Szemer´
edi’s regulariteitslemma
Yara van Schaik
18 juli 2014
Bachelorscriptie Wiskunde
Begeleiding: dr. Guus Regts
Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In dit verslag wordt Szemer´edi’s regulariteitslemma behandeld (hoofdstuk 2). Dit lemma vertelt dat alle grafen gepartitioneerd kunnen worden in een begrensd aantal gelijke verzamelingen, zodanig dat de meeste zijden tussen verschillende delen lopen en de zijden tussen twee delen uniform verdeeld zijn.
Vervolgens gaan we kijken naar toepassingen binnen de getaltheorie (hoofdstuk 3) De stelling van Van der Waerden, stelling van Roth en Corner’s stelling komen aan bod.
Tot slot behandelen we een aantal toepassingen binnen de extremale grafentheorie (hoofdstuk 4). De stelling van Tur´an en de stelling van Erd¨os-Stone worden behandeld.
Titel: Szemer´edi’s regulariteitslemma
Auteur: Yara van Schaik, yaravanschaik@gmail.com, 10262458 Begeleiding: dr. Guus Regts
Einddatum: 18 juli 2014
Korteweg-De Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.science.uva.nl/math
Inhoudsopgave
1 Introductie 4
2 Szemer´edi’s regulariteitslemma 5 2.1 Definities . . . 5 2.2 Een stukje lineaire algebra . . . 7 2.3 Bewijs van Szemer´edi’s regulariteitslemma . . . 10
3 Getaltheorie 13
3.1 Stelling van Van der Waerden . . . 13 3.2 Stelling van Roth . . . 16 3.3 Corner’s stelling . . . 20 4 Extremale grafentheorie 22 4.1 Deelgrafen . . . 22 4.2 Bewijs van Erd¨os en Stone . . . 25
5 Reflectie 30
6 Populaire samenvatting 31
1 Introductie
De beroemde wiskundigen Paul Erd¨os en Paul Tur´an vermoedden in 1936 dat als A = {a1, a2, . . . } een verzameling is binnen de natuurlijke getallen en Pa1i = ∞, dan moet
A voor een willekeurig grote n een deelverzameling van de vorm {a, a + b, a + 2b, . . . , a + (n − 1)b} bevatten. Een deelverzameling van deze vorm noemen we een arithmetische progressie. Dit vermoeden blijkt lastig om te bewijzen en tot op de dag van vandaag staat dit probleem open. Er zijn ook veel verwante problemen. In 2004 hebben Ben Green en Terrence Tao bewezen dat de verzameling van alle priemgetallen willekeurig lange arithmetische progressies bevat. Zij baseerden hun bewijs op een lemma dat structuur in kaart brengt, Szemer´edi’s regulariteitslemma.
Szemer´edi’s regulariteitslemma is een belangrijk lemma binnen de (extremale) grafen-theorie. Het is een uiterst sterk hulpmiddel voor het analyseren van de structuur van dichte grafen. Dit lemma zegt dat elke graaf benaderd kan worden door de vereniging van een begrensd aantal ‘random’ bipartiete grafen, waardoor de structuur van de graaf beter kan worden afgeleid.
Het regulariteitslemma heeft toepassingen in veel verschillende gebieden van de wis-kunde. Zoals eerder gezegd is dit lemma erg belangrijk in de extremale grafentheorie, maar het komt ook terug in onder andere de Ramsey theorie, getaltheorie en functio-naalanalyse.
Zo’n 30 jaar geleden werd het regulariteitslemma uitgevonden als een hulp lemma in het bewijs van een ander vermoeden van Erd¨os en Tur´an, aangaande arithmetische progressies in dichte deelverzamelingen van de gehele getallen.
In deze bachelorscriptie ga ik mij bezighouden met Szemer´edi’s regulariteitslemma. Daarnaast ga ik kijken naar toepassingen van dit lemma binnen verschillende gebieden van de wiskunde. In sectie 2.1 maakt de lezer kennis met het regulariteitslemma zoals het gedefinieerd wordt door Reinhard Diestel in ‘Graph Theory’ [1]. In sectie 2.3 formuleer ik een bewijs voor het lemma en vergelijk ik het met het regulariteitslemma zoals het gede-finieerd wordt door Alexander Schrijver in ‘A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma’ [2]. In hoofdstuk 3 ga ik in op enkele toepassingen van het regulariteitslemma binnen de getaltheorie, waaronder de stelling van Van der Waerden. Vervolgens hou ik mij in hoofdstuk 4 bezig met toepassingen binnen de extremale grafentheorie. In dit hoofdstuk komt onder andere de stelling van Erd¨os en Stone aan bod.
Afsluitend wil ik deze ruimte gebruiken om Guus Regts te bedanken voor het bege-leiden van mijn project. Hij heeft mij ge¨enthousiasmeerd voor dit onderwerp en ik heb onze samenwerking als prettig ervaren.
Yara van Schaik Juli 2014
2 Szemer´
edi’s regulariteitslemma
Ruwweg zegt het regulariteitslemma dat elke graaf gepartitioneerd kan worden in een (van boven- en onderen) begrensd aantal partitieverzamelingen, waarbij de verzame-lingen dezelfde cardinaliteit hebben, zodanig dat de zijden tussen twee verschillende partitieverzamelingen uniform verdeeld is.
We zullen in dit hoofdstuk voornamelijk gebruik maken van definities en lemma’s die beschreven zijn door Alexander Schrijver in ‘A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma’ [2]. Daarnaast gebruiken we voor een enkele definitie Reinhard Diestels ‘Graph Theory’ [1].
2.1 Definities
In deze sectie introduceren we definities die ons zullen helpen Szemer´edi’s regulariteits-lemma beter te begrijpen. Aan het eind van deze sectie volgt een formulering van het regulariteitslemma.
Definitie 2.1 (Partitie, verfijning). Zij A een eindige verzameling. Een partitie P = {P1, . . . , Pk} van A is een collectie disjuncte niet-lege verzamelingen ,klassen genaamd,
met Sk
i=1Pi = A. Een partitie P0 van A is een verfijning van P als elke klasse van P0
bevat is in een klasse van P .
Vanaf nu bekijken we G = (V, E) een graaf, waarbij V de verzameling punten en E de verzameling zijden van G aanduidt.
Definitie 2.2 (Dichtheid). Laat X en Y disjuncte deelverzamelingen van V zijn. Dan wordt de dichtheid van het paar (X, Y ) gegeven door
d(X, Y ) := e(X, Y ) |X||Y | ,
waarbij e(X, Y ) het aantal zijden van G tussen X en Y aanduidt. Er geldt dat 0 ≤ d(X, Y ) ≤ 1.
Definitie 2.3 (ε-evenwichtig). Zij ε > 0. Een partitie P van V is ε-evenwichtig als P een deelcollectie C bevat zodanig dat alle verzamelingen in C dezelfde cardinaliteit hebben en |V \S C| ≤ ε|V |.
Definitie 2.4 (ε-regulier paar). Laat I, J ⊆ V niet-lege verzamelingen zijn. Het paar (I, J ) is ε-regulier als voor alle X ⊆ I en Y ⊆ J met
geldt dat
|d(X, Y ) − d(I, J)| ≤ ε.
Aan de hand van bovenstaande definitie kunnen we een ε-reguliere partitie introdu-ceren. We geven de definitie zoals Schrijver hem geformuleerd heeft in ‘A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma’ [2]. Met een ε-irregulier paar bedoelen we een paar dat niet ε-regulier is.
Definitie 2.5 (ε-reguliere partitie, Schrijver). Zij P = {V1, . . . , Vk} een partitie van V .
Dan is P ε-regulier als het voldoet aan: X
I,J ∈P (I,J ) ε-irregulier
|I||J| ≤ ε|V |2.
Reinhard Diestel formuleert in ‘Graph Theory’ [1] een ε-reguliere partitie als volgt. Definitie 2.6 (ε-reguliere partitie, Diestel). Laat P = {V0, V1, . . . , Vk} een partitie van
V zijn, waarbij V0 een exceptionele verzameling (het mag leeg zijn) is. Deze partitie is
ε-regulier als het voldoet aan de volgende drie eigenschappen: (i) |V0| ≤ ε|V |;
(ii) |V1| = · · · = |Vk|;
(iii) op een aantal van εk2 na zijn alle paren (V
i, Vj) met 1 ≤ i < j ≤ k ε-regulier.
We merken hierbij op dat bovenstaande definities van elkaar afwijken. Nu is het zo dat Diestels definitie van een ε-reguliere partitie overeen komt met de omschrijving van een partitie die ε- evenwichtig en regulier is van Schrijver. Dit is op de volgende manier te zien:
Schrijver → Diestel: Stel dat P een partitie is van een graaf G = (V, E) die voldoet aan de omschrijving van Schrijver van een ε- evenwichtige en reguliere partitie. Dus voor een ε > 0, is er een verfijning Q van P die een deelcollectie C = {C1, . . . , Ck} bevat
zodanig dat |C1| = · · · = |Ck|, |V \S Ci| ≤ ε|V | en
X
I,J ∈Q (I,J ) ε-irregulier
|I||J| ≤ ε|V |2.
We kunnen schrijven Q = {C1, . . . , Ck, D1, . . . , Dl}. Dan is |S Di| = |V \S Ci| ≤ ε|V |,
waarmee we aan (i) voldoen. We zien ook dat aan (ii) is voldaan. Verder is het aantal ε-reguliere paren van G gelijk aan
X I,J ∈Q (I,J ) ε-irregulier ≤ ε|V | 2 |I||J| = εn2 |V |−ε|V | k 2 = εk2 1 − ε2 = ε0k2,
voor ε0 := (1−ε)ε 2. Omdat ε ≤ ε
0, geldt (i) ook met ε0. We zien dat we voldoen aan
Diestels omschrijving van een ε0-reguliere partitie.
Diestel → Schrijver: Stel dat we een partitie P van een graaf G = (V, E) hebben, die ε-regulier is volgens de definitie van Diestel. Dus voor een ε > 0, kunnen we schrijven P = {V0, V1, . . . , Vk}, waarbij het volgende geldt: |V0| ≤ ε|V |, |V1| = · · · = |Vk| en alle
behalve maximaal εk2 van de paren van P zijn ε-regulier.
Deze partitie P heeft een deelcollectie C := {V1, . . . , Vk} waarvoor |V1| = · · · = |Vk|
en |V \ ∪Vi| = |V0| ≤ ε|V |. Dit maakt van P een ε-evenwichtige partitie. Daarnaast is
X I,J ∈P (I,J ) ε-irregulier |I||J| = X i,j∈{1,...,k} (Vi,Vj) ε-irregulier |Vi||Vj| + X i∈{1,...,k} (V0,Vi) ε-irregulier |V0||Vi| ≤ εk2 n k 2 + εn2 = 2εn2 = ε0n2,
voor ε0 := 2ε. We zien dat P een ε0-reguliere partitie is volgens de definitie van Schrijver. Daarnaast is P ε0-evenwichtig (wegens ε ≤ ε0).
Nu we alle definities hebben ge¨ıntroduceerd kunnen we overgaan op de formulering van Szemer´edi’s regulariteitslemma, zoals Diestel hem beschrijft in ‘Graph Theory’ [1]. Lemma 2.7 (Szemer´edi’s regulariteitslemma, Diestel). Voor elke ε > 0 en elke m ∈ N is er een geheel getal M zodanig dat elke graaf G = (V, E) met |V | ≥ m een ε-evenwichtige en reguliere partitie P heeft met m ≤ |P | ≤ M .
Omdat we nu nog over te weinig informatie beschikken, zullen we dit lemma pas in sectie 2.3 gaan bewijzen. Naast de definitie van ε-regulariteit formuleren Diestel en Schrijver ook Szemer´edi’s regulariteitslemma op verschillende wijzen. In sectie 2.3 zullen we ook zien dat beide formuleringen op hetzelfde neerkomen.
2.2 Een stukje lineaire algebra
Voordat we verder kunnen kijken naar het bewijs van Szemer´edi’s regulariteitslemma, volgt nu een stuk uit de lineaire algebra. De lemma’s die we hier behandelen zullen van pas komen in de volgende sectie (sectie 2.3), waarin we een bewijs voor het regulariteits-lemma zullen geven.
We beschouwen matrices en hun orthogonale projectie. Laat V een eindige verzameling zijn en bekijk de matrixruimte RV ×V, die we zien als de ruimte van |V | × |V |-matrices.
Op de matrixruimte RV ×V hebben we de Frobenius norm
kM k := T r(M>M )12 = n X i=1 hmi, mii !12 .
Voor niet-lege deelverzamelingen I, J ⊆ V , laat LI,J de 1-dimensionale deelruimte van
RV ×V zijn, bestaand uit alle matrices die op I × J constant zijn en buiten I × J identiek 0 zijn. Voor een matrix M ∈ RV ×V bekijken we de orthogonale projectie van M op L
I,J.
We noteren deze orthogonale projectie als MI,J.
Als P een partitie is van V , laat LP dan de som zijn van alle ruimtes LI,J met I, J ∈ P .
Schrijf MP voor de orthogonale projectie van M op LP. Nu geldt
MP =
X
I,J ∈P
MI,J.
We merken op dat als Q een verfijning is van P , dan vinden we de inclusie LP ⊆ LQ.
In de drie claims die volgen laten we een aantal berekeningen aangaande orthogonale projecties van matrices zien, die van pas komen in de bewijzen van lemma’s die we later in dit hoofdstuk zullen behandelen.
De orthogonale projectie van een matrix M op LI,J neemt op I × J een constante
waarde aan. De eerste claim vertelt ons wat deze waarde precies is.
Claim 2.8. De elementen van MI,J op I × J zijn allemaal gelijk aan de gemiddelde
waarde van M op I × J .
Bewijs. MI,J is de orthogonale projectie van M op LI,J, dus voor alle KI,J ∈ LI,J hebben
we
0 = hM − MI,J, KI,Ji = hM, KI,Ji − hMI,J, KI,Ji.
Dit geeft ons
hM, KI,Ji = hMI,J, KI,Ji.
Voor matrices A, A0 ∈ RV ×V geldt hA, A0i = T r(A>A0). Dit is gelijk aan de som van het
puntsgewijze product van A en A0. Kies KI,J =
1 op I × J 0 buiten I × J . Dan is
hMI,J, KI,Ji = |I||J|a,
waarbij a de constante van MI,J is op I × J . Gelijkstellen van de twee inproducten geeft
|I||J|a =X i∈I j∈J mi,j. Dus we vinden a = 1 |I||J| X i∈I j∈J mi,j.
De volgende claim beschrijft een gevolg binnen de orthogonale projecties van een matrix. We gaan dit niet wiskundig bewijzen, omdat het in woorden makkelijker uit te leggen en beter te begrijpen is.
Claim 2.9. (MQ)Xi,Yi = MXi,Yi.
Bewijs. Het komt er op neer dat het nemen van de gemiddelde waarden over kleine hokjes binnen een matrix, en dan het gemiddelde nemen van alle gemiddeldes, hetzelfde is als gelijk het gemiddelde nemen van het grote hok dat bestaat uit alle kleine hokjes.
Een simpel voorbeeld dat we kunnen nemen is een 4 × 4-matrix, die we verdelen in vier vakjes van elk 2 bij 2. Als we eerst het gemiddelde nemen van de waarden in de vakjes apart, krijgen we vier aparte waarden. Vervolgens nemen we hier het gemiddelde van en komen we uit op ´e´en waarde. Deze eindwaarde krijgen we ook door gelijk in ´e´en keer het gemiddelde te nemen van de waarden uit de hele matrix.
Nu zijn nu aangekomen bij de laatste claim van deze sectie.
Claim 2.10. Voor een graaf G = (V, E) met verbindingsmatrix A en een willekeurige partitie Q van V geldt kAQk2 ≤ kAk2 ≤ |V |2.
Bewijs. Laat Q een willekeurige partitie van V en R = {{1}, . . . , {n}} de triviale par-titie zijn. Dan is LQ ⊆ LR. Stel dat (q1, . . . , qk) een orthonormale basis is van LQ
en (q1, . . . , qk, qk+1, . . . , ql) een orthonormale basis van LR. We willen bekijken wat
ProjLQ(a), de orthogonale projectie van a op LQ, is voor a ∈ LR.
Voor alle q ∈ LQ geldt ha − ProjLQ(a), qi = 0 en ProjLQ(a) ∈ LQ. Dit geeft
ha, qi = hProjL
Q(a), qi. Omdat q ∈ LQ willekeurig gekozen was, geldt ook dat ha, qii =
hProjLQ(a), qii voor i = 1, . . . , k. We kunnen a =
Pl
i=1λiqi en ProjLQ(a) =
Pk
i=1δiqi
schrijven met λi, δi ∈ R. Dan krijgen we voor j = 1, . . . , k:
ha, qji = h l X i=1 λiqi, qji = l X i=1 λihqi, qji = λjhqj, qji = λj,
met als gevolg
λj = ha, qji = hProjLQ(a), qji = h
k
X
i=1
δiqi, qji = δjhqj, qji = δj.
Zo krijgen we
|ProjLQ(a)|2 = hProjLQ(a), ProjLQ(a)i =
k X i=1 δi2 = k X i=1 λ2i ≤ l X i=1 λ2i = ha, ai = |a|2.
Hieruit concluderen we dat kAQk2 ≤ kAk2.
Laat |V | = n. Dan geldt er
kAk2 = T r(A> A) = n X i=1 n X j=1 a2ij ≤ n X i=1 n X j=1 1 = n2 = |V |2.
Dus voor een willekeurige partitie Q van V geldt dat kAQk2 ≤ kAk2 ≤ |V |2.
De claims die we nu gezien hebben zullen alledrie van pas komen in de volgende sectie, waarin het regulariteitslemma wordt bewezen.
2.3 Bewijs van Szemer´
edi’s regulariteitslemma
In deze sectie formuleren en bewijzen we een aantal lemma’s uit Schrijvers ‘A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma’ [2], waarna we Szemer´edi’s regulariteitslemma op een iets andere manier verwoorden en bewijzen.
Lemma 2.11. Elke partitie P van V heeft een ε-evenwichtige verfijning Q zodanig dat |Q| ≤ (1 + ε−1)|P |.
Bewijs. Deel elke klasse van P op in klassen van elk cardinaliteit t, behalve voor maxi-maal ´e´en klasse die minder dan t elementen bevat. Deze verzamelingen vormen samen een partitie die we Q zullen noemen. We willen nu een geschikte t kiezen, zodat Q ε-evenwichtig is. Schrijf Q1, . . . , Qk voor de klassen van Q van grootte t. Er volgt dat
|V \Sk
i=1Qi| < t|P |. Als we nu t = ε|V |
|P | kiezen, dan vinden we de afschatting
|V \ k [ i=1 Qi| < t|P | = ε|V | |P | |P | = ε|V |. We zien dat Q ε-evenwichtig is. Verder geldt
|Q| ≤ |P | + |V | t = |P | + |V | |P | ε|V | = |P | + |P | ε = (1 + ε −1 )|P |.
Lemma 2.11 vormt samen met het komende lemma een opstap naar het bewijs van Szemer´edi’s regulariteitslemma. Als we deze twee lemma’s begrepen hebben, dan zijn we al een heel eind op weg naar het bewijs waar deze sectie om draait.
Lemma 2.12. Laat ε > 0 en G = (V, E) een graaf zijn, met verbindingsmatrix A. Dan heeft elke ε-irreguliere partitie P van V een verfijning Q met |Q| ≤ |P | · 4|P | en kAQk2 > kAPk2+ ε5|V |2.
Bewijs. We bekijken de ε-irreguliere paren van P en willen die onderverdelen in deelpar-tities, om zo een verfijning Q te cre¨eren. Laat (I1, J1), . . . , (In, Jn) alle ε-irreguliere paren
in P2 zijn. We kunnen nu, wegens de definitie van ε-regulariteit, voor alle i = 1, . . . , n
deelverzamelingen Xi ⊆ Ii en Yi ⊆ Ji met |Xi| > ε|Ii| en |Yi| > ε|Ji| kiezen zodanig
dat |d(Xi, Yi) − d(Ii, Ji)| > ε. Bekijk K ∈ P . Als K ∈ {I1, . . . , In}, dan is er een
partitie QK van K zodanig dat elke Xi, met K = Ii, een vereniging van klassen van QK
is en |QK| ≤ 2|P |. De laatste ongelijkheid krijgen we omdat ´e´en klasse (zeg K) uit P
met maximaal |P | − 1 andere klassen een ε-irregulier paar kan vormen. Voor elk van die paren maken we een tweesplitsing binnen onze klasse K. Al die splitsingen vormen samen een partitie QK van K. Dan hebben we |QK| ≤ 2|P |−1 < 2|P |.
Hetzelfde geldt voor K ∈ {J1, . . . , Jn} met Yi. Omdat Yj ook deel kan zijn van een
K = Ii, kan het zijn dat we alles dubbel moeten splitsen. Dan geldt er |QK| ≤ 22|P | =
4|P |. Als K ∈ P \ {I1, . . . , In, J1, . . . , Jn}, dan maakt K geen deel uit van een ε-irregulier
paar en kiezen we QK = K. Neem nu Q =SK∈P QK. Dan is Q een verfijning van P en
elke Xi en Yi is een vereniging van klassen in Q. Daarnaast geldt er
|Q| = | [
K∈P
QK| ≤ |P | · max{|QK| : K ∈ P } ≤ |P |4|P |.
We weten dat AXi,Yi en AP constant zijn op Xi × Yi en respectievelijk gelijk aan
d(Xi, Yi) en d(Ii, Ji). Ze nemen namelijk de gemiddelde waarde van A aan op Xi × Yi
en P respectievelijk. Omdat A een verbindingsmatrix is, is de gemiddelde waarde van A op Xi× Yi gelijk aan d(Xi, Yi). Aangezien Xi ⊂ Ii en Yi ⊆ Ji (dus Xi× Yi ⊂ Ii× Ji),
zien we dat (AP)Xi,Yi op Xi× Yi de gemiddelde waarde van A op Ii× Ji aanneemt. Dit
is gelijk aan d(Ii, Ji). Nu weten we dat
k(AQ− AP)Xi,Yik 2 = k(A Q)Xi,Yi − (AP)Xi,Yik 2 = kA Xi,Yi − (AP)Xi,Yik 2
= (|Xi||Yi|(d(Xi, Yi) − d(Ii, Ji))2 > ε|Ii|ε|Ji|ε2 = ε4|Ii||Ji|.
(2.1) De vierde vergelijking volgt uit het feit dat (Ii, Ji) een ε-irregulier paar is.
Er geldt dat AQ− (AQ)P orthogonaal is ten opzichte van AP. Verder is (AQ)P = AP,
want Q verfijnt P . Dus AQ− AP ⊥ AP. Met de stelling van Pythagoras vinden we nu
dat kAPk2 + kAQ− APk2 = kAQk2. Zo krijgen we kAQk2− kAPk2 = kAQ− APk2 ≥ n X i=1 k(AQ− AP)Xi,Yik 2 ≥ n X i=1 ε4|Ii||Ji| > ε5|V |2.
Alle Xi’s en Yi’s zijn paarsgewijs disjunct, waardoor de ruimtes LXi,Yi paarsgewijs
or-thogonaal zijn en daardoor geldt de eerste ongelijkheid. De een-na-laatste ongelijkheid volgt uit vergelijking (2.1). De laatste ongelijkheid geldt, omdat P ε-irregulier is.
Voordat we beginnen met de herformulering en het bewijs van Szemer´edi’s regulari-teitslemma, defini¨eren we voor ε, x > 0 de afbeelding fε(x) := (1 + ε−1)x4x. Voor n ∈ N
Lemma 2.13 (Szemer´edi’s regulariteitslemma, Schrijver). Voor elke ε > 0 en graaf G = (V, E) heeft elke partitie P van V een ε-evenwichtige en reguliere verfijning Q met
|Q| ≤ fbε
−5c
ε (1 + ε−1)|P |.
Bewijs. Laat A de verbindingsmatrix van G zijn en P een ε-irreguliere partitie van V . Nu passen we lemma 2.11 en lemma 2.12 afwisselend toe. Bij elke gebruik van lemma 2.11 neemt kAPk2 niet af. Bij elke toepassing van lemma 2.12 neemt kAPk2 toe met
meer dan ε5|V |2. Voor een partitie Q van V weten we dat kA
Qk2 ≤ kAk2 ≤ |V |2. We
kunnen concluderen dat we na maximaal bε−5c iteraties een ε-evenwichtige en reguliere partitie hebben.
We hebben nu twee verschillende formuleringen van Szemer´edi’s regulariteitslemma gezien. Net als bij de definitie van een ε-reguliere partitie komen beide omschrijvingen op hetzelfde neer. Lemma 2.13 impliceert lemma 2.7 op de volgende manier:
Laat ε > 0 en m ≥ 1. Laat verder G = (V, E) een graaf zijn met |G| ≥ m en P een partitie van V . Volgens lemma 2.13 heeft P een ε- evenwichtige en reguliere (naar de definitie van Schrijver) verfijning Q met
|Q| ≤ fbε
−5c
ε ((1 + ε−1)|P |).
Dan is Q, zoals we eerder hebben gezien, ε0-regulier (volgens de definitie van Diestel) voor ε0 := (1−ε)ε 2.
Laat fbε
−5c
ε ((1 + ε−1)|P |) =: M . Dan is |Q| ≤ M . Daarnaast is, omdat we |G| punten
over maximaal |G| niet-lege verzamelingen kunnen verdelen, |Q| ≥ |G| ≥ m. We hebben dus een ε0-reguliere partitie Q (volgens de omschrijving van Diestel), met m ≤ |Q| ≤ M . We concluderen dat lemma 2.7 een gevolg is van lemma 2.13.
We hoeven ons dus in het vervolg niet druk te maken over welke definitie van ε-regulariteit of welke formulering van Szemer´edi’s regulariteitslemma we gebruiken, beide omschrijvingen komen neer op hetzelfde.
Nu we Szemer´edi’s regulariteitslemma hebben bewezen, zitten we aan het eind van dit hoofdstuk. In de komende hoofdstukken houden we ons bezig met toepassingen van het lemma.
3 Getaltheorie
Er zijn veel interessante toepassingen van Szemer´edi’s regulariteitslemma, binnen ver-schillende vakgebieden. Zo heb je in de getaltheorie de stelling van Roth, die zegt dat elke ‘dichte’ deelverzameling van de natuurlijke getallen een arithmetische progressie van lengte 3 bevat. Een arithmetische progressie is een rij getallen, waar het verschil van een getal met zijn opvolger overal in het rijtje gelijk is.
In dit hoofdstuk behandelen we drie toepassingen van het regulariteitslemma binnen de getaltheorie: de stelling van Van der Waerden, de stelling van Roth met een gevolg en tot slot Corner’s stelling. Voordat we beginnen met een toepassing, volgt nu een precieze definitie van een arithmetische progressie (van Eric W. Weisstein [3]).
Definitie 3.1 (Arithmetische progressie). Een arithmetische progressie van lengte k met verschil a is een verzameling getallen van de vorm {an + b : n = 0, . . . , k − 1}.
3.1 Stelling van Van der Waerden
Je kunt je afvragen of het mogelijk is om de eerste n natuurlijke getallen in k deelverza-melingen te partitioneren zonder dat ´e´en van de partitieverzamelingen een arithmetische progressie van lengte l bevat. De stelling van Van der Waerden laat zien dat dit mogelijk is tot een zekere waarde van n. De kleinste n waarvoor ´e´en van de deelverzamelingen een arithmetische progressie van lengte l bevat wordt het Van der Waerden getal W (k, l) genoemd. Op dit getal gaan wij verder niet in.
We maken in deze sectie gebruik van definities en stellingen uit het artikel ‘A short proof of Van der Waerden’s theorem on arithmetic progressions’ van Graham en Roth-schild [4].
Stelling 3.2 (Stelling van Van der Waerden). Voor positieve r, l ∈ Z>0 bestaat er een N
zodanig dat als de gehelen {1, 2, . . . , N } gekleurd zijn met r verschillende kleuren, dan vinden we een arithmetische progressie van l gehelen die allemaal dezelfde kleur hebben. Deze stelling is een zwakkere vorm van de stelling die we hier onder gaan behandelen (stelling 3.6). We introduceren eerst de sterke versie, om vervolgens aan te tonen dat de stelling van Van der Waerden een speciaal geval hiervan is. Daarnaast geven we een bewijs voor stelling 3.6. Voordat we deze stelling formuleren beginnen we met twee definities.
We noteren [a, b] voor de verzameling van gehele getallen x die tussen a en b liggen, dus waarvoor a ≤ x ≤ b.
Definitie 3.3 (l-equivalent). We noemen twee eindige rijen (x1, . . . , xm), (x01, . . . , x0m) ∈
[0, l]m l-equivalent als ze gelijk zijn tot en met het laatste voorkomen van l.
We spreken van l-equivalente klassen als we deze equivalentie als equivalentierelatie zien op de verzameling [0, l]m. De definitie die nu volgt komt van pas bij het bewijzen van de stelling van Van der Waerden.
Definitie 3.4 (S(l, m)). Met S(l, m) bedoelen we de volgende bewering: Laat l, m ≥ 1. Voor elke r bestaat er een getal N = N (l, m, r) zodanig dat voor elke functie van de vorm C : [1, N ] → [1, r], er positieve getallen a, d1, . . . , dm bestaan zodanig dat
C(a +Pm
i=1xidi) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l]m.
Lemma 3.5. De stelling van Van der Waerden komt overeen met de bewering S(l, 1). Bewijs. Laat r, l ∈ Z>0. Stel dat S(l, 1) waar is, dus er is een N = N (l, 1, r) zodanig
dat voor een functie C : [1, N ] → [1, r] er positieve a, d bestaan zodanig dat C(a + xd) constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l]. De functie C kunnen we zien als het kleuren van elk van de getallen in [1, N ] met ´e´en van de r kleuren. Er zijn twee klassen, namelijk [α] = {0, 1, . . . , l − 1} en [β] = {l}. Dus
C(a + 0d) = C(a + 1d) = · · · = C(a + (l − 1)d) = p,
voor een p ∈ [1, r]. Dus zijn de getallen a + 0d, a + 1d, . . . , a + (l − 1)d allemaal gelijk gekleurd. Dit is een arithmetische progressie van lengte l, waarbij elk getal dezelfde kleur heeft.
Stelling 3.6. De bewering S(l, m) is waar voor alle l, m ≥ 1.
Bewijs. In dit bewijs gebruiken we inductie naar m en l. Dit doen we door de volgende drie punten te laten zien:
1. Basisstap: S(1, 1) is waar;
2. S(l, m) voor een m ≥ 1 impliceert S(l, m + 1); 3. S(l, m) voor alle m ≥ 1 impliceert S(l + 1, 1). Bewijs van 1:
De uitspraak S(1, 1) is triviaal waar. Er zijn maar twee l-equivalente klassen, name-lijk [0] = {0} en [1] = {1}. Dat betekent dat C(a +Pm
i=1xidi) constant is op elke
l-equivalente klasse van [0, l]m, aangezien elke klasse maar uit ´e´en element bestaat. Hier-mee is de basisstap bewezen.
Bewijs van 2:
Kies r vast en zij M = N (l, m, r), M0 = N (l, 1, rM). Verder is C : [1, M M0] → [1, r] gegeven. Bekijk de vector v(k) := C(kM − M + 1), . . . , C(kM ) voor k = 1, . . . , M0.
Definieer C0 : [1, M0] → [1, rM] op zo’n manier dat C0(k) = C0(k0) dan en slechts dan
als v(k) = v(k0). Als we de inductiehypothese toepassen op C0, dan vinden we dat er positieve a0 en d0 bestaan zodanig dat C0(a0 + xd0) constant is voor elke l-equivalente
klasse van [0, l]. Aangezien we twee klassen hebben, namelijk [p] = {0, . . . , l − 1} en [l] = {l}, is C0(a0+ xd0) constant voor x ∈ [0, l − 1].
We kunnen S(l, m) ook toepassen op een functie die als domein het interval [a0M −M + 1, a0M ] heeft. De lengte van dit interval is gelijk aan a0M − (a0M − M + 1) + 1 = M . Dit interval is dus een verschuiving van het interval [1, M ], waardoor we ons nieuwe interval op dezelfde manier af kunnen beelden op [1, r] als in de bewering S(l, m) gebeurt. Er bestaan dus positieve gehelen a, d1, . . . , dm met (a +
Pm
i=1xidi) ∈ [a0M − M + 1, a0M ]
voor alle x ∈ [0, l]m en waarvoor geldt dat C(a +Pm
i=1xidi) constant is op l-equivalente
klassen.
Neem nu d0i := di voor alle i ∈ [1, m] en d0m+1 := d0M . Dan is C(a +
Pm+1
i=1 xid0i) =
C(a +Pm
i=1xidi+ xm+1d
0M ). We willen aantonen dat dit welgedefinieerd is. Hierboven
zagen we dat a +Pm
i=1xidi ≤ a0M . Uit de definitie van C0 weten we dat a0+ xd0 ≤ M0
voor x ∈ [0, l]. Dit geeft
a +
m
X
i=1
xidi+ xm+1d0M ≤ a0M + xm+1d0M = (a0 + xm+1d0)M ≤ M0M,
wat de welgedefinieerdheid aantoont. Verder willen we aantonen dat C(a +Pm+1
i=1 xid 0 i)
constant is op elke l-equivalente klasse van [0, l]m+1.
Laat x ∈ [0, l]m+1 waarvoor xm+1 = l. Elk element y ∈ [x] is l-equivalent aan x en
is dus gelijk aan x tot het laatste voorkomen van l. Aangezien xm+1 = l, bevat de
equivalentieklasse van x maar ´e´en element. Dus C(a +Pm+1
i=1 xid0i) is constant op de
klasse [x : xm+1 = l].
Bekijk nu x ∈ [0, l]m+1 waarvoor x
m+1 6= l. Voor een y met ym+1 6= l en die
l-equivalent is met x, geldt ook dat (x1, . . . , xm) l-equivalent is aan (y1, . . . , ym). Dus we
hebben C(a +Pm
i=1xidi) = C(a +
Pm
i=1yidi). Wegens de definitie van C0 weten we
nu dat C(a +Pm i=1xidi+ xm+1d 0 m+1) = C(a + Pm i=1yidi + ym+1d 0 m+1). Nu hebben we
bewezen dat er voldaan is aan S(l, m + 1), wat stap 2 aantoont. Bewijs van 3:
Laat r vast en C : [1, 2N (l, r, r)] → [1, r] gegeven. Volgens de inductiehypothese zijn er a, d1, . . . , dr zodanig dat voor xi ∈ [0, l], a +
Pr
i=1xidi ≤ N (l, r, r) en C(a +
Pr
i=1xidi)
constant is op l-equivalente klassen van [0, l]r. We kunnen nu het zogeheten Duiventil-principe gebruiken: er zijn u, v ∈ [0, r] met u < v zodanig dat
C(a + u X i=1 ldi) = C(a + v X i=1 ldi). Schrijf a0 = a+Pu i=1ldi en d 0 =Pv
i=u+1di. Voor x ∈ [0, . . . , l −1] is C(a
want ze zijn hetzelfde tot het laatste voorkomen van l. Verder is C(a0+ ld0) = C((a + u X i=1 ldi) + l( v X i=u+1 di)) = C(a + v X i=1 ldi) = C(a + u X i=1 ldi = C((a + u X i=1 ldi) + 0( v X i=u+1 di)) = C(a0+ 0d0).
We zien dat C(a0 + xd0) dezelfde waarde aanneemt voor x = 0 en x = l. Hieruit concluderen we dat C(a0 + xd0) constant is op [0, l]. Als we nu de (l + 1)-equivalente klassen van [0, l + 1] bekijken, dan zijn dat [α] = {0, . . . , l} en [β] = {l + 1}. We hebben eerder gezien dat C(a0 + xd0) constant is op [0, l], dus deze functie is constant op elke (l + 1)-equivalente klasse van [0, l + 1]. Dit bewijst S(l + 1, 1) en daarmee hebben we de laatste stap aangetoond.
Met het tweede punt hebben we laten zien dat voor een vaste l, S(l, m) waar is voor elke m ≥ 1. Met punt 3 hebben we vervolgens aangetoond dat als S(l, m) waar is voor alle m ≥ 1, dan is S(l + 1, 1) ook waar. Met punt 2 kunnen we vervolgens uit S(l + 1, 1) halen dat S(l + 1, m) waar is voor alle m ≥ 1. Als we zo door gaan dan zien we dat S(l, m) waar is voor elke l en m ≥ 1.
We weten dat de stelling van Van der Waerden overeen komt met de bewering S(l, 1). Daarnaast hebben we laten zien dat S(l, m) waar is voor alle l, m ≥ 1. Hiermee is de stelling van Van der Waerden bewezen.
3.2 Stelling van Roth
In 1953 bewees de wiskundige Klaus Roth het eerste niet-triviale geval van de stelling van Szemer´edi. Deze stelling moet niet verward worden met Szemer´edi’s regulariteitslemma. De stelling van Szemer´edi zegt dat elke deelverzameling van de natuurlijke getallen met positieve bovendichtheid een arithmetische progressie van lengte k bevat. Dit geldt voor elke k. De stelling van Roth behandelt het geval k = 3.
In deze sectie hebben we gebruik gemaakt van ‘Applications of Szemerdi’s regularity lemma: triangle removal lemma, Roth’s theorem, corner’s theorem and graph removal lemma’ uit Matheus Weblog [5].
Voor we de stelling van Roth defini¨eren, volgt het Triangle removal lemma, dat iets zegt over het minimale aantal driehoeken dat een graaf bevat. We noemen een graaf driehoekloos, als het geen driehoeken bevat.
Lemma 3.7 (Triangle removal lemma). Voor elke ε0 > 0 is er een δ = δ(ε0) > 0 zodanig dat als we voor G = (V, E) minimaal ε0|V |2 zijden moeten verwijderen om G driehoekloos
Bewijs. Laat ε0 > 0. Laat verder G zo dat we minimaal ε0n2 zijden moeten verwijderen om G driehoekloos te maken, waarbij |V | = n. We passen Szemer´edi’s regulariteits-lemma toe op G met ε, m, M , zodanig dat ε2+ m1 + 100ε13 + 2ε < ε0. De zo verkregen
ε-reguliere partitie van G noteren we met P = {V1, . . . , Vk}. Laat G0 de graaf zijn die
we verkrijgen door:
1. alle zijden in V0 te verwijderen. Dit zijn er maximaal 12εn(εn − 1) < (εn)2;
2. alle zijden in V1, . . . , Vk te verwijderen. Dit zijn er maximaal k(nk)2 = n
2
k;
3. alle zijden tussen ε-irreguliere paren te verwijderen. Dit zijn er maximaal εk2(n k)
2 =
εn2;
4. alle zijden tussen paren met dichtheid lager dan 100ε13 te verwijderen. Dit zijn er
maximaal k2100ε13(n
k)
2 < 100ε13n2;
5. alle zijden tussen de paren (V0, Vi) te verwijderen, voor i = 1, . . . , k. Dit zijn er
maximaal εnk(nk) = εn2.
In totaal hebben we minder dan (εn)2+ n 2 k + εn 2+ 100ε13n2+ εn2 = n2(ε2+ 1 k + 100ε 1 3 + 2ε) ≤ n2(ε2+ 1 m + 100ε 1 3 + 2ε) < ε0n2.
zijden verwijderd. Dit betekend dat G0 nog een driehoek bevat.
Claim: Als G0 een driehoek bevat, dan bevat het minimaal ε(nk)3 driehoeken.
Bewijs: Stel dat G0 een driehoek bevat, dan is elk hoekpunt van de driehoek bevat in een andere partitieverzameling, zeg V1, V2 en V3. Voor deze drie partitieverzamelingen
geldt dat ze onderling ε-regulier zijn en een minimale dichtheid van 100ε13 hebben.
Bekijk de verzameling A2 := {v ∈ V1 : e(v, V2) < (d12− ε)|V1|}. Voor v ∈ A2 geldt
dan |e(v,V2)
V1 − d12| > ε. Wegens ε-regulariteit van V1, V2 is |A2| ≤ ε|V1| = ε|V2|.
Als we nu de verzameling A3 := {v ∈ V1 : e(v, V3) < (d13− ε)|V1|} bekijken, vinden
we op dezelfde manier dat |A3| ≤ ε|V1| = ε|V3| moet gelden.
Voor v ∈ V1\ (A2∪ A3), i = 2, 3 geldt |Ni(v)| := e(v, Vi) ≥ (d1i− ε)|V1| ≥ (100ε 1 3 − ε)|V1| = (100ε 1 3 − ε)|Vi|.
Wegens ε-regulariteit van V2 en V3 volgt hieruit dat
|e(N2(v), N3(v)) |N2(v)||N3(v)| − d23| ≤ ε , dus e(N2(v), N3(v)) ≥ (d23− ε)|N2(v)||N3(v)| ≥ (100ε13 − ε)3|V 1|2 ≥ (99ε 1 3)3|V 1|2 = 993ε|V1|2.
Een lijn tussen een buur van v in V2 en een buur van v in V3 zorgt voor een driehoek in
G0. Het aantal driehoeken van G0 is dan groter dan
|V1\ (A2∪ A3)| · 993ε|V1|2 ≥ (|V1| − 2ε|V1|) · 993ε|V1|2 = 993ε(1 − 2ε)|V1|3 ≥ ε|V1|3 = ε n k 3 , wat de claim bewijst.
Dus G0 bevat minimaal ε(nk)3 driehoeken. Kies δ = Mε3, dan bevat G
0 minimaal δn3
driehoeken.
Nu we het Triangle removal lemma bewezen hebben, kunnen we ons richten op de stelling van Roth. Voor het bewijs van deze stelling maken we gebruik van het Triangle removal lemma. Om de stelling te kunnen begrijpen volgt eerst een definitie.
Definitie 3.8 (Bovendichtheid). De bovendichtheid ¯d(A) van een verzameling A ⊂ N defini¨eren we als
¯
d(A) = lim sup
n→∞
|{1, 2, . . . , n} ∩ A| n .
Dan volgt nu de stelling van Roth, die iets vertelt over het vinden van een arithmetische progressie van lengte 3 in een deelverzameling van de natuurlijke getallen.
Lemma 3.9 (Stelling van Roth). Als een verzameling A ⊂ N positieve bovendichtheid heeft, dan bevat het een arithmetische progressie van lengte 3.
Bewijs. Onze aanname zegt dat de verzameling A een positieve bovendichtheid heeft, dus dat er een ε > 0 is zodanig dat voor oneindig veel n geldt dat |A∩{1, . . . , 3n}| ≥ 3εn. We construeren een graaf G = (V, E) met V = V1∪ V2 ∪ V3, waarbij elke verzameling
precies 3n punten bevat die elk genummerd zijn van 1 tot en met 3n. Kies n zodanig dat er geldt n > 81−1δ−1 en |A ∩ {1, . . . , 3n}| ≥ 3εn, waarbij δ afkomstig is van het Triangle removal lemma. Verder lopen er lijnen tussen de drie verzamelingen op de volgende manier:
1. Er loopt een zijde tussen i ∈ V1 en j ∈ V2 ⇐⇒ j − i ∈ A.
2. Er loopt een zijde tussen j ∈ V2 en k ∈ V3 ⇐⇒ k − j ∈ A.
3. Er loopt een zijde tussen i ∈ V1 en k ∈ V3 ⇐⇒ k−i2 ∈ A.
Op deze manier vormen i, j, k een driehoek dan en slechts dan als 1. a1 := j − i ∈ A,
2. a3 := k − j ∈ A,
Dan geldt a2− a1 = a3− a2, aangezien k − i 2 − (j − i) = k − i − 2j + 2i 2 = k − 2j + i 2 = 2k − 2j − k + i 2 = (k − j) − k − i 2 . Hieruit volgt dat (a1, a2, a3) een arithmetische progressie is in A. We zien dat elke
drie-hoek in G correspondeert met een arithmetische progressie van lengte 3 in A. Hieronder vallen ook de triviale driehoeken i, i + a, i + 2a, die verband houden met de arithmetische progressies van de vorm (a, a, a) voor a ∈ A en i ∈ V . Er zijn 3n · |A ∩ {1, . . . , 3n}| > 3n·3εn = 9εn2disjuncte triviale driehoeken. Omdat 3n·|A∩{1, . . . , 3n}| ≤ 3n·3n = 9n2,
zijn er maximaal 9n2 disjuncte triviale driehoeken.
Nu kunnen we het Triangle removal lemma gebruiken met ε0 = ε
9, want 9εn 2 = 1
9ε|V |
2 = ε0|V |2. Het Triangle removal lemma geeft ons dat G minimaal δ|V |3 = 729δn3
driehoeken bevat. Hiervan zijn er maximaal 9n2 triviaal, wat een totaal geeft van mi-nimaal 729δn3− 9n2 niet-triviale driehoeken. Deze niet-triviale driehoeken in G
corres-ponderen met niet-triviale arithmetische progressies van lengte 3 in A.
729δn3 − 9n2 = 9n2(81δn − 1) ≥ 1 ⇐⇒ 81δn − 1 > 0 ⇐⇒ n > 81−1δ−1. We hadden n > 81−1δ−1 gekozen, wat als gevolg heeft dat A een (niet-triviale) arith-metische progressie van lengte 3 bevat.
De stelling van Varnavides is een sterkere vorm van de stelling van Roth, waarbij het aantal arithmetische progressies van lengte 3 wordt geteld. We gebruiken de stelling van Varnavides zoals hij geformuleerd is in ‘Additive combinatorics: winter 2007’ van Soundararajan [6].
Stelling 3.10 (Stelling van Varnavides). Voor elke ε > 0 is er een C(δ) > 0 zodanig dat als A ⊂ [1, N] met |A| ≥ δN , dan bevat A minstens C(δ)N2 arithmetische progressies
van lengte 3.
Bewijs. We beginnen het bewijs met de volgende claim.
Claim: ´E´en arithmetische progressie van lengte 3 correspondeert met |G| driehoeken in G.
Bewijs: We bekijken de graaf G zoals we die in het bewijs van Roth hebben gedefini-eerd, en laat |G| = n. Nu defini¨eren we de afbeelding f : G → A, die een driehoek in G stuurt naar zijn bijbehorende arithmetische progressie van lengte 3 in A. Voor het tri-viale geval kunnen we makkelijk bekijken wat het inverse beeld is van een arithmetische progressie van lengte 3 onder f . Bekijk (a, a, a) met a ∈ A, een triviale arithmetische progressie van lengte 3.
f−1((a, a, a)) = {i, i + a, i + 2a}, met i ∈ V . Dit geeft |f−1((a, a, a))| = n.
Voor het niet-triviale geval bekijken we de arithmetische progressie (a, a + b, a + 2b), met a ∈ A en b 6= 0.
Het inverse beeld van (a, a + b, a + 2b) onder f is gelijk aan {i, j, k : a = j − i, a + b = k − i
2 , a + 2b = k − j}.
We bekijken een vaste i ∈ V . Aangezien er j = a + i moet gelden, is er maar ´e´en mogelijkheid voor i. Op dezelfde manier, met k = 2a + 2b + i, zien we dat er voor k ook maar ´e´en mogelijkheid is. Dus voor een vaste i, hebben we maar ´e´en mogelijkheid voor de waarde van j en van k. Het gevolg is dat het inverse beeld van (a, a+b, a+2b) onder f kardinaliteit |G| = n heeft. Dus ´e´en arithmetische progressie van lengte 3 correspondeert met n driehoeken. Dit bewijst de claim.
Het Triangle removal lemma en de stelling van Roth samen geven ons dat G, de graaf behorend bij A zoals geconstrueerd in het bewijs van de stelling van Roth, minimaal δn3 driehoeken bevat. Dit correspondeert met δn3
n = δn
2 arithmetische progressies van
lengte 3.
3.3 Corner’s stelling
Een andere toepassing binnen de getaltheorie is Corner’s stelling. Deze stelling zegt iets over het voorkomen van een ‘hoek’ binnen deelverzamelingen van een raster van n bij n punten.
Naast het Triangle removal lemma en de stelling van Roth is ook onderstaand lemma afkomstig uit ‘Applications of Szemerdi’s regularity lemma: triangle removal lemma, Roth’s theorem, corner’s theorem and graph removal lemma’ van Matheus [5].
Lemma 3.11 (Corner’s stelling). Voor elke ε > 0 is er een N zodanig dat voor alle n ≥ N , alle deelverzamelingen van minstens εn2 punten in het rooster {1, . . . , n} × {1, . . . , n}
een hoek hebben, d.w.z. drie punten van de vorm (x, y), (x + h, y), (x, y + h).
Bewijs. Laat A een deelverzameling zijn van {1, . . . , n} × {1, . . . , n} met |A| ≥ εn2.
Bekijk de tripartiete graaf G = (V, E), gedefinieerd als volgt:
1. De puntenverzameling is gedefinieerd als V = V1∪ V2∪ V3, waar V1, V2, V3 de
hori-zontale, verticale en diagonale lijnen van {1, . . . , n}×{1, . . . , n} zijn respectievelijk. De diagonale lijnen lopen van linksboven naar rechtsonder.
2. Er is een zijde van een lijn in Vi naar een lijn in Vj dan en slechts dan als het
snijpunt van de lijnen tot A behoort. Figuur 3.1 illustreert dit.
Nu is het aantal punten van G gelijk aan |V1| + |V2| + |V3| = n + n + 2n − 3 =
4n − 3. De driehoeken van G corresponderen met de hoeken van A, inclusief de triviale (x, y), (x, y), (x, y) hoeken. De tripartiete graaf G heeft meer dan |A| ≥ εn2 triviale driehoeken en ze zijn allemaal disjunct. We moeten dus minimaal εn2 zijden verwijderen
om alle driehoeken uit G te verwijderen. Met het Triangle removal lemma zien we dat er een δ is zodanig dat G minimaal δn3 driehoeken bevat. Omdat G maximaal n2 triviale driehoeken heeft, heeft hij in totaal minimaal δn3− n2 niet-triviale driehoeken.
Figuur 3.1: Links is een 7 × 7 raster te zien. De horizontale en verticale lijnen zijn in het zwart genummerd. De blauwe getallen geven het nummer van de diagonale lijnen aan. De rode punten zijn punten die bevat zijn in A, deze vormen samen een hoek. Rechts is te zien hoe dat zich in G vertaalt in een driehoek.
Als we n nu groot genoeg kiezen, geldt δn3 − n2 = n2(δn − 1) > 1. We concluderen
dat G een niet-triviale driehoek bevat, wat betekent dat A een hoek heeft van de vorm (x, y), (x + h, y), (x, y + h) met h 6= 0.
We hebben nu onze laatste toepassing van het regulariteitslemma binnen de getalthe-orie bekeken. In het volgende hoofdstuk gaan we kijken naar toepassingen binnen een ander vakgebied, de extremale grafentheorie.
4 Extremale grafentheorie
Ook in de extremale grafentheorie zijn tal van toepassingen van Szemer´edi’s regulari-teitslemma te vinden. Wij gaan in dit hoofdstuk kijken naar de stelling van Tur´an en de stelling van Erd¨os en Stone.
In dit hoofdstuk hebben we gebruik gemaakt van definities en lemma’s uit Diestels ‘Graph Theory’ [1].
4.1 Deelgrafen
We houden ons in deze sectie bezig met de vraag: Als we een graaf G op n punten en een graaf H met n ≥ |H| hebben, hoeveel zijden hebben we dan nodig om H als deelgraaf van G te vinden, ongeacht de manier waarop we de zijden rangschikken? We kunnen de vraag ook anders stellen: Wat is het grootst mogelijk aantal zijden dat een graaf kan hebben, zonder de deelgraaf H te bevatten? We gaan op zoek naar het antwoord op deze vragen. Eerst volgen een aantal definities.
Definitie 4.1 (Extremale graaf). Laat H een graaf zijn. Een graaf G + H op n punten met het grootst mogelijk aantal zijden is extremaal voor n en H. Met ex(n, H) noteren we het aantal zijden van G.
Definitie 4.2 (Lijnmaximale graaf). Zij H een graaf. We noemen een graaf G lijnmaxi-maal met H * G als G het grootst mogelijke aantal zijden bevat zonder H als deelgraaf te bevatten.
Elke graaf G die extremaal is voor een n en een H is ook lijn-maximaal met H * G. Andersom hoeft lijnmaximaliteit niet extremaliteit te impliceren. Het verschil tussen de twee begrippen wordt duidelijker met het volgende voorbeeld.
Schrijf Kr voor de volledige graaf op r punten. Als we het geval H = Kr met
r > 1 bekijken, dan is elke volledige (r − 1)-partiete graaf G lijn-maximaal met Kr * G. We kunnen ons nu afvragen welke van deze grafen de meeste zijden bevat. Dit blijken de grafen te zijn waarvan de partitieverzamelingen qua grootte met maximaal ´e´en verschillen.
Als we een volledige (r − 1)-partiete graaf bekijken waarbij voor twee partitieverzame-ling V1 en V2 geldt |V1| − |V2| ≥ 2, dan kunnen we het aantal zijden in de graaf vergroten
door een punt van V1 naar V2 te verplaatsen. De unieke volledige (r − 1)-partiete grafen
waarvan de partitieverzamelingen zo gelijk mogelijk zijn noemen we Tur´an grafen. Definitie 4.3 (Tur´an graaf). Een Tur´an graaf Tr(n) is een volledige (r)-partiete graaf op n ≥ r punten waarvan de partitieverzamelingen qua grootte met maximaal ´e´en
verschillen. Tur´an grafen zijn uniek. We noteren het aantal zijden van deze grafen met tr−1(n).
Opmerking. Stel n < r. Dan kunnen we alle punten in een eigen partitieverzameling stoppen en zijn er ´e´en of meerdere partitieverzamelingen leeg (wat tegenstrijdig is met onze definitie van een partitie). In dit geval is Tr(n) = Kn voor alle n ≤ r.
Het feit dat Tr−1(n) extremaal is voor n en Kr zien we in de volgende stelling. Stelling 4.4 (Stelling van Tur´an). Voor alle gehele getallen n en r met r > 1, is elke graaf G + Kr met n punten en ex(n, Kr) zijden een Tr−1(n).
Bewijs. We hebben net gezien dat van alle volledige k-partiete grafen op n punten de Tur´an grafen het grootste aantal zijden bevatten. Daarnaast weten we dat de graaf Tr−1(n) meer zijden heeft dan elke graaf Tk(n) met k < r − 1. Als we nu nog aantonen
dat G een volledige multipartiete graaf is, dan zijn we klaar met het bewijs. We gaan dit doen aan de hand van een bewijs uit het ongerijmde.
Stel dat G = (V, E) geen volledige multipartiete graaf is. Dan zijn er punten y1, y2, x ∈
V zodanig dat y1x, y2x /∈ E, maar y1y2 ∈ E. Schrijf d(y) voor de graad van een punt
y. Als d(y1) > d(x), dan kunnen we x verwijderen en y1 kopi¨eren, zodat we een andere
Kr-vrije graaf krijgen die meer zijden heeft dan G. Dit is in tegenspraak met het feit
dat G extremaal is voor n en Kr.
We vinden dus dat d(y1) ≤ d(x). Op eenzelfde manier vinden we dat d(y2) ≤ d(x).
Nu kunnen we y1 en y2 verwijderen en x tweemaal kopi¨eren, zodat we een Kr-vrije graaf
krijgen die meer zijden bevat dan G. Dit zorgt opnieuw voor een tegenspraak met het feit dat G extremaal is voor n en Kr.
Als we bij de graaf Tr−1(n) een punt tekenen die we verbinden met alle punten uit Tr−1(n), dan onstaat er een nieuwe graaf die Kr als deelgraaf heeft. De volgende stelling
vertelt ons dat als we εn2 zijden (voor vaste ε > 0 en grote n) toevoegen, we niet alleen
Kr, maar Ksr als deelgraaf krijgen. De graaf Ksr is een volledige r-partiete graaf waarbij elke partitieverzameling s punten omvat.
Stelling 4.5 (Stelling van Erd¨os en Stone). Voor alle gehele getallen r ≥ 2, s ≥ 1 en elke ε > 0 is er een geheel getal n0 zodanig dat elke graaf met n ≥ n0 punten en minimaal
tr−1(n) + εn2 zijden de deelgraaf Ksr bevat.
Het bewijs van deze stelling zal volgen in sectie 4.2. De stelling van Erd¨os en Stone heeft een belangrijk gevolg. Dit gevolg heeft de stelling als een meta-stelling binnen de extremale grafentheorie voor dichte grafen gevestigd, wat de stelling beroemd heeft gemaakt.
De dichtheid van een graaf G = (V, E) wordt gegeven door d := |E|/ |V |2 . Het meet hoeveel zijden H heeft vergeleken met het maximum aantal zijden dat H kan hebben. Voor een graaf H en een geheel getal n staat
hn:=
ex(n, H)
n 2
voor de maximale dichtheid dat een graaf op n punten kan hebben zonder H te bevatten. Het gevolg vertelt dat de limiet van hn bepaald is door het chromatische getal van H.
Het chromatische getal van H is het minimale aantal kleuren dat nodig is om H te kleuren en wordt genoteerd als χ(H)).
Gevolg 4.6. Voor elke graaf H met ten minste ´e´en zijde, geldt lim n→∞ex(n, H) n 2 −1 = χ(H) − 2 χ(H) − 1.
Voor het bewijs van dit gevolg hebben we het volgende lemma nodig. Lemma 4.7. Er geldt dat
lim n→∞tr−1(n) n 2 −1 = r − 2 r − 1.
Bewijs. We weten dat Tr−1(n) meer lijnen bevat dan elke Tr−1(k) met k < n. Dit heeft
als gevolg dat tr−1 (r − 1) n r − 1 ≤ tr−1(n) ≤ tr−1 (r − 1) n r − 1 . (4.1) De linkergrens van (4.1) heeft de grootte van de Tur´an graaf op r − 1 gelijke partities van afmetingr−1n . Deze graaf bevat r−12 r−1n 2 zijden. Dus we kunnen schrijven
tr−1 (r − 1) n r − 1 =r − 1 2 n r − 1 2 = (r − 1)(r − 2) 2 n r − 1 2 ≈ n 2 2 · r − 2 r − 1. Hiermee vinden we dat
tr−1 (r − 1) n r − 1 ·n 2 −1 ≈ n 2 2 · r − 2 r − 1 · n 2 −1 = r − 2 r − 1· n n − 1. Voor n → ∞ is dit gelijk aan r−2r−1. Dit betekent dat
lim n→∞tr−1 (r − 1) n r − 1 ·n 2 −1 = r − 2 r − 1.
Hetzelfde kunnen we doen voor de rechtergrens van (4.1), die de grootte heeft van de Tur´an graaf op r − 1 partities van afmeting n
r−1. Dan vinden we dat tr−1 (r − 1)
n
r−1
ook als limiet r−2r−1 heeft.
We concluderen dat tr−1(n) wordt begrensd door twee waarden die allebei limiet r−2r−1
Nu kunnen we gevolg 4.6 bewijzen. We gaan dit op eenzelfde manier doen als hierbo-ven, door ex(n, H) van onder en van boven te begrenzen.
Bewijs van gevolg 4.6. Laat r := χ(H). We hebben dus minimaal r kleuren nodig om H te kleuren. Aangezien χ(Tr−1(n)) = r − 1, is H * Tr−1(n) voor alle n ∈ N. Dus
tr−1(n) ≤ ex(n, H).
Omdat het chromatische getal van H gelijk is aan r, is H ⊆ Kr
s voor alle s die groot
genoeg zijn. Dus voor al deze s geldt er
ex(n, H) ≤ ex(n, Ksr). Kies een s groot genoeg dat H ⊆ Kr
s. Met stelling 4.5 weten we dat voor alle ε > 0 en n
groot genoeg, een graaf met minimaal tr−1(n) + εn2 zijden Ksr als deelgraaf bevat. Dit
betekent dat
ex(n, Ksr) < tr−1(n) + εn2,
voor alle ε > 0 en n groot genoeg. Voor grote n zien we nu het volgende:
tr−1(n) n 2 −1 ≤ ex(n, H)n 2 −1 ≤ ex(n, Ksr)n 2 −1 < (tr−1(n) + εn2) n 2 −1 = tr−1(n) n 2 −1 + 2ε 1 − 1n ≤ tr−1(n) n 2 −1 + 4ε,
waarbij we aannemen dat n ≥ 2. Met lemma 4.7 weten we dat tr−1(n) n2
−1
convergeert naar r−2r−1. Nu weten we dat ex(n, H) n2−1 dezelfde limiet heeft. Er geldt dus
lim n→∞ex(n, H) n 2 −1 = r − 2 r − 1 = χ(H) − 2 χ(H) − 1.
We zijn aangekomen bij het eind van deze sectie. In de volgende sectie wordt de stelling van Erd¨os en Stone bewezen.
4.2 Bewijs van Erd¨
os en Stone
We zijn bijna toegekomen aan het bewijs van Erd¨os-Stone, stelling 4.5. Er rest ons nog ´e´en lemma te introduceren. Voor dit lemma bekijken we eerst het volgende.
Laat G een graaf met een ε-reguliere partitie {V0, V1, . . . , Vk} zijn, met exceptionele
verzameling V0 en l := |V1| = · · · = |Vk|. Voor gegeven d ∈ (0, 1], laat R de graaf
met punten V1, . . . , Vk en waar punten met elkaar verbonden zijn alleen als zij in G
een ε-regulier paar vormen van minimale dichtheid d. Deze graaf R noemen we de regulariteitsgraaf van G met parameters ε, l en d.
Voor een gegeven s ∈ N vervangen we nu elk punt Vi van R door een verzameling Vis
bestaande uit s punten. Daarnaast vervangen we elke zijde van R door een volledige bipartiete graaf tussen de corresponderende s-verzamelingen. De graaf die we nu hebben verkregen noteren we met Rs.
Het onderstaande lemma zegt dat deelgrafen van Rs ook deelgrafen zijn van de
oor-spronkelijke graaf G, onder de voorwaarde dat ε klein genoeg en Vi groot genoeg is.
Feitelijk hangen de waarden van ε en l alleen af van d en de maximale graad van de deelgraaf. In onderstaand lemma gebruiken we de notatie ∆(H), wat de maximum graad van een graaf H aanduidt.
Lemma 4.8. Voor alle d ∈ (0, 1] en ∆ ≥ 1 is er een ε0 > 0 met de volgende eigenschap:
als G een graaf is, H een graaf met ∆(H) ≤ ∆, s ∈ N en R is een regulariteitsgraaf van G met parameters ε ≤ ε0, l ≥ εs0 en d, dan geldt
H ⊆ Rs⇒ H ⊆ G.
Bewijs. Laat 0 < d ≤ 1 en ∆ ≥ 1 gegeven zijn. Kies ε0 < d zodanig dat
∆ + 1 (d − ε0)∆
ε0 ≤ 1. (4.2)
We kunnen een ε0 vinden die hier aan voldoet, want (d−ε)∆+1∆ε convergeert naar 0 voor
ε → 0. Zij nu G, H, s en R zoals vermeld in dit lemma. Laat {V0, V1, . . . , Vk} de
ε-reguliere partitie van G waarbij R tot stand kwam. Dan is V (R) = {V1, . . . , Vk},
l = |V1| = · · · = |Vk| en ε ≤ ε0.
Laat H een deelgraaf van Rs zijn met punten u1, . . . , uh. Elk punt ui ligt in een van
de verzamelingen Vs
j van Rs, wat een afbeelding σ : i 7→ j aanduidt. We willen een
inbedding ui 7→ vi ∈ Vσ(i) defini¨eren van H in G. Dan zijn alle vi verschillend voor
i = 1, . . . , h en vivj is een zijde van G als uiuj een zijde is van H.
We gaan de punten vi inductief kiezen. Door dit hele bewijs zullen we, voor elke
i, Yi ⊆ Vσ(i) aanduiden als de doelverzameling vi: de verzameling van alle mogelijke
kandidaten voor de keuze van vi. Aan het begin is Yi ⊆ Vσ(i). Hoe verder het proces
loopt, hoe kleiner de verzameling Yi wordt, tot het {vi} wordt als we vi hebben gekozen.
Namelijk, als we een punt vj met j < i hebben gekozen en ujui ∈ E(H), dan verwijderen
we alle punten uit Yi die geen buur zijn van vj. Dan zien we dat de verzameling Yi zich
ontwikkelt als
Vσ(i) = Yi0 ⊇ Yi1 ⊇ · · · ⊇ Yii = {vi},
waar Yij de versie van Yi aanduidt n´a de definitie van vj en eventuele verwijderingen van
Voor een goed verloop van dit proces, moeten we er voor zorgen dat Yi niet te klein
wordt. Als we uj willen inbedden, bekijken we alle punten i > j met ujui ∈ E(H).
Omdat ∆(H) ≤ ∆, zijn er maximaal ∆ van zulke i. Voor elk van deze i, willen we vj zo
kiezen dat
Yij = N (vj) ∩ Yij−1 (4.3)
groot is, dat wil zeggen niet veel kleiner dan Yij−1. Onderstaande claim kunnen we hier bij gebruiken.
Claim: Laat (A, B) een ε-regulier paar van dichtheid d en laat Y ⊆ B met |Y | ≥ ε|B|. Dan hebben op een maximaal aantal van ε|A| na, alle punten in A elk minimaal (d−ε)|Y | buren in Y .
Bewijs: Laat X ⊆ A de verzameling punten met minder dan (d − ε)|Y | buren in Y zijn. We willen nu aantonen dat deze verzameling kleiner is dan ε|A|, dan is het bewijs klaar.
Er geldt dat e(X, Y ) < (d − ε)|Y ||X|, dus d(X, Y ) = e(X, Y )
|X||Y | <
(d − ε)|Y ||X|
|X||Y | = d − ε = d(A, B) − ε.
Stel X ≥ ε|A|. Omdat (A, B) een ε-regulier paar is, volgt nu dat |d(A, B)−d(X, Y )| ≤ ε. Dit is in tegenspraak met d(X, Y ) < d(A, B) − ε. Nu hebben we de claim bewezen.
Wanneer we A = Vσ(j), B = Vσ(i) en Y = Yij−1 nemen, kunnen we als |Y j−1 i | > εl
bovenstaande claim gebruiken. Dit lemma geeft ons dan, samen met (4.3), |Yij| = |N (vj) ∩ Yij−1| ≥ (d − ε)|Y
j−1
i |. (4.4)
Als we dit voor alle behalve de maximaal ∆ waarden van i doen, dan vinden we dat alle behalve maximaal ∆εl keuzes van vj uit Vσ(j), en in het bijzonder van Y
j−1
j ⊆ Vσ(j),
voldoen aan |Yij| ≥ (d − ε)|Yij−1| voor alle i.
Nu willen we nog aantonen dat de verzamelingen Yij−1, die we nodig hebben om de claim toe te passen, inderdaad niet kleiner dan εl worden. Tot slot moeten we laten zien dat |Yjj−1| − ∆εl ≥ s om zeker te weten dat er een geschikte keus voor vj bestaat. Er
geldt namelijk σ(j0) = σ(j) voor ≤ s − 1 van de punten uj0 met j0 < j. Daarom zal een
keus tussen s verschillende geschikte kandidaten voor vj volstaan om vj verschillend van
v1, . . . , vj−1 te houden. We willen dus dat |Yjj−1| − ∆εl ≥ s.
Er is gegeven dat |Y0
i | = l voor alle i en uit elke Yi verwijderen we zijden alleen als
een vj met j < i en ujui ∈ E(H) gedefinieerd is. Dit laatste gebeurt maximaal ∆ keer.
Hieruit volgt dat |Yij| ≥ (d − ε)∆l, wat weer resulteert in
|Yij| − ∆εl ≥ (d − ε)∆l − ∆εl ≥ (d − ε
0)∆l − ∆ε0l ≥ (∆ + 1)ε0l − ∆ε0l = ε0l ≥ s
als j < i. De eerste ongelijkheid is een gevolg van (4.4), en de derde volgt uit (4.2). Dus in het bijzonder is |Yij| ≥ ε0l ≥ εl en |Yjj−1| − ∆εl ≥ s.
Dan zijn we nu klaar om de stelling van Erd¨os en Stone (stelling 4.5) te bewijzen. Bewijs stelling 4.5. Laat r ≥ 2 en s ≥ 1. In het geval s = 1 kunnen we de stelling van Tur´an toepassen en zijn we gelijk klaar.
Laat s ≥ 2. Laat verder 1 > γ > 0 (deze γ zal de rol spelen van de ε zoals die geformuleerd is in stelling 4.5). Laat G een graaf zijn met n punten en waarvoor geldt
e(G) ≥ tr−1(n) + γn2. (4.5)
We willen nu aantonen dat Ksr ⊆ G voor n groot genoeg.
Het idee is om een regulariteitsgraaf van G te maken aan de hand van het regulari-teitslemma, die dicht genoeg is om een Kr als deelgraaf te bevatten met de stelling van
Tur´an. Dan bevat Rs namelijk een Ksr, waarna we met lemma 4.8 kunnen concluderen
dat Kr s ⊆ G.
Om lemma 4.8 te gebruiken stellen we d := γ en ∆ := ∆(Kr
s). Dan krijgen we een
ε0 > 0 terug. De bewering van het lemma wordt zwakker als ε0 kleiner wordt, waardoor
we aan mogen nemen dat
ε0 <
γ 2 < 1.
We passen nu Szemer´edi’s regulariteitslemma toe met m > γ1 en ε > 0 klein genoeg zodat ε ≤ ε0 en
δ := 2γ − d − 1 m − ε
2− 4ε > 0.
Omdat 2γ − d − m1 > 2γ − γ − γ = 0, is het mogelijk om ε zo klein te kiezen dat ε2+4ε < 2γ −d−m1 (wat zorgt voor δ > 0). Met deze m en ε geeft het regulariteitslemma ons een M . Laten we veronderstellen dat
n ≥ M s ε0(1 − ε)
.
Dit getal is minimaal m, dus het regulariteitslemma geeft ons een ε-reguliere partitie {V0, V1, . . . , Vk} van G met m ≤ k ≤ M . Laat l := |V1| = · · · = |Vk|. Dan is
n ≥ kl (4.6) en l = n − |V0| k ≥ n − εn M = n 1 − ε M ≥ s ε0 , waarbij de laatste ongelijkheid onstaat door de keuze van n.
Laat R de regulariteitsgraaf van G zijn met parameters ε, l, d corresponderend met bovenstaande partitie. Met ε ≤ ε0, l ≥ εs0 en ∆(Ksr) = ∆ voldoen we aan de voorwaarden
van lemma 4.8. Dus om aan te tonen dat Ksr ⊆ G, hoeven we nu aan de hand van lemma 4.8 enkel aan te tonen dat Kr⊆ R (en dus Kr
s ⊆ Rs).
We gaan de stelling van Tur´an gebruiken om aan te tonen dat Kr ⊆ R. We moeten
dus laten zien dat e(R) groot genoeg is, dat wil zeggen dat er genoeg ε-reguliere paren (Vi, Vj) zijn met minimale dichtheid d. Dit zou moeten volgen uit onze aanname dat G
minimaal tr−1(n) + γn2 zijden bevat, dus een dichtheid heeft van ongeveer r−2r−1+ 2γ (dit
volgt met lemma 4.7). Deze dichtheid is wezenlijk groter dan elke dichtheid die G kan hebben als het niet meer dan tr−1(k) paren (Vi, Vj) heeft met dichtheid ≥ d, zelfs als die
paren dichtheid 1 hebben.
We gaan e(R) nu preciezer bepalen. We vragen ons af hoeveel van de zijden van G buiten ε-reguliere paren liggen. Binnen V0 liggen ten hoogste |V20|
≤ εn2 ≤ 1
2(εn) 2
zijden. Maximaal 2l zijden liggen binnen elk van de partitieverzamelingen V1, . . . , Vk,
wat een totaal geeft van maximaal k 2l ≤ 12kl2 zijden. Het aantal ε-irreguliere paren
is hoogstens εk2. Omdat elk van deze paren minder dan l2 zijden bevat, is het aantal zijden tussen ε-irreguliere paren maximaal εk2l2. De ε-reguliere paren van dichtheid < d
bevatten elk maximaal dl2 zijden, wat een totaal geeft van maximaal k 2dl
2 ≤ 1 2dk
2l2.
Tot slot is het aantal zijden tussen paren (V0, Vi) niet groter dan |V0|kl ≤ εnkl. De rest
van de zijden in G liggen tussen ε-reguliere paren van minimale dichtheid d en dragen dus bij aan de zijden van R. Aangezien een zijde in R correspondeert met maximaal l2
zijden in G, hebben we in totaal e(G) ≤ 1 2ε 2n2+ 1 2kl 2+ εk2l2+ 1 2dk 2l2+ εnkl + e(R)l2.
Voor n groot genoeg geeft dit e(R) ≥ 1 2k 2e(G) − 1 2ε 2n2− 1 2kl 2 − εk2l2− 1 2dk 2l2− εnkl 1 2k 2l2 ≥ 1 2k 2 tr−1(n) + γn 2− 1 2ε 2n2− εnkl n2 2 − 1 k − 2ε − d ≥ 1 2k 2 tr−1(n) n2 2 + 2γ − ε2− 2ε − 1 m − 2ε − d = 1 2k 2 tr−1(n) n 2 −1 1 − 1 n + 2γ − ε2− 4ε − 1 m − d = 1 2k 2 tr−1(n) n 2 −1 1 − 1 n + δ > 1 2k 2r − 2 r − 1 ≥ tr−1(k).
De tweede ongelijkheid komt tot stand door (4.5) en (4.6), de derde ongelijkheid door (4.6) en de stricte ongelijkheid door lemma 4.7. Met de stelling van Tur´an kunnen we nu zeggen dat Kr⊆ R, wat betekent dat Kr
5 Reflectie
In deze bachelorscriptie bekeken we Szemer´edi’s regulariteitslemma en het bewijs van dit lemma. Daarnaast hebben we verschillende toepassingen in de getaltheorie en de extremale grafentheorie behandeld.
Als eerste hebben we het bewijs van Szemer´edi’s regulariteitslemma gevolgd uit Die-stels ‘Graph Theory’ [1]. Daarna hebben we gekeken naar het bewijs van het regula-riteitslemma zoals Schrijver hem gegeven heeft in ‘A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma’ [2]. We hebben besloten om enkel de laatstgenoemde versie van het bewijs te behandelen in deze bachelorscriptie.
Vervolgens hebben we ons gericht op een aantal toepassingen van het regulariteits-lemma in de extremale grafentheorie. Hierbij hebben we vooral gekeken naar deelgrafen. Aan bod kwam de vraag: Hoeveel zijden moet een graaf minstens hebben om een deel-graaf van een bepaalde vorm te bevatten? De stelling van Tur´an houdt zich bezig met deze vraag, net als de stelling van Erd¨os-Stone. Beide stellingen hebben we behandeld in deze scriptie.
Tot slot hebben we gekeken naar toepassingen van Szemer´edi’s regulariteitslemma in de getaltheorie. Het Triangle removal lemma kwam als eerste aan bod. Dit lemma wordt gebruikt in veel bewijzen van andere lemma’s en stellingen. De stelling van Roth is hier een voorbeeld van, die we ook vermeld hebben in dit verslag. Ook hebben we Corner’s stelling en de stelling van Van der Waerden behandeld.
Een knelpunt voor mij in dit project was het bewijs van Diestel van het regulartiteits-lemma. Door de vele technische details verloor ik soms het overzicht. Het bewijs dat Schrijver geeft in zijn artikel was voor mij overzichtelijker. Dit is de reden dat ik heb besloten om dit bewijs te behandelen in mijn scriptie.
Er zijn een aantal stellingen en lemma’s die ik wel heb bekeken, maar niet verwerkt in deze scriptie. Een voorbeeld hiervan is de stelling van Ramsey. In de toekomst lijkt het mij interessant om te kijken naar meer toepassingen, om mijn kennis op dit gebied te verbreden.
6 Populaire samenvatting
Veel fenomenen in de wereld kunnen beschreven worden aan de hand van een netwerk. Het systeem van deze verschijnselen bestaat namelijk vaak uit verschillende losse ele-menten, met connecties tussen zekere paren van punten. Vaak is het interessant om te begrijpen hoe het hele systeem zich gedraagt. Om dat te kunnen, moet men kijken naar de structuur van het netwerk. We bekijken een aantal voorbeelden.
Internet is misschien wel het meest bekende en bestudeerde grote netwerk. Het internet zorgt voor veel verschillende soorten netwerken, waar het netwerk van hyperlinks een voorbeeld van is. Momenteel zijn er wereldwijd rond de 30 biljoen webpagina’s. Men zou de structuur van een internet netwerk kunnen bestuderen om bijvoorbeeld te weten te komen hoe snel computervirussen zich verspreiden.
Een ander groot netwerk speelt zich af in het menselijk lichaam: de hersenen. Het menselijk brein is een netwerk van neuronen, dat bestaat uit ongeveer honderd biljoen knooppunten. En hoe interessant is het om te weten hoe je eigen brein werkt?
Sociale netwerken zijn onderwerp van veel studies op het gebied van sociologie, epi-demiologie en economie. Het grootste sociale netwerk is het kennissen netwerk van alle levende mensen over de wereld, wat zo’n zeven biljoen punten heeft. We zouden de structuren graag willen bekijken om bijvoorbeeld te weten te komen hoe snel nieuws, religie en ziektes zich verspreiden over de wereld.
Hoe interessant dit allemaal ook mag klinken, het vinden van een structuur in een groot netwerk is geen makkelijke opgave. Nu biedt Hongaars Amerikaans wiskundige Endre Szemer´edi uitkomst met zijn Szemer´edi’s regulariteitslemma. Dit lemma vertelt iets over een belangrijke eigenschap van een graaf (een graaf is de wiskundige benaming van een netwerk). Het zegt namelijk dat we van elke graaf de punten onder kunnen verdelen in verschillende groepjes van gelijke grootte. Een eigenschap die daar bij komt is dat het aantal groepjes eindig is, het kunnen er dus niet oneindig veel zijn, en dat als je uitzoomt van onze nieuwe geordende graaf, je een mooie structuur ziet. Deze structuur zegt dan iets over de oorspronkelijke structuur van onze graaf.
In deze scriptie hebben we Szemer´edi’s regulariteitslemma bekeken en bewezen. Daar-naast hebben we gekeken naar toepassingen in verschillende vakgebieden binnen de wis-kunde.
We hebben bijvoorbeeld gekeken naar de stelling van Roth, dat binnen de getaltheorie valt. Deze stelling gaat over ’mooie rijtjes’. Een mooi rijtje is een rij van getallen, waar het verschil tussen elk tweetal opeenvolgende getallen constant is. De lengte van zo’n rij staat gelijk aan het aantal elementen in de rij. Een voorbeeld is de rij
of de rij
(16, 25, 34, 43, 52). (6.2) Rijtje (6.1) heeft lengte 3 en het verschil tussen elk tweetal opeenvolgende getallen is 2. De lengte van rij (6.2) is gelijk aan 5 en het verschil hier tussen elk tweetal opeenvolgende getallen is gelijk aan 9.
Nu zegt de stelling van Roth dat als we een deelverzameling van de natuurlijke getallen N bekijken die groot genoeg is, dan kunnen we in die verzameling een mooi rijtje vinden van lengte 3.
Het idee van het bewijs van deze stelling is dat je bij onze deelverzameling van de natuurlijke getallen een graaf maakt. Aan de hand van Szemer´edi’s regulariteitslemma vinden we nu een structuur achter onze graaf, waarmee we makkelijk driehoeken binnen de graaf kunnen tellen. Een driehoek in een graaf bestaat uit een drietal punten waarbij alle drie de punten onderling met elkaar verbonden zijn. Tot slot kunnen we, als we het aantal driehoeken binnen onze graaf weten, iets zeggen over het aantal mooie rijtjes van lengte 3 dat zich bevindt in onze oorspronkelijke deelverzameling van N. De driehoeken in de graaf staan namelijk in verband met de mooie rijtjes van lengte 3 die liggen in de deelverzameling.
We hebben in dit verslag ook toepassingen bekeken van Szemer´edi’s regulariteitslemma in andere vakgebieden binnen de wiskunde. De stelling van Erd¨os-Stone hebben we bijvoorbeeld behandeld, een stelling uit de extremale grafentheorie.
Zo zien we dat het handig is om te weten hoe de structuur van een graaf of netwerk er uit ziet. Szemer´edi’s regulariteitslemma loopt als een rode draad door deze bachelor-scriptie.
Bibliografie
[1] Diestel, Reinhard, Graph Theory (2de dr.), New York: Springer-Verlag, 2000. [2] Schrijver, Alexander, A Pythagoras proof of Szemer´edi’s regularity lemma, Cornell
University Library, 2012. http://arxiv.org/pdf/1212.3499v2.pdf
[3] Weisstein, Eric W., Arithmetic Progression, Mathworld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ArithmeticProgression.html
[4] Graham, R.L., B.L. Rothschild, A short proof of Van der Waerden’s theorem on arithmetic progressions, Proceedings of the American Mathematical Society, 42, 2, 1974.
[5] Matheus, Applications of Szemer´edi’s regularity lemma: triangle removal lemma, Roth’s theorem, corner’s theorem and graph removal lemma, Matheus’ Weblog, ja-nuari 2012. http://matheuscmss.wordpress.com
[6] Soundararajan, K., Additive combinatorics: winter 2007, Department of Mathema-tics, Stanford University, 2007.
