Optimale toewysing en skedulering van werkers en
take op ’n monteerbaan
Optimal assignment and scheduling of workers and tasks on an assembly line L VENTER EN SE VISAGIE
Departement Logistiek, Universiteit van Stellenbosch, Privaat Sak X1, Matieland, 7602, Suid-Afrika, e-pos adresse: lieschenventer@gmail.com en svisagie@sun.ac.za
Stephan Visagie Lieschen Venter
LIESCHEN VENTER is tans ’n nagraadse student in die Departement Logistiek aan die Universiteit Stellenbosch. Sy het die grade BSc (Wiskun dige Wetenskappe) en Honneurs BComm (Opera-sionele Navorsing) aan die Universiteit Stellen-bosch behaal. Sy is tans besig met ’n MComm (Operasionele Navorsing) en haar tesis handel oor metaheuristieke vir mengprobleme in die petro-chemiese industrie.
STEPHAN VISAGIE het die grade BSc (Fisika), MSc (Toegepaste Wiskunde), MPhil (Vervoer en Logistiek) en ’n PhD (Operasionele Navorsing) aan die Universiteit van Stellenbosch behaal. Hy het in 1998 by die Departement Logistiek aan die Universiteit van Stellenbosch aangesluit en is tans medeprofessor in Operasionele Navorsing by hierdie departement. Sy navorsingsbelangstelling sluit in nielineêre knapsakprobleme en die toe-passing van optimeringstegnieke in diverse velde soos landbou, produksie, skedulering en stem-teorie.
At present LIESCHEN VENTER is a postgraduate student in the Department of Logistics at the Uni-versity of Stellenbosch. She obtained the degrees BSc (Mathematical Sciences) and BComm Honours (Operations Research) from the Uni-versity of Stellenbosch. She is currently busy with her MComm (Operations Research) and her thesis is on metaheuristics for blending problems in the petrochemical industry.
STEPHAN VISAGIE obtained the degrees BSc (Physics), MSc (Applied Mathematics), MPhil (Transport and Logistics) and a PhD (Operations Research) at the University of Stellenbosch. He joined the Department of Logistics at the Univer-sity of Stellenbosch in 1998 and is currently associate professor of Operations Research at this department. His research interests include non-linear knapsack problems and the application of optimisation techniques in diverse elds such as agriculture, production, scheduling and voting theory.
ABSTRACT
Optimal assignment and scheduling of workers and tasks on an assembly line In this paper the assignment of cross-trained and temporary workers to tasks on an assembly line is investigated. Cross-trained workers are skilled to perform more than one task on the assembly line in the production process. Temporary workers are viewed as either trained or untrained and may be hired or laid off as required. The solution procedure may be divided into three parts. During the first part a model is formulated to determine an optimal assignment
of the workers to the production tasks. During the second part the model is extended to determine the effect of the assignment of both trained and untrained temporary workers to the tasks on the assembly line. During the final part of the model an optimal sequence of tasks in the assembly line is determined that minimises the resulting execution times of these tasks.
During the first part the objective is to maximise the total production utility. This is achieved by implementing a two-phase model. The first phase maximises the utility of pro-duction by minimising labour shortage in the assembly line. During the second phase the improvement of the workers’ levels of skill is maximised while the effect of the learning and forgetting of skills is taken into consideration. A learn-forget-curve model (LFCM) is implemented to model the effect of this human characteristic on the master model. This approach ensures that the advantageous cross-trained nature of the workers is maintained and optimized, without a large deviation from the solution determined by the first phase.
The objective of the second part is to minimise the labour cost of production by determin-ing the best type of workers for a certain task as well as the manner in which they should be hired or laid off. A worker is classified as either permanently or temporarily employed. Tem-porarily employed workers are further classified as either untrained or cross-trained workers. The assignment of workers to tasks on the assembly line is achieved by means of a Master Production Scheduling (MPS) model. The MPS has as its objective the minimisation of the total labour cost of performing all the tasks. The labour cost is defined as the sum of the temporary workers’ daily wages, the overtime cost of permanent workers, the overtime cost of temporary workers and the cost of employing and laying off temporary workers.
Finally, during the third part an optimal sequence of tasks is determined in the production process in order to minimise the total production time. This is achieved by means of a two-phase dynamic assembly line balancing model, which is adjusted to incorporate the critical path method. During the first phase, an optimal task sequence is determined, while during the second phase, an optimal assignment of tasks to workstations and the timing thereof, is determined.
The practical applicability of the model is demonstrated by means of a real life case study. The production of various styles of shoes in a leatherworks factory is considered. The production of each style requires a different set of tasks and each task requires a different level of skill. The factory under consideration employs both cross-trained and temporary workers and data sets were obtained empirically by observation, interviews and questionnaires. Upon execution of the first phase of the assignment model, an optimal utility is found and the second phase is able to maximise the increase of the workers’ skill level without deviation from this optimum. Upon execution of the employment model, it is found that labour costs are minimized by increasing the use of temporary workers and by assigning the maximum allowable number of overtime hours to them. Upon application of the scheduling model, an improved time is obtained compared to the standard execution time of each style. The results obtained from the case study indicate that the application of the model presented in this paper shows a substantial improvement in production, while reducing the cost of labour as well as improving the overall level of workers’ skills. A multi-objective model is thus developed which successfully maximises production utility, maximises skill development of workers, minimises labour costs and the occurrence of idle workers as well as minimises total execution time.
KEYWORDS: Production scheduling, learning curves, multi-objective optimisation, signment, assembly line balancing.
TREFWOORDE: Produksie-skedulering, leerkrommes, meerdoelige optimering, toewys
monteerbaanbalansering.
OPSOMMING
Die optimale aanwending van kruisopgeleide werkslui in ’n produksielyn word ondersoek. Kruisopgeleide werkslui het die vermo¨e om haas enige taak in die produksieproses te verrig. ’n Wiskundige model om die optimale toewysing van werkers aan take te bepaal, word gefor-muleer. Die invloed van vaardige of onvaardige tydelike werkslui op die produksielyn word ook ondersoek. Die finale model neem verskeie doelwitte in ag. In die eerste fase word ’n nutsfunksie van produksie gemaksimeer terwyl werkers aan take toegewys word. Daarmee saam word die verbetering van die werkers se vaardigheidsvlakke gemaksimeer terwyl die effek van die leer en vergeet van vaardighede in ag geneem word. Die arbeidskoste van pro-duksie word ook geminimeer terwyl die tipe werkers en die manier waarop hulle aangestel en afgelˆe moet word, bepaal word. Laastens word die totale produksietyd geminimeer ter-wyl die optimale volgorde van die take in die produksieproses bepaal word. Die praktiese bruikbaarheid van die model word ook met behulp van ’n gevallestudie gedemonstreer.
1 INLEIDING
Kompetisie noop besighede om werkers optimaal aan te wend. Indien kruisopgeleide werkers gebruik word, vermeerder die maniere hoe werkers aangewend kan word. Kruisopgeleide werkers kan aangewend word waar hulle die nodigste is omdat elkeen vaardig is in meer as een taak. Hierdie plooibaarheid van die werksmag laat die behoefte onstaan om die werkers se aanwending wiskundig te optimeer. Kruisopgeleide werkers moet dus gekies en aan verskillende take toegeken word om die produksietempo te maksimeer.
Wanneer arbeid die primˆere produksiehulpbron is, verskaf ’n kombinasie van tydelike en permanente werkers ’n effektiewe manier om wisselende aanvraag te bevredig terwyl arbei-dskostes so laag moontlik gehou word. Gewoonlik is die koste verbonde aan die aanstel en aflˆe van tydelike werkers laag. ’n Verdere voordeel is dat tydelike werkers op baie kort ken-nisgewing, soos wat hulle benodig word, aangestel kan word, en daar is dus min motivering om ’n te groot poel permanente werkers te hˆe.
Die probleem wat dus ontstaan en hier bestudeer word, is om die optimale aanwending van kruisopgeleide, permanentaangestelde werkers te bepaal deur die aanstelling van beide opgeleide en moontlik onopgeleide tydelike werkers in ag te neem.
Hierdie probleem word gemodelleer deur nuwe modelle te skep en bestaande modelle aan te pas en saam te voeg. Die bestaande modelle wat aangepas en saamgevoeg word, asook ander gepubliseerde werk waarop hierdie studie berus, word kortliks in§2 bespreek. In§3 word ’n dubbelfase-optimeringsmodel ontwikkel. In hierdie model word daar eerstens ’n taakspesifieke nutsfunksie geoptimeer en tweedens word die vaardigheidsontwikkeling van werkers geoptimeer deur die effek van die leer en vergeet van vaardighede in ag te neem. Die model verskaf die optimale toewysing van werkers aan take. Die optimale aanwending van permanente, vaardige werkers tesame met die aanstelling van tydelike, moontlik onvaar-dige werkers word in§4 gemodelleer. Hierdie model minimeer die koste verbonde aan die
toewysing van die verskillende tipe werkers. Die model verskaf dus die optimale aantal en tipe werkers wat in diens geneem moet word. In§5 word dinamiese monteerbaanbalansering gebruik om die optimale volgorde van die produksieprosesse te bepaal. Laastens, in §6, word die bogenoemde drie modelle op ’n gevallestudie toegepas. In die gevallestudie word die totale nut van vervaardiging gemaksimeer, terwyl die totale uitvoertyd en die totale arbeidskoste van vervaardiging geminimeer word.
2 LITERATUUR
In sy ondersoek van die optimale toewysing van werkers in ’n produksie-opset vind Campbell [5] dat kruisopleiding van werkers oor die algemeen voordelig is, veral wanneer daar ’n groot variasie in die vraag na die produkte is. Campbell en Diaby [6] verskaf ook ’n heuristiek wat die toewysingsprobleem effektief oplos.
’n Belangrike vraag, wanneer na die aanwending van kruisopgeleide werkers gekyk word, is hoe om die effek van die aanleer en vergeet van vaardighede in die besluitnemingsproses te inkorporeer. Nembhard [16] vind dat die moeilikheidsgraad van ’n taak en ondervinding die tempo waarteen werkers vergeet hoe om daardie taak te verrig, beduidend be¨ınvloed. Hy stel dus voor dat individuele leer- en vergeettempo’s in ag geneem moet word wanneer werkers toegewys word. Shafer et al. [23] maak soortgelyke gevolgtrekkings nadat die effek van leer en vergeet op ’n monteerbaan tydens ’n simulasie waargeneem is.
Baily [1], Globerson et al. [8] en Schtub et al. [22] het n´a simulasie- en empiriese onder-soeke die volgende gevolgtrekkings oor die effek van die vergeet van aangeleerde vaardighede gemaak.
1. Die hoeveelheid ondervinding wat voor onderbreking per taak opgedoen word, be¨ınvloed die vergeettempo.
2. Die lengte van die onderbreking be¨ınvloed die vergeettempo.
3. Die heraanleertempo van ’n vergete taak is dieselfde as die oorspronklike aanleertempo. 4. Leer- en vergeettempo’s is spie¨elbeelde van mekaar, sodat ’n werker wat ’n taak vinnig
aanleer daardie taak ook weer vinnig sal vergeet.
Die dubbelfase-optimeringsmodel wat in§3 gebruik word, gebruik Sayin en Karabati [21] se model as vertrekpunt. Hulle model los die toewysingsprobleem op terwyl dit die effek van leer en vergeet ook in ag neem. Hierdie model word uitgebrei om die LFCM
(Learn-Forget Curve Model) van Jaber en Bonney [11], soos voorgestel deur Jaber et al. [12], te
inkorporeer.
Techawiboonwong et al. [25] gebruik ’n meesterskeduleringsmodel (die sogenaamde MPS-T-Model) waarmee die aanstel van sowel vaardige as onvaardige tydelike werkers gemodelleer kan word. Hulle gevolgtrekking is dat die gebruik van tydelike werkers beduidende voordele en kostebesparings inhou. Hierdie model word aangepas sodat dit in§4 gebruik kan word. Die resultate van die MPS-T-model ondersteun die gevolgtrekking van Foote en Folta [7] dat tydelike werkers meestal suksesvol in vervaardiging gebruik kan word wanneer daar groot fluktuasies in die vraag na die betrokke produk is. As verdere ondersteuning vir die gebruik van tydelike werkers bevind Jarmon et al. [13] in ’n ondersoek by 96 ondernemings dat tydelike werkers hulle wat die kwaliteit van werk aanbetref net so goed soos permanente werkers van hul taak gekwyt het.
’n Produksielyn kan effektief deur dinamiese monteerbaanbalansering (Eng: dynamic
verskillende take in ’n produksieproses toegewys aan ’n aantal werkstasies terwyl ’n sekere doel geoptimeer word. Hierdie toewysing bepaal die uitleg van die monteerbaan in terme van totale aantal werkstasies, die vervaardiging se uitvoertyd sowel as die optimale volgorde van die take. Ghosh en Gagnon [9] beskryf die SALBP (Simple Assembly-Line Balancing
Problem) waar die balanseringsprobleem opgelos word deur sekere vereenvoudigende
aan-names te maak. Spesiale gevalle wat uit die SALBP volg, word byvoorbeeld deur Bowman [3], Patterson en Albracht [17], en Thangavelu en Shetty [24] gemodelleer en opgelos.
3 DUBBELFASE-OPTIMERINGSMODEL
In die eerste fase van die model word ’n nutsfunksie van vervaardiging gemaksimeer, terwyl werkers aan take toegewys word. In die tweede fase word die verbetering van die werkers se vaardigheidsvlakke gemaksimeer terwyl die afwyking van die eerste fase se doelfunksiewaarde binne ’n gekose grens gehou word.
Die model word gebruik om werkers volgens hulle aanvanklike vaardigheidsvlakke aan take toe te ken. Elke werker se veranderende vaardigheidsvlakke word dan aangepas volgens individuele leerkurwes sodat nuwe besluite tydens die volgende toewysingsperiode geneem kan word.
Die twee essensi¨ele beginwaardes vir hierdie model is die nutswaardes van die take en die werkers se aanvanklike vaardigheidsvlakke. Laat die arbeidstekort die verskil wees tussen die vaardigheidsvlakke van werkers wat aan ’n taak toegeken is en die arbeidsvlak wat daar-voor benodig word. Naas Campbell [5] se formulering van die nutsfunksie as ’n kwadratiese funksie van hierdie arbeidstekort per taak word Nembhard [16] se formulering van die vaar-digheidsvlakke van elke werker per taak as ’n hiperboliese leerkurwe in die model gebruik.
Die model berus op die volgende twee aannames. Aanvaar dat wanneer ’n werker aan ’n taak toegewys word, die werker se vaardigheid van daardie taak sal verbeter volgens sy individuele leerkurwe en dat hierdie model slegs gebruik sal word om ’n enkelperiodetoe-wysingsprobleem op te los. Die afvoer van ’n periode kan dan gebruik word as invoer vir die daaropvolgende periode.
Laat d = 1, . . . , D die indeks vir al die take wees, sodat D die totale aantal take is wat gedurende die produksieproses uitgevoer moet word, dan moet die volgende ko¨effisi¨ente vir die modelle in Fase I en Fase II bepaal word: die arbeidsvereiste Rdvir elke taak d; ’n binˆere
ko¨effisi¨ent rd, wat die waarde 1 het as opleiding/ondervinding vir taak d benodig word en die
waarde 0 andersins; die maksimum aantal werkers mdwat aan taak d toegeken kan word; ’n
nutsko¨effisient ud vir taak d en ’n toelaatbare afwyking β van die Fase 1 optimale oplossing
gedurende die oplossing van Fase II.
Gestel verder dat w = 1, . . . , W die indeks oor al die permanente werkers is, met W die totale aantal permanent aangestelde werkers dan moet die volgende veranderlikes ook gedefinieer word om in die modelle van Fase I en/of Fase II te gebruik: die vaardigheidsvlak
cwd van werker w vir taak d; die nuwe (verbeterde of verswakte) vaardigheidsvlak ˆcwd van
werker w in taak d as gevolg van leer en vergeet; ’n binˆere veranderlike Xwd, wat die waarde
1 aanneem as werker w aan taak d toegewys is en met die waarde 0 andersins; die arbeidsvlak
Sdvan taak d nadat toewysings gemaak is; die totale nutsfunksiewaarde U van die produksie;
en die nutsfunksie
Ud(Sd)
−udS2d as Sd< 0
vir elke taak d.
3.1 Fase I
In Fase I word die totale nutsfunksiewaarde van die vervaardiging gemaksimeer deur die arbeidstekort per taak te minimeer. Hierdie tekort word as ’n kwadratiese funksie gemo-delleer. Fase I kan wiskundige gemodelleer word as
maksimeer U∗= D d=1 Ud(Sd) (1) onderhewig aan rdXwd≤ cwd, w = 1, . . . , W, d = 1, . . . , D (2) W w=1 Xwd≥ 1, d = 1, . . . , D (3) D d=1 Xwd≤ md, w = 1, . . . , W (4) W w=1 cwdXwd− Rd= Sd, d = 1, . . . , D (5) Xwd∈ {0, 1}.
Beperking (2) verseker dat ’n taak wat vaardigheid vereis slegs deur ’n vaardige werker behartig sal word. Beperking (3) verseker dat elke werker aan ’n taak toegeken word. Beperking (4) verseker dat daar nie meer as die toelaatbare aantal werkers aan ’n taak toegeken word nie. Beperking (5) bereken die arbeidsvlak per taak as die som van die vaardigheidsvlakke van al die werkers wat aan ’n taak toegeken is minus die arbeidsvereiste van daardie taak. Hoe ho¨er die arbeidsvlak, hoe vinniger word ’n taak verrig. Optimering behels dus die minimering van die produksietyd deur middel van die maksimering van die arbeidsvlak.
3.2 Fase II
Die totale toename in die vaardigheidsvlakke per taak van elke werker word in die tweede fase gemaksimeer. Hierdie toename word as ’n hiperboliese leerkurwe in (6) gemodelleer. Die arbeidstekort per taak word weer eens bereken as die som van die vaardigheidsvlakke van al die werkers wat aan ’n taak toegeken is minus die arbeidsvereiste van daardie taak (10). Fase I se doelfunksie word as beperking (11) bygevoeg om saam met beperking (12) te verhoed dat daar nie verder as (100− β)% van U∗ afgewyk word nie. Fase II kan dan gemodelleer word as maksimeer z∗= D d=1 W w=1 ˆ cwd cwdXwd (6)
onderhewig aan rdXwd≤ cwd, w = 1, . . . , W, d = 1, . . . , D, (7) W w=1 Xwd≥ 1, d = 1, . . . , D, (8) D d=1 Xwd≤ md, w = 1, . . . , W, (9) Sd= W w=1 cwdXwd− Rd, d = 1, . . . , D, (10) U = D d=1 UdSd2, (11) U ≥ (1 − β)U∗, (12) Xwd∈ {0, 1}. (13)
Bepaling van aanvangsvaardigheidsvlakke
Die vaardigheid van ’n werker is ’n kombinasie van verskeie eienskappe wat strek van formele akademiese kennis wat bekom is tot algemene ondervinding wat in die bedryf aangeleer of opgedoen is. Sulke eienskappe is dikwels moeilik om te kwantifiseer, en daarom word Portela [19] se model vir hierdie doel gebruik.
Wanneer werkers die bedryf betree, word daar aangeneem dat hulle ’n sekere mate van onderrig het wat hulle individuele leertempo be¨ınvloed. Gestel die werker w se aan-vangsvaardigheidsvlak vir taak d word gegee deur cwd = µsα waar µs die bevolking se
gemiddelde aantal skooljare voltooi, en α die verbeteringsfaktor is wat die werklike aantal skooljare wat die werker voltooi het, in ag neem.
’n Kumulatiewe logistieke verdeling word gebruik om die verbeteringsfaktor a te bereken. Die verdeling word s`o gekies dat dit die gewensde marginale invloed op waardes wat ver van die gemiddeld verwyderd is, kan hˆe. Let op dat die verbetering benaderd lineˆer is vir waardes wat naby aan die gemiddeld lˆe.
Die verbeterde aanvangsvaardigheidsvlak vir werker w word dus gegee deur
cwd= µs× 0.5 + e sw−µs σs 1 + esw−µsσs (14)
waar sw die aantal skooljare wat werker w voltooi het, en σsdie standaardafwyking van die
gemiddelde aantal skooljare µs is.
Die kumulatiewe logistiese verdeling waar
X = e
sw−µs σs
1 + esw−µsσs
die vlak van skoolonderrig voorstel, word in Figuur 3.1 getoon. Dit illustreer die idee dat ’n werker wat min skooljare voltooi het, toenemende voordeel uit verdere onderrig sal
ge-niet. N´a ’n tydperk van onderrig sal so ’n werker steeds voordeel daaruit trek, maar met verminderende waarde.
Figuur 3.1: Logistiese kumulatiewe verdelingsfunksie.
Die effek wat verdere ondervinding op ’n werker se aanvangsvaardigheid het, kan soortge-lyk gekwantifiseer word, sodat
cwd= µs 0.5 + e sw −µs σs 1 + esw −µsσs 0.5 + e ow −µo σo 1 + eow −µoσo (15)
waar ow die aantal jare is waarin werker w ondervinding opgedoen het, en σo die
stan-daardafwyking is van die gemiddelde aantal jare ondervinding µo.
Bepaling van aangepaste vaardigheidsvlakke
Indien slegs die effek van aanleer van vaardighede in ag geneem word, word die tyd wat dit ’n werker neem om ’n taak te verrig, gegee deur
Tnwd=
T1wdn−bw as n ≥ n
sd,
Tsd andersins.
In hierdie formulering is T1wd die tyd wat dit werker w neem om taak d vir die eerste keer
te verrig, vir w = 1, . . . , W en d = 1, . . . , D; bw die leerhelling (0 < b < 1) van werker
w, vir w = 1, . . . , W ; nsd die aantal keer wat taak d uitgevoer moet word voordat die
standaarduitvoertyd bereik word, vir d = 1, . . . , D; en Tsddie standaarduitvoertyd van taak
d, vir d = 1, . . . , D.
Die LFCM [12] neem die effek van vergeet ook in ag en word gegee deur ˆ
Txwd=
ˆ
T1wdxfdwd as ywd≤ Yd,
T1wd andersins, (16)
waar ˆTxwd die tyd is wat dit werker w neem om taak d vir die x-de keer te verrig met
inagname van die effek van vergeet, vir w = 1, . . . , W en d = 1, . . . , D; xd die potensi¨ele
aantal opeenvolgende kere is wat ’n werker taak d sou verrig as hy/sy nie onderbreek was nie, vir d = 1, . . . , D; ˆT1wd die aanvangstyd is wat dit werker w neem om taak d te verrig
van die vergeetkurwe is, met ander woorde die vergeettempo van werker w per taak d, vir
w = 1, . . . , W en d = 1, . . . , D; ywddie aantal kere per toewysing is wat werker w nie aan
taak d toegeken word nie en dus nie taak d verrig nie, vir w = 1, . . . , W en d = 1, . . . , D; en
Yd die maksimum aantal kere is wat taak d nie verrig word nie voordat ’n werker minimaal
vaardig in daardie taak word, vir d = 1, . . . , D. Die vergeettempo fwdin (16) word bepaal deur
fwd= bw
(1− bw) log(vd)
log
1 +(Tsd)D ,
waar vddie aantal kere per toewysingsperiode is wat taak d verrig moet word. Die
vergeet-kurwe se afsnit word bepaal deur ˆ
T1wd= T1wdvd−(bw+fwd).
Die berekende ˆTxwd word gebruik om ˆcwd te bepaal. Die persentasie verbetering of
ver-swakking in die uitvoertyd is direk eweredig aan ’n persentasie verbetering of verver-swakking in die vaardigheidsvlak van ’n werker waar die bogrens vir die vaardigheidsvlak gelyk aan 10 is en die ondergrens gelyk aan 1. Ons aanvaar dus dat ’n werker nie totaal onvaardig in ’n taak sal word as gevolg van vergeet nie.
Redelinghuis et al. [20] stel voor dat die leerhelling, bw, bereken word as die kwosi¨ent van die logaritmiese individuele leertempo, l, en die logaritmiese vermeerdering van uitset, sodat
bw = log 2log l (17)
waar 0.5 < l ≤ 1.
4 INVLOED VAN TYDELIKE WERKERS
Die dubbelfase-model soos in§3 beskryf, moet verder uitgebrei word om tydelike werkers in ag te neem. Dit word met behulp van die MPS-T-model gedoen. Laat i ∈ {1, 2, 3}, waar
i = 1 opgeleide tydelike werkers, i = 2 onopgeleide tydelike werkers en i = 3 permanente
werkers voorstel. Die volgende ko¨effisi¨ente moet vooraf bepaal word om in die model te gebruik: αi is die gemiddelde lone per tipe i werker per toewysingsperiode wees, βi die
aanstelkoste van ’n tipe i werker, θidie aflˆekoste van ’n tipe i werker, πidie oortydkoste vir
tipe i werker per uur, h die maksimum aantal normale kantoorure beskikbaar per werker per periode, en γ is die maksimum toelaatbare aantal oortydure per werker.
Die volgende veranderlikes moet gedefinieer word om in die wiskundige model te gebruik. Laat Rien Fidie aantal tipe i werkers wees wat aan die begin van die periode onderskeidelik
aangestel en afgelˆe word. Definieer verder die totale aantal toegewysde normale kantoorure en oortydure van tipe i werkers as Hi en Oi onderskeidelik. Gestel laastens dat Si en Si∗
totale aantal tipe i werkers wat onderskeidelik tydens die huidige vervaardigingsperiode en vorige vervaardigingsperiode aangestel word.
Die invloed van tydelike werkers kan nou wiskundig geformuleer word as
minimeer Z = 2 i=1 (αiSi+ βiRi+ θiFi) + 3 i=1 πiOi (18)
onderhewig aan
Si− S∗i − Ri+Fi= 0, viri = 1, 2 (19)
1
hHi≤ Si, viri = 1, 2, 3 (20)
Oi≤ γSi, viri = 1, 2, 3. (21)
Die MPS-T-model se doelfunksie (18) minimeer die som van die tydelike werkers se daaglikse lone, die oortydkoste van permanente werkers, die oortydkoste van tydelike werkers, die aanstelkoste van tydelike werkers en die aflˆekoste van tydelike werkers, om sodoende die to-tale arbeidskoste te minimeer. Beperkings (19) hou tred met hoeveel opgeleide en onopgeleide tydelike werkers per periode aangestel is. Beperkings (20) verseker dat die aantal werkers wat toegewys word nie die aantal werkers wat werklik aangestel is, oorskry nie, terwyl beperkings (21) die oortyd beperk tot die toelaatbare hoeveelhede.
5 DINAMIESE MONTEERBAANBALANSERING
Monteerbane vorm die komponente van baie produksiesisteme. Die ontwerp en balanse-ring van monteerbane is kompleks en is as NP-moeilik bewys deur Wee en Magazine [26]. Die balanseringsproses behels die toewysing van take aan werkers op so ’n manier dat ’n doelfunksie (byvoorbeeld die aantal werkstasies of die totale produksietyd) geoptimeer sal word.
Die voorgangerverhoudings tussen take kan voorgestel word deur ’n voorgangergrafiek. Gestel die voorgangergrafiekG word gegee deur G = (V, E) waar elke nodus in die versame-lingV = {1, . . . , D} ’n taak voorstel. Die nodusse word geweeg deur die standaarduitvoertyd
tpvan taakp, met p = 1, . . . , D. Die versameling E is die versameling van noduspare sodat
boog (p, q), met p, q ∈ V , beteken dat taak p ’n direkte voorganger van taak q is.
Boysen en Fliedner [4] stel voor dat monteerbaanbalansering in twee stappe opgelos word. In die eerste stap word die voorgangergrafiek gereduseer tot ’n reeks van take (φ sodatφp∈ V (p − 1, . . . , D)) wat ’n reguit lyn vorm. Elke element r van φ is gelyk aan die indeksnommer van die taak wat aan posisie r van die monteerbaan toegewys gaan word. Tydens die tweede stap word die gesorteerde reeks take dan aan werkstasies toegewys. Klein [14] het bewys dat vir enige reeks en totale uitvoertyd hierdie toewysingsprobleem as ’n kortste-roeteprobleem opgelos kan word.
5.1 Reeksbepaling
Wanneer die volgorde van die take bepaal word, is dit belangrik dat alle voorganger-verhoudings in ag geneem word om ontoelaatbare toewysings aan werkstasies te verhoed. Ordeningsre¨els moet ontwikkel word wat sal bepaal of ’n sekere taak in ’n sekere posisie op die monteerbaan geplaas mag word.
Monteerbane word gewoonlik op ’n linˆeere wyse as ’n reguit lyn gemodelleer. GestelO is die versameling take wat nog nie in ’n posisie op die monteerbaan geplaas is nie. GestelI is die versameling take wat reeds in ’n posisie op die monteerbaan geplaas is. Die versameling
Pbevat al die take wat in posisie geplaas mag word, sodat
P={ | ∈ O, k ∈ I vir alle (k, ) ∈ E}.
Met ander woorde, ’n taak kan net in ’n posisie geplaas word as al sy voorgangers reeds in posisies geplaas is.
5.2 Toewysing aan werkstasies
Wanneer ’n toelaatbare reeks bepaal is, kan die take aan werkstasies toegeken word. Die probleem kan as ’n SALBP gemodelleer word sodat die doel is om die totale produksietyd
c te minimeer wanneer die aantal werkstasies m vasgestel is. Die kritiekepadmetode (CPM)
word ge¨ınkorporeer om die optimale duur van die vervaardiging te bepaal.
Laat xd die tydstip wees waarop taak d aan sy werkstasie toegeken word, vir d =
1, 2, . . . , D; Wd die subversameling van die werkers wees wat aan taak d toegewys is, met
d = 1, 2, . . . , D; cwd die aanvangsvaardigheid wees van werker w wat aan taak d toegeken is
(soos bepaal in§ 3); ˜cddie moeilikheidsgraad van taak d wees, d = 1, . . . , D; tddie tydsduur
van taak d; en tdsdie standaarduitvoertyd van taak d wees.
Die probleem kan wiskundig geformuleer word as
minimeer z = xD− x1 (22) onderhewig aan x≥ xk+ tk, vir alleP, (23) td= tds+ ˜ cd− 1 |Wd| w∈Wd cwd 1 |Wd| w∈Wd cwd tds, d = 1, . . . , D. (24)
Beperking (23) verseker dat ’n taak net aan ’n werkstasie toegeken word nadat al sy voor-gangers toegeken is. Beperking (24) bepaal die uitvoertyd van taak i met behulp van die vaardigheidsvlakke van die werkers wat aan daardie taak toegeken is. Die persentasie waarmee die kumulatiewe vaardighede meer of minder as die moeilikheidsgraad van die taak is, bepaal met hoeveel die uitvoertyd vinniger of stadiger as die standaarduitvoertyd is.
6 GEVALLESTUDIE
’n Onderneming wat leerskoene vervaardig word in die gevallestudie gebruik. Die eienaar besit sowel die fabriek waarin die skoene ontwerp en vervaardig word as drie fabriekswinkels waaruit die skoene verkoop word. Daarby voorsien die onderneming ook skoene aan ketting-winkels en boetieks en het die onderneming weekliks ’n stalletjie op die plaaslike vlooimark. In die gevallestudie word die optimale aanwending van die werkslui in die fabriek bepaal. Die onderneming het tans 10 permanent aangestelde werkers. Hierdie werkers is kruisopgelei. Die produksieproses bestaan uit ’n aantal take, maar nie elke styl skoen wat vervaardig word, vereis al hierdie take nie. Tydens die besigste produksietydperke word tydelike werknemers aangestel.
6.1 Data
Om die werking van die model aan die hand van ’n gevallestudie te illustreer, word die vervaardiging van Styl 1 gemodelleer. Die fabriek vervaardig egter in een seisoen meer as vyftig style. Hier volg ’n beskrywing van die take in die produksieproses van al die style wat vervaardig word:
Klik: Die sny van vorms uit rou leer. Hierdie vorms is ´of die bokante van die skoen ´of hulle vorm die binnesole. Voerings vir skoene word ook met behulp van klikking uitgesny.
Skif: Die uitdun van die leer op spesifieke areas sodat die leer maklik daar kan vou. Vou: Die vou van die leer op die uitgedunde areas om byvoorbeeld some te skep.
Detail: Detail soos juwele, gespes, gaatjies en ander stylspesifieke toevoegings word tydens
hierdie proses op die bokante van die skoene aangebring.
Kleur: Die kleur van sekere style se binnesole.
Sny: Die invoeging van gleuwe waardeur riempies kan pas vir sekere style se bokante. Voering: Die afsny van oortollige voering aan die bokante.
Afwerk: Die omsoming van blootgestelde ru-sye van die bokante.
Stiksel: Die stik van die bokante en binnesole met behulp van naaimasjiene.
Handstiksel: Die stik van moeilike of gedetailleerde werk wat slegs met die hand gedoen
kan word.
Vlegwerk: Die vleg van die leer van sekere style se bokante.
Stempel: Die aanbring van die maatskappy se logo op die binnesole.
Gom: Die aanwending van gom aan sowel die bokante as die binnesole om die skoene te
lym.
Slyp: Die slyp van die agterkante van die binnesole ter voorbereiding vir die las aan die
sole.
Merk: Die strekking van die leer oor houtvorms om byvoorbeeld voorpunte of hakke te
skep.
Lees: Die vorming van die rou leer oor ’n skoenlees om ’n spesifieke styl te kry.
Smeer: Die behandeling van die binnesole om dit vir hegting aan die sole voor te berei. Verhit: Die aktivering van die aangewende gom deur verhitting.
Druk: Die las van al die dele van die skoen onder ho¨e druk sodat al die gegomde dele stewig plak.
Ons verwys na hierdie take volgens hul taaknommers. In Tabel 6.1 word die taaknommers en die aantal permanent aangestelde werkers wat elk van hierdie take kan verrig, verskaf.
Die moeilikheidsgraad per taak word met behulp van ondervraging van die werkers as ’n waarde op ’n skaal tussen 1 en 10 beskryf waar ’n waarde van 1 beteken dat ’n taak uiters maklik aangeleer en uitgevoer kan word, terwyl ’n waarde van 10 beteken dat die taak uiters moeilik aangeleer en uitgevoer word. In Tabel 6.1 word die moeilikheidsgraad per taak gelys, en dit verskaf ’n aanduiding van of vaardigheid in ’n taak van ’n werker wat daaraan toegewys word, vereis word. ’n Waarde van 0 beteken dat ’n onopgeleide werker steeds die taak suksesvol sal kan verrig, terwyl ’n waarde van 1 beteken dat ’n taak vorige opleiding en/of ondervinding vereis.
Die werkers se vaardigheidsvlakke per taak word op ’n tienpuntskaal beskryf waar ’n waarde van 1 beteken dat die werker uiters onvaardig is, terwyl ’n waarde van 10 beteken dat die werker uiters vaardig is. ’n Waarde van 5 beteken dat die werker die taak gemiddeld kan behartig, ’n waarde van 3 dui op ondergemiddelde vaardigheid, ’n waarde van 8 dui op bogemiddelde vaardigheid, ensovoorts. Die vaardigheidsvlakke per taak per werker is met behulp van ondervraging van die werkers bepaal en word in Tabel 6.2 vervat. ’n Strepie dui aan dat die werker glad nie die betrokke taak kan verrig nie. Daar is genoeg masjiene en fasiliteite in die fabriek om die aanstel van addisionele, tydelike werkers moontlik te maak. Daar is egter ’n beperking op die beskikbaarheid van ruimte in die fasiliteit wat ’n
TABEL 6.1: Die take, hul taaknommers met die aantal werkers wat dit kan verrig, sowel as die moeilikheidsgraad per taak en of vaardigheid vir ’n taak vereis word.
Taak- Taak Aantal Maksimum Moeilikheids- Vaardigheid
nommer Werkers toedeling graad vereis
1 Klik 1 4 8 1 2 Skif 2 1 5 1 3 Vou 3 2 5 0 4 Detail 8 4 7 0 5 Kleur 4 1 4 0 6 Sny 2 1 8 1 7 Voering 5 2 6 1 8 Afwerk 5 1 5 0 9 Stiksel 5 5 10 1 10 Handstiksel 8 3 10 1 11 Vlegwerk 6 1 7 1 12 Stempel 6 1 2 0 13 Gom 6 2 4 0 14 Slyp 4 1 6 1 15 Merk 7 2 6 1 16 Lees 3 3 9 1 17 Smeer 5 1 5 0 18 Verhit 3 1 1 0 19 Druk 4 1 5 0
TABEL 6.2: Vaardigsheidsvlakke per werker.
Werker Taaknr. Taak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Klik 10 - - - -2 Skif 8 - - - 10 - -3 Vou 8 10 8 - - - 9 - - -4 Detail 8 8 10 8 10 7 - 6 - -5 Kleur 8 7 - 10 - 7 - - - 7 6 Sny 8 8 - - - 10 - - - -7 Voering 3 10 8 8 7 - - - - -8 Afwerk 5 10 8 8 7 - - - - -9 Stiksel - 8 - - 10 - 10 10 - -10 Handstiksel - 8 8 10 5 8 5 5 - -11 Vlegwerk - 8 - 10 5 10 - 5 - -12 Stempel 8 10 10 10 3 - - 3 - 5 13 Gom 5 8 - 10 - 10 7 - 10 10 14 Slyp 5 1 - - - 10 5 15 Merk 8 4 5 10 8 - - - 5 10 16 Lees 5 - - - 5 10 17 Smeer 5 - 5 - - - 5 - - 10 18 Verhit 5 - - - 10 5 19 Druk 8 1 - - - 10 10
maksimum toedeling van werkers aan daardie taak veroorsaak. Hierdie aantal werkers word ook in Tabel 6.1 verskaf.
Die volgorde van die take wat in die vervaardiging van Styl 1 uitgevoer moet word, word in Tabel 6.3 vervat. Dit bevat ook die standaarduitvoertyd van elke taak vir hierdie styl.
TABEL 6.3: Die take wat in die vervaardiging van Styl 1 uitgevoer moet word saam met hul standaarduitvoertye (SUT) in minute en hul voorgangers.
Proses Taak Taaknr. SUT Voorgangers
Bokante Klik 1 60 -Skif 2 10 1 Vou 3 84 2 Detail 4 15 3,7 Binnesole Klik 1 20 -Kleur 5 5 5 Sny 6 20 6 Gom 13 10 4 Slyp 14 5 8 Gom 13 5 9 Verhit 18 1 10 Sole Druk 19 2 11
6.2 Numeriese resultate
Fase IDaar is in totaal tien permanente werkers in diens van die onderneming, sodat W = 10. Styl 1 het in totaal 12 take wat uitgevoer moet word, sodat D = 12. Al die take is ewe belangrik en daarom is nutsko¨effisi¨ente met dieselfde bogrens (van 10 eenhede) aan al die take toegeken wat sy volle arbeidsvereiste (of meer) in die betrokke toedeling kry. Indien ’n taak nie sy volle arbeidsvereiste ontvang nie, word die nutsko¨effisi¨ente ud vir daardie take
bereken as die breuk van die 10 eenhede wat gelyk is aan die breuk van die arbeidsvereiste wat aan daardie taak toegeken is (dit wil sˆe die totale arbeidsvereiste minus die persen-tasie arbeidstekort gedeel deur die totale arbeidsvereiste). Die moeilikheidsgraad van elke taak word in Tabel 6.1 verskaf, en die arbeidsvereiste per taak, Rd, is gelyk aan hierdie
moeilikheidsgraad gestel. Die maksimum aantal werkers wat per taak toegeken kan word, word ook in Tabel 6.1 gegee. Die aanvangsvaardighede, cwd, wat in Tabel 6.2 gegee word,
is gebruik in die oplossing van die model.
Hierdie model is geprogrammeer en met behulp van Lingo [15] opgelos. Die oplossing n´a Fase I word in Tabel 6.4 opgesom. Die doelfunksiewaarde n´a Fase I vir Styl 1 het dus ’n totale nutswaarde van U∗= 92 eenhede.
Vaardigheidsvlakke
Die veranderde vaardigheidsvlakke, ˆcwd, met d = 1, . . . , 19 en w = 1, . . . , 10, word vervolgens
bereken. Bepaal ˆTxwdsoos in vergelyking (16) beskryf: Die waarde van bw word bepaal soos
beskryf in (17) terwyl T1wd geneem kan word as 4 keer die standaarduitvoertyd Tsd, soos
deur Jaber et al. [12] voorgestel. Daar word ook aangeneem [12] dat ’n werker gewoonlik die standaarduitvoertyd van ’n taak bereik nadat die taak slegs een keer (met ander woorde na voltooiing van 12 pare skoene) verrig is. Gevolglik kan nsd = 12 met d = 1, . . . , D
TABEL 6.4: ’n Optimale toewysing vir werkers aan take vir Styl 1 nadat Fase I opgelos is. Werker Nr Taak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Klik X 2 Skif X 3 Vou X X 4 Detail X X X X 5 Kleur X 6 Sny X 13 Gom X X 14 Slyp X 18 Verhit X 19 Druk X
Totale nutswaarde = 92 eenhede
gebruik word. Verder is deur Jaber et al. [12] waargeneem dat werkers vaardigheid in ’n taak verloor as hulle dit vir 10 of meer opeenvolgende toewysings nie verrig nie. Gevolglik word Yd= 10, d = 1, . . . , D gebruik in die oplossing van hierdie gevallestudie.
Fase II
Die waarde van β word op 0.01 gestel omdat Sayin en Karabati [21] aangetoon het dat dit ’n realistiese waarde is. Presies dieselfde waardes as vir Fase I geld verder. Nadat Fase I se doelfunksiewaarde in ag geneem is, is ’n optimale toewysing van werkers aan take vir Styl 1 vir die model in Fase II bereken. Hierdie oplossing word in Tabel 6.5 opgesom. Let op dat hierdie oplossing se totale nutswaarde is net so goed is as die totale nutswaarde in Fase I.
TABEL 6.5: ’n Optimale toewysing vir werkers aan take vir Styl 1 nadat Fase II opgelos is.
Werker Nr Taak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 Klik X 2 Skif X 3 Vou X 4 Detail X X 5 Kleur X 6 Sny X 13 Gom X 14 Slyp X 18 Verhit X 19 Druk X
Totale nutswaarde = 92 eenhede
MPS-T-model
Die totale nut van die vervaardiging kan verhoog word deur genoeg werkers aan te stel sodat al die moontlike posisies gevul word. Daar is in totaal 23 posisies wat slegs deur vaardige werkers en 14 posisies wat ook deur onvaardige werkers gevul kan word.
Die fabriek se totale uitset kan ook verhoog word deur oortydwerksure aan al die tipes werkers toe te ken. Die beperkingγ ≤ 10 veroorsaak dat die toekenning van die maksimum aantal oortydure aan ’n werker gelykstaande is aan ’n kwart van die nut wat verkry sou word as ’n tydelike werker eerder aangestel sou word. Die beperkings
S1+ 0.25O1+ 0.25O3+ 10 = 23, (25)
en
S2+ 0.25O2= 14. (26)
word dus bygevoeg en verseker onderskeidelik dat die aantal werkers wat aangestel word en die kombinasie van hulle met die oortyduur-ekwivalente al die moontlike posisies vul.
Die onderneming se arbeidsbeleid word gemodelleer deur sowel wetgewing as die on-derneming se bestuursbesluite in ag te neem. Tydelike werkers word op ’n weeklikse basis aangestel of afgelˆe. Permanente en tydelike werkers werk 40 normale kantoorure per week, sodat h = 40. Opgeleide tydelike werkers word R20 per uur (kantoorure) betaal, sodat
α1= 800. Hierteenoor word onopgeleide tydelike werkers R15 per uur (kantoorure) betaal, sodat α2 = 600. Daar is geen koste verbonde aan die aanstel van nuwe werkers nie, wat beteken dat β1 = β2 = 0, maar die aflˆekoste is gelyk aan een week se vergoeding, sodat
θ1= 800 enθ2= 600. Opgeleide tydelike en permanente werkers word R22 per uur (oortyd)
betaal, dit wil sˆeπ1=π3= 22, en onopgeleide tydelike werkers word R17 per uur (oortyd) betaal, sodatπ2= 17. Volgens wetgewing mag geen werker meer as 10 uur per week oortyd werk nie, sodatA = 10. Aan die begin van die periode wat ondersoek word, het die betrokke onderneming geen tydelike werkers in diens nie sodatS1∗=S∗2= 0.
Op grond van hierdie data lewer die MPS-T-model ’n oplossing met ’n minimum koste van R4 244 per week. Hierdie doelfunksiewaarde stem ooreen met die volgende oplossing:
O1= 0, O2= 40, O3= 52, R1= 0, R2= 4, F1= 0, F2= 0.
Hierdie resultaat bepaal dus dat 4 onopgeleide tydelike werkers aangestel moet word, terwyl 40 uur (oortyd) in totaal aan hierdie tydelike werkers toegeken word en 53 uur (oortyd) in totaal aan die permanente werkers toegeken word.
Indien die modelle in Fase I en Fase II opgelos word met die inagneming van hierdie nuutaangestelde tydelike werkers word ’n toewysing soos in Tabel 6.6 as ’n optimale oplossing verkry.
Die totale nut van hierdie toewysing is nie ’n verbetering op die totale nut van die toewysing sonder tydelike werkers nie, aangesien die tydelike werkers onvaardig is en dus nie die nut (wat ’n mate van vaardigheid is) be¨ınvloed nie. As dieselfde tydelike werkers tydens die volgende siklus van vervaardiging behou word, sal die effek van die aangeleerde vaardighede die nut verhoog. Die voordeel van die tydelike werkers lˆe egter in die verbetering van totale produksietyd.
Monteerbaanbalansering
Die voorgangergrafiek vir al die take wat tydens die vervaardiging van Styl 1 benodig word, word in Figuur 6.2 verskaf. Die byskrifte by die bo¨e is die taaknommer gevolg deur ’n dubbelpunt en die standaarduitvoertyd van daardie taak.
TABEL 6.6: ’n Optimale toewysing van take aan werkers vir Styl 1 met tydelike werkers in ag geneem.
Permanente Werkers Tydelike Werkers
Nr Taak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 Klik X 2 Skif X 3 Vou X X 4 Detail X X X X 5 Kleur X 6 Sny X 13 Gom X X 14 Slyp X 18 Verhit X 19 Druk X
Totale nutswaarde = 92 eenhede
A B C D E F G H I J K L 1;60 1;20 2;10 5;5 3;84 6;20 4;15 13;10 14;5 13;5 18;1 19;2
Figuur 6.2: Voorgangergrafiek vir die take van Styl 1.
Monteerbaanbalansering lewer die optimale tydstip waarop elke taak aan sy werkstasie toegeken kan word. Tabel 6.7 lewer die totale uitvoertyd van die vervaardiging van Styl 1, eerstens wanneer die prosesse teen die standaarduitvoertye uitgevoer word en tweedens wan-neer die prosesse teen die verbeterde tye as gevolg van optimale toewysing van werkers soos bo beskryf, uitgevoer word.
’n Verbetering van 12 minute teenoor die standaarduitvoertyd word dus getoon. Die totale uitset verhoog nie net omdat die style in ’n korter tydperk vervaardig word nie, maar ook omdat daar teen die berekende minimale koste steeds nog van die oortydure gebruik gemaak kan word.
7 SAMEVATTING
’n Optimeringsmodel is ontwikkel wat verskeie uitkomste bereik. Die hoofdoelwit van die model is bereik deurdat die totale nut van die produksieproses gemaksimeer en die vaardigheidstekort per taak geminimeer word, terwyl die behoud en ontwikkeling van wer-kers se vaardighede optimaal verbeter word, sodat hulle voordelige kruisopgeleide aard be-houe bly. Verder word die totale arbeidskoste van beide permanente en tydelike werkers geminimeer en die situasie in die praktyk dat daar werkers is waaraan geen take toegewys is nie, word ge¨elimineer. Laastens word die totale uitvoertyd per styl geminimeer wat in wese dieselfde is as om die totale uitset van die fabriek te maksimeer
TABEL 6.7: Totale uitvoertye saam met die standaard– en aangepaste uitvoertye sowel as die onderskeidelike aanvangstye van elke taak. Alle tye word in minute gegee.
Nr Taak Standaard Aanvangs- Aangepaste
Aanvangs-tydsduur tye tydsduur tye
1 Klik 60 0 48 0 2 Skif 10 60 5 48 3 Vou 84 70 93 53 4 Detail 15 154 21 146 1 Klik 20 0 16 0 5 Kleur 5 20 2 16 6 Sny 20 25 20 18 13 Gom 10 169 4 167 14 Slyp 5 179 3 171 13 Gom 5 184 2 174 18 Verhit 1 189 1 176 19 Druk 2 190 1 179
Minimum totale uitvoertyd 192 180
Die model is aan die onderneming voorgelˆe en die positiewe terugvoer van die eienaar (en bestuurder) is dat die resultate toepasbaar in die besigheid sal wees. Die bestuurder stem ook saam dat die teoretiese resultate realistiese verbeterings toon teenoor die huidige praktyk. Nieteenstaande die positiewe terugvoer voel die bestuurder dat hy nie die model in sy onderneming wil toepas nie. Sy hoofrede hiervoor is dat hy nie vertroue in wiskundige modelle in die algemeen het nie.
VERWYSINGS
[1] Bailey, C.D. (1989). Forgetting and the learning curve: A laboratory study,
Manage-ment Science, 35(3):346–352.
[2] Becker, C. & Scholl, A. (2006). A survey on problems and methods in generalized assembly line balancing, European Journal of Operational Research, 168(3):694–715. [3] Bowman, E.H. (1960). Assembly–line balancing by linear programming, Operations
Research, 8:385–389.
[4] Boysen, N. & Fliedner, M. (2006). A versatile algorithm for assembly line balancing,
European Journal of Operational Research, 184(1):39–56.
[5] Campbell, G.M. (1999). Cross-utilization of workers whose capabilities differ,
Manage-ment Science, 45(5):722–732.
[6] Campbell, G.M. & Diaby, M. (2002). Development and evaluation of an assignment heuristic for allocating cross-trained workers, European Journal of Operational
Re-search, 138(1):9–20.
[7] Foote, D.A. & Folta, T.B. (2002). Temporary workers as real options, Human Resource
[8] Globerson, S., Levin, N. & Shtub, A. (1989). The impact of breaks on forgetting when performing a repetitive task, IIE Transactions, 21:376–381.
[9] Ghosh, S. & Gagnon, R.J. (1989). A comprehensive literature review and analysis of the design, balancing and scheduling of assembly systems, International Journal of
Production Research, 27:637–670.
[10] Hopp, W.J., Tekin, E. & Van Oyen M.P., (2004). Benefits of skill chaining in serial production lines with cross–trained workers, Management Science, 50(1):83–98. [11] Jaber, M.Y. & Bonney, M.C. (1997). A comparative study of learning curves with
forgetting, Applied Mathematical Modelling, 21:523–531.
[12] Jaber, M.Y., Kher, H.V. & Davis, D.J. (1997). Countering forgetting through training and deployment, International Journal of Production Economics, 85:33–46.
[13] Jarmon, R., Paulson, A. & Rebne, D. (1998). Contractor performance: How good are contingent workers at the professional level?, IEEE Transactions on Engineering
Management, 45(1):11–19.
[14] Klein, M. (1963). On assembly line balancing, Operations Research, 11:274–281. [15] LINGO. (2007). Lindo systems’ index page, http://www.lindo.com/, [4 Augustus
2007].
[16] Nembhard, D.A. (2000). The effects of task complexity and experience on learning and forgetting: A field study, Human Factors, 42(2):272–286.
[17] Patterson, J.H. & Albracht, J.J. (1975). Assembly–line balancing: Zero-one program-ming with Fibonacci search, Operations Research, 23:166–172.
[18] Pinker, E.J. & Shumsky, R.A. (2000). The efficiency-quality tradeoff of cross–trained
workers, Manufacturing and Service Operations Management, 2(1):32–48.
[19] Portela, M. (2001). Measuring skill: a multi-dimensional index, Economics Letters, 72:27–32.
[20] Redelinghuis, A., Julyan, F.W., Steyn, B.L. & Benade, F.J.C. (1989). Kwantitatiewe
metodes vir besluitneming, Tweede uitgawe, Pretoria:Butterworths.
[21] Sayin, S. & Karabati, S. (2005). Assigning cross-trained workers to departments: A two–stage optimization model to maximize utility and skill improvement, European
Journal of Operational Research, 176(3):1643–1658.
[22] Shtub, A., Levin, N. & Globerson, S. (1993). Learning and forgetting industrial skills: Experimental model, International Journal of Human Factors in Manufacturing, 3:293– 305.
[23] Shafer, A.M., Nembhard, D.A. & Uzumeri, M.V. (2001). The effects of worker learn-ing, forgettlearn-ing, and heterogeneity on assembly line productivity, Management Science, 47(12):1639–1653.
[24] Thangavelu, S.R. & Shetty, C.M. (1971). Assembly line balancing by zero-one integer programming, IIE Transactions, 3:61–68.
[25] Techawiboonwong, A., Yenradee, P. & Das, S.K. (2005). A master scheduling model with skilled and unskilled temporary workers, International Journal of Production
Eco-nomics, 103:798–809.
[26] Wee, T.S. & Magazine, M.J. (1982). Assembly line balancing as generalized bin packing,
Operations Research Letters, 1:56–58.
[27] Wright, T. (1936). Factors effecting the cost of airplanes, Journal of Aeronautical
