Een nadere beschouwing van de theorie achter het induktieve afstandsmeetsysteem van Rob van Renterghem

Een nadere beschouwing van de theorie achter het induktieve

afstandsmeetsysteem van Rob van Renterghem

Citation for published version (APA):

Dortmans, A. (1984). Een nadere beschouwing van de theorie achter het induktieve afstandsmeetsysteem van Rob van Renterghem. (DCT rapporten; Vol. 1984.034). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1984

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

EEN NADERE BESCHOUWING VAN DE THEORIE ACHTER HET INDUKTIEVE AFSTANDSMEET- SYSTEEM VAN ROB VAN RENTERGHEM

A. DORTMANS

--

INLEIDING

Het door Rob. v. Renterghem [I] ontwikkelde induktieve afstandsmeetsysteem

(IMS) bestaat in essentie u i t een tweetal solenoidale spoeltjes waarvan 6th fungeert als zender en de ander als ontvanger. De zender wordt bekrachtigd met een (hoog-frequente) wisselspanning waardoor een magnetisch veld yegene- reerd wordt dat in de ontvanystspoel een induktiespanning veroorzaakt.

Volgens v. Renterghem [l] is de amplitude van deze spanning evenredig met

l/r waarbij r de afstand tussen de centra van de spoeltjes is. Op deze wijze kunnen, in principe, met dit systeem afstandsvariaties gemeten worden. Bij verifigrende metingen [ 2 ] , [ 3 ] blijkt deze evenredigheid echter niet

geheel te voldoen, reden waarom we in het navolgende ingaan op de theorie

achter het IMS teneinde een mogelijke verklaring voor een en ander te vinden.

Inhoudsopsave

Hoofdstuk 1 Theorie

1 . 1 Coordinatensystemen en standsbepaling van de spoeltjes 1.2 Bepaling van het magnetische veld

1 . 3 Bepaling van de geinduceerde spanning

Hoofdstuk 2 Confrontatie met de praktijk

Literatuur

1. THEORIE

Voor het afleiden van een relatie voor de gelnduceerde wisselspanning gaan we uit van een zender die bestaat uit CCn enkelvoudige cirkelvormige kring-

stroom en bepalen daaruit het gegenereerde magnetische veld

5

in een bepaald

punt in de ruimte. Het veld van een N-voudig gewikkelde zendspoel is hieruit vrij eenvoudig te bepalen omdat bij M-windingen het veld N keer versterkt

wordt. Met behulp van het veld

8

i s de gelnduceerde spanning in een andere

cirkelvormige geleider vrij eenvoudig te bepalen [in principe).

1.1. Coördinatensystemen en standsbeualins van de spoelties.

In deze paragraaf zullen we aangeven op welke wijze we de relatieve positie van de spoeltjes zullen beschrijven. Hiertoe gaan we uit van een cirkelvor- mige kringstroom I met middelpunt Oz (fig. 1.a). Deze kringstroom beschouwen we ais zender. Het punt Oz dient als oorsprong van een orthogonaal

Carthesisch coördinaten-systeem (x,y,z) met eenheidsvectoren e_, e en e

langs de resp. x r y en z-as. Deze vectoren bergen we op in een kolommatrix

e de vectorbasis bij de zender :

,c i

9 9 +

Z

A Y

a

Naast dit Carthesische coördinatensysteem zullen we ook gebruik maken van

een coördinatensysteem met bolcoördinaten (fig. 1.b) met oorsprong Ozt coör- dinaten ( r , q , @ ) en eenheidsvectoren er, e en e

q - #

Deze vectoren bergen we op in een kolommatrix e

+ - b 9

8 ’

*

,b *

+ - + +

ZT

= [er etg eel ,b

9 9

De vectorbases e en

eb

zijn in elkaar over te voeren 1n.b.v. de relatie

+ -t

e = T e c

,b

-

( 3 )

waarin

T

een orthogonale transformatie matrix is met

Fes

u, sin 8 sin ip sin B cos

q

O I

-

T =

1

-sinrg cos ip (4)

k s ip cos EI sin ip cos B

-

sin

9

Een willekeurige punt P in de ruimte kan beschreven worden met een positie- vektor

2

volgens -t -b -t -b + y eY + “z x = x e X A = r é ( 5 ) -b + -t H

= r cos ip sin 8 e

+

r sin ip sin 8 e

X Y

+

r cos 8 eZ

Aan de ontvanger (een cirkelvormige geleider met centrum Oo) koppelen we een

star verbonden orthogonaal Carthesisch coördinatensysteem ( a , @ , y ) met oorsprong ûo en eenheidsvectoren

E

(zie fig. 2.a). Deze vectoren bergen we op in een kolommatrix

E

basis bij de ontvanger :

-t -$

en E langs de resp. a , $ en y-as

a f E $ Y

de vector-

.“of

De positie vektor van willekeurig punt S op het oppervlak Bo van de ont-

vanger wordt, t.o.v. de zender, beschreven m.b.v. de vector ro van üz naar

O en de vector

+

van O. naar S (fig. 2.b) :

o

+ + -t

y = r S S

o met

+ -b

De oriëntatie van de vectorbasis E t.o.v. de vectorbasis e kan nu gekarak-

teriseerd worden m.b.v. een rotatietensor R :

..c ZC

-b -b

E = R . e

,c ,C

(T.g.v. de rotatiesymmetrie van de ontvanger kan zonder verlies aan alge-

meenheid gesteld worden dat de rotatietensor R een functie is van een twee-

tal onafhankelijke parameters (rotatiehoeken)).

Relatie ( 7 1 kan nu herschreven worden tot

- b - b -b

y = r o + R . p

met

Combinatie van relaties ( 5 ) en (10) voor een punt S op het oppervlak A. van

de ontvanger leidt nu tot :

-b -b -4 -b + y eY +

=

“2 x = x e -b X + = r + R . p = r -b -b O O -b

+

R . ( a ex

+

$ e y ) ofwel -4 -b + . ~ . a + $ e . R . ; p x = e . r + g x i e . ~ . a + e e . R . ; 13 . ~ . a + e Z . ~ . $ e rO + eZ X Y z = e z . X Y ( 1 3 ) -* X -b x +O - + -b X + Y Y -b Y y = -4 eY -b -4

Uit relaties (13) volgt direct dat op het oppervlak A. de coördinaten x, y

en z afhankelijk zijn, hetgeen logisch is omdat een oppervlak nu eenmaal be-

schreven kan worden met een tweetal onafhankelijke oppervlakteparameters (bijv. a en $ o f x en y).

1 . 2 . Eepalina van het qecrenereerde maqnetische veld

8'

in een punt in de ruimte.

Volgens [ 4 ] wordt het magnetische veld

6

cirkelvormige kringstroom I , gegeven door de relatie

dat gegenereerd wordt door een

met

waarin

kringstroom I ,

c

de positievektor van een punt op de contour,

x"

de positie-

vektor van een punt buiten de kringstroom en p de magnetische permeabili-

teit.

Geven we nu de positievektor

c

aan met (fig. 1 .a i- 1. b) :

de nabfa-operator i s ,

a

een hulppotentiaalveld, C de contour van de

-9 +

c = a cos $ e t a sin JI

e

X Y

en gebruiken we relaties ( 5 ) dan volgt :

(16)

2 2

lX-Ci

:=

w

= (r t a

-

2 ar sin O cos (cp - $1)

-D

CEc = (-a sin \k e t a cos

e

)d$

X Y

Met relaties (3) en (4) volgt voor dC :

dZ = a [sin

e

sin (cp-g)

e

i-

+ r

-3

cos

(@-a)

e i- cos û sin (w-$) eel d$

ip

Daarmee volgt voor het hulppotentiaalveld

A

:

-9 + + -9 -&

A = A e t A e t A 8 e 8

met

Nu is eenvoudig in te zien dat geldt dat Ar en Ae nul zijn en dat A

hankelijk is van cp waardoor we u, nul mogen stellen :

onaf-

u,

2 2 1 /2

W := (r

+

a - 2 ar sin 8 cos $1

Voor het magnetisch veld

8

volgt nu

met

a

-

(sin 8 A )

1

-

-

Br r sin 8

ae

(o

Het magnetische veld

6

i s dus onafhankelijk van cp hetgeen te verwachten is i.v.m. de rotatiesymmetrie van de zender.

1 . 3 . EePalinq van de seïnduceerde spannins in de ontvansstcpoel.

De in de ontvangstspoel geïnduceerde spanning U wordt gegeven door

d$

u = - - -

dt

waarin @ de geïnduceerde flux is die voor &Bn winding gegeven door [41 (23)

Hierin is A. het oppervlak van de winding,

het heersende magnetische veld (fig. 2.a).

de buitennormaal van A en Ë! O Nu geldt : + + n = E Y (259

hetgeen met relaties ( 9 ) te schrijven is als :

* - P + + + - * + + . t +

n = e .R.e e _z

+

e .R.e e

+

e .R.e e

x x 2 Y Y z z

Net relaties (261, ( 2 1 ) en ( 3 ) volgt dan

- * + + + - 4

8.n = (E e C B8eg).E

r r Y

-* +

= E e .R.e cos cp sin 8

r z . tX

+

Z

.R.E! sin cp sin 8

+

e

.R.; cos 8 1 z Y z z

+

8

_e

4

₊

-R.; cos cp cos 8 2 X

+

e .R.; sin cp cos 8 * = . tY - e .R.e sin 81 z 2

dA = dol d $

o

terwijl met relaties (i31 en ( 5 ) de afhankelijkheden van r, cp en 8 van ct en

p bepaald kunnen worden. Daarmee kan relatie (27) herschreven worden als een

integrand als functie van a en $, waarna de integraal (24) in principe te

bepalen is. Bet zal echter duidelijk zijn dat dit in analytische vorm i.h.a. niet te doen is.

In de door v. Renterghem gehanteerde theorie wordt daarom aangenomen dat de

afstand tussen de spoeltjes veel groter is a l s de straal van de spoeltjes

ofwel a/r

< <

1. Dan is een gesloten analytische oplossing te bepalen waaruit

resulteert dat de geinduceerde flux en de afstand ro van O

volgt samenhangen

naar O a l s

2 O

Wij zullen da.t hier niet doen, maar een ideale situatie bekijken n.1. die

waarin geldt dat (fig. 3.a)

-+ -+

r = r e

-P o *0 2

n = e Z

In dit geval volgt dus :

+ - + B.n = B cos 6 - B6 sin 6 r (zie relatie ( 2 7 ) ) x = a = r cos cp sin

e

y = $ = r sin QI sin

e

z = r = r c o s B (zie relaties (13) en ( 5 ) ) o (30)

Voor het uitvoeren van de oppervlakte-integraal in relatie ( 2 4 ) stappen we nu van de Carthesische coördinaten a en $ over op de cilindercoördinaten u en y :

a = u cos y

p = u sin y

da d$ = U dv d y . ( O

i

U

i

a ; O y

i

21T)

Uit relaties ( 3 3 ) en ( 3 2 ) volgt dan :

r = ro/cos 8 1 p = Y u = r tan 8 o ( 3 3 ) ( 3 4 )

Omdat nu

6.;

onafhankelijk i s van @ ( y ) resteert in feite nog slechts de in- tegratie over u. Met en u = ro tan 8 2 du = ro/cos e dB volgt a/ro + + 2 B.n ro tan 8 d(tan 8 )

J

@ = 2 8 O M.b.v. relaties (201, ( 2 2 1 , ( 3 1 ) en ( 3 4 ) volgt aci 41T * + + B.n = I t a2 - 2 arotan

e

cos 9) 3 / 2 d cos 8 ( 3 7 )

Substitutie van relatie ( 3 8 ) In relatie ( 3 7 ) en substitutie van y = tan 8

levert dan een dubbele Integraal waarin we eerst over y integreren omdat dit standaard integralen van het type

zijn met

Daaruit resulteert dan

Steilen we nu I

naine dat termen de geïnduceerde V = 2 I

&

2wa - 2 b x - 4 ~ dx = 4ax+2b dx = = I

met dro/dt te verwaarlozen zijn dat voor de amplitude V van

wfsselspanning geldt :

s i n woP; inet w o i i l dan volgt met relatie (23; en de aan-

9

Stellen we nu dat a/ro<< 1 , zodat de afbreken dan volgt weer

in relatie (40) na de 2e term kunnen

a(-ln VI

a

In ro B =

In V -3 In ro.

ro= R

Het is nu deze factor 3 die in een en ander een grote rol speelt, omdat uit metingen, [2], [3], blijkt dat deze evenredigheid niet geheel voldoet.

In ons geval kunnen we dus definiëren

waarin

h = a/R.

Voor kleine afstandsvariaties rond ro = R,

geldt dus ro AU = B In

R

met (43) U = - In V.

2.9

2 . 6

2

.y

2.2

I 1 I I 1 1 1 I 0 3 0.q O 0 . i o .I-

2 . CONFRONTATIE MET DE PRAKTIJK

Bij metingen verricht door de Bruijn [ 3 ] zijn spoeltjes gebruikt met een

gemiddelde diameter van ong. 0.8 min. Schatters voor de constante B als

funktie van de referentieafstand R zi.jn bepaald door het voorschrijven van kleine afstandsvariaties rond deze referentieafstand om vervolgens de

gemeten spanningen te fitten op relatie (43). In de volgende figuur zien we

de theoretische en de gerneten kromme. We zien dat de theorie het gedrag in

kwalitatieve zin beschrijft maar dat de gemeten waarden van 8 meer van de

ideale faktor 3 afwijken als de theoretische. Een verklaring daarvoor moeten

we zoeken in de buurt van niet-ideale elektronica en mogelijke

tekortkomingen in de hiervoor gepresenteerde theorie. Het model valt

misschien nog te verbeteren maar dat lijkt niet nodig gezien de kwalitatieve

van B(R) zullen we experimenteel moeten bepalen

.~ -- “ II

-

* ...-“”-I- , --“*-ea---- ”.-____- -*--

“1

LITERATUUROPGAVE

1. Renterghem, R.van, I' Aortic valve geometry during the cardiac cycle ' I ,

dissertatie THE,1983

2. Dortinans,L., I' Enige verkennende metingen met het induktieve afstands-

meetssyteem van R. van Renterghem ",interne notitie vakgroep WFW, okto- ber 1984

3. Bruijn, R. de," Testmetingen van een induktief afstandsmeetsysteem I ' ,

interne notitie vakgroep WFW, november 1984.

i