaarden van B zijn
µ`= 2i cos `π n + 1 , ` = 1, . . . , n.
Nu de eigenwaarden bekend zijn, kunnen we deze invullen in (2.2):
M (m, n)2 = det(A) = m Y k=1 n Y `=1 2 cos kπ m + 1 − 2i cos `π n + 1 .
De waarde M (m, n) is reëel en groter gelijk dan nul. Dit geldt dus ook voor M (m, n)2 en dus ook voor det(A). Dus voor de complex geconjugeerde det(A) van det(A) geldt dat det(A) =det(A). Hieruit volgt dat (det(A))2= det(A) · det(A) en dus dat
(det(A))2 = m Y k=1 n Y `=1 4 cos2 kπ m + 1 + 4 cos2 `π n + 1 .
Het blijkt dus dat M (m, n) de vierdemachtswortel van de bovenstaande vergelijking is. Om M (m, n) verder te vereenvoudigen, bekijken we twee verschillende gevallen:
Geval a) m is even. Dan geldt dat
M (m, n) = 4mn4 m/2 Y k=1 n/2 Y `=1 cos2 kπ m + 1 + cos2 `π n + 1 .
Voor het bewijs van dit geval wordt verwezen naar bladzijde 495 van A course in enu-meration.
Geval b) m is oneven. Omdat n even is geldt dat cosn+1`π = − cos(n+1−`)πn+1 voor ` = 1, . . . ,n2. Ook geldt dat cosm+1kπ = − cos(m+1−k)πm+1 voor k = 1, . . . , bm2c, aangezien m − 1 ook even is. Hieruit volgt dat een aantal termen in het product gelijk zijn aan
elkaar, vier om precies te zijn: cos2 kπ m + 1 + cos2 `π n + 1 = cos2 (m + 1 − k)π m + 1 + cos2 `π n + 1 = cos2 kπ m + 1 + cos2 (n + 1 − `)π n + 1 = cos2 (m + 1 − k)π m + 1 + cos2 (n + 1 − `)π n + 1 .
Als we dus de producten nemen tot bm/2c en n/2 nemen we elke term één keer. Maar aangezien iedere term vier keer voorkomt geldt er:
M (m, n) = 4(m−1)n4 (m−1)/2 Y k=1 n/2 Y `=1 cos2 kπ m + 1 + cos2 `π n + 1 .
Omdat voor dm2e geldt dat cos m+1
2 π
m+1
= cos π2 = 0. Valt de term weg waarvoor de gelijkheid niet geldt.
Wanneer we nu beide gevallen samenvoegen tot een formule, zien we dat
M (m, n) = 4bm2c n 2 bm/2c Y k=1 n/2 Y `=1 cos2 kπ m + 1+ cos 2 `π n + 1 .
Dus dit is inderdaad de formule voor het aantal perfecte matchings van een roostergraaf Lm,n met n even.
7 Conclusie
Er is veel bekend over Pfaffiaanse oriëntatie. Het doel van deze scriptie was dan ook om te dienen als een eerste kennismaking met Pfaffiaanse oriëntatie. Alle kennis die is opgedaan tijdens het schrijven van deze scriptie komt voort uit literatuur. Om daadwerkelijk nieuwe dingen te ontdekken in dit vakgebied is namelijk meer voorkennis nodig.
Voor de lezer is nu bekend wat Pfaffiaanse oriëntatie is. Net als dat bekend is dat alle per-fecte matchings hetzelfde teken hebben als een graaf Pfaffiaans georiënteerd is. Ook zijn enkele klassen van grafen beschreven waarvan bekend is dat ze Pfaffiaans georiënteerd zijn. De klassen die zijn beschreven zijn de planaire grafen en grafen die niet de topolo-gische minor K3,3 bevatten. Verder hebben we gezien dat, onder bepaalde condities, een graaf opgebouwd uit twee Pfaffiaanse grafen zelf ook Pfaffiaans is.
Behalve dat er naar karakterisaties van grafen met een Pfaffiaanse oriëntatie is gekeken, is ook gekeken naar de toepassing van Pfaffiaanse grafen. We hebben namelijk gezien dat er een formule is voor het aantal perfecte matchings in een roostergraaf, dus het aantal configuraties van dimers in een tweedimensionaal kristalrooster. Het bekeken dimer model is een voorbeeld van een oplosbaarmodel in de statistische thermodynamica. Een natuurkundig proces dat hiermee bekeken kan worden is het tweedimensionale Ising model (Kenyon, 2005).
Bij interesse in dit onderwerp is nog veel meer om te lezen en te onderzoeken. Zo kan gekeken worden of andere klasse grafen ook zulke karakterisaties hebben. Er bestaat bijvoorbeeld een algortime dat in polynomiale tijd bekijkt of een bipartiete graaf G een Pfaffiaanse oriëntatie G∗ heeft (McCuaig, Robertson, Seymour & Thomas, 1997).
Populaire samenvatting
Binnen de wiskunde zijn er verschillende vakgebieden. Een van deze gebieden is de grafentheorie. Dat is het vakgebied waar deze scriptie zich in af speelt. In de grafentheorie wordt er zoals de naam al zegt, gekeken naar grafen. Maar wat is een graaf precies? Een graaf is een verzameling punten en lijnen. In onderstaande figuur zijn een paar voorbeelden van grafen te zien.
(a) (b)
(c) (d)
Figuur 7.1: Vier voorbeelden van grafen.
De graaf in Figuur 7.1.d is een roostergraaf. Als ieder punt van een 8 × 8 roostergraaf wordt gezien als een vlak van een schaakbord en een lijn tussen twee punten als twee vlakken die naast elkaar liggen, dan correspondeert een roostergraaf met een schaakbord. Deze correspondentie is te zien in Figuur 7.2.a.
(a) (b) (c)
Figuur 7.2: Drie roostergrafen die corresponderen met een schaakbord. Met (a) slechts de roostergraaf, (b) een dominoconfiguratie op het schaakbord en (c) de dominostenen vervangen door blauwe lijnen.
Op een schaakbord kunnen we dominstenen leggen. Dit kan op een willekeurige ma-nier zodanig dat het hele bord vol is. Het neerleggen van dominostenen kan op heel veel verschillende manieren worden gedaan, Figuur 7.2.b is een voorbeeld hiervan. Voor bepaalde modellen in de statische fysica, dat is een tak binnen de natuurkunde, is het interessant om te weten op hoeveel manieren we dit kunnen doen. De drie wiskundi-gen Fisher, Kasteleyn en Temperley hebben hiervoor een formule gevonden. Het is een algemene formule voor een schaakbord van m × n met n even, iedere dominosteen ligt immers op twee vlakken dus het bord heeft een even aantal punten nodig wil dit kunnen. De formule ziet er als volgt uit:
M (m, n) = 4bm2c n 2 bm 2c Y k=1 n 2 Y `=1 cos2 kπ m + 1+ cos 2 `π n + 1 .
In hoofdstuk 6 wordt beschreven hoe deze formule tot stand is gekomen.
Er bestaat dus een formule die berekent op hoeveel manieren dominostenen op een schaak-bord gelegd kunnen worden, maar hoe heeft dit precies te maken met grafentheorie? Zoals eerder genoemd corresponderen een roostergraaf en een schaakbord met elkaar. Op de-zelfde manier correspondeert het leggen van dominostenen op een schaakbord met het kleuren van lijnen van de graaf, zie Figuur 7.2.c. In dit figuur is ook goed te zien dat er geen enkel punt is dat aan twee gekleurde lijnen vast zit. De gekleurde lijnen zijn een deelverzameling van lijnen van de gehele graaf. Een deelverzameling lijnen waarvoor geldt dat geen twee lijnen aan hetzelfde punt raken, maar waarbij wel ieder punt aan een lijn uit deze verzameling raakt noemen we een perfecte matching. De gekleurde lijnen in Figuur 7.2.c zijn een voorbeeld van een perfecte matching. In het algemeen is het moeilijk om te tellen hoeveel verschillende perfecte matchings er zijn in een graaf. Maar het blijkt dat als we op een specifieke manier iedere lijn een richting geven, oriën-teren, dat we het dan wel kunnen uitrekenen. De oriëntatie waarbij dat geldt noemen we een Pfaffiaanse oriëntatie. Deze oriëntatie is ook gebruikt door Fisher, Kasteleyn en Temperley bij het vinden van de eerder genoemde formule.
Deze scriptie focust zich op Pfaffiaanse oriëntatie en kijkt naar enkele klasse van grafen die een Pfaffiaanse oriëntatie hebben. Het blijkt bijvoorbeeld dat planaire grafen, grafen waarin geen lijnen elkaar kruizen, en grafen die niet de topologische minor K3,3bevatten,
Figuur 7.1.c, beide altijd Pfaffiaans georiënteerd kunnen worden. Dit wordt uitgelegd en bewezen in respectievelijk de hoofdstukken 3 en 4. Ook wordt er gekeken naar de moge-lijkheid om twee Pfaffiaans georiënteerde grafen samen te voegen op een manier zodanig dat de ontstane graaf zelf ook Pfaffiaans is. Dit wordt beschreven in hoofdstuk 5.
Bibliografie
Aigner, M. (2007). A course in enumeration. Graduate Texts in Mathematics. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. Verkregen 4 april 2018, van //www.springer.com/gp/ book/9783540390329
Barvinok, A. (2017). Combinatorics and complexity of partition functions. New York, NY: Springer Berlin Heidelberg.
Diestel, R. (2000). Graph theory (2nd ed). Graduate texts in mathematics. New York: Springer.
Kasteleyn, P. W. (1963, februari 1). Dimer Statistics and Phase Transitions. Journal of Mathematical Physics, 4 (2), 287–293. doi:10.1063/1.1703953
Kasteleyn, P. W. (1967). Graph theory and crystal physics. Graph Theory and Theoretical Physics, (2).
Kenyon, R. (2005, augustus 29). Dimer Problems. Department of Mathematics, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada.
Little, C. H. C. (1974). An Extension of kasteleyn’s method of enumerating the 1-factors of planar graphs. In D. A. Holton (Red.), Combinatorial Mathematics (Deel 403, pp. 63–72). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. doi:10.1007/BFb0057377 Little, C. H. C. & Rendl, F. (1991, april). Operations preserving the pfaffian property of
a graph. Journal of the Australian Mathematical Society, 50 (2), 248. doi:10.1017/ S1446788700032730
McCuaig, W., Robertson, N., Seymour, P. D. & Thomas, R. (1997). Permanents, pfaffian orientations, and even directed circuits (extended abstract). (pp. 402–405). ACM Press. doi:10.1145/258533.258625
Valiant, L. G. (1979, augustus). The complexity of enumeration and reliability problems. SIAM Journal on Computing, 8 (3), 410–421. doi:10.1137/0208032
