A mixture approach to blood perfusion
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Huyghe, J. M. R. J., Oomens, C. W. J., Campen, van, D. H., & Arts, M. G. J. (1988). A mixture approach to blood
perfusion. In K. L. Ripley (Ed.), Computers in cardiology (pp. 339-342). IEEE Computer Society.
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Published: 01/01/1988
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A M I X T U R I A P P R O A C H T O B L O O D P E R F U S I O N J a c q u e s M . H u y g h e o , C e e s W . 0 o m e n s + , D i c k H ' v a n c a m p e n + ' T h e o A r t s o , o D e p t . o f B i o p h y s i c s , u n i v . o f L . i m b u r g , M a a s t r i c h t , T h e N e t h e r l a n d s , - D e o t . o f M e c h . f n g . , ' Ë i n d h o v À n U n i v . o f - Í e c h n . , E i n d h o v e n , T h e N e t h e r l a n d s T o u n d e r s t a n d t h e p h y s i o l o g i c a l f u n - c t i o n - o f v i t a l ; ; g ; ; ; - ; n e e d to k n b w th e r e g i o n a l p e r f u s i o n o f i t ' Ë t i t t r . . B e c a u s e o f t h e l a r g e n u m b e r o f m i c r o -r Ë i t Ë -r ' i - p À i u n ' i t v o t u m e , t h e a n a l y s i s o f p e r f u s i o n t h r o u g h a r e g u l a r n e t w o r k a n a l y s i s is - t e d l o u s a n o i í m e - ó o n s u * i n g . ï , l e f o r m u l a t e a n d v e r i f y a m i x t u r e ; É ; ; r t o f b 1 ó o d p e r f u s i o n , w h i c h t r a n s f o r m s t h e à i i i . Ë t . n e t w o r k o f m i c r o v e s s e l s i n t o a c o n t i n u u m ' I n t r o d u c t i o n F l u i d m o t i o n t h r o u g h s a t u r a t e d p o r o u s m e d i a ' s u c h a s s o i l 1 , c a r t i l ' l a g e z o r s k i n 3 is u s u a l l y d e s c r i b -e O u s i n g - O a r c y ' s 1 á w . . D a r c y ' s la w i s a n e m p i r i c a 1 . í á w - i" i i v e o i r o m t h e e x i e r i m e n t s o f D a r c y a n d R i t t e r 4 . A s o i l s p e c i m e n w i t h l e n g t h L a n d c r o s s -s e c t i o n A -s a t u r a t e d w i t h w a t e l i -s -s u b j e c t t o a ó . Ë t . u . " g i j a i e n t ( P f P ) l L . T h e w a t e r f l o w t h r o u q h t h e s p e c i m e n i s m e a s u r e d f o r d i f f e r e n t ; ; ; ; ; i ; . - s i u a l ! ^ t i , s p e c i m e n . r o s s - s e c t i o n s a n d í f i ; ; ; : o à r c v á n a h i t i " " f o u n d th a t t h e i r r e s u l t s o b e y e d t h e f o l l o w i n g 1 a w : Q / A = K ( P 1 - P 2 ) / L ( 1 ) ' i n which K is the permeability coeff.icient' de-p..aàni upon the pore geometry of the specimen t a n d t h e v i s c o s i t Y o f ' w a t e r ) à l Á i i t h e s p e c i f i c f l o w o r f l u i d f l o w p e r u n i t Ë i , i ' r ' i r . i i u u ï t = l u i d + s o l id ) . A t t h i s - p o i n t i t i s i m p o r t a n t t o o b s e r v e t h a t D a r c y ' s I a w i s a r e l a t i ' o n b e t w e e n a v e r a g e f l o w a n d a v e r a E e - p r e s s u r e u i r i à t i o n i t f r r o u g h th ó p o r o u s m e d i u m ' - F l o w a n d D r e s s u r e a r e n o t m e a s u r e d a t t h e l e v e l o f t h e l n d i v i d u a l p o r e b u t r " a t h e r a s t h e a v e r a g e s o v e r a n u m b e r o f P o r e s . D a r c y ' s l a w ( e q . ( 1 ) ) h a s ' b e e n . g e n e r a l i s e d t o ï ï t ó i l o i . . t - i ï r e ' , - s t è á á Í s t a t e , t h i e e - d i m e n s i o n a l i l ; ; ; ; ; ; - f l o w ' t h r o u s È a s a t u r a t e d p o r o u s m e d i u m a c c o r d i n g t o : l a w w h i c h i n c l u d e s fl o w b e t w e e n m i c r o c i r c u l a t o r y c o m p a r t m e n t s . j Theory T h e a r t e r i o v e n o u s p a r a m e t e r i s a l o g i c a ' l p a r a m e t e r " n i . n i i i n t r o d u c e d t o d i s t ' i n g u i s h t h e d i f f e r e n t m i c r o c i r c u l a t o r y c o m p a r t m e n t s i n a c ^ o n t i n u o u s i u i t ' i o n . M a n y d i f f e r e n t d e f i n i t i o n s o f t h e x 0 -p a r a m e t e r a r e p o s s i b l e . T h e x O - P a r a m e t e r s h o u l d m e e t t w o c o n d i t i o n s : i t s h o u l d b e a c o n t i n u o u s i u n c t i o n o f s p a c e a n d t h e c o r r e l a t i o n b e t w e e n x O a n d t h e b l o o d p r e s s u r e s h o u l d b e a s g o o c a s p o s -i -i Ë r J l n a n y g -i v e n a r e a o f t h e t -i s s u e ' I n t h -i s t t u a v , i h . à r t á r i o v e n o u s p a r a m e t e r x n i s d e f i n e d t h r o u q h o u t t h e m i c r o c i r c u l a t o r y b e d i n - s u c h a w a y ; i i ; ; - ; ; - Ë i . ; à t r a v e l s i n t h e m i c r o v a s c u l a t u r e ' i t s x ^ - v a l u e r i s e s p r o g r e s s i v e l y t h r o u g h o u t i t s . ó u " r . , f r o m n e g a t i v e v a l u e s in t h e a r t e r i a l v e s -i e l s t É r o u g h t h à z e r o in t h e c a p i l l a r i e s ' t o p o s i -t i v e v a l u e i i n -t h e v e n o u s v e s s e l s ' i h e a r t e r i o v e n o u s p a r a m e t e r x 0 i s c h o s e n n e g a t i v e f o r a r t e r i a l v e s s e l s a n d p o s i t i v e f o r v e n o u s v e s -t á -t . . n -t a b r a n c h i n g p o i n t , t h e a b s o l u t e v a l u e o f x ^ e q u a l s
x o = t ( D 1 + D 2 ) / 2 o . l t / t
Ab stract í 1 \ a n d t h e w h i c h : Q i s t h e ( i s t h e ï n v e r s e l Y t l u 1 0 . v p i s t h e n = - K' L P
s p e c i f i c f l o w v e c t o r . p e r m e a b i f i t y t e n s o r - ( i s s - v m m e t r i c ' p r o p o r t i o n a l t o t h e - v i s c o s i t y o f ( a v e r a g e ) P r e s s u r e g r a d i e n t ' w i t h : u . - D ^ : d i a m e t e r o f t h e t w o l a r g e s t v e s s e l s' L ' t r e a c h i n g t h e b r a n c h i n g p o i n t ' D c : a c h a r a c t e r i s t i c d i a m e t e r ' I n b e t w e e n b r a n c h i n g p o i n t s t h e a r t e r i o v e n o u s á u . u * t . t v a r i e s l i n e a r l y w i t h d i s t a n c e ' I f w e Ë n à . ' t à - ó ^ = r o u m , t h e a r t e i i o v e n o u s p a r a m e t e r w o u l d t h e n b e i n t n e o r d e r o f - 1 0 f o r a r t e r i o l e s w i t h a à ï á t . t e . o f 1 0 0 u m a n d i n t h e o r d e r o f + 2 0 f o r v e n o u l e s w i t h a d i a m e t e r o f 2 0 0 u m ' W i i t r t n e c h o s e n d e f i n i t i o n o f t h e a r t e r i o v e n o u s o a r a m e t e r . w e c a n d e f i n e m i c r o c i r c u l a t o r y c o m p a r t -' i l ; ; ; - ; l -' -' J i t e r i o v e n o u s p a r a m e t e l i n t e r v a l s ' ' I n p á r t i c u f a r , w e c a n d e f i n e a n i n f i n i t e s i m a l c o m -p a r t m e n t rb ( x O ) d x ' a s t h e v o l u m e o f a l l b l o o d w . i t h a n a r t e r j o v e n o u s p a r a m e t e r b e t w e e n x n a n d x 0 + d x ' i n a n e l e m e n t a r y v o l u m e r ' T h e v o l u m e r i s t h e u ó t * u ó v e r w t r i à t r w e a v e r a g e ' T h e ' c h a r a c t e r i s t i c f à n ó i f l o f r i s c h o s e n s u f f i c i e n t l y l a r g e s o a s t o o i ó í i a e a f a i r c o n t i n u u m r e p r e s e n t a t i o n o f a l I [ à i i . ó n t i n u o u s ) p r o p e r t i e s o f t h e m i c r o c i r c u l a t o r y 339 _ê.---,EEt:: ' W e w a n t t o d e v e l o p a n a l t e r n a t i v e f o r m o f D a r c y ' s 0276-6574/88/0000/0339$01.00 @ 1 988 IEEEb e d , a n d s u f f i c i e n t l y s m a l l s o a s t o a v o i d t h a t m a c r o s c o p i c v a r i a t i o n s o f t h e s e p r o p e r t i e s a r e s m o o t h e d o u t . A n y p r o p e r t y f o f t h e b l o o d c a n o e a v e r a g e d o v e r t h e i n f i n i t e s . i m a l b l o o d c o m p a r t m e n t s D ' r ( x 0 ) 0 x 0 : < f > * = . 1 f _ f d r ( 4 ) h . , h r - u r" (xo)dxo j r" (xo)&o N o t e t h a t a l t h o u g h x n i s a f u n c t i o n o f s p a c e o n t h e m i c r o l e v e l , t h e a v e r a g . i n g p r o c e d u r e ( 4 ) d e _ f i n e s t h e a v e r a g e (f ) * a s a f u n c i i o n o f x ^ a n d t h e p o s i t i o n v e c t o r x o f t h e c e n t r o i d o f r , w h i c h a r e t w o i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . T h e s e tw o v a i i a b l e s a r e j o i n e d t o g e t h e r t o a four component v e c t o r : J : = F i n i t e e l e m e n t fo r m u l a t i o n W e d e v e l o p e d a n e i g h t n o d e b r i c k f i n i t e e l e m e n t w h i c h i s a b l e t o a n a l y s e 1 o w R e y n o l d s fl o w ( R e < l ) i n t w o - d i m e n s i o n a l m i c r o c i r c u l a t o r y n e t w o r k s . T h ó e l e m e n t i s b a s e d u p o n t h e G a l e r k i n - m e t h o d , a n d i s a b l e t o c o p e w i t h n o n - l i n e a r e l a s t i c v e s s e l w a l l a n d t i m e - d e p e n d e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s . H o w e v e r . i n t h e a p p l i c a t i o n t h a t f o l l o w s , w e u s e t h e e l e _ m e n t f o r s t e a d y s t a t e f l o w t h r o u g h a r i g i d v e s s e l n e t w o r k .
. :..""
; ' ]
F o l l o w i n g e q . 4 i t i s p o s s i b l e t o d e f i n e p r e s s u r e s (p ) a n d v e l o c . i t i e s ( Q ) f o r e a c h m e n t , a n d s h o w m a t h e m a t i c a l l y T h a t t h e r e s i m p l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e s e a v e r a g e d t i e s : - . . 3 p d =- Á- ' i r -p r o v i d e d t h a t a t t h e l e v e l o f t h e i n d . i v i d u a l v e s _ s e l a P o i s e u i l l e - t y p e e q u a t Í o n h o l d s i n w h . i c h th e v l s c 0 s r t y - c a n . . t _ e . p e n d o n t h e l o c a l d i a m e t e r . E q u a _ t i o n ( 5 ) i s d e f i n e d i n a f o u r - d i m e n s i o n a l c o n t i _ n u u m , b e c a u s e b o t h € a n d p d e p e n d o n t h e p o s i t i o n v e c t o r x o f t h e c e n t r o i d o f r a n d x n . Q 1s a four c o m p o n e n t v e c t o r : \ J -i n w h -i c h Q O r e p r e s e n t s t h e a r t e r -i o v e n o u s f l o w and Q i s t h e x s p a t i a l f l o w v e c t o r . A l s o t h e p r e s s u r e g r a d r e n t - : - p i s f o u r - d . i m e n s i o n a l- =
: F i g . 1 A v a s c u i a r t r e e w a s m i l l e d i n a D e r s D e x p l a t e a c c o r d i n g t o a p h o t o g r a p h by Smaje ^ + ^ l v Ex per i ment A ! t [ ] s p o i n t w e w a n t t o c o m p a r e the results of t h e f i n i t e e l e m e n t m i x t u r e m o d e l p r e s e n t e d a b o v e a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s . D u e t o t h e r e q u i r e m e n t o f s t _ a t j s t i c a l r e p r e s e n t a t i v i t y o f t h e number of v e s s e l s w i t h i n e a c h c o m p a r t m e n t , t h e e x p e r i m e n t s h o u l d i n v o l v e m e a s u r e m e n t s o n a v a s c u l a r n e t w o r l ( w h i c h i s a d e n s e a s p o s s i b l e . T h e d e s i g n o f t h e e x p e r i m e n t i s a compromise be_ t w e e n f e a s i b i l i t y a n d a c c u r a t e m o d e l l i n q o f t h e r e a l _ i t y . T h e e x p e r i m e n t a l e q u i p n e n t a t o u r d i s _ p o s a l d i d n o t a l l o w u s t o s t u d y a m i c r o v a s c u l a r t r e e i n f i v i n g t i s s u e . A s c a l e m o d e l w a s t h e r e f o r e d e s i g n e d , w h i c h r e p r o d u c e d a s a c c u r a t e l y a s p o s _ s r D I e t h e g e o m e t r y o f a v a s c u l a r t r e e i n l i v i n g t i s s u e . ( ] u r c h o i c e f e l l o n a m i c r o v a s c u l a r n e t w o r k o f t h e c r e m a s t e r m u s c l e o f a r a t , p u b l i s h e d b y S m a j e e t a 1 . 6 . ï h i s c h o i c e i s m o t i v a t e d b y t h e f a c t t h a t t h e p h o t o g r a p h o f S m a j e shows the lar_ g e s t m i c r o v a s c u l a r n e t w o r k that we found in the l i t e r a t u r e . A p e r s p e x s c a l e m o d e l o f a b o u t 0 . g m b y 0 . 8 m w a s m a n u f a c t u r e d , r e p r o d u c i n g t h e t r e e o f v e n o u s v e s s e l s s e e n o n f i g . Z o f t h e a b o v e p u b l i _ c a t i o n ( f i g . 1 ) . A s t h e p h o t o g r a p h r e p r e s e n t s a t i s s u e s a m p T e o f a b o u t 0 . 0 0 g m , t h e m a g n i f i c a t i o n f a c t o r i s a b o u t 1 0 0 . ( 5 ) a v e r a g e d compart-":l:;;,:}(-l
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/ ] - 6 a - . q - r i i f w e a s s u m e th e b l o o d i n c o m p r e s s i b l e a n d t h e v e s s e l w a l ) s r i g i d . A n e q u i v a l e n t e q u a t Í o n c a n D e d e r i v e d f o r t h e c a s e o f e l a s t i c v e s s e l w a l l s 5 . ( B ) 340T h e p e r s p e x p l a t e -was mounted i n a f r a m e a n d c o n . . . t á J i i t t ' . i t w o l a r g e s t v e s s e l s to a n o i l r e s e r -, o i 1 . o f 3 m 3 v i a a p r ' e s s u r e - r e g u l a t i n g b u f f e r ' T w o v a l v e s w e r e m o u n r e o b e t w e e n . l . l t O y l l : : ' ^ a n d t h e
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