Symmetrie en antimetrie: college WVI van prof.ir. W.L. Esmeijer op 18 mei 1961

Symmetrie en antimetrie

Citation for published version (APA):

Bergmans, J. (1961). Symmetrie en antimetrie: college WVI van prof.ir. W.L. Esmeijer op 18 mei 1961. (DCT rapporten; Vol. 1961.006). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1961

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

SYMMETBIE EN AWTIMETRIE

1 . De %lakke1* symmetrische figuur.

Hieronder verstaan

nit meerdere delen, waarvan de swaartepilnten van alle dwarsdoorsneden zich in é&n vlak bevinden, terwijl ook van al die dwarsdoorsneden

86n

van de hoofdtraagheidsasssen in dat vlak

I%&,

Uit deze definitie volgt logisch, dat ook de symmetrie-as van de fi- guur in het genoemde vlak ligt. Tevens volgt hieruit, dat uitwendbge belastingen werkend in dit wvlak van de figuuri1, uitsluitend ver- plaatsingen in dat vlak tengevolge kunnen hebben.

Volgens Maxwell (wederkerigheidswet) is de verplaatsing in de richting van een eenheidskracht door de invloed van een andere eenheidskracht gelijk aan de verplaatsfng in de richting van die tweede eenheidskracht onder invloed van de eerste eenheidskracht.

we een symmetrische figuur, eventueel opgebouwd

A l s dus de

2

het vlak van de singen geven loodrecht op dat

vlak werkende krachten geen verplaatsingen geuen Dit geeft ons de mogelijkheid v

vervormingsvraagstuk. @e kunnen rs de in het vlak van d e fi@nr werkenee krachten gescheiden be len van de loodrecht dasrop wer- kende. De eerste $even slechts vemormingsgrootheden

&

het rl& va^

de figuur en de tweede slechts vervomingsgrootheden loodre&% daarop.

B i j deze scheiding moeten we wel bedenken, dat in het vlak-werkende krachten slechts koppels kunnen geven, waarvan de ve

ur werkende krachten

,

dan zullen de loodr

een eenvoudiger aanpak van heet

or loo&@&& op t. Eveneens kannen koppels, waarvan de ctor het

vareesmakt worden door krachten, die feearecht zijn. De moaenten van de e>erstgenmmde koppels b

dus tot de in het vlag ea de meinenten van de laatstgenoemde koppels tot de loodrecht op het vlak werkende belastingsgrootheden.

Voor de vervortningsgrootheden geldt hetzelfde. Een hoekverdraai waarvan de vector loodrecht op het vlak staat, beeft uitsluitea plaataing in bet vlak tengavolge en wordt clna geroken2 eot de mingsgrootheden in het vlak. Een hoekverdraaiiirg, waarvan de

-

in het vlak ligtTheeft uitslaitend verplaatsingen loodrecht

vlak tengevolge en wordt das gerekend tot de vervormingsgroothedehi loodrecht op . het vlak.

1.1. Algemene regels voor het behandelen van d e verschillende belaa- t ingsgevalle n e

De vier belastingsgevallen, waarvoor we deze algemene regels willea gsven, zija:

A, Symmetrische belasting ia het via?%,

B.

Antimetri

C. Symmetris belasting loodrecht BP Bet vlak, D. Antimetriscke belasting loodrecht op het vlak*

- 2 -

1.1.1. A. Symmetrische beìastiilg i n het

vlak.

C '

Door de figuur o v e r een hoek n OBI de syaunetrfe-as SS' t e draaien k r i j g e n we p r e c i e s d e s e l f d e toestaind terug. 1.1,2+

B.

hatimetrische belaPlting i n h e t vlak.

/ -

5

I' Fig. 2

We kunnen d e z e l f d e toestand sleehts t e r u g k r i j g e n als

w e na elkaar twee stappen doen, n a m e l i j k

1 ) de kraehten niet

-1

vermenigvuldigen

2) de figuur o v e r een hee% R om SS' draaien.

1.1.3. C. S w e t r i s c h e belasting loodrecht op het vlak.

';;i,PJ%xa- g e l d t d e z d f d e regel a15 genoemd onder 9 .'i t 2 ,

We hebben twee stappen nodig om d e z e l f d e toestand t e m g t e k r i j g e n , namelijk:

1 ) de krachten m e t

-1

vermenigvuldigen

2) de f i g u u r e v e r een hoek n om S5* draaien,

1 .i .9. '

5

'-

F

Fig.

4

5'

Bier k a n men weer, n e t aas b i j het onder l * l . l * g e n ~ e ~ ~ e g e v a l van s y m e t r i s c h e belasting i n het vlak van de f i -

guar, v o l s t a a n met d r a a i e n o v e r een heek ~f am de spruetr%e-

as.

?*2., Algemene r i c h t l i j n e n

voor

groetheden i n &e smmetris-doorslede.

We s n l l e n , 5owel voor d e iawendige balastingsgroetkeden a19 voor gsgrootheden van de symmetrie-doorsnede, nagaan, welke

la er b i j de verschillende b e l a s t i n g s g e w a l l e n t e Isr- nnleren z i j n .

1.2*3* B e l a s t i n g i n h e t vlak.

We bebben Bier das te deen met de twee b e l a s t i n g s g e v a l l e n A e n B van punt 1.1.

In

f i g .

5

z i j n voor een k l e i n s t & j e vm de fignur, &at %Loh op de symmetrie-as SS' bevindt, de inwendige b e l a s t i n g s g r o o t - heden aangegeven.

I n fig.

6

i s h e t z e l f d e gedaan v o o r de vervoraingsgroot- heden. I , /

s/

kL-2)

/ -

₅

!x

A

9

./'

.I /

N+DF.

m

Fig*

5

Fig.

6

Voor g e v a l

A.

s ~ ~ t r i ~ c h e b e l a s t i n g i n h e t vlak, g e l d t Be voorwaarBe:

zelfde toestand terug na d r a a i i n g ovez hoek n om SS'. Das: en

E

z i j n bestaasbaar, echtsi.

D

s 0 ,

Ea:

f ie bestaanbaar, e c h t e r cp

en

f, s i j n nuie

Y

Boor geval

B.

a n t ~ e t r i s ~ ~ e b e l a s t i n g i n h e t vlakII g e l d t de vooma9sde:

z e l f d e toestand t e r u g na twee stappen, natpelijk:

1)

de krachten met -'i vermenigvuldigen; fine

aowel de inwendige belastingsgrootaleden a l s de rer- vomingsgroothe

2 ) Be fSgmr een n ara S%* draaâen.

angcgeven i n fig.

7

en VOOT de vemoraingsgroothed toestand aangegeven i n fig& 8,

If I

5

**

.----

-I I

N

-A--

IY

y / *

1

m

Fig.

8

Pig. 7

m- U a C I is *&&&lijk, &&c, ya ye tgerBe fip"ny =lp&*..

i n overeenstemming s e t f i g . 4 kan z i j n , als:

A l l e e n

D

is dus bestaanbaar,

Eveneens i s d u i d e l i j k , Bad na d e tweede s t a p f i e - 8

slechts i n overeenstemzing met f i g * 6 kan z i j n , als:

cp en f x z i j n e c h t e r bestaanbaar,

pi

en N

n u l z i j n .

f I

o.

Y

- 4 -

w~-61/fi

1.2.2. Belasting Ioodreeht op het vlak.

Dit

zijn dus de belastings$evallen C en

D

van punt 1.1.

In fig.

9

zijn vooz een klein stukje van de figuur, dat siah op de symaetrie-as SS* bevindt, de inwendige belas- tingsgrootheden aangegeven.

In fig. 10 is hetzeifde gedaan POOP de vervormings

Beden.

Boor Reval C, spmetrische belasting loodrecht op het vlak, geldt de voorwaarde:

zelfde toestand terng na twee stappen,

1 ) de krathten met -4 vermenigvuldigen, rbij zowel. de b ~ ~ ~ t ~ ~ g ale s gde ~ ~ r V ~ ~ n g S g r Q O t h e a e ~ ~ ~ o ~ ~ e d ~ ~van

teken oakeren

l i j k

2) de figuur over een hoek a em SSs draaien.

Na stap 1 krijgen we voor de inwendige ~ e l a s t i n g s ~ ~ e t ~ e d e ~ de toestand aangegeven in fig. 11 en voor de vervordngs-

grootheden de toestand aangegeven in fig, 12,

I

SI

I

Fig. 11

E,* As & i C e l i j ' l , &.$t overeenstemming 81Lee=

Eveneens ie dizidelijk, dat na de tweede stap fig. 12 slechts in oweseenetemxing xet f i g , 10 kan zijn, 31s:

q en I z.ijia eoàtes bestasubaar. is hestaagbear. %Y tp nul is.

Y

x % C J - 5 -

Voor geval

D,

antimetrische belasting loodrecht op het v l a k ,

geldt de voorwaarde:

zelfde toestand terag na draaien om SS'. Uit de figuur 9 zien we dus datr

nul moet

zijn.

D

Uit figuur 10 zien we, Bat: is echter bestaanbaar.

%

en Rw zijn echter bestaanbaar.

fs en nul moeten rsijn.

5

(pr

3-2.3. Samenvattiau van de resultaten in tabelvorm.

vervcraoings-

selen de grootheden, die bestaanbaar of nul zijn, elkaar dus teXkene af,