Bepaling van de ISA uit de gegeven snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeven punten

Bepaling van de ISA uit de gegeven snelheden in drie, niet op

één rechte gelegen, gegeven punten

Citation for published version (APA):

Meiden, van der, W. (1978). Bepaling van de ISA uit de gegeven snelheden in drie, niet op één rechte gelegen, gegeven punten. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7811). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

Onderafdeling der Wiskunde

Memorandum 1978-11 september 1978

8epaling van de ISA uit de gegeven snelheden in drie, niet op een rechte gelegen, gegeven punten

door

W. van der Meiden

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

Bepa1ing van de ISA uit de gegeven sne1heden in drie, niet op een rechte ge-1egen, gegeven punten.

1. Voor de sne1heidsverde1ing van een ruimte1ijke beweging ge1dt instantaan in ieder punt p

(1.1 ) v

-p w x (0 -+ p)

+

u

waarin 0 een wi11ekeurig punt van de ISA is, ~ de instantane hoeksne1heid, u de instantane trans1atiesne1heid. De ISA is bijgevo1g 0 + <w> of 0 + <~, daar ~

=

S~j sheet de instantane spoed.

p,q,r ste11en drie niet op een rechte , in een v1ak W met normaa1vector n ge-1egen, punten voor. Voorts schrijven we a := q -+ r, ~

.=

r -+ p, ~ := p -+ q, en merken op dat a + b + C

=

Q,

(~,~)

=

(~,~)

=

(~,~)

=

0 en dat a x b

b x c c x a. We ste11en n

.=

~ x ~I~ x ~I.

2. v -p (2.1) v -q v - r v -q v -r v -p

-o

dan en slechts dan als u

o /\

W v W x c -p -v w x a -q V III X _b -r

O. Uit (1.1) vo1gt immers

zodat het gegeven leidt tot w x a

=

w x b

=

OJ aangezien a en b 1ineair on-afhanke1ijk zijn, vo1gt w

=

Q,

en, met (1.1), ook ~

=

Q.

Het omgekeerde vo1gt direct uit (1.1). De beweging is instantaan in rust, dat wi1 zeggen stationair.

v

=

v v dan en slechts dan als w 0

-p -q -r .

Dit vo1gt uit het voorgaande.

De beweging is instantaan een translatie.

3. We onderzoeken det[v ,v ,v J. -p -q -r

det[~p'~q'~)

= det[w x (0-+ p)

+.!::,

w x (o-+q)

+.!::'

w x (0-+ r)

+

uJ det[w x ~, -w x ~, ~ x (0 -+ r) + uJ

det[w x ~, w x ~, uJ

Derhalve is det[v ,v ,v J 0 a1s w

=

0

v

u -p -q -r

Het geva1

w

0 is in § 2 besproken.

O.

Het geva1 u

_o

_{correspondeert met een instantane rotatie, waarbij uit de} gegeven ~p' ~q en ~r de draaiingsas en ~ op voor de hand 1iggende manier kunnen worden afgeleid.

- 2

-W

e

o

e

Y'

ondeY'BteUen

Ui

h

et

o

eY'

o

o

lg

w

f-

0 /\ uf-O.

4. Het geval det[~,~,~]

=

O.

Dit betekent dat w

=

aa + S~, anders gezegd, (~,~)

=

0, nog an?ers gezegd:

o

+

<~> I~. Zij !!!. : = ~ I~I. Dan is {!!!.,~,!!!. x n} een orthonormale basis. Voor

een willekeurig punt x E W is

o + x

=

~!!!. + nn + sm x n .

Merk op dat n voor aile x E W dezelfde is. Nu is, met v

-=

v ,

-x

v

=

w x (0 + x) + u

=

I~I!!!.

x

(s~

+ nn + S!!!. x n) +

sl~

l

~

zodat de normale component -sl~l~ van x afhangt, maar de andere component,

nl~l!!!. x ~ + sl~I!!!., niet; deze is overal in W dezelfde.

Met de normale componenten kan men dus de projectie van de ISA op W ai con-strueren, waarmee ook de richting van m, w of u (op het teken na) is vast-geiegd.

Anaiytisch kan men ~ als voigt berekenen: Uit voigt v v - r -q v - v -p - r w x a -Sa x b

w

x b aa x b (v - v ,n) - r - q - -13 det[a,b,n] (v - v ,n) -p r --1 w det[a,b,n_{- - -}] {(v -p

I~

x

~1-2{(~p

-v ,n) a r -v ,a x b)a -r -,n)b} (v v -r -q - -(v _-r v ,a _{-q -} x b)b}

=

1 1 -2 ~ x ~ {(~p'~ x b)a + (~q'~ x b)b + (~r'~ x b)c} Hierdoor is w voiledig bepaald.

5. Veronderstei nu dat det[v ,v ,v ]

f-

O.

-p -q - r

Uit (1.1) voigt, door inwendig met w te vermenigvuidigen

(v ,w) p -(v ,w) q -(v ,w) r

-- 3 -Schrijf V

.=

v T ,dan is V -1 -p -1 (det V) [v x V , V X V , v x v

J

en men -q -r -r -p -p -q heeft T v -q T v - r -1 s (~,~) (det V) [v x v :t v x v

'*"

v x v ] -q -r - r -p -p -q Hieruit voigt v -p - r v det V s(w,w) [ (v -q -r x v ) x b

+

(v -r -p x v ) x b

+

(v - p - q x v ) x b] s(w,w) [ (v ,b)v + (v ,b)v - (v ,b)v - (v ,b)v } det V -q - -r -r - -p -p - -r -q - -p Nu is (v ,b)

-p - (v ,b), - r - en cyciisch (equiprojectiviteit), dus

en v - v -p - r w (v - r s(w,w) [v [(v ,b) det V -p - r - (v ,b)] -q -

+

v [(v ,b) -- r -q - (v ,b)]} p -s (w ,w) (v det V -r v -q -,b) (v -p -1 (v - v ,b) det V , - r q --1 v ) - r - v ,b) [v x v -q - -q

-r

+ - r v x v -p + v -p x v ] -q

Met behuip van de equiprojectiviteit en de identiteit a + b + C dat Q blijkt (v - v ,b) - r - q - (v --q v - r -,c) (v - v ,b) -p q -(v - v ,c) -p - r - (v -- r V - p -,a) (v - v ,a) -q p

-zodat de asymmetrie in de factor y .- (v - v ,b) siechts schijnbaar is:

- r q -w Y -1 [v x v + v x v + v x v ] -q - r -r -p -p -q -1 -1 s (~,~) y det V , u (~,~) -1 -2 y det V[v x v + v x v + v x v ] -q -r -r -p -p -q

- 4

-zij 0 het snijpunt met de isa. Noem de projeeties van u,v , v , v op W

op-- -p -q -r

nieuw u,v ,V ,v .

- -p -q -r

(Uit

V

v - (v ,n)n voigt dat de projeeties (v ,e) (e,e) -1 e en (v ,e) (e,e) -1 e

-p -p -p - - -p - - - - -p - - -

-van v en v op de iijn door

-p -p p en q gelijk zijn (hetgeen ook meetkundig direet

duidelijk is) .)

Verbind nu p met 0; de projeeties van u en v op deze iijn zijn geiijk; dat

-p

wii zeggen dat 0 ~ p ~

v

-~. Zij nu 0

=

AP + ~q +

vr

met A + ~ +

v

=

1.

-p

-- 0 ~ p

=

~p ~ q + vp ~ r

=

~~

-

vb. De vergeiijking wordt dus (~~

v.e.,

v

-p ~)

Voor 0 ~ q en 0 ~ r geidt hetzeifde. Dus

-A(e,v - -q A(b,v - -r u) u) ~(e,v - -p ~(a,v - -r u) v(b,v - -p + v(a,v - -q u)

0, of ook (~_e -

v.e.,

v -p

u)

o

u)

o

o

Merk op dat (a,v - u)

- -r (a,v - -q ~), enzovoort. Er staat dan

[

(~':::r

-

~J

x (b,v - u) - -p -(e, v u) - -q

-o ,

- u) =

o.

zodat [A,~,V] p[ (a,v

- -r -u), (b,v - -p -u),(e,v -u)]metp - - - q z6datA + ~+v =1:

dus p zodat (a,v ) + (b,v ) + (c,v ) = (a,v - v ) + (b,v - v) y , - -r - -p - -q - -r -q - -p -q -1 Y en o = y -1 \' (a,v

_~)

p lD - -r -1 -1 P + y (b,v)e y (c, v )b - - p - - q --1 -1 p + y (b, v ) c y (c,v)b - - p - - p --1 o

=

P + Y

(£

x e) x (v - u) -p Y -1

(£

_e) P + x x v _-p

- 5

-Lemma.

y

_o

_{d.e .s.d. als (~,~)}

_o

_.

Bewijs. Als (~,~)

_o

_{dan is w eta + Sb, en y}

(v - v b) -r q '

-en omgekeerd.

0

Het geval y 0 correspondeert dus met § 4.