Discrete wiskunde

Citation for published version (APA):

van Lint, J. H., & Seidel, J. J. (1973). Discrete wiskunde. (Herorienteringscursus 1973 redactie) Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1973

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

1

8

~

...

N

DISCRETE WISKUNDE

J .R. van Lint en J.J. Seidel

Rerorienteringscursus 1973 te Eindhoven

Commissie Modernisering Leerplan Wiskunde

Docenten: Prof. Dr. J.H. van Lint en Prof. Dr. J.J. Seidel~ t.H. Eindhoven.

,.,

Programma Donderdag 26 april

9.30 - 10.00 uur Ontvangst met koffie

10.00 "- 11.00 1 • Inleiding Seidel

11.15 - 12. 15 2. Galois lichamert Van Lint

12.15 - 13.30 Lunchpauze

13.30 - 15.30 Oefeningen

15.30 - 16.00 Theepauze

16.00 - 17.00 3. Latijnse vierkanten Seidel

Vrijdag 27 april

9.00 - 10. 15 uur 4. Orthogonale matrices _{Van Lint}

..

10.15 - 10.45 Koffiepauze

10.45 - 12. 15 5. Block designs Seidel

12.15- 13.30 Lunchpauze

13.30 - 15.30 Oefeningen

15.30 - 16.00 Theepauze

16.00 - 17.00 6. Codes Van Lint

Zaterdag 28 april

9.00 - 10.00 uur 7. Eindige meetkunde Seidel

10.00 - 10.30 Koffiepauze

10.30 - 12.30 8. Toepassingen Van Lint

Hoofdstuk 1. Inleiding.

1.1. Hadamard matrices

Uit de 8 hoekpunten van een kubus kan men er vier kiezen die de hoek-punten zijn van een regelmatig vierv1ak. Indetdaad, neem de oorsprong van een coordinatenste1se1 in het middelpunt van een kubus met ribbe 2, neem de assen evenwijdig aan de ribben, dan voldoen de punten

( 1 , 1 , 1 )

( ],-1,-1) -1 -1

(-1, 1,-1) -I -1

(-1,-1, 1) • De matrix -) -)

bevat slechts de getallen I en -I en is orthogonaal. Zo'n matrix heet

een Hadamard matrix van de orde 4.

Definitie. Een Hadamard matrix H is een vierkante matrix van de orde r,

r

waarvan a1le elementen I of -1 zijn, die voldoet aan

H

r H T r

=

r I r

Nodige voorwaarden voor het bestaan van Hadamard matrices H zijn

r

r = ) of r = 2 of r ::

a

(mod 4).

Men vermoedt dat deze voorwaarden ook vo1doende zijn. Er bestaan

Hr voor a1le r < 188 en voor oneindig vee1 andere waarden van

r.

Opgave I. Bewijs de nodige voorwaarden. Maak daartoe van een rij

1.2. De meetkunde van Fano

1. 3.

2

De meetkunde van Fano, aangeduid door PG(2,2), het binaire proie.ctie'l)'e vlak, bevat zeven punten I, 2, 3, 4; 5, 6; 7 en zeven lijnen

a,

bJ

c,

d, e, f, g. Elke lijn bevat drie punten, door elk punt gaan dtie l{jnen. Door elk tweetal punten gaat een lijn, en elk tweetal lijneh sn{jdt

in

een punt. De meetkunde wordt beschreveu door de pUnt~lijrt irtcidentie matrix N, . met elementen

n. . als punt i op lijh J,

~J

= 0 als pUnt i niet op lijn J;

N

=

circul (I I 0 } 0 00 ) •

De verzameling {I, 2, 4} is eert" (perfect) difference set. Dit betekent, dat elke a 1. 0 (mod 7)op precies een manier te schrijven is.als

a ::: x - y(mod 7), met x, y E {I, 2, 4} •

. : ~

Opgave 2. .Construeer eenHadamard matrix Van de. orde 8, tiitgaande

van b~venstaande matrix N •.

Latijnse vierkanten

2 3 4 2 3 4

2 3 4 2 4 3

3 4 2 3 4 2

4 2 3 4 3 2

Beide vierkanten hebbeh de eigenschap dat elk cijfer in elke rij en elke kolom slechts eenmaal voorkomt.

..

~n

...

3.

Een Latijns vierkant van de orde 4 bestaat uit 16 geordende drietallen uit4 symbolen, zodat voor elk paar coordinaten elk paar symbolen pre-cies eenmaal voorkomt.

Er zijn twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 4, name-lijk de hiervoren gegeven vierkanten.

Opgave 3. Maak twee (niet-isomorfe) Latijnse vierkanten van de orde 5.

1.4. Error correcting codes

Zij V(4,3) de vectorruimte van dimensie 4 over GF(3). Ret Galois

lichaam (GF(3) is de verzameling {O, I, -J} met als afwijkende

reken-regels 1 + J = -1, -1-1 == 1. Schrijf + voor I en - voor -I.

De vectoren

(0, +, +, +) en (+, 0, +, -)

spannen een vlak op, dat 9 vectoren bevat:

(0, +, +, +) (0, - -) _{(0, Ot 0, 0).}

(+, 0, +, -) (-, 0, - +)

(+, +, - 0)· (-, - +, 0)

(-, +, 0, -) (+, - 0, +)

Deze 9 vectoren hebben de eigenschap dat elk paar de afstand 3 heeft. Daarbij wordt onder de afstand van twee vectoren verstaan het aantal coordinaten waarin de vectoren verschillen.

V(4,3) heeft 81 vectoren, genaamd woorden. Ret vlak heet een lineaire code, en zijn 9 vectoren heten codewoorden.Onze code heeft de

eigen-schap dat hij een fout kan corrigeren, single-err~r-co~rec;ing is.

Onze code is perfect, omdat de bollen met straal 1 om de 9 codewoorden disjunct zijn en de gehele V(4,3) uitputten.

Opgave 4. Construeer 16 vectoren in V(8,2), waarvan elk paar afstand

~ 4 heeft, uitgaande van de Hadamard matrix H8 van opgave 2.

1.5. Gelijkhoekige rechten en grafen

Een stelsel rechten heet gelijkhoekig als de hoek tussen elk paar

gelijk-1

hoekig stelsel met, hoek arccos

3'

De zes diagonalen van een icosaeder

vormen een gt;lijkhoekig stelsel met hoek arccos

1/15.

1

I

/ ' -

-.;

Neem eenheidsvectoren p. langs de rechten en beschouw de matrix der

1.

inproducten P

=

[(p.,p.)J. Voor

1. J

A

=

~..:.-- [P-I]

cos q>

hebben wij in de voorbeelden:

0 + + + + + 0 + + + 0 + + 0 + + +

o

+ + A4

=

A6

=

+' + 0 + +

o

+ + + 0 + + +

o

+ + +

o

Voor deze matrices geldt:

(A

4 -I) (A4 +31)

=

0, A4J

=

J; A 6 2

=

5I. Opgave 5.

Opgave 6.

Opgave 7.

Bepaal de eigenwaarden van A4 en A₆·

C'onstrueer 28 gelijkhoekige rechten l.U de 7-dimensionale

ruimte. Gebruik hiertoe de matrix N van 1.2 en de vier punten van 1. 1.

Construeer een Hadamard matrix H

12, door gebruik te maken

van de matrix A6'

5.

Hoofdstuk 2. Galoislichamen.

We beschouwen verzamelingen V waarop een bewerking is gedefinieerd. dat is een voorschrift dat aan ieder geordend paar elementen (a,b) van V een element van V toevoegt. We schrijven het aan (a,b) toegevoegde element vaak als ab of a+b en spreken van product resp. som van a en h.

2.1 Definitie: Een verzameling met productoperatie (G, ) heet een groep

als

GI

V

_aEG

V

_bEG ~CEG [(ab)c

= a(bc)],

G2 a]

G3 : 'V 3 lab

=

ba = eJ •

aEG bEG

Het element e heet de eenheid. Er is een eenheid. Als we de bewerking aan-duiden met+spreken we van een additieve groep.We schrijveu dan Lp.v. e meestal 0 en noemen dit het nulelement. Het is eenvoudig in te zien

dat er bij iedere a precies een b is met ab

=

e. We schrijven vaak

b

=

a-I. Als de groep additief geschreven wordt dan noemen we dit

element b de tegengestelde en schrijven (-a).

2.2 Definitie: Een groep (G, ) heet abels of commutatief als

V_aEG ~bEG Cab

=

ba] •

2.3 Definitie: Is (G, ) een groep en H c G en (H, ) een groep dan noemen

we (H, ) een ondergroep van (G, ).

2.4 Definitie: Is (G, ) een groep en het aantal elementen van G eindig dan noemen we dit aantal de or de van de groep.

Voorbeelden:

a) CR, +) is een (additieve) groep.

b) (lR \{O}, ) is een (multiplieatieve) groep.

e) (I;, +) is een groep. Deze groep is een ondergroep van (lR,+)'

d) De matrices (: :) met ad - be

~

0 en vermenigvuldiging als bewerking

e) De gehele getallen mod m met optelling als bewerking vormen een groep. De orde van deze groep is m.

f) De vectorruimte ltn met optelling als bewerking is een groep. In JR.3 is

. 2 .

l.edere lR een ondergroep.

g) Het gereduceerde restklassensysteem mod 10, bestaande uit 1, 3, 7 en 9, met vermenigvuldiging mod 10 als bewerking is een groep. De orde Van de groep is 4. De vermenigvuldigingsregels kunnen in een tabel worden aan-gegeven: 1 3 7 9 1 1 3 7 9 3 3 9 1 7 7 7 1 9 3 9 9 7 3 I

h) Zij (G, ) een groep. De eenheid schrijven we als I. Ais a E G dan ook

a2 , a3 , ••• ~ Als in deze rij een element meer dan een keer voorkomt is

er een kleinste n waarvoor an = 1 (de rij is periodiek). Dan vormen

2 n-I

l,a,a , ••• ,a een ondergroep van (G, ). Is dit (G, ) zelf dan noemen

we (G,

.>

een cyclischegroep van de orde n.

Het in g) genoemde voorbeeld is een cyclische groep van de orde 4. We noemen a (in het voorbeeld g) kunnen we hiervoor 3 nemen) een voort-brenger van de groep.

2.5 Definitie: Ais (G, ) een groep is, a E G, dan heet de kleinste

posi-tieve n waarvoor an

=

I (1 is de eenheid van de groep) de

orde van het element a. Voorbeeld:

1,2,4,7,8,11,13,14 is een gereduceerd restklassensysteem mod 15. Ais we

vermenigvuldiging mod IS als bewerking nemen dan is dit een groep (van de

orde 8). Deze groep is niet cyclisch omdat voor alle elementen a geldt

a4

₌

_{1 (d.w.z. 15 ·heeft geen primitieve wortel). De groep heeft een aantal}

..

7.

2.6 Definitie: Een verzameling met twee bewerkingen (R,+, ) heet een ring als

RI

R2 R3

(R,+) is een abelse groep,

~a~R ~b~R VeER [a(be)

=

(ab)e],

~ _a~. R ~b R ~ R [a(b+e) _{~ e~}

=

ab + aeJ en

v

V "'1 [(a+b)c == ac + beJ.

a€R b~R c~R

2.7 Definitie: (R,+, ) heet commutatieve ring als

't:/ _a€R "Vb R Cab _~ = baJ.

We noemen (R,+) de additieve groep van de ring.

2.8 Definitie: Is (R,+, ) een ring en S c R, dan heet Seen ideaal in de

ring als

[a - b ~ SJ en Cab E S & ba E SJ.

Het ideaal heet echt als Seen eehte deelverzameling van R is.

2.9 Definitie: Een lichaam is een ring (R,+, ) waarvoor (R \

{a}, )

een

abelse groep is. (Als we "abels" weglaten dan spreken we van een seheef lichaam.) (lnde engelse literatuur: field.)

Voorbeelden:

a) (lR,+, ) is een liehaam.

b) (Il,+, ) is een (eommutatieve) ring.

e) De 3-vouden vormen een ideaal in (L, +, ).

d) De verzameling van aIle polynomen met gehele coefficienten met optelling en vermenigvuldiging als bewerkingen is een ring.

e) (E mod m,+, ) is een ring. Als m een priemgetal is dan is het een

liehaam. Voor m

=

2 hebben we een liehaam met 2 elementen (het kleinste

liehaam) •

Zij (G, ) een abelse groep, (H, ) een ondergroep. De verzamelingen

{ah

I

h E H} heten nevenklassen van H. !wee nevenklassen van H zijn

dis-junct of identfek. Alle producten van elementen uit de nevenklasse aH met elementen uit bH behoren tot eenzelfde nevenklasse, namelijk de

neven-klasse abH. We kunnen dus een vermenigvuldiging van nevenneven-klassen definieren door abH het product van aH en bH te noemen. De nevenklassen vormen dan een

groep met H, de nevenklasse van e,als eenheid. Deze groep wordt met

clH

aangegeven en heetfactorgroep van G naar H. Voorbeelden:

a) (E,+) met ondergroep H bestaande uit aIle 5-vouden. Er zijn 5 neven-klassen namelijk 0 + H, 1 + H, 2 + H, 3 + H, 4 + H. De factorgroep is de

groep (E mod 5, + ) •

b) In het eerder gegeven voorbeeld van het gereduceerde restklassensysteem

mod 15 met H = (1,4,7,J3) als ondergroep, is er naast H nog een

neven-klasse, bestaande uit 2, 8, II en 14. De factorgroep is de cyclische

groep van de orde 2.

Is 8 een ideaal in de ring (R,+, ) dan is (8,+) een ondergroep van de additieve groep (R,+). We kunnen hier weer de factorgroep beschouwen. De nevenklassen noemen we restklassert mod 8. Voor deze restklassen kunnen we naast.de optelling oOk vermenigvuldiging definieren op analoge wijze.

Het is eenvoudig na te gaan dat (Rls,+, ) een ring is. We noemen dit de

quotientring of restklassenring mod S. Van deze methode hebben we al voor-beelden gezien waaraan ook de gebruikte namen ontleend zijn.

2.10 Stelling: Als peen priemgetal is dan is (L mod p,+, ) een lichaam.

Bewijs: We weten reeds dat we met een commutatieve ring te maken hebben.

Is a

#

0 een element van deze ring, dan is (a,p) = I en dus is er een x

met ax ::: 1 (mod p) .Dit wil zeggen dat (E mod p \ {O}, ) een abelse groep

is , hetgeen we moesten bewijzen.

We noemen deze Iichamenpriemlichamen. Ais n niet een priemgetal is dan is

de ring (L mod n,+, ) geen lichaam.

Eindige lichamen, d.w.z. lichamen met eindig veel elementen, zijn het eerst bestudeerd door Galois en worden daarom ook Galois lichamen genoemd

(engels: Galois fields) en aangegeven als GF(n) (Galois lichaam met n

ele-menten). Laat (K,+, ) een eindig lichaam zijn. De eenheid noemen we J. Het

element 1 + 1 noemen we 2, 2 + 1 noemen we 3, enz. Daar het lichaam eindig is vormen deze v"eelvouden van 1 een eindige cyclische ondergroep van (K,+, ).

9.

een priemlichaam GF(p) als deellichaam. We beschouwen nu in Keen maximaal

stelsel lineair onafhankelijke elementen (t.o.v. GF(p» d.w.z. elementen

x

1,x2, ••• ,xm uit K zo dat ctxI + c2x2 + ••• + cmxm (0 ~ ci < p) aIleen

0

is als aIle c.

=

0 zijn. Ieder element van K is eenduidig te schrijven als

1

lineaire combinatie van Xl tIm xm met coefficienten uit GF(p). Met

x

1,x2, ••• ,xm als basisvectoren is Keen vectorruimte van dimensie mover het lichaam GF(p). We hebben hiermee bewezen:

2.11 Stelling: Ret aantal elementen van een eindig lichaam is een macht van een priemgetal.

m

We delen hier zonder bewijs mee dat er slechts een lichaam is met p elementen. We geven het zoals eerder reeds gezegdis aan met GF(pm). (lets

beter gezegd: twee lichamen met evenveel elementen zijn isomorf.) V~~r een

grondige behandeling van Galois lichamen verwijzen we naar: B.L. van der Waerden, Algebra. We volstaan hier met het vermelden van enige stellingen

(zonder bewijs) en enige voorbeelden.

2.12 Stelling: AIle elementen f 0 van GF(q) zijn machten van een zelfde

element (primitief element), d.w.z. de multiplicatieve groep van GF(q) is cyclisch (van de orde q-I).

m

We geven nu een methode om GF(p ) te construeren. Laat f(x) een polynoom zijn van de graad m met coefficienten in GF(p) en laat f(x) irreducibel

zijn (f(x) is niet het product van 2 polynomen van lagere graad met

coeffi-cienten in GF(p». Allepolynomen met coefficoeffi-cienten in GF(p) vormen een

ring (R,+, ) (notatie: (GF(p)[x],+,

».

De veelvouden van f(x) vormen een

ideaal S in R (notatie: S

=

{f(x)}). De restklassenring

Rls

is op te vatten

m-I

als de verzameling polynomen

Co

+ c1x + ••• + cm_Ix (0 ~ c

i < p) met

op-telling en vermenigvuldiging mod p en mod f(x) (notatie: (GF(p)[xJ(mod({f(x)D,+, ).

Ais g(x) een element van

Rls

is en c(x) doorloopt

Rls

dan doorloopt ook

g(x)c(x) de hele restklassenring daar g(x)cl(x) g(x)c

2(x) zou impliceren dat

g(x){c1(x) - c₂(x)}

=

r(x)f(x) en dit kan niet als f(x) irreducibel is. Uit

bovenstaande voIgt dat er bij iedere g(x) in

Rls

een c(x) is zo dat

g(x)c(x) = I, m.a.w.

Rls

is een lichaam. Dit is het lichaam GF(pm).

Ret volgende voorbeeld illustreert deze methode en tevens stelling 2.12.

We construeren GF(24) door uit te gaan van een primitief element X dat

0 (0 0 0 0) xO

₌

₌₌ (1

o

0 0) xl _x = (0 1 0 0) x 2 = x 2 = (0 0 0) x 3 = x 3

=

(0

o

0 1 ) x4

₌

) _{+ x = ( J 0 0)} x 5

=

x + x 2

₌

(0 1 0) x 6 := _{x 2 + x 3 (0 0 I)} x 7 + x + x 3 = (l 0 1 ) x 8

=

+ x 2

₌

(1 0 I 0) x 9 = x + x 3

₌

(0 0 J) x lO

=

1 + x + x 2

₌

( ) ₀₎ xll

₌

x + x 2 + x 3

₌

(0 I) xl2

₌

_{+ x + x 2 + x 3}

₌

(1 J) x 13 + x 2 + x 3 = (J 0 1) xl4 = + x 3 = (l

o

0 1)

De representatie als machten van x geeft de structuur van de multiplicatieve

groep van GF(24 ) en de representatie als vectoren (4-dimensionale

vector-ruimte over GF(2» geeft de structuur van de additieve groep.

We merken nog op dat we analoog aan het bovenstaande een vectorruimte kunnen maken van de n-tallen (a),a

2, ••• ,an) waarbij aIle ai uit een lichaam

K gekozen zijn. Dit heet een n-dimensionale vectorruimte over het lichaam K.

Ais oefening kan men GF(33 ) construeren door bovenstaande constructie uit

te voeren m.b.v. een polynoom x 3 + ax2 + bx + c dat deler is van x 13 + I.

Ais we dan de machten van x schrijven als lineaire combinatie van I, x en x2

met coefficienten uit GF(3), dan is x26 _{de kleinste macht die = I is, d.w.z.}

we vinden voor de multiplicatieve groep x als voortbrenger (x is primitie£ element) •

II.

Opgave 8. Zij f(x) € GF(5)[x] en a een element van GF(5 ) zo dat f(a) n

=

O.

Bewijs dat ook f(a s )

=

O.

Opgave 9. Beschouw de polynomen

x

2 _{+ a}

tx + a2 met ai

=

0, I of 2 (i

=

1,2).

We rekenen mod

3.

Welke van deze polynomen zijn niet in factoren

te ontbinden? Geef de ontbinding in irreducibele factoren van x8 - I.

Opgave 10. Er zijn 16 matrices

(~ ~)

met elementen

°

of 1. Als we mod 2

rekenen (gewone matrix-optelling en vermenigvuldiging) dan vormen deze matrices een ring (ga na!). Bewijs dat er in deze ring een

matrix X is met X2

=

X + I (hierin is I de eenheidsmatrix).

Bewijs dat 0, I, X en X + I een lichaam met 4 elementen vormen.

opgave 11. Toon aan dat x2 + 1 in GF(3)[x] irreducibel is. We nemen

(GF(3)[x] (mod({x2 _{+ 0»,+, ) als model van GF(9). Bepaal in dit}

geval een primitief element a van GF(9). Toon aan dat in GF(3) [x]

het polynoom x4 + 1 product is van twee irreducibele polynomen en

Roofdstuk 3. Latijnse'vierkartten.

3. I. Definitie

Een Latijns vierkant van de orde n is een vierkante matrix van de orde n, waarvan elke rij en elke kolom een permutatie is van n symbolen {1,2, ••. ,n}. Twee Latijnse vierkanten van de orde n zijn orthogonaal, als hun superpositie elk van de n2 geordende paren (i,j) met i,j E {I ,2, ••• ,n} precies eenmaal

be-vat. Neern verder n > 2.

Voorbeeld.

Voorbeeld. Twee aan twee

1 2 3 4 2 4 3 3 3 4 2 4 4 3 2 2 orthogonaal wegens _[ I 1 23 32

orthogonaal is het drietal

2 3 4

fl

2 4 2

l:

3 3 2 4 3 4 3 2 4 22 31 13 4 3 2 33J ₁₂ 21

Ret volgende Latijnse vierkant echter bezit geen orthogonale collega:

2 3

:l

2 3 4

3 4

4 2 _3J

3.2. Ret vermoeden van Euler

Stelling: Bij elke eindige groep van oneven orde nkan een paar orthogonale Latijnse vierkanten van de orde n worden geconstrueerd.

Bewij s. Zij G

=

{a

1,a2, ••• ,an} een multiplicatieve groep van orde n. De matrices [a. a. ] 1 J en [a. -I a. ] J 1 a., a. E G 1 J

zijn Latijnse vierkanten van de orde n. Inderdaad, in elk der matrices komt elk der groepselementen in elke rij en in elke kolom eenmaal voor. Uit

voIgt echter a.2 ~ n+l a. ~ 13. a

k2• Verhef in de macht i(n+l) dan

e

omdat de n macht van elk groepselementgelijk is aan het eenheidselement (waarom?) •

Euler formuleerde in 1782 het volgende:

Vermoeden. Er bestaat geen paar orthogonale Latijnse vierkanten van orde n ~ 2 (mod 4), n > 2.

Dit vermoeden werd in 1900 voor n = 6 bevestigd door Tarry. Voor aIle andere n werd het echter in 1959 weerlegd door Bose, Shrikhande en Parker, die de volgende stelling bewezen:

Stelling. Er bestaat een paar orthogonale Latijnse vierkanten van elke orde n '" 6.

3.3. Orthogonale Latijnse vietkanten

Stelling. Er bestaan ten hoogste n-l twee aan twee orthogonale Latijnse vierkanten van de orde n ~ 3.

Bewijs. Stel AI' A

2, ••• , At vormen t twee aan twee orthogonale Latijnse vierkanten van de orde n. Arrangeer de symbolen van elk der Latijnse vier-kanten zo, dat de eerste rij van elke A. bestaat uit de symbolen 1,2, ••• ,n,

~

in deze volgorde. De (2,1) plaatsen van de t Latijnse vierkanten zijn aIle verschillend, en bevatten niet het symbool J. Daarom is t S n-I.

Stelling. Als n

=

pm ~ 3, p priem, dan bestaan er

n-l

twee aan twee ortho-gonale Latijnse vierkanten van de orde n.

Bewij s. Zij GF(n)

=

{aO = 0, a

1 = I, a2, ••• ,an_I} het Galois lichaam van orde n. Definieer de n-l matrices

Ae

=

[a a. + a.], i,j = O,J, ••• ,n-J, e = l, ••• ,n-I. e ~ J

Deze A zijn Latijnse vierkanten, wegens e (a a. + a.

₌

a a. + a., ) =!> (a. = a. ,) e ~ _J e I. _{J J J} (a a. + a. = a a. , + a.) => (a.

₌

a. ,) e I. _J e ~ _J . I. I. V~~r e

"

f zijn A en Af orthogonaal omdat _e uit a a. + a.

=

a a., + a., , a

f a. + a.

=

af a., + a., voIgt dat a.

=

a., en a.= a'j.

Hoofdstuk 4. Orthogonale matrices.

4. I.

Het Legendre symbool

k

Het Galois lichaam GF (q), q == p , p :f. 2 priem, bev'at, behalve het

hul-element 0, nog !(q-l) kwadraten en i(q-I) niet-kwadrateh. Dit is op twee

manieren in te zien:

? 3 q-I

(i) GF(q) \ {oJ = {w, w-, w , •• .,w - I} , w primitief.

(ii) x2 = y2ddan als x

= ~

y in GF(q).

Dei. Het Legendre symbool x(a) van a IiO GF(q) is

:= [

~

als a == 0,

x(a) als a is kwadraat,

-) als a is niet-kwadraat.

Eigenschap I. x(ab) == x(a) X(b).

Bewijs: verifieer, voor a :f. 0, b (:. 0 met de primitieve w.

Eigenschap 2. Voor q - I (mod 4) is XC-I) == I,

voor q - -1 (mod 4) is X(-I) * -I.

Bewijs: zij w primitief in GF(q), dan wi(q-l)

=

-1.

Eigenschap

3.

E x(a)

=

O.

aEGF(q)

Bewijs: er zijn evenveel kwadraten als niet-kwadraten.

Eigenschap 4. L x(a) x(a+b) == -I, voor b (:. O.

a€GF(q)

Bewijs: Stel a+b=ca. Als a doorloopt GF(q) \ {OJ; dan c doorloopt

GF(q) \ {I}. Inderdaad,

a

l + b

=

ca, a2 + b == ca2, dan (at-a2)(I-c)

*

0,

dus a l == a2, omdat c (:. 1 wegens b '" O. Nu is L x(a) X(a+b) == a:f.O L X (a2c)

=

1: a:f.O c1-J x(c) == L X(c) - X(I) == c

o -

1 - -1.

15.

4.2. Paley-matrices '

Stelling. De q x q matrix S

=

[X(ar-a

k)], waar ar en ak de elementen van

GF(q) doorlopen, voldoet aan

SST

=

q I-J, Sj = j S

= o.

Bewijs. Elke rij van S bevat een 0 en q-I elementen + I.

-Het inproduct van de rijen r en s is wegens eig.4 E X(a -a

k) x(a -~) ... ·1

k

r

s

k

voor r ~ s en q-l voor r

=

s. Voorts is de som van elementen van elke rij

nul, wegens eig.3. Dit bewijst de bewering, als we noemen:

J

=

de matrix waarvan aIle elementen ) zijn,

j

=

de kolomvector waarvan aIle elementen I zijn.

Stelling. De (q+l) x (q+l) matrix .T

I

X

(:r _';/ ar,

c

= [

j X (-1)

o

a k € GF(q),

is symmetrisch voor q - I (mod 4), scheef voor q - -J (mod 4)

en voldoet aan

T

CC == q I •

Bewijs. Met eigenschap 2 en de vorige stelling.

Voorbeeld. GF(5) ...

{o,

1, 2, 3, 4}

met x(a) ... 0, 1, -1, -1, 1 •

GF(7)

=

{O, 1,2,3,4,5, 6}

met )(a) .. 0, 1, I, -1, I, -1, .... 1 • Daarom zijn de volgende matrices orthogonaal:

0 0 0 -I -) -I 0 -I -I -I -I 0 -) -I 1 -1 I 0 -) -I 0 -1 -1 -) ) -I C .. 6 -] 0 -1

,

C 8

=

-I -) 1 0 -) -1 -I -I 0 -) -1 0 -) -I -I -1 J -1 0 "'1 -) -I 0 -) -1 -1 1 -I 0

4.3. Conferentie-matrices

Een conferentie-matrix C van orde v is een vierkante matrix van or de v met diagonaal elementen 0 en overige elementen + 1, die voldoet aan

C CT III (v-i) 1.

Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische [scheveJ C-matrix van de orde v is dat

v :: 2 (mod 4) [v - 2 en v :: 0 (mod 4)J •

Bewijs. Voor v

=

2 triviaal. Neem v > 3, normaliseer en permuteer rijen

en kolommen zodat de eerste drie rijen zijn

o

+ +

o

+

o

met 1, I, 1, x, y, z, u kolommen. Uit de inproducten concluderen wij in

het symmetrische en het scheve geval respectievelijk:

+ x + y +% + u ... v - + x + y + z + u ... v - 2

+ x + y - z - u ... 0 + x + y - z - u ... 0

+ x - y + z - u ... 0 -J + x - y + Z - U

=

0

+ x - y - z + U ... _{0 1} + x - y - z + u '"" 0

4(x+l) ... 4y ... 4z a 4u ... v - 2 , 4(x+t) ... 4(y+l) ... 4z ... 4(u+l) c v.

Stelling. Nodige voorwaarde voor het bestaan van een symmetrische C-matrix van de orde v is

v - ... a2 + b2 , a en b geheel.

k

In 4.2 werden speciale C-matrices van de orde v = I + p , p ~ 2 priem,

geconstrueerd. Zij heten Paley-matrices, naar R.E.A.C. Paley (1933).

Er bestaan ook andere C-matrices, bijv. van de orde v

=

226..

Het kleinste onopgeloste geval is v

=

46.

4.4. Hadamard matrices

Def. Een Hadamard matrix van de orde n is een vierkante matrix H, waarvan

T

Stelling. Als Hn bestaat, dan is n - 1, n ,.. 2, n - 0 (mod 4). Bewijs: zie 1.1.

Stelling. Als C een scheve conferentie matrix is, dan is H

=

Cn. + I

n n n

een Hadamard matrix.

T

Bewijs. C ,.. -C, dus

(C+1)(CT+1) ,.. CCT + C +

c

T + I ,.. (n-l) I + 0 + I ,.. n I.

Stelling. Als C een symmetrische conferentie matrix iSt dan is

n

c

+ I C - I n n n n H ,.. 2n C

-

I

-c

- I n n n n

een Hadamard matrix van de orde 2n. Bewijs.

r

fCC+I)2 + CC-I)2

[C+I

C-1

_,..

(C+I)(C-I) - (C-l)(C+1) C-1 -C-1 (C-l) (C+1) - (C+l) (C-I) (C-1)2 + (C+I)2

o

2C2 _{+ 21} 4.5. Kronecker product

]

= 17.

Het Kronecker product A x B van de vierkante matrices A'" [a ••

J

van orde m,

lJ

en B

=

[bklJ van orde n, is de matrix van orde mn gedefinieerd door:

A x B

=

•

•

a B

Eigenschappen:

(A

x

B)

x

C

=

A

x

(B

x

C),

(A x B)T = AT x BT,

(A x B)(C x D) ~ (AC) x (Bb) ,

(aA+SB) x (yC+OD)

=

ayA x C + aoA x D + SyB x C + BoB x D.

Stelling. Als H. en H Hadamard matrices zijn; dart is H x

H

HAdamard matrix

m n m n van de orde mn. Bewij s. (H x H )(H x H )T = (H x m n m n m H )(H T n m x H n T)

=

=

(H H T) x (H HT) = mn i m m n n m x I n '" Din I mn

•

19.

Hoofdstuk 5. Block designs

5.1. Steiner tripel systemen

zij V een verzameling van v elementen, zeg punten. Ren tripel is een

deel-verzameling van 3 punten. Bestaat er een col1ectie tripels zo, dat elk paar

punten in preeies een tripel zit? Dan meet v aan voorwaarden voldoen. tnderdaad,

elk punt zit met elk van de v-l andere punten in een tripel,

dus zit in I(v-I) tripels;

I 1

• -(v-l)

= -

v(v-l)

2 6 tripels •

I . • 1

totaa z~Jn er

3

v

Hieruit voIgt, dat v meet voldoen aan

v

=

J of 3 (mod 6).

Omgekeerd kan men bewijzen dat deze voorwaarde voldoende is. Zo'n collectie

tripels heet een Steiner tripel systeem, naar Jacob Steiner (1853), en

heeft de eigensehap:

Er zijn v punten en b

=

!

v(v-I) tripels,

elk tripel bevat k

=

3 punten, door elk punt gaan r *

2

I (v-J) . tripels,

elk paar punten ligt in A

=

J tripel.

] ]

(v, k, b, r, A) ,.. (v, 3,

'6

v(v-J) ,

'2

(v-J), 1).

Existentie ddan als v

=

1,3 (mod 6).

Voorbeeld 1. (v, k, b, r, A) ,.. (7, 3, 7, 3, I).

Dit is de meetkunde van Fano, zie 1nleiding 1.2, met punt-tripel incidentie matrix

N

=

eire (I I 0 I 0 0 0). Deze matrix voldoet aan

Voorbeeld 2. (v, k, b, r, i.) .. (9. 3, 12, 4, I).

De punt-tripel ineidentie matrix N voldoet aan ~

Nj .. 4j , jTN .. 3jT , NNT

=

3I + J.

Bieraan voldoet het tripel systeem aangegeven door de volgende 12 lijnen, later AG(2,3) te noemen.

Voorbeeld 3. (v, k, b, r, A)

= (13, 3, 26, 6,

I). , 6' ,T NJ == J, J. N == 3,T J . , NNT .. 5I + J • Bieraan voldoet N .. [N I N2

J

met N)

..

eire (I 0 1 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0) N2 = eire (0 0 0 0 0 0 I 0 0 J 0 0) Voorbeeld 4. (v, k, b, r, A) .. (15, 3, 35, 7, I). Nj

=

7j , jTN

=

3jT , NNT

=

6I + J •

,

Bieraan voldoen de 15punten en 35 lijnen van PG(3,2), (zieBoofdstuk 7).

Opllierking.

Voorbeeld 3 heeft 2 oplossingen, voorbeeld 4 heeft80 oplossingen.

5.2. Block designs

Lemma. zij M een (rechthoekige of vierkante) matrix. Dan hebben

'M,MT en MTM dezelfde eigenwaarden';

O.metdezelfd~

Bewijs. Zij ). ,. 0 eigenwaarde van MMT, met eigenvector

~;

Q.

MMT ~

=

A .! , MT !. ,.

Q ,

MTMMT

x ..

A MT

x

\" d TM • MT

Dus A 1S e1genwaar evan M , met e1genvector

x.

21.

Evenzo, als

a~

+

8Z"

Q

in de eigenruimte bij de eigenwaarde A ; 0 van MMT,

d _{an 1S} . _a MT _{!. + 8M} T

Z

J. _{r _} O· _{1n e e1genru1mte 1J} d ' . b" d ' _{e e1genwaar e A van} d MT _{M. Q.e.d.}

zij V een eindige verzameling van v punten. De delen van V heten blokken. Een IBD, incomplete block design, is een verzameling van, zeg b, blokken. Een BIBD, balanced IBD, is een IBD met

(1) elk biok heeft evenveel, zeg k, elementen,

(2) elk paar punten ligt in evenveel, zeg A, blokken,

(3) 0 < ). en k < v-l.

Voor een BIBD gelden dan de volgende eigenschappen: (4) elk punt ligt in evenveel, zeg r, blokken,

(5) r(k-I) • A(v-I), bk

=

vr,

die wij weldra zullen bewijzen.

Een BIBD, zeg block design, wardt beschreven door

incidentie matrix N

=

[n .. ] gedefinieerd door

1J

t

I alB punt i ligt in blok j,

nij

=

_{0 als punt i niet ligt in blok}

Volgens definitie geldt dat

(I) elke kolom van N heeft k enen,

(2) elk paar rijen van N heeft inproduct )..

zijn v x

.

J.

b punt-blok

~tel de i e rij van N heeft r. enen. Tel het aantal paren {h,j} waarvoor geldt

1.

Volgens

(n •• , n

h·) .: (J, l) • 1J J

(2) is dit aantal (v-l»)'. Volgens (J) is dit aantal r.(k-I).

1.

Hieruit voIgt:

(4) elke rij van N heeft evenveel, zeg r, enen, en r(k-l) .. A(V-J).

gedefinieerd door

NNT _- ( _r-A ) I _{+ 1\} 'J _, N' _{J . rJ ,} , _J .T _N· k' _{J ,} vr s bk r(k-]) • l.(v~l) •

Voorbeeld I. Steiner tripet·systemen.

Voorbeeld 2. N • circ (J

o

o

0)

definieert een block design met (v, le, b, r, A) • (7, 4. 7, 4, 2).

Voorbeeld 3. Een block design met (v, k,b, r, A) • (8, 4, 14, 7, 3) wordt gegeven door de 8 hoekpunten van een kubuB en de volgende 14 blokken: de 6 zijvlakken, de 6 diagonaalvlakken, de 2 regelmatige viervlakken ge-vormd door de hoekpunten. Een betere voorstelling wordt verkregen door de

8 punt en van de vectorruimte van dimensie 3 over GF(2), en de ]4 vlakken x

=

0, y

=

0, z

=

0, x+y - 0, x+z • 0, y+z • 0, x+y+z • 0,

x

=

1,

y

=

I,

z -

I,

x+y

=

1,

x+z •

1,

y+z •

I,

x+y+z •

I.

Stelling (Fisher). In een block design geldt v

s

b. Bewijs. De eigenwaarden van de v x v matrix

NNT _ (r-A) I + l,J

zijn (v-]) maal (r-A) en eenmaal r - l. + A v - rk.

Deze eigenwaarden zijn ; O. Volgens het Lemma heeft de b x b matrix NTN tenminste deze v eigenwaarden, benevens eventueel b-v eigenwaarden

O.

Daarom is b ~ v.

Een BIBD met b - v heet een symmetrisch block design. De matrix N is dan

v~erkant, en r m k, en we hebben

Nj

=

kj, jTN a kjT, NNT m NTN

=

(k-l.) I + l.J j

(det N)2 _ k2(k_l.)v-l ,

dus k-A moet een kwadraat zijn.

Een projectief vlak PG(2,n) van orde n > 1 is een symmetrisch block design met

Voorbeeld. De meetkunde van Fano, zie 1.2.

Omtrent het bestaan van PG(2,n) is het volgende bekend. Stelling.

Stelling.

m

PG{2,p ). p priem, bestaat, zie 7.3.

Ais PG{2,n) bestaat. en n

=

1 of 2 (mod 4), dan geldt n

=

a2 + b2 , a en b geheel.

23.

Een gevolg hiervan is, dat PG(2,6) niet bestaat. Het bestaan

van

PG(2,IO) is een open probleem.

5.3. Block designs en orthogonale matrices

Stelling. Een genormaliseerde Hadamard matrix van de orde 4t ~ 8 i8 equi-valent met een symmetrisch block design met parameters

(v, k, A)

=

(4t-J, 2t-l, t-J). Bewijs. Schrijf de Hadamard matrix volgens

ld ' 4 T 4

dan vo oet de v1erkante R van orde t-J wegens BH • tl aan

RRT _... 4 I _{t -} J _, R' _{J - -J, J} • • TR _{- -3 •} • T

De incidentie matrix N van het symmetrische block design voldoet aan NNT ... tI + (t-J) J, Nj • (2t-l) j, jTN _ (2t-J) jT.

Het verband tussen R en N wordt gegeven door R

=

2N - J •

Voorbeeld: opgave 2 van de Inleiding.

Stelling. Als er een C-matrix van orde n bestaat, dan is er een block design met parameters

(v, k, b, r, A) ... (n, In, 2n-2, n-l, In-I) • Bewijs. Normaliseer de C-matrix volgens

dan voldoet de matrix S. van or de n-l, aan

SST .. (n-J) I - J , Sj • 0, jTS • OT • Het gevraagde block design wordt nu gegeven doot

[ .T N .. J

i

(J-S-I) OT

1

i(J-S+I)

25.

Hieronder volgen enkele opgaven betreffende de hoofdstukken 3, 4 en 5. Opgave· )2.

a) Bepaal 7 met hoekpunten uit {] ,2,3,4,5,6,7} zo,

dat elk paar driehoeken een hoekpunt gemeen heeft.

b) Bepaal ]4 verschillende driehoeken met hoekpunten uit

. {1,2,3,4,5,6,7} zo, dat elk paar punten in twee driehoeken ligt. Opgave ]3. Gegeven I 2 3 A := n 2 3

.

.

. .

n-l n n n-l

. .

.

.

3 2 I 3 4

.

. . .

n J n _•

. .

.

4 3 2 4 5 2 2 5 4 3

,

B := 2 n-2 n-l n-) n-2 2 n

Bewijs dat A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn dan en alleen dan als n oneven is.

Opgave 14. De 9 elementen van GF(9) worden voorgesteld door aile getallen van

de vorm ax + b, waarbij a en b doorlopen GF(3) en x voldoet aan

x2 _{+ 1} == O.

a) Welke elementen van GF(9) \ {OJ. zijn kwadraat?

Opgave 15. De (0,1) matrix N heeft afmeting 6 x 10. Elke rij bevat 5 enen

en 5 nullen. De Hamming afstand van elk paar rijen is ~ 6 (zie

1.4 of 6.1).

a) Bewijs dat elk paar rijen ten hoogs.te 2 enen g.emeen heeft.

b) Bewijs dat elke kolom ten hoogste 3 enen heeft.

c) Bewijs dat elke kolom precies 3 enen heeft.

d) Bewijs dat N de incidentiematrix van een block design is en geef de parameters van dit block design.

Opgave 16. Zijf(n) het maximum aantal tripels, dat kan worden g.ekozen uit

een verzamelingvan n symbolen, zodat elk paar tripels een sym-bool gemeen heeft.

a) Wat is f(7)?

b) Bereken fen) voor n

=

3,4,5,6.

27.

Hoofdstuk 6. Codes.

Beschouw een verzameling van q verschillende symbolen (alfabet) en vorm alle rijtjes van n van deze symbolen(wootden). We noemen deze verzameling

V(n,q). Een deelverzameling C c V(n,q) heet een code.We definieren:

6.1. Definitie: Als x

=

(x1, ••• ,x

n) E V(n,q) en l = (Y1, ••• ,Yn) E V(n,q) dan is

d(~,X) := het aantal indices i (I ::;; i ::;; n) zo dat xi

:f

Y i'

d(~,x)heet Hamming-afstand van x en X (zie 1.4). We beschouwen nu het volgende model van een communicatiekanaal:

6.2. Definitie: Eenbinair symmetrisch kanaal met kans p op fout (0 ::;; p ::;;

!)

o

o

is een systeem met 2 mogelijke ingangssignalen (0 en 1) en

dezelfde twee uitgangss~gnalen zo dat voor beide

ingangs-signalen de kans p is dat het verkeerde signaal uitgangs-signaal is.

6.3. Voorbeeld van gebruik van codes: Stel dat we een binair symmetrisch

kanaal met kans p

=

0.02 op fout overkomen ter beschikking hebben en dat

dit kanaal 2 signalen per tijdseenheid kan verwerken. Via dit kanaal wil-len we de resultaten overbrengen van een experiment waarbij met constante snelheid, nl. een maal per tijdseenheid, met een munt kruis of munt wordt geworpen. Als we nu bij iedere keer kruis een 0 zenden en bij iedere keer munt een 1 dan zal de ontvanger informatie ontvangen waarvan ongeveer 2% fout is. Stel dat we nu wachten tot twee keer is geworpen en steeds na elke twee worpen 4 signalen zenden als voIgt:

munt - munt -+

o

0 0 0

kruis - munt -+ 1

o

0

munt - kruis -+ ₀

De ontvanger wordt opgedragen bij ontvangst van een ander vier tal een van de eerste drie plaatsen te veranderen zo dat een van de vier rijtjes ont-staat. Merk op dat we door zo het kanaal te gebruiken in de tijd het ex-periment precies bijhouden. We hebben nu de volgende kansen:

P(4 symbolen goed)

=

q4,

pel fout onder de eerste drie)

=

3pq 3,

en 1n beide geva.llen zal de ontvanger na "decoderen" 2 goede resultaten e

hebben. Twee foute resultaten vindt de ontvanger als het 4 symbool goed doorkomt en onder de eerste drie ~ 2 fouten waren. De kans hierop is p3 q + 3p2q2. Blijft over een kans p dat de ontvanger althans een van de experimenten goed doorgegeven krijgt. Gevolg is dat ongeveer 1,12% van de totale informatie onjuist is. Dit is veel beter dan eerst.

Laten we nu wachten tot 3 worpen zijn voltooid en steeds na elke 3 zes signalen zenden. We kunnen weer h~t experiment in de tijd bijhouden! Nu

"

zenden we als voIgt: Laat (a

l,aZ,a3) het resultaat van de worpen zijn. Neem a

4 := aZ + a3, as := a3 + aI' a6

=

al + a2 (aIle optellingen in GF(Z». Zend nu (a

l,a2, ••• ,a6). De ontvanger decodeert als voIgt: Zoek een mogelijk signaal met zo klein mogelijke Hamming-afstand tot het ontvangen signaal. Dit noemt men maximum-likelihood-decoding. De lezer controlere nu zelf dat de ontvanger nu nog slechts 0,29% foute informatie ontvangt. Door steeds langere codes te gebruiken kan men de informatie willekeurig nauwkeurig over het als voorbeeld gekozen kanaal zenden!

Het vinden van codes, de bestudering van deze codes en het ontwerpen van decodeerprocedures zijn de onderwerpen van de "coding theory".

6.4. Hadamard codes.

Zij H een Hadamard matrix van de orde 4n. We construeren een code van 8n woorden van de lengte 4n met {O,I} als alfabet door (al, ••• ,a

n) als code-woord te nemen als

!

(2a

l-l, 2aZ-l, ••• ,2an-l) een rij van His. Nu is voor twee rijen van H het inproduct 0, dus hebben de door ons geconstrueerde woorden afstand Zn of 4n. Voorbeeld: 0 0 0 0 1 1 I 1

[l

1

-:]

0 0 1 ] H = -) C

=

1 I

a

°

-I 1 -) 0 1

a

) -1 -1 1 J

a

I 0 0 I 1

a

I

a a

1

•

29.

Als vorengenoemde code gebruikt wordt (bijv. voor een binair symmetrisch

kanaal)en het kanaal introduceert e < n fouten dan leidt de reeds eerder

genoemde maximum likelihood decoding tot een correcte interpretatie. Men spreekt nu van een e-fouten-verbeterende code.

T

Een decodeerprocedure kan als voIgt werken: We ontvangen ~

=

(x

1, ••• ,x4n).

Bepaal nu

H(2~-i)

=:

Z.

Als er geen fouten in xT zitten zijn aIle componenten

van

Z

op een na 0 en de andere component is + 4n. Bij e < n fouten geeft op

analoge wijze het inproduct met de grootsteabsclute waarde eenduidig aan wat het gezonden woord geweest is •

Hoofdstuk 7. Eindige meetkunde

6.1. Vectorruimten over Galois lichamen

Definitie. V(n,q) is de vectorruimte van de dimensie n, waarbij de getallen worden genomen uit het Galois lichaam GF(q}.

De lineaire algebra van V(n,q) heeft veel gemeen met de gewone lineaire

algebra over R, het lichaam der reele getallen. Er zijn echter ook

ver-schillen, bijvoorbeeld omdat het aantal vectoren van V{n,q) eindig is, ni. qn.

Voorbeeld. V(3,2) heeft 8 binaire vectoren (x,y,z), met coordinaten 0 of I.

Voorbeeld. V{2,3} heeft 9 ternaire vectoren (x,y), met coordinaten 0, I, -I.

Zij A(s,n; q) het aantal lineaire deelruimten V(s,q} van V(n,q}.

Stelling. n • a -I A(I,n; q} ... A(n-I ,n; q) ..:L.-:-q-I s A(s,n; q) - II i-J n+l-i • q -1

i

q -I

Bewijs. Elke rechte door ~bevat behalve Wnog q-I vectoren. Daarom zijn

er (qn_I}/{q_l) rechten door

«,

en evenveel hypervlakken door

6.

Het aantal

der V(s+l,q) in V(n,q), die een gegeven V(s,q) bevatten, is

n s q -q 8+1 s q -q Daarom geldt n-s .. q - I . q-l n-s q -1

A{s,s+l; q) A(s+l,n; q} • A(s,n; q) q-l •

s+1

Wegens A(s,s+l; q) ... (q -1)/(q-l) voIgt het gestelde.

Voorbeeld. V{3,2) bevat 7 rechten en 1 vlakken door W.

Elk vlak door W bevat 3 rechten door 8'.

Voorbeeld. V(2,q} bevat q+1 rechten door ~.

Voorbeeld. V(3,q} bevat q2+q+1 rechten, en q2+ q + I vlakken door W.

Voorbeeld. V(4,2) bevat 15 rechten, 35 vlakken, en 15 drie-ruimten door

d.

:.

31.

7.2. Block designs uit V(n,q)

Stelling. De V(l,q) en de V(s,q) van V(n,q). 1 < s < n, vormen de punten en

de blokken van een block design met

v • A(I,n; q), k

=

A(I,s; q), b • A(s,n; q),

r - A(s-I, n-l; q), A

=

A(s-2. n-2; q).

Dit block design is symmetrisch ddan als s· n-l.

Bewijs. Elke V(s,q) bevat evenveel V(l,q), namelijk (qS_l)/(q_]).

Voorts liggen twee gegeven rechten door ~ in een aantal A deelruimten V(s,q),

dat onafhankelijk is van die rechten. Inderdaad, zo'n V(s,q) is bepaald door

s van de n basisvectoren van V(n,q), waarvan er twee langs de gegeven rechten

kunnen worden gekozen. Er zijn dus s-2 basisvectoren vrij te kiezen uit de

overige n-2 basisvectoren van V(n,q). Daarom is A

=

A(s-2, n-2; q).

Voorbeeld. De 7 rechten en de 7 vlakken door Wvan V(3,2) vormen PG(2,2).

Voorbeeld. De 15 rechten en de 15 drie-ruimten door W van V(4,2) vormen

(V,k,A)

=

(15, 7, 3).

Voorbeeld. De 15 rechten en de 35 vlakken door d van V(4,2) vormen

(v,k,b,r,A)

= (15,

3, 35, 7, J).

7.3. Het projectieve vlak PG(2,q)

Stelling. PG(2,q), q

=

pm, p priem, met

b

=

v

=

q2 + q + I, r - k • q + I, A-I,

bestaat.

Bewijs. Pas de stelling uit 7.2 toe op V(3,q), namelijk op de

(q3-1)/(q-l) rechten door

d

en de (q3-1)/)q-l) vlakken door ~. Elk vlak door

~bevat q+] rechten door ~ en door elk tweetal rechten door ~ gaat een vlak. Bij projectieve vlakken is men gewend om, in plaats van over punten en blok-ken, te spreken over punten en lijnen. BIijkbaar geldt in PG(2,n)

PI. Door elk paar punten gaat een Iijn. P2. Elk paar lijnen heeft een punt gemeen.

P3. Er zijn 4 verschillende punt en waarvan geen drietal op een lijn ligt.

Wanneer uit een projectief vlak een lijn £ en de punten van die lijn worden

weggelaten, dan blijven er over n2 punten en n(n+l) lijnen, die het z.g.

affiene vlak AG(2,n) vormen. Twee lijnen heten evenwijdig, wanneer ze in de

oorspronkelijke PG(2,n) een snijpunt op £ hebben. De eigenschappen PI, P2,

P3 gaan over in de bekende axioma's van de vlakke meetkunde. Voorbeeld: Voor AG(2,3) zie voorbeeld 2 van 5.1.

7.4. Lineaire codes.

Een lineaire (n,k) code over GF(q) is een lineaire deelruimte van dimensie k van de vectorruimte V(n,q) van dimensie n over GF(q). De codewoorden, dat zijn de vectoren van de lineaire deelruimte, hebben de volgende eigenschap: het verschil van twee codewoorden is weer eencodewoord. Daarom worden de afstanden tussen de paren codewoorden bepaald door de Hamming-afstanden van het codewoord 0 tot de andere codewoorden.

Definitie: Het gewicht van een codewoord is het aantal coordinaten ~ 0 van

het codewoord.

Voorbeeld: Het vlak in V(4,3), opgespannen door f

=

(1,0,1,2)

.s

= (0,1,1,1)

is een ternaire lineaire (4,2) code; n = 4, k

=

2, q

=

3, zie Inleiding ].4.

AIle codewoorden ~

Q

hebben gewicht 3, dus de onderlinge Hamming-afstanden

der 9 codewoorden zijn 3.

Een lineaire code kan op verschillende manieren worden beschreven:

Een generator matrix G van een lineaire (n,k) code is een k x n matrix,

waarvan de rijen worden gevormd door k basisvectoren van de code.

k d d ..

De q co ewoor en z~Jn

T T

~ G, met ~

=

(ul, ••• ,u

k), ui E GF(q).

Een parity check matrix H van een lineaire (n,k) code is een (n-k) x n

k

matrix over GF(q) zo, dat de q codewoorden zijn de vectoren T

x = (xl' ••• ,x) met Hx 0

33.

Voorbeeld:

o

2

2

o

duiden aan de generator en de parity check matrix van het vorige voorbeeld. Inderdaad, er geldt

GHT

=

0 •

Door geschikte basiskeuze kan de generator matrix van een lineaire (n,k) code worden gekozen als voIgt:

G

=

[I

k NJ , met k x (n-k) matrix N = [n .. 1J J Dan luidt de parity check matrix van die code:

I _n-kJ ,

omdat GHT

=

O. De codewoorden zijn nu eenvoudig op te schrijven, immers kies

x 1, ••• ,xk willekeurig, en ~+j = k E 1 x. n ... 1 1J Opmerking. x1"",x

k heten de information symbols, xk+1"",xn heten de

parity check symbols.

7.5. Hamming codes

Binaire Hamming codes Z1Jn lineaire codes met de volgende parity check

matrix H van afmeting m x (2m - 1). De kolommen van H zijn

1

Q,

verschillend,

en bevatten slechts de elementen 0 en I van GF(2).

Voorbeeld, voor m= 3,

[~

0 0

H3 = ] 0 0 ]

0 0 0

m

De lengte van de binaire Hamming code is n

=

2 - 1, en de dimensie is

k

=

2m - ) - m. Het minimum gewicht van de codewoorden

1

0 is 3. Inderdaad,

een codevector is een oplossing ~ van

T

enelke ~

=

(xl' ••• ,x

n) ~

Q

heeft tenminste 3 coordinaten ~ 0, omdat elk·

tweetalkolommen van H een som ~ 0 mod 2 heeft. Daarom zijn de Hamming

codes l-error-correcting. Het corrigeren van een fout geschiedt als voIgt.

Stel y = x + e is het ontvangen wootd, afkomstig van een codewoord ~,

doch met een fout in de j-de coordinaat, e = (0 .• 0 J 0 •• O)T. Dan wordt

door

Hy

=

H~ + H~

=

H~

=

j-de kolom van H

de plaats van de fout aangeduid, omdat de j-de kolom van H juist de binaire

representatie van het getal j is.

Opmerking.

is de parity check matrix van een lineaire code van lengte 2m en dimensie

m

*

2 - m - 1, met d ;;:: 4. Inderdaad, elk drietal kolommen van H heeft som :/: 0 mod 2. Deze lineaire code is dus 2-error-detecting.

Voorbeeld.

is de H van een lineaire (8,4) code met d ;;:: 4. Deze code, die 24 = 16

code-woorden van lengte 8 bezit, is een Hadamard code volgens 6.4.

m

Hamming codes over GF(q) zijn lineaire codes met een m x (q - l)/(q - J)

parity check matrix H. De kolommen van H zijn :/:

Q,

twee aan twee

onafhan-kelijk, en bevatten de elementen van GF(q). Voorbeeld.

o

o

a

o ]

1 0 2

a

a

0 2

a

2 2

o

2

is de parity check matrix van een lineaire code met 310 codewoorden van

lengte 13, die l-error-correcting is.

•

35.

7

Opgave 17. Beschouw aIle polynomen

r

i=O

i

a.x met a.

=

0, ] of 2 (i

=

0,1, •• ,7)

1 1

en reken daarmee mod 3 en mod (x8 - 1) (d.w.z. beschouw

(GF(2)[x] (mod ({x8 -

J}»

,+,

».

In deze ring vormen aIle veelvouden van x2 + x + 2 een ideaal S

(ga na!). Beschouw nu de 8-dimensionale vectorruimte

Ra

bestaande

uit de vectoren (a

O,a1, •• ,a7) met ai = 0,1,2 (i

=

0, •• ,7) en

op-telling etc. mod 3. Laat VcR gedefinieerd zijn door

7 (a O,a1, •• ,a7) € V : <=? L i=O i a.x € S. 1

Toon aan dat V eenlineaire deeIruimte van RS is (dimensie?). Toon aan dat uit (a

O,al, •• ,a7) E V voIgt dat (a7,aO,al, •• ,a6) € V (dit heet een cyclische deelruimte).

Opgave 18. Zij ~ een primitief element van GF(16). Beschouw de verzameling V

van aIle polynomen C(x)

=

Co + clx + •• + c

14x14 met coefficienten

in GF(2) waarvoor geldt

-Zij V de code bestaande uit de woorden (c

O'cl, •• ,cI4) waarvoor

Co + ctx + •• + c₁₄x14 E V. Toon aan dat V een lineaire code is.

Hoeveel information symbols bevat elk woord? Bewijs dat dit een , 3-error-correcting code is.

Hoofdstuk 8. Toepassingen.

8. I. Proefvelden.

Op een vierkant stuk bouwland wil men n soorten graan zaaien, en de oogst

vergelijken. Hiertoe verdeelt men het stuk land in n2 subvierkanten. We

ne-men aan dat (misschien) de grond niet overal even vruchtbaar is maar dat de afhankelijkheid zo is dat E(y ..

k)

=

gemiddelde oogst per m2 voor het k-de

~J

soort graan gezaaid in i-de rij en j-de kolom

=

p + ~. +

v.

+ P

k waarbij

~ J

E ~. = E

v.

=

E P

k

=

0. Hierin is p de gemiddelde oogst per m2 • Men wil

~ J

vragen van het type: "zijn de graansoorten verschi1lend in kwaliteit", "is er werkelijk verschil in vruchtbaarheid voor verschillende rijen resp. kolommen" enz. beantwoorden. Als men de k-de soort graan zo zaait dat in iedere rij en iedere kolom een subvierkant met deze soort voorkomt dan is

de gemiddelde oogst over deze proefveldjes p + Pk omdat E ~i

=

E Vj

=

0.

D.w.z. de invloed van de plaats is geelimineerd. Om aIle soorten zo te zaaien moet men van het proefveld een Latijns vierkant maken.

8.2. Intensiteitsmetingen.

Om de invloed van verschillen in lichtintensiteit op het oog te bestuderen heeft men proeven gedaan met een televisiescherm waarop n verschillende

in-tensiteiten voorkwamen. Het scherm werd verdeeld in n2 vierkantjes. Weer

ge-bruikte men een Latijns vierkant. De experimentatoren wilden graag dat ieder geordend paar verschillende intensiteiten (a,b) eenmaal horizontaal en een-maal verticaal voorkwam. Ais oefening kan de lezer proberen een dergelijk Latijns vierkant te construeren.

8.3. Statistische analyse van buizenfabricage.

Dit voorbeeld is afkomstig van een plaatselijke fabriek waar radiobuizen worden gemaakt. Er zijn vier bewerkingen, te weten a) maken van de wolfram-draad, b) maken van de spiraal, c) aanbrengen van de A1

203-laag , d) buizen-fabricage. De productie vertoonde een veel te grote spreiding in de gemid-delde gloeistroom. De 4 afdelingen gaven elkaar de schuld en door middel van een experiment moest worden uitgemaakt welke van de 4 factoren oorzaak van het verschijnsel was. I.v.m. tijd en kosten wilde men niet te veel bui-zen testen.

..

.

.

_I"

.

~'

37.

Voor dit soort experimenten is een grieks-latijns vierkant het hulpmiddel. Beschouw een latijns vierkant van de orde 7 met elementen A, B, C, D, E, F, G en een met elementen a, b, c, d, e, f, g zo dat deze twee orthogonaal zijn. Op 7 verschillende dagen wordt een partij wolframdraad geinaakt en van elke partij maakt men op 7 verschillende dagen spiralen. Een steekproef van

15 spiralen uit elke partij geeft een groep van 49 keer 15 spiralen. Deze plaatst men op het grieks-latijns vierkant en wei draad van de i-de dag in i-de rij, spiraal van j-de dag in j-de kolom. De 7 partijen op een A-plaats worden op een dag van de A1

203-laag voorzien en teruggeplaatst etc. Daarna worden de 7 partijen op een a-plaats op een dag in buizen gemonteerd, etc. Na 28 dagen heeft men 49 keer 15 buizen en aan elke groep worden dan gloei-stroommetingen gedaan. Deze opzet heeft bereikt dat voor elke fase de pro-ductie van een dag voor iedere andere fase over 7 dagen is verspreid. Het experiment toonde duidelijk aan dat de spreiding (voor verschillende dagen) bij de buizenmontage te groot was •

8.4. Kleine experimenten.

Het komt vaak voor dat men enkele factoren wil onderzoeken maar dat door tijdgebrek of hoge kosten het niet mogelijk is iedere mogelijkheid voor de eerste factor te koppelen met iedere mogelljkheid voor de tweede.

We nemen als voorbeeld een object dat uit 7 verschillende soorten metaal kan worden gemaakt. Er zijn 7 verschillende processen mogelijk voor de fa-bricage. Het is te duur aile 49 combinaties te onderzoeken. Hoe nu het ex-periment op te zetten? Voorbeeld 1.2 op biz. 2 geeft een oplossing. De me-talen nummeren we van 1 tIm 7 en aan ieder productieproces kennen we een blok toe. We bereiken dat het eindproduct door elk proces 3 keer is gemaakt, met elk metaal 3 keer is gemaakt en dat er voor ieder tweetal processen een metaal is dat met beide processen is verwerkt. Door middel van varian-tie-analyse bepaalt men daarna wat de beste keuze is.

8.5. Foto's van Mars.

Voor het naar de aarde seinen van de foto's gemaakt door de Mariner Mars

1969 is een zg. (32,6) biorthogonale Reed-Muller code gebruikt. Dit komt

neer op een speciale Hadamard code zoals in 6.4 behandeld. De code ontstaat uit (: ~) door vijf keer de stelling uit 4.5 toe te passen.

8.6. Conferentietelefonie.

De n directeuren van een concern wensen hun conferenties per telefoon te houden, zodanig dat elke directeur met elke collega kan spreken en dat de anderen hun discussies kunnen horen. De constructie van een daarvoor ge-schikt conferentie-netwerk (een lineaire, verliesvrije, frequentie-onafhan-kelijke, reciproke n-poort, met uniforme verdeling en zonder reflectie) is gelijkwaardig met de constructie van een symmetrische conferentie matrix.

8.7. Weegschema's.

Stel dat v objecten gewogen moeten worden in v wegingen met een balans. We nemen aan dat aIle wegingen eenzelfde variantie hebben, onafhankelijk van de belasting van de schaal. We verlangen nu dat de wegingen zo worden uitgevoerd dat de gemiddelde variantievan de geschatte gewichten minimaal

~s.

We geven het schema als voIgt aan: als bij de i-de weging het j-de object op de linkerschaal ligt, dan is a ..

=

I, terwijl voor de rechterschaal

~J

a ..

=

-I en verder nemen we a .. = 0 als het j-de object bij de i-de weging

~J ~J

niet meedoet. Door Hotelling is bewezen dat als v

=

0 (mod 4) de beste weging gevonden wordt door te eisen dat A

=

(a .. ) een Hadamard matrix is.

1J

De geschatte gewichten hebben dan gelijke varianties en ze zijn niet ge-correleerd. Als v

=

Z (mod 4) is een C-matrix het beste weegschema.

8.8. De voetbalpool.

Ret laatste voorbeeld in 7.5 geeft 310 kolommen van 13 getallen 0 (= 3), en Z die we kunnen insturen voor de Nederlandse voetbalpool. We weten dan vooraf (!) dat we de Ie of Ze prijs zullen winnen.

8.9. BCH-codes.

Laat a een primitief element zijn van GF(16) (zie bIz. 10). De matrix H van 8 rijen en 15 kolommen gedefinieerd door

H

[:

:: ... :::j

waarin iedere a i een kolom van 4 elementen 0 resp. 1 voorstelt nemen we als parity check matrix van een lineaire code C (dimensie 7, woordlengte 15, alfabet GF(2».

..

..

~

.

, 39. Zij

£

=

(c O,c1' ••• ,c14) € C •

Dan geldt voor het polynoom c(x)

:=

Co

+ c1x + ••• + c

I4x14

Stel dat we het woord r := c + ~ ontvangen en dat hierin 2 fouten zitten;

e

=

(e

O, ••• ,e14) met ek

=

~~ =1, aIle andere coordinaten O.

Zij Dan is reX) e(a) e(a 3) k ~

=

a + a

=

rea) (bekend aan de ontvanger!)

"

"

"

tI

)

Oplossen van 2 vergelijkingen met twee onbekenden leert de ontvanger wat k

Literatuur

M. Hall Jr., Combinatorial Theory, Blaisdell Comp.,

1967.

J.H. van Lint, Coding Theory, Lecture Notes in Mathematics 201, Springer, 1970.

J.H. van Lint, J.J. Seidel, P.C. Baayen, Colloquium Discrete Wiskunde, M.C. Syllabus 5, Mathematisch Centrum; 1968.

H.J. Ryser, Combinatorial Mathematics, Carus Monograph, Math. Assoc. Amer., Wiley, 1963.

.

'

.