Analyse van een parameter-domein

Analyse van een parameter-domein

Citation for published version (APA):

Boersma, J., & van Lint, J. H. (1968). Analyse van een parameter-domein. (EUT report. WSK, Dept. of Mathematics and Computing Science; Vol. 68-WSK-01). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1968

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Analyse van een parameter-domein

J. :Boersma

J eH. van Lint

Dit probleem is behandeld in het kader van de overeenkomst tus-sen de Technische Hogeschool Eindhoven en de NoVe Philips!Gloei~

lampenfabrieken betreffende de door de Onderafdeling del.' Wi~oxnde te bewerken problemen uit het Natuurkundig Laboratorium.

Steller

.

..

Ire

DeL.A.

Tjaden~ Nat.Lab. Waa.lre Datum

.

~ 12 juni 1968

Nummer ~ _68-01

G

Bewerkt door: J. :Boersma en J .H. van Lint Ai'gesloten 20 juni 1968

1. Probleemstelling

Men beschoU'wt de klasse van functies f gedefiniee:r(i 'op [O~

1]

met

(ii) f stuksgewijs continu ~

1 (iii)

~

f(x)ax

=

1

~

o

y (iv)

J

f(x)dx";; y ,

(O~

Y

~

1) •

o

VerdeI' heeft men twee parameters, IX en ~ ~ gedefinieerd door

1 IX ;;

J

x f(x)dx ,

o

1

~

"" ! J

~

1

-l

f(dC)d..'i: @

o

Gevraagd wordt, aan te geven in welk domein het punt (a,~) list als f de ge= noemde klasse van funoties doorloopt.

20 Oplossing van J. Boersma

De klasse van functies

£~

ingevoerd in

§

1, zullen we

~

noemen~

Indien f de klasse ~ doorloopt, zullen de bijbehorende puntsn (a~~) sen domain D opvul-len. Men kan gemakkelijk inzien dat D een convex domain is.

Evenzo noemen we de klasse van funoties f welke slechta voldoen aan de voor= waarden (i), (ii) en (iii),

~.

Met de klasse

~

oorrespondeert het do-main Do ~ D in het (<<

,13

)~'dak. Door Tjaden is a£geleid dat het domain Do be= grensd wordt door de in het eerate kwadrant gelegen gedeelten van de ellips

:2

a2

+-""~--

...

1

(2/n)2

2.

fig. 1

Dit resultaat laat zion ook met de Meronder geyolgde methode a:flaiden~ VeJ:'-meld zij nog dat de rand van Do met wOJ:'dt !Iaangenomen'l _{~ VOlor geen en.,~ele} i'unctie f €

!F

behOlort het bijbehoJ:'ende Pt'illt (a,~) tot de J:'Md <;ran D •

o 0

2~2 Methode van oplossing

Laat D (fig~2) het gezochte oonvexe domein zijn.

figQ2

We doorsnijden D met de ve~ameling evenwijdige re©hten

Van deze verzameling zal een twe'~t~al reohten :raken ~ de rand V~"'l D@ De inrechterll raaklijn zal correspondeJ:'en met sup (0: - A~) d .. w.z. het raakpunt

f

€;;

( 0:( A) , f3( A» correspondeen met een i\m.otie f.A. €

!ff (

~

is afslui ting van

!F )

waarvool" a - .A.~ ~ i~ .. Evenzo corJ:'espondeert de ill~"1k:;;n·I' raaklijn met in! (a - A~) $ Indien we nu .A. het inte:rva.l A;;;;o 0 laten doorlopen is 01'

f

€!F

deze wijze de linker- en rechterrand van D te bepalenG

Tot deze verzameling behoorl een wi:;JoY'Siraaaklijn

a,

oor:responde:renJ. m~rt ,

sup (a + A.~) en een ilonderraaklijn!i corresponderend met inf...-(a + A.~).

Ga-fEg:; f€:J1

noemde raaklijnen omhullen de bovenrand resp~ onderrand van "D. In fig.3 zijn de verschillende gedeelten van de rand van D neg eensaangegeven.

fig.; / A A

=

rechterrand 1 2 A A "" linkerrand :3

4-203 Eerformulering van het prableem

A A "" onderrand

4 1

A2A3

=

bovenrand

We stellen in (1.1) x

=

sin~ en voeren in de functie

gI

h(~)

==

J

f( sin q, )coaG; dq" 0':;; cp

~

n/2 •

o

Met de klasse ~van funoties f correspondeert dan de klasse ~van functies h, gedefinieerd op [O~1t/2J, met de volgende eigenschappen:

{

(i) h is continu en monotoon niet afnemend , (ii) h(O)

=

0 ~ h(n/2) == 1 ,

(iii) 0";; h(rp) ..;; sin ( j l , (0";; cp < n/2) •

De pa.rameters cc,~, ingevoexd in (1.1), zijn met behulp van partiale i.ntegra= tie uit te drukken in de functie h,

n/2

a := 1 -

J

h(ep )008 cp dcp ,

o

2.4 Eepaling rechter- en lin.1.cerrand yang We onderzoeken voar A. ~ 0

n/2

sup (a - 2n

A~)

"" 1 - in!

r

h('P) [COB <:p + A sin cp]d'P <= 1

h ~ if{ h E dC

_o

J

welk supremum wordt~angenomen voor

o ..;;

cp <

n/2 ,

q> "" n/2 •

-De !unctie

(2.7)

behoort tot ~i.e. laat zioh willekeurig dicht benaderen door i'u."lcties ui t de klasse d(.

Evenzo geldt

n/2

( 2.8) inf (a -

~

Jl.j3) "" 1 - sup

J

h( 'P ) [ co s <p + A dn cp Jd <p •

h E: £ h E: de

o

Het infimum wordt aangenomen voor de volgende functie h

E

de,

De met

(2.7)

en

(2.9)

corresponderende raakpunten (",13) zijn

(2.10) {

(a,p) "" (1,0) (rechterrand)

(a,j3) ""

(t,t)

(linkerrand)

Rechter- en linkerrand bastaw~ beida uit slechta

ean

punt. 2@5 Bepaling boven- en onderrand van D

We onderzoeken voor A ~ 0

n/2

- in!

J

h(cp)[cos cp - A sin <:p]dcp • h € <KO Wegens (2.12) [ ;.. 0 , cos q> = A sin cp ~ 0 , O~Of";;<p , o ip ~ cp ..:;; n/2 , o -1 met 'Po

=

arct~ A

5.

Het raakpunt (a(A),p(A»), correspenderend met daze fu.1'l.ctie hey), laat zich

eenvoudig berekenen uit (2@5)?

1 A -'---~ , ? n 11.-+1 ( ) 1. 1 -1 f3 A := 2 - - arctan i\ 11: (A ~ 0) e

De betrekking (2.14) is een parameter-voorstelling veor de bovenrand met A

als pa.rameter,

A> O.

V~~r i\ ""

0

resp.

A

=

co vinden we weer de punten

(2.10).

In het punt

(a,p) ... (1,0)

(A~O) zal de raaklijn aan de bovenrand verticaal zijn; in het punt (a,f3), "" (i?

i)

(i\=oo) zal de raaklijn aan de bovenrand horizontaal zijn.

Vervolgens onderzoeken we

inf (a + ~ Af3) ... 1

h €

£

n/2

- sup

J

h(cp)[oos ep - A sin ep]dep •

h € £0

Gelet op (2~) 2) zal het infimu.m (2.15) worden aangenemen voor de volgende funotie h € .;j(, { Sinq» , O~q»~ep , h(ep)... sin q» 1 ' q» 1

~

ep <

~/2

,

1 ,cp "" n/2 , (2.16)

waarin ep1 €

[O,n/2J

neg nader te bepalen

is.

Daartoe onderzoeken we~ veor de functie h nit (2.16), n/2 H(q»1) :=

f

h(cp)[oes cp - A sin cpldcp ... (2.17 )

°

f

g>1 sin cp [oos cp

o

De afgeleide van deze functie wordt gegeven door

n/2

H' (ep ) "" 00 S cp

f [

00 S ep - A sin cp] d qJ ""

1 1

'" oos cp [1 - sin cp. - A cos cp ] := col- cp [tg

i

(~

-

CD ) - AJ.

6.

Het supremum (2.15) zal nu bereikt worden voor h

=

h(~) gegeven door (2.16), (2.19). Met deze functie h correspondeert een raakpunt (a(A),~(A) dat zich

door enige eenvoudige integraties volgens (2.5) laat berekenen~

a(A) ... 1 , ~(A) >= 0, (A;;;' 1) •

De laatste regel van (2w20) stelt een van de punten (2.10) v~~r. De eerate regel van (2.20) is een parametervoorstelling voor de onderrand met A ala pa-rameter, 0 ~ A ~ 1. Met A = 1 correspondeert het punt (a,~)

=

(1,0); de raak-lijn aan de onderrand zal hier een hoek X "" - arctan (2!n) roaken met de a-as. Met A

=

0 cor;;,espondeert het punt (a

~

p) ""

(t

9

~);

de raaklijn aan de

onder-rand zal hier verticaal zijn.

De ~ van het domein

D

bestaat uit de punten

(2.10)

en de bogen gegeven door de parameter-voorstellingen (2.14) en (2.20). De parameter A heeft neg de volgende meetkundige betekenis: de raaklijn

aan

de rand in het punt (O:(A),~(A) heeft de richtingscoefficient

_(2/n)A-

1•

Van

de rand van

D

wordt aIleen het punt (o:,~)

=

(t, t)

werkelijk aangenomen nL voor h(qJ) "'" sin q> oftewel (zie

(2.3» voor f(x)

=

1.

We hebben nog geverifieerd dat r~ eliminatie van

A

in

(2.14),(2.20)

deze para-meter-voorstellingen juist overga&"1. in de door Van Lint afgeleide repres,enta.-tie

(3.5),(3.6)

voor de rand van D.

In fig.4 is tevens het grotere gebied Do a&"'lgegeven. Merk op dat Y.: -arctg(z!,J;) m.a.w. de raaklijnen aan de onderrand van D en D in (1,0) vallen samen. liet=

o

zelfde geldt vaor de raaklijnen san de bovenrand van D en Do in (1,0). 3~ Oulassing v~ J.E. van Lint

3s1 Notatie

We definieren voor f € ~ de functie

F

op [O~1J door x

Fex) i""

J

£( t)dt •

o

Voor F voIgt uit (i) tim (iv):

(ia) F is monotoon niet-dalend ,

(iia) F is stuksgewijs differentieerbaar op [Ou1J ,

(iiia) F(1) "" 1 ,

(iva) 0 ~ rex) ...; x voor

°

~ x ~ 1 $

Uit (1.1) volgen nu de volgende uitdrukkingen veal' ~ en ~:

~ ... 1

1

- J

F(x)dx ,

o

3.2 1>lethode van oplossing

X :2 F(x)dx • - x

Ale f de klasse ~ doorloopt dan doorloopt F sen deelverzameling v~~ de klasse :;:;*bestaande uit de functiei6 die op [0;1J stuksgewij16 continu zijn en aan

8.

(ia.), (iiia.) en (iva) voldoen. We zullen Vaal' F € :;;

*

d.e rand van het door (~,~) doorlopen gebied b~pa.len.

Uit

(3.1)

en (iva.) voIgt

t<

a ~ 1. We definieren '1001'

daze

waarden van 0:

de functies CPa: € :;;

*

en q;~ € ~

*

door:

J •. {x O '1001' 0 < X ~ (2cc - 1 ) 2 , cp~(x) := 1 '1001' (2~ - 1

rz

< x < 1 , A

t

x '1001' 0 < X < 1 - (2Cl! = 1 ) 2 , 1 1 tV (x):"" 1 - (2" _1)2 '1001' 1 - (2a - 1 )2 < x < 1 , ex 1 '1001' X

=

1 • We merken ep dat 1 1 -

J

./ 0 cP _a (x)dx ... 1

-o

Voer iedere functie F uit

g:;

*

geIdt:

J._

cP (x) < F(x) voor O.e;; x < (2a _1)2 ,

0: 1

cpo:(x) ;;. F(x) '1001' (20: _1)2 < x ~ 1 •

Voor iedere functie

F

uit~* is e1' een getal c €

[0,1]

zo

dat

tV· (x) ~ F(x) '1001'

°

< X < c ,

0:

1\1 (x) .e;; F(x) voor 0 < x < 1 8 cc

Daar x( 1 = x2)

-i

monotoon toenemend is op [0,1] voIgt nu '1001' iedere F € ~"*

1 1 1

J

~

x 2 <!;o:(x)dx

~

f

V x 2 F(x)dx <

f

"1

o

1 - x 0 1 - x 0 V

Bij iedere e > 0 is er een F1 en een F2

z6

dat F1 en F2 san (ia)

tim

(iva) voldoen en 1 O:E;

J

~1

o

X 2

{F

1 (x) -

q,(Xex)}a.x

< E: ~ - X

Hieruit volgt dat het gezochte gebied wordt beschreven door

1 1 ,

~.

:..., 1.

J

x <jI (x)dx <

~

<

1

J

x <il (x)a.x "d

m~n 1t ~ 1 _ X 2 ex 1t ~ 1 _ x2 ex

o

0

Het enige randpunt dat tot het gebied behoort is het pu.'1t

(t,

~) behorende bij de functie <ill die aan (ia)

tim

(iva) voldoet.

2'

3.3

Berekening van de grenzen

Schrij£ a

=

1 - (2a _1)t • Dan is:

VerdeI' is a 1

f3

_min

=

~

J

:x?(1 -

x2)~dx

+

~

j

x( 1 - x ) 2..J.. 2d:x; /

o

a 1 { ,- - -2).1..} "" - arcsin IX + a( 1 _ a 2 "" 1t

=

1

{arcsin (1 -

V

2a - 1) + (1 -

V

20; - 1

)~

(1 -

2(;(

+

2V

2(;( - 1 )'} " 1t . 1 2

'J

2 2 ..J.

f3

lOll - , x (1 - x ) 2dx "" max 1t

t

(2(;(-1) . .

... 1 _ 1

{arcsin V 2a - 1 -

~

2( 1 - a)(2(;( - 1 ) } e 2 1t