Hoofdstuk 7: Exponentiële en logaritmische functies

Hoofdstuk 7:

Exponentiële en logaritmische functies.

1.

a. gkwartaal  1 10014 1,14

b. gjaar 1,144 1,689 ghalf jaar 1,142 1,2996

1 3 maand g 1,14 1,045 c. 68,9% 30% 4,5% d. _1,14t _2 1,14

t log2 5,29 kwartalen; dat is na ongeveer 15,87 maanden.

2. De groeifactor per half jaar bij bank B is 1,0248.

De groeifactor per jaar bij bank B is _1,02482 _{1,0502. Bank B geeft dus 5,02% rente per jaar} en is dus iets voordeliger dan bank A.

3. 2 622 432 g  1,44 2 896 622 g  1,44 2 1290 896 g  1,44

De groeifactoren per 2 x-eenheden is vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel. De groeifactor per x-eenheid is 1

2 1, 44 1,2 x 3 432 1,728 x y b 1,2 432 b 1,2 b 1,728 b 250 y 250 1,2           4.

a. De groeifactor is groter dan 1, dus de grafiek van N is stijgend.

b. De lijn N 0 is de horizontale asymptoot.

c. 1. _{26 1,69} t _{750 2. 26 1,69} t _0,075 t 1,69 1,69 28,8 t log28,8 6,4    t 1,69 1,69 0,003 t log0,003 11,1     d. _{K(t) 20 1,3 } 2t 1 _{20 1,3} 2t_1,31 _{20 1,3 (1,3 ) } 2 t _{26 1,69} t _N(t) e. A(q) 20 0,25q 1 20 0,25 0,25q 1 20 0,25 ( )₄1 q 5 ( )₂12 q 5 (2 )2 q 5 2 2q                  5. _{N 0,2 3 } t 5 _{N 5 3 } 2t_5 t 5 1 0,2 3 3 N 3 N 5N 0,2 t 5 log5N t 5 log5N  _{   }     2t 2t 1 5 3 1 5 3 1 1 2 5 5 3 N 5 3 N 1 2t log( N 1) t log( N 1)           t N 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -100 -200

6. a. _{2 3 }0,5_{logx 0 b.} 3_{log(5 2x) 0 } 2 3 0,5 0,5 2 3 3 logx 2 logx x 0,5 1,59        0 5 2x 3 1 2x 4 x 2      7. a. x 3 0  40,8log(x 3) 0  f x 3 D : 3,   0,8 4 log(x 3) 4 x 3 0,8 0,4096      x 3,4096 b. De verticale asymptoot is x 3 . c. d. _4 0,8_{log(x 3) 2 } 0,8 2 log(x 3) 2 x 3 0,8 0,64 x 3,64      

zie plot: f(x) 2 voor 3,3.64 _

8.

a. 4log34log5 4log3₅

b. _{2 log8}3 _3_log2 3_log82_3_log2 3_log128

c. _52_log10 2_log25_2_log10 2_log3,2

d. 5 log3 3 log52  2 2log352log53 2log243₁₂₅ 2log1,944

9.

a. Olifant _0,0353500 huismus

G

100.000

G   De olifant is 100.000 keer zo zwaar als de huismus. b. Ze zijn of te klein of te groot.

c. ₁₀x _0,035

x log0,035  1,46 1,5

d. _a 10_{log1,5 log1,5 0,176 }

e. f.

g. De waarden worden steeds groter. De machten nemen wel lineair toe. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -2 -4 -6 -8 -10 g b

log a b

a g





dieren gewicht in kg gewicht 10a _kg

huisvlieg 0,00015 10-3,8 huismus 0,035 10-1,5 kip 1,5 100,2 leeuw 180 102,3 olifant 3500 103,5 blauwe vinvis 150000 105,2

10.

a. _{A 10} 1,5_{0,032 B 10} 0,5_{0,316 D 10} 1,5 _31,62

b. per stapje naar rechts wordt er met 10 vermenigvuldigd.

11.

a. logschaal I: 10 , 10 , 10 , ..., 102 1 0 4 _{en logschaal II: 2 , 2 , 2 , ..., 2}2 1 0 4 b. _{a 10} 3,5 _3162

c. _{a 2} 3,5 _11,31

d.

e. blineair 0,25 , blogschaal I 100,25 1,78 en blogschaal II 20,25 1,19

12.

a. Het grondtal van het voorbeeld is 5. Dus _{b 5} 1,6 _13,13

b. _{c 5} 4,2 _862,33 13. a./c. b. ₁₀x _35 x log35 1,54  d. log0, 4 0,40 en log7 0,85 14. a. _{3 10} log3 _100,48_{, 4 10} 0,60_{, 6 10} 0,78_{, 7 10} 0,85_{, 8 10} 0,90 _{en 9 10} 0,95 b. 15. a. _{a 10} 1_{0,1 c 10} 0 _{1 h 10} 3 _1000 b. -c. d 2, e 7, f 50 en g 400    16.

a. Het hellingsgetal is 2, en omdat de verticale schaal logaritmisch is, houdt dat een vermenigvuldiging in met ₁₀2 _100.

b. De groeifactor is constant.

c. g 100 _.

d. _{y 10 100 } x_.

17.

a. _{x 0 : y 316 0,056  } 0 _{316 10} 2,5 _{Snijpunt met de verticale as: (0, 10 )}2,5

c. _{316 0,056} x _1 x 0,056 0 0,056 0,0032 x log0,0032 2 (2, 10 )    d.

e. De grafiek snijdt de verticale as in _{(0, 10 )}1 _en x x 46 0,1 46 1 46 10 x log10 0,60      de horizontale in _{(0.6, 10 )}0 _. 18. a. Yep!

b. Als x met 4 toeneemt, wordt y met 0,22 10 vermenigvuldigd. c. _g4 _10

1 4

g 10 1,78

d. De beginwaarde is 0,2 dus een formule van m is _{y 0,2 1,78 } x_.

19.

a. De grafiek van de functie _{y 5 0,1 } x _{is een rechte lijn door de punten (0, 5) en (1, 0.5)} b. De grafiek van de functie _{y 0,5 3,16 } x _{is een rechte lijn door de punten (0, 0.5) en (2, 5)}

20.

a. g2 ₉₆₀₀6144 0,64 _{b. De grafieken zijn evenwijdig, dus de groeifactoren zijn gelijk.}

0,5 x 1 x g 0,64 0,8 y b 0,8 9600 b 0,8 0,8b b 12000 y 12000 0,8           x x y b 0,8 50000 0,8b b 62500 y 62500 0,8      

c. Bij een groeifactor van 0,8 hoort een afname van 20%.

21.

a. De lijn snijdt de y-as in ₁₀3 _0,001. b. _g2 _1000

1 2

g 1000 31,6 y 0,001 31,6  x

c. y 0,001 31,6  x 103((10 ) )3 21 x 103(10 )112 x 103101 x21 101 x 312 

d. y 1 x 3 ₂1  _{is de vergelijking van de lijn als de y-as lineair zou zijn.}

e. y 1 x b ₂1  _{De vergelijking van lijn l is} 1

2 y 1 x 7  1 2 10 1 2 b 3 b b 7     

 De formule voor de functie:

1 2 1 x 7 y 10  x

y 0,1 46





y 316 0,056





22. C: _{y 1000 0,01 } x _{10 (10 )}3_ 2 x_{10 10}3_ 2x _103 2x

D: _{y 2 2,15 } x _100,30_(100,33 x_{) 10}0,30_100,33x _100,30 0,33x

23.

a. _{g'(x) 3x} 2 _{en h'(x) 8x} 3_.

b. Dan zou gelden f'(0) 0 _{, maar de raaklijn in (0, 1) loopt niet}

horizontaal. c. f is geen machtsfunctie. 24. a. Voer in: x 1 2 1 y 2 en y nDeriv(y , x, x) b. _0,69321,3863  , 2 2,7726_1,38632 5,5452 2,77262, 11,09045,5452 2,… de groeifactoren van de hellingen zijn ook gelijk aan 2.

c. _{f'(x) 0,6932 2 } x

d. Voer in: x

1 2 1

y 3 en y nDeriv(y , x, x)Ook nu geldt weer dat de hellingen exponentieel groeien met

groeifactor 3. De beginwaarde is 1,10.

25.

a.

b/c/d. Ergens tussen de 2,5 en 2,8. Maak een fijnere tabel:

a 2,72

26.

a. _{h'(t) 4 e } t

b. met de productregel: _{K'(q) 3q e} 2_ q_{q e}3_ q_(3q2_{q ) e}3 _ q

c. met de productregel: _{m'(x) 6x e } x_(3x2_{ 1) e}x _(3x2_{6x 1) e } x d. met de kettingregel: _{u(x) 4x 8 en f(u) e  } u _{f'(x) 4 e } u_4e4x 8

e. _{u(x) 2x en h(u) 15 e } u _{h'(x)  2 15e}u _{ 30e}2x

f. _{u(p) p} 2_{4 en W(u)  12 e}u _{u p 4}2

W'(p) 2p 12e_{    }24pe 

27.

a. _{f(x) e} 2x _{(e )}2 x _7,39x

b. a elog2log2_loge 0,69

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1 f f' x y1 y0 0 1 0,6932 1 2 1,3863 2 4 2,7726 3 8 5,5452 4 16 11,0904 5 32 22,1807 functie f afgeleide f’ x f(x) 1,5 f'(x) 0, 405 1,5  x x f(x) 2 f'(x) 0,693 2  x x f(x) 2,5 _{f'(x) 0,916 2,5 } x x f(x) 2,8 f'(x) 1,030 2,8  x x f(x) 3 f'(x) 1,099 3  x x f(x) 4 f'(x) 1,386 4  x

c. _eax _{(e )}a x _5x a log5 e log e e 5 a log5 1,61    

d. _{h(x) 5} x _e1,61x _{differentiëren met behulp van de kettingregel:}

u u(x) 1,61x en h(u) e  h'(x) 1,61 e  u1,61 e 1,61x 1,61 (e ) 1,61 x 1,61 5 x 28. a. _{g'(t) 300 1,75 ln1,75 167,88 1,75 } t_{  } t b. W'(n) 5,05 0,86 ln0,86  n  0,76 0,86 n c. u(x) 4x 6 en H(u) 45 3    u H'(x) 4 45 3 ln3 197,75 3_{  } u_{  } 4x 6 d. _{K'(q) (6q) 1,65 } q_(3q2_{7) 1,65 ln1,65 (1,50q} q_{ } 2_{6q 3,51) 1,65 } q 29. a. _{N'(t) 580 1,017 ln1,017 9,78 1,017 } t_{  } t

b. _{N'(5) 9,78 1,017 } 5 _{10,64 miljoen/jaar. Dat komt overeen met ongeveer 29122 per dag.}

c. _{9,78 1,017} t _15

Voer in: y₁9,78 1,017 en y t ₂ 15 intersect: x 25,37

In 2030 zal de bevolking voor ’t eerst met meer dan 15 miljoen per jaar toenemen.

30. a. b. c. f'(x) x constan t 1   d. f'(x) 1 x  31. a. b. c. g'(x) x constant 1, 44   d. 1 ln2 1 g'(x) x   e. 1 ln3 1 1 h'(x) x ln3 x     x y 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 x 0,5 1 2 5 10 f'(x) 2 1 0,5 0,2 0,1 x 1 2 3 5 10 g'(x) 1,44 0,72 0,48 0,29 0,14 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

32. a. h'(x) 1 ln3 x   b. 1 K'(p) ln0,9 p   c. 6 W'(q) 10q ln1,5 q   

d. _{u(t) 23t 240 en H(u) 150   }1,06_{logu H'(t) 23} 1 23

ln1,06 u ln1,06 (23t 240)

  

  

e. _{u(m) 25m} 3_{6m en L(u) 12 }3,45_logu

2 2 3 12 12(75m 6) L'(m) (75m 6) ln3,45 u ln3,45 (25m 6m)        

f. _{u(x) 2e} x _{7 en P(u)} 5_logu x x

x 1 2e P'(x) 2e ln5 u ln5 (2e 7)       33. a. g'(x) 2x logx x5 2 1 2x logx5 x ln5 x ln5        

b. G'(a) 8 0,7loga (8a 9) 1 8 0,7loga 8a 9

ln0,7 a ln 0,7 a            c. _{h'(t) 5 ln5 5}t t 1 _{5 ln5}t 5t ln3 t ln3 t         

d. u(w) 12w en D(u) 4  0,5logu D'(w) 12 4 1 48 4

ln0,5 u ln0,5 12w ln0,5 w

    

  

e. _{u(s) logs en k(u) u } 2 _k'(s) 1 _2u 2logs

ln10 s ln10 s

  

 

34.

a. met de kettingregel: _{u(x) 2x 1 en f(u) 4 logu   }2 _{f'(x) 2} 4 8 ln2 u ln2 (2x 1)

  

  

b. f(4,5) 4 log8 12 2  . De grafiek gaat door het punt (4,5; 12)

f'(4,5) 1, 4 y 1, 4x b 12 1, 4 4,5 b b 5,5 y 1, 4x 5,5         

c. De raaklijn is van de vorm: y ax . Voer in: y1 4 log(2x 1)_log2



  _en y₂  ... x_{en gebruik zoom zoom In.}

y 3,2x 35. a. s(1,5) s(1) 2, 43  _km. b. s(2) s(1) 4,15  _km. c. s' 13,8 ln10 t  

Na vijf uur heeft het autootje s(5) 15,65 _{km afgelegd. Z’n snelheid is dan s'(5) 1,20} _km/u.

36. a. T









c. u(t) 8t 1  _en T(u) 345logu

345 2760 u'(t) 8 T'(u) T'(t) uln10 (8t 1)ln10      d. T'(2) 2760 70,5 17ln10   o_C/min.

e. De helling van de lijn door (0, 0) en (60, 925) geeft de gemiddelde toename van de

temperatuur weer van het eerste uur. De snelheid waarmee de temperatuur toeneemt na

2 minuten is de helling van de raaklijn aan de grafiek in t=2.

f. Voer in: y1345 log(8x 1)  en y2 nDeriv(y , x, x)1 en y3 1,5. Intersect: x 100

37.

a. G(t) 56 1,12  t met G het gewicht in kg en t de tijd in maanden. G(10) 56 1,12  10 174kg.

b. De gewichtstoename gedurende in maanden is 118 kg. Dat is 11,8 kg/maand.

c. G (t) 56 11,8 t2   

d. Voor model 2 geldt dat de groeisnelheid op elk moment 11,8 kg/maand is. Model 1: G'(t) 56 1,12 ln1,12 6,35 1,12  t   t t 1,12 G'(t) 11,8 1,12 1,86 t log1,86 5,47    

Na ongeveer 5,5 maand is de groeisnelheid van de pony voor beide modellen even groot.

38.

a. L(a) 89,5 9,9 log(80a) 0,16 80 0,03a 102,3 9,9 log(80a) 0,03a         

1 4,3

L'(a) 9,9 80 0,03 0,03

80a ln10 a

       



L'(a) 0 _{voor alle a dus L(a) is een dalende functie. De lawaaioverlast neemt af als a toeneemt.}

b. L(v) 89,5 9,9log(100v) 0,16v 0,03 100 86,5 9,9log(100v) 0,16v        1 4,3 L'(v) 9,9 100 0,16 0,16 100v ln10 v L'(v) 0 4,3 0,16 v v 26,87            

Bij een gemiddelde snelheid van 26,87 km/u is het gemiddelde lawaainivo minimaal.

t (in minuten) T (in graden) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 T(t) gemiddelde helling op [0,60] de helling in t=2

39. a. b. _{A 0,12 3 } u _10 u 3 3 83,33 u log83,33 4,026 uur   

Om even over 14.00 uur was de oppervlakte 10 km2_.

c. Teken een rechte lijn door (0, -0.92) en (4, 1).

d. t 1,5 : A 0,02 _km2_. 40. a. (3, log9984 4 _{) en} (6, log1689 3,2) b. g3 ₉₉₈₄1689 0,17 1 3 t 3 t g 0,17 0,553 A b 0,553 9984 b 0,553 b 59017 A 59017 0,553          c. _{B b 1,30 } t 2 3400 1,69 t 3400 b 1,30 b 2012 B 2012 1,30      

d. Na iets meer dan 4 jaar zijn er van elk soort evenveel dieren.

e. _{2012 1,3} t _40000 t 1,3 1,3 19,88 t log19,88 11,4 jaar    41.

a. De punten liggen op logaritmisch papier vrijwel op een rechte lijn. De groei is dan exponentieel. Het aantal ransuilen neemt dan per jaar met een vast percentage toe.

b. De groeifactor per 22 jaar is 1000₂₀ 50_{. De groeifactor per jaar is} 1 22

8,9 1,19. Het aantal

ransuilen nam in die periode met 19% per jaar toe. De beginwaarde is 20.

c. _{R(14) 20 1,19 } 14 _{228 en dat is meer.} d. R(0) a b 0,6   0   a b 178 2 R(2) a b 0,6 a 0,36b 205 0,64b 27 b 42,19 a 220,19          e. _{R(t) 220,19 42,19 0,6  } t t t t t R'(t) 42,19 ln 0,6 0,6  0,22 0,6 en R"(t) 0,22 ln 0,6 0,6     0,11 0,6

R' 0 voor alle waarden van t, dus R is stijgend. R" 0 voor alle waarden van t, dus de helling is dalend (de helling wordt steeds kleiner). R is dus afnemend stijgend.

t in uren 0 1 2 3 4 5 6

oppervlakte A in

T_1. a. ₃x _{100 b. 100 0,7} t _{50 c.} t 20 1 2 5 3 x log100 4,2 t 0,7 0,7 0,5 t log0,5 1,9    t t 1 2 4 2 3    2 t log3 1,6 d. _{10 logx 30}3 _{ e.} 1 2log(x 1) 2 0   f. 4 5 logt 1 4  3 3 logx 3 x 3 27    1 2 2 1 1 2 4 log(x 1) 2 x 1 ( )      4 4 3 5 5 logt 3 logt    1 4 x 1 1,3 3 5 t 4 2,3 T_2.

a. De groeifactor per 4 eenheden is 20.

b. c 20 a  _{en f 20 b 400 b} 2_{  }

c. _{a 20} 0,75 _{0,106 b 20} 0,25_{0,473 c 20} 0,25 _{2,115 d 20} 0,5_4,472

T_3.

a.

b. 30₃ 10 300

30 10 (1000300)2 11 De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel: A 30 10  12t30 (10 ) 21 t 30 3,16 t

c. De grafiek van B gaat door (0, 400) en (3, 0.4)

d. De grafiek van C gaat door (0, 3) en (2, 0.33) en de grafiek van D gaat door (0, 0.2) en (4, 125)

T_4. a. _{f'(x) 3 ln1,08 1,08  } t _{0,23 1,08} t _{d. H'(x) 0, 41 ln1,09 1,09  } x _{0,035 1,09} x b. _{T'(n)  12 ln0,89 0,89} n _{1, 40 0,89} n c. _{G'(q) 3 e } 3q 2 _e. t t t t 2 t 2 (20 3 ) 0 10 ln3 3 10,99 3 h'(t) (20 3 ) (20 3 )            T_5. a. f'(x) 1 ln5 x   b. 200 g'(z) ln10 z  

c. _{u(q) 1 2q en T(u)   10 logu}6 _{T'(q) 2} 10 20

ln6 u ln6 (1 2q)         d. H'(p) 15p2 0,7logp 5p3 1 15p2 0,7logp 5p2 ln0,7 p ln 0,7         e. _{n'(t) ln2 2}t 2_{logt (2}t ₈₎ 1 _{ln2 2}t 2_logt 2t 8 ln2 t ln2 t             

f. _{u(k) 0,23k} 2_{1 en Y(u) 1,003 0,875  }1,009_logu

2 0,46k 0,875 Y'(k) ln1,009 (0,23k 1)     t -2 0 2 3 A 3 30 300 1000

T_6.

a. _{C 200 0,30 } 3 _{5,4 liter.}

b. _{C(m) 200 0,30 } m_.

c. _{C'(m) 200 ln 0,30 0,30  } m _{ 241 0,30} m _{C'(1) 72 liter/minuut.}

d. C'(m) 1

Voer in: y₁200 ln 0,30 0,30 en y  x ₂  1 _intersect: x 4,55

Na ongeveer 4 minuten en 33 seconden.

T_7. a. f'(x) 0,5 _en g'(x) 1 ln1,5 x   b. f'(x) g'(x) 2 ln1,5 1 _0,5 ln1,5 x ln1,5 x 2 x      T_8.

a. De grafiek is vrijwel een rechte lijn en de verticale schaalverdeling lijkt wel logaritmisch. b. g160 75 _30090 1 85 85 g 0,30 g 0,30 0,9859    T_9.

a. Omdat de exponentiële functies groter zijn dan 0. b. Alle functies _{y c e } x_{, waarin c een constante is.}