uitwerkingen 5 havo D H5

Hoofdstuk 5:

Regels voor differentiëren

1. a. f x'( ) 3 b. _{p q'( ) 24 q}5_10q3 c. _{k' 3p}2_1,5 2. a. _{g t( ) 3 ( t t2 ) 3t}3 _{ t}2_6t4 _{g t'( ) 6 t 24t}3 b. _{k (u}2_1)(u2_{ 1) u}4_{1 k' 4 u}3 3. a. 5 5 4 ( ) 4 f x x x    6 6 20 '( ) 20 f x x x      b. '( ) 5 2 g x x   c. 1 2 1 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 h x  x x x  x x  x  x  x 1 2 '( ) 3 2 3 2 h x  x   x  4. a. 8 8 1 1 3 1 4 4 3 A t t t t        7 1 2 7 3 2 1 ' 32 32 3 A t t t t        b. ' 72 39 2 36 39 2 2 P Q Q Q Q     c. _{R u} 3₍2 _u4_{) u} 3_(2u 1 _u4_{) 2u} 4 _u u           5 5 8 ' 8 1 1 R u u        5. a. _{u x( ) x}2_{5 en f u( )u}6_{: f x'( ) 2 x6u}5 _{12 (x x}2_5)5 b. u t( ) 3 4  t en _{h u( )u}3,7_{: h t'( )  4 3,7u}2,7 _{ 14,8(3 4 ) t} 2,7 c. _{u q( ) 24 q}3,5_{3q en P u( )u}4_{: P q'( ) (84 q}2,5_{3) 4 u}3 _4(84q2,5_3)(23q3,5 _{3 )q} 3 d. _{u x( ) 4 x}3_{x en g u( ) u :} 2 2 3 1 12 1 '( ) (12 1) 2 _{2 4} x g x x u _{x x}       6. a. 1 4 10x 8 0    1 1 4 4 4 1 10 4 8 80 80 2,99 80 2,99 x x x x          b. 1 4 10 ( ) 8 BC f p   p  c. 1 4 1 5 10 5 2 ( 8) 16 ABCD Opp  p  p    p  p d. 1 4 1 4 10 5 2 2 2 ( 8) 4 16 ABCD Omtrek   p   p    p  p

e. Opp' p 16 0 Omtrek' ₅p  4 0 4 ₁₆ 2 2 p p p      1 3 3 ₅ 5 1,71 p p   

De oppervlakte is maximaal bij een rechthoek van 4 bij 6,4 en de afmetingen van de rechthoek waarvoor de omtrek maximaal is zijn ongeveer 3,42 bij 7,15.

7. a. _{f x( ) ( 2  x4)}2 _{ ( 2x4)( 2 x4) 4 x}2_{16x16 f x'( ) 8 x16} ( ) 2 4 u x   x en _{f u( )u}2_{: f x'( )  2 2u   4( 2x4) 8 x16} b. 1 3 1 1 2 1 3 2 2 2 4 8 ( ) ( 4) ( 4)( 4 16) 3 24 64 g x  x  x x  x  x  x  x 2 3 8 '( ) 6 24 g x  x  x 1 2 ( ) 4 u x  x en _{g u( )u}3_: 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 8 '( ) 3 1 ( 4) 1 ( 4 16) 6 24 g x   u  x  x  x  x  x

c. Voor de afgeleide van g is natuurlijk de kettingregel makkelijker: minder kans op rekenfouten. d. 1 2 4 ( ) 3 u x  x  x en _{h u( )u}2_: 2 3 2 1 1 1 1 2 4 4 2 '( ) ( 3) 2 ( 6)( 3 ) 4 18 h x  x  u  x x  x  x  x  x 8. a. A t'( ) 450 t b. A t'( ) 2700 6 36 t t  

Na 36 weken is de snelheid waarmee geloosd wordt groter dan de snelheid waarmee het afval wordt afgebroken. 9. a. _{f x'( ) 3 x}2_10x b. f x'( ) 0 1 3 (3 10) 0 0 3 x x x x       De grafiek is dalend op 1 3 3 , 0 

c. Tot ongeveer x  2 is er sprake van een toenemende daling en daarna een afnemende daling.

d. _{g(x) 3 x}2_{10x moet een minimum hebben; afgeleide gelijk aan 0 stellen.}

2 3 '( ) 6 10 0 6 10 1 g x x x x        e. Bij 2 3 1

x  loopt de grafiek het steilst; de grafiek heeft daar een buigpunt. f. f x"( ) 0 . x y 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

10. a. _{f x'( ) 3 x}2_{12x36 b. f x"( ) 6 x12} 2 '( ) 0 3( 4 12) 3( 2)( 6) 0 2 6 f x x x x x x x            "( ) 0 6 12 2 f x x x   

De grafiek van f is een dalparabool, dus De grafiek van f is afnemend dalend de grafiek van f is dalend (f x'( ) 0 ) op (f x"( ) 0 ) op het interval 2 , 2 . het interval 2 , 6

11.

a. _{g x'( ) 4 x}3_6x2_2

en _{g x'( ) ( x1) (4}2 _{x2) ( x}2_{2x1)(4x2) 4 x}3_6x2_{ dus het klopt.2} b. _{(x1) (4}2 _{x2) 0} 1 2 1 0 4 2 0 1 x x x x         

c. Het minimum van g is 1 11

2 16 ( ) g    . d. _{g x"( ) 12 x}2_12x e. _12x2_{12x 12 (x x 1) 0} 0 1 x  x 

f. In (0, 0) is de helling maximaal en in (1, 1) is de helling minimaal. De punten (0, 0) en (1, 1) zijn buigpunten. 12. a. 1 3 2 3 '( ) 3 8 h x  x  x  x en _{h x"( )x}2_6x8 b. h x'( ) 0 c. h x"( ) 0 3 2 2 1 1 3 3 2 3 8 ( 9 24) 0 0 9 24 0 0 : n x x x x x x x x x D geen opl             2 _{6 8 ( 2)( 4) 0} 2 4 x x x x x x         

h heeft een minimum 0 voor x0 De buigpunten zijn 1

3 (2, 9 )en 1 3 (4, 21 ) d. 2 3 '(2) 6 h  1 3 '(4) 5 h  1 2 1 3 3 3 2 3 9 6 2 13 4 6 4 b b b y x          1 1 1 3 3 3 1 3 21 5 4 21 0 5 b b b y x        13. a. Alleen 3. is juist.

b. f heeft een maximum als f x'( ) 0 en eerst positief is en daarna negatief. Dat is bij

3

x   .

Bij x 1 gaat de grafiek van de afgeleide van negatief naar positief, dus een minimum. c. 2 2 2 3 '( ) 3 2 2 6 2 4 6 f x   x   x  x  x d. 2 3 (3) 27 2 9 6 3 18 18 18 1 f        c    c 17 c  

14. a. p x'( ) 2 x3 en '( ) 1 2 1 2 2 4 2 4 q x x x      b. Voer in: 2 1 ( 3 ) 2 4 y  x  x x dy(6) 73,5 dx  En 1 3 4 4 '(6) '(6) 15 3 p q    15. a. u x( )p x( ) en _{y u( )u}2 _{y x'( )p x'( ) 2 u p x'( ) 2 ( ) p x} b. _{y u( )u}3 _{y x'( ) p x'( ) 3 u}2 _{3( ( ))p x} 2_{p x'( ) 3 p p}2_{ '} c. _{y u( )u}5 _{y x'( )q x'( ) 5 u}4 _{5( ( ))q x} 4_{q x'( ) 5 q q}4_{ '} d. u x( ) p x( )q x( ) en _{y u}4_: 3 3 3 ' ( '( ) '( )) 4 ( '( ) '( )) 4( ( ) ( )) 4( ' ')( ) y  p x q x  u  p x q x  p x q x  p q p q  16.

a. Ja, klopt. Denk om de factor 2pq! b. c. 2(p q ) ( ' p q ') 2 p p ' 2(pq)' 2 q q ' ( ) ( ' ') ' ( )' ' ' ' ' ' ' ( )' ' ' ' ( )' p q p q p p p q q q p p p q q p q q p p p q q q p q q p p q                            17. a. _{f x'( ) 3 (2  x}2_{7) (3 x 8) 4x (6x}2_{21) (12 x}2_{32 ) 18x  x}2_32x21 b. _{g x'( ) 6 x(2x6) 3 x}2_{ 2 (12x}2_{36 ) 6x  x}2_18x2_36x c. '( ) 1 2 (3 2 2 )2 2 2(3 2 2 )(6 2) 2 2 h x x x x x x x x          2 2 2 (3 2 ) 2 2 (3 2 )(6 2) 2 x x x x x x x      d. '( ) 1 1 ( 2) 1 1 2 2 1 2 1 x j x x x x x x             18. a. _{f x'( ) 2 ( x x} 3_{2) ( x}2_{6) 3 x}2 _(2x4_{4 ) (3x  x}4_{18 ) 5x}2 _{ x}4_18x2_4x b. _{f x( ) ( x}2_6)(x3_{2) x}5_6x3_2x2_{12 f x'( ) 5 x}4_18x2 _4x c. Ja, natuurlijk zijn ze gelijk!

d. _{g x( ) ( x x 5)( x 5)x}2_{5x x 5 x 25 '( ) 2 7,5} 5 2 g x x x x    19. a. _{f x( ) ( 2  x}2_x)(3x3 _{4) 6x}5_3x4_8x2_{4x f x'( ) 30x}4 _12x3 _16x4 b. _{K (q1)(4 3 q q} 3_{) q}4_q3_3q2_{7q4 K' 4q}3_3q2_6q7 c. 2 2 1 1 '( ) 2 1 ( 1) 1 2 1 2 1 2 1 x g x x x x x x x x              

20. a. 2 2 1 3 '( ) (2 3) 2 4 ( 3 ) 2 (2 3) 2 4 2 2 4 2 4 x x f x x x x x x x x x               b. 54 1 4 2 '(6) 15 4 73 f     Klopt! 21. a. _{f x'( ) 1 (  x6)}5_{ x 5(x6)}4 _{(x6)(x6)}4_{5 (x x6)}4 _{(6x6)(x6)}4 b. f x'( ) 0 d. f x"( ) 0 4 4 (6 6)( 6) 0 6 6 0 ( 6) 0 1 6 3125 0 x x x x x x y y                3 3 (30 60)( 6) 0 30 60 0 ( 6) 0 2 6 2048 0 x x x x x x y y               

Plot de grafiek: het minimum is -3125. buigpunten zijn (2, -2048) en (6, 0) c. _{f x"( ) 6( x6)}4_{(6x6) 4( x6)}3 _{(6x36)(x6)}3 _{(24x24)(x6)}3 _

_{(30x60)(x6)}3

e. Voor a0 en a3125. In het laatste geval komt het minimum precies op de x-as te liggen. 22. a. f_a'( ) 2(x  x a ) (x a ) ( x a ) 1 (2  x a )(2 x 2a x a) (x a)(3 x a)      b. f_a'( ) 0x  1 3 2 32 3 1 2 3 3 27 0 3 0 0 ( 1 ) x a x a x a x a y y a a a                c. f_a"( ) 1 (3x   x a ) ( x a ) 3 3  x a 3x3a6x2a d. f_a"( ) 0x  1 3 2 16 3 2 1 3 3 27 6 2 ( ) 1 x a x a y a a a       23. a. f x( ) 7x2 2 7x 2 x x     f x'( ) 7 2₂ x   b. 3 3 2 1 ( ) x x 1 g x x x     g x'( ) 2₃ x  24. _{( )} 1 _{( 2)} 1 2 2 x f x x x x x x          1 2 2 2 2 2 1 2 2 '( ) 1 ( 2) 1( 2) 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) x x x f x x x x x x x x x                    

25. a. 2 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (2 3) 2 3 2 3 p x f x p x p x x x x          2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 '( ) 4 ( ) '( ) '( ) (2 3) ( ) 1(2 3) 4 2 3 (2 3) '( ) (2 3) 4 ( ) '( ) (2 3) 4 ( ) (2 3) (2 3) (2 3) p x x p x f x p x x p x x x x x p x x x p x p x x x p x x x x                              b. ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ( )) 1 ( ) ( ) p x f x p x p x q x q x q x       1 2 2 2 2 2 '( ) '( ) ( ) '( ) '( ) ( ( )) ( ) 1( ( )) '( ) ( ) ( ( )) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) p x q x p x f x p x q x p x q x q x q x q x p x q x q x p x p x q x p x q x q x q x q x                     26. a. 2 2 2 2 ( 2) 3 (3 1) 1 (3 6) (3 1) 3 6 3 1 7 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x A x x x x x                    b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3) 2 (2 8) 2 (2 6) (4 16 ) 2 16 6 '( ) ( 3) ( 3) ( 3) q q q q q q q q P q q q q                  c. 2 2 2 2 2 (2 ) 0 5 2 10 '( ) (2 ) (2 ) x x x f x x x          d. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) 1 ( 1) 2 ( 2) (2 2 ) 2 2 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) t t t t t t t t B t t t t                  27. a. 2 2 3 5 3 5 ( ) p p p p 3 5 A p p p p p       A p'( ) 3 b. A p( ) 1 p 12 p    1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 '( ) 2 A p p p p p         c. 2 2 2 2 2 ( 1) 0 7 2 14 '( ) ( 1) ( 1) p p p A p p p          d. 2 2 ( 3) 0 1 1 1 '( ) ( 3) ( 3) p A p p p          28. a. Ja. b. 2 2 (200 ) 172 (172 2752) 1 37152 '( ) (200 ) (200 ) A A K A A A          

Voor iedere A is K'(A) positief, dus is K(A) een stijgende functie, wat inhoudt dat als

A toeneemt (een hoger werktempo), dan nemen de kosten K ook toe.

29. a. 2 2 2 2 2 2 ( 4) 8 8 2 8 32 '( ) ( 4) ( 4) t t t t C t t t           2 2 '( ) 0 8 32 0 4 2 2 C t t t t t         

Dus na 2 uur is de concentratie maximaal.

b. 32

16

'(0) 2

C   mg/liter per uur. c. C'(5) 0,20 mg/liter per uur.

d. Na verloop van tijd is het geneesmiddel helemaal uit bloed verdwenen; C is dan 0.

e. C t( ) 1 2 2 8 4 8 4 0 0,54 7,46 ABC formule t t t t t t         

Dus na 7 uur en 27 minuten moet er een tweede injectie gegeven worden. 30. a. _{f x'( ) 4 x}3_{ (2 x)}3_x4_3(2x)2_{  1 4x}3_{ (2 x)}3_{3 (2x}4 _x)2 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) 1 2 ( 25) 2 25 '( ) ( 25) ( 25) ( 25) x x x x x x g x x x x               c. '( ) ₂1 (2 1) 2₂ 1 2 1 2 1 x h x x x x x x          d. k x( ) 2x 2 x 2 x x     k x'( ) 0 31. a. _8x2 _0 2 ₈ 2 2 2 2 x x     b. c. '( ) 1 8 2 1 ₂ 2 2 8 f x x x x x          2 2 2 8 8 x x x     d. f x'( ) 0 2 2 2 2 8 2 8 4 2 2 x x x x x x         De toppen zijn: (-2, -4) en (2, 4)

tijd (in uren) C (in mg/liter) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

32.

a. In T seconden heeft de auto 1 2 8 4  r 4 v meter afgelegd. 2 2 1 8 4 32 8 v v T v v    

b. In T seconden passeert er 1 auto het meetpunt. Dat is 1

T auto’s per seconde.

c. 1 8 ₂ 32 v A T v    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (32 ) 8 8 2 (256 8 ) 16 256 8 ' 0 (32 ) (32 ) (32 ) 256 8 0 32 32 32 v v v v v v A v v v v v v v                     

Bij een snelheid van ongeveer 5,66 m/s is A maximaal.

33. 2 2 144 ( 5) R P I R R     2 4 3 3 ( 5) 144 144 (2 10) ( 5) 144 144 2 144 720 '( ) 0 ( 5) ( 5) ( 5) 144 720 5 R R R R R R P R R R R R R                     34. a. ( 2)( 1) 2 2 2 1 2 2 1 y x y x y x          b. 1 1 2 2 2 2 ( 1) (2 ) 1 1 1 1 1 x x x x x S x y x x x x x x x                  c. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 (2 2 ) 2 ' 0 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x S x x x               2 _{2 ( 2) 0} 0 2 x x x x x x        A(2, 0) en B(0, 4) 35.

a. De lengte is een kwadratische functie (dalparabool). Die neemt dus een minimum aan. De breedte is een lineaire functie en heeft dus geen uiterste waarde.

b. l t'( ) 2 t 2 0 2 2 1 t t 

 de lengte is minimaal 1 als t 1. 2

BR y RQ1

2

c. O t( )l t b t( ) ( ) (  t 2t2)(t2)t 2t4

d. De oppervlakte neemt een uiterste waarde aan. 2 2 2 3 '( ) 3 2 0 3 2 0,82 O t t t t      

De oppervlakte is minimaal 2,91 cm2 _{als t} _{0,82 s.} e. Nee.

36.

a. Als t heel erg groot wordt is ( ) 6 6 2

3 2 3 t t C t t t     mol. b. 2 2 2 (3 2) 6 6 3 (18 12) 18 12 '( ) (3 2) (3 2) (3 2) t t t t C t t t t            

c. Als t heel erg groot wordt, wordt de noemer heel erg groot en gaat de reactiesnelheid naar 0 mol/minuut.

37. a. g x( ) 0 2 _{4 1 0} 2 5 2 5 ABC formule x x x x          b. 2 1 2 2 2 4 1 4 1 ( ) x x 1 1 4 g x x x x x x            2 3 2 3 4 2 '( ) 4 2 g x x x x x       c. g x'( ) 0 2 3 3 2 3 2 2 1 2 4 2 4 2 4 2 2 (2 1) 0 0 x x x x x x x x x x            

De uiterste waarde van g is 1 2 ( ) 5 g   d. 3 4 3 4 8 6 "( ) 8 6 g x x x x x         3 4 4 3 3 3 4 8 6 8 6 2 (4 3) 0 0 x x x x x x x x          

De coördinaten van het buigpunt: 3 5 4 9

T-1. a. _{q' 15 p}4_{ 3} b. z 1₂(u4 4 )u u2 4u 1 u      2 2 4 ' 2 4 2 z u u u u      c. _{g t( ) (3 7 )(  t t}4_{3 )t}3 _{ 7t}5_24t4_9t3 _{g t'( ) 35t}4_96t3_27t2 d. f x( ) 2 x x 2x 12 x112 x        1 1 2 2 1 _{1 1} 2 2 1 '( ) 1 1 f x x x x x x      T-2. a. _{f x'( ) 15 x}4_30x2 _{en f x"( ) 60 x}3 _60x b. f x'( ) 0 c. f x"( ) 0 2 2 15 ( 2) 0 0 2 2 ( 2, 5 8 2) en ( 2, 5 8 2) x x x x x            2 60 ( 1) 0 0 1 1 (0, 5) ( 1, 12) (1, 2) x x x x x          

d. Op  2 , 1 en 0 , 1 is de grafiek steeds sneller dalend.

e. f'( 1)  15 f'(0) 0 f'(1) 15 15 3 y   x y 5 y  15x13 T-3. a. _{P t'( ) 2 ( t t} 3_{ t) (t}2_{4) (3 t}2_{ 1) 2t}4_2t2_3t4_13t2_{ 4 5t}4_15t2_4 b. '( ) ( 1) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 x f x x x x x x             c. _{K a'( ) 4 a 6a 4 (4 3 ) a}2 _{ 24a}2_{16 12 a}2 _{ 36a}2_16 d. Q p'( ) (5 2 ) 1  p    2 (p5) 5 2  p ( 2p10) 4p15 T-4. a. 2 2 2 ( 3) 1 ( 1) 1 ( 3) ( 1) 2 '( ) ( 3) ( 3) ( 3) x x x x f x x x x                   b. 2 2 2 2 2 2 2 ( 2) (3 2 ) (3 ) 1 ( 2 6) (3 ) 4 6 '( ) ( 2) ( 2) ( 2) x x x x x x x x x x g x x x x                     c. 2 2 2 2 ( 1) (2 1) ( 1) (2 1) '( ) ( 1) x x x x x x h x x x              3 2 3 2 2 2 2 2 2 (2 1) (2 1) 2 2 ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x x               d. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 1 (2 2 ) ( 1) 2 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x j x x x x                 T-5. a. _{f x( ) ( x1)(x2)(x3) ( x}2_{3x2)(x3) x}3_6x2_11x6 2 '( ) 3 12 11 '(0) 11 f x x x f    

b. f x'( ) 11 2 2 3 12 11 11 3 12 3 ( 4) 0 0 4 x x x x x x x x            In (0, 6) en (-4, -6) is de helling 11. T-6.

a. Bert zwemt stroomopwaarts met een snelheid van 1,5 v m/s ten opzichte van de wal. Zijn tijd is dan 500

1,5 v b. 500 500 1,5 1,5 T v v     c. T(0,15) 673,4 s d. 2 2 2 2 500 1 500 1 500 500 '( ) 0 (1,5 ) (1,5 ) (1,5 ) (1,5 ) T v v v v v               2 2 (1,5 ) (1,5 ) 1,5 1,5 2 0 0 v v v v v v         T-7. a. _{f x'( ) ( x1) 2 4(}4_{  x1) (2}3_{ x 1) (x1) (2}3 _{x2) ( x1) (8}3 _{x4) (x1) (10}3 _x2) b. f x'( ) 0 3 1 5 ( 1) 0 10 2 0 1 x x x x         

De uiterste waarden zijn: f(1) 0 en 1 763 5 3125 ( ) 1 f    c. _{f x"( ) ( x1) 10 3(}3_{  x1) (10}2_{ x2) ( x1) (10}2_{ x10) ( x1) (30}2_{ x6) (x1) (40}2_{ x4)} d. Voor x1 en 1 10 x is f x"( ) 0

e. Omdat de dubbele afgeleide daar niet van teken wisselt; de helling blijft stijgen.

f. 1 10 ( , 0.78732) B T-8. a. 12 I x( 5) 12 5 I x   b. 2 2 144 ( 5) x P I x x     c. 2 4 3 3 ( 5) 144 144 (2 10) ( 5) 144 144 2 144 720 '( ) 0 ( 5) ( 5) ( 5) x x x x x x P x x x x                   144 720 5 x x  

T-9. a. f x"( ) x 2 2 1 2 3 2 1 1 6 3 '( ) 2 5 ( ) 5 4 f x x x f x x x x        b. _{y x}3