CSE 2017: 6 VWO wiskunde B tijdvak I

(1)

Examen VWO

2017

tijdvak 1 maandag 15 mei 13.30 – 16.30 uur

wiskunde B

(2)

Formules

Vlakke meetkunde

Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Hoeken, lijnen en afstanden:

gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.

Meetkundige plaatsen:

middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool. Driehoeken:

hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ, ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek, zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek, rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve gelijkzijdige driehoek. Vierhoeken:

hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant. Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:

koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek, omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,

koordenvierhoek.

Goniometrie

sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )

t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u             2 2 2 2 2 2 2 2

sin( ) sin( ) 2sin( )cos( ) sin( ) sin( ) 2sin( )cos( ) cos( ) cos( ) 2cos( )cos( ) cos( ) cos( ) 2sin( )sin( )

t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u                  2 lees verder ►►►

(3)

Rakende grafieken?

De functies f en g zijn gegeven door: 2 1 2 ( ) ln( ) ( ) _e f x x g x x   

5p ₁ _{Ga na met exacte berekening of de grafieken van f en g elkaar raken.}

Elektrische spanning

De spanning op elektriciteitsdraden in het Nederlandse spanningsnet is een

wisselspanning met formule U t( ) 325 sin(100 ) t . Hierin is U de spanning in volt en t de tijd in seconden. De grafiek van deze wisselspanning is een sinusoïde met

amplitude 325. In de figuur is één periode van de grafiek weergegeven. Ook zijn de lijnen met vergelijking U 230 en U  230 getekend.

De spanning op het stopcontact schommelt tussen -325 volt en +325 volt.

Toch zegt men in het algemeen dat de spanning op een stopcontact 230 volt is. Dat komt omdat de zogenaamde effectieve waarde1)_{van de wisselspanning ongeveer} 230 volt is.

figuur

5p 2 Bereken hoeveel procent van de tijd de spanning meer dan 230 volt van 0 afwijkt.

De effectieve waarde van de wisselspanning geven we aan met Ueff. Deze waarde kan worden berekend met de formule:

2 2 0 ( ( )) T eff T U 



U t dt

Hierin is T de periode van de spanning U.

Uitgaande van de gegeven formules kun je met de grafische rekenmachine berekenen dat Ueff ongeveer 230 volt is.

3p ₃ _{Bereken U}_eff_{in twee decimalen nauwkeurig.}

noot 1 De effectieve waarde van een wisselspanning is de waarde van een gelijkspanning die evenveel vermogen levert als de wisselspanning.

(4)

Het Nederlandse spanningsnet maakt gebruik van drie elektriciteitsdraden die

fasedraden worden genoemd: de spanningen U1, U2 en U3 in deze

drie draden hebben namelijk een onderling faseverschil. Voor de spanning in twee van de drie fasedraden geldt:

1 2 2 3 ( ) 325sin(100 ) ( ) 325sin(100 ) U t t U t t      

Voor woonhuizen wordt doorgaans alleen de eerste fasedraad gebruikt met een bijbehorende effectieve waarde van 230 volt. In fabrieken is voor machines vaak een hogere effectieve waarde dan 230 volt nodig. De stroom die hiervoor nodig is, wordt krachtstroom genoemd. Hiervoor wordt gebruikgemaakt van twee van de drie

fasedraden. De spanning Ukracht die een machine dan krijgt, is het spanningsverschil

tussen de twee fasedraden, bijvoorbeeld U1U2. Dan geldt: 2

1 2 3

( ) ( ) ( ) 325(sin(100 ) sin(100 ))

kracht

U t U t U t  t  t 

5p ₄ _{Bereken exact de maximale waarde van U}_kracht_.

Bissectrice en cirkel

AB is een koorde van een cirkel met figuur 1

middelpunt M. Op deze koorde is een gelijkbenige, stomphoekige driehoek ABC getekend met C op de cirkel en AC BC . De raaklijn aan de cirkel in A snijdt lijn BC in punt D.

Zie figuur 1. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Er geldt: lijn AC is bissectrice van hoek BAD.

3p 5 Bewijs dit.

In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid. figuur 2 Door A, C en D is een gestippelde cirkel

getekend. Punt E is zo op lijnstuk AB gekozen, dat lijnstuk EC de gestippelde cirkel in een punt F snijdt.

De lijnstukken AC en DF snijden elkaar in punt G. Figuur 2 staat vergroot op de uitwerkbijlage.

4p 6 Bewijs dat G op de cirkel door A, E en F ligt.

(5)

Twee sinusoïden

De functies f en g zijn gegeven door:

1 2 1 2 3 4 2 3 ( ) sin(2 ) 3 ( ) sin( ) f x x g x x       

In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven op het interval



2 3

0, _. Verder is de lijn getekend met vergelijking x p, met 2

3

0 p   . Deze lijn snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B.

figuur

De lengte van lijnstuk AB is afhankelijk van p. Voor een bepaalde waarde van p is deze lengte maximaal.

7p 7 Bereken exact voor welke waarde van p de lengte van lijnstuk AB maximaal is.

Sinus en parabool

Op het domein



0, is de functie f gegeven door:



2

( ) 3 sin( ) 2sin ( )

f x  x  x

De grafiek van f snijdt de x-as in de punten (0, 0) en ( , 0) . Zie figuur 1.

(6)

De lijn met vergelijking y 1 raakt de grafiek van f in het punt 1 2

( , 1)

P  .

Deze lijn heeft nog twee andere punten met de grafiek van f gemeenschappelijk.

5p 8 Bereken exact de afstand tussen deze twee andere punten.

V is het gebied dat wordt ingesloten door de x-as en de grafiek van f. Zie figuur 2. figuur 2

5p ₉ _{Bereken exact de oppervlakte van V.}

In figuur 3 is opnieuw de grafiek van f getekend. Ook is de parabool door (0, 0) getekend die de grafiek is van een functie g die is gegeven door:

2

( )

g x ax bx, waarbij a en b constanten zijn. Deze constanten zijn zo gekozen dat:

− het punt ( , 0) op de parabool ligt én

− de grafiek van f en de parabool in het punt (0, 0) dezelfde helling hebben én − de grafiek van f en de parabool in het punt ( , 0) dezelfde helling hebben.

figuur 3

6p 10 Bereken exact de waarde van a en b.

Brandwerendheid van een deur

De (lucht)temperatuur tijdens een bepaald soort natuurlijke brand kan worden beschreven met het volgende model:

2 ln ( ) 6ln( ) 9 ( ) 20 1050 t t nat T t _ _ _e   6 lees verder ►►►

(7)

Hierin is Tnat de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de

brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 1.

figuur 1 natuurlijke brand

In de figuur is te zien dat de temperatuur bij deze natuurlijke brand een maximum bereikt.

5p ₁₁ _{Bereken exact deze maximale temperatuur.}

Deuren worden getest op hun brandwerendheid door ze in een laboratorium aan een brand bloot te stellen.

De temperatuur tijdens zo’n laboratoriumbrand verloopt anders dan bij de natuurlijke brand, namelijk volgens de formule:

( ) 20 345 log(8 1)

lab

T t    t

Hierin is Tlab de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de

brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in figuur 2.

figuur 2 laboratoriumbrand

Temperaturen onder de 300 °C leveren geen blijvende schade aan de deur op. Pas vanaf een temperatuur van 300 °C heeft een deur onder de brand te lijden. Het tijdstip

t waarop deze temperatuur bij de laboratoriumbrand wordt bereikt, is afgerond op

twee decimalen 0,69. Zie figuur 2.

4p 12 Bereken algebraïsch het tijdstip t waarop de temperatuur bij de laboratoriumbrand de

(8)

In de rest van deze opgave bekijken we een deur die wordt blootgesteld aan een laboratoriumbrand. Deze deur blijkt precies 30 minuten stand te houden. Men vraagt zich af hoe berekend kan worden of zo’n deur tijdens de natuurlijke brand óók 30 minuten standhoudt.

In figuur 3 is het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de grafiek van Tlab,

de horizontale lijn met vergelijking T 300 en de verticale lijn met vergelijking t 30.

figuur 3 laboratoriumbrand

De Amerikaan Simon Ingber deed in 1928 de volgende veronderstelling:

7p 13 Onderzoek of volgens de veronderstelling van Ingber de deur tijdens de natuurlijke

brand minstens 30 minuten standhoudt.

Parallellogram met verlengde diagonaal

Gegeven is parallellogram ABCD. figuur Punt E ligt op het verlengde van

diagonaal AC zodanig dat CE AC. Zie de figuur, die ook staat afgebeeld op de uitwerkbijlage.

Punt C is het snijpunt van de zwaartelijnen van driehoek DBE.

5p 14 Bewijs dit.

8 einde ■

De deur bezwijkt tijdens de natuurlijke brand op dát tijdstip tb, waarvoor geldt dat

de oppervlakte tussen de grafiek van Tnat, de horizontale lijn met vergelijking

300

T  en de verticale lijn met vergelijking t tb gelijk is aan de oppervlakte van

(9)

Wiskunde B

2017-I

Uitwerkbijlage.

NAAM: . . . . . . . . . . . .

opgave 5 opgave 6 1 lees verder

(10)

opgave 14 opgave 14

(11)

Wiskunde B

2017-I

Uitwerkingen.

(N=1,5)

Rakende grafieken

1 maximumscore 5  raken: f x( )g x( ) en f x'( )g x'( ) 1  f x'( ) 1 x  en _{'( )} 1 e g x  x 1  f x'( )g x'( ) geeft _x2 __e  x  e  x e 1  1 2 ( ) f e  en 1 1 2 2 ( ) _e g e   e 1

 De grafieken van f en g raken elkaar 1

Elektrische spanning

2 maximumscore 5

 325 sin(100 ) 230t  1

 Voer in: y1325 sin(100x) en y2 230 intersect: 1

 x0,0025  x 0,0075 1

 De spanning wijkt 2 (0,0075 0,0025) 0,01   s per periode meer

dan 230 van 0 af 1  Dat is 50% 1 3 maximumscore 3  0,02 2 2 0 0,02U_eff 



(325 sin(100 ))t dt 1  0,02 2 0 (325 sin(100 ))t dt 1056,25



1  1056,25 0,02 229,81 eff U   1 4 maximumscore 5  2 1 1 3 3 3

sin(100 ) sin(100t  t ) 2sin( )cos(100t  )

1 3 3 cos(100t )   4  1 3 325 3 cos(100 ) kracht U  t 

 de maximale waarde van Ukracht is 325 3 1

Bissectrice en cirkel

 DAC ABC (hoek tussen koorde en raaklijn) 1

 ABC  BAC (gelijkbenige driehoek) 1  BAC  DAC, dus AC is bissectrice van BAD. 1

(12)

 CFD CADx (constante hoek) 1

 _EFG_180 _x_{(gestrekte hoek)} ₁

 CAD GAE x (vorige opdracht) 1

 _GAE_{ }EFG_180_{, dus is AEFG een koordenvierhoek en ligt G}

op een cirkel door A, E en F. 1

Twee sinusoïden

7 maximumscore 7  1 2 1 2 2 3 4 3 ( ) sin(2 ) 3 sin( ) l x  x    x  1  1 2 2 2 2 2 3 3 3 3

'( ) cos(2 ) 2 cos( ) cos(2 ) cos( )

l x   x    x   x   x  2  l x'( ) 0 _geeft 2 2 2 2 3 3 3 3 2x   x   k 2  2x    x   k 2 1  1 3 2 3 1 2 x k    x    k  1  4 2 9 3 x   k  1  maximaal voor 4 9 k   1

Sinus en parabool

 f x( ) 1 geeft _{2sin ( ) 3 sin( ) 1 0}2 _x _ _x _{ } ₁

 (2sin( ) 1)(sin( ) 1) 0x  x   1  1 2 sin( )x   sin( ) 1x  1  1 5 1 6 6 2 A B P x    x    x   1  de afstand tussen A en B is 2 3 1 9 maximumscore 5  2 0 (3 sin( ) 2sin ( )) OppV x x dx  



  1

 _{3 sin( ) 2sin ( ) 3 sin( ) cos(2 ) 1}_x _ 2 _x _ _x _ _x _ ₂  een primitieve is 1 2 3cos( )x sin(2 )x x    1  het antwoord: 6 1 10 maximumscore 6

 f x'( ) 3cos( ) 4sin( ) cos( ) x  x  x 2

 g x'( ) 2 ax b 1  g'(0)f'(0) geeft b3 1  g'( ) f'( ) geeft 2a   3 3 1  dit geeft _a 3    1 2 lees verder ►►►

(13)

Brandwerendheid van een deur

11 maximumscore 5

 Tnat is maximaal wanneer y  ln ( ) 6ln( ) 92 t  t  maximaal is 2

 y' 2ln( ) 6t t t    1  y' 0 geeft ln( ) 3t  1  _{20 1050} 0 ₁₀₇₀ nat T   e  1 12 maximumscore 4  20 345 log(8  t 1) 300 1  280 345 log(8t 1) 0,81 1  280 345 8t 1 10 6,48 1  dit geeft t 0,685 1 13 maximumscore 7  30 0,69 ( 280 345log(8 1) 11929 grijs Opp 

_

  x dx 2  _{ln ( ) 6 ln( ) 9}2 20 1050_ __e x x _300

 beschrijven hoe deze vergelijking met de GR opgelost kan worden 1

 x6,36 1  2 30 ln ( ) 6 ln( ) 9 6,36 ( 280 1050_ _ _e x x  )_dx _14242



2

 De deur is dan al bezweken en houdt dus niet minstens 30 minuten

stand 1

Parallellogram met verlengde diagonaal

14 maximumscore 5

 de diagonalen van een parallellogram delen elkaar middendoor, dus

de lijn EC is een zwaartelijn van driehoek DBE 2  MC MA en AC CE , dus MC CE: 1: 2 2  C is dus het zwaartepunt van driehoek DBE 1