uitwerkingen 4 havo B H8

(1)

Hoofdstuk 8:

Periodieke functies.

V_1. _AC _ ₁₂2_₅2 _₁₃ V_2. a. _KM _ ₈2_₃2 _ ₅₅ b. _QR_ ₃2__{( 5)}2 _₂ c. _TU _ ₈2__{(4 3)}2 _₄ V_3. 8 10 cos Q  8 5 tan D  2 2 sin K  37 Q   o 58 D   o _{ }_K ₄₅o V_4.

a. Na 2 seconden herhaalt de grafiek zich.

b. 1 slag per 2 seconden komt overeen met 30 slagen per 60 seconden (per minuut). c. Het maximum is 0,44 mV.

V_5.

a. De amplitude wordt steeds kleiner en is dus niet periodiek.

b. De eerste grafiek is periodiek met periode 6. De evenwichtsstand is y1 en de amplitude 3. De halve periode van de tweede grafiek is 6 en de hele periode is dan 12.

De evenwichtsstand is y 2 en de amplitude is 2.

V_6.

a. Dan heeft de cabine een kwart draai gemaakt. Dat doet hij in 15 seconden, en 30 seconden later weer.

b. De straal is 20 meter.

(2)

1.

a. De omtrek van een cirkel met straal 1 is 2 6, 28 meter. b. De stip doet over één omwenteling 6,28 s.

c. Dan heeft de stip een halve draai gemaakt. d. Na een kwart draai: 1,57 s.

2. a. 14 2 360 45      b. 5 12 2 360 75      

c. Als x dan is  180_{en als}_x₂ _{dan is}_ _₃₆₀_. c. Als x1 dan is 1 360 2 360 2 57,30      _. 3. 4. 5.

a. Na een halve draai: 0,5 s na een hele draai: 1 s. b. Na driekwart draai: 0,75 s.

c.

6.

a.  30

b. sin 30  overstaandeschuine   1h h 0,5 o

c. hsin 60o 0,87

7.

a.

b. Er zijn twee perioden getekend.

8.

a. De hoogte is dan 1 2  b. Omdat een draai van 2

3 radialen linksom op hetzelfde punt uitkomt als een draai van 113 rechtsom.

9.

a. zie de grafiek hierboven.

b. 1 2 ( ,1) en 1 2 (1 , 1) c. Puntsymmetrisch in ( , 0) . d. Symmetrisch in de lijn 1 2 1 x 

e. De grafiek verloopt naar beide kanten volgens hetzelfde patroon.

10.

a. domein: _

b. De symmetrieassen lopen verticaal door de toppen van de grafiek: 1 1

2 2

2 101

x  en x  .

hoek in graden 0 30 45 60 90 180

hoek in radialen (exact) 0 1

6 14 13 12  hoek in graden 6 15 57 60 115 107 172 hoek in radialen 0,1 0,26 1 1,05 2 1,87 3 t h  2 3 4 0 1 -1

(3)

c. De punten van symmetrie zijn alle snijpunten met de x-as: (3 , 0), (34 , 0)  en ( 53 , 0)  . d. Een periode is 2 . Er passen 500 perioden in het interval



0,1000 en er passen



1000

2 159 perioden in



0,1000



. e. 1 2 (1 ) 1 f    f( 2 ) 0   f(5 ) 1  1 2 (9 ) 1 f    1 2 ( 6 ) 1 f     f(18 ) 0  11. a. 2 2 2 1 3 CD   b. 3 1 2 2 sin 60 CD 3 AC     c. 1 2 sin 30 AD AC    12.

a.  R 45_{, dus}VPQR_{is een gelijkbenige driehoek (gelijke basishoeken).} Dus QR QP 1. b. _PR_ ₁2_₁2 _ ₂ c. 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 sin 45 QR 2 PR       o 13. a. 1 1 1 6 6 2 sin(2 ) sin( ) b. 1 5 1 6 6 2

sin( ) sin(1 )  en ook 5 5 1

6 6 2 sin(7 ) sin(1 )  14. a. 5 1 1 6 6 2 sin( 1 ) sin( ) d. 1 1 2 2 sin(4 ) sin( ) 1 b. 1 1 4 2 sin(1 )  2 e. 1 1 1 3 3 2 sin(2 ) sin( ) 3 c. 2 1 3 2

sin( )  3 f. sin( 3 ) sin( ) 0    

15.

a. 1 '

6

cos OP '

OP OP

   waarbij P’ de projectie is van punt

P op de x-as. b. 1 1 6 2 cos 3 P x    en 1 1 6 2 sin P y    . c. 1 1 1 1 3 3 2 2 (cos1 , sin1 ) (  , 3)

d. Als P in het punt (0, 1) of in (0, -1) is: 1 2 x  of 1 2 1 x  . e. 16.

a. Ja, Bart heeft gelijk. b. naar links: 1 1 1

2, 22, 42, ... of naar rechts: 112, 312, 521, ...

17.

a. Door de grafiek van f 1 omhoog te verschuiven.

b. Door op de grafiek van f een vermenigvuldiging toe te passen ten opzichte van de x-as met factor 2.

2 a

a a a 2a

3 a

x y 0,5  1,5 2 1 -1

(4)

18. a. 1 2 cos 60 AB AC   o b. 3 1 2 2 cos 30 BC 3 AC    o c. 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 cos 45 PQ 2 PR       o d. sin 60 BC cos 30 AC   o o en sin 30 AB cos 60 AC   o o 19.

a. De grafiek van de cosinus is symmetrisch in de lijn x0.

b. 2 1 1

3 3 2

cos( ) cos( )  (de grafiek van de cosinus is puntsymmetrisch in 1 2 ( , 0)) c. 1 1 1 3 3 2 cos(3 ) cos(1 )  20. a. 5 1 1 6 6 2 cos( 1 ) cos( ) 3 f. 2 2 1 1 3 3 3 2

cos(3 ) cos(1 ) cos( )

b. 1 3 1 4 4 2 cos(1 ) cos( )  2 g. 3 1 1 4 4 2 cos( 1 ) cos( ) 2 c. 2 2 1 3 3 2 cos( ) cos( )  h. 3 3 1 4 4 2 cos(2 ) cos( )  2 d. 1 1 2 2 cos(3 ) cos(1 ) 0 i. 1 1 1 6 6 2 cos(5 ) cos(1 )  3 e. 1 1 1 1 3 3 3 2

cos( 2 ) cos(  ) cos( )

21. a. 2 1 3 13 x  en x  d. 5 1 6 16 x  en x  g. x0, x en x2 b. 1 3 4 14 x  en x  e. 1 1 2 12 x  en x  h. 1 2 3 3 1 1 x  en x  c. x0 en x2 f. 1 3 4 4 x  en x  i. 1 2 x  22.

a. De grafiek van g ligt 2 hoger en de grafiek van h ligt 3 lager dan de grafiek van f. b. y 4 sinx

23.

a. De amplitude verandert.

b. Als a een negatieve waarde heeft, dan wordt de grafiek van ysinx ook nog gespiegeld in de x-as.

24. evenwichtsstand amplitude bereik

( ) 2 3sin f x   x y2 3



1,5



( ) 3 8cos f x    x y 3 8



11,5



( ) 10 3sin f x   x y10 3



7,13



( ) 17 20 cos f x    x y 17 20



37 ,3



( ) 0,3 0, 7 cos f x   x y0,3 0,7



0, 4;1



( ) 24 cos f x   x y24 1



23, 25



(5)

25.

a. y 5 sinx y 5 sinx y 5 cosx en y 5 cosx. b. _{f x}_{( ) sin}_ _x_{}gespiegeld in x as _{  }_y _sin_x_3omlaag_{   }_y _{3 sin}_x 26.

a. De grafiek van f is 2 eenheden naar rechts verschoven.

b. De grafiek van f is dan 1 naar links verschoven: beginpunt (-1, 0)

c. 1 6 ( ,1) d. 1 3 c   27. a. De periode verandert.

b. Als 0 b 1 dan wordt de periode groter dan 2 . De grafiek wordt horizontaal uitgerekt. Als b1 dan wordt de periode kleiner dan 2 . De grafiek wordt horizontaal ingedrukt. c. d. 2 b periode_  28. a. 2 2 3 3 b. 1 4 2 _₈_ c. 2 ₂   d. 0,12 20 29. a. (-3, 1) b. 1 2 ( , 0) c. ( 5 ,1)  d. 2 5 ( , 0) 30. a. 2 3 8 b   b. 2 ₁₀ b  3 8 2 1 3 5 b     2 1 10 5 b_  _ _ 31.

a. amplitude: 3 evenwichtstand: y4 periode: 2

1 2 beginpunt: (2, 0) b. 32. amplitude: 4 periode: 1 2 2 1 3 1 1    evenwichtsstand: y2 beginpunt: (3, 6) b 0,5 1  2 periode 4 2 2 2

amplitude evenwichtsstand periode beginpunt

( ) 1 1,5cos 3 h x    x 1,5 y 1 2 2 3  3 (0, -1) ( ) 100 55sin( 20) k x   x 55 y100 2 1 2 (20, 100) ( ) 0, 25 0,75cos(0, 2 ) m x   x 0,75 y0, 25 2 0,2 10 (0, 1) ( ) 900 45cos( 100) n x   x 45 y900 2 1 2 (-100, 945)

(6)

33. a. maximum is 3 voor 1 1 4 14 x  en x  en minimum is -3 voor 3 3 4 14 x  en x  b. maximum is 14 voor x0, x2, x4 en x6 en een minimum -2 voor

1, 3 5

(7)

c. maximum is 5 voor 1 2 1

x  en het minimum is -9 voor 1 2 x  . d. maximum is 4 voor 1

6 1

x  en het minimum is -2 voor 1 2

3 13 x  en x  . 34. a. maximum: 20 minimum: -10 b. 20 10 2 5 d _  _ _. c. 20 10 2 20 5 15 a_ _{ }  _ d. De periode is 80: 2 1 80 40 b_  _ _ e. 1 40 ( ) 5 15sin ( 60) f x    x f. 1 40 ( ) 5 15sin ( 20) f x    x g. 1 40 ( ) 5 15cos f x   x 35. a. maximum: 2 en minimum: 0 2 0 2 1 d_  _ _en 2 0 2 1 a_  _ periode:  _b 2 ₂    en een beginpunt is 1 3 ( ,1) 1 3 1 sin 2( ) y  x  b. maximum: 600 en minimum: -100 600 100 2 250 d_  _ _en 600 100 2 350 a_  _ periode: 52 2 1 52 26 b_  _ __{en een beginpunt is (0, 600)} 1 26 250 350 cos y  x 36. a. periode 1,252 5 seconden

b. Het minimum is 1, 2 0, 7 0,5  liter. c. 2,4 0,5 2 1, 45 d _  _ _en 2,4 0,5 2 0,95 a_  _ De periode is 1,5 5 7,5  2 4 7,5 15 b_  _ _ Dus: 4 15 1, 45 0,95sin h  x 37. a. Er zijn 6 oplossingen.

b. De top van de grafiek ligt bij 1 2

x  , dus 1 3 a  . c. De grafiek is symmetrisch in de lijn 1

2

x  . Dus 1 1 1 1 2

2 (2 3 ) 3 3

b         

d. c ligt een periode verder dan a: 1

3 2 c  e. 1 2 3 2 13 e      , 2 1 3 2 13 f       , 1 3 a  , 2 3 b , 1 1 3 2 23 c     en 2 2 3 2 23 d       . 38. a. 1 9 x  b. De periode is 2 2 3  3. c. d. 2 3 3x  2 9 x  Dus: 1 2 7 8 9 , 9 , 9 , 9 , x  x  x  x  5 4 9 9 1 1 x  en x  x y  2 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5

(8)

39. x 3 (12 3) 312 12 40. a. 1 2 sin 2x b. 1 2 6 cos( x) 3 2 5 1 6 6 5 1 12 12 2 2 ( : ) x x x x periode            1 1 2 2 3 1 1 1 2 4 2 4 cos( ) 2 1 x x  x      Opl: 11 7 1 5 12, 12, x 12, 12    . 1 1 2 32 ( : 4 ) x   x  periode  Opl: 1 1 2 , 32 x  x  c. 1 1 3 2 1 sin( x ) 1 d. 1 4 1 2 cos( x ) 0 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 6 2 sin( ) ( : 2 ) x x x x x periode                    1 1 4 2 1 1 1 2 4 3 4 3 5 1 12 12 cos( ) 1 1 ( : 2 ) x x x x x periode                   Opl: 1 1 5 6 , 2 16 x   x  en x  Opl: 1 5 1 12 , 112 212 x  x  en x  41.

a. Er zijn twee oplossingen op het interval



0, 2 .



b. x0,85  x2, 29 c. De periode is 2 : x0,85 2  7,13  x2, 29 2  8,58 42. a. cosx0, 27 b. sin 2x0,9 1,30 4,99 x  x 0,56 1,01 ( : ) 0,56 1,01 3,70 4,15 x x periode x x x x           c. sin(x1, 2) 0,85 d. 3 5cos 0,7 x6 14,78 15,89 x  x 6 7 1,32 1,32 ( : 2 ) 1,32 1,32 7,65 10,30 x x periode x x x x              43.

a. Voer in: y1 1 2 cosx en y2 1,6 intersect: x1,88  x4, 41  x8,16 b. 1.88, 4.41  8.16,3



c. A: 4sin(x) 2,3 voor 3.75,5.67  10.04,11.95 B: 6 cos 2x 5 voor 1.86, 1.28  1.28,1.86 C: 3 2sin 0,1 x1,3 voor 41.58,52.67 44. a/b/c. d. periode is 2 2 5 5 en de amplitude is 2. grafie k a periode b I 5 1 4 3 2 5 1 2  _ _ 2 5 2 5 6 2    II 5 4 3  12 2 1 12 6 III 5 2 2  4 2 1 4 2

(9)

e. 1 3 ( ) 2sin f x  x 1 3 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 2 2 2sin 1 sin 2 ( : 6) x x x x x x periode               ( ) 1 f x  voor



1 1 1 2 2 2 0,  2 ,6 45. a. 1 1 3 2 sin(x ) 2 b. 1 2 1 2 cos x2 3 1 1 1 3 4 3 4 7 1 12 112 ( : 2 ) x x x x periode                1 2 1 1 2 2 2cos 1 cos x x   Opl: 11 7 1 12 , 12 112 x   x  en x  1 1 1 2 2x3  2x13 2 1 3 33 ( : 4 ) x   x  periode  c. sin(2x) 1 0  Opl: 2 1 2 3 , 33 43 x  x  en x  1 2 1 2 1 4 sin(2 ) 1 2 1 2 2 1 ( : ) x x x x periode              Oplossingen: 3 3 1 1 4 4 4 4 1 , , 1 x   x   x  en x  46.

a. het maximum is 3 en het minimum -3: 3 3 2 0 d _  _ b. 3 3 2 3 a_  _ c. de periode is 6: 2 1 6 3 b_  _ _

d. een beginpunt is (-4, 0): c4. Een ander beginpunt is (2, 0): c 2

e. 1 3 3sin ( 2) y  x 47. a. 1 4 cosx 0 sin(x ) 0 1 1 1 1 2 2 4 4 3 1 4 4 1 0 ( : 2 ) x x x x x x periode                      De oplossingen zijn: 1 3 1 3 2 , 4 , 12 14 x  x  x  en x  b. maxima: (0.39, 0.85) en (3.53, 0.85) minima: (1.96, -0.15) en (5.11, -0.15) 48.

a. De periode is 6 hokjes: 3 ms. De frequentie is dan 1000 1

3 3333Hz. De amplitude is 4 hokjes: 6 Volt. b. De horizontale as is nu 2 ms groot. Er is dan 2

3 deel van een hele golf te zien.

c. op 0,3 ms per hokje. d.

e. 1000 Hz: 1000 trillingen per seconde; 1 trilling per 1 ms.

x y 0,6 1,2 1,8 2,4 3 1,5 3 4,5 6 7,5 -1,5 -3 -4,5 -6 -7,5

(10)

49.

a. De periode is 2 1

200 100. Dus 1 trilling in 1001 s; en dat komt overeen met 100 trillingen per seconde. b. De periode is 2 1 250 125. De frequentie is dan 125 Hz. c. h t( ) sin1200 t T_1. T_2. a. 1 1 3 2

sin 3    3 d. sin 8 0 g. sin( 3 ) 0  

b. 1 2 sin( 2 ) 1 e. 1 1 6 2 sin( 7 )  h. 1 2 sin 4  1 c. 3 1 4 2 sin   2 f. 3 1 4 2 sin1    2 i. 5 1 6 2 sin( 3 ) T_3. a. 3 1 4 2 cos 2    2 c. 1 2 cos( ) 0 b. 2 1 3 2 cos( 1 ) d. 5 1 6 2 cos 4    3 hoek in graden 45 125 30 229 600 100 hoek in radialen 0,79 2,18 0,52 4 10,47 1 4 1

(11)

T_4. a. 1 2 cos x  b. cosx1 c. 1 2 sinx 2 d. 1 2 sinx  3 2 1 3 13 x   x  x 0 x2 1 3 4 4 x   x  1 2 3 3 1 1 x   x  T_5. a. periode: 2 3 2 ₃   en een beginpunt: (4 ,1)12 b. 2 2 5 5 b     c. 2 5 4 2sin ( 3) y   x T_6. maximum: 1 en minimum: -5 1 5 2 2 d_  _{ } _en 1 5 2 3 a_  _ periode: 10 2 1 10 5 b_  _ _ een beginpunt: (6, -2) 1 5 2 3sin ( 6) y    x T_7. a. 1 2 cos 2x 3 b. 1 1 1 2 3 2 1 2sin(x ) 2 5 1 6 6 1 11 12 12 2 2 1 ( : ) x x x x periode            1 3 1 1 3 2 2sin( ) 1 sin( ) x x       Opl: 1 11 1 11 12 , 12 , 112 , 112 x  x  x  x  1 1 1 5 3 6 3 6 x     x    1 1 2 16 ( : 2 ) x   x  periode  c. 2 cos(x) 2 d. 1 3 5 3sin( x ) 2 1 2 3 1 4 4 3 3 4 4 cos( ) 2 1 ( : 2 ) x x x x x periode                    1 3 1 1 3 2 1 6 sin( ) 1 ( : 2 ) x x x periode           Opl:



3 3



4 4 , ,        Oplossing: geen T_8. a. 2 2 1 3 3 2 ( ) sin 3 1 f  a   a  b. 2 3 2 ₃ b     1 2 1 2 3 3 3 a  _c. 1 2 1 2 sin 2 y  x T_9.

a. 20 trillingen per seconde, ofwel 1 trilling in 1

20 0,05s. en de amplitude is 5 mm. b. u t( ) 5sin(40 ) t

c. Voer in: y15sin(40x) en y2 4 intersect: x0, 007 en x0, 018 Het 0,018 0,0070,05 0, 2

 _

deel van een periode.

T_10. Het maximum is ongeveer 51,5 cm en het minimum -77 cm.

51,5 77

2 12,75

d     en a 51,52 77 64, 25 

 

Een periode is ongeveer 12 uur en 25 minuten 2

12,42 0,506 b_  _ Voor een cosinusfunctie is een beginpunt (10,23; 51,5)

12,75 64,75cos 0,506( 10, 23)