The Jordan Theory and Forbidden Minors

De stelling van Jordan en verboden

minoren

Ricky Cherim

8 juli 2016

Bachelorscriptie

Begeleiding: dr. Guus Regts

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde

Samenvatting

Het artikel van Thomassen [10] geeft een graaftheoretisch bewijs voor de stelling van Jordan. De bewijzen en stellingen uit zijn artikel zullen worden herschreven aan de hand van verduidelijkende figuren. Vervolgens zal met gebruik van het bewijs van Thomassen een deel van de stelling van Kuratowski bewezen worden, om vervolgens het bewijs van Diestel [2] (p. 105) te volgen. Ten slotte zal er gepoogd worden een karakterisatie te geven voor “planairiteit” op verschillende oppervlakken en vinden we een ondergrens voor het aantal verboden minoren voor de eigenschap “de graaf G heeft een planaire inbedding in Sg, voor g ≥ 1”.

Titel: De stelling van Jordan en verboden minoren

Auteur: Ricky Cherim, rickycherim@hotmail.com, 10410147 Begeleiding: dr. Guus Regts

Tweede beoordelaar: dhr. dr. Viresh Patel Einddatum: 8 juli 2016

Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math

Inhoudsopgave

1 Introductie 4

2 De stelling van Jordan 6 2.1 Enkelvoudige polygonale krommes . . . 6 2.2 De stelling van Jordan . . . 9 2.3 De stelling van Jordan-Sch¨onflies en de classificatie van oppervlakken . . 14 3 De Stelling van Kuratowski 16

4 Verboden Minoren 21

4.1 De Stelling van Robertson-Seymour . . . 21 4.2 Grenzen voor de verzameling verboden minoren . . . 22 4.3 Ondergrens . . . 23

5 Conclusie 26

6 Populaire samenvatting 27

1 Introductie

Een graaf noemen we een planaire graaf als hij getekend kan worden in het vlak zoda-nig dat alle lijnen paarsgewijs disjunkt zijn, afgezien van de gemeenschappelijke eind-punten. Vlakke grafen die overeenkomen met reguliere veelvlakken werden al door de Grieken bestudeerd en hebben door de geschiedenis heen een belangrijke rol gespeeld in de wiskunde. Een klassiek voorbeeld is de Euler karakteristiek, die in eerste instan-tie gedefini¨eerd is voor veelvlakken, en evengoed geldt voor vlakke grafen, waarbij de hoekpunten, zijdes en vlakken vervangen worden door punten, lijnen en facetten [7]. De karakteristiek stelt dat als we van een veelvlak de som nemen, punten−lijnen+facetten, dat we dan altijd op 2 uitkomen.

De stelling van Jordan [5] is een ander klassiek resultaat van de wiskunde die een minder voor de hand liggende rol heeft in het spreken over vlakke grafen. De stelling van Jordan stelt dat een enkelvoudige gesloten kromme C in R2 het vlak verdeelt in precies twee delen: het inwendige en het uitwendige van de kromme. Stel, C is een hexagon, dan weten we dat het aantal facetten gelijk aan 2 moet zijn. Dit impliceert dat C altijd een inwendige zou moeten hebben, maar voor bepaalde interessante oppervlakken gelden andere regels.

Wanneer we naar het ruimtelijk object de torus kijken, geldt de stelling van Jordan niet voor elke C. Wanneer we C op de torus tekenen zoals in figuur 1.1, zien we dat C geen niet-lege inwendige meer bevat. Er geldt dan ook dat als we C herschrijven als een polygoon en hem weer om de band van de torus tekenen de Euler karakteristiek niet meer klopt (we komen uit op 1). Er geldt in feite een andere planairiteit voor anders georienteerde oppervlakken.

C

C

In dit paper zullen we ons richten op de constructie achter verschillende planairiteiten, benaderd vanuit de grafentheorie. Als eerste zal er een bewijs gegeven worden voor de stelling van Jordan, gebaseerd op het artikel uit 1992 van Carsten Thomassen [10]. Daaruit zullen we dan een stuk van het bewijs voor de stelling van Kuratowski [6] kunnen afleiden. Het resterende deel zullen wij bewijzen door middel van de minorentheorie, aan de hand van het boek van Diestel [2] en resultaten van Wagner [12]. We zullen zien dat deze theorie een precieze karakterisering geeft voor de planairiteit van grafen in het vlak in termen van minoren.

Deze zogenoemde verboden minoren kunnen dus ook een karakterisering geven voor oppervlakken van hogere genus. Een geweldig resultaat van Robertson-Seymour [8] geeft het bewijs dat deze verzameling eindig is, maar niet hoeveel precies en van welke vorm. Robertson [9] geeft een bovengrens voor het aantal verboden minoren voor ori¨enteerbare oppervlakken. Het laatste deel van deze paper zal gewijd worden aan het bepalen van een geschikte ondergrens.

2 De stelling van Jordan

De stelling van Jordan [5] stelt dat een enkelvoudige gesloten kromme in R2 het vlak verdeelt in precies twee delen: het inwendige en het uitwendige van de kromme. Ondanks dat dit fundamentele resultaat intu¨ıtief triviaal lijkt, is het niet makkelijk te bewijzen. Het probleem is al meerdere malen in de geschiedenis vanuit verschillende wiskundige vakgebieden bewezen. Wij volgen hier het bewijs van Carsten Thomassen [10] omdat hij het probleem heeft benaderd vanuit een triviaal gedeelte van de stelling van Kuratowski over verboden grafen voor planariteit, namelijk dat K3,3 niet planair is. Het gebruik van

minoren zal worden uitgesteld tot het volgende hoofdstuk, waar we het bewijs van de stelling van Kuratowksi zullen nalopen volgens het boek van Diestel. Thomassen geeft een vrijstaand bewijs voor de niet-planairiteit van K3,3 en benaderd daarmee een bekend

en breed wiskundig probleem.

Alle stellingen en bewijzen uit dit hoofdstuk komen uit het artikel van Thomassen, maar we slaan een aantal definities over. Er zal een basiskennis van de grafentheorie verwacht worden. Een aantal definities zullen uitgeschreven worden om de terminologie duidelijk te hebben. Er zal door middel van 9 lemma’s en 2 proposities stapsgewijs toe-gewerkt worden naar een volledig bewijs van de stelling van Jordan. Dit zal onderverdeel worden in 2 secties, waarbij eerst de stelling zal worden bewezen voor het polygonale geval en daarna voor het algemene geval. Er zal worden aangetoond dat de kromme het vlak verdeelt in minstens twee delen en daarna dat het om precies twee gaat.

2.1 Enkelvoudige polygonale krommes

Een valkuil van de wiskunde is om gemakkelijk om te gaan met intu¨ıtie. Wanneer we werken met een gesloten kromme, zien we hem vaak verschijnen in het vlak. Bij een aantal bewijzen in dit hoofdstuk wordt deze kromme ook daadwerkelijk benaderd. Maar essentieel aan het de stelling van Jordan is dat voor een algemeen bewijs alle gevallen meegenomen moeten worden. Dus als we een hele “wilde” C nemen, zoals de fractal van Koch (figuur 2.1), dan wordt een bewijs dat gebruikt maakt van simpele benaderingen onmogelijk. Daarom zal het bewijs in twee stukken opgedeeld worden. We zullen de krommes eerst beschouwen als polygonen, wat intu¨ıtief duidelijker is en waarvoor het bewijs simpeler wordt. Later zullen we lemma’s uit deze sectie nodig hebben voor het algemene geval.

Definitie 2.1. Een enkelvoudige kromme in een topologische ruimte X is het beeld van een continue injectieve afbeelding f van het re¨ele interval [0, 1] naar X. Een enkelvou-dige gesloten kromme defini¨eren we op dezelfde manier, maar nu dat f (0) = f (1). We

C K

?

Figuur 2.1: De benadering van een gesloten polygonale kromme C en een gesloten kromme van Koch K.

noemen X wegsamenhangend als elke twee elementen van X verbonden zijn door een en-kelvoudige kromme. Een enen-kelvoudige polygonale kromme in het vlak is een enen-kelvoudige kromme die de vereniging is van een eindig aantal rechte lijnstukken.

Lemma 2.2. Als Ω een open samenhangende verzameling in het vlak is, dan zijn elke twee punten in Ω verbonden door een enkelvoudige polygonale kromme in Ω.

Bewijs. Laat p en q twee punten in Ω en laat f een continue functie van [0,1] naar Ω zodanig dat f (0) = p en f (1) = q. Laat A bestaan uit de getallen t in [0,1] zodanig dat Ω een enkelvoudige polygonale kromme bevat van p naar f (t). Zet t0 = supA

en neem vervolgens een open epsilon-bol B(f (t0)) in Ω. Dan is het inverse beeld van

f een open verzameling vt in [0,1] die t0 bevat. Maar dan bestaat er altijd een t1 in

vt zodat t1 > t0 en door continuiteit kunnen we tussen f (t0 en f (t1) makkelijk een

recht lijnstuk kunnen maken in B(f (t0)). Dan moet uiteindelijk t0 = 1 zodat er een

enkelvoudige polygonale kromme bestaat in Ω tussen p en q. Voordat we verder gaan hebben we nog wat definities nodig.

Definitie 2.3. Een graaf G wordt ingebed in de topologische ruimte X als de punten van G kunnen worden gerepresenteerd door verschillende elementen in X en elke lijn in G gerepresenteerd kan worden door een enkelvoudige kromme die zijn twee uiteindes verbindt zodanig dat elke twee lijnen hoogstens ´e´en uiteinde gelijk hebben. Een abstracte graaf die ingebed kan worden in R2 heet een planaire graaf.

Lemma 2.4. Als G een planaire graaf is, dan kan G ingebed worden in het vlak zodanig dat alle lijnen enkelvoudige polygonale krommes zijn.

Bewijs. Laat Γ een planaire inbedding van G. Laat p een punt van Γ, en laat Dp een

gesloten schijf met p als middelpunt zodanig dat Dp alleen lijnen snijdt die aan p liggen.

Neem verder aan dat Dp∩ Dq = ∅ voor elk paar verschillende punten p, q van Γ. Voor

elke lijn pq van Γ laat Cpq de kromme bevat in pq die vanaf Dp naar Dq loopt en alleen

zijn in zijn uiteindes Dp naar Dq snijdt. We maken dan een nieuwe inbedding zodat

2.2 kunnen we dan elke Cpq vervangen door een enkelvoudige polygonale kromme en

verkrijgen zo het vereiste.

Definitie 2.5. Een gebied van een open verzameling in het vlak is een maximaal sa-menhangende deelverzameling. Het uitwendige van een gesloten kromme C, of uitw(C), is het onbegrensde gebied van C, waar C de rand is. De vereniging van alle andere gebieden is het inwendige van C, of inw(C), waar C de rand van is.

Lemma 2.6. Als C een enkelvoudige gesloten polygonale kromme in het vlak is, dan heeft R2\C precies twee gebieden die allebei C als rand hebben.

Bewijs. Eerst laten we zien dat R2_{\C hoogstens twee gebieden heeft. Stel van niet, dan}

zijn q1, q2, q3elementen van drie verschillende gebieden van R2\C. Kies een schijf D

zoda-nig dat D ∩ C een recht lijnstuk is (C is een enkelvoudige gesloten polygonale kromme). Voor elke i = 1, 2, 3 kunnen we lopen langs een enkelvoudige polygonale kromme (dicht langs C, maar C nooit doorsnijdend) van qi naar het inwendige van D. Maar dan zitten

twee punten in een open samenhangende verzameling van het vlak en zijn dus verbonden door een enkelvoudige polygonale kromme, dus hebben we een tegenspraak.

Vervolgens bewijzen we dat R2_{\C niet samenhangend is, dus minstens twee gebieden}

heeft. Voor elk punt q in R2_{\C beschouwen we een rechte halve lijn L die begint bij q.}

De intersectie L ∩ C is een eindig aantal intervallen, sommige daarvan zouden punten kunnen zijn. Beschouw het interval Q. Als C het lijnstuk Q binnenkomt en weer verlaat aan de zelfde kant van L dan zeggen we dat C raakt L bij Q. Anders kruist C de lijn L bij Q. We zien dan dat als we de richting van L veranderen, het aantal keren dat C de lijn L kruist modulo 2 niet veranderd (als L uit C stapt dan is hij oneven en als hij er in stapt is hij even). Dus kunnen we elke q een kruisingsgetal modulo 2 toekennen. Het kruisingsgetal voor alle q op een enkelvoudige polygonale kromme in R2\C is hetzelfde, want elke L springt er uit. Zo verkrijgen we punten met kruisingsgetal 1 en punten met kruisings getal 2, respectievelijk het inwendige en uitwendige van R2_\C.

Nu breiden we het voorgaande lemma uit voor meerdere gebieden.

Lemma 2.7. Laat C een enkelvoudige gesloten polygonale kromme en P een enkelvou-dige polygonale kromme in de aflsuiting van het inwenenkelvou-dige van C, te noemen inw(C), zodanig dat P de punten p en q verbindt op C maar geen andere punten gemeen heeft met C. Laat P1 en P2 twee bogen op C van p naar q. Dan heeft R2\(C ∪ P ) precies 3

gebieden, wiens randen respectievelijk C, P1∪ P en P2∪ P zijn.

Bewijs. Door Lemma 2.6 is uitw(C) een gebied van R2_{\(C ∪ P ). Door het bewijs van}

Lemma 2.6 weten we dat het toevoegen van P aan C een partitie oplevert van inw(C) in hoogstens 2 gebieden. Dus we hoeven alleen te bewijzen dat P een partitie van minstens 2 gebieden oplevert. Laat L1, L2 kruisende lijnsegmenten zijn zodanig dat L1

een segment van P is en dat L2 precies het punt L1 ∩ L2 gemeen heeft met C ∪ P .

Door het bewijs van Lemma 2.6 zijn de uiteindes van L2 in inw(C) en in verschillende

gebieden van R2_{\(P ∪ P}

Figuur 2.2: Twee verschillende weergaves van een K3,3.

2.2 De stelling van Jordan

In de voorgaande sectie is de stelling van Jordan bewezen voor het polygonale geval. We zullen aan het eind van dit hoofdstuk zien, dat de stellingen en lemma’s die we hebben opgedaan voor polygonen essentieel zijn voor het bewijs van het algemene geval. Ook weten we nu dat als r en s punten zijn op de twee bogen zoals beschreven in het bewijs van Lemma 2.7, het niet mogelijk is een enkelvoudige polygonale kromme te trekken door het inwendige van C tussen de twee punten zonder andere krommes te kruisen. Met deze informatie kan een alternatief bewijs gegeven worden voor de niet-planariteit van K3,3 om vervolgens de niet-planariteit van K3,3 te gebruiken in het bewijs voor de

algemene stelling van Jordan.

Lemma 2.8. De graaf K3,3 is niet planair.

Bewijs. We kunnen K3,3 zien als een circuit C: x1x2x3x4x5x6 met drie lijnen door het

midden x1x4, x2x5, x3x6 (zie Figuur 2.2). Als K3,3 planair zou zijn dan zou er een

pla-naire inbedding moeten bestaan waarbij alle lijnen enkelvoudige polygonale krommes zijn vanwege Lemma 2.2. Dan is C een enkelvoudige gesloten polygonale kromme maar dan moeten 2 van de lijnen door het midden in ofwel inw(C) of uitw(C) liggen. Maar dit zou Lemma 2.7 tegenspreken.

We gebruiken nu het feit dat K3,3 niet planair is om aan te tonen dat het inwendige

van een gesloten kromme C niet leeg is. Dan hebben we dat R2_{\C bestaat uit minstens}

2 gebieden om later aan te tonen dat het er precies 2 zijn.

Propositie 2.9. Als C een enkelvoudige gesloten kromme in het vlak, dan is R2\C on-samenhangend.

Bewijs. Laat L1 een verticaal lijnsegment die C doorsnijdt zodanig dat C volledig in

het gesloten rechter halve vlak van L1 zit. Doe hetzelfde aan de rechter kant van C met

L2. Laat pi het bovenste punt van Li∩ C voor i = 1, 2, en laat P1 en P2 twee krommes

op C van p1 naar p2. Laat L3 een verticale rechte lijn zijn tussen L1 en L2. We weten

dat P1∩ L3 en P2∩ L3 compact en disjunkt zijn, want het zijn puntsverzamelingen in

R2. Doordat we niet weten hoe vaak C en P1, P2 elkaar kruisen (dit hangt af van hoe

L

L

L

C

p

p

L

L

L

Figuur 2.3: De polygonale verbinding tussen L4 en L5 in de aanname maakt precies een

3-reguliere bipartiete graaf op 6 punten, oftewel een K3,3.

en P2∩ L3 kunnen vinden. Dan bevat L3 een interval L4 die P1 met P2 verbindt en die

alleen zijn uiteindes gemeen heeft met C.

We gaan nu laten zien dat het inwendige van C niet leeg kan zijn. Laat L5 een

polygonale kromme van p1 naar p2 in uitw(C) bestaande uit segmenten van L1, L2 en

een horizontale rechte lijn boven C. Stel inw(C) is leeg, dan moet wel dat L4 in uitw(C)

ligt en dan is er een enkelvoudige polygonale kromme L6 in uitw(C) van L4 naar L5,

want uitw(C) is een wegsamenhangend gebied (Lemma 2.2). Maar dan is C ∪L4∪L5∪L6

een planaire graaf in het vlak isomorf aan K3,3 wat onmogelijk is vanwege Lemma 2.8

(Figuur 2.3). Dus L4 ligt niet in uitw(C), dus moet het inwendige van C niet leeg

zijn.

Om verder te gaan zijn nog wat grafentheoretische definities nodig.

Lemma 2.10. Als G een 2-samenhangende graaf is en H een 2-samenhangende deel-graaf van G, dan kan G geconstrueerd worden uit H door achtereenvolgens paden toe te voegen zodanig dat elk van deze paden twee verschillende punten raakt in de huidige graaf en alle andere punten buiten de huidige graaf heeft zitten.

Bewijs. Dit bewijs is een gevolg van de definitie van oordecomposities en wij verwijzen naar het boek van Douglas West [13] voor het bewijs daarvan.

Lemma 2.11. Als Γ een planaire 2-samenhangende graaf in het vlak is met minstens 3 punten, waarvan alle lijnen enkelvoudige polygonale kromme, dan heeft R2\Γ |E(Γ)| − |V (Γ)| + 2 gebieden waarvan ze allemaal een circuit hebben met Γ als rand.

Bewijs. Laat C een circuit in Γ. Door Lemma 2.7, geldt dit lemma als Γ = C. Anders kan Γ geconstrueerd worden uit C door een oordecompositie toe te passen. Elk pad wordt toegevoegd in een gebied. Dat gebied is begrensd door een circuit en nu passen we Lemma 2.8 toe (het aantal gebieden groeit met 1 als we een gebied doorkruisen met een lijn of pad).

Definitie 2.12. Een subdivisie van een graaf G is een graaf zodanig dat sommige (of alle) lijnen van G vervangen worden door paden met dezelfde begin en eindpunten als de lijnen die ze vervangen.

Lemma 2.13. Als Γ1 en Γ2 twee planaire grafen in het vlak zijn zodanig dat elke lijn

een enkelvoudige polygonale kromme is, dan is de vereniging van Γ1 en Γ2 een graaf Γ3.

Bewijs. Allereerst laat Γ0_i de planaire graaf in het vlak zijn zodanig dat Γ0_i een subdivisie is van Γi en dat elke lijn van Γ0i een recht lijnstuk is voor i = 1, 2. Ten tweede, laat Γ00i

de subdivisie van Γ0_i zodanig dat een punt p op de lijn a van Γ0_i een punt is van Γ00_i als ofwel p een punt op Γ0_3−iis, of p is op een lijn van Γ0_3−i die a kruist. Dan kan de gewone vereniging van grafen Γ00₁ en Γ00₂ de rol van Γ3 vervullen.

Merk op dat als Γ1 en Γ2 in Lemma 2.13 minstens 2 punten gemeen hebben en allebei

2-samenhangend zijn, dan is Γ3 ook 2-samenhangend.

Definitie 2.14. Een facet van een planaire graaf G is een wegsamenhangend component van R2_{\G. Het buitenfacet is het onbegrensde facet en als G 2-samenhangend is dan is}

de grens van het buitenfacet het buitenste circuit van G.

Lemma 2.15. Laat Γ1, Γ2, ..., Γk planaire 2-samenhangende grafen waarvan alle lijnen

enkelvoudige polygonale krommes zijn zodanig dat Γi minstens 2 punten gemeen heeft

met elk van Γi−1en Γi+1en geen punt gemeen heeft met alle andere Γi (i = 2, 3, ..., k −1).

Neem aan dat Γ1∩ Γk = ∅. Dan elk punt die in het buitenfacet van elk van de Γ1∪ Γ2,

Γ12 ∪ Γ3 ... Γk−1∪ Γk is ook in het buitenfacet van Γ1∪ Γ2∪ ... ∪ Γk.

Bewijs. Stel dat p is een punt in het begrensde facet van Γ1 ∪ ... ∪ Γk zit. Aangezien

Γ1∪ ... ∪ Γk weer 2-samenhangend is (alle grafen zijn 2-samenhangend en delen allemaal

minstens 2 punten), volgt dankzij Lemma 2.12 dat er een circuit bestaat in Γ1∪ ... ∪ Γk

zodanig dat p ∈ inw(C). Kies C zodanig dat C is in Γi ∪ Γi+1∪ ... ∪ Γj en zodanig

dat j − i minimum is. We zullen nu laten zien dat j − 1 ≤ 1. Dus neem aan dat C is gekozen zodanig dat het aantal lijnen in C en niet in Γj−1 is minimum. Aangezien C

doorsnijdt zowel Γj en Γj−2, heeft C minstens 2 disjunkte maximale lijnstukken in Γj−1.

Laat P een van deze zijn. Laat P0 het kortste pad in Γj−1van P naar C − V (P ). De

uiteindes van P0 verdelen C in bogen P1 en P2, elk waarvan lijnstukken bevat die niet

in Γj−1 zitten. Een van de circuits P0∪ P1 en P0∪ P2 bevat p in zijn inwendige. Deze

heeft minder lijnen niet in Γj−1 dan C. Maar dit is in tegenspraak met de minimaliteit

van C , dus een minimale C ligt niet in een minimale vereniging Γi∪ Γi+1∪ ... ∪ Γj met

Aangezien we met Propositie 2.9 hebben laten zien dat R2\C het vlak verdeelt in minstens twee gebieden, willen we om het bewijs volledig te maken laten zien dat R2_\C

het vlak verdeelt in hoogstens twee gebieden. Om dat te kunnen doen zullen we weer aannemen dat er drie gebieden zijn. Vervolgens willen we weer uitkomen op een K3,3.

Om dat te kunnen doen moeten we eerst aantonen dat het vlak zonder een kromme die niet gesloten is samenhangend is.

Propositie 2.16. Als P een enkelvoudige kromme in het vlak is, dan is R2\C samen-hangend.

Bewijs. Laat p, q twee punten in R2_{\P en laat d een positief getal zijn zodanig dat beiden}

punten een afstand groter dan 3d van P verwijderd zijn. We willen p, q verbinden door middel van een enkelvoudige polygonale kromme in R2\P . Aangezien P het beeld is van een continue afbeelding, kunnen wij hem partitioneren in segmenten P1, P2, ..., Pk

zodanig dat Pi de punten pi en pi+1verbindt voor i = 1, 2, ..., k en zodanig dat elk punt

op Pi een afstand heeft van minder dan d van pi met (i = 1, 2, ..., k − 1). Laat d0 de

kleinste afstand tussen Pi en Pj, 1 ≤ i ≤ j − 2 ≤ k − 2. Merk op dat d0 ≤ d, want

elk punt op Pi met de grootste afstand tot pi heeft nog steeds ten hoogste afstand d

volgens de aanname. Voor elke i = 1, 2, ..., k, kunnen we Pi partitioneren in segmenten

Pi,1, Pi,2,...,Pi,ki zodanig dat Pi,j de punten pi,j en pi,j+1 verbindt voor j = 1, 2, ..., ki− 1

zodanig dat elk punt op Pi,j een afstand d0/4 heeft tot pi,j, oftewel elke Pi partitioneren

we weer in stukken van lengte d0/4.

Laat Γi de graaf zijn die de vereniging van randen van vierkanten is zodanig dat

die bestaat uit horizontale en verticale lijnen van lengte d0/2 en met het punt pi,j als

middenpunt. Dan voldoen de grafen Γ1, Γ2,...,Γk aan de aanname van Lemma 2.10.

Dus zowel p als q zit in het buitenfacet van Γ1 ∪ Γ2∪ ... ∪ Γk, want ze zitten buiten de

schijf van radius 3d vanaf elke pi en elke Γi∪ Γi+1 zit binnen die schijf. Overigens is P

een enkelvoudige kromme, dus doorsnijdt dat buitenfacet niet. Dus geldt voor elke p en q in het vlak, dat we ze kunnen verbinden met een enkelvoudige polygonale kromme, disjunct van P .

Definitie 2.17. Als C een gesloten deelverzameling is van het vlak en Ω is een gebied van R2_{\C, dan is een punt p in C toegankelijk van Ω als voor enig (en dus elk) punt q}

in Ω, er een enkelvoudige polygonale kromme bestaat van q naar p die alleen p gemeen heeft met C.

Als C een enkelvoudige gesloten kromme is, dan hoeft p niet toegankelijk te zijn van Ω, want het zegt dat C wild genoeg kan zijn dat we niets meer kunnen zeggen over de benadering van het gebied R2\C, zoals bijvoorbeeld de kromme van Koch in Figuur 2.1. Dit is een vrij cruciaal element van het bewijs, want als P een kromme op C is die p bevat, dan zegt Propositie 2.14 dat R2_{\(C\P ) samenhangend is en daardoor een}

enkelvoudige polygonale kromme P0 _{bevat van q naar een gebied van R}2\C verschillend van Ω. Dan snijdt P0 de kromme C in een punt van P . Aangezien P arbitrair klein

C q1

q2 q3

Figuur 2.4: De K3,3die zou ontstaan als we vanuit elke Ωieen polygonale kromme zouden

trekken naar de drie disjunkte Qi’s.

gekozen kan worden kunnen concluderen dat punten op C die toegankelijk van Ω zijn, dicht in C zitten. Nu kunnen we beginnen aan het bewijs van de stelling.

Stelling 2.18 (De stelling van Jordan). Als C een enkelvoudige gesloten kromme is in het vlak, dan heeft R2_{\C precies twee gebieden en elk daarvan heeft C als rand.}

Bewijs. Merk op dat we door Propositie 2.9 weten dat R2\C minstens 2 gebieden heeft. Neem aan dat q1, q2, q3 punten zijn in verschillende gebieden Ω1, Ω2, Ω3 van R2\C.

Laat Q1, Q2, Q3 paarsgewijs disjuncte segmenten van C zijn. Nu willen we polygonalen

construeren zodat we q1, q2, q3 kunnen verbinden aan de drie gebieden Ω1, Ω2, Ω3 en

daar een K3,3 uit krijgen, wat ons een contradictie zou opleveren. Volgens de opmerking

na Definitie 2.17 heeft Ωi een enkelvoudige polygonale kromme Pi,j van qi naar Qj voor

i, j = 1, 2, 3. We kunnen aannemen dat Pi,j∩ Pi,j0 = q_i for j 6= j0. Als dit niet het geval

is, dan raakt Pi,j de kromme Pi,j0 in een ander punt dan q_i of ze kruisen elkaar. Maar

het moment dat Pi,j0 de kromme P_i,j voor het eerst gaat kruisen of raken, tekenen we

een nieuwe polygonale kromme dicht langs Pi,j die naar qi loopt. Deze nieuwe Pi,j0 0 heeft

alleen qi gemeen met Pi,j.

Het is duidelijk dat Pi,j∩ Pi0_,j0 = ∅ wanneer i 6= i0, want dan zitten ze in verschillende

gebieden Ωi. Dan kunnen we vervolgens, door eventueel segmenten uit Q1, Q2, Q3 toe

te voegen, de vereniging van alle krommes Pi,j (i, j = 1, 2, 3) uitbreiden tot een planaire

graaf die isomorf is aan K3,3 (Figuur 2.4). Nu hebben we een contradictie met Lemma

2.8. Dus R2_{\C heeft precies twee gebieden uitw(C) en inw(C). Omdat alle punten op}

C toegankelijk zijn van Ωi, i = 1, 2 weten we dat elk punt op C dicht in C zit, dus zitten

ze zeker in de afsluiting van C zonder uitw(C) en inw(C), oftewel de rand van C. Nu breiden we net als in de eerste sectie van dit hoofdstuk de stelling uit naar meerdere gebieden.

Lemma 2.19. Laat C een enkelvoudige gesloten kromme en P een enkelvoudige polygo-nale kromme in inw(C) zodanig dat P verbindt p en q op C en deelt geen andere punten met C. Laat P1 en P2 de twee krommes op C van p naar q. Dan heeft R2\(C ∪ P )

precies 3 gebieden wiens randen zijn C, P1∪ P en P2∪ P .

Bewijs. Net als in het bewijs van Lemma 2.9, is het enige niet-triviale gedeelte om te bewijzen dat inw(C) gepartitioneerd wordt in minstens 2 gebieden. Als de uiteindes van L2 net zoals in 2.8 in hetzelfde gebied van R2\(C ∪ P ) zitten, dan bevat dat gebied een

polygonale kromme P3zodanig dat P3∪L2een enkelvoudige gesloten polygonale kromme

is. Naar het bewijs van 2.7 zitten de uiteindes van L1 in verschillende gebieden van

R2\(P3∪ L2). Maar ze zijn allebei ook in hetzelfde gebied van R2\(P3∪ L2) aangezien

ze verbonden worden door een enkelvoudige kromme in P ∪ C die P3∪ L2 niet snijdt.

Deze tegenspraak bewijst Lemma 2.18.

2.3 De stelling van Jordan-Sch¨

onflies en de

classificatie van oppervlakken

Vervolgens gaat Thomassen verder met een brug bouwen naar de algebra¨ısche topologie. De bewijzen hiervan zullen we niet uitwerken, maar zijn wel interessant voor verdere resultaten in dit paper, en we verwijzen daarom naar het artikel van Thomassen voor de uitwerkingen [10].

Stelling 2.20 (De Stelling van Jordan-Sch¨onflies). Als f een homeomorfisme van een enkelvoudige gesloten kromme C naar een enkelvoudige gesloten kromme C0, dan kan f uitgebreid worden tot een homeomorfisme van het hele vlak.

Definitie 2.21. Als F een gesloten verzameling in het vlak is, dan noemen we het punt p in F kromme-toegankelijk als voor elk punt q die niet in F zit geldt dat er een enkelvoudige kromme is van q naar p die alleen p gemeen heeft met F .

De stelling van Jordan-Sch¨onflies impliceert dat elk punt op een enkelvoudige gesloten kromme kromme-toegankelijk is. Dus kunnen we de stelling van Jordan uitbreiden. Stelling 2.22. Als F een gesloten verzameling in het vlak met minstens 3 kromme-toegankelijke punten, dan heeft R2\F hoogstens 2 gebieden.

Stelling 2.23. Laat Γ en Γ0 2-samenhangende planaire grafen in het vlak zodanig dat g een homeomorfisme en g draagt alle facetten van Γ over via isomorfisme in de facetten van Γ0. Dan kan g uitgebreid worden tot een homeomorfisme van het hele vlak.

Definitie 2.24. We noemen G een 2-cell inbedding in S als het volgende geldt:

Beschouw in het vlak een eindige collectie paarsgewijs disjunkte convexe polygonalen met hun inwendige zodanig dat alle zijdes lengte 1 zijn. Vorm een topologische ruimte S als volgt: Elke zijde van een polygoon wordt geindentificeerd met precies 1 zijde in

een andere (of dezelfde) polygoon. De graaf G defini¨eeren wij als S met punten in de hoeken en zijdes als lijnen. S is compact. S heet een oppervlak dan en slechts dan als S samenhangend is en S is lokaal homeomorf aan een schijf bij elk punt v ∈ V (G).

Als alle polygonalen driehoeken zijn, noemen we G een triangulatie van S en is S een getrianguleerd oppervlak. Bij een triangulatie mogen we aannemen dat hij bestaat uit minstens 4 driehoeken en geen dubbele lijen.

Stelling 2.25. Elk oppervlak S is homeomorf aan een getrianguleerd oppervlak.

We beschouwen een oppervlak Sg van genus g, als een bol met g hendels toegevoegd.

Sg noemen we ook wel een orienteerbaar oppervlak. Zo is S0 de bol, S1 de torus, S2

de dubbele torus enzovoorts. Een oppervlak Ng met genus g, is dan een bol met g

gedraaide hendels toegevoegd. Dit zijn niet-ori¨enteerbare oppervlakken en die zullen we in dit onderzoek niet behandelen.

Stelling 2.26. Laat S een oppervlak en G een 2-cell inbedding van S met n punten, e lijnen en f facetten. Dan is S homeomorf aan ofwel Sh ofwel Nk waar h en k gedefini¨eerd

worden door de gelijkheid

3 De Stelling van Kuratowski

Een graaf wordt planair genoemd als het ingebed kan worden in het vlak, in andere woorden als hij isomorf is aan een graaf in het vlak waar elk lijnstuk disjunct is van elk ander lijnstuk, op alle punten van de graaf na. We noemen een graaf maximaal planair als hij planair is zodanig dat we geen lijn of punt kunnen toevoegen zodat hij nog steeds planair is. Om planariteit algemeen te kunnen karakteriseren werd door Kazimier Kuratowski een stelling gepubliseerd in 1930 [6], waarbij een graaf planair zou zijn als hij geen subdivisies zou bevatten van de twee eenvoudigste niet-planaire grafen, K5 en K3,3. Een paar jaar later bewees Wagner [12] een equivalente stelling, maar dan

met betrekking tot minoren. Alle bewijzen uit dit hoofdstuk komen uit Diestel [2]. Definitie 3.1. Laat e = xy een lijn van G. Laat G/e de graaf zijn verkregen van G waarbij we e verwijderen en zijn uiteindes, x en y, identificeren tot een nieuw punt vxy.

Dan contraheren we de lijn e.

Definitie 3.2. Een graaf G is een IX van X als de puntenverzameling V (X) een partitie toestaat {Vx|x ∈ V (X)} waarbij Vx samenhangende componenten zijn zodanig dat twee

verschillende punten x, y ∈ X buren zijn dan en slechts dan als G een lijn bevat van Vx naar Vy. Deze Vx worden de takverzamelingen van IX genoemd. Als Y een IX als

deelgraaf bevat, dan noemen we X de minor van Y en schrijven we X  Y .

Anders gezegd kunnen we een minor zien als een gepartitioneerde deelgraaf, waar elk takverzameling gecontraheerd wordt tot ¨e¨en punt.

Op vergelijkbare wijze kunnen we vervolgens nieuwe definitie van een subdivisie geven:

Y IX X

Figuur 3.1: De graaf IX is deelgraaf van Y die gepartitioneerd wordt in drie Vx (de

Definitie 3.3. Als een graaf G een subdivisie van X is, dan is G een T X. Als een graaf Y een T X als deelgraaf bevat noemen we X een topologische minor van Y en schrijven we X T op Y .

Met deze definities van minoren kunnen we nu gaan kijken naar de equivalentie van Kuratowski en Wagner:

Stelling 3.4 (De Stelling van Kuratowski). (Kuratowski 1930, Wagner 1937) De volgende uitspraken zijn equivalent voor graaf G:

i) G is planair.

ii) G bevat noch K5 noch K3,3 als minor.

iii) G bevat noch K5 noch K3,3 als topologische minor.

Lemma 3.5. i) ⇒ iii) Als G planair is, dan bevat G noch K5 noch K3,3 als topologische

minor.

Bewijs. We weten door Lemma 2.8 dat K3,3 niet planair is, dus G bevat in ieder geval

geen K3,3. Stel dat K5 wel planair is. Dan volgt uit Lemma 2.4 dat we een planaire

inbedding van K5 kunnen vinden zodat alle lijnen enkelvoudige polygonale krommes

zijn. Laat X deze inbedding in R2 en laat x een punt van X van graad 4 zijn. We dan een open bol om x nemen waarbinnen we x splitsen (het tegenovergestelde van contraheren) in de lijn x1x2 en alle polygonen binnen de bol vervangen door nieuwe

polygonen, waarvan 2 naar x1 lopen en 2 naar x2. Dan krijgen we een nieuwe tekening

in het vlak X0 die een K3,3 bevat, tegenspraak. Dus K5 is niet planair.

Lemma 3.6. iii) ⇔ ii) G bevat noch K5 noch K3,3 als minor dan en slechts dan als G

noch K5 noch K3,3 als topologische minor bevat.

Bewijs. We bewijzen dat een graaf G de Kuratowski grafen K5 of K3,3 als topologische

minor heeft dan en slechts dan als G ze als minor heeft. Het is duidelijk te zien dat elke topologische minor ook een minor is. Als de maximum graad van G drie is dan is elke minor van G ook zijn topologische minor, want elke minor is weer een deelverzameling van G, oftewel de meest triviale topologische minor die we kunnen vinden. dus weten we dat K3,3 ook een topologische minor is en hoeven we alleen te laten zien dat als K5

een minor van G is, K5 een topologische minor van G is of K3,3 een minor van G.

Dus stel K5 is een minor van G. Laat K een minimale IK5 deelgraaf van G. Dan

induceert elke Vx een boom in K (door minimaliteit), en elke takverzameling is

verbon-den met de ander door middel van 1 lijn. We pakken de boom geinduceerd door Vx en

verbinden die aan de andere 4 takverzamelingen. De hierdoor verkregen boom noemen we Tx. Deze boom heeft precies 4 uiteinden, de vier buurpunten in andere

takverzame-lingen. Als elke van de vijf bomen een T K1,4 is, is K een T K5. Als 1 van de bomen dat

niet is, dan heeft hij precies 2 punten van graad 3 (Figuur). Als we Vx dan contraheren

tot deze 2 punten en de andere takverzamelingen tot 1 punt, dan krijgen we een graaf van 6 punten die een K3,3 bevat en is K3,3 een minor van G.

Zo laten we zien dat als K5 of K3,3 topologische minoren van G zijn ze ook minoren

zijn. Als K3,3 een minor is, dan ook een topologische en, tot slot, als K5 een minor

is bevat hij een T K5 of een IK3,3 (dus een T K3,3.) Dus kunnen we concluderen dat

K5, K3,3 6 G ⇔ K5, K3,3 6T opG.

Lemma 3.7. ii) ⇒ i)

Als G noch K5 noch K3,3 als minor bevat, dan is G planair.

We bewijzen dit eerst voor 3-samenhangende grafen en dan laten we zien dat voor |G|≥ 4 en G lijn-maximaal en dat als subdivisies van K5 of K3,3 niet in G zitten dan is

G 3-samenhangend. Dit bewijzen we door middel van twee lemmas:

Lemma 3.8. Elke 3-samenhangende graaf G zonder minoren K5 of K3,3 is planair.

Bewijs. We bewijzen dit met gebruik van inductie op het aantal punten van G. Voor |G| = 4 is G een K4 _{en zitten we goed. Laat |G| > 4 en neem aan dat het geldt voor}

kleinere grafen. Er is een lijn xy zodanig dat G/xy weer 3-samenhangend is. Duidelijk kan G/xy geen K5 of K3,3 bevatten als minoren. Dankzij de inductie hypothese weten

we dan dat er in het vlak een tekening ˜G bestaat van G/xy. Laat f het facet zijn van ˜

G − vxy waar het punt vxy in zit, en laat C de rand van f . Laat X:=NG(x)\{y} en

Y:=NG(y)\{x} en dan weten we dat X ∪ Y ⊆ V (C) omdat vxy in het facet f zit. Als we

nu alle lijnen weghalen die vxy verbindt met punten uit Y , houden we een tekening over,

noem hem ˜G0 over van G − y waarin het punt x de plek inneemt van vxy. Nu moeten

we y toevoegen aan deze tekening zodanig dat we een tekening van G overhouden. Aangezien ˜G een 3-samenhangende graaf is, is ˜G − vxy samenhangend. In een

2-samenhangende graaf wordt elk facet door een circuit begrensd, dus C is een circuit. Laat x1, ..., xk een nummering langs alle punten in X en laat Pi = xi...xi+1 de paden

zijn langs C tussen twee punten van X (daar zitten misschien nog punten van Y tussen) met xk+1 := x1 en i = 1, ..., k.

Nu willen we laten zien dat Y ⊆ V (Pi) for een i, want dan weten we dat de lijn die

we erbij willen tekenen niet zal kruisen met de andere lijnen uit vxy. Stel van niet. Als y

een buur y0 ∈ ˚Pi heeft voor een i, en een andere buur y00∈ C − Pi dan worden deze twee

punten y0, y00 gescheiden van elkaar op C door middel van twee punten xi en xi+1 (deze

sluiten Pi aan weerszijde van y0 af). Als Y ⊆ X en |X ∩ Y | ≤ 2, dan heeft y precies

twee buren y0, y00 op C maar niet in dezelfde Pi. Dus dan zijn y0 en y00 weer gescheiden

door de xi die Pi afsluiten. In beide gevallen zijn x, y0, y00 en y, xi, xi+1 de punten van

een T K3,3 in G (Figuur 3.2). Dit is in contradictie met de planariteit van G. Als y en

x drie gemeenschappelijke buren in G hebben, vormen ze een T K5 met de lij xy erbij,

ook een contradictie.

Dus Y ⊆ Pi. C\Pi is bevat in het binnen- of buitenfacet van het circuit Ci:=xxiPix.

Noem het binnenfacet fi. Aangezien fi punten bevat van f (dichtbij x) maar geen

x C Pi xi xi+1 C y fj

Figuur 3.2: De blauwe punten y0, y00 vormen samen met de punten x(= vxy), y, xi, xi+1

een subdivisie van de K3,3 zoals weergegeven in Figuur 2.3.

C\Pi gaan. Dus fi zit bevat in een facet van ˜G0. Dus door y en zijn incidente lijnen in

fi te plaatsen is het mogelijk om een tekening van G te maken vanuit de tekening ˜G0.

Dus G is planair.

Nu laten we zien dat als we bij een gegeven graaf G lijnen gaan toevoegen tot hij lijn-maximaal is met betrekking tot de eigenschap T K5, T K3,3 6⊆ G, hij 3-samenhangend

moet zijn. Lijn-maximaal wil hier zeggen dat als we een lijn toevoegen aan G de eigen-schap niet meer geldt. We mogen hier van IK5, IK3,3 naar T K5, T K3,3 wisselen doordat

we het ontbreken van beide hierboven als equivalent hebben aangetoond.

Lemma 3.9. Als |G| ≥ 4 en G is lijn-maximaal m.b.t. T K5, T K3,3 6 G, dan is G

3-samenhangend.

Bewijs. We bewijzen dit weer met inductie op de grootte van G. Voor |G| = 4 is G weer een K4 _{en geldt de aanname. Laat |G| > 4 en laat G lijn-maximaal zonder K}

5 en K3,3.

Stel dat G 2-samenhangend is of minder, dan bestaat er een punt-snede S = {x, y}, en een verdeling van G in G1 en G2 zodanig dat G1∩ G2 = S. In Diestel [2] (p. 105) wordt

bewezen dat S dan een K2 _{moet zijn en dat zij ook lijn-maximaal zijn met betrekking}

tot T K5, T K3,3 6⊆ G. Dan zijn volgens de inductie hypothese G1, G2 driehoeken of

3-samenhangend, zonder K5 en K3,3 als minoren, dus zijn ze planair volgens Lemma

3.8.

Nu laten we zien dat als ... . Kies voor beide Gi een tekening, een facet fi met de

lijn xy op zijn rand, en een punt zi 6= x, y op de rand van fi. Laat K een T K5 of T K3,3

in de graaf G + z1z2, waarbij we een lijn toevoegen aan G aan twee punten buiten de

punt-snede om. Stel zonder verlies van algemeenheid dat alle takverzamelingen van K in G1 zitten. Dan zou de lijn z1, z2 in E(K) moeten zitten. Door 2-samenhangendheid zou

een pad in K via z1, z2 via een ander pad in G2 terecht moeten komen in G1 via ofwel

te komen en dan bevat Gi een Kuratowski subdivisie, maar dat spreekt zijn planariteit

tegen (zeker aangezien we zi op de rand hadden gekozen).

Aangezien G + z1z2 geen vier onhafhankelijke paden kan voorzien tussen (G1− G2) en

(G2 − G1), vanwege de grootte van S, maar hoogstens 3, kunnen G1 en G2 niet allebei

een takverzameling van T K5 bevatten of twee takverzamelingen van T K3,3. Dus moet

K een T K3,3 zijn met een takverzameling punt v in bijvoorbeeld (G2− G1). Maar dan

voegen we lijnen vx, vy, vz1 toe aan G1 en verkrijgen we een, door de keuze van z1,

planaire uitbreiding van G1 die een T K3,3 bevat, dus dat leidt tot een tegenspraak. Dus

κ(G) ≤ 2 leidt tot een tegenspraak, dus G is 3-samenhangend.

Nu we hebben bewezen dat een graaf G zonder Kuratowksi minoren of topologische minoren planair moet zijn, hebben we het laatste argument voor de volledige equivalentie van Kuratowski en Wagner.

4 Verboden Minoren

Eigenschappen van grafen die gesloten zijn onder het nemen van minoren komen veel voor in de grafentheorie. Een voor de hand liggend voorbeeld is de eigenschap dat een graaf ingebed kan worden in een vast oppervlak, zoals planairiteit. De stelling van Ku-ratowski geeft ons een karakterisatie voor planairiteit van een graaf G uitgedrukt door het verbieden van K3,3 en K5 als minoren van G. Het vinden van een IK3,3 of IK5 is

als het ware een bewijsstuk voor niet-planairiteit, of een “verboden” eigenschap voor planairiteit. Stellingen die een eigenschap P karakteriseren door een verzameling verbo-den minoren, zijn zeer aantrekkelijke resultaten in de grafentheorie en zo’n verzameling verboden minoren is dan wenselijk zo klein mogelijk [7] [2].

In dit hoofdstuk zal er gekeken worden naar de karakterisatie van planairiteit voor andersoortige oppervlakken dan het vlak R2 _{door middel van een verzameling verboden}

minoren. We zullen ons voor het gemak richten op ori¨enteerbare oppervlakken. Als eerste zal er het een en ander gedefini¨eerd moeten worden over verboden minoren.

4.1 De Stelling van Robertson-Seymour

Definitie 4.1. Gegeven een verzameling of klasse grafen H, dan is de klasse F orb(H) = {Alle grafen G zodanig dat H ∈ H niet een minor is van G} gesloten onder grafen isomorfisme en dit noemen we een graaf eigenschap P.

Als we de bovenstaande definitie bijvoorbeeld toepassen op de klasse van Kuratowski grafen χ = {K3,3, K5}, dan krijgen we alle grafen zodanig dat hij geen elementen uit

χ als minor bevat. Dit karakteriseert dus eenvoudig de verzameling van alle planaire grafen! Belangrijk daarvoor wel is de volgende Propositie uit Diestel [2].

Propositie 4.2. Een graaf eigenschap P kan gerepresenteerd worden door verboden minoren dan en slechts dan als hij gesloten is onder het nemen van minoren. Dat wil zeggen, elke minor van een graaf in P heeft weer de eigenschap P.

In weze kunnen we de “verboden” eigenschap P van een klasse grafen beter defini¨eren als P = F orb(P) waar P het complement is van P. Bijvoorbeeld:

Als P gelijk staat aan de eigenschap “G is een boom”. Dan kijken we naar alle grafen die circuits bevatten, want een boom heeft geen circuits. Maar als we de essentiele informatie van deze grafen bekijken dan is ´e´en circuit eigenlijk genoeg om een niet-boom te karakteriseren. Dus als we deze verzameling dan kleiner maken door alleen de kleinste

G

Figuur 4.1: De graaf G is niet een boom, omdat we hem kunnen contraheren tot een K3,

ofwel hij bevat een circuit.

minoren van elke graaf te nemen zodat de eigenschap “G is een boom” nog geldt, dan houden we alleen nog K3 over, de kleinste circuit mogelijk. Dus de verzameling verboden

minoren voor P = {“G is een boom”} is FP = {K3}.

Zodoende krijgen we de volgende definitie:

Definitie 4.3. De verzameling verboden minoren voor een eigenschap P defini¨eren we als

FP := {H|H is minor-minimaal in P}

Nu we een definitie voor verboden minoren hebben, kunnen we gaan kijken naar andere oppervlakken.

Definitie 4.4. De genus van een graaf G γ(G) is het minimum gehele getal g zodanig dat er een inbedding bestaat van G in het ori¨enteerbare oppervlak Sg met genus g.

Dit brengt ons tot de stelling van Robertson-Seymour [8], die in een reeks van 20 artikelen tussen 1983 en 2004 tot zeer belangrijke resultaten zijn gekomen.

Stelling 4.5 (De Stelling van Robertson-Seymour [8]). Eindige grafen zijn quasi-welgeordend door de minor relatie .

Gevolg 4.6. De verzameling verboden minoren voor een minor-gesloten graaf eigenschap is eindig.

Gevolg 4.7. Voor elk oppervlak S bestaat er een eindige verzameling grafen H1, ..., Hn

zodanig dat elke graaf G in te bedden is op S dan en slechts dan als Hi 6 G voor alle

i = 1, ..., n.

4.2 Grenzen voor de verzameling verboden minoren

Stelling 4.7 geeft ons dat verzamelingen verboden minoren eindig zijn, maar niet hoeveel precies en van welke vorm. Seymour [11] is met het volgende resultaat gekomen

Stelling 4.8 (Seymour [11]). Laat Sg het ori¨enteerbare oppervlak zijn van genus g. Dan

geldt voor de verzameling verboden minoren FSg.

226g+99 ≥ |FSg|

Bewijs. Voor het bewijs hiervan refereren we naar Thomassens versimpelde bewijs [9].

Dit geeft ons een bovengrens voor de verzameling. In dit hoofdstuk zijn we

ge¨ınteresseerd in een geschikte ondergrens voor het aantal verboden minoren voor een oppervlak Sg van genus g. Om deze grens te bepalen in termen van g zouden we een

soort grafenconstructie willen maken die voor algemene g een deel van de verzameling te kunnen reproduceren. We gaan daarvoor de additiviteit van de genus gebruiken, een stelling die Battle, Harary, Kodoma and Young [1] hebben bewezen die essentieel is voor het vinden van de ondergrens.

Definitie 4.9. Als x een punt van een samenhangende graaf G is, zodanig dat G − x onsamenhangend is, dan noemen we x een puntsnede van G. Een maximaal samenhan-gende deelgraaf H van G zonder puntsnedes noemen we een blok.

Stelling 4.10 (De additiviteit van de genus [1]). De ori¨enteerbare genus van een graaf G is gelijk aan de genera van zijn blokken.

Bewijs. Voor het bewijs verwijzen we naar het boek van Mohar en Thomassen [7] (p.113). Het bewijs maakt gebruik van facetwandelingen waarbij de volgorde van de randen van de facetten wordt gebruikt.

4.3 Ondergrens

De genus van de additiviteit geeft ons de mogelijkheid in termen van g voor elk oppervlak Sg een verzameling grafen te bouwen die in ieder geval niet in te bedden zijn op Sg. In

feite zal dit ons een ondergrens voor de verzameling verboden minoren voor het oppervlak Sg geven. We zullen dit doen door een rijtje componenten te construeren, waarbij elk

component met precies ´e´en punt verbonden wordt aan het volgende component in het rijtje en gebruiken daarbij de bouwstenen K5 en K3,3. Op deze manier zullen we een

graaf Ig _{verkrijgen met g blokken van K}

5 en K3,3, waarvan, door Stelling 4.8, de genus

g is. Alle elementen uit de verzameling van alle permutaties van dit rijtje zijn allemaal grafen die niet in te bedden zijn op een oppervlak met genus kleiner dan g. Maar twee grafen uit deze verzameling die symmetrie¨en van elkaar zijn, kunnen uiteraard niet allebei in FSg zitten. Wanneer we alle symmetrie¨en uit de verzameling permutaties halen

verkrijgen we zo een ondergrens voor FSg.

Propositie 4.11. Laat Sg het ori¨enteerbare oppervlak zijn van genus g met g ≥ 1. Dan

geldt voor de verzameling verboden minoren FSg.

|FSg| ≥ 2

. . . . . . . . . .. . . . . g

Figuur 4.2: Alle grafen uit Ig. De gestreepte lijn laat zien waar de puntsnede’s komen

te zitten.

Bewijs. Beschouw K3,3als de inbedding gedefini¨eerd in Lemma 2.8 en K5in zijn bekende

vorm, zo dat alle punten van beide grafen op het circuit zitten wat grenst aan het buitenfacet. Laat χ = {K3,3, K5} en we bouwen met elementen van χ een graaf Iig van

de vorm X1 ∪ X2 ∪ ... ∪ Xg met Xi ∈ χ, i = 1, 2..., g en g de genus van het oppervlak

waar we de ondergrens voor zoeken. We bouwen het rijtje zodanig dat voor elke Xi hij

precies 1 punt gemeen heeft met elke Xi−1 en Xi+1 en geen punten gemeen heeft met

andere grafen Xj, (j = 2, 3, ..., g − 1). Neem ook aan dat X1 ∩ Xg = ∅. We nemen ten

slotte aan dat de positie van de puntsnede vi die tussen Xi en Xi+1 zit, unique is voor

elke combinatie Xi en Xi+1, dus dat twee rijen met dezelfde volgorde aan elementen uit

χ, dezelfde graaf moet zijn. Voor elke g krijgen we dan de verzameling grafen Ig (Figuur

4.2).

Vervolgens gaan we de grafen uit Ig identificeren met de verzameling g-tupels {0, 1}g.

Dit doen we door een K3,3 element te identificeren met elke 0 uit het element x ∈ {0, 1}g

en een K5 element te identificeren met elke 1 uit x. Zo krijgen we

G : {0, 1}g −→ Ig, x = (x1, x2, ..., xg) 7−→ Gx = Ixg

Zo krijgen we bijvoorbeeld de eerste rij uit Figuur 4.2 als we het element (0,0,...,0) in G stoppen. Nu bewijzen we de volgende claims.

Claim 1. Elke graaf Gx is zit in FSg.

Alle blokken hebben een genus 1, en er zijn g blokken, dus dankzij stelling 4.8 krijgen we γ(Gx) = g. Nu moeten we nog dat hij minor-minimaal is. Omdat K5 en K3,3

van g naar g-1 daalt vanwege de additiviteit van de genus. Dus Gx is minor-minimaal.

Dit bewijst de eerste claim.

Nu defini¨eren we voor x ∈ {0, 1}g het element xT als xT = (xg, ..., x1) waar x =

(x1, ..., xg).

Claim 2. Als Gx= Gy, dan x = y of x = yT.

Onder een isomorfisme moet een puntsnede naar een puntsnede gestuurd worden en verder moet de volgorde van deze vertices behouden blijven. Dat wil zeggen Gx heeft

g − 1 puntsnedes, dus het beeld van het k-de punt moet weer het k-de punt zijn of het (g − 1 − k)-de punt. We nemen aan de g − 1 even is. Door nu het middelste punt te kiezen in Gx, dan kan deze op twee mogelijke posities in Gx liggen en daarmee liggen

de beelden van de puntsnedes vast en daarmee dus ook de verdeling van de kopie¨en van K5 en K3,3. Analoog tonen we dit aan voor g − 1 oneven. Hieruit volgt dus dat x = y

of x = yT_.

Het getal |{Gx | x ∈ {0, 1}g}| kunnen we beschouwen als de grootte van alle elementen

van {0, 1}g_{, 2}g_{, met alle spiegel-symmetrische rijtjes weggedeeld en de elementen die}

hun eigen spiegelbeeld zijn (alle combinaties tot aan het g/2-de element) er bij opgeteld: 2g−1+ 2bg/2c. Nu hebben we dat {Gx| x ∈ {0, 1}g} bestaat uit elementen van FSg voor

elke g ≥ 1, dus |FSg| ≥ |{Gx| x ∈ {0, 1}

5 Conclusie

We hebben een direct verband gezien tussen de stelling van Jordan en de classificatie van oppervlakken. Via het bewijs van de stelling van Jordan hebben we een ander perspectief verkregen voor een bewijs van de stelling van Kuratowski. Maar wat we hebben geleerd van het artikel van Thomassen[10], is dat een facet van een graaf die ingebed is op een oppervlak goed gedefini¨eerd is doordat zijn inwendige bestaat. De eulerformule voor oppervlakken van Stelling 2.24 biedt ons gereedschappen om de genus van de additiviteit te bewijzen, die weer essentieel is voor het bewijs van Propositie 4.9. We hebben gezien dat het niet moeilijk is om een ondergrens te defini¨eren voor FSg. De

ondergrens is niet heel scherp, al is hij wel exponentieel. Seymour, en later Thomassen [9] hebben aangetoond dat de bovengrens dubbel exponentieel is. In het geval van de torus (S1) geeft Propositie 4.9 ons een ondergrens van 3. De bovengrens van Seymour

geeft ons echter ongeveer 1, 89 · 1081_{. Op basis van verschillende onderzoeken geeft het}

boek van Mohar en Thomassen [7] ons dat er meer dan 2200 minimale verboden minoren voor de torus zijn. Het aanscherpen van de grenzen is klaarblijkelijk nog een uitdaging. Het resultaat van Propositie 4.9 zou in veel opzichten verbeterd kunnen worden. Zo hebben we alleen gekeken naar het geval waarbij de puntsnedes tussen twee grafen telkens hetzelfde zijn. Het zou nog een hoop andere niet-isomorfe grafen opleveren als we in het rijtje I_ig ook nog kijken naar de positie van elke puntsnede van Xi. Loops maken met Iig’s

zou ook veel andere opties kunnen leveren. Het probleem is echter dat dit de ondergrens hoogstens een beetje zou aanscherpen, maar niet dubbel exponentieel zou maken. Glover et al.[4] hebben de volledige verzameling verboden minoren voor het niet-ori¨enteerbare oppervlak van genus 1 geminimaliseerd tot 103 grafen. Hetzelfde zou door middel van een hoop handarbeid bereikt kunnen worden voor de torus. Gagarin et al.[3] laten alle obstructies voor de torus zien, die geen K3,3 bevatten en poneren dat om FSg volledig te

maken, we de verzameling op moeten breken in deformeerbare subklasses. Een volledig lijst verboden minoren kan in ieder geval niet voor elk oppervlak handmatig obgebouwd worden, aangezien het aantal minoren dubbel exponentieel groeit. Paul Erd¨os vroeg zich meer dan 40 jaar geleden af of we een stelling van Kuratowski voor elk oppervlak kunnen formuleren [4], maar de vraag blijft nog steeds onbeantwoord.

6 Populaire samenvatting

Wanneer we in de wiskunde een bewijs opschrijven, moet dat grondig zijn. Voor veel problemen is dat een kwestie van alle gevallen afgaan. Welke gevallen dat zijn is voor het ene probleem makkelijker te zien dan de ander. Vaak is het zelfs, dat des te makkelijker het probleem lijkt, des te moeilijker het is om te zien hoe een bewijs tot stand zou moeten komen. Als we bijvoorbeeld het vlak nemen, het veld beschreven door de x- en y-as, en we tekenen een cirkel, dan kunnen we zien dat die cirkel het vlak verdeelt in twee delen, de binnenkant en buitenkant van de cirkel (zie Figuur 6.1). Maar kunnen we zeggen dat voor elke lijn die we tekenen in het vlak, die we weer sluiten door hem door te trekken naar zijn beginpunt, een binnen- en buitenkant heeft?

Het antwoord is, logischerwijs, ja en de vraag heeft ook een wiskundige formulering: de stelling van Jordan. De stelling van Jordan stelt dat een enkelvoudige gesloten kromme C het vlak verdeelt in precies twee delen: het inwendige en het uitwendige van de kromme. Dat het antwoord ja is, kunnen we allemaal zien door in het wilde weg gesloten lijnen op een papier te tekenen en het aantal gebieden te tellen. Maar een wiskundig bewijs moet grondiger zijn dan puur een tekening. In deze scriptie bekijken we het artikel van Carsten Thomassen die de stelling van Jordan heeft bewezen door middel van een vakgebied van de wiskunde genaamd grafentheorie. Een graaf is een verzameling punten en lijnen, waarop een lijn tussen twee punten kan bestaan of niet en twee lijnen hoogstens een punt delen als uiteinde.

Wat mooi is aan het bewijs van Thomassen, is dat hij een grote stelling van de gra-fentheorie in direct verband legt met de stelling van Jordan, de stelling van Kuratowski. Als we weer naar de gesloten kromme in het vlak kijken, maar dan met punten bij de kruisingen en twee lijnen er aan toegevoegd zodat het een graaf wordt. We tellen nu 4 gebieden. Als we in de grafentheorie een graaf met de naam K3,3 zouden willen tekenen

zouden we een lijn moeten toevoegen door twee gebieden heen, maar de stelling van Jordan vertelt ons, dat dit niet zou kunnen. De graaf K3,3 heet daarom niet-planair.

De rest van mijn scriptie wijd ik aan een zoektocht naar karakterisatie voor andere vormen van “planairiteit”. Ik bekijk andere wiskundige objecten, zoals de torus (of de fietsband), en kijk of ik bepaalde grafen daar op kan tekenen zodat ze planair zijn. Diegene die dat niet zijn, brengen een verzameling verboden minoren voort. Ik eindig mijn scriptie met een eigen bewijs voor het bestaan van een ondergrens voor het aantal verboden minoren die elk van die wiskundige objecten beschrijft.

Bibliografie

[1] J Battle, F Harary, Y Kodama, J Youngs, Additivity of the genus of a graph, Bulletin of the American Mathematical Society, 68, (565568), 1962.

[2] R Diestel Graph Theory, 3rd edition, Springer-Verlag Heidelberg, New York, 2005. [3] A Gagarin, W Myrvold, J Chambers, Forbidden minors and subdivisions for toroidal

graphs with no K3,3s, Discrete Mathematics, 309, Issue 11, (36253631), 2009. [4] H Glover, J Huneke, C San Wang, 103 Graphs that are irreducible for the projective

plane Journal of Combinatorial Theory, 27, Issue 3, (332-370), 1979. [5] C Jordan Cours d’analyse, (587 - 594), 1887.

[6] K Kuratowski Sur le problme des courbes gauches en topologie, Fundamenta Mathe-maticae, 15, (271 - 283), 1930.

[7] B Mohar, C Thomassen, Graphs on Surfaces, The Johns Hopkins University Press, 2001.

[8] N Robertson, P Seymour A Kuratowski theorem for general surfaces, Journal of Combinatorial Theory, 48, (255 - 288), 1990.

[9] C Thomassen A Simpler proof of the Excluded Minor Theorem for Higher Surfaces, Journal of Combinatorial Theory, 70, (306 - 311), 1997.

[10] C Thomassen, The Jordan-Sch¨onflies Theorem and the Classification of Surfaces, The American Mathematical Monthly, 99, (116 - 130), 1992.

[11] P Seymour, A bound on the excluded minors for a surface, niet gepubliceerd manu-script, 1993.

[12] K Wagner ¨Uber eine Eigenschaft der ebenen Komplexe, Mathematische Annalen, 114, (570 - 590), 1937.

[13] D West Introduction to graph theory, 2nd edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, 2001.