101208ModellenNotitie.pdf

Modellen: definities en principes.

Definities en constateringen

Commentaar en voorbeelden

1

Een model van de werkelijkheid heeft be-trekking op een afgebakend deel van de wer-kelijkheid.

Hier ligt de eerste foutenbron: het deel van de werkelijkheid dat wordt gemodelleerd is in de praktijk niet geïsoleerd van de omgeving en zal daar invloeden van ondervinden. Voor-beeld: een economisch model dat zich beperkt tot één land.

2

Een model bestaat uit

a. een representatie (een vereenvoudigde

beschrijving) van een deel van de werkelijk-heid,

b. een verzameling regels (een theorie)

waaraan de variabelen van de representatie voldoen.

Wanneer de regels niet volgen uit een verifi-eerbare theorie, maar afgeleid zijn uit analo-gieën, is er sprake van een analogiemodel. Modellen die berusten op extrapolatie van waargenomen statistische correlaties beho-ren tot deze categorie.

Het model wordt essentieel beperkt door de vereenvoudigingen die inherent zijn aan de gekozen representatie. Hier ligt de tweede

foutenbron: belangrijke aspecten van de

wer-kelijkheid kunnen ontbreken in de gekozen representatie.

De derde foutenbron ligt in de ontoereikend-heid of onjuistontoereikend-heid van de gebruikte theorie. Voorbeelden van analogiemodellen zijn de weersverwachtingen in almanakken en de zg QSAR ('Quantitative Structure-Activity Rela-tionship') voorspellingen van stofeigenschap-pen.

3

Een model kan statisch of dynamisch zijn. In een statisch model speelt de tijd geen rol; een dynamisch model beschrijft het tijdsver-loop van de variabelen van de gekozen re-presentatie. Bij een dynamisch model moe-ten ook begincondities worden gedefiniëerd.

Een quantummechanisch molecuulmodel is statisch; een model dat chemische reacties in een verbrandingsmotor beschrijft is dyna-misch.

Begincondities zijn een bijzonder geval van de in punt 4 genoemde randvoorwaarden.

4

Het gedrag van een model wordt mede be-paald door – separaat te specificeren –

randvoorwaarden. Dit kunnen specificaties

van de omgeving zijn, of - bij dynamische modellen - van de begincondities.

Het is i.h.a. goed mogelijk de gevoeligheid van de uitkomsten van modellen voor de ge-kozen randvoorwaarden te onderzoeken.

Modellen moeten zich tot een eindig systeem beperken en aannamen maken over het ge-drag aan de randen van het systeem. Hier ligt de vierde foutenbron: die aannamen zijn benaderingen van de werkelijkheid.

Bij dynamische modellen is bovendien de be-gintoestand meestal onvolledig of onvoldoen-de nauwkeurig bekend (onvoldoen-de vijfonvoldoen-de foutenbron). Zo is bij weersvoorspellingen de uitgangstoe-stand (druk-, temperatuur-, vochtigheidsver-deling over de aardbol) onvolledig èn on-nauwkeurig bekend.

5

De uitkomsten van een model worden mede bepaald door het gebruikte oplosalgoritme. Computersimulaties vereisen discretisatie in ruimte en tijd.

De regels van het model worden benaderd door het algoritme waarmee deze worden op-gelost. Een exacte analytische oplossing is vrijwel nooit voorhanden. Dit is de zesde

fou-tenbron, die overigens goed verifieerbaar is

en redelijk beperkt kan blijven.

Definities en constateringen

Commentaar en voorbeelden

6

Het model kan - evenals het werkelijke systeem - chaotisch gedrag vertonen, ook wanneer de regels deterministisch zijn. Kleine oorzaken (geringe veranderingen in parameters of begincondities) kunnen tot grote, kwalitatieve, veranderingen leiden.

Chaotisch gedrag komt o.a. voor bij vloeistof-stroming (turbulentie) en bij systemen die (ver) uit evenwicht verkeren. Vaak zijn er meerdere afzonderlijke realisaties mogelijk: elke realisatie komt chaotisch (d.w.z. gevoelig voor kleine variaties) tot stand, maar het ge-middeld gedrag kan wel degelijk zinvol zijn. Voorbeeld: trajectoria van veeldeeltjessyste-men onder Newtonse wetten.

7

Een model kan op verschillende gronden toevallig of stochastisch gedrag vertonen:

a. de randvoorwaarden, bijv. de

begincondi-ties, zijn gegeven als samples van een statis-tische verdeling,

b. parameters in het model, of ontbrekende

gegevens, worden ingevuld als samples van statistische verdelingen,

c. het model zelf omvat stochastische regels.

Wanneer delen van de specificaties van het model, inclusief randvoorwaarden, samples uit (bekende) statistische verdelingen zijn, dan zullen de uitkomsten van het model dat ook zijn. Door vele samples te nemen ('Monte Carlo' procedure) kan de verdelings-functie van de uitkomsten worden bepaald. Voor-beeld: meerdaagse weersverwachtingen met 'bandbreedte'.

8

Het model wordt door de onderzoeker geva-riëerd binnen marges van onzekerheid in re-gels (theorie), parameterwaarden en rand-voorwaarden: de onderzoeker kiest

scenari-o's.

De onzekerheid binnen elk scenario dient dui-delijk te worden onderscheiden van de onze-kerheid ten gevolge van de scenariokeuze.

9

Een model moet beoordeeld worden in rela-tie tot het doel waarvoor het is opgesteld. Twee hoofddoelen kunnen worden onder-scheiden:

a. begrijpen van een groep waarnemingen, b. voorspellen van fysisch, sociaal of

econo-misch gedrag onder niet eerder gerealiseer-de omstandighegerealiseer-den.

Voor begrip is een logische theorie nodig; mo-dellen kunnen zo'n theorie valideren (zie punt 10). Een analogiemodel is ongeschikt voor doel a omdat het niet tot begrip leidt.

Voor doel b is het essentieel dat de fouten-marge van een voorspelling kan worden aan-gegeven, zie punt 10.

10

Om de betrouwbaarheid van een model te kunnen beoordelen, dient het model te wor-den gevalideerd. Validatie betekent: het model toepassen op een situatie waarbij het te voorspellen resultaat al bekend is. Essen-tieel is dat dit bekende resultaat nooit eerder gebruikt is om het model (of parameters in het model) bij te stellen. Een validatie dient kritisch te zijn, d.w.z. de grenzen van validi-teit van het model te zoeken.

In de fysica kan men (meestal) wel onafhan-kelijke experimenten bedenken, maar bij kli-maatmodellen kan dat niet. Een klimaatmo-del toepassen op een vroegere reële situatie levert meestal geen acceptabele validatie op omdat de bekende resultaten al zijn verwerkt in het model. Hetzelfde geldt voor economi-sche modellen. Wanneer geen validatie moge-lijk is, vervalt een belangrijke mogemoge-lijkheid om de betrouwbaarheid te beoordelen.